OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały określoe mędzyarodowe ormy opsujące epewośc pomarowe. Mędzyarodowa Orgazacja Normalzacyja (ISO) wydała Gude to the Expresso of Ucertaty Measuremet, który staow wspóle dzeło uzgodeń dokoaych przez sedem ważych mędzyarodowych orgazacj. Zgode z umowam mędzyarodowym Polska zobowązała sę do zastosowaa ormy ISO dotyczącej oblczaa zapsu epewośc pomarów, podobe do obowązku stosowaa jedostek układu SI. Polską wersję ormy ISO wydał w 999 roku Główy Urząd Mar os oa tytuł Wyrażae epewośc pomaru. Przewodk []. W dalszej częśc strukcj używaa będze skrócoa azwa Przewodk. Obowązująca orma wprowadza rozróżee mędzy epewoścą pomarów a błędam w potoczym tego słowa zaczeu oraz przyjmuje jedoltą termologę metody określaa epewośc pomaru. Dotychczas słowo błąd mało dwa zaczea, jako azwa dla faktu, że wyk pomaru jest róży od wartośc prawdzwej (często azywaą wartoścą rzeczywstą, która jest ezaa), oraz jako lczbowa mara tego błędu. Przewodk pozostawa określa dwa zaczea słowa błąd : () loścowe, jako różca (róweż ezaa) mędzy wartoścą zmerzoą prawdzwą, () jakoścowe, używae w termach takch jak błąd systematyczy, przypadkowy gruby. Na potrzeby ejszej strukcj, dla uzyskaa wększej spójośc prostoty rozważań, term błąd zostaje zarezerwoway tylko dla określea zjawska prowadzącego do uzyskaa wartośc welkośc merzoej różącej sę zacze od ych wyków pomarów tej welkośc. Take wyk pomarów azywae są błędam grubym e są brae przy określau epewośc pomarów. Węcej formacj a te temat zajduje sę w dalszej częśc poradka. Celem poradka jest zazajomee studetów z obowązującym ormam dotyczącym pomarów welkośc fzyczych, oblczaa zapsu epewośc pomarów oraz z metodam wykorzystaa tych orm w codzeej praktyce laboratoryjej przy wykoywau opracowau wyków pomarów w ramach zajęć w Laboratorum Fzyk. Warszawa, paźdzerk 05

Określae epewośc pomarów ROZDZIAŁ Podstawowe defcje Jedym z podstawowych termów owej ormy jest term epewość (ag. ucertaty). W języku potoczym słowo epewość ozacza wątplwość, a stąd epewość pomaru ozacza wątplwość, co do wartośc wyku pomaru. Należy jedak podkreślć, że zgode z defcją zawartą w Przewodku epewość jest zawsze lczbą. Defcje główych pojęć zwązaych z określaem epewośc pomaru zaczerpęto z polskej wersj Przewodka. W awasach (kursywą) będą róweż podae ch wersje orygale (agelske), aby ukąć jakejkolwek ejedozaczośc, która może pojawć sę w przypadku polskego tłumaczea pewych szczególych termów. Szczegółowe objaśea wszystkch pojęć zostaą podae w kolejych rozdzałach strukcj. - Pomar zbór czyośc prowadzących do ustalea wartośc welkośc merzoej. - Nepewość pomaru (ucertaty) parametr, zwązay z wykem pomaru, charakteryzujący rozrzut wartośc, które moża w uzasadoy sposób przypsać welkośc merzoej. - Nepewość stadardowa (stadard ucertaty) u(x) epewość wyku pomaru wyrażoa w forme odchylea stadardowego (a przykład odchylee stadardowe średej). Nepewość moża zapsać a trzy róże sposoby: u, u(x) lub u(przyspeszee), gdze welkość x może być róweż wyrażoa słowe (w przykładze x ozacza przyspeszee). Należy zawsze jedak pamętać, że u e jest fukcją, tylko lczbą. - Oblczae epewośc stadardowej - metoda typu A (type A evaluato of ucertaty) metoda oblczaa epewośc pomaru a drodze aalzy statystyczej ser wyków pomarów. - Oblczae epewośc stadardowej - metoda typu B (type B evaluato of ucertaty) metoda oblczaa epewośc pomaru sposobam ym ż aalza statystycza ser pomarowej, czyl a drodze ej ż metoda typu A. - Złożoa epewość stadardowa (combed stadard ucertaty) u c (x) epewość stadardowa wyku pomaru określaa, gdy wyk te jest otrzymyway ze zmerzoych bezpośredo ych welkośc (epewość pomarów pośredch oblczaa z prawa przeoszea epewośc pomaru). - Nepewość rozszerzoa (expaded ucertaty) U(x) lub U c (x) welkość określająca przedzał wokół wyku pomaru, od którego oczekuje sę, że obejmuje dużą część wartośc, które w uzasadoy sposób moża przypsać welkośc merzoej. Należy podkreślć, że epewość stadardowa jedozacze określa wyk pomaru, jedak Przewodk wprowadza epewość rozszerzoą, która służy do woskowaa o zgodośc wyku pomaru z wykam uzyskaym w ych warukach lub z wartoścam tablcowym oraz do celów komercyjych do ustalaa orm przemysłowych, zdrowotych, bezpeczeństwa, td. - Współczyk rozszerzea (coverage factor) k jest to współczyk lczbowy, możk epewośc stadardowej, stosoway w celu uzyskaa epewośc rozszerzoej. Zwykle wartość współczyka rozszerzea k zawera sę w gracach od do 3, jedakże dla specjalych zastosowań k może być wybrae spoza tego przedzału. Dla wększośc zastosowań, w tym w praktyce laboratoryjej, zaleca sę przyjęce wartośc k =. ROZDZIAŁ 3 Źródła epewośc pomaru Celem pomaru jest określee wartośc welkośc merzoej. Tak węc pomar zaczya sę od określea welkośc merzoej, metody pomarowej (p. porówawcza, różcowa, Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk

