Wykład 3. Prawo Pascala

018-10-18 Wykład 3 Prawo Pascala Pływanie ciał Ściśliwość gazów, cieczy i ciał stałych Przemiany gazowe Równanie stanu gazu doskonałego Równanie stanu gazu van der Waalsa Przejścia fazowe materii W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 1/33 Prawo Pascala Rozważamy łyn (ciecz, gaz) w soczynku, bez ola sił zewnętrznych. Ciśnienie cieczy owoduje owstanie siły działającej na owierzchnię ds dowolnego elementu stykającego się z łynem lub w nim zanurzonego, która wynosi: d F n ds, gdzie n jest wektorem jednostkowym, normalnym do elementu ds. df ds Ciśnienie nie zależy ani od ołożenia, ani od orientacji owierzchni ds. F1 F S S 1 W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 /33 1

018-10-18 Płyn w olu grawitacyjnym (1) Rozważamy słu łynu o gęstości r w olu grawitacyjnym ḡ będący w równowadze (hydrostatycznej). Wybieramy mały element objętości tego łynu. Warunkiem równowagi jest równoważenie się działających nań sił. x x F 1 F Warunek równowagi: F F F g ( S Siły działające w kierunku wektora g : F g dm g r gs, F1 ( S, F ( x d. S 1 F g ( S ( x d S r gs, ( x d ( r g, ( x d ( r g, ( x d g d( r ( g (. Równanie równowagi hydrostatycznej W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 3/33 Płyn w olu grawitacyjnym () Rozwiążemy to równanie dla rzyadku nieściśliwej cieczy w jednorodnym olu grawitacyjnym (n. woda w obliżu ziemi). Mamy wówczas: r ( const. g ( const. (nieściśliwość), (jednorodność), d( r g, ( 0 r g x, ( x 0) 0. Jeśli głębokość (h) w cieczy będziemy liczyć od owierzchni (x = 0) w kierunku zgodnym z siłą ciężkości, to: x ( h ) 0 r g h. 0 0 Ciśnienie hydrostatyczne rośnie liniowo z głębokością. h (h) g W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 4/33

018-10-18 Pływanie ciał, rawo Archimedesa Rozważmy małą sześcienną kostkę zanurzoną w łynie, w którym wystęuje gradient ciśnienia. x Siła działająca na dolne denko: F D ( S x x x r F G F D S g Siła działająca na górne denko: F G ( x S W rzyadku ciśnienia hydrostatycznego mamy: ( x ( r g x Siła F D jest większa! Wyadkowa siła działa do góry: F W F F D G r g x S r g r jest masą łynu wyartego rzez kostkę o objętości, a r g jego ciężarem. Siła wyoru jest zatem równa ciężarowi wyartego łynu (rawo Archimedesa). Źródłem siły wyoru jest gradient ciśnienia W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 5/33 Ściśliwość cieczy i ciał stałych Przez ściśliwość rozumiemy tu zależność objętości od ciśnienia rzy stałej temeraturze. Zjawisko to oisuje wsółczynnik ściśliwości izotermicznej: 1 T. w stałej temeraturze! Przy niewielkich zmianach ciśnień stosuje się rzybliżenie liniowe:. Przykładowe wartości wsółczynnika : Wniosek: Wzrost ciśnienia o 1000 bar owoduje zmniejszenie objętości od ułamka do kilkunastu rocent. [GPa -1 ] Etanol 1.15 Woda 0.45 Lód 0.13 Rtęć 0.04 Miedź 0.0066 Diament 0.00185 W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 6/33 3

018-10-18 Przykłady zależności objętości od ciśnienia Woda Ciała stałe G W oceanie, na głębokości 10 km anuje ciśnienie 1 kat 10 8 Pa. Wówczas / 0 = 0.955 W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 7/33 Ściśliwość gazów Badanie srężystości owietrza Robert Boyle, 166 ierwsze ilościowe rawo w tym dziale fizyki Historia Fizyki, A.K. Wróblewski, PWN 006 W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 8/33 4

