Część I. MECHANIKA. Wykład KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

Część I. MECHANIKA Wykład.. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO.1. Względność ruchu. Układy współrzędnych.. Prędkość i przyspieszenie.3. Ruch prostoliniowy.4. Ruch krzywoliniowy 1

KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO KINEMATYKA zajmuje się opisem ruchu ciał bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały (siła). Rys. Ruch- jedno z najczęściej obserwowanych zjawisk fizycznych POJĘCIA WSTĘPNE Ruch mechaniczny zmiana wzajemnego położenia ciała (punktu materialnego) w przestrzeni (lub jednych ich części względem drugich) pod wpływem czasu. Punkt materialny punkt geometryczny, w którym skupiona jest pewna masa, a którego rozmiary i kształty możemy w danym zagadnieniu pominąć. Układ odniesienia nieruchome w czasie obserwacji ciało lub zbiór ciał, względem którego opisujemy ruch innych ciała w przestrzeni. Układ współrzędnych związany z danym układem odniesienia zespół wzajemnie prostopadłych osi umożliwiający jednoznaczne określenie położenia punktu w przestrzeni. Równania ruchu opisują zmiany położenia ciała w przestrzeni w funkcji czasu. Trajektoria ruchu krzywa w przestrzeni, opisująca zmianę położenia ciała.

KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Klasyfikacja ruchów: A. Ze względu na tor (trajektorię) ruchu: prostoliniowe (postępowe); krzywoliniowe (w tym: po okręgu); B. Ze względu na zależność położenia od czasu: jednostajne; jednostajnie zmienne (przyspieszone lub opóźnione); pozostałe (np. niejednostajnie zmienny itp.). 3

.1. WZGLĘDNOŚĆ RUCHU Względność ruchu ruch ciała jest pojęciem względnym; charakter ruchu ciała jest różny w zależności od układu odniesienia. Zasada niezależności ruchów (superpozycji) jeśli jakiś punkt bierze udział jednocześnie w kilku ruchach, to wypadkowe przesunięcie punktu równe jest sumie wektorowej przesunięć wykonanych przez ten punkt w tym samym czasie w każdym z tych ruchów oddzielnie. UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH: (1) Trójwymiarowy kartezjański układ współrzędnych KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Ruch cząstek emitowanych w zderzeniach jąder atomowych, trwał ułamki milionowych części sekundy. (CERN, Rap.Ann.1986) 4

KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO () 5

KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO (3) 6

KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO (4) 7

.. Prędkość i przyspieszenie w kartezjańskim trójwymiarowym układzie współrzędnych..1. PRĘDKOŚĆ Wektor prędkości, w każdym punkcie toru poruszającego się ciała, jego kierunek pokrywa się ze styczną do toru. Wektor położenia ciała w funkcji czasu: r t Przemieszczenie Otrzymujemy wielkość wektorową, która określa zarówno szybkość ruchu, jak i jego kierunek w danej chwili, czyli prędkość chwilową. Jednostką jest metr na sekundę. A B x( t) iˆ y( t) ˆj z( t) kˆ r r' r r x iˆ y (.1) (.) Prędkość średnia, zmiana wektora położenia r w przedziale czasu t : r x y z v śr iˆ ˆ j kˆ. (.3) t t t t t Prędkość chwilowa- przyrost czasu ( ) dąży do zera: ˆj z kˆ v v x y vz r dr dx dy dz (.4) lim iˆ ˆj kˆ v t 0 t dt dt dt dt dr v 1 dt m s (.5) 8

Prędkość c.d. Wartość wektora prędkości: v v (.6) v v v x y z Rys. Nachylenie krzywej x(t) w punkcie (w danej chwili) jest prędkością chwilową Szybkość- wskazuje prędkościomierz w samochodzie 9

Prędkość w innych układach współrzędnych 10

Przyspieszenie -tempo zmian prędkości m..1. PRZYSPIESZENIE (ang. acceleration, a, jedn. 1 ), to wielkość wektorowa, która s określa zmiany wektora prędkości w czasie poruszającego się ciała (zarówno wartości, jak i kierunku). Rys. źródło: http://www.if.pwr.edu.pl/~piosit/we.php 11