Określae epewośc pomarów mostkowa, tp.) procedury pomarowej (zbór czyośc opsaych w szczegółowy sposób realzowaych podczas wykoywaa pomarów wybraą metodą pomarową). Wyk pomaru jest tylko przyblżeem lub oszacowaem welkośc merzoej dlatego ależy go podawać wraz z epewoścą tego oszacowaa. Nepewość wyku obrazuje brak dokładej zajomośc wartośc welkośc merzoej. Należy zawsze pamętać, że peły (prawdłowy) wyk pomaru składa sę z wartośc przypsaej welkośc merzoej oraz z epewośc pomaru. Isteje wele możlwych źródeł epewośc pomaru, a do ajważejszych ależą:. epeła defcja welkośc merzoej;. edoskoały układ pomaru welkośc merzoej; 3. ereprezetatywe pomary, których wyk mogą e reprezetować welkośc merzoej; 4. epeła zajomość oddzaływań otoczea a pomar albo edoskoały pomar waruków otoczea; 5. błędy obserwatora w odczytywau wskazań przyrządów aalogowych; 6. skończoa zdolość rozdzelcza przyrządów; 7. edokłade wartośc przypsae wzorcom materałom odesea; 8. edokłade wartośc stałych ych parametrów otrzymywaych ze źródeł zewętrzych; 9. przyblżea założea upraszczające tkwące w metodze procedurze pomarowej; 0. zmay kolejych wyków pomarów welkośc merzoej w pozore detyczych warukach. Wymeoe przyczyy e muszą być od sebe ezależe, ektóre z przyczy od do 9 mogą składać sę a przyczyy typu 0. Norma opsaa w Przewodku dzel składk epewośc a dwa typy w zależośc od metody ch wyzaczaa: typ A typ B []. Ocea epewośc stadardowej typu A może być oparta a każdej, prawdłowej metodze statystyczego opracowaa daych. Przykładem może być oblczae odchylea stadardowego średej dla ser ezależych obserwacj albo też użyce metody ajmejszych kwadratów w celu dopasowaa krzywej do daych oblczee parametrów krzywej oraz ch epewośc stadardowych. Ocea epewośc stadardowej typu B jest zwykle oparta o aukowy osąd badacza borącego pod uwagę wszystke dostępe formacje, które mogą obejmować: - wyk pomarów poprzedch, - dośwadczee wedzę a temat zachowaa własośc, tak przyrządów, jak badaych materałów, - formacje producetów przyrządów a temat ch własośc, - dae zawarte w protokołach kalbracj przyrządów ych raportach - epewośc przypsae daym zaczerpętym z podręczków. W przypadku epewośc stadardowej typu B często mów sę e o oblczau, a o szacowau epewośc, gdyż mamy do czyea z subektywym określeem prawdopodobeństwa. ROZDZIAŁ 4 Oblczae epewośc Jeśl welkość merzoą moża bezpośredo porówać ze wzorcem lub gdy pomar wykoyway jest przy użycu jedego przyrządu dającego od razu gotowy wyk, to tak pomar azywa sę pomarem bezpośredm. Do tego typu pomarów ależą a przykład: pomar długośc przy użycu ljk, pomar średcy pręta przy użycu śruby mkrometryczej, pomar czasu przy użycu stopera, pomar atężea prądu elektryczego przy użycu amperomerza, czy pomar apęca przy użycu woltomerza. Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 3

Określae epewośc pomarów Iym typem pomarów są pomary bezpośrede jedej lub klku welkośc fzyczych, których celem jest określee welkośc od ch zależej. Tego typu pomary azywa sę pomaram pośredm. Należą do ch a przykład: pomar (wyzaczee) rezystacj a podstawe pomarów atężea prądu apęca, wyzaczee objętośc walca a podstawe pomarów jego średcy wysokośc, wyzaczee przyspeszea zemskego a podstawe długośc okresu drgań wahadła matematyczego. Metody oblczaa epewośc zależą od tego, czy pomary wykoywae były w sposób bezpośred lub pośred. 4. Pomary bezpośrede Załóżmy, że welkość fzycza X jest wyzaczaa w sposób bezpośred w tym celu została wykoaa sera pomarów x, x,,..., x. Jeśl wśród tych pomarów występuje wartość lub wartośc odbegające zacze od pozostałych (błędy grube), to ależy je pomąć e wolo ch uwzględać w dalszych oblczeach. Przyczyam powstawaa błędów grubych są ajczęścej błędy eksperymetatora (p. odczytae wartośc V zamast, V) lub chwlowe zakłócee waruków pomarowych. Decyzja o uzau pomaru za błąd gruby zależy od eksperymetatora zazwyczaj jest podejmowaa a etape terpretacj wyków. Oblczae epewośc stadardowej typu A Proces wykoywaa pomarów moża porówać do poberaa -elemetowej próby losowej z eskończoego zboru wszystkch możlwych do wykoaa pomarów. Jeśl rozkład prawdopodobeństwa lczb x jest opsay w przyblżeu krzywą Gaussa (patrz Dodatek B), optymaly sposób opracowaa wyków jest astępujący. Za wyk pomaru przyjmuje sę średą arytmetyczą: x x x. () Należy pamętać, że wększa lczba wykoaych pomarów pozwala dokładej wyzaczyć wartość średą. Nepewość stadardową tego wyku ( x ) pomaru welkośc fzyczej X oblcza sę z poższego wzoru, gdze s x azywa sę odchyleem stadardowym welkośc średej: Oblczae epewośc stadardowej typu B u( x) sx ( x x). () ( ) Często w praktyce pomarowej występują sytuacje, gdy wykoyway jest tylko jede pomar (lub po jedym pomarze każdej z welkośc merzoych) lub wyk e wykazują rozrzutu. Dzeje sę tak, gdy urządzee pomarowe jest mało dokłade. Na przykład, merząc welokrote grubość płytk śrubą mkrometryczą otrzymamy róże wyk, a pomar tej samej płytk ljką mlmetrową da am zawsze te sam wyk. Dokładość merka określa epewość wzorcowaa Δx (zwaa także epewoścą graczą). Jest to lczba określoa przez produceta urządzea pomarowego lub oszacowaa a podstawe wartośc dzałk elemetarej stosowaego merka. Oczywstym jest fakt, że prawdopodobeństwo uzyskaa dowolego wyku meszczącego sę w przedzale wyzaczoym przez wyk pomaru dokładość wzorcowaa jest take samo. Tego typu rozkład prawdopodobeństwa azywa sę rozkładem jedostajym, w którym odchylee stadardowe określoe jest wzorem x / 3 (Dodatek B). Przyjmuje sę, że jest oo rówe epewośc stadardowej typu B: x ( x) u ( x). (3) 3 3 Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 4

Określae epewośc pomarów Drugą przyczyą epewośc pomarów typu B może być epewość eksperymetatora Δx e określaa przez osobę wykoującą pomary. Wartość jej jest szacowaa a podstawe umejętośc sposobu wykoywaa pomarów. Nepewość stadardową oblcza sę róweż przy użycu wzoru (3), gdze zamast Δx ależy wstawć Δx e. Jeśl występują oba źródła epewośc typu B opsae powyżej, to dodają sę ch kwadraty epewośc stadardowych : Dodawae epewośc ( x) ( x ) u ( x) e. (3a) 3 3 Jeśl w pomarach występują rówocześe oba typy epewośc (typu A rozrzut wyków typu B epewość wzorcowaa eksperymetatora), to ależy dodać do je sebe ch kwadraty, otrzymując astępujący wzór a epewość stadardową (całkowtą): ( x) ( xe) u ( x) sx. (4) 3 3 Należy zwrócć uwagę, że jeśl jeda z oblczoych epewośc jest mejsza o rząd welkośc od ych, to moża tę epewość pomąć. Wzór (4) ależy stosować tylko w przypadku, gdy wyzaczoe epewośc są tego samego rzędu. Wyzaczae epewośc wzorcowaa eksperymetatora dla podstawowych przyrządów wykorzystywaych w laboratorum - Przyrządy mechacze (ljk, śruby mkrometrycze, suwmark) - jako Δx ależy przyjąć połowę dzałk elemetarej. Tak samo określa sę epewość wzorcowaa takch przyrządów jak barometry rtęcowe, termometry, stopery, tp. - Merk aalogowe jako epewość wzorcowaa Δx ależy przyjąć wartość wyzaczoą a podstawe klasy przyrządu zakresu pomarowego: klasa zakres x (5) 00 Jako epewość obserwatora przyjmuje sę połowę wartość dzałk elemetarej: x e zakres. (5a) lczba dzalek - Merk cyfrowe (elektrocze) - epewość pomaru określaa jest a podstawe daych techczych przyrządu podaych w strukcj obsług. Zależy oa przede wszystkm od wartośc welkośc merzoej x oraz, zazwyczaj w mejszym stopu, od zakresu pomarowego z: x c x c z. (6) Lczby c c ależy odczytać z strukcj przyrządu dla wększośc woltomerzy cyfrowych stosowaych w laboratorum c = 0,05% c = 0,0%. W welu przypadkach moża przyjąć c =0. Należy pamętać, że aby oblczyć epewość stadardową typu B, oblczoe powyżej wartośc Δx ależy podzelć przez 3 ewetuale skorzystać z prawa propagacj epewośc. Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 5

