Matematyka (Materiały dydaktyczne) Aleksander Błaszczyk

Niniejsza publikacja została przygotowana w ramach realizacji projektu Innowacyjne specjalności na kierunku Informatyka w Wyższej Szkole Biznesu w Dąbrowie Górniczej, Program Operacyjny Kapitał Ludzki, Działanie 4.1, Poddziałanie 4.1.1 - Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni Matematyka (Materiały dydaktyczne) Aleksander Błaszczyk

Spis treści Rozdział I. Struktury liczbowe 3 1. Wstęp mnogościowy 3 2. Liczby naturalne. Indukcja Matematyczna 4 3. Liczby całkowite, wymierne i rzeczywiste 12 4. Wielomiany 17 5. Liczby zespolone 22 6. Grupy, ciała, przestrzenie liniowe 26 7. Zadania do rozdziału I 33 Rozdział II. Macierze i wyznaczniki 45 1. Macierze 45 2. Wyznaczniki 51 3. Macierz odwrotna 66 4. Zadania do rozdziału II 69 Rozdział III. Układy równań liniowych 77 1. Układy równań liniowych 77 2. Przekształcenia elementarne macierzy 80 3. Metoda Gaussa rozwiązywania układów równań 85 4. Formy kwadratowe 89 5. Zadania do rozdziału III 94 Rozdział IV. Przekształcenia liniowe 99 1. Pojęcie przekształcenia liniowego 99 2. Postać macierzowa przekształceń liniowych 101 3. Zmiany baz 103 4. Wartości i wektory własne 104 5. Zadania do rozdziału IV 107 Skorowidz 109 Bibliografia 111 1

ROZDZIAŁ I Struktury liczbowe 1. Wstęp mnogościowy Rozpoczniemy wykład od ustalenia pojęć i zebrania podstawowych faktów, które później wykorzystamy. Pojęciem podstawowym jest zbiór. Przyjmijmy, że pojęcie zbioru jest dla nas intuicyjnie zrozumiałe. Tak więc, jeśli A jest zbiorem, a x należy do zbioru A, czyli x jest elementem zbioru A, to piszemy x A. W przeciwnym przypadku piszemy x / A. Często zbiór można opisać wyliczając jego elementy. Na przykład, jeśli zbiór A składa się jedynie z liczb 1, 2 oraz 3, to zapisujemy ten fakt następująco: A = {1, 2, 3}. Niekiedy zbiór można opisać przez podanie formuły, którą spełniają jego elementy. Tak więc jeśli B jest zbiorem wszystkich rozwiązań równania to piszemy x 2 3x + 2 = 0, B = {x R: x 2 3x + 2 = 0}. Wówczas, jak łatwo sprawdzić, B = {1, 2}. W określeniu zbioru B pojawił się symbol R oznaczający zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Ma on znaczenie zasadnicze w matematyce i na jego temat powiemy nieco więcej. Równie ważny jest podzbiór liczb rzeczywistych składający się z liczb naturalnych. W tym miejscu trzeba dodać, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy symbolicznie A B, jeśli każdy element zbioru A jest także elementem zbioru B. Mówimy wtedy, że A jest podzbiorem zbioru B. Mając dwa zbiory A i B możemy mówić o ich sumie i iloczynie. Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór A B złożony z tych elementów x, że x A lub x B. Iloczynem zbiorów A i B nazywamy zbiór A B, którego elementami są takie x, że x A i x B. Oprócz tego możemy mówić o różnicy A \ B zbiorów A i B. Składa się ona z tych x, że x A i x / B. 3

