Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013

Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a) euklidesową, b) rzeczną, c) kolejową, d) motylków Niemyckiego, e) Zariskiego, f) produktu kartezjańskiego prawych strzałek i g) produktu kartezjańskiego prostych z topologią Zariskiego, a prosta w topologię przedziałów, euklidesową, strzałek lub Zariskiego. Jak w wiemy z wykładu, aby zbadać ciągłość funkcji z płaszczyzny na prostą wystarczy sprawdzić czy przeciwobrazy zbiorów bazowych topologii na prostej są zbiorami otwartymi na płaszczyźnie wyposażonej w jedną w wymienionych wyżej topologii. Będziemy rozważać następujące zbiory bazowe: 1. W topologii lewych przedziałów zbiory (, x), gdzie x jest liczbą wymierną 2. W topologii prawych przedziałów zbiory (x, ), gdzie x jest liczbą wymierną 3. W topologii euklidesowej odcinki otwarte o końcach wymiernych (a, b) 4. W topologii lewej strzałki odcinki (a, b] 5. W topologii prawej strzałki odcinki [a, b) Przyjrzyjmy się jak wyglądają przeciwobrazy powyższych zbiorów bazowych. Dla topologii lewych przedziałów mamy: 1. zbiór pusty dla dla x 0 2. dla x > 0 (rys.1) 1

3. gdy a 0: (rys.4) 2 Dla topologii prawych przedziałów: 1. cała przestrzeń dla x 0 2. dla x > 0 (rys.2) Dla topologii euklidesowej 1. gdy a < 0 i b 0 mamy zbiór pusty 2. gdy a < 0 i b > 0: (rys.3)

Dla topologii lewej strzałki mamy: 1. gdy a < 0 i b < 0 mamy zbiór pusty 2. gdy a < 0 i b = 0 punkt (0, 0) 3. gdy a < 0 i b > 0: (rys.5) 4. gdy a 0 i b > 0 mamy: (rys.6) 3

Wreszcie dla topologii Zariskiego zbiory otwarte są postaci: cała przetrzeń bez skończonej liczby punktów. Przeciwobrazem takiego zbioru otwartego jest cała przestrzeń z wyrzuconą skończoną liczbą okregów: (rys.9) 4 Dla topologii prawej strzałki mamy: 1. gdy a < 0 i b < 0 mamy zbiór pusty 2. gdy a 0 i b > 0: (rys.7) 3. gdy a > 0 i b > 0 mamy: (rys.8)