Określae epewośc pomarów 4. Pomary pośrede Pomar pośred welkośc Z (zwaą wyjścową) polega a wykoau pomarów k welkośc merzoych bezpośredo (zwaym wejścowym), które ozacza sę x, x,..., x k. Welkośc z jest fukcją welkośc x k : z f x, x,..., x ) lub w skróce z f x ). ( k Dla welkośc fzyczych merzoych bezpośredo ależy oblczyć ch wartośc średe x, x,..., x k oraz epewośc stadardowe u(x ), u(x ),..., u(x k ). Nepewośc stadardowe welkośc bezpośredch mogą być oblczoe zarówo metodą typu A, jak metodą typu B. Oczywśce w przypadku metody typu B e ma wartośc średej, a jedye wyk pomaru. Wyk pomaru welkośc Z oblcza sę ze wzoru: z f x, x,..., x ). ( k Nepewość pomaru welkośc Z os azwę epewośc złożoej u c. Oblcza sę ją przy użycu astępującego wzoru (prawo propagacj epewośc): ( k u k f ( x j ) c( z) u ( x j ). (7) j x j Po oblczeu pochodych ależy za x j podstawć wartośc średe x j. W często występującym przypadku dwóch welkośc merzoych bezpośredo (x y) wzór te przyjmuje postać: f ( x, y) f ( x, y) u c ( z) u ( x) u ( y). (8) x y Pomary welkośc merzoych bezpośredo moża podzelć a pomary o welkoścach wejścowych eskorelowaych skorelowaych (w skróce pomary eskorelowae skorelowae). Pomary eskorelowae to pomary, w których każdą welkość fzyczą bezpośredą merzy sę w ym, ezależym dośwadczeu (a przykład każdą z welkośc bezpośredch moża merzyć oblczać w ym czase). Przykłady pomarów eskorelowaych: - Wyzaczee przyspeszea zemskego przy użycu wahadła matematyczego. Nezależe wykouje sę pomary długośc wahadła okresu drgań, a przyspeszee zemske wyzacza 4 l ze wzoru: g. T - Wyzaczee sły dzałającej a pezoelektryk. Nezależe wykouje sę pomary masy obcążka, ramea a którym zaczepoo obcążk ramea a którym dzała ezaa sła. mgl Słę wyzacza sę ze wzoru: F x. l Pomary skorelowae, to zgode z defcją pomary welkośc w jakś sposób wzajeme zależych. Pomary take polegają a zmerzeu wszystkch welkośc wejścowych w tych samych warukach, bez wprowadzaa w tym czase zma w układze pomarowym (pomar jedoczesy przy użycu jedego zestawu dośwadczalego, w jedym dośwadczeu). Jeśl jedak przyjrzeć sę dokłade metodom pomarowym stosowaym w laboratorum studeckm, to moża stwerdzć, że praktycze wszystke pomary są pomaram eskorelowaym. Zawsze węc, do oblczaa epewośc złożoej ależy stosować zależośc określoe wzoram (7) lub (8). Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 6

Określae epewośc pomarów 4.3 Nepewość rozszerzoa Nepewość stadardowa u(x) określa przedzał od x u(x) do x u(x), w którym wartość prawdzwa zajduje sę z prawdopodobeństwem 68% dla epewośc typu A oraz z prawdopodobeństwem 58% dla epewośc typu B (wartośc te wykają z rozkładów prawdopodobeństw: Gaussa jedostajego). Nepewość stadardowa jest marą dokładośc pomarów umożlwa porówae różych metod pomarowych. Dla umożlwea porówaa wyków pomarów uzyskwaych w różych laboratorach warukach wprowadzoo pojęce epewośc rozszerzoej U. Służy oa do woskowaa o zgodośc wyku pomaru z wykam uzyskaym w ych warukach lub z wartoścam tablcowym. Nepewość rozszerzoa wykorzystywaa jest do celów komercyjych do ustalaa orm przemysłowych, zdrowotych, bezpeczeństwa, td. Zgode z defcją, epewość rozszerzoa jest to zwększoa wartość epewośc stadardowej tak, aby w przedzale x ±U(x) zalazła sę przeważająca część wyków. Nepewość rozszerzoą oblcza sę w sposób astępujący: U ( x) k u( x), (9) gdze k os azwę współczyka rozszerzea. Dla wększośc zastosowań przyjmuje sę wartość współczyka rozszerzea rówą. Dla k = prawdopodobeństwo zalezea wartośc prawdzwej w przedzale x ±U(x) wyos 95% dla epewośc typu A oraz jest rówe 00% dla epewośc typu B (prawdopodobeństwo rówe 00% uzyskuje sę już dla k=,73!). W daych techczych przyrządów pomarowych często jest podawaa mara epewośc prezetowaych welkośc. Jeśl e podao aczej, jest to zazwyczaj epewość rozszerzoa oblczoa dla współczyka rozszerzea k = 3, co odpowada trzykrotej wartośc odchylea stadardowego welkośc średej. Wówczas epewość stadardowa odpowadająca prawdopodobeństwu 68% jest rówa /3 podaej wartośc epewośc. 4.4 Prawdłowy zaps wyków pomaru Jak już wspomao wcześej, wyk pomaru zapsuje sę zawsze wraz z epewoścą. Obe welkośc ależy wyrazć w jedostkach podstawowych układu SI (patrz Dodatek A). Prawdłowy zaps wyku ależy rozpocząć od prawdłowego zapsu epewośc. Nepewość zapsuje sę z dokładoścą (zaokrągla) do dwóch cyfr zaczących. Wyk pomaru (czyl wartość ajbardzej prawdopodobą) zapsuje sę z dokładoścą określoą przez prawdłowy zaps epewośc, co ozacza, że ostata cyfra wyku pomaru epewośc muszą stać a tym samym mejscu dzesętym. Zaokrąglee epewośc wyku odbywa sę zgode z zasadam zaokrągleń w matematyce: cyfry 0-4 zaokrągla sę w dół (e ulega zmae cyfra poprzedzająca), atomast cyfry 5-9 zaokrągla sę w górę (cyfra poprzedzająca zwększa sę o jede). Zaps wyku pomarów moża uzupełć róweż o lczbę pomarów staowących podstawę oblczeń epewośc. Nepewość stadardową moża zapsać a klka sposobów. () t =,364 s, u(t) = 0,03 s () t =,364(3) s, te sposób jest zalecay szeroko stosoway, a przykład w publkacjach aukowych lub daych katalogowych (3) t =,364(0,03) s W sposobe () w awase ależy zapsać dwe cyfry zaczące epewośc stadardowej, atomast w sposobe (3) w awase ależy zapsać epewość stadardową z dokładoścą do cyfr zaczących. Nepewość rozszerzoą zapsuje sę z użycem symbolu ±. Dla powyższego przykładu U(t) = k u(t), t =,364 s, U(t) = 0,046 s (k = ), = t = (,364±0,046) s. Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 7