018-10-18 Cielne własności materii Równanie stanu materii Równanie stanu Warunki w jakich znajduje się dana substancja (jej stan) są oisane rzez arametry makroskoowe:,, T, n (lub m total ) W niektórych sytuacjach związek między arametrami jest na tyle rosty, że możemy zaisać go w formie równania zwanego równaniem stanu Na rzykład roste, acz rzybliżone równanie stanu ciała stałego: = 0 [1 + b (T T 0 ) - ( 0 )] Równanie stanu gazów gaz doskonały Jednoczesny omiar temeratury, ciśnienia, objętości i liczności materii W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 9/33 Model układu wielu cząsteczek: Gaz doskonały Model gazu doskonałego - działa dla rzeczywistych gazów rozrzedzonych! wszystkie cząsteczki są identyczne, duża liczba cząsteczek; wielkość cząsteczek jest niewielka w orównaniu do średniej odległości między nimi (masa unktowa); cząsteczki nie oddziałują ze sobą długozasięgowo; cząsteczki odlegają rawom Newtona, ruch cząsteczek - stochastyczny; zderzenia między cząsteczkami i cząsteczek ze ściankami są elastyczne. Powietrze w warunkach normalnych (gaz rzeczywisty) ~.7 10 19 cząsteczek w 1 cm 3 owietrza wielkość cząsteczek ~ (-3) 10-10 m, odległość między cząsteczkami ~ 3 10-9 m średnia rędkość cząsteczek - 500 m/s średnia droga między zderzeniami - 10-7 m częstość zderzeń ojedynczej cząsteczki - 5 10 9 s -1 W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 10/33 5

ciśnienie 018-10-18 Równanie stanu - gaz Prawo Boyle a-mariotte a (166 167) * = const dla: T = const n = const objętość W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 11/33 Równanie stanu - gaz Prawo Charles a (1780), Guy-Lussaca (180) ~ T dla: n = const = const T w kelwinach!! W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 1/33 6

018-10-18 Równanie stanu - gaz Prawo Avogadro = stała * n ~ liczba moli (n) dla: T = const = const htts://oentextbc.ca/chemistry/chater/9-3-stoichiometry-ofgaseous-substances-mixtures-and-reactions/ W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 13/33 Prawa gazowe c.d. Prawo Daltona Prawo ciśnień cząstkowych (1810) + = Ciśnienie wywierane rzez mieszaninę gazów jest równe sumie ciśnień wywieranych rzez składniki mieszaniny, gdyby każdy z nich był umieszczany osobno w tych samych warunkach objętości i temeratury, jest ono zatem sumą ciśnień cząstkowych. A + B = tot W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 14/33 7

018-10-18 Równanie stanu - gaz Równanie stanu gazu doskonałego Z doświadczeń rowadzonych nad rocesami zachodzącymi w rozrzedzonych ośrodkach gazowych o znanej liczbie moli n wiemy, że: Prawo Avogadro: ~ n (rzy =const i T=const) Prawo Boyle a Mariotte a: ~ 1/ (rzy T=const i n=const) Prawo Charles a Guy-Lussaca : ~ T (rzy n=const i =const) Połączmy w jedno równanie: Stąd równanie stanu gazu doskonałego: nt Równanie Claeyrona : nt R Stała gazowa (stała gazu doskonałego): R = 8.314 J/mol K n RT Dobrze oisuje gaz rzeczywisty dla małego ciśnienia i wysokiej temeratury Stała gazowa R nie zależy od rodzaju gazu W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 15/33 Przemiany gazowe Powierzchnia,, T stanów gazu doskonałego Powierzchnia stanów gazu doskonałego dla ustalonej liczby moli. izoterma (T = const) = nrt izobara ( = const) =const Wszystkie kwazistatyczne rzemiany gazu doskonałego można rzedstawić jako linie na tej owierzchni. T=const P=const izochora ( = const) Podstawy fizyki kwantowej i budowy materii z elementami term W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 16/33 8

018-10-18 Równanie stanu gaz doskonały Warunki normalne gazu Warunki normalne (STP: Standard Temerature-Pressure): T = 73.15 K = 0 o C = 1 atm =10135 Pa Objętość zajmowana rzez 1 mol gazu doskonałego w warunkach normalnych: Jeden mol gazu doskonałego zajmuje objętość:.414 litra. W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 17/33 Ciśnienie gazu Ciśnienie atmosferyczne Ciśnienie w hpa (mbar) Liczba cząsteczek na cm³ Średnia droga swobodna cząsteczki Liczba uderzeń na owierzchnię (cm - s -1 ) 1013,5,7 10 19 68 nm 10 3 Próżnia niska 300...1 10 19...10 16 0,1...100 μm 10 3...10 0 Próżnia średnia 1...10-3 10 16...10 13 0,1...100 mm 10 0...10 17 Próżnia wysoka (H) Próżnia bardzo wysoka (UH) Próżnia ekstremalnie wysoka (XH) Przestrzeń kosmiczna 10-3...10 7 10 13...10 9 10 cm...1 km 10 17...10 13 10 7...10 1 10 9...10 4 1 km...10 5 km 10 13...10 8 10 1...10 14 10 4...10² 10 5...10 7 km 10 8...10 6 10 7...10 16 10 9...1 1...10 9 km 10 13...10 4 htts://l.wikiedia.org/wiki/próżnia W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 18/33 9

