Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151, kurs 15h

Wydział Elektroniki 015/016 Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151, kurs 15h LISTA 1 Listy zadań opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz 1. Urządzenie składa się z 3 elementów. Każdy z elementów może mieć jedną z trzech jakości. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: a) A - wszystkie elementy są takiej samej jakości; b) B - co najmniej dwa elementy są takiej samej jakości; c) C - każdy element jest innej jakości. Czy zdarzenia A oraz C są przeciwne?, czy zdarzenia A oraz C są rozłączne?, czy B oraz C są przeciwne?, czy zdarzenia A B oraz C są równe?. Niech A k, k = 1,,..., n oznacza zdarzenie: k-ty podzespół w urządzeniu zbudowanym z n podzespołów jest sprawny. Zapisać zdarzenia: a) podzespół pierwszy i drugi są sprawne, pozostałe są zepsute; b) co najmniej jeden z podzespołów A 1 lub A jest zepsuty, pozostałe sprawne c) tylko jeden z A 1 oraz A jest zepsuty, pozostałe są sprawne. d) dokładnie podzespoły są sprawne. 3. Niech A, B, C oznaczają dowolne zdarzenia w (Ω, F, P ). Wykazać,że: a) P (A B C) = = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C); b) jeśli A B to P (Ā) P ( B); c) dla C = A B Ā B (C oznacza: zaszło tylko jedno ze zdarzeń A,B) zachodzi P (C) = P (A) + P (B) P (A B). 4. Wśród m losów; m 5 jest 5 wygrywających. Dla jakich m prawdopodobieństwo zdarzenia: zakupione losy będą wygrywające jest mniejsze niż 0.5. 5. Hasło dostępu składa się z 6 małych liter alfabetu o 5 znakach i cyfr na końcu. Jakie jest prawdopodobieństwo odgadnięcia hasła dla osoby, która wie, że ostatnia cyfra jest nieparzysta i hasło zawiera dokładnie litery w. 6. W pudle są kule białe i czarne. Razem jest ich n, n >. Ile powinno być kul czarnych, aby prawdopodobieństwo wylosowania (bez zwracania) dwóch kul różnych kolorów było takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru? 7. Rzucamy kostką sześcienną dopóki pojawi się 1 lub 6. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: 1 lub 6 pojawi się po raz pierwszy na parzystym miejscu. 8. O pracę w pewnej firmie ubiega się n osób. Poproszono 3 specjalistów, aby każdy niezależnie uszeregował je według przydatności do pracy. Do pracy zostanie przyjęta osoba, którą przynajmniej specjalistów umieści na pierwszym miejscu. Obliczyć prawdopodobieństwo,że jedna z n osób zostanie 1

przyjęta. 9. W produkcji firmy A jest 1% braków, zaś w produkcji firmy B jest ich %.Kupujemy jeden produkt firmy A oraz jeden firmy B. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) przynajmniej jeden jest dobry; b) obydwa są dobre; c) tylko jeden z nich jest dobry. 10. Dwie osoby umawiają się na spotkanie. Każda z nich przychodzi w losowej chwili między godziną 16 a 17 i czeka 15 min. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają? Ile czasu powinna czekać każda z osób, aby prawdopodobieństwo spotkania było większe niż 0.75? 11. Pręt długości 40 cm zgięto w losowo wybranym punkcie pod kątem prostym, a następnie zgięto jeszcze w punktach tak, aby powstała prostokątna ramka o obwodzie 40 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pole obszaru ograniczonego ramką jest: a) większe niż 75 cm?; b) równe 75 cm? Odpowiedzi do Listy 1. zad.1 Zdarzenia A, C są rozłączne; nie są przeciwne. Zdarzenia B, C są przeciwne; A B = C zad. a) A 1 A Ā3... Ān = A 1 A ( n k=3 A k ) b)(ā1 Ā) n k=3 A k c)(ā1 A Ā A 1 ) n k=3 A k d) i<j(a i A j n k=1 Ā k )i, j = 1,,..., n; k i; k j. zad.3 Wsk. a) A B C = (A B) C i zast. dwukrotnie wzór na sumę zdarzeń b)a B B Ā. c)zdarzenia A B oraz Ā B są rozłączne i A = (A B) (A B) to P (A B)+P (A B) = P (A). zad.4 m 7; zad.5 1 4883000 ; zad.6 n n = n( n 1) lub n+ n, zadanie ma rozwiazanie gdy n jest kwadratem liczby naturalnej. zad.7 5 ; zad.8 P(A)= 3n n ; zad.9 a) 09998; b) 0.970; c) 0.096 7 zad.10 odp., (wykorzystać prawdopodobieństwo geometryczne) 16 zad.11 odp. a) 1 ; b) 0, (wykorzystać prawdopodobieństwo geometryczne) LISTA 1. Wśród wyrobów firmy A jest 0.5% wadliwych, firmy B jest % wadliwych zaś firma C ma 1% wadliwych. Z partii towaru zawierającej 500 elementów firmy A,300 firmy B oraz 00 firmy C losujemy jeden element.obliczyć prawdopodobieństwo, że a) jest on dobry, b) jest dobry i pochodzi z firmy B,