4 I. STRUKTURY LICZBOWE Ważnym pojęciem w matematyce jest iloczyn kartezjański. Aby go zdefiniować trzeba dysponować pojęciem pary uporządkowanej (a, b). Nie wnikając w dokładną jej definicję poprzestaniemy na zasadniczej własności par uporządkowanych. Otóż (a, b) = (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c oraz b = d. Jeśli A i B są zbiorami, to ich iloczynem kartezjańskim jest zbiór A B = {(a, b): a A oraz b B}. Jeśli mamy dwa zbiory X i Y, i każdemu elementowi x X przyporządkowany jest dokładnie jeden f(x) Y, to takie przyporządkowanie f nazywamy funkcją. Stosujemy oznaczenie f : X Y. Zbiór X, na którym określona jest funkcja f nazywamy dziedziną funkcji f, który oznaczamy też D f, a zbiór Y przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór f(x) = {f(x): x X} zbiorem wartości funkcji f. Jeśli f : X Y oraz g : Y Z, to możemy rozważać złożenie funkcji f i g czyli funkcję, którą oznaczamy symbolem g f, a definiujemy jako: Zbiór g f(x) = g(f(x)). W f = {(x, f(x)) X Y : x D f } nazywamy wykresem funkcji f. Funkcję f nazywamy różnowartościową, jeśli dla dowolnych x 1, x 2 D f zachodzi x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa oraz zbiór wartości funkcji f(x) jest równy Y, to możemy mówić o funkcji odwrotnej f 1 : Y X zdefiniowanej wzorem f 1 (y) = x, jeśli f(x) = y. 2. Liczby naturalne. Indukcja Matematyczna Liczb naturalnych, podobnie jak pojęcia zbioru, nie będziemy definiować. Zbiór liczb naturalnych będziemy oznaczać symbolem N, tzn. N = {1, 2, 3,... }. Trzy kropki następujące po trzecim przecinku oznaczają, że dalej następują kolejne elementy, czyli kolejne liczby naturalne. W zbiorze liczb naturalnych N nie ma liczby największej, a więc zbiór ten jest nieskończony. Jest natomiast liczba najmniejsza. Przyjmuje się jako pewnik (czyli aksjomat) następujące stwierdzenie: (Zasada Minimum). Jeśli zbiór A N ma przynajmniej jeden element, to wśród elementów zbioru A jest liczba najmniejsza.

2. LICZBY NATURALNE. INDUKCJA MATEMATYCZNA 5 Powyższa zasada, choć nie można jej udowodnić, wydaje się intuicyjnie jasna, a jej prawdziwość nie budzi wątpliwości. Jednak wynikające z niej wnioski, a w szczególności Zasada Indukcji Matematycznej, już nie zawsze są tak łatwe do zaakceptowania. Twierdzenie 2.1 (Zasada Indukcji Matematycznej). Jeśli A jest takim podzbiorem zbioru liczb naturalnych, że: (I) 1 A, (II) jeśli n A, to także n + 1 A, to wówczas każda liczba naturalna należy do A, tzn. A = N. Twierdzenie to można łatwo uzasadnić przy pomocy Zasady Minimum. Istotnie, gdyby zbiór A zawarty w zbiorze N liczb naturalnych spełniał warunki (I) oraz (II), a był od niego różny, to na mocy Zasady Minimum musiałaby istnieć najmniejsza taka liczba, powiedzmy n 0, która do niego nie należy. Oczywiście n 0 > 1, bo 1 A. Skoro jednak n 0 jest liczbą najmniejszą wśród tych, które nie należą do A, to n 0 1 A. To jednak przeczy określeniu liczby n 0, bo na mocy warunku (II), n 0 = (n 0 1) + 1 A. Często wygodniej jest posługiwać się Zasadą Indukcji Matematycznej w wersji uogólnionej: Twierdzenie 2.2 (Zasada Indukcji Matematycznej ). Niech W będzie własnością przysługującą liczbom naturalnym, a W(n) niech oznacza, że liczba n ma własność W. Wówczas, jeśli spełnione są dwa warunki: (I*) zachodzi W(1), (II*) jeśli zachodzi W(n), to zachodzi również W(n + 1), to własność W zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych. Zasada Indukcji Matematycznej jest jednym z najważniejszych narzędzi, przy pomocy których dowodzi się twierdzeń. Zilustrujemy to na kilku przykładach. Przykład 2.1. Dla każdej liczby naturalnej n suma wszystkich kolejnych liczb naturalnych od 1 aż do n włącznie jest równa 1 n(n + 1), tzn. 2 n(n + 1) (1) 1 + 2 + 3 + + n =, 2 przy czym po lewej stronie równości występuje suma n składników, tzn. dokładnie tyle ile wynosi liczba n. Aby udowodnić powyższy wzór rozważmy własność W(n) mówiącą, że zachodzi równość (1). Wówczas oczywiście zachodzi W(1), bo po lewej stronie równości mamy 1, a po prawej ułamek 1(1+1) 2. Zatem spełniony jest warunek (I*) Zasady Indukcji Matematycznej. Aby sprawdzić warunek (II*) wystarczy do obydwu stron równości (1) dodać liczbę n + 1. Wówczas otrzymujemy 1 + 2 + 3 + + n + (n + 1) = = n(n + 1) 2 + (n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1) 2 = (n + 1)(n + 2), 2

