3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych

3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 1 / 57

1 Inwestycja finansowa 2 Wartość bieżąca netto 3 Wewnętrzna stopa zwrotu - IRR 4 Średni czas trwania 5 Średni czas trwania - interpretacja ekonomiczna rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 2 / 57

Motywacja Powtarzam to do znudzenia, ale zawsze warto jeszcze raz: głównym celem całego kursu jest porównywanie opłacalności różnych inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 3 / 57

Motywacja Powtarzam to do znudzenia, ale zawsze warto jeszcze raz: głównym celem całego kursu jest porównywanie opłacalności różnych inwestycji. W tej części wykładu precyzyjnie zdefiniujemy, co rozumiemy przez inwestycję i jakie kryteria jej opłacalności możemy przyjąć. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 3 / 57

Motywacja Powtarzam to do znudzenia, ale zawsze warto jeszcze raz: głównym celem całego kursu jest porównywanie opłacalności różnych inwestycji. W tej części wykładu precyzyjnie zdefiniujemy, co rozumiemy przez inwestycję i jakie kryteria jej opłacalności możemy przyjąć. W szczególności matematycznie doprecyzujemy definicję stopy zwrotu dla dowolnej inwestycji, która będzie naszym podstawowym kryterium wyceny opłacalności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 3 / 57

Motywacja Powtarzam to do znudzenia, ale zawsze warto jeszcze raz: głównym celem całego kursu jest porównywanie opłacalności różnych inwestycji. W tej części wykładu precyzyjnie zdefiniujemy, co rozumiemy przez inwestycję i jakie kryteria jej opłacalności możemy przyjąć. W szczególności matematycznie doprecyzujemy definicję stopy zwrotu dla dowolnej inwestycji, która będzie naszym podstawowym kryterium wyceny opłacalności. Skonstruujemy też kilka innych przykładowych kryteriów, wedle których można oceniać inwestycję. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 3 / 57

Inwestycja finansowa Inwestycja finansowa Inwestycją finansową nazywamy ciąg płatności znanych co do wielkości i momentów występowania. W praktyce, możemy tak nazwać dowolne przedsięwzięcie związane z wykorzystaniem posiadanych zasobów kapitałowych, które zostają zaangażowane w postaci nakładu, dającego inwestorowi prawo do ewentualnych dochodów w przyszłości. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 4 / 57

Inwestycja finansowa Inwestycja finansowa Inwestycją finansową nazywamy ciąg płatności znanych co do wielkości i momentów występowania. W praktyce, możemy tak nazwać dowolne przedsięwzięcie związane z wykorzystaniem posiadanych zasobów kapitałowych, które zostają zaangażowane w postaci nakładu, dającego inwestorowi prawo do ewentualnych dochodów w przyszłości. Przykłady inwestycji finansowych, którymi się zajmowaliśmy lub będziemy wkrótce zajmować to: założenie lokaty, wykup bonu skarbowego lub weksla, inwestycja w fundusz rentowy, czy pożyczenie kapitału dłużnikowi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 4 / 57

Inwestycja finansowa Inwestycja finansowa Inwestycją finansową nazywamy ciąg płatności znanych co do wielkości i momentów występowania. W praktyce, możemy tak nazwać dowolne przedsięwzięcie związane z wykorzystaniem posiadanych zasobów kapitałowych, które zostają zaangażowane w postaci nakładu, dającego inwestorowi prawo do ewentualnych dochodów w przyszłości. Przykłady inwestycji finansowych, którymi się zajmowaliśmy lub będziemy wkrótce zajmować to: założenie lokaty, wykup bonu skarbowego lub weksla, inwestycja w fundusz rentowy, czy pożyczenie kapitału dłużnikowi. Będziemy analizować deterministyczne ciągi płatności tj. inwestycje, które można opisać w postaci ciągu znanych z góry kwot płatności i momentów ich występowania. Nie analizujemy na razie czynników ryzyka. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 4 / 57

Inwestycja finansowa o pojedynczym nakładzie Większość inwestycji, którymi się zajmiemy się na tych zajęciach to inwestycje o pojedynczym nakładzie. Inwestycja finansowa o pojedynczym nakładzie Inwestycją finansową o pojedynczym nakładzie nazywamy inwestycję wymagająca od inwestora tylko jednego wydatku, w momencie początkowym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 5 / 57

Inwestycja finansowa - oznaczenia W tym rozdziale, przez C j będziemy oznaczać płatności składające się na inwestycję. Jeśli są to nakłady inwestora, przypisujemy im znak ujemny. Jeśli są to przychody inwestora z inwestycji, przypisujemy im znak dodatni. Np. dla inwestycji o pojedynczym nakładzie C 0 = P (jako cena inwestycji) jest ujemna, a pozostałe płatności dodatnie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 6 / 57