Przyspieszenie rodzaje m..1. PRZYSPIESZENIE (ang. acceleration, a, jedn. 1 ), to wielkość wektorowa, która s określa zmiany wektora prędkości w czasie poruszającego się ciała (zarówno wartości, jak i kierunku). PRZYSPIESZENIE ŚREDNIE, to zmiana wektora prędkości w przedziale czasu: v m (.7) a śr 1 t s PRZYSPIESZENIE CHWILOWE jest pochodną wektora prędkości względem czasu. a dr d( ) v dv dt d r lim t 0 t dt dt dt m 1 s Zauważamy, przyspieszenie jest też drugą pochodną wektora położenia względem czasu. (.8) styczna Składowe wektor przyspieszenia w układzie współrzędnych prostokątnych: tor a a ax y az dv dv x y dvz iˆ ˆj kˆ dt dt dt (.9) 1

Ruch ze stałym przyspieszeniem Przyspieszenie stałe (a=constant) Najczęściej będziemy się spotykać ze stałym przyspieszeniem (opóźnieniem). Gdy przyspieszenie chwilowe i średnie są równe, można zapisać: gdzie a Przekształcając powyższe, mamy : a : v0 oznaczaprędkoć wchwili począoczątkowej t0 śr v ( t ) v v t k k o v t 0 at 0 0, Rys. 1 a) Położenie cząstki poruszającej się ze stałym przyspieszeniem. b) Prędkość cząstki w ruchu przyspieszonym. c) Przyspieszenie cząstki w ruchu przyspieszonym jest stałe. Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki - tom I", PWN, Warszawa 005r. 13

Przyspieszenie ziemskie Spadek swobodny (rzut pionowy) Gdy rzucimy ciało w górę lub w dół i w jakiś sposób wyeliminujemy wpływ powietrza na jego ruch, to tak podczas wznoszenia jak i opadania ciało porusza się z przyspieszeniem, które nazywamy przyspieszeniem ziemskim (g). Nie zależy ono od własności przedmiotu (masa, kształt, itd.) gdy zaniedbamy wpływ powietrza. Wartość g zmienia się nieznacznie w zależności od szerokości geograficznej i wysokości nad poziomem morza. W zadaniach będziemy używać wartości g=9,81 m/s Odpowiadającej średniej szerokości geograficznej i poziomowi morza. Rys. źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki, tom 14 I.

Ruch prostoliniowy Rzut pionowy w górę RÓWNANIA RUCHU: v 0 Dla ciała wyrzuconego z prędkością, t y v yt v y t 0 dy v0 dt gt gt (.10) (.11) (.1) (.13) Tablica- wyprowadzenie wzorów 15

Ruch prostoliniowy Rzut pionowy w dół Dla ciała wyrzuconego z wysokości H, prędkością v 0,: RÓWNANIA RUCHU: t y H v yt v y t 0 dy v0 dt gt gt (.14) (.15) Czas trwania rzutu. (.16) Wartość prędkości Końcowej. (.17) 16

Ruch prostoliniowy- jednowymiarowy Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny (a= const.) 17

Graficzne wyznaczanie drogi Ruch prostoliniowy- jednowymiarowy 18

Ruch w dwóch i trzech wymiarach Założenia: tor ruchu nie musi być linią prostą, ciągle interesuje nas sam ruch i jego zmiany a nie ich przyczyny, poruszające się ciało traktujemy jak obiekt punktowy, czyli obdarzony masą lecz bez rozmiaru Rys. Brachistochrona, źródło: http://www.fiumsa.edu.bo/olimpiada/dfis_obf_obaa_noticias_008_f_files/image010.gif Brachistochrona (krzywa najkrótszego czasu) jest to krzywa, po której czas staczania się ciała o masie m od punktu A do punktu B, pod wpływem stałej siły ciężkości, jest najkrótszy. Nazwa pochodzi od złożenia greckich słów brachistos - najkrótszy oraz chronos - czas. 19

.4.1. RZUT UKOŚNY ruch krzywoliniowy Rzut ukośny jest złożeniem dwóch ruchów : ruchu jednostajnego w kierunku poziomym - z prędkością: y v 0y v 0x v 0 z H g x v ox v 0 cos ruchu jednostajnie zmiennego w kierunku pionowym: -z prędkością początkową: v(t): t dx dt vx v0 x v y t dy v0 dt Ruch w dwóch i trzech wymiarach y v 0x Rys. Rzut ukośny: w czasie ruchu składowa pozioma prędkości gt (.0) (.1) g i przyspieszeniem : r(t): x t t v 0x 0 t y v yt v oy v 0 gt sin v0 x const; przyspieszenie a- takie samo w każdym punkcie toru a(t): RÓWNANIA RUCHU: Dla ciała wyrzuconego z prędkością v, pod do poziomu: 0 a a x y 0 g (.) (.3) (.18) (.19) 0

