Zbiór zdñ mturlnych MATEMATYKA poziom rozszerzony Iren O³tuszyk Mrzen Polewk Witold Stchnik Wydwnictwo Szkolne OMEGA Krków 08
Copyright 08 by Wydwnictwo Szkolne OMEGA Projekt ok³dki: Jcek Kw Oprcownie grficzne, sk³d i ³mnie: Mrzen Pleczny Korekt: Brbr Stchnik Korekt merytoryczn: Teres Mrkiewicz ISBN: 978-8-767-69- ISBN: 978-8-767-965-5 c³oœæ Wydwnictwo Szkolne OMEGA, 0 55 Krków, ul. Wielick 44 C tel. 9 48 67, 456 56 www.ws-omeg.com.pl e-mil: biuro@ws-omeg.com.pl Druk: Zk³d Grficzny COLONEL, Krków, ul. D¹browskiego 6
SPIS TREŒCI WSTÊP...7 ZADANIA...9. LICZBY RZECZYWISTE...9. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE.... RÓWNANIA I NIERÓWNOŒCI... 4. FUNKCJE...48 5. CI GI...7 6. TRYGONOMETRIA...94 7. PLANIMETRIA... 8. GEOMETRIA NA P ASZCZYNIE KARTEZJAÑSKIEJ... 9. STEREOMETRIA...49 0. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEÑSTWA I KOMBINATORYKA...69. RACHUNEK RÓ NICZKOWY...9 ODPOWIEDZI.... LICZBY RZECZYWISTE.... WYRA ENIA ALGEBRAICZNE.... RÓWNANIA I NIERÓWNOŒCI...5 4. FUNKCJE...8 5. CI GI... 6. TRYGONOMETRIA...7 7. PLANIMETRIA... 8. GEOMETRIA NA P ASZCZYNIE KARTEZJAÑSKIEJ...4 9. STEREOMETRIA...7 0. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEÑSTWA I KOMBINATORYKA...4. RACHUNEK RÓ NICZKOWY...45
WSTÊP Zbiór przeznczony jest dl osób przygotowuj¹cych siê do pisemnego egzminu mturlnego z mtemtyki n poziomie rozszerzonym. Zdni przystosowne s¹ do wymgñ wprowdzonych w 05 roku. Zbiór sk³d siê z dwóch czêœci:. Zdni i odpowiedzi: 69 zdñ u³o onych temtycznie wed³ug dzi³ów mtemtyki. W publikcji oprócz zdñ utorskich wykorzystno zdni egzmincyjne i mturlne, jkie ukz³y siê w ltch 97 05, orz zdni z Informtor mturlnego. Zdni w k dym dzile s¹ ró norodne od zdñ zmkniêtych (ABCD), poprzez zdni z kodown¹ odpowiedzi¹ (), po zdni otwrte (). Obejmuj¹ one c³y zkres mteri³u mtemtyki n poziomie rozszerzonym, co sprwi, e doskonle sprwdz¹ siê w czsie powtórek i przygotowni siê do mtury przez bsolwentów wszystkich typów szkó³. Dl uczniów zinteresownych mtemtyk¹ umieszczono w zbiorze kilknœcie zdñ wykrczj¹cych poz podstwê progrmow¹ s¹ one oznczone gwizdk¹. Zdni w zbiorze podzielono zgodnie z treœcimi nuczni nowej podstwy progrmowej n nstêpuj¹ce dzi³y: Liczby rzeczywiste Wyr eni lgebriczne Równni i nierównoœci Funkcje Ci¹gi Trygonometri Plnimetri Geometri n p³szczyÿnie krtezjñskiej Stereometri Elementy sttystyki opisowej. Teori prwdopodobieñstw i kombintoryk Rchunek ró niczkowy 7