Inwestycja finansowa - oznaczenia W tym rozdziale, przez C j będziemy oznaczać płatności składające się na inwestycję. Jeśli są to nakłady inwestora, przypisujemy im znak ujemny. Jeśli są to przychody inwestora z inwestycji, przypisujemy im znak dodatni. Np. dla inwestycji o pojedynczym nakładzie C 0 = P (jako cena inwestycji) jest ujemna, a pozostałe płatności dodatnie. t j to czas j-tej płatności wyrażony w okresach obowiązującej stopy procentowej (jak zwykle, zakładamy OS = OK = 1). Jeśli t j nie jest wyraźnie podane, to t j = j (np. C 0 domyślnie oznacza płatność w chwili 0). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 6 / 57

Inwestycja finansowa - oznaczenia W tym rozdziale, przez C j będziemy oznaczać płatności składające się na inwestycję. Jeśli są to nakłady inwestora, przypisujemy im znak ujemny. Jeśli są to przychody inwestora z inwestycji, przypisujemy im znak dodatni. Np. dla inwestycji o pojedynczym nakładzie C 0 = P (jako cena inwestycji) jest ujemna, a pozostałe płatności dodatnie. t j to czas j-tej płatności wyrażony w okresach obowiązującej stopy procentowej (jak zwykle, zakładamy OS = OK = 1). Jeśli t j nie jest wyraźnie podane, to t j = j (np. C 0 domyślnie oznacza płatność w chwili 0). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 6 / 57

Inwestycja finansowa - oznaczenia Przykładowa inwestycja o nakładach w momentach 0 i 4 oraz dochodach w momentach 2 i 5. Wartości C 0 i C 2 są ujemne, a C 1 i C 3 - dodatnie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 7 / 57

Wartość bieżąca netto Zanim wprowadzimy ogólną definicję procentowej stopy zwrotu, potrzebna nam będzie jeszcze jedna miara: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 8 / 57

Wartość bieżąca netto Zanim wprowadzimy ogólną definicję procentowej stopy zwrotu, potrzebna nam będzie jeszcze jedna miara: Wartość bieżąca netto (NPV) Wartość bieżąca netto inwestycji (NPV - net present value) - suma zdyskontowanych na moment t = 0 nakładów i dochodów z inwestycji, przy ustalonej stopie procentowej. Dla stopy r oznaczana przez NPV (r). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 8 / 57

Wartość bieżąca netto Zanim wprowadzimy ogólną definicję procentowej stopy zwrotu, potrzebna nam będzie jeszcze jedna miara: Wartość bieżąca netto (NPV) Wartość bieżąca netto inwestycji (NPV - net present value) - suma zdyskontowanych na moment t = 0 nakładów i dochodów z inwestycji, przy ustalonej stopie procentowej. Dla stopy r oznaczana przez NPV (r). Wartość bieżąca netto (NPV) NPV (r) = N j=0 C j (1 + r) t j. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 8 / 57

Wartość bieżąca netto - zalety i interpretacja Wartość bieżąca netto jest wskaźnikiem wygodnym w obliczeniach i określonym dla dowolnej stopy procentowej i dowolnej inwestycji - dodatkowo wyrażonym w jednostkach pieniężnych. Jednak, skoro jej wartość zależy od wybranej stopy procentowej r, jej interpretacja musi być bardzo konkretna. Interpretacja NPV Załóżmy, że jest dana inwestycja A o stopie zwrotu r (o zadanym okresie stopy) - może to być np. lokata o takiej efektywnej stopie zwrotu. Inwestycja B jest bardziej opłacalna od inwestycji A jeśli dla inwestycji B NPV (r) > 0, mniej opłacalna jeśli NPV (r) < 0 i równie opłacalna, gdy NPV (r) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 9 / 57

Wartość bieżąca netto - przykład Zadanie Inwestorowi zaproponowano następującą inwestycję: w zamian za nakłady w wysokości 800 jp dziś oraz 200 jp za rok, otrzyma on 500 jp za 3 lata, 600 jp za 4 lata i 550 jp za 5 lat. Za pomocą NPV sprawdzić, czy ta inwestycja jest bardziej, czy mniej opłacalna niż lokata z oprocentowaniem efektywnym a) 10% rocznie, b) 20% rocznie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 10 / 57

Wartość bieżąca netto - przykład Zadanie Inwestorowi zaproponowano następującą inwestycję: w zamian za nakłady w wysokości 800 jp dziś oraz 200 jp za rok, otrzyma on 500 jp za 3 lata, 600 jp za 4 lata i 550 jp za 5 lat. Za pomocą NPV sprawdzić, czy ta inwestycja jest bardziej, czy mniej opłacalna niż lokata z oprocentowaniem efektywnym a) 10% rocznie, b) 20% rocznie. Ciągi płatności i ich czasów są opisane na powyższym rysunku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 10 / 57

Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57

Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = 800 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57

Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = 800 200(1, 1) 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57

Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = 800 200(1, 1) 1 + 500(1, 1) 3 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57

Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = 800 200(1, 1) 1 + 500(1, 1) 3 + +600(1, 1) 4 + rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57

Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = 800 200(1, 1) 1 + 500(1, 1) 3 + +600(1, 1) 4 + 550(1, 1) 5 = 145, 1540 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57

Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = 800 200(1, 1) 1 + 500(1, 1) 3 + +600(1, 1) 4 + 550(1, 1) 5 = 145, 1540 > 0 Zatem dana inwestycja jest bardziej opłacalna niż lokata o stopie zwrotu 10% rocznie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57

Wartość bieżąca netto - przykład NPV (20%) = 800 200(1, 2) 1 + 500(1, 2) 3 + +600(1, 2) 4 + 550(1, 2) 5 = 166, 9302 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 12 / 57

Wartość bieżąca netto - przykład NPV (20%) = 800 200(1, 2) 1 + 500(1, 2) 3 + +600(1, 2) 4 + 550(1, 2) 5 = 166, 9302 < 0 Zatem dana inwestycja jest mniej opłacalna niż lokata o stopie zwrotu 20% rocznie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 12 / 57

NPV - inna interpretacja Co prawda, najczęściej przy interpretacji NPV (r) wystarczy znak, ale wartość też możemy zinterpretować. NPV - druga interpretacja Wartość NPV (r) możemy zinterpetować jako maksymalną cenę, którą inwestor jest gotów zapłacić za prawo do dokonania danej inwestycji, zakładając, że chce uzyskać stopę zwrotu r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 13 / 57

Wartość bieżąca netto - problemy Wartość bieżąca netto sama w sobie jest dalekim od ideału miernikiem opłacalności inwestycji. Przede wszystkim wartość NPV zależy od przyjętej stopy procentowej, której zazwyczaj nie mamy danej z góry. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 14 / 57

Wartość bieżąca netto - problemy Wartość bieżąca netto sama w sobie jest dalekim od ideału miernikiem opłacalności inwestycji. Przede wszystkim wartość NPV zależy od przyjętej stopy procentowej, której zazwyczaj nie mamy danej z góry. Dlatego trafność oceny inwestycji na podstawie NPV zależy od prawidłowego wyboru wartości stopy r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 14 / 57

Wartość bieżąca netto - problemy Wartość bieżąca netto sama w sobie jest dalekim od ideału miernikiem opłacalności inwestycji. Przede wszystkim wartość NPV zależy od przyjętej stopy procentowej, której zazwyczaj nie mamy danej z góry. Dlatego trafność oceny inwestycji na podstawie NPV zależy od prawidłowego wyboru wartości stopy r. Może się zdarzyć, że jedna inwestycja ma większe NPV od drugiej przy niektórych stopach procentowych, a przy innych ta druga ma większe NPV od pierwszej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 14 / 57

Wartość bieżąca netto - problemy Wartość bieżąca netto sama w sobie jest dalekim od ideału miernikiem opłacalności inwestycji. Przede wszystkim wartość NPV zależy od przyjętej stopy procentowej, której zazwyczaj nie mamy danej z góry. Dlatego trafność oceny inwestycji na podstawie NPV zależy od prawidłowego wyboru wartości stopy r. Może się zdarzyć, że jedna inwestycja ma większe NPV od drugiej przy niektórych stopach procentowych, a przy innych ta druga ma większe NPV od pierwszej. Ponadto NPV jest miernikiem addytywnym (tj. NPV sumy dwu inwestycji jest sumą NPV tych inwestycji), więc NPV zmienia wartość w zależności od skali inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 14 / 57