Tablica- wyznaczenie parametrów toru: Rzut ukośny c.d. Otrzymane parametry toru: Zasięg (Z) rzutu: Z x( t c ) v 0 sin g (.4) Maksymalna wysokość wzniesienia Hmax: v ( t y w) 0 (z warunku: ) H max y( t w ) v 0 sin g (.5) Wyznaczając z równania (3.6) czas t i podstawiając do równania (3.7), znajdujemy równanie toru: Równanie toru dla rzutu ukośnego- trajektoria ruchu: y x tg x v o g cos x (.6) Tablica- Przykłady 1

Analiza rzutu ukośnego-opór powietrza Opór powietrza Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki, tom I.

Stałe przyspieszenie w innym świetle *.4.1. Od przyspieszenia do równania ruchu Znając przyspieszenie (a =const.) ciała można znaleźć prędkość, przemieszczenie lub drogę tego ruchu. a dv dt Z definicji wynika : Całkując obie strony równania (.35), otrzymujemy: v v 0 dv dv adt t t 0 adt (.8) (.9) a ponieważ a= const, stąd: v v0 a( t t0) (.30) v( t) a t v W przypadku t 0 =0s, równość (.37) przyjmuje postać: 0 Z definicji prędkości chwilowej v dr dt, otrzymujemy: (.31) dr (.3) vdt Całkując obie strony równania (.39), otrzymujemy: (.33) Całka po czasie z wektora prędkości wyraża przemieszczenie ciała w przestrzeni. 3

Co wynika z całkowania stałego przyspieszenia? Przebytą drogę wyraża całka po czasie, ale z wartości bezwzględnej wektora prędkości: (.34) Jeśli prędkość nie zmienia się, to: (.35) Przykład ruch ze stałym przyspieszeniem. Dane są składowe [x, y, z] przyspieszenia, prędkości i położenia ciała w chwili t= 0s, Zakładając, że, zbadać ruch odpowiadając na pytania: 1. Jak zmienią się te wartości po czasie t?. Jaki będzie kształt toru? 4

.5. Ruch jednostajny po okręgu Ruch po okręgu - ruch cząstki odbywa się po okręgu lub kołowym łuku z prędkością o stałej wartości bezwzględnej, - choć wartość prędkości się nie zmienia, ruch cząstki jest ruchem przyspieszonym. Uzasadnienie. Przyspieszenie ( zmiana prędkości) kojarzy się ze Wzrostem lub zmniejszaniem się wartości bezwzględnej prędkości. Prędkość jest wektorem, a nie skalarem. Jeśli zmienia się choćby tylko jej kierunek, to ruch jest przyspieszony. (.36) Okres-czas potrzebny cząstce na jednokrotny Obieg zamkniętego toru. 5

Ruch po okręgu Wielkości kątowe wektor prędkości kątowej (.37) (.38) 6

Ruch po okręgu Wielkości kątowe przyspieszenie kątowe (.39) (.40) (.41) 7

Ruch po okręgu Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) (.4) 8

Ruch po okręgu Zależności między wielkościami liniowymi a kątowymi w ruchu po okręgu Występowanie: 9

PODSTAWY DYNAMIKI. Kinematyka punktu materialnego: 3. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO 3.1. Oddziaływania podstawowe 3.. Masa, pęd i siła 3.3. Zasady dynamiki Newtona 3.4. Siły kontaktowe i siły tarcia 3.4. Prawo powszechnego ciążenia ( ) Siła nośna równoważy się z wypadkowym wektorem siły odśrodkowej i ciężaru. Samolot znajduje się w stanie równowagi. 30

DYNAMIKA DYNAMIKA to dział mechaniki, w którym zajmiemy się przyczynami ruchu, badaniem związków między wzajemnymi oddziaływaniami ciał i zmianami ich ruchu. Rozważania ograniczymy do przypadku ciał poruszających się z małymi prędkościami ( w porównaniu z prędkością c), tzn. zajmiemy się mechaniką klasyczną. Żeby móc przewidzieć jaki będzie ruch ciała wywołany siłą na nie działającą, trzeba wiedzieć jakiego rodzaju jest to siła i skąd się bierze. 3.1 CZTERY PODSTAWOWE ODDZIAŁYWANIA (siły) Siła grawitacji -siła powszechnego ciążenia lub oddziaływanie grawitacyjne, dotyczy ciał posiadających masę (jest siłą powszechną), ma długi zasięg i najmniejsze względne natężenie. Powoduje spadanie ciał i rządzi ruchem ciał niebieskich. 31

