Metodologia klasyczna

Metodologia klasyczna Podział na zmienne z egzo i endogeniczne jest z góry znany Forma funkcyjna modelu jest z góry znana Zmienne w modelu sa stacjonarne Forma modelu wynika z wiedzy a priori (np. ekonomicznej) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1

Krytyka Lukasa metodologi klasycznej Model ekonometryczny opisuje zachowanie racjonalnych podmiotów W modelu ekonometrycznym zachowania te uzależnione sa zachowania zmiennych egzogenicznych od Jeśli zmieni się proces generujacy zmienne ogzogeniczne to racjonalny podmiot weźmie to pod uwagę i zmieni swoje zachowania W rezultacie parametry modelu opisujace zachowanie podmiotu ulegna zmianie Najbardziej interesujacy przypadek: zmiana polityki rzadu Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 2

Krytyka Simsa metodologii klasycznej Prognozy z dużych modeli wielorównaniowych nie sa lepsze od prognoz z ARIMA Wysokie R 2 i istotne t uzyskiwane dzięki nieustrukturyzowanemu przekopywaniu danych: obciażenie Lavella przypadkowe zmienne w modelu Krytyka Simsa Teoria ekonomii skupia się na warunkach, które spełnia stan równowagi W modelach dynamicznych ograniczenia identyfikujace parametry sa więc arbitralne Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 3

Wszystko zależy od wszystkiego - podział na zmienne endo i egzogeniczne często arbitralny Propozycja Simsa Analizujmy własności dynamiczne modelu a nie jego strukturę Szczególnie zwracajmy uwagę na reakcję modelu na szoki (interwencje rzadu, nieprzewidywane zdarzenia) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 4

Model V AR forma strukturalna Forma strukturalna bez ograniczeń Ax t = B 1 x t 1 +... + B k x t k +ΨD t +u t gdzie: u t N (0, Σ) x t jest wektorem losowym p 1 D t jest wektorem nielosowym o wymiarach m 1 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 5

Σ jest macierza symetryczna p p W takiej formie modelu V AR możliwy jest zarówno równoczesny jak i opóźniony zwiazek między zmiennymi. Zmiennymi objaśniajacymi sa opóźnione zmienne endogeniczne - pełnia one w tym modelu rolę zmiennych egzogenicznych (z góry określonych) D t zawiera elementy deterministyczne takie jak stała, trend, zmienne zero jedynkowe zwiazane ze zmianami sezonowymi. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 6

Forma zredukowana (standardowa) Mnożac formę strukturalna lewostronnie przez A 1 : x t = A 1 B 1 x t 1 +... + A 1 B k x t k +A 1 ΨD t +A 1 + ɛ t zmieniajac oznaczenia x t = Π 1 x t 1 + + Π k x t k + ΦD t + ε t, ε t NID (0, Ω) gdzie Π i = A 1 B i, Φ= A 1 Ψ, ɛ t = A 1 u t, Ω = A 1 ΣA 1 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 7

W przypadku modelu V AR w postaci zredukowanej wartość zmiennej zależnej zależy wyłacznie od wartości opożnionych tej zmiennej oraz wartości opóźnionych innych zmiennych wyjaśnianych przez model. Parametry modelu V AR w postaci standardowej (zredukowanej) nie maja interpretacji strukturalnej. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 8

Estymacja modelu V AR Zazwyczaj estymuje sie jedynie formę zredukowana Może zostać oszacowany M N K zastosowanym do poszczególnych równań jeśli w modelu nie występuje autokorelacja Jeśli autokorelacja występuje, to pojawi się problem równoczesności i estymatory MNK nie będa zgodne Występowanie autokorelacji można przetestować za pomoca wielowymiarowej wersji testu Breuscha-Godfreya W modelu powinniśmy mieć ilość opóźnień wystarczajac a do wyeliminowania autokorelacji Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 9

Problem: jak dobrać wielkość ilości opóźnień k Zastosować metodę od ogólnego do szczegółowego 1. Zaczać od największej sensownej ilości opóżnień równej s 2. Testować kolejno modele z s 1, s 2,..., s r opóźnień aż hipoteza łaczna o nieistotności r opóźnień zostanie odrzucona 3. Przyjmujać, że w modelu jest s r opóźnień. Zastosować jakieś kryterium informacyjne: Akaike ) AIC = 2n 1 l ( θ + n 1 K ln n Bayesowskie ) BIC = 2n 1 l ( θ + 2n 1 K ) gdzie K ilość parametrów szacowanych w modelu, a l ( θ wiarygodności w punkcie maksimum funkcja Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 10

Przyjmujemy taka ilość opóźnień, która minimalizuje kryterium informacyjne. Pokazano, że AIC nie jest zgodne, ilość opoźnień może być za duża nawet dla n Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 11