Wartość bieżąca netto - problemy Wartość bieżąca netto sama w sobie jest dalekim od ideału miernikiem opłacalności inwestycji. Przede wszystkim wartość NPV zależy od przyjętej stopy procentowej, której zazwyczaj nie mamy danej z góry. Dlatego trafność oceny inwestycji na podstawie NPV zależy od prawidłowego wyboru wartości stopy r. Może się zdarzyć, że jedna inwestycja ma większe NPV od drugiej przy niektórych stopach procentowych, a przy innych ta druga ma większe NPV od pierwszej. Ponadto NPV jest miernikiem addytywnym (tj. NPV sumy dwu inwestycji jest sumą NPV tych inwestycji), więc NPV zmienia wartość w zależności od skali inwestycji. Innymi słowy, maksymalizowanie NPV nie jest zazwyczaj dobrą strategią wyboru inwestycji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 14 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 15 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? Łatwo zauważyć, że zarówno inwestycja A jak i inwestycja B dają po prostu zwrot 10% rocznie, więc są równie opłacalnymi inwestycjami. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 15 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? Łatwo zauważyć, że zarówno inwestycja A jak i inwestycja B dają po prostu zwrot 10% rocznie, więc są równie opłacalnymi inwestycjami. Istotnie NPV A (10%) = NPV B (10%) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 15 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? Łatwo zauważyć, że zarówno inwestycja A jak i inwestycja B dają po prostu zwrot 10% rocznie, więc są równie opłacalnymi inwestycjami. Istotnie NPV A (10%) = NPV B (10%) = 0. Ale, czy ta równa opłacalność byłaby równie łatwa do wykrycia, gdybyśmy nie znali z góry stopy zwrotu? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 15 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 16 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? NPV A (5%) = 100 + 110(1, 05) 1 = 4, 7619. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 16 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? NPV A (5%) = 100 + 110(1, 05) 1 = 4, 7619. NPV B (5%) = 300 + 330(1, 05) 1 = 14, 2857. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 16 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? NPV A (5%) = 100 + 110(1, 05) 1 = 4, 7619. NPV B (5%) = 300 + 330(1, 05) 1 = 14, 2857. Zatem NPV A (5%) < NPV B (5%), więc dla tej stopy NPV wskazuje inwestycję B jako bardziej opłacalną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 16 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 17 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? NPV A (20%) = 100 + 110(1, 2) 1 = 8, 3333. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 17 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? NPV A (20%) = 100 + 110(1, 2) 1 = 8, 3333. NPV B (20%) = 300 + 330(1, 2) 1 = 25. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 17 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? NPV A (20%) = 100 + 110(1, 2) 1 = 8, 3333. NPV B (20%) = 300 + 330(1, 2) 1 = 25. Zatem NPV A (20%) > NPV B (20%), więc dla tej stopy NPV wskazuje inwestycję A jako bardziej opłacalną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 17 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 18 / 57

Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? Generalnie łatwo zauważyć, że inwestycja B to jest 3-krotnie przeskalowana inwestycja A, więc też dla każdego r: NPV B (r) = 300+330(1+r) 1 = 3( 100+110(1+r) 1 ) = 3NPV A (r). Dlatego NPV A (r) ma większą wartość dla r > 10%, a NPV B (r) ma większą wartość dla r < 10%. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 18 / 57

Problemy z NPV - podsumowanie Podsumowując, dzięki NPV można porównać daną inwestycję z inną, dla której mamy znaną stopę zwrotu - i interesuje nas tylko, czy wynik jest dodatni, czy ujemny, a nie jego konkretna wartość. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 19 / 57

Problemy z NPV - podsumowanie Podsumowując, dzięki NPV można porównać daną inwestycję z inną, dla której mamy znaną stopę zwrotu - i interesuje nas tylko, czy wynik jest dodatni, czy ujemny, a nie jego konkretna wartość. To, że jedna inwestycja dla pewnego poziomu r ma większe NPV niż druga, nie oznacza automatycznie, że jest bardziej opłacalna. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 19 / 57

Problemy z NPV - podsumowanie Podsumowując, dzięki NPV można porównać daną inwestycję z inną, dla której mamy znaną stopę zwrotu - i interesuje nas tylko, czy wynik jest dodatni, czy ujemny, a nie jego konkretna wartość. To, że jedna inwestycja dla pewnego poziomu r ma większe NPV niż druga, nie oznacza automatycznie, że jest bardziej opłacalna. W szczególności, jeśli inwestycja B różni się od inwestycji tylko skalą tj. jeśli wszystkie płatności inwestycji B są w tych samych momentach czasowych i są k-krotnie większe od odpowiednich płatności inwestycji A, to dla każdej stopy r NPV B (r) = k NPV A (r). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 19 / 57

Problemy z NPV - podsumowanie Podsumowując, dzięki NPV można porównać daną inwestycję z inną, dla której mamy znaną stopę zwrotu - i interesuje nas tylko, czy wynik jest dodatni, czy ujemny, a nie jego konkretna wartość. To, że jedna inwestycja dla pewnego poziomu r ma większe NPV niż druga, nie oznacza automatycznie, że jest bardziej opłacalna. W szczególności, jeśli inwestycja B różni się od inwestycji tylko skalą tj. jeśli wszystkie płatności inwestycji B są w tych samych momentach czasowych i są k-krotnie większe od odpowiednich płatności inwestycji A, to dla każdej stopy r NPV B (r) = k NPV A (r). Dlatego NPV nie do końca nadaje się do porównywania dwóch dowolnych inwestycji. Trafność wyceny za pomocą wartości bieżącej netto zależy od odpowiedniego wyboru wartości r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 19 / 57

