YH JJ, MiF UP 13
D BL PÓL FGUR PYŹ e wszystkich wzorach zakładamy, że funkcje: f (x), g(x), r(ϕ), x(t), y(t) sa cia głe w odpowiednich przedziałach oraz że r(ϕ).
D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D = {(x, y) : a x b, g(x) y f (x)}, gdzie a < b oraz g(x) f (x) dla x [a, b] wynosi P = b a [f (x) g(x)]dx. y y = f (x) D y = g(x) a b x
PRYD Pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x 2, y = x 3 jest równe 1 12. y y = x 2 y = x 3 1 x P = 1 ( x 2 x 3) [ 1 dx = 3 x 3 1 4 x 4] 1 = 1 3 13 1 ( 1 4 14 3 3 1 4 4) = 1 3 1 4 = 1 12
PRYD Pole koła o promieniu R (obszaru ograniczonego krzywą x 2 + y 2 = R 2 ) jest równe πr 2. R y = R 2 x 2 y R y = R 2 x 2 R x P = R R [ R 2 x 2 ( R 2 x 2)] dx = 2 R R [ 1 = 2 2 x R 2 x 2 + 1 2 R2 arc sin x ] R R R = 2 [ + 1 2 R2 arc sin 1 1 2 R2 arc sin( 1) ] [ 1 = 2 2 R2 π 2 1 ( 2 R2 π )] = πr 2. 2 R 2 x 2 dx
D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru opisanego we współrzȩdnych biegunowych: D = {(r, ϕ) : α ϕ β, r r(ϕ)}, gdzie α β 2π wynosi P = 1 2 β α r 2 (ϕ)dϕ. ϕ = π/2 ϕ = 3π/4 ϕ = β D ϕ = π ϕ = π/4 r = r(ϕ) ϕ = α ϕ =, ϕ = 2π ϕ = 5π/4 ϕ = 7π/4 ϕ = 3π/2
PRYD Pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu biegunowym r(ϕ) = R (koła o promieniu R) jest równe πr 2. R y R r(ϕ) = R R x P = 1 β r 2 (ϕ)dϕ = 1 2π R 2 dϕ = 1 2π 2 α 2 2 R2 1dϕ = 1 ] 2π 2 R2[ ϕ = 1 2 R2 (2π ) = πr 2.
D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D ograniczonego: krzywa o równaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2, osia x oraz prostymi x = x(t 1 ), x = x(t 2 ) wynosi P = t2 t 1 y(t)x (t) dt. akładamy tu, że x (t) i y(t) sa cia głe i stałego znaku.
PRYD Pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu parametrycznym x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t 2π (pole koła o promieniu R) jest równe πr 2. dla t = π y dla t = π/2 dla t = dla t = 2π x dla t = 3π/2 P =
PRYD Pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu parametrycznym x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t 2π (pole koła o promieniu R) jest równe πr 2. dla t = π y dla t = R x π P = 2P 1 = 2 R sin t ( R sin t) dt π [ 1 = 2R 2 sin 2 dt = 2 2 t 1 ] π 4 sin 2t = 2R 2[ 1 2 π 1 ] 4 sin 2π = πr 2.
D BL DUGŚ RYYH DFJ. ukiem gładkim nazywamy taka krzywa o równaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2, która nie ma punktów wielokrotnych (różnym wartościom t odpowiadaja różne punkty krzywej), dla której pochodne x (t) oraz y (t) sa ciagłe i dla której wszȩdzie [x (t)] 2 + [y (t)] 2. ukiem kawałkami gładkim nazywamy krzywa daja ca siȩ podzielić na skończona liczbȩ łuków gładkich.
PRYD YLD: x(t) = t sin t, y(t) = 1 cos t. y (π, 2) y(t) x(t) 2π x
PRYD ykloida (dwa pierwsze łuki) x(t) = t sin t, y(t) = 1 cos t, t 4π. y x 2π 4π
Długość krzywej D BL DUGŚ RYYH l = {(x, y) : a x b, y = f (x)}, gdzie a < b oraz f (x) jest cia gła wynosi d = b a 1 + [f (x)] 2 dx.