c) wyprodukowała go firma C, jeśli wiemy,że jest dobry.. Dwie wyrzutnie W1 oraz W specjalnymi pociskami gaszą reaktor. W tym samym czasie gdy wyrzutnia W1 wyrzuca 9 pocisków to W wyrzuca 10. W1 trafia w cel z prawdopodobieństwem 0.8, zaś W z prawdopodobieństwem 0.7. Reaktor został trafiony. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zrobiła to W? 3. Test na obecność pewnego wirusa w organizmie daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0.98, jeśli wirus jest w organizmie. Jeśli wirusa w organizmie nie ma to prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi 0.07. Zakłada się, że 1 % populacji jest zarażona wirusem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) test dał wynik pozytywny u losowo wybranej osoby z tej populacji; b) losowo wybrana osoba jest zarażona wirusem, jeśli test dał wynik pozytywny. 4. Wiadomo,że przeciętnie 5 % badanych elementów ma wadę. Do wykrycia wady wykorzystuje się następujący test. Jeśli element ma wadę to test w 90 % wskazuje jej istnienie ( wynik testu jest pozytywny) i w 90 % nie wskazuje wady,gdy element jej nie ma. Jakie jest prawdopodobieństwo, że element ma wadę,jeśli wynik testu jest pozytywny? Jakie będzie powyższe prawdopodobieństwo, jeśli element zostanie poddany testowi dwukrotnie i w obu przypadkach wynik testu będzie pozytywny? 5. Podać przykład przestrzeni probabilistycznej (Ω, A, P ), i wskazać dwa zdarzenia niezależne. 6. Wykazać,że jeśli zdarzenia A i B są niezależne to niezależne są A i B. 7. Uzasadnić,że jeśli P (A B) = P (A B) to zdarzenia A i B są niezależne. 8. Grupie studentów zadano pytanie: "czy ściągają na egzaminach?" i poproszono o odpowiedź z wykorzystaniem następujacej metody losowej. Polega ona na tym,że każdy student rzuca monetą :jeśli wypadnie orzeł i student nie ściąga to odpowiada :"NIE" w pozostałych przypadkach odpowiada :"TAK". Przyjmując,że 40% studentów ściąga,obliczyć prawdopodobieństwo,że losowo wybrana osoba odpowie "NIE".Jak oszacować procent studentów ściągających, jeśli w grupie było 0% odpowiedzi "NIE". 9. Dla zdarzeń A, B mamy P (A) = 1, P (B) = 1, P (B A) = 1 3. Obliczyć P (A B), P (Ā B), P (A B), P (B A B), P (A B B). 10. Zdarzenia A, B są niezależne oraz P (Ā) = 1, P (B) = 1. 3 4 Obliczyć P (A B), P (A B); P (Ā B), P (Ā A B). Odpowiedzi do Listy zad.1 a) 0.9895; b) 0.94; c) 0. zad. 35 71 zad.3 a) 0.0791; b) 0.139 zad.4 a) 9 ; b) 0.81; 8 zad.6 P (A)P ( B) = P (A)(1 P (B)) = P (A) P (A B) = P (A B) bo A,B są niezależne oraz 3