Przykład Prosty model V AR dla Polski: pkb, spożycie ogółem, akumulacja i udział salda handlu zagranicznego w pkb. ------------------------------------------------------------------------------ Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- saldo_pkb saldo_pkb L1.4212455.1612708 2.61 0.009.1051606.7373304 L2.3770507.1556457 2.42 0.015.0719907.6821107 pkb L1.107411.2340122 0.46 0.646 -.3512446.5660665 L2.0208642.2415779 0.09 0.931 -.4526197.4943481 spoz_o L1 -.1243372.1444021-0.86 0.389 -.4073601.1586857 L2 -.0631043.1660844-0.38 0.704 -.3886237.2624152 akumul L1.0378654.0485117 0.78 0.435 -.0572157.1329466 L2 -.0661478.0489081-1.35 0.176 -.1620058.0297102 _cons -.5477745.8300763-0.66 0.509-2.174694 1.079145 -------------+---------------------------------------------------------------- pkb saldo_pkb Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 12

L1.1412959.1069471 1.32 0.186 -.0683165.3509083 L2 -.1033856.1032168-1.00 0.317 -.3056869.0989156 pkb L1.7200112.1551858 4.64 0.000.4158527 1.02417 L2 -.5297672.1602029-3.31 0.001 -.8437591 -.2157752 spoz_o L1.1956771.0957606 2.04 0.041.0079898.3833644 L2.1414076.1101393 1.28 0.199 -.0744614.3572766 akumul L1.092358.0321706 2.87 0.004.0293048.1554113 L2.0005743.0324335 0.02 0.986 -.0629942.0641428 _cons 1.488306.550467 2.70 0.007.4094099 2.567201 -------------+---------------------------------------------------------------- spoz_o saldo_pkb L1 -.1516981.1768954-0.86 0.391 -.4984066.1950105 L2.2238618.1707253 1.31 0.190 -.1107537.5584773 pkb L1.2757237.2566843 1.07 0.283 -.2273684.7788158 L2 -.5453931.264983-2.06 0.040-1.06475 -.0260361 spoz_o L1.3913986.1583924 2.47 0.013.0809553.7018419 L2.025364.1821754 0.14 0.889 -.3316932.3824211 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 13

akumul L1.0483368.0532117 0.91 0.364 -.0559562.1526298 L2.0490776.0536465 0.91 0.360 -.0560676.1542228 _cons 2.931402.9104976 3.22 0.001 1.14686 4.715945 -------------+---------------------------------------------------------------- akumul saldo_pkb L1.7579627.61288 1.24 0.216 -.4432601 1.959186 L2.1004627.5915031 0.17 0.865-1.058862 1.259787 pkb L1 1.58627.8893207 1.78 0.074 -.1567662 3.329307 L2 -.9892336.9180725-1.08 0.281-2.788623.8101554 spoz_o L1.8396054.5487737 1.53 0.126 -.2359713 1.915182 L2.7090974.6311734 1.12 0.261 -.5279797 1.946175 akumul L1.2896691.1843598 1.57 0.116 -.0716694.6510076 L2.2776644.1858661 1.49 0.135 -.0866265.6419553 _cons -2.709095 3.154553-0.86 0.390-8.891905 3.473715 ------------------------------------------------------------------------------ Badanie autokorelacji (wszystkie równania) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 14

H0: no autocorrelation at lag order j ------------------------------------- j chi2 df p ------------------------------------- 1 14.1147 16 0.59017 2 48.7857 16 0.00004 ------------------------------------- Badanie autokorelacji - pojedyncze równania Equation: saldo_pkb -------------------------------------- Lag chi2 df Prob > chi2 -------------------------------------- 1 7.975 4 0.092 2 10.173 4 0.038 Equation: All -------------------------------------- Lag chi2 df Prob > chi2 -------------------------------------- 1 80.171 16 0.000 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 15

2 43.548 16 0.000 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 16

Badanie przyczynowości w sensie Grangera Granger causality Wald tests ---------------------------------------------------------------------------- Equation Excluded chi2 df Prob > chi2 ---------------------------------------------------------------------------- saldo_pkb pkb 0.3403 2 0.8435 saldo_pkb spoz_o 1.2663 2 0.5309 saldo_pkb akumul 1.8476 2 0.3970 saldo_pkb ALL 5.9271 6 0.4314 ---------------------------------------------------------------------------- pkb saldo_pkb 1.7892 2 0.4088 pkb spoz_o 8.6998 2 0.0129 pkb akumul 10.9085 2 0.0043 pkb ALL 28.3301 6 0.0001 ---------------------------------------------------------------------------- spoz_o saldo_pkb 1.9323 2 0.3805 spoz_o pkb 4.2407 2 0.1200 spoz_o akumul 3.2574 2 0.1962 spoz_o ALL 14.3206 6 0.0263 ---------------------------------------------------------------------------- akumul saldo_pkb 6.6178 2 0.0366 akumul pkb 3.2327 2 0.1986 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 17

akumul spoz_o 5.4579 2 0.0653 akumul ALL 17.1321 6 0.0088 ---------------------------------------------------------------------------- Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 18