018-10-18 Wzór barometryczny gaz w olu grawitacyjnym Rozważamy słu gazu (łynu) w stałym olu grawitacyjnym ḡ będący w równowadze hydrostatycznej. x x łyn := gaz doskonały F 1 n r RT RT M M := masa molowa F ( x d F g ( S Warunek równowagi: d d RT M Siły działające w kierunku wektora : F g dm g r gs, F1 ( S, F ( x d. S W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 19/33 g F dr F 1 F g Równanie równowagi hydrostatycznej g d( r( g Wzór barometryczny x Mg Mg x x 0ex x RT RT Ciśnienie atmosferyczne w funkcji wysokości Orientacyjne ciśnienie atmosferyczne w funkcji wysokości nad oziomem morza: Wysokość [m] Ciśnienie w hpa (mbar) Wzór barometryczny x 0ex x Mg RT 0 1013,5 Gdańsk 1000 898,76 Kuźnice 000 794,98 Kasrowy Wierch 3500 657,68 Lhassa 9000 307,48 11000 6,37 Mount Everest Lot nad oceanem W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 0/33 10

018-10-18 Gaz rzeczywisty dla gazu doskonałego: 1 dla T=const (rawo Boyle a Mariotte a) Dokładne omiary dla rzeczywistych gazów wykazują odstęstwa od tego rawa. Iloczyn dla wszystkich gazów dąży do wsólnej granicy rzy 0 T=const. W granicy małych ciśnień wszystkie gazy zachowują się jak gaz doskonały. W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 1/33 Model układu wielu cząsteczek: Gaz rzeczywisty N := liczba cząsteczek eff N b Efektywne zmniejszenie objętości odychanie rzyciąganie eff a N Efekt zmniejszenia ciśnienia w warstwie rzy ściance W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 /33 11

018-10-18 Gaz rzeczywisty Równanie van der Waalsa - stanu gazu rzeczywistego Przy ciśnieniu gazu rosnącym do jego objętość dąży do ewnej wartości stałej Cząsteczki gazu mają skończone objętości! eff N b Zmniejszenie ciśnienia w warstwie rzy ściance n RT a N N b Równanie van der Waalsa (Nobel 1910) : an N b n RT Nk T stała Boltzmanna: 3 k B 1.38110 B J K gdzie: R k B N A rzyciąganie W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 3/33 Równanie stanu gazów Gazy rzeczywiste Wartości arametrów a i b w równaniu van der Waalsa dla wybranych substancji Substancja a [J m 3 /mol ] b [cm 3 /mol] He 0.00346 3.7 H 0.048 6.6 N 0.141 39.1 O 0.138 31.8 CO 0.364 4.7 Xe 0.45 51.0 Jaka jest wielkość orawek objętości i ciśnienia w stosunku do gazu doskonałego w warunkach normalnych? T = 0 º C, 0 ciśnienie normalne eff N b eff a N W temeraturze bliskiej okojowej i rzy ciśnieniu normalnym rzybliżenie gazu doskonałego jest bardzo dobre. Odstęstwa ojawiają się rzy niskich temeraturach i dużych ciśnieniach. W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 4/33 1

ciecz 018-10-18 Równanie stanu gazów Diagramy - Izotermy gazu doskonałego i gazu rzeczywistego T 3 > T > T 1 T k - temeratura krytyczna gaz ara T k n RT T k Izotermy := linie =const na diagramie W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 5/33 Równanie van der Waalsa an nb nrt albo nrt an nb Ustalmy ilość substancji na jeden mol (n = 1) i omnóżmy obie strony równania rzez: ( b) : 3 3 ( b) RT b b RT RT a( b), a ab 0, a ab 0. Jest to równanie 3-go stonia względem. Równanie to ma albo trzy ierwiastki rzeczywiste albo jeden. Zatem dla ustalonej wartości T, każdej wartości odowiadają albo trzy wartości albo jedna. W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 6/33 13