R = 4 = 4R Długość okręgu o promieniu R. y = R 2 x 2 y R d = 4d 1 = 4 R = 4 1 + 1 + f (x) = R 2 x 2 R x [ f (x)] 2dx [ 1 2 R 2 x 2 ( 2x) ] 2dx R 2 x 2 + x 2 R R 2 x 2 dx = 4R [ arc sin x R ] R 1 R 2 x 2 dx = 4R arc sin 1 = 4R π 2 = 2πR
D BL DUGŚ RYYH Długość krzywej opisanej we współrzȩdnych biegunowych: l = {(r, ϕ) : α ϕ β, r = r(ϕ)}, gdzie α β 2π oraz r (ϕ) jest cia gła, wynosi d = β α r 2 (ϕ) + [r (ϕ)] 2 dϕ.
PRYD Długość krzywej o równaniu biegunowym r(ϕ) = R (okręgu o promieniu R) to 2πR. r(ϕ) = R R d = β α r 2 (ϕ) + [r (ϕ)] 2 dϕ = = 2π 2π Rdϕ = [ Rϕ ] 2π = 2πR. R 2 + 2 dϕ
D BL DUGŚ RYYH Długość łuku kawałkami gładkiego l o równaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2 wynosi d = t2 t 1 [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt.
PRYD Długość krzywej o równaniu parametrycznym x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t 2π (okręgu o promieniu R) to 2πR. y dla t = π/2 dla t = π dla t = dla t = 2π x dla t = 3π/2 d =
PRYD Długość krzywej o równaniu parametrycznym x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t 2π (okręgu o promieniu R) to 2πR. y dla t = π dla t = R x π d = 2d 1 = 2 [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt π = 2 [ R sin t] 2 + [R cos t] 2 dt π = 2 R 2 (sin 2 t + cos 2 t)dt = 2 π Rdt = 2R [ t ] π = 2πR
D BL BJȨŚ BRY BRYH bjȩtość bryły powstałej przez obrót wokół osi x obszaru D ograniczonego: krzywa y = f (x), osia x i prostymi x = a, x = b, gdzie a < b, wynosi b V = π [f (x)] 2 dx. a
bjętość kuli o promieniu R
bjętość kuli o promieniu R
bjętość kuli o promieniu R y R x
bjętość kuli o promieniu R y R x
bjętość kuli o promieniu R y y = R 2 x 2 R x
bjętość kuli o promieniu R y y = R 2 x 2 R x V = π = 2π R [ R R 2 x 2] 2 ( dx = π 2 R 2 x 2) dx R [R 2 x 1 3 x 3] R [ = 2π R 3 1 3 R3] = 4 3 πr3
D BL BJȨŚ BRY BRYH bjȩtość bryły powstałej przez obrót wokół osi biegunowej obszaru D opisanego we współrzȩdnych biegunowych: D = {(r, ϕ) : α ϕ β, r r(ϕ)}, gdzie α β π, wynosi V = 2 β 3 π r 3 (ϕ) sin ϕdϕ. α
PRYD bjętość bryły powstałej przez obrót wokół osi biegunowej obszaru ograniczonego krzywą o o równaniu biegunowym r(ϕ) = R (objętość kuli o promieniu R) to 4 3 πr3. y R r(ϕ) = R R R x V = 2 β 3 π r 3 (ϕ) sin ϕdϕ = 2 π 3 π R 3 sin ϕdϕ α = 2 3 πr3[ cos ϕ ] π = 2 3 πr3 [ cos π ( cos )] = 2 3 πr3 [ ( 1) ( 1)] = 4 3 πr3.