Operator opóźnień Operator opóźnien L definiujemy x t 1 = Lx t Ponieważ więc L 1 będzie równy LLx t = Lx t 1 = x t 2 = L 2 x t, L s x t = x t s L 1 x t 1 = x t Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 19

Zauważmy, że [ 1 + al + (al) 2 +... (al) n] (1 al) = 1 (al) n+1 co oznacza, że 1 + al + (al) 2 +... (al) n = (1 al) 1 [ 1 (al) n+1] Suma nieskończona ciagu ma postać (al) i = (1 al) 1 lim (1 (al) n+1) n i=0 Jeśli plim (al) n+1 x t = plim a n+1 x t n 1 = 0 n n Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 20

co będzie spełnione, jeśli E (x ) <, Var (x ) < i a < 1 (1 al) 1 x t = (al) i x t = i=1 a i x t i i=1 i (1 al) 1 = (al) i i=1 Wniosek: 1 al można odwrócić pod warunkiem, że a < 1 i x t ma skończona wartość oczekiwana i wariancję. Dotyczy to także przypadku, kiedy a jest liczba zespolona - w tym przypadku a oznacza moduł liczby zespolonej. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 21

Wielomiany operatora opóźnień Wielomian operatora opoźnień A (L) = 1 a 1 L a 2 L 2... a s L s Wielomian A (x) = 1 a 1 x a 2 x 2... a s x s ma s pierwiastków µ i = λ 1 i i można go zapisać A (x) = (1 λ 1 x)... (1 λ s x) a więc A (L) = (1 λ 1 L)... (1 λ s L) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 22

Z poprzednich rozważań wnioskujemy, że 1 λ i L jest odwracalne jeśli λ i < 1. Wynika z tego, że A (L) jest odwracalne jeśli λ i < 1 (lub µ i > 1) dla i = 1,..., s A (L) jest więc odwracalne jeśli wszytkie pierwiastki leża poza kołem jednostkowym Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 23

Odwrotność wielomianu operatora opóżnień można zapisać jako A (L) 1 = (1 λ 1 L) 1... (1 λ s L) 1 [ ] [ ] = (λ 1 L) i... (λ s L) i i=1 = ψ 0 + ψ 1 L + ψ 2 L 2 +... = ψ i L i i=0 gdzie ψ 0, ψ 1, ψ 2,... sa pewnymi parametrami. i=1 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 24

Operator różnicowania Definicja więc 1 L. x t = x t x t 1 = (1 L) x t Różnicownie p-krotne oznaczamy jako p = (1 L) p Na przykład 2 x t = (1 L) 2 x t = ( 1 2L + L 2) x t = x t 2x t 1 + x t 2 = x t x t 1 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 25

Różnice sezonowe s = 1 L s Dla danych kwartalnych 4 x t = x t x t 4 różnica między kwartałem t i tym samym kwartałem sprzed roku. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 26

Funkcje reakcji - warunki stabilności V AR Funkcje reakcji przedstawiaja reakcje zmiennych zależnych w modelu V AR na szoki losowe. Aby było możliwe zbadanie reakcji x t na szoki (ε t ) musi być możliwe przedstawienie x t jedynie w kategoriach szoków W standardowym procesie V AR, x t zależy zarówno od ε t jak i od x t 1, x t 2,... x t = Π 1 x t 1 +... + Π k x t k + (ΦD t +ε t ) równoważnie X t = AX t 1 + E t, Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 27

gdzie X t = x t x t 1. x t k+1, A = Π 1 Π 2 Π k I p p 0 0... 0. 0 I p p 0, E t = ΦD t +ε t 0. 0 Macierz A nazywana jest companion matrix. Proces V AR można też zapisać jako A (L) X t = E t gdzie A (L) = I AL Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 28

Podobnie jak dla procesów skalarnych A (L) 1 = X t = (AL) i i=0 A i E t i i=0 Macierz J = [I, 0,..., 0] a x t = J X t a E t = J (ΦD t +ε t ), Ponieważ J J = I więc x t = J X t = gdzie Ψ i = J A i J J A i J (ΦD t i +ε t i ) = i=0 Ψ i (ΦD t i +ε t i ), i=0 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 29