ciecz 018-10-18 Izotermy van der Waalsa Kładziemy n = 1 i rozważamy izotermy, czyli linie T = const. RT a b [j.u.].0 skala liniowa 1.5 T = 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5.0.5 3.0 [j.u.] T = 1. T = 1.05 T = 1.0 T = 0.95 T = 0.90 T = 0.85 ara gaz T k T = 1.0 = T k Jak związać izotermy Dla dużych wartości T izotermy są takie jak dla gazu doskonałego. van der Waalsa dla T < T k z izotermami doświadczalnymi? W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 7/33 Fizyczna orawka izotermy van der Waalsa Rozważmy izotermę dla T < T k 1.5 k 1.5 k Konstrukcja Maxwella 1.0 1.0 0.5 T 0. 9 T k 0.5 A a b B T 0. 9 T k 0.0 1 3 k Przebieg izotermy w tym miejscu jest niefizyczny! Ciśnienie nie może maleć rzy izotermicznym srężaniu! 0.0 1 3 k Wrowadzamy odcinek AB tak, aby ole części a było równe olu części b. Twierdzimy, że odcinek ten rerezentuje rzeczywisty rzebieg izotermy między unktami A i B. W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 8/33 14

018-10-18 Interretacja izotermy v.d.w. o wyrostowaniu 1.5 1 : Gaz (ara) jest izotermicznie srężany, objętość maleje, ciśnienie rośnie. k 1.0 0.5 0.0 6 5 4 3 1 3 k 1 W unkcie mamy arę nasyconą. Dalsze srężanie rzez stany równowagi biegnie rostym odcinkiem 5. 5: Skralanie ary, na tym odcinku wsółistnieją dwie fazy: ciekła i gazowa. W unkcie 5 mamy samą ciecz. Punkty 3 i 4 oisują stany fizycznie możliwe, ale nietrwałe. W unkcie 3 mamy arę rzesyconą, a w unkcie 4 ciecz rzegrzaną. 5 6: Srężanie cieczy, ciśnienie rośnie gwałtownie wraz ze zmniejszaniem się objętości. W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 9/33 Powierzchnia stanów wg równania van der Waalsa Jedna izoterma jest wyróżniona. Jest to linia dla takiej temeratury T k, że dla każdej wartości T T k równanie v.d.waalsa na ma tylko jeden ierwiastek rzeczywisty. Dla T = T k izoterma krytyczna. Ma ona unkt rzegięcia (znika ierwsza i druga ochodna). Jest to unkt krytyczny. Wartości T k, k i k w unkcie krytycznym to arametry krytyczne substancji. Można wykazać, że arametry krytyczne dla r-nia van der Waalsa (dla n = 1) wynoszą: 8a Tk, k 7Rb 3b, a 7b W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 018/019 30/33 k. 15

ciecz 018-10-18 Gazy rzeczywiste Parametry krytyczne wybranych substancji Substancj a k [MPa] k *10-6 [m 3 /mol] T k [K] He 0.7 57. 5. 0.300 H 1.30 65.0 33. 0.306 N 3.39 89.5 16. 0.89 O 5.05 73.4 154.6 0.88 CO 7.38 94 304. 0.74 H O.06 56 647.1 0.30 Hg 174 4.7 1750 0.511 Li 66.10 66 300 0.164 z k Łatwo okazać, że arametry krytyczne dla równania van der Waalsa sełniają związek: z k k RT k k 3 8 0.375 wsółczynnik krytyczny W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 017/018 31/33 Diagram fazowy w modelu van der Waalsa obszar wsółistnienia faz krzywa wsółistnienia (linia równowagi) gaz unkt krytyczny ciecz gaz ciecz i ara nasycona ara Przy temeraturze T > T k nie da się skrolić gwałtownie gazu rzez zwiększanie ciśnienia W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 017/018 3/33 16

018-10-18 Punkt krytyczny materii k ciecz ara T k T Okrążając unkt krytyczny możemy w sosób ciągły rzekształcić arę w ciecz. W unkcie krytycznym znika różnica omiędzy fazą ciekłą a gazową. Wystęują znaczne fluktuacje gęstości rzyczyna oalescencji krytycznej. W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika 017/018 33/33 17