Będziemy teraz kolejno rozważać czy przeciwobrazy zbiorów prostej, wyposażonej kolejno w topologię przedziałów, euklidesową, strzałek i Zariskiego, są otwarte na płaszczyźnie wyposażonej w kolejne topologie od a) do g). topologia euklidesowa Przeciwobrazy zbiorów bazowych topologii euklidesowej to odpowiednio: zbiór pusty, kula otwarta (rys.3) i pierścień (rys4); 2 pierwsze zbiory są oczywiście otwarte w topologii euklidesowej. Zauważmy, że zbiorem otwartym jest także pierścień; dla każdego punktu możemy wziąć kulę należącą do tego zbioru o promieniu r 4, gdzie r jest odległością danego punktu od najbliższego brzegu zbioru. Stąd mamy, że pierścień także jest otwarty w topologii euklidesowej, czyli dla prostej wyposażonej w topologię euklidesową, f jest ciągła. Ponieważ, jak wiemy z ćwiczeń, topologia Zariskiego, lewych i prawych przedziałów zawiera się w topologii euklidesowej, więc z ciągłości funkcji dla topologii euklidesowej wynika ciągłość funkcji dla tych 3 topologii. Pozostały nam przypadki lewej i prawej strzałki. W obu tych przypadkach f nie jest ciągła. Rozważmy przeciwobraz zbioru (a, b] w topologii lewej strzałki i zbioru [a, b) w topologii prawej strzałki dla a, b > 0. Weźmy punkt leżący na większym okręgu ograniczającym pierścień, będący przeciwobrazem, w przypadku lewej strzałki (Rys.6) i punkt leżacy na mniejszym okręgu ograniczającym pierścień w przypadku prawej strzałki (rys.4). W obu przypadkach nie istnieje zbiór otwarty zawierający się w pierścieniu i zawierający dany punkt. Każdy zbiór otwarty zawierający dany punkt ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu. Pierścienie nie są więc otwarte w topologii euklidesowej, co implikuje, że f nie jest ciągła. topologia rzeczna Topologia euklidesowa na płaszczyźnie zawiera się w topologii rzecznej. Wykażemy ten fakt w drugiej części naszej pracy. Z tego wynika, że zbiory otwarte w topologii euklidesowej są również otwarte w topologii rzecznej. A stąd już mamy, że dla topologii przedziałów, euklidesowej i Zariskiego na prostej z ciągłości funkcji f w topologii euklidesowej na płaszczyźnie wynika ciągłość f w topologii rzecznej. Pozostały nam przypadki lewej i prawej strzałki. W obu tych przypadkach f nie jest ciągła. Rozważmy przeciwobraz zbioru (a, b] w topologii lewej strzałki i zbioru [a, b) w topologii prawej strzałki dla a, b > 0. Weźmy punkt leżący na większym okręgu ograniczającym pierścień, będący przeciwobrazem, w przypadku lewej strzałki (Rys.6) i punkt leżacy na mniejszym okręgu ograniczającym pierścień w przypadku prawej strzałki (rys.4). W obu przypadkach nie istnieje zbiór otwarty zawierający się w pierścieniu i zawierający dany punkt. Każdy zbiór otwarty zawierający dany punkt ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu. Pierścienie nie są więc otwarte w topologii rzecznej, co implikuje, że f nie jest ciągła. topologia kolejowa Topologia euklidesowa na płaszczyźnie zawiera się w topologii kolejowej. Wykażemy ten fakt w drugiej części naszej pracy. Z tego wynika, że zbiory otwarte w topologii euklidesowej są również otwarte w topologii kolejowej. A stąd już mamy, że dla topologii przedziałów, euklidesowej i Zariskiego na prostej z ciągłości funkcji f w topologii euklidesowej na płaszczyźnie wynika ciągłość f w topologii kolejowej. Pozostały nam przypadki lewej i prawej strzałki. W obu tych przypadkach f nie jest ciągła. Rozważmy przeciwobraz zbioru (a, b] w topologii lewej strzałki i zbioru [a, b) w topologii prawej strzałki dla a, b > 0. Weźmy punkt leżący na większym okręgu ograniczającym pierścień, będący przeciwobrazem, 5

