Przetwarzanie sgnałów biomedcznch Człowiek- najlepsza inwestcja Projekt współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Wkład XIII Dstrbucje czasowo częstotliwościowe Transformacja Wignera-Ville a 1
Czasowo- częstotliwościowe dstrbucje energii sgnałów Rozkład energii na płaszczźnie t-f Krótkookresowa transformacja Fouriera STFT STFT (spektrogram) Transformacja falkowa WT WT (skalogram) Dstrbucje (rozkład) energii na płaszczźnie t-f Dstrbucja energii ma przedstawiać rozkład energii (gęstości energii) na płaszczźnie t-f. Energia sgnału może bć określona na podstawie kwadratu modułu sgnału lub kwadratu modułu jego transformat Fouriera E ( dt X ( f ) df E ρ ( t, f ) dtdf ( i X(f) można interpretować jako gęstości energii sgnału w obu dziedzinach. Naturalne jest wobec tego poszukiwanie łącznej gęstości energii ρ (t,f) w dziedzinach czasu i częstotliwości.
Dstrbucje (rozkład) energii na płaszczźnie t-f E ( dt X ( f ) df E ρ f ) dtdf Oczekujem od gęstości energii następującch właściwości: ρ f ) dt X ( f ) ρ f ) df ( (rozkład brzegowe są odpowiednio gęstościami energii w dziedzinie czasu i częstotliwości) Uwaga: spektrogram nie posiada tch właściwości!!! Dstrbucja Wigner-Ville a Definicja: W f ) ( t + τ / ) ( t τ / ) ep( jπfτ gdzie f oznacza częstotliwość, t - czas, ( i ( - sgnał i sgnał sprzężon, Time-frequenc toolbo - Tutorial http://gdr-isis.org/tftb/tutorial/tutorial.html F.Auger, P. Flandrin, P.Gonçalvès O. Lemoine 3
Dstrbucja Wignera-Ville a właściwości I Całka z DWV jest równa energii sgnału Rozkład brzegowe E W f ) dtdf W f ) df ( W f ) dt X ( f ) Wartości DWV są rzeczwiste W f ) R Dstrbucja Wignera-Ville a właściwości II zachowuje przesunięcie w czasie i w częstotliwości ( ( t t0 ) W f ) W ( t t0, f ) ( ( ep( jπf 0 W f ) w f f 0 ) podobieństwo ( k ( k; k > 0 W f ) W ( kt, f / k) filtracja modulacja ( h( t s) ( s) ds W f ) W ( t s, f ) W ( s, f ) ds ( m( ( W f ) W f ξ ) W ξ ) dξ m h 4
Dstrbucja Wigner-Ville a właściwości III Zachowanie przedziału w czasie ( 0, t > T W f ) 0, t > T i w częstotliwości X ( f ) 0, f > B W f ) 0, f > B częstotliwość chwilowa ( a sgnał analitczn) f ( fw W a a f ) df f ) df spetrogram sgnału chirp Sgnał z liniową modulacją częstotliwości Faza i częstotliwość chwilowa sgnału analitcznego sgnału chirp ^ z( ( + j ( C ep( jπf t ) m Frequenc (Hz) 500 450 400 350 300 50 00 150 100 50 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 Time ^ ( 1 dθ ( θ ( arctan( ) πf mt f ( fmt ( π dt 5
Dstrbucja Wigner-Ville a Sgnał chirp liniowa modulacja częstotliwości f(αt ( ep( jαt / ) W f ) ( t + τ / ) ( t τ / ) ep( jπfτ ep[ jα( t + τ / ) / ]ep[ jα( t τ / ) / ]ep( jπfτ ep{ jα[( t + τ / ) ( t τ / ) ]/ }ep( jπfτ ep( jαtτ )ep( jπfτ πδ (πf α Jest to TF zespolonej funkcji wkładniczej równa πδ(πf-α! Dstrbucja WV jest więc impulsem Diraca ustuowanm w punkcie odpowiadającm chwilowej wartości częstotliwości analizowanego sgnału!!! W f ) πδ (πf α Dstrbucja Wigner-Ville a Sgnał będąc sumą dwóch sgnałów zespolonch wkładniczch o różnch pulsacjach e jω 1t + e jω t jω (t + r) jω (t + r) jω (t r) jω (t r) DWV(f, [e 1 + e ][e 1 + e ] ep( jπfr ) dr jω r j(ω ω )t j(ω + ω )r/ j(ω ω )t j(ω + ω )r/ jω r [e 1 + e e 1 + e e 1 + e ] ep( jπfr ) dr jω r j(ω + ω )r/ jω r { e 1 + cos [(ω ω )t]e + e 1 }ep( jπfr ) dr ω ω DWV(f, πδ(ω ω ) πδ(ω ω ) [(ω ω )t] πδ( + + + cos ω 1 ) 1 1 W przpadku sgnałów będącch sumą min. składowch harmonicznch, w wniku operacji mnożenia pod całką pojawią się składowe o pulsacji równej różnic pulsacji składowch sgnału, ustuowane na średniej artmetcznej tch pulsacji. Są to tzw. składowe interferencjne, niemające interpretacji fizcznej 6