ODDZIAŁYWANIA PODSTAWOWE c.d. Oddziaływanie elektromagnetyczne - są to siły działające między ładunkami elektrycznymi: Oddziaływanie to jest dalekozasięgowe. Siły międzyatomowe mają charakter elektromagnetyczny ponieważ atomy zawierają naładowane elektrony i protony. Większość sił z jakimi spotykamy się na co dzień np. tarcie, siła sprężystości jest wynikiem oddziaływania atomów, są to więc siły elektromagnetyczne. Oddziaływanie elektromagnetyczne ma wielokrotnie większe natężenie od grawitacyjnego; Przykładowe skutki: uderzenia piorunów, prąd elektryczny, struktura atomów, cząsteczek, ciał stałych. 3

ODDZIAŁYWANIA FUNDAMENTALNE c.d. Oddziaływanie jądrowe (silne) - występuje na poziomie jądra atomowego i cząstek elementarnych. Siła utrzymująca w całości jądra atomowe pomimo odpychania między protonami (ładunki dodatnie). Jądro atomowe Kwarki łączą się w protony i neutrony dzięki gluonom, które przenoszą oddziaływanie silne. Protony i neutrony noszą wspólną nazwę nukleony. Nukleony łączą się w jądra również przez oddziaływanie silne Oddziaływanie to ma bardzo krótki zasięg i największe względne natężenie. 33

ODDZIAŁYWANIA FUNDAMENTALNE c.d. Oddziaływanie słabe - temu oddziaływaniu podlegają wszystkie cząstki elementarne, w szczególności oddziaływanie to odpowiada za rozpad niektórych cząstek elementarnych. np. neutronu Oddziaływanie to jest również krótkozasięgowe. Tab. Cztery oddziaływania fundamentalne 34

DEFINICJE 3.. DYNAMIKA -podstawowe pojęcia Punkt materialny to ciało, którego rozmiary są do zaniedbania w danym zagadnieniu dynamiki. Zaniedbujemy również rozkład przestrzenny masy tego ciała. Masa m (1 kg) ojeżeli położymy na podłodze piłkę tenisową i kulę do kręgli i kopniemy je z jednakowa siłą, to? Bez doświadczenia wiesz jaki będzie wynik Ale co to właściwie jest masa ciała? o Zaproponowana metoda postępowania jest jednym ze sposobów definiowania masy. Opiera się ona na porównaniu nieznanej masy m x z wzorcem masy np. m 0 = 1 kg. x Hipoteza: mx a0 m 0 a 0 a x a x Stąd, masę m x definiujemy jako: Masa ciała to wielkość fizyczna, charakteryzująca ciało;miara liczebności. m x m 0 a a 0 x ( kg) (3.1) 35

DYNAMIKA -podstawowe pojęcia c.d. m ( kg ) s Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i jego prędkości (wektorowej). Pęd p p mv (3.) Siła F (1N), Jest wielkością wektorową, która jest miarą oddziaływania innych ciał na dane ciało. Może być teraz zdefiniowana jako zmiana pędu w czasie. F dp dt (3.3) 36

SIŁA- równanie dynamiczne Jednostka siły. Podstawiając wyrażenie (? ) i wykonując różniczkowanie otrzymujemy: (3.4) Dla ciała o stałej masie m = const. Uzyskujemy równanie dynamiczne siły: dv F m ma dt (3.5) Jednostka siły m s ( 1N 1kg ) (3.6) Siła, która nadaje ciału wzorcowemu o masie 1 kg,przyspieszenie 1m/s, ma wartość 1 N 37

Dynamika punktu materialnego 3.3. ZASADY DYNAMIKI NEWTONA Sformułowane przez Isaaca Newtona w jego pracy Matematyczne zasady filozofii przyrody ( Phylosophiae Naturalis Principia Mathematica ) w 1687r. I. ZASADA ( inaczej zasada bezwładności) : Sir Isaac Newton, (4 January 1643-31 March 177) Jeżeli na ciało nie działają siły lub działające się równoważą (siła wypadkowa jest równa zeru), to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. (3.7) 0 a 0 F wyp Uwagi: Układ odniesienia, w którym spełniona jest I zasada dynamiki, nazywamy układem inercjalnym. Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego z prędkością o stałej wartości i kierunku jest też układem inercjalnym. Stany spoczynku oraz ruchu jednostajnego, prostoliniowego są równoważne z punktu widzenia zasad dynamiki. 38