A B i A B są rozłączne i ich sumą jest A. zad.8 P("NIE")=0.3; P(ściąga)=0.6; zad.9 5, 1, 1, 3, 1. 6 6 3 5 zad.10 1, 3, 5, 1. 4 6 9 LISTA 3 1. Z talii 5 kart losujemy bez zwracania karty. Jeśli wśród nich będą : piki to wygrywamy 0 punktów, jeśli tylko jeden pik wygrywamy 10 pkt,jeśli żadnego pika przegrywamy 5 pkt (wygrywamy -5 pkt). Niech zmienna losowa X oznacza wartość wygranej.wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę X.. Spośród 3 dobrych i wadliwych elementów losujemy jednocześnie 3 elementy.wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę zmiennej losowej X, gdzie X jest liczbą wylosowanych elementów wadliwych. Z wykresu dystrybuanty odczytać: P (X > 1), P (1 X < 4). 3. Rzucamy kostką tak długo, aż pojawi się szóstka. Niech zmienna losowa X oznacza numer rzutu, w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę X. Obliczyć a) P( X 10); b) P (X 10). 4. Sprawdzić, że podana funkcja F (x) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X F (x) = Obliczyć P (0 < X < 4), P (X = 4), P (X > 1). 5. Dla jakich stałych c, d funkcja 1 8 0, x 0 x + 1, gdy 0 < x 4 4 1 1, x > 4 x 0, x 0 F (x) = cx + d, gdy 0 < x 1 1, x > 1 a) jest dystrybuantą; b) jest dystrybuantą i funkcją ciągłą; c) narysować F (x) dla c = 1, d = 1 i dla zmiennej losowej X o takiej dystrybuancie obliczyć 4 P (0 X < 1), P (X = 0), P (X > 1), P ( 1 X < ). 6. Dla jakich stałych a, b funkcja a) jest dystrybuantą b) jest dystrybuantą i funkcją ciągłą Odpowiedzi do Listy 3 a, x 1 x F (x) = bx + 1, gdy 1 < x 1 1, x > 1 4

zad.1 P (X = 5) = 57 39 6, P (X = 10) =, P (X = 0) = 10 10 10 0, gdy t 5, 57, gdy 5 < t 10, F (t) = 10 96, gdy 10 < t 0 10 1, gdy t>0 zad. P(X=0)=0.1; P(X=1)=0.6; P(X=)=0.3 F (t) = 0, gdy t 0, 0.1, gdy 0 < t 1, 0.7, gdy 1 < t 1, gdy t> P (X > 1) = 0.3; P (1 X < 4) = 0.9. zad.3 X-numer rzutu w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy P (X = k) = 1 6 ( 5 6 )k 1, F (t) = k<t 1 6 ( 5 6 )k 1, k = 1,,...; t R, a) 1 F (10) = ( 5 6 )9 ; b) P (X 10) = F (11) = 1 ( 5 6 )10 ; zad.4 F (x) jest funkcją lewostronnie ciągłą, lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1, F (x) jest niemalejąca gdyż F (x) 0 dla x 0, x 4 i F (0) = 0 F (0 + ) = 1 4 i F (4) = 0.5 F (4 + ) = 15 16 P (0 < X < 4) = 0.5 0.5 = 0.5, P (X = 4) = F (4 + ) F (4) = 7 16, P (X > 1) = 1 F (1 + ) = 5 8, zad.5 a)c 0, d 0, c + d 1; b) c = 1, d = 1; c) 1 8, 1 4, 0, 7 8. zad.6a) a 0, 0 b 0.5, b 0.5 a, 6b)a = 0 i b = 0.5. LISTA 4 1. Spośród liczb 1,, 3,..., 0 losujemy 4 razy ze zwracaniem po jednej liczbie.obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 4 wylosowanych liczb będą: a) co najmniej liczby mniejsze od 16; b) liczby podzielne przez 5; c) żadnej liczby większej niż 5. W każdym przypadku wykorzystać rozkład dwumianowy z odpowiednimi parametrami.. Prawdopodobieństwo,że w każdej sekundzie pojawi się sygnał wynosi 3. Obliczyć prawdopodobieństwo: 5 a) w ciągu minut pojawią się 3 sygnały; 5