6 I. STRUKTURY LICZBOWE co właśnie oznacza, że zachodzi warunek W(n + 1). Ze wzoru (1) wynika w szczególności, że suma liczb od 1 do 100 wynosi 5050. Można to oczywiście sprawdzić dodając do siebie kolejnych 100 liczb, co jest oczywiście dość żmudne. Poza tym nie jesteśmy w stanie wykonać nieskończenie wiele tego typu obliczeń. Na tym właśnie polega siła Indukcji Matematycznej. Jednak sprawdzenie wzoru dla nawet bardzo wielu liczb nie oznacza jeszcze, że jest on prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych. Przykładem może być wielomian Eulera E(n) = n 2 + n + 41. Można sprawdzić, że wstawiając w miejsce n kolejno liczby: 0, 1, 2, 3,..., 39 otrzymane w ten sposób liczby E(n) są liczbani pierwszymi, tzn. jedynymi liczbami naturalnymi, przez które daje się podzielić bez reszty są 1 oraz E(n). Można by więc przypuszczać, że tak jest zawsze. Niestety E(40) = 40 2 + 40 + 41 = 41 41, a więc E(40) nie jest liczbą pierwszą. O liczbach pierwszych powiemy jeszcze nieco później. Przykład 2.2 (Suma wyrazów postępu geometrycznego). Jeśli q jest liczbą rzeczywistą różną od 1, to dla każdej liczby naturalnej n prawdziwy jest wzór: (2) 1 + q + q 2 + + q n = 1 qn+1 1 q, przy czym po lewej stronie równości występuje suma n+1 składników, z których każdy następny jest kolejną potęgą liczby q. Zauważmy także, że q 0 = 1. Przykład 2.3 (Nierówność Bernoulliego). Dla dowolnej liczby rzeczywistej x > 1 i dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi wzór: (3) (1 + x) n 1 + nx. Warunek (I*) w dowodzie indukcyjnym tej nierówności jest oczywisty; zachodzi nawet równość. Aby uzasadnić warunek (II*) wystarczy pomnożyć obustronnie wzór 3 przez 1 + x. Nierówność się zachowa bo x > 1 i będziemy mieli (1 + x) n+1 = (1 + x) n (1 + x) (1 + nx)(1 + x) = bo nx 2 0 dla każdej liczby rzeczywistej. = 1 + nx + x + nx 2 1 + (n + 1)x, Indukcji matematycznej możemy także użyć do definiowania nowych pojęć. W takich przypadkach Zasada Indukcji Matematycznej pozwala nam upewnić się, że dane pojęcie określone jest dla wszystkich liczb naturalnych.

2. LICZBY NATURALNE. INDUKCJA MATEMATYCZNA 7 Przykładem takiej sytuacji jest definicja symbolu n! (czytamy en silnia ). Przyjmujemy więc co następuje: 0! = 1, 1! = 1, (n + 1)! = n! (n + 1). Innymi słowy n! (dla n 1) jest to iloczyn wszystkich kolejnych liczb naturalnych licząc od 1 aż do n włącznie, tzn. n! = 1 2 n. Przy pomocy tego pojęcia możemy policzyć ilość wszystkich możliwych ustawień elementów zbioru n-elementowego. Można odpowiedzieć na przykład na pytanie: na ile sposobów można posadzić 5 osób przy stole prezydialnym? Zanim odpowiemy na to pytanie, sprecyzujemy pojęcie ustawienia lub uszeregowania. Są to synonimy słowa permutacja. Definicja 2.1. Permutacją elementów zbioru {x 1,..., x n } nazywamy każdy układ postaci p = (x i1, x i2,..., x in ), w którym dla każdego k n element x ik stoi na pozycji k. Zatem permutacja elementów zbioru A = {x 1,..., x n } polega na tym, że pozycja każdego elementu zbioru A jest w niej ściśle określona. Przestawienie elementów daje nam inną permutację. Na przykład zbiór {x, y, z} jest identyczny ze zbiorem {z, y, x} bo ma te same elementy, a permutacje (x, y, z) oraz (z, y, x) tego samego zbioru elementów są różne. Przykład 2.4. Lista wszystkich permutacji zbioru A = {1, 2, 3} jest następująca: p 1 = (1, 2, 3) p 2 = (1, 3, 2) p 3 = (2, 1, 3) p 4 = (2, 3, 1) p 5 = (3, 1, 2) p 6 = (3, 2, 1). Łatwo zauważyć, że wszystkie te permutacje różnią się między sobą. Natomiast fakt, że wyczerpują one całą listę możliwych permutacji wymaga już zastanowienia lub zastosowania następującego twierdzenia: Twierdzenie 2.3. Dla każdej liczby naturalnej n, każdy zbiór składający się z n elementów ma dokładnie n! permutacji.