Macierz kwadratowa A można zdekomponować tak, że A =P ΛQ, Λ jest macierza diagonalna złożona z wartości własnych a P Q = I Widać, że lim i Ψ i = J P Λ i QJ = 0 jeśli spełniony jest warunek odwracalnośc A (L): wszystkie wartości własne macierzy A leża wewnatrz koła jednostkowego Inny zapis A (L) x t = ε t gdzie A (L) = I A 1 L... A k L k Warunek odwracalności A (L) (równoważny warunkowi odwracalności A (L)) pierwiastki wielomianu A (µ) = 0 leża wewnatrz koła jednostkowego Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 30

Jeśli A (L) odwracalne, to szok (wpływ ε t ) wygasa wraz z upływem czasu Dla procesów dla których A (L) nie jest odwacalne, wpływ szoków nie zmniejsza się wraz z upływem czasu. Z tego powodu warunek odwracalności A (L) jest zarazem warunkiem stabilności procesu V AR. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 31

Przykład Model dla Polski kontynuacja: badanie stabilności (z modelu usunięto nieistotne współczynniki) Eigenvalue stability condition ---------------------------------------------- Eigenvalue Modulus ---------------------------------------------- -.5256895.5256895 -.4485926.44859257.1695971.16959709.5253344 +.42695378.67695326.5253344 -.42695378.67695326.8579687 +.1082625.86477225.8579687 -.1082625.86477225 2.651e-16 2.651e-16 ------------------------------------------------ All the eigenvalues lie inside the unit circle VAR satisfies stability condition Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 32

Równowaga długookresowa Zastanówmy czemu równa będzie wartość oczekiwana stacjonarnego procesu V AR ( ) E (x t ) = E Ψ i L i (ΦD t i +ε t i ) i=0 = Ψ i ΦD t i = i=0 J A i J (ΦD t i ) i=0 Jeśli jedynym elementem deterministycznym jest stała, to ΦD t i = µ E (x t ) = Ψ i µ = i=0 J A i Jµ = J (I A) 1 Jµ i=0 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 33

Rozwiazanie długookresowe interpretujemy jako poziom równowagi, wokół którego model oscyluje na skutek zaburzeń losowych. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 34

Funkcje reakcji (szoki jednostkowe) Mierza rozłożona w czasie reakcje x t na jednostkowa zmianę elementu zaburzenia losowego u t Model V AR można zapisać jako x t Π 1 x t 1 Π k x t k = ε t + ΦD t, Wiemy, że x t = Ψ i L i (ɛ t + ΦD t ) i=0 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 35

Wpływ na l-ty element x t jednostkowego zaburzenia w k-tym elemencie ε t i, które nastapiło w okresie t i będzie dane przez {Ψ i } k,l. Krytyka: jaki sens ma analiza jednostkowych szoków skoro szoki sa skorelowane (Ω niediagonalne)? jeśli szoki sa skorelowane może oznaczać to, że część szoku natychmiast rozchodzi się po systemie gospodarczym - rozpatrywnie szoku jednostkowego nie ma więc sensu - wpływajac na jedna zmienna wpływam od razu też na pozostałe Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 36

Funkcje reakcji: szoki jednostkowe Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 37

4 varirf, akumul, akumul varirf, akumul, pkb varirf, akumul, saldo_pkb varirf, akumul, spoz_o 2 0 2 4 varirf, pkb, akumul varirf, pkb, pkb varirf, pkb, saldo_pkb varirf, pkb, spoz_o 2 0 2 4 varirf, saldo_pkb, akumul varirf, saldo_pkb, pkb varirf, saldo_pkb, saldo_pkb varirf, saldo_pkb, spoz_o 2 0 2 4 varirf, spoz_o, akumul varirf, spoz_o, pkb varirf, spoz_o, saldo_pkb varirf, spoz_o, spoz_o 2 0 2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 step 95% CI impulse response function (irf) Graphs by irfname, impulse variable, and response variable Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 38

Funkcje reakcji (szoki ortogonalne) Analizujmy taka formę V AR, w której szoki sa ortogonalne Mnożymy zredukowany V AR przez macierz P I,uzyskujemy taka, że P ΩP = P x t = P Π 1 x t 1 + + P Π k x t k + P ΦD t + ɛ t Forma ta jest rodzajem formy strukturalnej Ax t = B 1 x t 1 +... + B k x t k +ΨD t +u t gdzie A = P, B i = P Π i, Ψ = P Φ, u t = P ɛ t a Var (u t ) = P ΩP = Σ D i Σ D diagonalna Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 39

Szoki sa nieskorelowane, nie ma problemu sygnalizowanego przy analizie poprzedniego modelu. Formę strukturalnej możemy wyestymować tylko wtedy, ograniczenia identyfikujace poszczególne równania! gdy mamy Krytyka: Czy możliwe jest znalezienie takich ograniczeń, które miałyby interpretację ekonomiczna? Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 40