b) w ciągu minut pojawią się co najmniej sygnały. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pojawień się sygnału w przeciągu 11s, 1s a jaka w przeciagu 14 s? 3. Partia towaru zawiera 1 % braków. Ile elementów należy sprawdzić, aby prawdopodobieństwo wykrycia co najmniej jednego braku było większe niż 0.9. 4. Prawdopodobieństwo, że wyprodukowana płytka będzie wadliwa wynosi p=0.0. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii 100 płytek są co najwyżej wadliwe? Podaj rozwiązanie dokładne i przybliżone rozkładem Poissona. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wadliwych płytek w partii 100 płytek. 5. Prawdopodobieństwo, że adresat zakupi towar z otrzymanej pocztą reklamy wynosi 0.01. Reklamę wysłano do do 500 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) towar zakupią 4 osoby b) mniej niż 4 osoby. Podać rozwiązanie dokładne i przybliżone rozkładem Poissona. 6. Liczba samochodów, które ulegają wypadkowi w ciągu jednego dnia w danym mieście i wymagają naprawy w warsztacie ma rozkład Poissona z parametrem λ = 10. Ile miejsc do naprawy należy przygotować, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0.95 było wolne miejsce dla uszkodzonego samochodu. 7. Liczba awarii w pracowni komputerowej, w ciągu dnia jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem λ = 4. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba awarii? Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 10 dni będą dni, z liczbą awarii równą 8? 8*. Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w m komputerach? Wykonaj obliczenia dla λ = 8, p=0.15, m=10. Odpowiedzi do Listy 4 zad.1 a) "sukces"-wylosowanie liczby mniejszej niż 16; X-liczba sukcesów wśród wylosowanych 4 liczb; X B(4, 3 43 ); P (X ) = ; 4 56 b) Y B(4, 1 ), P (Y = ) = 96/65; 5 c) Z B(4, 1 ), P (Z = 4) = 1/56 4 zad. X-liczba sygnałów w ciągu min. X B(10, 3 ), najbardziej prawdopodobna liczba sygnałów 5 to odpowiednio: 73; 73; 74 lub 75. zad.3 n 30, zad.4 X-liczba elementów wadliwych wśród 100 elementów; X B(100; 0.0); P (X ) = (0.98) 100 + (0.98) 99 + 4950(0.0) (0.98)98 0.676686 z rozkładu Poissona z λ = mamy P (X ) = 0.6767, k 0 =. zad.6 X-liczba uszkodzonych samochodów P (X n) > 0.95, z tablic rozkładu Poissona dla λ = 10 odczytujemy : n 15. zad.7 Niech X- liczba awarii komputerów w ciągu dnia, p = P (X = 8) = 0.0896, 6

Y-liczba dni wsród 10 dni z liczba awarii komputerów równą 8, Y B(10, p) P (Y = ) = 0.983. zad.8* z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy (pλ)m m!e pλ. LISTA 5 1. Dla jakiej stałej a funkcja a( x), gdy 1 < x < a) f(x) = 0, gdy x 1 lub x b) f(x) = ae x jest gęstością pewnej zmiennej losowej X. W przykładach a), b) znaleźć dystrybuntę zmiennej losowej X, naszkicować wykres gęstości oraz dystrybuantę. Obliczyć P (1 < X < 5), P (X < 0 X > 1).. Czas pracy diody jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z α = 10 4. Wiadomo, że dioda pracowała bezawaryjnie przez 1000h, jakie jest prawdopodobieństwo, że popracuje co najmniej 6000h? 3. Prawdopodobieństwo wykrycia awarii urządzenia w czasie krótszym niż t minut wynosi F (t) = 1 e 5t. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wykrycie awarii potrzeba: a) więcej niż 4 min. b) więcej niż 4,ale mniej niż 6 min. c) co najwyżej 5 min. Ile potrzeba czasu na wykrycie awarii z prawdopodobieństwem większym niż 0.5? 4. Narysować funkcję gęstości zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(-3,). Obliczyć, korzystając z tablic statystycznych : P ( 1 X 1), P (X > ), P ( 3 X 1), P (X 5), P (X > 10), P ( X > ). 5. Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozkład N(1000,100).Jaki powinien być okres gwarancji, aby na 99% miernik działał przynajmniej przez okres gwarancji? 6. Czas działania (w dniach) drukarek pewnego typu ma rozkład N(1000,σ).Dobrać σ,aby drukarka działała co najmniej 900 dni z prawdopodobieństwem 0.95. 7. W windach osobowych jest napis: "maksymalne obciążenie 7 osób albo 500 kg". Zakładając,że waga pasażera ma rozkład N(70,4) obliczyć prawdopodobieństwo, że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 500 kg. 8. Czasy pracy każdego z n elementów są niezależne i mają taki sam rozkład wykładniczy z parametrem α = 0.001. Niech zmienna losowa X oznacza czas pracy układu złożonego z n elementów połączonych równolegle, zaś zmienna losowa Y czas pracy układu złożonego z n elementów połączonych szeregowo. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość X oraz Y. 9. Czas oczekiwania na połączenie z serwerem dla każdego użytkownika ma rozkład wykładniczy z α =0. s. Z serwera korzysta jednocześnie i niezależnie 100 użytkowników. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: najkrótszy z czasów oczekiwania na połączenie jest większy niż 5s; najdłuższy mniejszy niż 10s. 7

10. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję dla następujących zmiennych losowych: a) zmienna losowa X każdą z wartości 1,,3,4 przyjmuje z takim samym prawdopodobieństwem; b) P( Y = -)= P( Y = 0)= 0.1; P( Y = )=0.8; c) W jest wygraną loterii gdzie jest n 1 losów na które pada wygrana x 1, n losów na które pada wygrana x,..., n k losów na które pada wygrana x k. 11. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o dystrybuancie : 0, gdy x 1, 0, gdy x 1, a) F (x) = x 1, gdy 1 < x < 4 1 b) F (x) = (x + 1), gdy 1 < x < 4 1, gdy x 4 1 1, gdy x x 1. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o gęstosci: 8, gdy 1 < x < 0, gdy x 0 a) f(x) = 3x 3 b) f(x) = x, gdy 0 < x 1 0, gdy x 1 lub x 3, gdy x > 1 x 4 13. Wiedząc,że: EX = 1, EX = 3 obliczyć: varx, E(4X 1), var(3x 1), E( X ), var( X ). 14. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b]. Dla jakich stałych A, B zmienna losowa Y = AX + B ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1]. 15. Zmienna losowa X ma rozkład B(n,p). Dla jakich p wariancja X jest największa? 16. Dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z α = wyznaczyć medianę oraz kwantyl rzędu 3. Jaka jest interpretacja otrzymanych wartości? 4 17. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [1, 4]. Wyznaczyć dystrybuantę oraz gęstość zmiennej losowej Y = X. Obliczyć E X 18*. Układ składa się z n elementów połączonych równolegle. Czasy działania kolejnych elementów to niezależne zmienne losowe X 1,..., X n o takim samym rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,10]. Jaka jest najmniejsza liczba elementów n, dla której wartość oczekiwana czasu Y działania całego układu jest większa lub równa 8? Odpowiedź uzasadnij. Odpowiedzi do Listy 5 zad.1 a) a=/9 0, gdy t 1, 4 F (t) = 9 t 1 9 t + 5, gdy 1 < t, 9 1, gdy t >. P (1 < X < 5) = 1 9, P (X < 0 X > 1) = 3 ; b) a=1/ 1 F (t) = et, gdy t 0 1 1 e t, gdy t > 0 P (1 < X < 5) = 1 (e 1 e 5 ), P (X < 0 X > 1) = 1 (1 + e 1 ). zad. P (X > 5000) = e.5 ; 8

zad.3 a) P (X > 4) = e 0 ; b) P (4 < X < 6) = e 0 e 30 ; c) P (X 5) = 1 e 5 ; P (X < T ) 0.5 dla T 0. ln(). zad.4 P ( 1 < X < 1) = Φ() Φ(1) = 0.1359 P (X > ) = 1 Φ(0.5) = 03085; P ( 3 < X < 1) = 0.3413; P (X < 5) = Φ(4) = 1; P (X > 10) = 1; P ( X > ) = 1 Φ(.5) + Φ(0.5) zad.5 co najwyżej 767 dni zad.6 Φ( 100 ) 0.95, σ 61, σ zad.7 0.1711, zad.8 X = max(x 1, X,..., X n ); Y = min(x!, X,..., X n ) 0, gdy t < 0 F X (t) = (1 e tα ) n, gdy t 0 0, gdy t < 0 f X (t) = nαe tα (1 e tα ) n 1, gdy t > 0 0, gdy t < 0 F Y (t) = 1 e ntα, gdy t 0 0, gdy t < 0 f Y (t) = nαe ntα, gdy t > 0 zad.9 a) 0.999999997, b) 0.05457 zad.10 a)ex= 5, varx= 5 4 ; b) EY=1.4, vary=1.64 c) EW = 1 Ni=1 x N i n i,, varw = 1 Ni=1 x N i n i (EW ) zad.11 a) EX= 7 34, varx= ; 3 45 zad.1 a) EX = 4, varx = 8 ln 16 3 3 9 b) EX = 1 0 x dx + 3 1 x 3 dx = 13, 1 EX = 1 0 x3 dx + 3 1 x dx = 7 4 V arx = 83 144 zad.13 ; -5; 3; 0; 8. zad.14 A = 1 albo A = 1 ; b a b a zad.15 p=0.5 B = 1 A (a + b). zad.16 mediana=ln, kwantyl rzędu 3 4 = ln zad.17 F Y (x) = P (Y < x) = P ( X < x) = F X (x ) F Y (x) = 0, x 1 x 1 3, gdy 1 < x 1, x > 9