. Szkice rozwi¹zñ: Szkice rozwi¹zñ do k dego z zdñ zwierj¹ wszystkie istotne elementy zproponownego rozwi¹zni. Njczêœciej zdni rozwi¹zne s¹ jedn¹ metod¹, jednk w przypdku podobnych zdñ pokzno ró ne metody rozwi¹zni, czsem wykrczj¹ce poz podstwê progrmow¹ (s¹ one oznczone gwizdk¹). Aby korzystnie ze zbioru by³o ³twiejsze, ktulne wydnie zost³o rozdzielone n dwie pozycje (jedn z zdnimi, drug ze szkicmi rozwi¹zñ), które stnowi¹ integrln¹ c³oœæ. W przypdku zdñ kodownych nle y zwróciæ uwgê n fkt, e gdy w rozwi¹zniu podwny jest wynik przybli ony, jest to przybli enie przynjmniej do pi¹tego miejsc po przecinku. Nie dotyczy to zdñ, z których treœci wynik, i nle y zstosowæ inne przybli enie. Uzupe³nienieniem niniejszej publikcji s¹ ksi¹ ki, wydne przez Wydwnictwo Szkolne OMEGA: I. O³tuszyk, M. Polewk, Mtemtyk. Arkusze egzmincyjne 06. Jest to zbiór 0 utorskich rkuszy egzmincyjnych n poziomie podstwowym i 0 utorskich rkuszy egzmincyjnych n poziomie rozszerzonym wrz z propozycjmi rozwi¹zñ i schemtmi ocenini orz rkuszmi egzmincyjnymi z mtur z mj i czerwc 05 orz z mtury próbnej z grudni 04. I. O³tuszyk, M. Polewk, Mtemtyk. Arkusze egzmincyjne 07. Poziom rozszerzony. Jest to zbiór utorskich rkuszy egzmincyjnych wrz z propozycjmi rozwi¹zñ i schemtmi ocenini orz rkuszmi egzmincyjnymi z mtur z mj i czerwc 06. I. O³tuszyk, M. Polewk, Mtemtyk. Arkusze egzmincyjne 08. Poziom rozszerzony. Jest to zbiór utorskich rkuszy egzmincyjnych wrz z propozycjmi rozwi¹zñ i schemtmi ocenini orz rkuszmi egzmincyjnymi z mtur z mj i czerwc 07. 8
MATEMATYKA. POZIOM ROZSZERZONY. MATURA 09 ABCD Zdnie 94. Wielominy W ( ) 7 6 4 5 4 4 6 4 i P ( ) ( )( 4 ) s¹ równe dl równego: A. B. C. D. ABCD Zdnie 95. 4 Dne s¹ wielominy W ( ) 45 orz P ( ) 5. Stopieñ wielominu W ( ) P ( ) jest równy: A. B. 4 C. 7 D. ABCD Zdnie 96. 5 Wyr enie jest okreœlone dl: 7 A. R {, 7} B. ( 07 ; ) C. 0 ; ) D. 0 ; ) ( 7 ; ) ABCD Zdnie 97. 4 Wielomin W ( ) 4 46jest podzielny przez: A. B. C. D. ABCD Zdnie 98. Mtur VI 0 r., p. Wyr enie jest równe: 5 A. B. C. D. ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 Zdni kodowne Zdnie 99. Wiedz¹c, e 5, oblicz. Zkoduj odpowiedÿ (kolejno: cyfrê jednoœci, czêœci dziesiêtnych i setnych przybli eni rozwiniêci dziesiêtnego otrzymnego wyniku). Zdnie 00. Wiedz¹c, e 4, oblicz. Zkoduj odpowiedÿ (kolejno: cyfrê dziesi¹tek, cyfrê jednoœci i czêœci dziesiêtnych otrzymnego wyniku).
. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Zdnie 0. Mtur próbn XII 04 r., p. Dne s¹ liczby, b tkie, e b 4 i b 7. Oblicz b b. Zkoduj odpowiedÿ (kolejno, od lewej do prwej, cyfry setek, dziesi¹tek i jednoœci otrzymnego wyniku). Zdnie 0. 5 ( 4) Oblicz wrtoœæ wyr eni ( 4 ) ( 4) dl. Zkoduj odpowiedÿ (kolejno: cyfrê jednoœci, czêœci dziesiêtnych i setnych przybli eni rozwiniêci dziesiêtnego otrzymnego wyniku). Zdnie 0. Skróæ u³mek ( y y )( y ). Oblicz wrtoœæ otrzymnego ( y y )( y ) wyr eni dl, y. Zkoduj odpowiedÿ (kolejno: cyfrê jednoœci, czêœci dziesiêtnych i setnych rozwiniêci dziesiêtnego otrzymnego wyniku). Zdnie 04. Oblicz, dl jkich wrtoœci prmetru m iloczyn pierwistków wielominu W ( ) ( m) m mjest njwiêkszy. Zkoduj odpowiedÿ (kolejno: cyfrê jednoœci, czêœci dziesiêtnych i setnych otrzymnego wyniku). Zdnie 05. Oblicz odwrotnoœæ liczby. Zkoduj odpowiedÿ (kolejno: cyfrê jednoœci, czêœci dziesiêtnych i setnych przybli eni rozwiniêci dziesiêtnego otrzymnego wyniku). Zdni otwrte Zdnie 06. Zpisz wyr enie ( ) ( ) potrzebne z³o eni. w postci nieskrclnego u³mk. Podj Zdnie 07. Zpisz wyr enie ( ) 9 ( ) 6 w postci nieskrclnego u³mk. Podj potrzebne z³o eni.
ODPOWIEDZI. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Zdni zmkniête Nr zd. OdpowiedŸ Nr zd. OdpowiedŸ 88. C 94. A 89. B 95. C 90. D 96. D 9. B 97. C 9. B 98. A 9. D Zdni kodowne Nr zd. OdpowiedŸ Nr zd. OdpowiedŸ 99. 4, 4, 7 0. 0,, 0 00. 5,, 0 04. 0, 5, 0 0.,, 0 05. 0,, 5 0., 5, 8 Zdnie 06. ;,. Zdnie 07. ; 6,, 0,. Zdnie 08. y y y y ; 0, y 0. Zdnie 09. 5 lub. b 5 b Zdnie 0. b. Zdnie. 4 4 4 m b c. Zdnie. W ( ) 45. Zdnie. W( ) 7 6. Zdnie 4. W ( ) 4. Zdnie 5. W () ( 5)( 5)( )(. ) Zdnie 6. ( ) ( ). Zdnie 7. ( ) ( ). Zdnie 7. ) ( ; 0) ; ). b) 5; 7) ( 7; ). Zdnie 8. ),. b),,. c) ( ) ( ) d) 4,. Zdnie 9. 4. W () Q ()( ) 4. Zdnie 40. 0. W () Q ()( ) 0. Zdnie 4. 5 4 W () 8 849. 855 670 Zdnie 4., 4, 0, 6. Zdnie 4. 4 W () 4. Zdnie 44. W () 04. Zdnie 45. m.