Identyfikacja Simsa Za macierz P przyjmujemy C będac a macierza Choleskiego dla macierzy Ω: macierz C dolnotrójkatna z jedynkami na przekatnej CΩC = Σ D macierz Σ D jest diagonalna Ilość ograniczeń implikowana przez narzucenie wymogu, dolnotrójkatna wystarcza do zidentyfikowania modelu! że C jest Mnożac lewostronnie formę zredukowana modelu V AR przez C otrzymujemy: Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 41

Cx t = CΠ 1 x t 1 +... + CΠ k x t k +CΦD t +Cɛ t = Γ 1 x t 1 +... + Γ k x t k +ΥD t +η t η t = Cε t N (0, Σ D ) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 42

Model ten można rozpisać x 1t = k γ 1i x t i + τ i D t + η 1t i=1 x 2t = c 21 x 1t +... x Gt = G 1 i=1 k γ 2i x t i + τ i D t + η 2t i=1 c Gi x it + k γ Gi x t i + τ i D t + η Gt i=1 Szoki strukturalne: dotycza poszczególnych zmiennych Cechy tak zidentyfikowanej struktury (zależności równoczesne) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 43

szoki x 1t zależy od szoku η 1t x 2t zależy od szoków η 1t, η 2t. x Gt zależy od szoków η 1t,..., η Gt x it x 1t nie zależy równoczesnych x it x 2t zależy od x 1t x 3t zależy od x 1t, x 2t. x Gt zależy od szoków x 1t,..., x G 1t Specyficzna struktura przyczynowa - czy można ja wywnioskować z teorii ekonomii? Proponowane rozwiazanie: równań. badanie wrażliwości na zmianę kolejności Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 44

Krytyka: arbitralna identyfikacja równań zastapiona równie arbitralna identyfikacja szoków. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 45

Funkcje reakcji: szoki ortogonalne Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 46

6 4 2 0 2 varirf, akumul, akumul varirf, akumul, pkb varirf, akumul, saldo_pkb varirf, akumul, spoz_o 6 4 2 0 2 varirf, pkb, akumul varirf, pkb, pkb varirf, pkb, saldo_pkb varirf, pkb, spoz_o 6 4 2 0 2 varirf, saldo_pkb, akumul varirf, saldo_pkb, pkb varirf, saldo_pkb, saldo_pkb varirf, saldo_pkb, spoz_o 6 4 2 0 2 varirf, spoz_o, akumul varirf, spoz_o, pkb varirf, spoz_o, saldo_pkb varirf, spoz_o, spoz_o 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 step 95% CI orthogonalized irf Graphs by irfname, impulse variable, and response variable Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 47

Prognozowanie za pomoca V AR Prognozowanie za pomoca V AR 1 okres do przodu 2 okresy do przodu x T +1 = Π 1 x T +... + Π k x T k+1. s okresów do przodu (s > k + 1) x T +2 = Π 1 x T +1 +... + Π k x T k+2 x T +s = Π 1 x T +s +... + Π k x T k+s Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 48

Ponieważ E ( x T +1 x T +1 ) = 0, E ( x T +2 x T +2 ) = 0,... więc prognozy takie sa nieobciażone jeśli Π i sa znane Zapis prognoz przy pomocy companion matrix X T +s = A X T +s 1 Wariancja prognoz przy znanych Π i 1 okres do przodu 2 okresy X T +1 = AX T X T +1 = AX T + E T ) Var ( XT +1 X T +1 = Var (E t ) X T +2 = A X T +1 = A 2 X T Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 49

X T +2 = AX T +1 + E T +2 = A 2 X T + AE T +1 + E ) T +2 Var ( XT +2 X T +2 = Var (AE T +1 + E T +2 ) = Var (E) + A Var (E) A. s okresów do przodu ) Var ( XT +s X T +s = s 1 i=0 A i Var (E t ) (A ) i Ponieważ x t = J X t więc wariancję prognozy dla x t można policzyć jako Var ( x T +s x T +s ) = s 1 i=0 J A i JΩJ ( A i) s 1 J = i=0 Ψ i ΩΨ i Bład prognozy jest suma błędu wynikajacego z błędu estymacji i błędu wynikajacego z błędu losowego Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 50

Obliczyliśmy jedynie wariancję prognoz wynikajac a z błędów losowych Aby policzyć bład estymacji należałoby policzyć wariancję funkcji gdzie θ = ) x T +s = g ( θ X ( Π1,..., Π k, µ), co wobec nieliniowości g () jest trudne. Można można ta wariancję policzyć za pomoca bootstrapu. Zauważmy, że prognoza daży dla s do równowagi długookresowej. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 51