f Y (x) = x 1 < x < 3 0, poza E X = 14 9 LISTA 6 1. Prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie wynosi 0.9. Oszacować: a) wykorzystując nierówność Czebyszewa; b) centralne twierdzenie graniczne prawdopodobieństwo,że w 400 niezależnych próbach liczba porażek będzie większa niż 30 i mniejsza niż 400.. Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi 0.5. Ile prób należy wykonać,aby prawdopodobieństwo,że liczba sukcesów odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej niż 0% wszystkich prób było większe od 0.8? 3. Prawdopodobieństwo,że wyprodukowany detal okaże się dobry wynosi 0.9. Ile elementów należy wyprodukować,aby prawdopodobieństwo, że będzie wśród nich co najmniej 50 dobrych było większe niż 0.95. 4. Komputer dodaje 100 liczb rzeczywistych przedtem każdą zaokrąglając do najbliższej liczby całkowitej.zakładamy, że błędy zaokrągleń są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [-0.5; 0.5]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że błąd w obliczaniu sumy będzie większy niż 5 i mniejszy niż 10? 5. Czas pracy diody (w godz.) jest wykładniczy z α = 0.001.Jakie jest prawdopodobieństwo,że zapas 100 diod wystarczy na co najmniej 80000 godzin pracy? 6. Korzystając ze zdjęć satelitarnych mierzono odległości między obiektami. Niech X 1, X,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi opisującymi wyniki kolejnych pomiarów. Założono,że EX k = d, varx k = 1, k=1.,...,n. Za oszacowanie odległości d przyjęto Y n = 1 n X k n k=1 Ile pomiarów należy wykonać, aby P ( Y n d 0.1) 0.99 7. Jeśli gracz wyrzuci kostką sześcienną 6 oczek to wygrywa 4 zł, w przypadku innej liczby oczek przegrywa 1 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 500 rzutach przegra więcej niż 00 zł? 8. Zmienne losowe X 1, X,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.5 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1 100 Σ100 k=1x k przyjmie wartości mniejsze niż 4 i większe niż 3.5. Dla jakiego n, 1 n Σn k=1x k odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej niż 1,z prawdopodobieństwem większym niż 0.9? 9. Liczba awarii sieci energetycznej w ciagu doby jest zmienną losową X k, k = 1,,...o rozkładzie Poissona z parametrem λ = 4. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciagu 00 dób liczba awarii będzie większa niż 700 i mniejsza niż 850? (Zast.centralne tw.graniczne). 10

b) Do czego zmierza według prawdopodobieństwa 1 n nk=1 X k gdy n? 10. Czasy produkcji (w sek.) elementów X k, k = 1,,... są niezależymi zmiennymi losowymi i mają rozkład normalny N(1, 3). a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że czas produkcji 100 elementów będzie dłuższy niż 1150 sek. i krótszy niż 1300 sek. Zastosować centralne tw.graniczne. b) Do czego zmierza według prawdopodobieństwa 1 n nk=1 X k gdy n? 11. Czas kontroli (w sek.) jednego wyrobu jest zmienną losową o gęstości 0, gdy x 0 f(x) = x, gdy 0 < x 1 3, gdy x > 1 x 4 Przerwa po kontroli (w sek.) każdego wyrobu jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,]. Czasy kontroli wyrobów oraz czasy przerw tworzą niezależne ciągi niezależnych zmiennych losowych. Oszacuj prawdopodobieństwo, że kontrola 144 wyrobów wraz z 144 przerwami będzie trwała krócej niż 30 sek. Odpowiedzi do Listy 6 zad.1 a)większe niż 391 400 ; b) 1 zad. z nierówności Czebyszewa n 4 zad.3 n 60 zad.4 Φ(1) Φ(0.5) = 0.1498 zad.5 Φ()=0.977 zad.6 z nierówności Czebyszewa n 10000, z centralnego tw.granicznego n 666 zad.7 Φ(.8) = 0.006 zad.8 n 44 zad.9 a) Φ(1, 77) Φ( 3.53) = 0, 96, b) 4 zad.10 a) Φ(3.33) Φ( 1.66) = 0, 95, b) 1 zad.11 Φ(1, 75) = 0, 9599 LISTA 7 1. Łączny rozkład wektora losowego (X, Y ), gdzie zmienna losowa X jest liczbą spalonych zasilaczy w pracowni w ciagu dnia, zmienna losowa Y jest liczbą przepięć w sieci energetycznej opisuje tabela X/ Y 0 1 0 0.9 0.01 0 1 0.0 0 0.0 0.01 0.03 0.01 11