Dstrbucja Wigner-Ville a właściwości cd DWV pojednczego sgnału: W f ) ( t + τ / ) ( t τ / ) ep( jπfτ DWV sum sgnałów: W f ) W f ) + W f ) Re{ W, f )} + + Składowe interferencjne: W, f ) ( s + τ / ) ( s τ / )ep( jπfτ Dstrbucja Wigner-Ville a przkład Suma czterech atomów częstotliwościowch z obwiednią gaussowską (sgnał rzeczwiste) W f ) W f ) + W f ) Re{ W, f )} + + Prezentacja DWV w postaci map warstwicowej Time-frequenc toolbo - Tutorial http://gdr-isis.org/tftb/tutorial/tutorial.html F.Auger, P. Flandrin, P.Gonçalvès O. Lemoine 7
Dstrbucja Wigner-Ville a Stanowiąc część wrażenia podcałkowego iloczn w praktce nie może bć określon w nieograniczonch granicach całkowania W q f ) ( t + τ / ) ( t τ / ) ep( jπfτ τ ) ( s + τ / ) ( s τ / ) Ograniczenie przez wprowadzenie funkcji h( o skończonm czasie trwania PW f ) h( τ ) ( s + τ / ) ( s τ / )ep( jπfτ Jest to równoważne wgładzeniu DWV (splot z TF okna h() eliminuje częściowo produkt interferencji PW f ) H ( f ξ ) W ξ ) dξ Jest tzw. pseudodstrbucja Wigner- Ville a; następuje utrata szeregu właściwości rozkład brzegowe, zachowanie zakresu częstotliwości; pojawia się rozmcie wniku PWVD. Dstrbucja Wigner-Ville a przkład Suma czterech atomów częstotliwościowch z obwiednią gaussowską (sgnał rzeczwiste) Pseudo DWV - eliminacja części składowch interferencjnch) W DWV f ) ( t + τ / ) ( t τ / ) ep( jπfτ PDWV PW f ) h( τ ) ( s + τ / ) ( s τ / )ep( jπfτ 8
Wgładzanie DWV w dziedzinie czasu i częstotliwości Zakładając, że okno wgładzania jest postaci g( funkcja czasu H(f) funkcja częstotliwości uzskujem możliwość niezależnego wgładzania w dziedzinie czasu i częstotliwości Jest to tzw. wgładzana pseudo dstrbucja Wigner-Ville a SPW v, f ) h( τ )[ g( s ( s + τ / ) ( s τ / ) ds]ep( jπvτ Π f ) g( H( f ) Problem wmian rozdzielczości czasowo-częstotliwościowej w przpadku spektrogramu zostaje zastąpion problemem wmian międz łączną rozdzielczością na płaszczźnie t-f a poziomem składowch interferencjnch. Wgładzanie DWV w dziedzinie czasu i częstotliwości Problem wmian rozdzielczości czasowo-częstotliwościowej w przpadku spektrogramu zostaje zastąpion problemem wmian międz łączną rozdzielczością na płaszczźnie t-f a poziomem składowch interferencjnch. SPW v, f ) h( τ )[ g( s ( s + τ / ) ( s τ / ) ds]ep( jπvτ Jeśli g(δ(, dostajem pseudo-dstrbucję Wigner-Ville a: PW f ) h( τ ) ( s + τ / ) ( s τ / ) ep( jπfτ 9
Dskretna dstrbucja Wigner-Ville a Zapiszm DWV w postaci (za τ/ podstawiam τ) W f ) ( s + τ ) ( s τ )ep( j4πfτ Próbkowanie DWV z okresem T w punktach nt W [ n, f ] T [ n + k] [ n k]ep( j4πfk ) k Powstałe wrażenie jest okresowe z okresem 1/(T), nie zaś 1/T istnieje możliwość powstania aliasingu. Wjścia nadpróbkowanie sgnału lub zastosowanie sgnału analitcznego. Dskretna dstrbucja Wigner-Ville a Suma dwóch atomów częstotliwościowch z obwiednią gaussowską (sgnał rzeczwiste) Suma dwóch atomów częstotliwościowch z obwiednią gaussowską (sgnał analitczne) 10
DWV Przkład sgnał o piłokształtnie modulowanej pulsacji (zależność dotcz 1 okresu) π 4π t ω ( + 10 160 N56 N64 spektrogram DWV, N56 M1 M1, KB (h(n)) N3 DWV Przkład Suma sgnałów o piłokształtnie modulowanch pulsacjach (zależność dotcz 1 okresu) π 4π t ω 1( + 10 160 π 4π t ω ( 3 + 10 160 DWV, N56, M1 DWV, N56, M10 11