Prognozy z modelu VAR i rzeczywiste realizacje 0 Forecast for saldo_pkb 10 Forecast for pkb 2 5 4 6 0 8 2002q1 2002q3 2003q1 2003q3 2004q1 data 5 2002q1 2002q3 2003q1 2003q3 2004q1 data 95% CI forecast 95% CI forecast observed observed 10 Forecast for spoz_o 20 Forecast for akumul 5 0 0 20 5 2002q1 2002q3 2003q1 2003q3 2004q1 data 40 2002q1 2002q3 2003q1 2003q3 2004q1 data 95% CI forecast observed 95% CI forecast observed Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 52

Stacjonarność, integracja i kointegracja Definicja O x t mówimy, że jest (słabo, kowariacyjnie) stacjonarny jeśli Var (x t ) = Σ X < Cov (x t1, x t2 ) = Cov (x t1 +h, x t2 +h) dla dowolnych t 1, t 2 i h. Definicja x t nazywamy procesem I (0), jeśli x t E (x t ) = C (L) ɛ t i C (1) a ɛ i jest ciagiem niezależnych i o identycznych rozkładach zmiennych losowych, dla których E (ɛ t ) = 0 i Var (ɛ t ) = Ω. Lemat Proces liniowy I (0) jest słabo stacjonarny Definicja Proces stochastyczny x t uważamy za zintegrowany rzędu d, co oznaczamy jako x t I (d), d = 0, 1, 2,... jeśli d x t jest I (0). Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 53

Definicja x t nazywamy procesem skointegrowanym z wektorem kointegrujacym β jeśli x t jest I (1) a β x t jest I (0). Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 54

Skointegrowane procesy VAR Rozważmy prosty model V AR x t = Π 1 x t 1 + Π 2 x t 2 + ε t Jeśli od obu stron odejmiemy x t 1, to uzyskamy x t = (Π 1 I) x t 1 + Π 2 x t 2 + ε t = (Π 1 I) x t 1 + Π 2 x t 1 Π 2 x t 1 + Π 2 x t 2 + ε t = (Π 1 + Π 2 I) x t 1 Π 2 x t 1 + ε t = Πx t 1 + Γ 1 x t 1 + ε t gdzie Π = Π 1 + Π 2 I a Γ 1 = Π 2 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 55

Postępujac w podobny sposób proces V AR można przekształcić do postaci: x t = Πx t 1 + k 1 i=1 Γ i x t i + ΦD t + ɛ t, t = 1... T gdzie Π = k i=1 Π i I i Γ i = k j=i+1 Π j. Jeśli zmienna x t I (1) a zmienna y t I (0), to x t + y t I (1) Załóżmy, że x t I (1) i przeanalizujmy rzędy integracji elementów wyprowadzonego wzoru dla x t : x t }{{} I(0) = Πx t 1 }{{} I(1) + k 1 i=1 Γ i x t i }{{} I(0) + ΦD t + ɛ t }{{} I(0) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 56

Zauważmy, że rzędy integracji dla prawej i lewej strony równania moga się zgadzać wtedy i tylko wtedy, gdy Πx t 1 I (0). Rzad macierzy Π będzie determinował ilość wektorów kointegrujacych. Wnioski te formułuje twierdzenie Grangera (w wersji uproszczonej): Twierdzenie Jeśli x t I (1), to istnieja α i β o wymiarach p r i p r oraz rzędzie r, takie że Π = αβ to x t i β x t sa I(0) Kolumny macierzy β sa wektorami kointegrujacymi. Jeśli ilość wektorów kointegrujacych r = p, macierz β jest nieosobliwa i x t I (0) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 57

V AR można teraz zapisać jako x t = αβ x t 1 + k 1 i=1 Γ i x t i + ΦD t + ɛ t, t = 1... T Wyrażenie β x t interpretujemy jako mechanizm korekty błędu (Error Correction Mechanism ECM) Macierz α nazywamy macierza współczynników korygujacych. Macierze Γ i sa macierzami zwiazanymi z dynamika krótkookresowa Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 58

Identyfikacja w skointegrowanych modelach V AR W mechanizmie korekty błędów sposób generowania obserwacji nie zostanie zmieniony, jeśli macierze α i β zastapimy macierzami α = αa 1 i β = βa gdzie A jest dowolna nieosobliwa macierza r r. Wynika to z tego, że Π = αβ = α β Do identyfikacji parametrów długookresowych zawartych w macierzy β konieczne jest więc nałożenie na nia r 2 ograniczeń. Na wydrukach z komputera wielkość β uzyskiwana jest przy założeniu technicznej identyfikacji: β S 11 β = I Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 59

gdzie S 11 jest macierza momentów empirycznych reszt z regresji X t 1 na trendach deterministycznych Identyfikacja ta nie ma żadnej interpretacji teoretycznej. W konsekwencji nieinterpretowalne sa także elementy wektora β. Ograniczenia oparte na teorii przyjmuja zazwyczaj postać układów równań dla kolejnych wektorów kointegrujacych R iβ i = 0 Budujemy macierz ortogonalna do wektora R i 0).β i spełnijaca równa H i (R ih i = β i = H i ϕ i spełnia też poprzedni układ równań dla każdego ϕ i. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 60