D BL BJȨŚ BRY BRYH bjȩtość bryły powstałej przez obrót wokół osi x obszaru D ograniczonego (zakładamy tu, że x (t) jest cia gła i stałego znaku): krzywa o równaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2, osia x oraz prostymi x = x(t 1 ), x = x(t 2 ) wynosi t2 V = π y 2 (t) x (t) dt. t 1
PRYD bjętość bryły powstałej przez obrót wokół osi biegunowej obszaru ograniczonego krzywą o o równaniu parametrycznym x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t 2π (objętość kuli o promieniu R) to 4 3 πr3. dla t = π y dla t = x t2 π V = π y 2 (t) x (t) dt = π R 2 sin 2 (t) R sin t dt t 1 π = πr 3 sin 3 tdt = πr 3[ 1 ] π 3 cos3 t cos t = πr 3[1 3 ( 1)3 ( 1) 1 3 13 ( 1) ] = 4 3 πr3
D BL PÓL PRH BRYH Pole powierzchni powstałej przez obrót wokół osi x krzywej l = {(x, y) : a x b, y = f (x)}, gdzie a < b oraz f (x) jest cia gła, wynosi b = 2π f (x) 1 + [f (x)] 2 dx. a
R Pole sfery o promieniu R y f (x) = R 2 x 2 b = 2π f (x) 1 + [f (x)] 2 dx a R [ = 2π R 2 x 2 1 1 + R 2 ] 2dx R 2 x ( 2x) 2 R = 2π R 2 x 2 R R x R 2 x 2 + x 2 R 2 x 2 dx R [ ] R = 2π Rdx = 2πR x = 2π[R ( R)] = 4πR2 R R
D BL PÓL PRH BRYH Pole powierzchni powstałej przez obrót wokół osi biegunowej krzywej opisanej we współrzȩdnych biegunowych: l = {(r, ϕ) : α ϕ β, r = r(ϕ)}, gdzie α β π oraz r (ϕ) jest cia gła, wynosi β = 2π r(ϕ) sin ϕ r 2 (ϕ) + [r (ϕ)] 2 dϕ. α
PRYD Pole powierzchni powstałej przez obrót wokół osi biegunowej krzywej o o równaniu biegunowym r(ϕ) = R to 4πR 2. R y R r(ϕ) = R R x β = 2π r(ϕ) sin ϕ r 2 (ϕ) + [r (ϕ)] 2 dϕ α π = 2π R sin ϕ π R 2 + 2 dϕ = 2πR 2 sin ϕdϕ = 2πR 2[ ] π cos ϕ = 2πR2 ( cos π + cos ) = 4πR 2
D BL PÓL PRH BRYH Pole powierzchni powstałej przez obrót wokół osi x łuku kawałkami gładkiego o równaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2 wynosi t2 = 2π y(t) [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt. t 1
PRYD Pole powierzchni powstałej powstałej przez obrót wokół osi biegunowej krzywej o o równaniu parametrycznym x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t π to 4πR 2. y dla t = π dla t = x t2 = 2π π = 2π π = 2π R sin t t 1 y(t) [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt R sin t [ R sin t] 2 + [R cos t] 2 dt π R 2 (sin 2 t + cos 2 t)dt = 2πR 2 sin tdt = 2πR 2[ ] π cos t = 2πR2 [ cos π + cos ] = 4πR 2
D LURUJ Dwa ciała rozpoczynaja (w chwili t = ) ruch prostoliniowy z jednego punktu z prȩdkościami v 1 (t) = 2t 2 m/s, v 2 (t) = (5t 2 + 1) m/s. Jaka bȩdzie odległość miȩdzy nimi po sześciu sekundach?
D LURUJ Dwa ciała rozpoczynaja (w chwili t = ) ruch prostoliniowy z jednego punktu z prȩdkościami v 1 (t) = 2t 2 m/s, v 2 (t) = (5t 2 + 1) m/s. Jaka bȩdzie odległość miȩdzy nimi po sześciu sekundach? Podstawiamy do wzoru s = t1 t v(t)dt, otrzymuja c s 2 s 1 = 6 6 6 v 2 (t)dt v 1 (t)dt = (5t 2 +1 2t 2 )dt = 222, zatem szukana odległość to 222 metry.
bliczyć moment bezwładności wzglȩdem osi x łuku asteroidy x 2 3 + y 2 3 = 1 dla x, y, jeśli gȩstość liniowa ϱ = 3 8.