w przypadku lewej strzałki (Rys.6) i punkt leżacy na mniejszym okręgu ograniczającym pierścień w przypadku prawej strzałki (rys.4). W obu przypadkach nie istnieje zbiór otwarty zawierający się w pierścieniu i zawierający dany punkt. Każdy zbiór otwarty zawierający dany punkt ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu. Pierścienie nie są więc otwarte w topologii kolejowej, co implikuje, że f nie jest ciągła. topologia motylków Niemyckiego Topologia motylków Niemyckiego na płaszczyźnie zawiera topologię euklidesową na płaszczyźnie. Wykażemy ten fakt w drugiej części naszej pracy. Korzystając z przypadku topologii euklidesowej mamy od razu ciągłość f, gdy prosta wyposażona jest w topologię euklidesową, Zariskiego oraz przedziałów. Pozostały nam przypadki lewej i prawej strzałki. W obu tych przypadkach f nie jest ciągła. Rozważmy przeciwobraz zbioru (a, b] w topologii lewej strzałki i zbioru [a, b) w topologii prawej strzałki dla a, b > 0. Weźmy punkt leżący na większym okręgu ograniczającym pierścień, będący przeciwobrazem, w przypadku lewej strzałki (Rys.6) i punkt leżacy na mniejszym okręgu ograniczającym pierścień w przypadku prawej strzałki (rys.4). W obu przypadkach nie istnieje zbiór otwarty zawierający się w pierścieniu i zawierający dany punkt. Każdy zbiór otwarty zawierający dany punkt ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu. Pierścienie nie są więc otwarte w topologii motylków Niemyckiego, co implikuje, że f nie jest ciągła. topologia Zariskiego W topologii Zariskiego f nie jest ciągła w żadnym przypadku. Dla prostej wyposażonej w kolejne topologie zawsze możemy znaleźć przeciwobraz zbioru otwartego zawierający nieskończenie wiele punktów, więc nie jest to zbiór otwarty w topologii Zariskiego. topologia produktu kartezjańskiego prawych strzałek Topologia produktu kartezjańskiego prawych strzałek zawiera topologię euklidesową na płaszczyźnie. Wykażemy ten fakt w drugiej części naszej pracy. Korzystając z tego przypadku mamy od razu ciągłość f, gdy prosta wyposażona jest w topologię euklidesową, Zariskiego oraz przedziałów. Pozostały nam przypadki lewej i prawej strzałki. W obu tych przypadkach f nie jest ciągła. Rozważmy przeciwobraz zbioru (a, b] w topologii lewej strzałki i zbioru [a, b) w topologii prawej strzałki dla a, b > 0. Weźmy punkt leżący w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych na większym okręgu ograniczającym pierścień, będący przeciwobrazem, w przypadku lewej strzałki (rys.6) i punkt leżacy w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych na mniejszym okręgu ograniczającym pierścień w przypadku prawej strzałki (Rys.8). W obu przypadkach nie istnieje zbiór otwarty zawierający się w pierścieniu i zawierający dany punkt. Każdy zbiór otwarty zawierający dany punkt ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu. Pierścienie nie są więc otwarte w topologii produktu kartezjańskiego prawych strzałek, co implikuje, że f nie jest ciągła. topologia produktu kartezjańskiego prostych z topologią Zariskiego Dla topologii produktu kartezjańskiego f nie jest ciągła w żadnym przypadku. Dopełnienia rzutów przeciwobrazów zbiorów otwartych są nieskończone, więc przeciwobrazy zbiorów otwartych nie są otwarte w topologii Zariskiego. 6

Podsumujmy nasze wyniki w tabeli. W tabeli znak + oznacza ciągłość, znak oznacza, że f nie jest ciągła. topologie prostej\topologia przestrzeni a) b) c) d) e) f) g) topologia lewych przedziałów + + + + - + - topologia prawych przedziałów + + + + - + - topologia euklidesowa + + + + - + - topologia lewej strzałki - - - - - - - topologia prawej strzałki - - - - - - - topologia Zariskiego + + + + - + - W drugiej części naszej pracy zajmiemy się badaniem ciągłości funkcji g(x, y) = (x + y, x y). Łatwo wykazać, że funkcja g(x, y) jest bijekcją, a więc istnieje funkcja odwrotna, mająca wzór g 1 (x, y) = ( x+y 2, x y 2 ). Możemy ją zapisać jako g 1 x cos α y sin α (x, y) = ( x sin α+y cos α 2, ( 2 )), gdzie α = 315. Czyli funkcja g 1 (x, y) jest złożeniem obrotu o kąt 315 wokół punktu (0, 0), przemnożenia obu współrzędnych przez 1 2 oraz symetrii osiowej względem osi OX. Na wstępie badania ciągłości, pokażemy wzajemne zawieranie się niektórych topologii na płaszczyźnie. 1. Topologia euklidesowa Topologia Niemyckiego Wynika to z definicji topologii Niemyckiego, która generowana jest przez zbiory bazowe z topologii euklidesowej oraz zbiory postaci dwóch kół otwartych, stycznych w punkcie na osi OX. 2. Topologia euklidesowa Topologia Rzeczna Zbadajmy zbiory bazowe topologii euklidesowej postaci, jak na rysunku poniżej i sprawdźmy czy są otwarte w topologii rzecznej. Jeżeli tak, to wszystkie zbiory otwarte w topologii euklidesowej są zawarte w topologii rzecznej. Niech zbiór U będzie kołem otwartym w topologii euklidesowej, niezawierającym punktów (x, 0). 7