NPV - wykres Wygodnym podejściem jest badanie NPV jako funkcji r - w szczególności narysowanie jej wykresu - w oparciu o fakt, że jest to funkcja ciągła i różniczkowalna o dziedzinie ( 1, + ). Na przykład dla inwestycji rozważanej w pierwszym przykładzie tej prezentacji ((C i ) = ( 800, 200, 500, 600, 550), (t i ) = (0, 1, 3, 4, 5)) wykres wygląda następująco (na osi pionowej jednostka to 1000 jp): Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 20 / 57

NPV - twierdzenie Trudno podać ogólne twierdzenia o własnościach funkcji NPV (r) w dowolnej sytuacji, ale w bardzo ważnym przypadku wielu informacji dostarcza nam poniższe twierdzenie: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 21 / 57

NPV - twierdzenie Trudno podać ogólne twierdzenia o własnościach funkcji NPV (r) w dowolnej sytuacji, ale w bardzo ważnym przypadku wielu informacji dostarcza nam poniższe twierdzenie: Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 21 / 57

NPV - twierdzenie Trudno podać ogólne twierdzenia o własnościach funkcji NPV (r) w dowolnej sytuacji, ale w bardzo ważnym przypadku wielu informacji dostarcza nam poniższe twierdzenie: Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Innymi słowy, NPV inwestycji o pojedynczym nakładzie maleje (ale coraz wolniej) wraz ze wzrostem r. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 21 / 57

NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57

NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j tej funkcji jest ( 1, + ). i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57

NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną tej funkcji jest ( 1, + ). Jako, że C 0 jest stałą, (C 0 ) = (C 0 ) = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57

NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną tej funkcji jest ( 1, + ). Jako, że C 0 jest stałą, (C 0 ) = (C 0 ) = 0. Dla j > 0: (C j (1 + r) t j ) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57

NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną tej funkcji jest ( 1, + ). Jako, że C 0 jest stałą, (C 0 ) = (C 0 ) = 0. Dla j > 0: (C j (1 + r) t j ) = t j C j (1 + r) t j 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57

NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną tej funkcji jest ( 1, + ). Jako, że C 0 jest stałą, (C 0 ) = (C 0 ) = 0. Dla j > 0: (C j (1 + r) t j ) = t j C j (1 + r) t j 1 < 0 oraz: (C j (1 + r) t j ) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57

NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną tej funkcji jest ( 1, + ). Jako, że C 0 jest stałą, (C 0 ) = (C 0 ) = 0. Dla j > 0: (C j (1 + r) t j ) = t j C j (1 + r) t j 1 < 0 oraz: (C j (1 + r) t j ) = t j (t j + 1)C j (1 + r) t j 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57

NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną tej funkcji jest ( 1, + ). Jako, że C 0 jest stałą, (C 0 ) = (C 0 ) = 0. Dla j > 0: (C j (1 + r) t j ) = t j C j (1 + r) t j 1 < 0 oraz: (C j (1 + r) t j ) = t j (t j + 1)C j (1 + r) t j 2 > 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57

NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 zachodzi (C j (1 + r) t j ) < 0 i (C j (1 + r) t j ) > 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 23 / 57

NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 zachodzi (C j (1 + r) t j ) < 0 i (C j (1 + r) t j ) > 0, stąd NPV A jest skończoną sumą funkcji malejących i wypukłych w całej dziedzinie oraz funkcji stałej C 0, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 23 / 57

NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 zachodzi (C j (1 + r) t j ) < 0 i (C j (1 + r) t j ) > 0, stąd NPV A jest skończoną sumą funkcji malejących i wypukłych w całej dziedzinie oraz funkcji stałej C 0, więc jest malejąca i wypukła. QED rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 23 / 57

NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 zachodzi (C j (1 + r) t j ) < 0 i (C j (1 + r) t j ) > 0, stąd NPV A jest skończoną sumą funkcji malejących i wypukłych w całej dziedzinie oraz funkcji stałej C 0, więc jest malejąca i wypukła. QED W szczególności, konsekwencją tego twierdzenia jest fakt, że NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie ma co najwyżej jedno miejsce zerowe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 23 / 57

NPV - kontrprzykład Założenie o pojedynczym nakładzie w ostatnim twierdzeniu jest istotne, bo dla dowolnych inwestycji NPV nie musi być malejąca i wypukła. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 24 / 57

NPV - kontrprzykład Założenie o pojedynczym nakładzie w ostatnim twierdzeniu jest istotne, bo dla dowolnych inwestycji NPV nie musi być malejąca i wypukła. Przykład Rozważmy inwestycję, która wymaga wkładu 100 jp dziś oraz 431 jp za dwa lata i w zamian przynosi dochody 360 jp za rok i 171, 6 jp za 3 lata. Narysować wykres NPV (r) dla tej inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 24 / 57