II. ZASADA DYNAMIKI NEWTONA II. ZASADA DYNAMIKI NEWTONA W POSTACI UOGÓLNIONEJ Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do siły wypadkowej działającej na to ciało i zachodzi wzdłuż kierunku jej działania: Dla ciał o stałej masie: dp F dt F wyp II. ZASADA DYNAMIKI NEWTONA d mv dt dp (3.8) dt dv m dt ma a, stąd: F wyp m (3.9) (3.10) Jeżeli na ciało działa stała, niezrównoważona siła wypadkowa F wyp,to ciało to porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do tej siły, a odwrotnie proporcjonalnym do masy miary bezwładności tego ciała. 39

III. ZASADA DYNAMIKI NEWTONA III. ZASADA DYNAMIKI NEWTONA Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła wywierana przez ciało drugie na pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało pierwsze działa na drugie ciało; F AB F BA (3.11) Te siły oddziaływania między ciałami nazywane są siłami reakcji (albo: siłami oddziaływania). Uwaga: Siły reakcji działają na INNE ciała, więc siły wzajemnego oddziaływania nie równoważą się! 40

Masa a ciężar ciała Dynamika punktu materialnego 41

Siły kontaktowe: 3.4. SIŁY KONTAKTOWE I SIŁY TARCIA. Gdy dwa ciała są dociskane do siebie, występują miedzy nimi siły kontaktowe, których źródłem jest siła odpychająca między atomami obu ciał. Siła F jest przyłożona do klocka o masie m 1 ale nadaje przyspieszenie a obu klockom, stąd: (3.1) Siła kontaktowa F k z jaką klocek o masie m 1 działa na klocek o masie m nadaje przyspieszenie klockowi m. Ponieważ klocek m porusza się z przyspieszeniem a, więc siła kontaktowa wynosi : F k m a (3.13) Oczywiście, zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona klocek o masie m działa na klocek o masie m 1 siłą reakcji -F k. 4

Podstawy dynamiki TARCIE Siły kontaktowe, o których mówiliśmy są normalne (prostopadłe) do powierzchni. Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyźnie powierzchni. F N Jeżeli ciało pchniemy wzdłuż stołu to po pewnym czasie ciało zatrzyma się. Z II z. d. Newtona wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem (opóźnieniem) to musi na nie działać siła. Tę siłę, która przeciwstawia się ruchowi nazywamy siłą tarcia. Siła tarcia występuje w konsekwencji istnienia sił kontaktowych. Jest prostopadła do normalnej do powierzchni siły nacisku i może istnieć nawet wówczas, gdy powierzchnie są nieruchome względem siebie. Współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego: Tablica- rozwiązywanie zadań. s, k F t s, k F N siła tarcia (3.14) siła nacisku ciała na drugie ciało 43

Podstawy dynamiki 3.5. Prawo powszechnego ciążenia W roku 1665, 3-leni Isaac Newton dokonał wielkiego odkrycia w fizyce- spadanie ciał. Skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła między każdymi dwoma masami m 1 i m. Skoro siła jest proporcjonalna do masy ciała to musi być proporcjonalna do każdej z mas m 1 i m oddzielnie czyli: F m 1 m Wykazał, że siła utrzymująca księżyc na orbicie to ta sama siła, która sprawia, że jabłko spada z drzewa na Ziemię. Każde ciało we Wszechświecie przyciąga każde inne. Tę skłonność zbliżania się ciał do siebie nazwał ciążeniem (grawitacją). F m1m ~ r 44

Prawo powszechnego ciążenia Ostatecznie przyciąganie ciał opisuje prawo powszechnego ciążenia, które mówi każda cząstka przyciąga każdą inną cząstkę siłą ciężkości (siłą grawitacji) o wartości F G m m 1 r (3.15) W równaniu tym m1 i m, to masy cząstek, r- ich odległość, a G- stała grawitacyjna. Uproszczenie na powierzchni Ziemi: m m G R 1 Z mg m1 m m G gr M Z Z (3.16) M Z 45

Konsekwencja prawa grawitacyjnego Konsekwencja prawa grawitacyjnego: Prawa Keplera I prawo Keplera Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy. II prawo Keplera (prawo równych pól) Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu. III prawo Keplera Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak kwadraty ich okresów obiegu. (Półoś wielka jest połową najdłuższej cięciwy elipsy). 46

Dziękuję za uwagę! 47