W rezultacie wektor kointegrujacy ma postać β = (H 1 ϕ 1,..., H r ϕ r ) Wektor kointegrujace sa zidentyfikowane z dokładnościa do skali jeśli dla dowolnego β i ϕ 1,..., ϕ r (poza wyjatkowymi przypadkami) układ równań βa = (H 1 ϕ 1,..., H r ϕ r ) jest spełniony tylko dla diagonalnego A Ograniczenia zwiazane z normalizacja. Przyjmuje się, że każdy wektor kointegrujacy jest znormalizowany do jednej ze zmiennych. β ii = 1 Jeśli dołożymy te dodatkowe ograniczenia do ograniczeń teoretycznych identyfikujacych z dokładnościa do skali, to wektory kointegrujace stana się jednoznacznie zidentyfikowane Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 61

Jeśli macierz β jest jednoznacznie zidentyfikowana, to możliwe jest policzenie tej macierzy na podstawie policzonej macierzy β zidentyfikowanej w dowolny inny sposób (np. za pomoca technicznej identyfikacji), na podstawie układu równań βa = β Przykład (bardzo częsty) jeden wektor kointegrujacy: β = ( β 1, β 2,..., β p ) W tym przypadku do identyfikacji wystarczy jedynie ograniczenie zwiazane z normalizacja β 1 = 1, ponieważ dla jedynie dla A = 1. (βa) = A ( β 1,..., β p ) = ( 1, ϕ2,..., ϕ p ) Przykład Dwa wektory kointegrujace: powiedzmy, że chcemy przebadać zależność między inflacja i, stopa procentowa r i bezrobociem u. Powiedzmy, Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 62

że wiemy z teorii, że na nominalna stopę procentowa wpływa jedynie inflacja a na bezrobocie jedynie realna stopa procentowa r i. Wektor x t = (i, r, u) R 1 = (0, 0, 1), R 1β 1 = β 31 = 0 R 2 = (1, 1, 0), R 2β 2 = β 12 + β 22 = 0 Macierze H 1 i H 2 maja postać H 1 = 1 0 0 1 0 0, H 2 = 1 0 1 0 0 1 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 63

Macierz β ma postać: β = (H 1 ϕ 1, H 2 ϕ 2 ) = 1 0 0 1 0 0 = ϕ 11 ϕ 21 ϕ 12 ϕ 21 0 ϕ 22 [ ϕ11 ϕ 12 ], 1 0 1 0 0 1 ϕ 21 ϕ 21 Spróbujmy teraz udowodnić, że jedynymi wektorami β, które spełniaja ograniczenia teoretyczne sa wektory β = βa gdzie A jest pewna macierza Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 64

diagonalna. ϕ 11 ϕ 21 [ ] ϕ 12 ϕ 21 a11 a 12 a 0 ϕ 21 a }{{ 22 }{{ 22 }} A β = ϕ 11 ϕ 21 ϕ 12 ϕ 21 0 ϕ 22 }{{} β Spróbujmy rozwiazać uzyskany układ równań dla a 21 i a 22. β 31 = ϕ 22 a 21 = 0 i dla ϕ 22 0 mamy a 21 = 0. Możemy też zauważyć: β 12 = ϕ 11 a 12 + ϕ 21 a 22 = ϕ 21 β 22 = ϕ 12 a 12 ϕ 21 a 22 = ϕ 21 (ϕ 11 + ϕ 12 ) a 12 = 0 + Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 65

i dla ϕ 11 + ϕ 12 0 mamy wniosek, że a 12 = 0. Tym samym macierz jest diagonalna i wektory kointegrujace sa zidentyfikowane z dokładnościa do skali. Znormalizujmy teraz β 1 do stopy procentowej a β 2 do inflacji: β = ϕ 11 ϕ 21 1 ϕ 21 0 1 Mamy teraz układ równań: ϕ 11 ϕ 21 [ ] 1 ϕ 21 a11 a 12 a 0 1 21 a }{{ 22 }}{{} A β = ϕ 11 ϕ 21 1 ϕ 21 0 1 }{{} β Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 66