Określae epewośc pomarów ROZDZIAŁ 5 Pomary zależośc fukcyjych Często występującym w laboratorum typem pomarów pośredch jest welokroty, prawe jedoczesy pomar dwóch zależych od sebe welkośc x y. Dla różych wartośc x otrzymuje sę róże wartośc y. Wykem pomarów jest par lczb (x, y ). Dalsze postępowae zależy od celu wykoywaych pomarów. Jeśl zaa jest zależość fukcyja wążąca welkośc x y (p. y = ax ), a celem pomarów jest wyzaczee parametru fukcj (w przykładze parametru a), to welkość merzoą wyzacza sę dopasowując do wyków pomarów zaą zależość fukcyją. Na podstawe wyków dopasowaa określa sę epewość stadardową poszukwaej welkośc rówą epewośc stadardowej właścwego współczyka dopasowaa (epewość typu A). Wartość ta e zależy od epewośc wyków x, y. W celu uwzględea epewośc pomarów wartośc x y ależy oblczyć epewość złożoą u c (z) dla dowolego puktu pomarowego będze to epewość typu B. Oba typy epewośc ależy dodać do sebe korzystając z prawa dodawaa epewośc (4). Jeśl celem pomarów jest potwerdzee lub e zależośc fukcyjej wążącej welkośc x y, to ależy do wyków pomarów dopasować teoretyczą zależość sprawdzć stosowalość badaej zależośc. Najprostszym przykładem tego typu pomarów jest sprawdzee stosowalośc prawa Ohma przez pomar zależośc atężea prądu od przyłożoego apęca dla ezaej rezystacj. Isteje wele metod dopasowywaa określoej zależośc fukcyjej do wyków pomarów. Najczęścej wykorzystywaą metodą jest metoda ajmejszych kwadratów, która jest opsaa w dalszej częśc strukcj. 5. Sprowadzae zależośc fukcyjych do fukcj lowej Poza spotykaą w praktyce żyerskej koeczoścą wykoaa pomaru welkośc fzyczej oszacowaa jej epewośc, w praktyce laboratoryjej bardzo często mamy do czyea z koeczoścą sprawdzea, czy zmerzoe welkośc (zazwyczaj dwe) zależą od sebe w sposób opsay teoretycze. Sprawdzee modelowej (teoretyczej) zależośc pocąga za sobą koeczość wyzaczea parametrów tej fukcj. Teoretycze zależośc fukcyje wążące welkośc fzycze mogą być określoe rówaam w postac jawej lub uwkłaej. Model fzyczy podaje poadto zakres wartośc, dla którego rówae moża stosować. Zadaem eksperymetatora jest przeprowadzee jak ajwększej lczby pomarów z zakresu stosowalośc modelu dopasowae parametrów poszukwaej zależośc do wyków pomarów. Współczese programy komputerowe pozwalają a dopasowae dowolej zależośc fukcyjej do zboru wyków pomarów. Wększość zależośc występujących w fzyce moża sprowadzć do zależośc lowej (zlearyzować). Learyzacja polega a przekształceu fukcj y = f(x) w ą fukcję Y = F(X), która będze mała postać welomau stopa, czyl postać Y=BX+A. Najczęstszą praktyką w laboratorum fzyk jest dopasowae wyków pomarów do fukcj lowej. Przykłady przekształceń do fukcj lowej: Zależość: y d s x X s x, Y y, Zależość: Zależość: y y x y y0e X x, Y l, B y y e 0 x X y0 l y Przekształcea podae powyżej e są jedyym, możlwym do przyjęca dla fukcj y = f(x). Pomary dają dwa zbory wyków (x, x, x 3,... x ) oraz (y, y, y 3,... y ), które astępe, przy wykorzystau podstaweń, ależy przekształcć a zbory (X, X, X 3,... X ) oraz (Y, Y, Y 3,... Y ). Otrzymae lczby ależy umeścć a wykrese, którego zmeą ezależą, Y 0 x, B B d Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 8

Określae epewośc pomarów będze X, a zmeą zależą Y. Kolejym krokem jest przeprowadzee procedury dopasowaa tych wyków do l prostej. 5. Metoda ajmejszych kwadratów Najszerzej stosowaą metodą dopasowaa lowego jest metoda ajmejszych kwadratów szczegółowo opsaa w Dodatku C. Metoda ta polega a zalezeu takej prostej, która będze leżała ajblżej puktów pomarowych, a węc takego doboru parametrów prostej, aby suma kwadratów różc wartośc dośwadczalych y oblczoych (Bx + A) była jak ajmejsza [ y ( Bx A)] m. Procedurę tę moża wykoać ręcze, korzystając z zależośc podaych w Dodatku C, ale wygodej posłużyć sę dowolym programem komputerowym który posada fukcję dopasowaa lowego (lear ft) lub regresj lowej (lear regreso). W wyku oblczeń uzyskuje sę wartość współczyka kerukowego B wyrazu wolego A oraz ch epewośc stadardowe u(b) u(a). Isteją róże waraty metody ajmejszych kwadratów. Najprostszy warat zakłada ezajomość epewośc pomarów welkośc x y oraz ch jedakowość. Wówczas epewośc u(b) u(a) e zależą od epewośc pomarów. Metoda ajmejszych kwadratów jest statystyczą aalzą ser par lczb x, y, czyl metodą typu A. Przykład zastosowaa metody ajmejszych kwadratów wraz z wykam uzyskaym w programe McroCal Org 8 (przy zastosowau fukcj lear ft) przedstawoo w Dodatku D. 5.3 Weryfkacja hpotezy lowośc Zgode z formacjam podaym powyżej, wzory regresj lowej moża zastosować do wyków pomarów dowolej pary welkośc fzyczych. W wyku zastosowaa metody ajmejszych kwadratów uzyskuje sę lowe przyblżee zależośc mędzy merzoym welkoścam. Jedakże zależość lowa e zawsze jest dobrym przyblżeem wyków pomarów. Programy dopasowujące podają zazwyczaj wartość współczyka korelacj, który jest lczbą z przedzału [-, ] określającą stopeń współzależośc zmeych. Jedakże w przypadku wększośc pomarów welkośc fzyczych w laboratorum wartość tego współczyka jest bardzo duża (blska lub -) e formuje o steu odstępstw pojedyczych puktów od wyzaczoej zależośc lowej. Tak węc użyteczość tego współczyka jest ewelka. Dlatego też stosuje sę dodatkowe testy pozwalające zweryfkować lowość badaej zależośc. Perwszym, podstawowym sprawdzeem zgodośc wyzaczoej prostej z wykam pomarów jest poprowadzee prostej teoretyczej a wykrese prezetującym wyk pomarów wraz z uwzględeem odcków epewośc. Poprowadzoa prosta powa przecąć odck epewośc co ajmej /3 puktów pomarowych. Jeśl tak e jest, to awet mmo bardzo dużej wartośc współczyka korelacj e moża twerdzć o lowej zależośc badaych welkośc. Najczęścej stosowaym arzędzem do weryfkacj postawoej hpotezy jest test χ (czytaj ch kwadrat). Zmeą testową χ defuje sę w astępująco: w ( y y( x )), (0) gdze y(x ) ozacza wartość weryfkowaej zależośc dla x, a w ozacza wagę statystyczą -tego puktu pomarowego oblczaą w astępujący sposób: w [ u( y )]. () Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 9