bliczyć moment bezwładności wzglȩdem osi x łuku asteroidy x 2 3 + y 2 3 = 1 dla x, y, jeśli gȩstość liniowa ϱ = 3 8. y 1 x
bliczyć moment bezwładności wzglȩdem osi x łuku asteroidy x 2 3 + y 2 3 = 1 dla x, y, jeśli gȩstość liniowa ϱ = 3 8. y 1 x
Podstawiamy do wzoru: Moment bezwładności wzglȩdem osi x łuku asteroidy x 2 3 + y 2 3 = 1, dla x, y, gdy gȩstość liniowa ϱ = 3 8. x = b a ϱf 2 (x) 1 + [f (x)] 2 dx wartości f (x) = y = (1 x 2 3 ) 3 2, f (x) = 3 2 (1 x 2 3 ) 1 2 ( 2 3 x 1 3 ) = (1 x 2 3 ) 1 2 x 1 3 otrzymuja c x = 1 3[ 2 (1 x 8 3 3 ) 2 1 ] 2 1 x 2 3 + dx = 1. x 2 3
naleźć współrzȩdne środka ciȩżkości jednorodnego trójka ta o wierzchołkach (, ), (6, ), (, 3).
naleźć współrzȩdne środka ciȩżkości jednorodnego trójka ta o wierzchołkach (, ), (6, ), (, 3). Podstawiamy do wzoru na współrzȩdne środka masy ( M y M, ) Mx M trapezu krzywoliniowego D = {(x, y); a x b, y f (x)} (zakładamy, że f (x) ), gdzie masa M = ϱ b a f (x)dx, moment statyczny wzglȩdem osi x to M x = 1 2 ϱ b a f 2 (x)dx, moment statyczny wzglȩdem osi y to M y = ϱ b a xf (x)dx. atem, M = ϱ 6 ( 1 2 x + 3) dx = 9ϱ, M y = ρ 6 x ( 1 2 x + 3) dx = 18ϱ, M x = 1 6 2 ϱ ( 1 2 x + 3) 2 dx = 9ϱ, (2, 1).
spółrzȩdne środka ciȩżkości jednorodnego trójka ta o wierzchołkach (, ), (6, ), (, 3). x y 6 3 y = 1 2 x + 3 D = {(x, y); x 6, y 1 2 x + 3}
spółrzȩdne środka ciȩżkości jednorodnego trójka ta o wierzchołkach (, ), (6, ), (, 3). 3 1 y 2 6 x przypadku jednorodnego trójkąta położenie środka ciężkości jest oczywiste: (2, 1).
biornik w kształcie walca o promieniu podstawy r = 2 m i wysokości H = 3 m jest wypełniony do wysokości h = 1 m ciecza o masie właściwej γ = 7 kg/m 3. bliczyć pracȩ potrzebna do wypompowania (góra ) tej cieczy.
biornik w kształcie walca o promieniu podstawy r = 2 m i wysokości H = 3 m jest wypełniony do wysokości h = 1 m ciecza o masie właściwej γ = 7 kg/m 3. bliczyć pracȩ potrzebna do wypompowania (góra ) tej cieczy. Podstawiamy do wzoru = πr 2 γg H H h xdx, gdzie g = 9, 8665 9, 81. [ atem = π 2 7 9, 81 1 2 x 2] 3 17867[J]. 2
aga ludzi w pewnej populacji ma rozkład (65, 5). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba waży miȩdzy 65 kg a 7 kg.
aga ludzi w pewnej populacji ma rozkład (65, 5). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba waży miȩdzy 65 kg a 7 kg. Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny (m, σ), to prawdopodobieństwo tego, że przyjmie wartość miȩdzy a i b wynosi P(a X b) = b a f (x)dx, gdzie f (x) = 1 σ (x m) 2 2π e 2σ 2.
aga ludzi w pewnej populacji ma rozkład (65, 5). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba waży miȩdzy 65 kg a 7 kg. Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny (m, σ), to prawdopodobieństwo tego, że przyjmie wartość miȩdzy a i b wynosi P(a X b) = b a f (x)dx, gdzie f (x) = 1 σ (x m) 2 2π e 2σ 2. atem, P(65 X 7) = 7 65 1 5 (x 65) 2 2π e 2 25 dx, 3413. wykle zamiast liczyć przybliżona wartość tej całki standaryzujemy rozkład do (, 1) i korzystamy z tablic.