a) Obliczyć P ((X, Y ) (0, 0), (, 1)}). b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennej losowej X oraz Y. Ile wynosi P (X = 1), P (Y = 0). Obliczyć EX, EY. c) Czy zmienne losowe X, Y są niezależne? d) Oliczyć kowariancję i wspólczynnik korelacji zmiennych X, Y.. Gęstośc wektora losowego (X,Y)jest postaci: f(x, y) = 3 8 (x y + y), gdy 0 x 1, 0 y Obliczyć P (0.5 < X < 1, 1 < Y < ), P (Y > 1), P (X > 0.5 Y < 1), P (Y > X). 3. Czy można dobrać stałą c, aby funkcja cy f(x, y) = cosx, gdy π x π, 0 y była gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej? Jeśli tak, to: a) znaleźć rozkłady brzegowe b) wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X,Y. Czy X,Y są niezależne? 4. Wektor losowy (X,Y) ma funkcję gęstości postaci: Obliczyć EX. f(x, y) = ye x, gdy x > 0, 0 < y < 1 5. Wektor losowy (X,Y) ma funkcję gęstości postaci: f(x, y) = Obliczyć P (X < 1, Y < 1 ), P (Y < X), EY. 16 3 xy, gdy 0 < x < 1, x3 < y < 1 6. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład jednostajny na trójkącie o wierzchołkach w punktach (-1,0); (1,0); (0,). Wyznaczyć gęstość wektora losowego (X,Y). Sprawdzić, czy zmienne losowe X oraz Y są niezależne? Jaki jest ich współczynnik korelacji? 7. Gęstość wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem f(x, y) = 1 x +y π e. a)czy zmienne losowe X, Y są niezależne? b)obliczyć P (X > 1.) c)obliczyć P (X, Y ) A gdzie A = (x, y) : x + y < 1. d)jaki jest współczynnik korelacji zmiennych losowych X,Y? 1

8. Współczynnik korelacji zmiennych losowych X,Y wynosi 0.5. Jaki współczynnik korelacji mają zmienne losowe 4X 3, Y + 4? Odpowiedzi do Listy 7 zad.1 a) 0.93 b) P (X = 1) = 0.04, P (Y = 0) = 0.93 EX = 0.14, EY = 0.1, c) X, Y nie są niezależne. X/ Y 0 1 rozklad X 0 0.9 0.01 0 0.91 1 0.0 0 0.0 0.04 0.01 0.03 0.01 0.05 rozklad Y 0.93 0.04 0.03 d) cov(x, Y ) = E(XY ) EX EY = 0.16 varx = 0.04, vary = 0.15, ρ(x, Y ) = 0.693 zad. P (0.5 < X < 1, 1 < Y < ) = 57 ; P (Y > 1) = 0.75; 18 P (X > 0.5 Y < 1) = 19 ; P (Y > X) = 0.9 zad.3 c = 3 8 3 -cosx, gdy π f X (x) = < x < π 3 f Y (y) = 8 y, gdy 0 < y < Zmienne losowe są niezależne zatem cov(x, Y ) = ρ(x, Y ) = 0. zad.4 EX=1; zad.5 P (X < 0.5, Y < 0.5) = 63 768, P (Y < X) = 1 3, EY = 1 0 8 3 zad.6 f(x, y) = f X (x) = f Y (y) = Zmienne X,Y są zależne. cov(x,y)=0, ρ(x, Y ) = 0 zad.7 a)x, Y sa niezależne, b) 0.1587 c) 1 1 e, d) ρ(x, Y ) = 0 zad.8 ρ(x, Y ) = 0.5 1, gdy (x, y)ɛ 0, (x, y) / x + 1, gdy 1 x 0 x + 1, gdy 0 x 1 0, poza 1 y 3 y8 dy = 8 11. I to już wszystko. 13