Dla każdego punktu x, możemy wybrać odcinek postaci {a} { ɛ 2, ɛ 2 }, gdzie a jest pierwszą współrzędna rozważanego punktu, a ɛ jest najmniejszą odległością wybranego punktu od brzegu koła. Wybrany odcinek jest otwarty w topologii rzecznej. Wtedy x {a} { ɛ 2, ɛ 2 } U. W przypadku kiedy wybrane koło zawiera punkt (x, 0) możemy dobrać taki prostokąt symetryczny względem osi OX, zawierający punkt (x, 0), który jest otwarty w topologii rzecznej i jest jednocześnie zawarty w okręgu otwartym w topologii euklidesowej, np. dla punktu (a, 0), którego najmniejsza odległość od brzegu koła wynosi ɛ weźmy kwadrat otwarty o wierzchołkach w punktach (a ɛ 2, ɛ 2 2 ɛ ), (a + 2 2, ɛ 2 2 ɛ ), (a 2 2, ɛ 2 2 ), 2 (a+ ɛ 2, ɛ 2 2 ). Kwadrat ten jest otwarty w topologi rzecznej oraz zawiera się w zbiorze U, co pokazuje 2 poniższy rysunek: Z tego wniosek, że dla każdego punktu ze zbioru U wybraliśmy zbiór otwarty w topologii rzecznej, zawierający ten punkt i zawierający się w zbiorze U. Czyli koła otwarte, będące bazą topologii euklidesowej są otwarte w topologii rzecznej, czyli zbiory otwarte w topologii euklidesowej są otwarte w topologii rzecznej. 3. Topologia euklidesowa Topologia kolejowa Jak poprzednio badamy zbiory bazowe z topologii euklidesowej U będące kołami otwartymi. Jeżeli punkt (0, 0) nie należy do zbioru U to dla każdego punktu, którego najmniejsza odległość od brzegu zbioru U wynosi ɛ weźmy zbiór I(v, ɛ 2 ), gdzie v = (x). Zbiór I(v, ɛ 2 ) jest oczywiście otwarty w topologi kolejowej, zawiera punkt x i jest zawarty w zbiorze U. Jeżeli zbiór U zawiera punkt (0, 0) i najmniejsza odległość wynosi ɛ to weźmy kwadrat otwarty K o wierzchołkach ( ɛ 2, ɛ 2 2 ), ( ɛ 2 2, ɛ 2 2 ), ( ɛ 2 2, ɛ 2 2 ), 2 ( ɛ 2, ɛ 2 2 ), co przedstawia rysunek: 2 8

Oczywiście zbiór K jest otwarty w topologi kolejowej, zawiera punkt (0, 0) i jest zawarty w zbiorze U. Czyli dla każdego punktu ze zbioru U możemy znaleźć zbiór otwarty w topologii kolejowej, zawierający ten punkt i zawierający się w zbiorze U, czyli zbiór U jest otwarty w topologii kolejowej. Stąd, że zbiór U jest bazowy w topologii euklidesowej, wynika, że każdy zbiór otwarty w topologii euklidesowej jest otwarty w topologii kolejowej. 4. Topologia euklidesowa Topologia produktu kartezjańskiego prawych strzałek Topologia euklidesowa na płaszczyźnie jest topologią produktową prostych R z topologią euklidesową na prostej. Wiemy, że topologia euklidesowa na prostej zawiera się w topologii prawych strzałek na prostej. Z tego wynika, że topologia euklidesowa na płaszczyźnie zawiera się w topologii produktowej prawych strzałek. 5. Topologia Zariskiego Topologia produktu prostych z topologią Zariskiego. Zbiory bazowe topologii produktu prostych z topologią Zariskiego są produktem zbiorów bazowych prostych z topologią Zariskiego i mają postać jak na rysunku poniżej. Gdzie wyrzucone proste pionowe i poziome są równoległe odpowiednio do osi OY i OX oraz ich ilość jest skończona. Suma zbiorów tej postaci także zawiera się w topologii produktowej i ma postać całej przestrzeni bez skończonej liczby punktów. Zbiory te są natomiast otwarte w topologii Zariskiego na płaszczyźnie. 6. Topologia produktowa prostych z topologią zariskiego Topologia euklidesowa Dla dowolnego punkty x, zawartego w zbiorze otwartym topologii produktowej, którego najmniejsza odległość od wyrzuconej prostej wynosi ɛ weźmy koło otwarte B(x, ɛ 2 ), który zawiera punkt x i jest zawarte w całości w zbiorze otwartym topologii produktowej. Z tego wniosek, że zbiory te są otwarte w topologii euklidesowej, więc topologia produktowa topologia euklidesowa. 9