NPV - kontrprzykład Założenie o pojedynczym nakładzie w ostatnim twierdzeniu jest istotne, bo dla dowolnych inwestycji NPV nie musi być malejąca i wypukła. Przykład Rozważmy inwestycję, która wymaga wkładu 100 jp dziś oraz 431 jp za dwa lata i w zamian przynosi dochody 360 jp za rok i 171, 6 jp za 3 lata. Narysować wykres NPV (r) dla tej inwestycji. Inwestycja ta nie jest inwestycją o pojedynczym nakładzie. Dla tej inwestycji NPV (r) = 100 + 360(1 + r) 1 431(1 + r) 2 + 171, 6(1 + r) 3. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 24 / 57

NPV - kontrprzykład NPV (r) = 100 + 360(1 + r) 1 431(1 + r) 2 + 171, 6(1 + r) 3. Wykres wygląda następująco: Jak widać, ta funkcja nie jest stale malejąca ani stale wypukła (i ma 3 miejsca zerowe, co będzie istotne później). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 25 / 57

IRR - wstęp Najbardziej typowym miernikiem oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu, zwana w literaturze wewnętrzną stopą zwrotu (IRR - internal rate of return). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 26 / 57

IRR - wstęp Najbardziej typowym miernikiem oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu, zwana w literaturze wewnętrzną stopą zwrotu (IRR - internal rate of return). Jeśli porządnie ją zdefiniujemy dla dowolnych inwestycji, będziemy mogli je porównywać między sobą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 26 / 57

IRR - wstęp Najbardziej typowym miernikiem oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu, zwana w literaturze wewnętrzną stopą zwrotu (IRR - internal rate of return). Jeśli porządnie ją zdefiniujemy dla dowolnych inwestycji, będziemy mogli je porównywać między sobą. Ceteris paribus, inwestycja o wyższej stopie zwrotu będzie uważana za bardziej opłacalną. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 26 / 57

IRR - wstęp Najbardziej typowym miernikiem oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu, zwana w literaturze wewnętrzną stopą zwrotu (IRR - internal rate of return). Jeśli porządnie ją zdefiniujemy dla dowolnych inwestycji, będziemy mogli je porównywać między sobą. Ceteris paribus, inwestycja o wyższej stopie zwrotu będzie uważana za bardziej opłacalną. Dla lokat, wewnętrzną stopę zwrotu stanowi stopa efektywna o typowym okresie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 26 / 57

IRR - wstęp Najbardziej typowym miernikiem oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu, zwana w literaturze wewnętrzną stopą zwrotu (IRR - internal rate of return). Jeśli porządnie ją zdefiniujemy dla dowolnych inwestycji, będziemy mogli je porównywać między sobą. Ceteris paribus, inwestycja o wyższej stopie zwrotu będzie uważana za bardziej opłacalną. Dla lokat, wewnętrzną stopę zwrotu stanowi stopa efektywna o typowym okresie. Można więc powiedzieć, że IRR jest taką stopą oprocentowania lokaty, przy której rozważana inwestycja jest równie opłacalna co ta lokata. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 26 / 57

IRR - założenia Stosowanie IRR jako miary opłacalności jest bezwzględnie słuszne tylko w sytuacji, gdy możemy reinwestować zyski w ten sam sposób. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 27 / 57

IRR - założenia Stosowanie IRR jako miary opłacalności jest bezwzględnie słuszne tylko w sytuacji, gdy możemy reinwestować zyski w ten sam sposób. Matematycy finansowi zajmują się między innymi ulepszaniem jej definicji by działała w bardziej skomplikowanych wypadkach - my jednak w ramach tego kursu rozważamy zazwyczaj tylko ten najprostszy przypadek (wrócimy do tego przy okazji strumieni płatności i dyskusji o kapitalizacji złożonej i mieszanej). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 27 / 57

IRR - założenia Stosowanie IRR jako miary opłacalności jest bezwzględnie słuszne tylko w sytuacji, gdy możemy reinwestować zyski w ten sam sposób. Matematycy finansowi zajmują się między innymi ulepszaniem jej definicji by działała w bardziej skomplikowanych wypadkach - my jednak w ramach tego kursu rozważamy zazwyczaj tylko ten najprostszy przypadek (wrócimy do tego przy okazji strumieni płatności i dyskusji o kapitalizacji złożonej i mieszanej). Przypominam, że wewnętrzna stopa zwrotu inwestycji jest zawsze stopą zgodną. Jeśli nie ma podanych innych informacji to OS = OK = 1. Przejście na inny okres stopy zwrotu wymaga użycia wzoru na stopę efektywną (bo wymaga zmiany okresu kapitalizacji). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 27 / 57

IRR - definicja Rozważamy inwestycję o takich samych oznaczeniach jak w przypadku definicji NPV. W szczególności OS = OK = 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 28 / 57