Określae epewośc pomarów Patrząc a wzór (0) moża łatwo zauważyć, że w przypadku weryfkacj zależośc lowej, w zmeej testowej χ wartość ( y y( x )) czyl ( y B( x ) A), jest rówa kwadratow różcy mędzy wartoścą zmerzoą y a wartoścą wyzaczoej fukcj lowej dla x = x. Dla daego pomaru, wartość ta podzeloa przez kwadrat epewośc stadardowej powa osągać wartość co ajwyżej. Jeśl jest wększa, ozacza to, że wyzaczoa prosta e przechodz przez pole epewośc. Tak węc w szczególym przypadku, dla pomarów dla których wyzaczoa prosta przechodz przez wszystke odck epewośc, wartość zmeej testowej χ e powa być wększa od (lczby pomarów). Obecość wag statystyczej ogracza stosowae testu χ do przypadków, w których zaa jest epewość stadardowa poszczególych puktów pomarowych. Wartość lczbowa fukcj χ jest marą zgodośc wyków dośwadczalych z dopasowaą prostą. Drugm, obok wag, ważym parametrem testu χ jest pozom stotośc α. Pozom stotośc jest prawdopodobeństwem odrzucea założoej hpotezy, czyl określa stopeń pewośc badacza, co do lowośc wyków pomarów. Wartość ta może zawerać sę w przedzale od do 0, a jej wybór zależy od osoby wykoującej pomary atury badaego zjawska. Jeżel wartość będze zbyt duża, test będze odrzucał dobre wyk, atomast wartość zbyt mała spowoduje akceptację daych, które e pasują do daej fukcj teoretyczej. W typowym eksperymece fzyczym przyjmuje sę α = 0,05 ( tę wartość ależy stosować w laboratorum studeckm). Zaleca sę róweż, aby lczba pomarów e była mejsza od 6 (w dośwadczeach studeckch lczba ta powa zawerać sę w przedzale od 6 do ). Zastosowae testu χ w kokretym przypadku polega a wyzaczeu wartośc zmeej testowej χ dla badaego zboru wyków porówau tej wartośc z wartoścą krytyczą zmeej χ krytycza dla określoego pozomu stotośc daej lczby stop swobody. Lczba stop swobody jest rówa lczbe par wyków pomarów pomejszoej o lczbę parametrów użytych do dopasowaa zależośc teoretyczej w przypadku metody ajmejszych kwadratów są to dwa parametry (B A), czyl lczba stop swobody rówa jest -. Wartośc krytycze zmeej χ krytycza są stablcowae (patrz Dodatek E) z tabel ależy odczytać jej wartość. Porówae wartośc krytyczej dośwadczalej może dać dwa wyk:. χ ² χ krytycza, - e ma podstaw do odrzucea hpotezy o lowej zależośc daych.. χ > χ krytycza - ależy odrzucć hpotezę o lowej zależośc daych Jeśl wartość dośwadczala χ jest dużo mejsza od wartośc krytyczej, to ależy zastaowć sę, czy e przyjęto zbyt dużej epewośc pomarów czy e ależałoby wykoać jeszcze raz pomarów przy użycu dokładejszych przyrządów. Jeśl hpoteza o lowej zależośc daych zostaje odrzucoa, to ależy przyjąć y, być może bardzej złożoy model lub zależość, wykoać procedurę dopasowaa poowe wykoać test χ. Przykład zastosowaa testu χ do sprawdzea teoretyczej zależośc welkośc merzoych dośwadczale przedstawoo w przykładze 3 w astępym rozdzale. Podsumowując: przy pomarze welkośc skorelowaych, metoda ajmejszych kwadratów pomaga wyzaczyć poszukwaą welkość fzyczą wążącą welkośc merzoe, ale tylko pod pewym warukam. W perwszej kolejośc ależy arysować wyzaczoą zależość sprawdzć, czy przechodz oa przez odck epewośc puktów pomarowych. Przejśce awet przez wszystke odck e jest jeszcze potwerdzeem słuszośc przyjętej zależośc fukcyjej. Drugm, ważejszym warukem, jest wykoae testu χ, który pozwala z dużym prawdopodobeństwem przyjąć lub odrzucć hpotezę dotyczącą postac poszukwaej fukcj. Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 0

Określae epewośc pomarów ROZDZIAŁ 6 Przykłady opracowaa wyków pomarów Prawdłowy zaps wyków pomarów Wyk pomarów oblczeń a = 3,735 m/s; u(a) = 0,4678 m/s b = 3785 m; u(b) = 330 m C = 0,0000045 F; u c (C) = 0,00000056 F T = 373,43 K; u(t) =,3456 K Prawdłowy zaps a = 3,74 m/s; u(a) = 0,5 m/s a = 3,74(5) m/s a = 3,74(0,5) m/s b = 3800 m; u(b) = 300 m b = 3800(300) m b = 3,8(,3) 0 3 m b = 3,8(,3) km C=0,00000 F; u c (C)=0,00000056 F C =,00(56) 0-6 F C =,00(0,56) 0-6 F C =,00(56) μf T = 373,4 K; u(t) =,3 K T = 373,4(,3) K U(T) = 4,7 K (k=) T = (373,4 ± 4,7) K R = 7885,666 ; u c (R) = 66,6667 R = 7886 ; u c (R) = 67 R = 7886(67) R = 7,886(0,067) k U c (R) = 30 (k=) R = (7890 ± 30) R = (7,89 ± 0,3) k x =,345 A; u(x) = 0,000 A y =, A; u(y) = 0,000 A x =,345 A; u(x) = 0,000 A x =,345() A x =,345(0,000) A y =,000 A; u(y) = 0,000 A y =,000() A y =,000(0,000) A Należy zwrócć uwagę że: () zaps podkreśloy jest zapsem zalecaym, () zaps wytłuszczoy dotyczy jedye epewośc rozszerzoej, (3) prawdłowy jest słowy zaps wyków, p. w przykładze perwszym, w sprawozdau moża apsać: Prędkość dźwęku w powetrzu wyos 3,74 m/s z epewoścą stadardową 0,5 m/s, choć zalecay jest zaps podkreśloy. Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk

Określae epewośc pomarów Przykład Przy użycu suwmark o dokładośc 0, mm zmerzoo bok pręta o przekroju kwadratowym otrzymao astępujące wyk w mlmetrach:,5;,3;,6;,5;,3;,5;,7;,3;,7;,4;,3. Oblczyć długość boku pręta. Zapsać wyk pomaru. Welkość fzyczą (długość boku pręta - d) wyzaczoo w sposób bezpośred wykoując serę pomarów. Wykem pomaru będze średa arytmetycza określoa wzorem (): d d d,46364mm Suwmarka ma dzałkę elemetarą rówą 0, mm, czyl dokładość wzorcowaa Δd rówa jest 0,05 mm. Tak węc epewość stadardowa typu B ma wartość: d 0,05 u( d) 0,0887 mm 3 3 Isteje rozrzut wyków pomarów, dlatego też ależy oblczyć epewość stadardową typu A przy użycu wzoru (): u( d) s ( d d ) ( d,46364) 0,04738mm d ( ) ( ) Jak moża zauważyć obe epewośc są tego samego rzędu, węc ależy posłużyć sę prawem dodawaa epewośc do uzyskaa sumaryczej wartośc epewośc stadardowej (całkowtej): ( d) u( d) s 0,04738 0,0887 0,05536mm. d 3 Nepewość stadardową moża poprawe zapsać w jede z trzech sposobów: u = 0,055 mm u(d) = 0,055 mm u(boku pręta) = 0,055 mm Prawdłowy zaps wyku pomaru: d =,464 mm, u(d) = 0,055 mm d =,464(55) mm d =,464(0,055) mm Jeśl koecze jest podae epewośc rozszerzoej (p. do porówaa z wartoścą katalogową), to wyk ależy zapsać w sposób astępujący: U(d) = k u(d), d =,46 mm, U(d) = 0, mm (k = ), = d = (,46±0,) mm. Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk

Określae epewośc pomarów Przykład [4] W celu wyzaczea przyspeszea zemskego przeprowadzoo pomary czasu spadku cała z pewej wysokośc. Wysokość spadku h zmerzoo trzykrote taśmą merczą z podzałką mlmetrową uzyskując za każdym razem wyk 70 mm. Czas spadku t zmerzoo pęcokrote przy pomocy stopera uzyskując wyk t = 0,509, t = 0,5, t 3 = 0,50, t 4 = 0,504, t 5 = 0,50 (wszystke wyk w sekudach). Dokładość stopera wyosła 0,00 s, zaś epewość zwązaą z wyborem chwl włączea wyłączea oszacowao a 0,0 s. Oblczyć przyspeszee zemske jego epewość. h Przyspeszee zemske g ależy oblczyć ze wzoru g. W perwszej kolejośc, korzystając ze wzoru () ależy oblczyć wartośc średch wysokośc spadku h czasu spadku t : t h 70 mm, 7m, t 0, 507s. Mając oblczoe wartośc h t moża oblczyć wartość przyspeszea zemskego:,7 g 9,87359m/s. 0,507 Aby oblczyć epewość złożoą pomaru pośredego g ależy określć epewośc stadardowe pomaru czasu wysokośc. Oblczee epewośc stadardowej u(t) pomaru czasu: Nepewość typu A: Korzystając ze wzoru () 5 3 u ( t) st ( t t ) ( t 0,507),035 0 s =,035 ms. ( ) 5 4 Nepewość typu B: Nepewość typu B pomaru czasu zwązaa jest przede wszystkm z epewoścą eksperymetatora włączea wyłączea czasomerza epewość, a zatem wyos Δt e = 0,0 s = 0 ms (moża zaedbać epewość zwązaą z dokładoścą czasomerza, gdyż jest oa dzesęcokrote mejsza). Tak węc epewość stadardowa typu B wyos: te 0 u ( t) 5,7735 ms. 3 3 Jak łatwo zauważyć, obe epewośc są tego samego rzędu, węc ależy uwzględć oba typy epewośc całkowtą epewość stadardową pomaru czasu oblczyć z prawa dodawaa epewośc: u( t),035 5,7735 6, ms. Końcowy zaps wyku pomaru czasu ależy zapsać w postac: t = 0,507(6) s, =5. Oblczee epewośc stadardowej u(h) pomaru wysokośc: W tym przypadku e ma rozrzutu wyków, węc epewość stadardową pomaru wysokośc ależy oszacować a podstawe epewośc stadardowej typu B. Najmejsza dzałka taśmy merczej wyos mm, lecz borąc pod uwagę e czyk (poowość ustawea mark, sposób odczytu) rozsąde będze przyjąć epewość pomaru jako Δh = mm. Tak węc epewość stadardowa typu B wyos: h u( h),5mm. 3 3 Końcowy zaps wyku pomaru wysokośc ależy zapsać w postac: h = 70,0(,) mm lub h =,700() m, =. Oblczee epewośc złożoej u c (g) pomaru przyspeszea zemskego: Jest to pomar pośred eskoreloway, węc ależy skorzystać z prawa propagacj epewośc ze wzoru (7): Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 3

Określae epewośc pomarów u c ( g) g h u ( h) g t u ( t) t u ( h) 4h 3 t u ( t) 4,7 0,00 0,006 8,7 0 5 0,0564 0,37m/s. 3 0,507 0,507 Porówując oba czyk pod perwastkem moża zauważyć, że wkład epewośc pomaru wysokośc w porówau do epewośc pomaru czasu jest pomjale mały. Wyk pomaru przyspeszea zemskego moża zapsać poprawe a trzy sposoby: g = 9,87 m/s, u c (g) = 0,4 m/s g = 9,87(4) m/s g = 9,87(0,4) m/s Oblczee epewośc rozszerzoej U c (g) pomaru przyspeszea zemskego: Zgode ze wzorem (9): U c (g) = u c (g) = 0,37 m/s = 0,474 m/s. Końcowy rezultat pomaru przyspeszea zemskego, który moża porówać z wartoścą tablcową jest astępujący: g = (9,87±0,47) m/s. Tablcowa wartość przyspeszea zemskego dla Warszawy jest rówa 9,80665 m/s. Wartość tablcowa meśc sę w wyzaczoym w dośwadczeu przedzale epewośc, co potwerdza poprawość wykoaa eksperymetu. Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 4

Określae epewośc pomarów Przykład 3 Dla sprawdzea lowej zależośc atężea prądu płyącego przez rezystor od przyłożoego apęca wykoao dwe sere pomarów zależośc I od U dla tego samego rezystora o omalej rezystacj 0 klase 5% (epewość rozszerzoa rówa 0,5 ), przy użycu dwóch różych amperomerzy. W perwszym eksperymece do pomaru atężea prądu wykorzystao amperomerz aalogowy o klase,5 zakrese pomarowym,5 A, który mał 50 dzałek a skal. W drugm eksperymece do pomaru atężea prądu wykorzystao amperomerz cyfrowy, o epewośc pomarów określoej wzorem (6), w którym c = 0,% c = 0,% (zakres pomarowy 0 A). W obu przypadkach apęce zmerzoo woltomerzem aalogowym, a zakrese 5 V klase. Wyk pomarów zawarto w poższej tabel. Czy a podstawe wyków pomarów moża potwerdzć lową zależość I od U? Czy wyzaczoa wartość rezystacj zgoda jest z daym produceta? Wyk pomarów: SERIA I SERIA II U (V) I (A) u(y) u(x) U (V) I (A) u(y) u(x) 0,0 0,03 0,08 0,7 0,0 0,0030 0,0058 0,7,0 0,09 0,08 0,7,0 0,0877 0,0059 0,7,0 0,8 0,08 0,7,0 0,080 0,0060 0,7 3,0 0,30 0,08 0,7 3,0 0,3005 0,006 0,7 4,0 0,4 0,08 0,7 4,0 0,3960 0,006 0,7 5,0 0,45 0,08 0,7 5,0 0,4886 0,0063 0,7 6,0 0,54 0,08 0,7 6,0 0,583 0,0065 0,7 7,0 0,66 0,08 0,7 7,0 0,666 0,0065 0,7 8,0 0,75 0,08 0,7 8,0 0,7536 0,0066 0,7 9,0 0,8 0,08 0,7 9,0 0,855 0,0067 0,7 0,0 0,93 0,08 0,7 0,0 0,97 0,0068 0,7,0,0 0,08 0,7,0,0073 0,0069 0,7 Założoo, że apęce prąd płyący przez rezystor powązae są ze sobą prawem Ohma (U = R I), tak węc zależość I od U powa być lowa. Oblczea dopasowaa lowego metodą ajmejszych kwadratów przedstawoe a wykresach dla obu ser pomarów dały wyk: Sera Sera II B = 0,09063 B = 0,0954 A = 0,0654 A = 0,056 χ = 5,39 χ = 6,3 Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 5