Zajmiemy się teraz bezpośrednim badaniem ciągłości funkcji, poprzez sprawdzanie otwartości przeciwobrazów. Ciągłość funkcji g : (R 2, T i ) (R 2, T eu ) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, T eu ) (R 2, T eu ) Z wiadomości z Analizy Matematycznej wiemy, że funkcja g(x, y) w przestrzeniach euklidesowych jest ciągła, więc przeciwobrazy zbiorów otwartych w przeciwdziedzinie funkcji g(x, y), są otwarte w topologii euklidesowej. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, T k, T r, T N, T s s ) (R 2, T eu ), gdzie T k oznacza topologię kolejową, T r oznacza topologię rzeczną, T N oznacza topologię Niemyckiego, T s s oznacza topologię produktową prawych strzałek. Funkcja jest ciągła, gdyż T eu T k, T r, T N, T s s, więc z otwartości przeciwobrazów w topologii euklidesowej wynika otwartość w pozostałych topologiach. 3. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z Z ) (R 2, T eu ), gdzie T Z Z oznacza topologię produktu prostych z topologią Zariskiego. Funkcja nie będzie ciągła, ponieważ g 1 (U), gdzie U jest kołem otwartym jest także kołem otwartym, gdyż funkcja g 1 jest złożeniem obrotu, przemnożenia przez stała i symetrii względem OX. Dopełnienie rzutu okręgu na prostą OX zawiera nieskończenie wiele punktów, z tego wynika, że koło otwarte nie jest zbiorem otwartym w T Z Z. 4. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z (R 2, T eu ), gdzie T Z oznacza topologię Zariskiego na płaszczyźnie. Funkcja nie jest ciągła, gdyż T Z T Z Z, więc z tego, że przeciwobrazy nie są otwarte w T Z Z wynika, że nie są też otwarte w T Z. Ciągłość funkcji g : (R 2, T i ) (R 2, T Z ) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z ) (R 2, T Z ) Funkcja jest ciągła, gdyż g 1 (U), gdzie U jest zbiorem otwartym w topologii Zariskiego, jest także otwarty w topologii Zariskiego, ponieważ zbiór g 1 (U) dalej jest całą przestrzenią z wyrzuceniem skończonej liczby punktów. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z Z, T eu, T k, T r, T s s, T N ) (R 2, T Z ) Funkcja jest ciągłą, z tego, że T Z T Z Z T eu T r, T k, T N, T s s więc z otwartości przeciwobrazu w T Z wynika otwartość w pozostałych topologiach. Ciągłość funkcji g : (R 2, T i ) (R 2, T r ) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, T eu ) (R 2, T r ) Funkcja nie jest ciągła. Dla przykładu zbadajmy g 1 (b) = c, gdzie b jest odcinkiem otwartym w topologii rzecznej, jak na rysunku. 10