IRR - definicja Rozważamy inwestycję o takich samych oznaczeniach jak w przypadku definicji NPV. W szczególności OS = OK = 1. Wewnętrzna stopa zwrotu Wewnętrzną stopą zwrotu (IRR) danej inwestycji o zadanym okresie, nazywamy taką stopę r dla której wartość bieżąca netto tej inwestycji NPV (r ) = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 28 / 57

IRR - definicja Rozważamy inwestycję o takich samych oznaczeniach jak w przypadku definicji NPV. W szczególności OS = OK = 1. Wewnętrzna stopa zwrotu Wewnętrzną stopą zwrotu (IRR) danej inwestycji o zadanym okresie, nazywamy taką stopę r dla której wartość bieżąca netto tej inwestycji NPV (r ) = 0. Jak zwykle w wypadku matematycznych definicji, zastanowimy się nad istnieniem i jednoznacznością definiowanego obiektu. Jednak zaczniemy od przykładu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 28 / 57

IRR - przykład Zadanie Inwestycja wymaga nakładu 100 jp dziś i gwarantuje dochody 50 jp za rok oraz 62, 64 jp za dwa lata. Ile wynosi IRR dla tej inwestycji? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 29 / 57

IRR - przykład Zadanie Inwestycja wymaga nakładu 100 jp dziś i gwarantuje dochody 50 jp za rok oraz 62, 64 jp za dwa lata. Ile wynosi IRR dla tej inwestycji? Zaczniemy od wyznaczenia wzoru NPV (r) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 29 / 57

IRR - przykład Zadanie Inwestycja wymaga nakładu 100 jp dziś i gwarantuje dochody 50 jp za rok oraz 62, 64 jp za dwa lata. Ile wynosi IRR dla tej inwestycji? Zaczniemy od wyznaczenia wzoru NPV (r) = 100 + 50(1 + r) 1 + 62, 64(1 + r) 2 dla tej inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 29 / 57

IRR - przykład Zadanie Inwestycja wymaga nakładu 100 jp dziś i gwarantuje dochody 50 jp za rok oraz 62, 64 jp za dwa lata. Ile wynosi IRR dla tej inwestycji? Zaczniemy od wyznaczenia wzoru NPV (r) = 100 + 50(1 + r) 1 + 62, 64(1 + r) 2 dla tej inwestycji. Mamy znaleźć r takie, że NPV (r ) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 29 / 57

IRR - przykład Zadanie Inwestycja wymaga nakładu 100 jp dziś i gwarantuje dochody 50 jp za rok oraz 62, 64 jp za dwa lata. Ile wynosi IRR dla tej inwestycji? Zaczniemy od wyznaczenia wzoru NPV (r) = 100 + 50(1 + r) 1 + 62, 64(1 + r) 2 dla tej inwestycji. Mamy znaleźć r takie, że NPV (r ) = 0. Po podstawieniu (dla ułatwienia obliczeń) x = (1 + r ) 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 29 / 57

IRR - przykład Zadanie Inwestycja wymaga nakładu 100 jp dziś i gwarantuje dochody 50 jp za rok oraz 62, 64 jp za dwa lata. Ile wynosi IRR dla tej inwestycji? Zaczniemy od wyznaczenia wzoru NPV (r) = 100 + 50(1 + r) 1 + 62, 64(1 + r) 2 dla tej inwestycji. Mamy znaleźć r takie, że NPV (r ) = 0. Po podstawieniu (dla ułatwienia obliczeń) x = (1 + r ) 1 otrzymujemy równanie kwadratowe: 100 + 50x + 62, 64x 2 = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 29 / 57

IRR - przykład 100 + 50x + 62, 64x 2 = 0. Równanie to rozwiązujemy metodami znanymi ze szkoły, otrzymując pierwiastki: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 30 / 57

IRR - przykład 100 + 50x + 62, 64x 2 = 0. Równanie to rozwiązujemy metodami znanymi ze szkoły, otrzymując pierwiastki: x 1 = 1, 7241; x 2 = 0, 9259. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 30 / 57

IRR - przykład 100 + 50x + 62, 64x 2 = 0. Równanie to rozwiązujemy metodami znanymi ze szkoły, otrzymując pierwiastki: x 1 = 1, 7241; x 2 = 0, 9259. Jako, że x = (1 + r ) 1 i r > 1, to musi być x > 0, więc pierwszy z pierwiastków możemy odrzucić. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 30 / 57

IRR - przykład 100 + 50x + 62, 64x 2 = 0. Równanie to rozwiązujemy metodami znanymi ze szkoły, otrzymując pierwiastki: x 1 = 1, 7241; x 2 = 0, 9259. Jako, że x = (1 + r ) 1 i r > 1, to musi być x > 0, więc pierwszy z pierwiastków możemy odrzucić. Ostatecznie: (1 + r ) 1 = 0, 9259 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 30 / 57