Określae epewośc pomarów Obe proste regresj lowej przechodzą przez wszystke pola epewośc. Współczyk korelacj determacj dla obu ser pomarowych są podobe zblżoe do jedośc (patrz dodatek D). Wartośc współczyków kerukowych prostych są róweż do sebe zblżoe. Tak węc wydaje sę, że zależość lowa apęca atężea jest potwerdzoa. Jedak moża zauważyć, że zacząca różca pojawa sę w wartośc fukcj testowej χ. W omawaym przykładze lczba stop swobody wyos 0 ( pomarów pomejszoe o ) dla pozomu stotośc 0,05 wartość krytycza χ wyos 8,3. Dlatego też a podstawe perwszej ser pomarowej e ma powodów do odrzucea hpotezy o zależośc lowej apęca prądu 5,39 < 8,3. Natomast a podstawe drugej ser pomarowej wykoaej przy wykorzystau dokładejszych przyrządów hpotezę o lowej zależośc obu zmeych ależy odrzucć. Mała wartość fukcj testowej χ w perwszej ser pomarowej sugeruje pomary o zbyt dużych epewoścach, aby mogły służyć oe do weryfkacj hpotezy o lowośc lub jej braku. Wątplwośc te potwerdzoe zostały w drugej ser pomarowej, której wyk każą odrzucć sprawdzaą hpotezę. Neprawdzwość założea o lowej zależośc apęca atężea zajduje potwerdzee w kolejych oblczeach, w których przyjęto dodatkowo, że fukcja dopasowująca mus przechodzć przez pukt (0,0). Jest to rówoważe przyjęcu wartośc wyrazu wolego A = 0 dla apęca zerowego prąd e powe płyąć przez rezystor. Przy takm założeu lczba stop swobody wyos ( pomarów pomejszoe o, bo wyzaczao tylko jede parametr), a dla pozomu stotośc 0,05 wartość krytycza χ rówa sę 9,7. Uzyskao astępujące wyk dopasowaa do l prostej: Sera Sera II B = 0,0979 B = 0,09373 χ = 6,59 χ = 9,7 Jak wdać wartość testowa χ dla ser perwszej prawe e uległa zmae, atomast w przypadku drugej ser zwększyła sę o prawe 50%. Tak węc, tym bardzej ależy odrzucć hpotezę o lowej zależośc. Może ozaczać to, że rezystacja badaego elemetu zależała od przyłożoego apęca. Dokłade badaa wykazały, że podczas wykoywaa pomarów rezystor agrzewał sę wskutek wydzelaa cepła Joule a-leza jego rezystacja zwększała sę o około 0% przy końcu pomarów. Przyblżee wyków pomarów fukcją teoretyczą, uwzględającą zmaę rezystacj pod wpływem wydzelającego sę cepła I = U/R k U (gdze k jest stałym współczykem) dało wyk zgody z założeem patrz rys. a astępej stroe. Jedocześe możlwe jest wyzaczee wartośc badaej rezystacj. Wyos oa 9,7, a jej epewość stadardowa 0,. Poprawy zaps do porówaa wyków dośwadczea z wartoścą zamoową ma postać: R = (9,7 ± 0,4). Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 6

Określae epewośc pomarów W te sposób wyzaczoa wartość rezystacj zawera sę w przedzale określoym przez produceta rezystora: R = (0,0 ± 0,5). Rys. Dopasowae wyków pomarów (przykład 3) fukcją kwadratową Pragę złożyć podzękowaa Pa dr hab. Irme Śledzńskej za trud włożoy w korektę merytoryczą językową tekstu Pau dr. Potrow Paeckemu za sprację pomoc udzeloą przy psau rozdzału o weryfkacj hpotez oraz przy opracowau przykładu 3. Szczególe podzękowaa składam Pau prof. Adrzejow Zębe za bardzo szczegółową krytyczą recezję, która w dużym stopu przyczyła sę do końcowej redakcj tekstu. Lteratura [] Wyrażae epewośc pomaru. Przewodk, Główy Urząd Mar, Warszawa 999. [] Gudele for Evaluatg ad Expressg the Ucertaty of NIST Measuremets Results, NIST Techcal Note 97 [] H. SZYDŁOWSKI, Nepewośc w pomarach, Wydawctwo Naukowe UAM, Pozań 00. [3] A. ZIĘBA, Pracowa fzycza, Wydawctwo AGH, Kraków 00. [4] M. LEWANDOWSKA, Aalza epewośc pomarowych, opracowae w terece. [5] Wkpeda Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 7

Określae epewośc pomarów DODATEK A Jedostk układu SI A. Jedostk podstawowe METR (m) jest to długość drog przebytej w próż przez śwatło w czase /9979458 s (XVII Ge. Kof. Mar 983 r.) KILOGRAM (kg) jest to masa mędzyarodowego wzorca tej jedostk masy przechowywaego w Mędzyarodowym Burze Mar w Sevres (III Ge. Kof. Mar 90 r.). SEKUNDA (s) jest to czas rówy 9 9 63 770 okresom promeowaa odpowadającego przejścu mędzy dwoma adsubtelym pozomam stau podstawowego atomu cezu 33 Cs (XII Ge. Kof. Mar 964 r.). KELWIN (K) jest to /73,6 część temperatury termodyamczej puktu potrójego wody (XIII Ge. Kof. Mar 967/68 r.). MOL (mol) jest to lczość mater występująca, gdy lczba cząstek jest rówa lczbe atomów zawartych w mase 0,0 kg węgla o mase atomowej, C (XIV Ge. Kof. Mar 97 r). AMPER (A) jest atężeem prądu e zmeającego sę, który płyąc w dwóch rówoległych prostolowych przewodach eskończee długch o przekroju kołowym zkomo małym, umeszczoych w próż w odległośc m, wywołuje mędzy tym przewodam słę rówą *0-7 utoa a każdy metr długośc przewodu (IX Ge. Kof. Mar 948 r.). KANDELA (cd) jest to śwatłość, jaką ma w określoym keruku źródło emtujące promeowae moochromatycze o częstotlwośc 540*0 Hz którego atężee w tym keruku jest rówe /683 W/sr (XVI Ge Kof. Mar 979 r.). A. Jedostk uzupełające RADIAN (rd) jest to kąt płask, zawarty mędzy dwoma promeam koła, wycającym z jego okręgu łuk o długośc rówej promeow tego koła. STERADIAN (sr) jest kątem bryłowym o werzchołku w środku kul, wycającym z jej powerzch część rówą powerzch kwadratu o boku rówym promeow tej kul. A.3 Zasady tworzea jedostek wtórych. Przedrostek Ozaczee Możk Eksa E 0 8 = 000 000 000 000 000 000 Peta P 0 5 = 000 000 000 000 000 Tera T 0 = 000 000 000 000 Gga G 0 9 = 000 000 000 Mega M 0 6 = 000 000 Klo k 0 3 = 000 Hekto h 0 = 00 Deka da 0 = 0 - - Decy d 0 - = 0, Cety c 0 - = 0,0 Ml m 0-3 = 0,00 Mkro 0-6 = 0,000 00 Nao 0-9 = 0,000 000 00 Pko p 0 - = 0,000 000 000 00 Femto f 0-5 = 0,000 000 000 000 00 Atto a 0-8 = 0,000 000 000 000 000 00 Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 8