Odcinek c nie jest otwarty w topologii euklidesowej, gdyż każdy zbiór otwarty zawierający do punkt z odcinka c ma niepuste przecięcie z otoczeniem tego odcinka. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z, T Z Z ) (R 2, T r ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż T Z, T Z Z T eu, więc przeciwobraz odcinka b nie jest otwarty w T Z, T 3. Ciągłość funkcji g : (R 2, T r ) (R 2, T r ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż g 1 (b) = c nie jest otwarty w topologii rzecznej, gdyż odcinek c, n równoległy do osi OY, oraz każdy zbiór otwarty w topologii rzecznej, zawierający dowolny pu odcinka c ma niepuste przecięcie z otoczeniem tego odcinka. 4. Ciągłość funkcji g : (R 2, T k ) (R 2, T r ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż g 1 (b) = c nie jest otwarty w topologii kolejowej, gdyż odcinek zawiera się w prostej przechodzącej przez punkt (0, 0), oraz każdy zbiór otwarty w topologii kole zawierający dowolny punkt z odcinka c ma niepuste przecięcie z otoczeniem tego odcinka. 5. Ciągłość funkcji g : (R 2, T N, T s s ) (R 2, T r ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż każdy zbiór otwarty w topologii Niemyckiego i produktu prawych str zawierający punkt z przeciwobrazu odcinka b ma niepuste przecięcie z jego otoczeniem. Ciągłość funkcji g : (R 2, T i ) (R 2, T k ) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, T eu ) (R 2, T k ) Funkcja nie jest ciągła. Dla przykładu zbadajmy g 1 (e) = d, gdzie e jest odcinkiem otwart topologii kolejowej, jak na rysunku.

Odcinek d nie jest otwarty w topologii euklidesowej, gdyż każdy zbiór otwarty zawierający dowolny punkt z odcinka c ma niepuste przecięcie z otoczeniem tego odcinka. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z, T Z Z ) (R 2, T k ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż T Z, T Z Z T eu, więc przeciwobraz odcinka e nie jest otwarty w T Z, T Z Z. 3. Ciągłość funkcji g : (R 2, T k ) (R 2, T k ) Funkcja jest ciągła. Aby to wykazać, zbadajmy przeciwobrazy bazowe w topologii kolejowej. Na początku weźmy zbiory I(v, ɛ). Jak wiemy funkcja g 1 jest złożeniem obrotu, przemnożenia przez stałą oraz symetrii względem osi OX. Z tego wynika, że g 1 ɛ (I(v, ɛ)) = I(v 1, 2 ), czyli przeciwobrazy zbiorów I(v, ɛ) są otwarte w topologii kolejowej. Zbadamy teraz przeciwobrazy zbiorów bazowych topologii kolejowej postaci ( a, a) ( a, a) : a > 0. Przeciwobrazy te mają postać jak na rysunku. 12

Widzimy, że dla punktu (0, 0) możemy wybrać odpowiednio mały zbiór otwarty w topologii kolejowej, zawarty w przeciwobrazie. Dla każdego innego punktu, możemy wybrać zbiór I(v, ɛ) zawierające ten punkty i w całości zawarty w przeciwobrazie. Z tego wynika, że przeciwobraz jest otwarty w topologii kolejowej. Sprawdziliśmy przeciwobrazy wszystkich zbiorów bazowych topologii kolejowej i wykazaliśmy ich otwartość w topologii kolejowej. Z tego wynika, że każdy przeciwobraz zbioru otwartego w topologii kolejowej jest otwarty w topologii kolejowej. 4. Ciągłość funkcji g : (R 2, T N, T s s ) (R 2, T k ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż każdy zbiór otwarty w topologii Niemyckiego i produktu prawych strzałek, zawierający punkt z przeciwobrazu odcinka e (Rys.) ma niepuste przecięcie z jego otoczeniem. 5. Ciągłość funkcji g : (R 2, T r ) (R 2, T k ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż g 1 (e) = d nie jest otwarty w topologii rzecznej, gdyż odcinek d, nie jest równoległy do osi OY, oraz każdy zbiór otwarty w topologii rzecznej, zawierający dowolny punkt z odcinka d ma niepuste przecięcie z otoczeniem tego odcinka. Ciągłość funkcji g : (R 2, T i ) (R 2, T N ) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, T N ) (R 2, T N ) Funkcja nie jest ciągła. Aby to wykazać zbadamy przeciwobraz zbioru U, bazowego topologii Niemyckiego, będącego dwoma okręgami z punktem styczności A. 13