IRR - przykład 100 + 50x + 62, 64x 2 = 0. Równanie to rozwiązujemy metodami znanymi ze szkoły, otrzymując pierwiastki: x 1 = 1, 7241; x 2 = 0, 9259. Jako, że x = (1 + r ) 1 i r > 1, to musi być x > 0, więc pierwszy z pierwiastków możemy odrzucić. Ostatecznie: (1 + r ) 1 = 0, 9259 r = 0, 08. Czyli IRR danej inwestycji wynosi 8% rocznie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 30 / 57

IRR - niezależność od skali Warto w tym miejscu podkreślić, że IRR, w przeciwieństwie do NPV, nie jest wrażliwa na zmianę skali inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 31 / 57

IRR - niezależność od skali Warto w tym miejscu podkreślić, że IRR, w przeciwieństwie do NPV, nie jest wrażliwa na zmianę skali inwestycji. Wynika to z faktu, że po przemnożeniu przez dowolną dodatnią liczbę, NPV zmienia wartości we wszystkich punktach poza miejscami zerowymi, które są jedynymi punktami istotnymi dla wyznaczenia IRR. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 31 / 57

IRR - niezależność od skali Warto w tym miejscu podkreślić, że IRR, w przeciwieństwie do NPV, nie jest wrażliwa na zmianę skali inwestycji. Wynika to z faktu, że po przemnożeniu przez dowolną dodatnią liczbę, NPV zmienia wartości we wszystkich punktach poza miejscami zerowymi, które są jedynymi punktami istotnymi dla wyznaczenia IRR. Dlatego IRR jest lepszym narzędziem oceny inwestycji niż NPV. Jednakże, również IRR ma swoje problemy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 31 / 57

IRR - potencjalne problemy Jak widzieliśmy na przykładzie, wyznaczenie IRR wymaga rozwiązania równania wielomianowego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 32 / 57

IRR - potencjalne problemy Jak widzieliśmy na przykładzie, wyznaczenie IRR wymaga rozwiązania równania wielomianowego. Od razu nasza wiedza o takich zagadnieniach wskazuje 3 możliwe źródła kłopotów: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 32 / 57

IRR - potencjalne problemy Jak widzieliśmy na przykładzie, wyznaczenie IRR wymaga rozwiązania równania wielomianowego. Od razu nasza wiedza o takich zagadnieniach wskazuje 3 możliwe źródła kłopotów: Równanie wielomianowe może nie posiadać rozwiązań rzeczywistych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 32 / 57

IRR - potencjalne problemy Jak widzieliśmy na przykładzie, wyznaczenie IRR wymaga rozwiązania równania wielomianowego. Od razu nasza wiedza o takich zagadnieniach wskazuje 3 możliwe źródła kłopotów: Równanie wielomianowe może nie posiadać rozwiązań rzeczywistych. Równanie wielomianowe może posiadać wiele rozwiązań należących do dziedziny równania. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 32 / 57

IRR - potencjalne problemy Jak widzieliśmy na przykładzie, wyznaczenie IRR wymaga rozwiązania równania wielomianowego. Od razu nasza wiedza o takich zagadnieniach wskazuje 3 możliwe źródła kłopotów: Równanie wielomianowe może nie posiadać rozwiązań rzeczywistych. Równanie wielomianowe może posiadać wiele rozwiązań należących do dziedziny równania. Dotychczasowe kursy nie dały Państwu narzędzi do dokładnego rozwiązywania równań wielomianowych stopnia większego niż 2 (a dla stopnia większego niż 4 nawet takie algorytmy nie istnieją). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 32 / 57

IRR - przykład nieistnienia Zadanie Inwestycja wymaga nakładów 10 jp dziś i 10 jp za 2 lata i gwarantuje dochody 15 jp za rok. Ile wynosi IRR tej inwestycji? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 33 / 57

IRR - przykład nieistnienia Zadanie Inwestycja wymaga nakładów 10 jp dziś i 10 jp za 2 lata i gwarantuje dochody 15 jp za rok. Ile wynosi IRR tej inwestycji? Jak w poprzednim przykładzie, wypisujemy NPV (r), porównujemy NPV (r ) = 0 i podstawiamy x = (1 + r ) 1, otrzymując równanie: 10 + 15x 10x 2 = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 33 / 57

IRR - przykład nieistnienia Zadanie Inwestycja wymaga nakładów 10 jp dziś i 10 jp za 2 lata i gwarantuje dochody 15 jp za rok. Ile wynosi IRR tej inwestycji? Jak w poprzednim przykładzie, wypisujemy NPV (r), porównujemy NPV (r ) = 0 i podstawiamy x = (1 + r ) 1, otrzymując równanie: 10 + 15x 10x 2 = 0. Dla tego równania = 225 400 < 0, więc nie ma ono rozwiązań rzeczywistych. Zatem IRR nie istnieje. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 33 / 57