Istnieja w nim dwa dodatkowe ograniczenia: β 21 = a 11 ϕ 21 a 21 = a 11 = 1 β 32 = a 22 = 1 Uwględnijac poprzednie ograniczenia mamy a 11 = a 22 = 1, a 12 = a 21 = 0 i rzeczywiście A = I. Wniosek: ograniczenia teoretyczne i normalizujace identyfikuja wektory kointegrujace. jednoznacznie Zastanówmy się teraz jak policzyć macierz β majac obliczone oszacowanie macierzy β zidentyfikowanej technicznie. Wiemy, że musi być Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 67

spełnione, że βa = β. Daje to następujacy układ równań: ϕ 11 ϕ 21 [ ] 1 ϕ 21 a11 a 12 a 0 1 21 a }{{ 22 }}{{} A β = β 11 β 12 β 21 β 22 β 31 β 32 }{{} β Elementy β sa znane. Mamy układ 6 równań z 6 niewiadomymi. Rozwiazanie dla ϕ 11 i ϕ 21 da nam szukany wektor β. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 68

Test Johansena Wartość funkcji wiarygodności w punkcie maksimum dla skointegrowanego modelu V AR można zapisać jako L 2/T max = S 00 p (1 λ i ) i=1 gdzie pierwiastki charakterystyczne pochodza z problemu λs 11 S 10 (S 00 ) 1 S 01 = 0 a S 00, S 11, S 10 sa macierzami momentów empirycznych reszt z regresji X t, X t 1 na trendach deterministycznych. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 69

Ilość pierwiasków charakterystycznych λ i 1 odpowiada rzędowi macierzy β Testujemy za pomoca statystyki LR Porzadkujemy λ i tak, że 1 > λ 1 > λ 2 >... > λ p > 0 Testowanie sekwencyjne (statystyka trace): [ ] Lmax (H (p)) LR T (H 0 ) = 2 ln L max (H (r)) [ p ( = T ln 1 λ ) ] i i=r+1 1. Zaczynamy od H 0 : r = 0 i H 1 : r > 0 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 70

2. jeśli odrzucona to testujemy H 0 : r = 1 i H 1 : r > 1. 3. kończymy dla H 0 : r = s i H 1 : r > s, dla której hipoteza zerowa nie została odrzucona UWAGA: Test Jahansena ma różne rozkłady w zależności od postaci Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 71

trendów deterministycznych Poziomy x t stała ograniczona stała stała+trend liniowy ograniczony trend liniowy trend liniowy+trend kwadratowy ograniczony Model korekty błędem x t = αβ x t 1 + k 1 Γ i x t i + ɛ t i=1 x t = α ( β x t 1 + µ ) + k 1 Γ i x t i + ɛ t x t = αβ x t 1 + k 1 i=1 i=1 Γ i x t i + µ + ɛ t x t = α ( β x t 1 + ξt ) + k 1 Γ i x t i + µ + ɛ t x t = αβ x t 1 + k 1 i=1 i=1 Γ i x t i + µ + ξt+ɛ t Przed rozpoczęciem testowania należy ustalić rodzaj trendów w modelu. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 72

Przykład Testowanie kointegracji między wzrostem realnego pkb, realnym wzrostem spożycia indywidualnego, realnym wzrostem nominalnym m3 i inflacja. Johansen-Juselius cointegration rank test Number of obs = 38 H1: H0: Max-lambda Trace Eigenvalues rank<=(r) statistics statistics (lambda) r (rank<=(r+1)) (rank<=(p=4)) Sample: 1995q1 to 2004q3.77227353 0 56.225183 100.2274.56966126 1 32.040939 44.002219.240031 2 10.43015 11.96128.03949192 3 1.5311297 1.5311297 Osterwald-Lenum Critical values (95% interval): Table/Case: 1* (assumption: intercept in CE) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 73

H0: Max-lambda Trace -----------+-------------------------------- 0 28.14 53.12 1 22.00 34.91 2 15.67 19.96 3 9.24 9.24 Table/Case: 1 (assumption: intercept in VAR) H0: Max-lambda Trace -----------+-------------------------------- 0 27.07 47.21 1 20.97 29.68 2 14.07 15.41 3 3.76 3.76 Normalized Beta pkb spoz_ind m3 inf vec1 -.08872903 -.25947765.40459718 -.05188143 vec2 -.37064482 -.02569245.01178031.14074236 vec3 -.40330789.52571681.06129929 -.03735448 vec4.25251998.15658838.04640443.01586446 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 74

Normalized Alpha vec1 vec2 vec3 vec4 pkb.15678526.45178983.28737349 -.14031306 spoz_ind.58526454.02259371 -.57103331 -.13723732 m3-3.1376323 -.68487913 -.18107027 -.17364801 inf.13690235-1.0417793.12672159 -.07024676 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 75

Zmienne: inflacja, wzrost realnego pkb, wzrost m3, wzost ralnego spożycia indywidualnego. 0 10 20 30 40 1994q1 1996q1 1998q1 2000q1 2002q1 2004q1 data M3 PKB Inf Spoz_ind Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 76

Wniosek: niezależnie od tego czy stała w relacji koinegrujacej jest ograniczona czy nie znajdujemy dwa wektory kointegrujace. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 77