Przeciwobraz składa się z dwóch kół z punktem styczności D. Punkt ten nie należy do osi OX i każde koło otwarte zawierające ten punkt ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu zbioru U, stąd przeciwobraz U nie jest otwarty w topologii Niemyckiego. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, T eu, T Z, T Z Z ) (R 2, T N ) Funkcja nie jest ciągła co wynika z tego, że T Z T Z Z T eu T N. 3. Ciągłość funkcji g : (R 2, T r, T k ) (R 2, T N ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż każdy zbiór otwarty z topologii rzecznej i kolejowej zawierający punkt D z przeciwobrazu U (Rys.) ma niepuste przecięcie z otoczeniem tego odcinka. 4. Ciągłość funkcji g : (R 2, T s s ) (R 2, T N ) Funkcja nie jest ciągła. Aby to udowodnić, zbadamy przeciwobrazy motylków Niemyckiego. W punkcie styczności każdy zbiór otwarty w topologii produktu ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu motylków Niemyckiego, a więc przeciwobraz motylków Niemyckiego, nie jest otwarty w topologii produktu prawych strzałek. Każdy zbiór należący do T s s i zawierający punkt D, nie zawiera się w przeciwobrazie. 14

Ciągłość funkcji g : (R 2, T i ) (R 2, T Z Z ) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z Z ) (R 2, T Z Z ) Funkcja nie jest ciągła. Weźmy przeciwobraz zbioru U, gdzie U jest całą przestrzenią z wyrzuceniem skończonej liczby prostych równoległych do osi OX i OY. Przeciwobraz ten nie jest otwarty w topologii produktu prostych z topologią Zariskiego, gdyż dopełnienie rzutu na oś OX zawiera nieskończenie wiele punktów. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, TZ) (R 2, TZ Z) Funkcja nie jest ciągła, co wynika z tego, że TZ TZ Z. 3. Ciągłość funkcji g : (R 2, Teu) (R 2, TZ Z) Funkcja jest ciągła. Aby to wykazać zbadajmy przeciwobrazy zbiorów otwartych w topologii produktu prostych z topologią Zariskiego. Przeciwobrazy zbiorów U, otwartych w topologii Zariskiego są otwarte w topologii Zariskiego, więc są otwarte w topologii euklidesowej. Przeciwobrazy zbiorów V, będących płaszczyzną z wyrzuceniem skończonej ilości prostych równoległych do OX i OY, są płaszczyzną, gdzie wszystkie proste są obrócone o kąt 315. Więc dla każdego punktu x należącego do zbioru V, którego najmniejsza odległość do wyrzuconej prostej wynosi ɛ weźmy koło otwarte B(x, ɛ 2 ), które zawiera x i jest zawarte w zbiorze V. Z tego wniosek, że przeciwobraz V jest otwarty w topologii euklidesowej. 4. Ciągłość funkcji g : (R 2, Tk, Tr, TN, Ts s) (R 2, TZ Z) Funkcja jest ciągła, co wynika z tego, że Teu Tk, Tr, TN, Ts s. Ciągłość funkcji g : (R 2, Ti) (R 2, Ts s) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, Teu, Tk, TN, Tr, Ts s) (R 2, Ts s) Funkcja nie jest ciągła. Aby to sprawdzić weźmy przeciwobraz kwadratu jednostronne domkniętego, który jest otwarty w topologii produktu prawych strzałek. 15

Każdy zbiór otwarty w topologii euklidesowej, Niemyckiego, rzecznej i kolejowej oraz produktu prawych strzałek, zawierający punkt L ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu. Czyli przeciwobraz nie jest otwarty w tych topologiach. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z, T Z Z ) (R 2, T s s ) Funkcja nie jest ciągła, co wynika, z tego, że T Z T Z Z T eu. Podsumujmy nasze wyniki w tabeli. W tabeli znak + oznacza ciągłość, znak - oznacza, ze f nie jest ciągła. topologia dziedziny\topologia przeciwdziedziny T eu T r T k T N T Z T s s T Z Z T eu + - - - + - + T r + - - - + - + T k + - + - + - + T N + - - - + - + T Z - - - - + - - T s s + - - - + - + T Z Z - - - - + - - 16