Zbiór zdñ mturlnych MATEMATYKA poziom rozszerzony SZKICE ROZWI ZAÑ Wydwnictwo Szkolne OMEGA Krków 08
SPIS TREŒCI. LICZBY RZECZYWISTE.... WYRA ENIA ALGEBRAICZNE...6. RÓWNANIA I NIERÓWNOŒCI...0 4. FUNKCJE...57 5. CI GI...95 6. TRYGONOMETRIA... 7. PLANIMETRIA...54 8. GEOMETRIA NA P ASZCZYNIE KARTEZJAÑSKIEJ...97 9. STEREOMETRIA... 0. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEÑSTWA I KOMBINATORYKA...8. RACHUNEK RÓ NICZKOWY...5 Copyright 08 by Wydwnictwo Szkolne OMEGA ISBN: 978-8-767-694-8 ISBN: 978-8-767-965-5 c³oœæ
MATEMATYKA. POZIOM ROZSZERZONY. MATURA 09. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Zdnie 88. 8 7 7 5 5 5 ( 5 ) 0,. 9 8 5 65 5 5 OdpowiedŸ C. Zdnie 89. 9 8 7 4 4 4 7 8 4 OdpowiedŸ B. 7 4 ( 4 4 ). 8 4 ( ) 4 Zdnie 90. W( ) P( ) 4 4 5 ( 4 5) 6 4 5. OdpowiedŸ D. Zdnie 9. Sprwdzmy dl jkiej wrtoœci jest W( ) 0. W( ) 6 0, W( ) 0. OdpowiedŸ B. Zdnie 9. Obliczmy wrtoœæ wielominu dl. W( ) ( )( )( 4) 0. OdpowiedŸ B. Zdnie 9. 4 W( 7) ( 7) 7 ( 7) 5( 7) 0, st¹d 5 7. OdpowiedŸ D. Zdnie 94. 7 6 5 4 P ( ) 4 4, wiêc. OdpowiedŸ A. Zdnie 95. 4 7 6 5 4 ( 4 5)( 5) 4 4 5 0 5. OdpowiedŸ C. Zdnie 96. Jednoczeœnie musz¹ byæ spe³nione wrunki: 0i 0i 7 0,st¹d 0 ; ) ( 7 ; ). OdpowiedŸ D. 6
. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Zdnie 97. Obliczmy wrtoœci: W( ) 44, W( ) 6, W( ) 0. OdpowiedŸ C. Zdnie 98. 5 ( )( ). OdpowiedŸ A. Zdnie 99. 5 5 5 5 4, 474. Nle y zkodowæ kolejno cyfry: 4, 4, 7. Zdnie 00. 4 6 4 lub 4. 4 5 dl 4. 4 5 dl 4. 5 5 5, 0. Nle y zkodowæ kolejno cyfry: 5,, 0. Zdnie 0. Rozwi¹zujemy uk³d b 4 b 7 b lub b, st¹d b( b ) 78 ( ) 0. Kodujemy kolejno cyfry:,, 0. Zdnie 0. 5 ( 4) 8 dl wyr enie 8 m wrtoœæ 0 4 58579,. Nle y zkodowæ kolejno cyfry:, 5, 8. ( 4 ) ( 4) Zdnie 0. ( y)( yy ) ( y y )( y ) y y dl, y wyr enie ( y y )( y ) ( y)( yy ) y y y y m wrtoœæ 0,. Nle y zkodowæ kolejno cyfry: 0,, 0. 5 7
MATEMATYKA. POZIOM ROZSZERZONY. MATURA 09 Zdnie 04. Sprwdzmy, dl jkiej wrtoœci prmetru m wielomin W ( )m pierwistki. ( m) 4( mm ) 6m 8m ( 4m) 0 dl m R. m m Korzystmy ze wzorów Viéte :. Funkcj fm ( ) mm przyjmuje wrtoœæ njwiêksz¹ dl m. 0 m f( m) f( m)= m m Nle y zkodowæ kolejno cyfry: 0, 5, 0. Zdnie 05. ( )( ) 0, 555. 4 Nle y zkodowæ kolejno cyfry: 0,, 5. Zdnie 06. ( ) ( ) ( ) ( ) ;,. Zdnie 07. ( ) 9 ( ) ( ) 6 6 ; 6,, 0,. ( ) ( ) Zdnie 08. y y y y y y y y y y y y y y ; 0, y 0. Zdnie 09. b 4 5 4 5 b 4 5 b b 5 lub. b 4 b 5 b Zdnie 0. Obie strony równoœci 4 b s¹ dodtnie n podstwie z³o eni, wiêc b 4 4 b 4 b b b b. 8