Określae epewośc pomarów DODATEK B B. Rozkład Gaussa (rozkład ormaly) [5] Jeśl założymy, że przy wykoywau pomarów uzyskae pomaru o wartośc wększej mejszej od wartośc średej jest jedakowo prawdopodobe oraz, że wyk pomarów daleko odbegające od średej są mej prawdopodobe ż ewele różące sę od średej, to rozkład wyków dla dużej lczby pomarów moża przyblżyć krzywą Gaussa: ( x) ( x ) exp. Fukcja (x) os azwę rozkładu Gaussa lub rozkładu ormalego. Zależy oa od dwóch parametrów μ σ (wartośc oczekwaej waracj) oraz speła waruek ormalzacyjy: ( x)dx. Waruek te wyka z faktu, że prawdopodobeństwo zalezea wyku pomaru w przedzale od x do x+dx jest rówe (x)dx, a prawdopodobeństwo zalezea dowolej wartośc w przedzale od - do mus być rówe. Parametry mają łatwą terpretację aaltyczą statystyczą. Dla wartośc x = fukcja (x) osąga maksmum. Parametr określa dwa pukty +, gdze zajdują sę pukty przegęca krzywej Gaussa. Tak węc wartość moża traktować jako marę szerokośc rozkładu. Z puktu wdzea statystyk, wartość jest wartoścą oczekwaą E(X) rozkładu, atomast parametr jest perwastkem kwadratowym z waracj D (X), czyl odchyleem stadardowym. Podae pożej całk ozaczoe fukcj (x) określają prawdopodobeństwa zalezea określoej lczby pomarów (68,3%, 95,4% 99,7%) w przedzałach, których długość jest koleją welokrotoścą odchylea stadardowego: ( x ) dx 0,683, ( x ) dx 0, 954, ( x ) dx 0, 997. Rozkład Gaussa jest rozkładem cągłym, dobrze przyblżającym dośwadczaly rozrzut wyków wykających z przyczy opsaych w rozdzale 3 ejszej strukcj. Moża go zastosować do skończoej lczby pomarów przy oblczau epewośc pomarów typu A. Wówczas wartoścą oczekwaą tego przyblżającego rozkładu przyjmujemy średą arytmetyczą (), a za odchylee stadardowe, odchylee stadardowe wartośc średej (). 3 3 Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 9

Określae epewośc pomarów B. Rozkład jedostajy (x) x [5] Rozkład jedostajy (zway róweż rozkładem rówomerym lub prostokątym) jest to rozkład prawdopodobeństwa, w którym gęstość prawdopodobeństwa w przedzale od a do b jest stała róża od zera, a poza m rówa zeru. Fukcja rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa dla rozkładu jedostajego ma postać astępującą: (x) 3 dla 3 ) 0 3 x, (x dla pozostałych x, gdze μ σ (wartość oczekwaa waracja) dae są astępującym wzoram: a b ( b a), a. Jeśl przyjmemy, że dla epewośc stadardowej typu B epewość wzorcowaa wyzacza przedzał o szerokośc Δx wokół wartośc μ, wówczas wzór (3) wyka bezpośredo z podaej wyżej defcj waracj (ależy do wzorów podstawć a = - Δx b = Δx). Uwaga dla osób doceklwych: Dla rozkładu jedostajego wartośc współczyków rozszerzea gwaratujące prawdopodobeństwa zalezea określoej lczby pomarów (95,4% 99,7%) w przedzałach, których długość jest koleją welokrotoścą odchylea stadardowego jest a, ż dla rozkładu ormalego. 95% otrzymuje sę dla k =,65, 99% dla k =,7, a dla k =,73 uzyskuje sę już 00%. Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 0

Określae epewośc pomarów Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk DODATEK C Metoda ajmejszych kwadratów Metoda ajmejszych kwadratów jest ajpowszechej stosowaą metodą aaltyczą dopasowaa prostej do zboru puktów dośwadczalych. Nazwę zawdzęcza kryterum jakośc dopasowaa takego doboru parametrów prostej, aby suma kwadratów różc wartośc dośwadczalych y oblczoych (Bx + A) była jak ajmejsza m. )] ( [ A Bx y S W celu zalezea parametrów B A korzysta sę ze waruku a mmum fukcj dwóch zmeych: 0 B S oraz 0 A S. Oblczee obu pochodych cząstkowych prowadz do powstaa układu rówań lowych dla ewadomych B A. Dalsze oblczea przedstawoo w forme wygodej do oblczeń ręczych. Dla każdego puktu pomarowego ależy określć wartośc fukcj pomocczych X ~, Y ~ oraz d ~ : X X X ~, Y Y Y ~, Y BX Y d ~ ~. Następe ależy wyzaczyć wartość współczyka kerukowego prostej B oraz wyrazu wolego A (rzędej puktu przecęca prostej z osą OY): X B Y A X X Y B ~ ~ ~. Natomast zależośc: ~ ) ( ) ( ~ ~ ) ( X X B u A u X d B u określają epewość stadardową wartośc B oraz A. Oczywśce, mając do dyspozycj komputer, moża posłużyć sę dowolym programem wykoującym oblczea regresj lowej (dopasowaa lowego). Na rys. pokazao wyk lowego dopasowaa przy pomocy programu McroCal Org.

Określae epewośc pomarów DODATEK D Wyk regresj lowej w programe McroCal Org 8.0 Przykład zastosowaa metody ajmejszych kwadratów wraz z wykam uzyskaym w programe McroCal Org 8 (przy zastosowau fukcj lear ft) przedstawoo a rys.. Podstawowe wyk oblczeń zajdują sę w tabelce pojawającej sę automatycze a wykrese w oke Graph, a szczegółowe formacje a temat dopasowaa wszystkch parametrów oblczeń statystyczych w oke Book, w zakładce Data. W tabelce z wykam a wykrese zawarte są astępujące formacje: - Equato (rówae) fukcja, którą dopasowao do zboru daych. W przykładze jest to rówae lowe y = a + b*x. - Weght (waga) sposób oblczaa wag statystyczej pomaru. Istrumetal ozacza, że waga w oblczaa jest jako kwadrat odwrotośc epewośc pomaru y (welkość poberaa z kolumy epewośc welkośc Y). - Resdual Sum of Squares jest to wartość fukcj χ (aby ta wartość została wyśwetloa w tabelce z wykam, koecze jest zazaczee opcj Resdual Sum of Square w Quattes to Compute>Ft statstcs w oke parametrów dopasowaa lowego (Ft Lear)). - Adj. R-Square (ormoway współczyk determacj) podstawowa mara dopasowaa modelu. Im blższy jedośc, tym dopasowae do modelu blższe. - Value (wartość) Stadard Error (epewość stadardowa) dla welkośc a b. - Itercept (wyraz woly a) Slope (współczyk kerukowy b). Rys. Dopasowae wyków lą prostą (regresja lowa) w programe McroCal Org Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk

Lczba stop swobody Określae epewośc pomarów DODATEK E Krytycze wartośc stop swobody dla różych pozomów stotośc α lczby 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Pozom stotośc 0,0 0,0 0,05 0,0 0,005,64 3, 4,64 6,0 7,3 8,6 9,8,0, 3,4 4,6 5,8 7,0 8, 9,3 0,5,6,8 3,9 5,0,7 4,6 6,3 7,8 9, 0,6,0 3,4 4,7 6,0 7,3 8,5 9,8,,3 3,5 4,8 6,0 7, 8,4 3,8 6,0 7,8 9,5,,6 4, 5,5 6,9 8,3 9,7,0,4 3,7 5,0 6,3 7,6 8,9 30, 3,4 6,6 9,,3 3,3 5, 6,8 8,5 0,,7 3, 4,7 6, 7,7 9, 30,6 3,0 33,4 34,8 36, 37,6 7,9,6,8 4,9 6,3 8,6 0,3,9 3,6 5, 6,8 8,3 9,8 3,0 3,5 34,0 35,5 37,0 38,5 40,0 Zazaczoa a szaro koluma, to wartośc krytycze testu χ, które stosuje sę ajczęścej w praktyce laboratoryjej. Wydzał Fzyk Poltechk Warszawskej - Laboratorum Fzyk 3