8 I. STRUKTURY LICZBOWE Także i to twierdzenie można udowodnić metodą indukcyjną. Jeśli zbiór jest jednoelementowy, to ma oczywiście tylko jedną permutację bo jego elementu nie ma z czym przestawić. Jeśli założymy, że każdy zbiór n-elementowy ma n! permutacji, to nietrudno zauważyć, że zbiór złożony z n + 1 elementów będzie miał ich (n + 1)!. Istotnie, jeśli wybierzemy sobie jeden z elementów tego zbioru, to wszystkie pozostałe można ustawić na n! sposobów. Z drugiej zaś strony pojedyńczy element można w permutacji n + 1-elementowej ustawić na n + 1 sposobów. Zatem wszystkich możliwych ustawień jest (n + 1) n!, co na mocy definicji symbolu silni daje (n + 1)!, a to kończy dowód. Zbiór wszystkich permutacji zbioru n-elementowego {1,..., n} oznaczać będziemy symbolem P n. Z powyższego twierdzenia wynika, że lista permutacji w przykładzie 2.4 jest kompletna: powinno ich być 3! czyli 6. atwo również odpowiedzieć na wcześniejsze pytanie o ilość możliwości rozmieszczenia 5 osób przy stole: tych możliwości jest 120. Inny przykład: wszystkich możliwych ułożeń talii 52 kart jest 52!, co w przybliżeniu wynosi 807 10 65. Jak więc widać liczby n! rosną bardzo szybko. Świadczy o tym także następny przykład. Przykład 2.5. Dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność: (4) n! 2 n 1. Istotnie, dla n = 1 po obydwu stronach nierówności mamy 1. Aby sprawdzić warunek (II*) Zasady Indukcji Matematycznej załóżmy, że n > 1 oraz, że zachodzi nierówność (4). Skoro n + 1 > 2, to mamy co kończy dowód. (n + 1)! = n!(n + 1) 2 n 1 2 = 2 n, Okazuje się, że liczby postaci n! rosną znacznie szybciej niż liczby 2 n ; w istocie stosunek n! 2 n rośnie do nieskończoności. Jeśli A = {1, 2,..., n}, to z każdą permutacją elementów zbioru A związane jest pojęcie inwersji. Definicja 2.2. Mówimy, że para (x i, x j ) tworzy inwersję w permutacji p = (x 1, x 2,..., x n ) zbioru {1, 2,..., n}, jeśli x i > x j, a jednocześnie i < j. Mówiąc prościej: inwersja w permutacji ma miejsce wtedy, gdy liczba większa występuje w tej permutacji przed liczbą mniejszą. Ilość inwersji w permutacji p będziemy oznaczali symbolem I(p).

2. LICZBY NATURALNE. INDUKCJA MATEMATYCZNA 9 Przykład 2.6. Permutacje zbioru trójelementowego {1, 2, 3} wyszczególnione w przykładzie 2.4 mają następujące liczby inwersji: I(p 1 ) = 0, I(p 2 ) = I(p 3 ) = 1, I(p 4 ) = I(p 5 ) = 2 oraz I(p 6 ) = 3. Sprawdźmy ostatnią z tych równości. atwo zobaczyć, że w permutacji p 6 = (3, 2, 1) mamy trzy inwersje: (3, 2), (3, 1) oraz (2, 1). Z pojęciem permutacji związane są także tzw. współczynniki Newtona ( ) n k. Dla dowolnych liczb całkowitych n oraz k większych lub równych 0, przy czym k n, przyjmujemy ( ) n = k n! k!(n k)!. Nietrudno sprawdzić, że zachodzą następujące równości: (5) (6) (7) (8) ( ) ( ) n n = = 1 0 n ( ) n = n 1 ( ) ( ) n n = k n k ( ) ( ) n n + = k k + 1 ( ) n + 1 k + 1 Wzory (5), (6) i (7) wynikają wprost z definicji, a dla dowodu wzoru (8) wystarczy sprowadzić dwa ułamki do wspólnego mianownika: ( ) ( ) n n + = k k + 1 = = n! k! (n k)! + n! (k + 1)! [n (k + 1)]! = n! (k + 1) + n! (n k) = (k + 1)! (n k)! n! [(k + 1) + (n k)] (k + 1)! (n k)! n! (n + 1) (k + 1)! [(n + 1) (k + 1)]! = (n + 1)! (k + 1)! [(n + 1) (k + 1)]! = = ( ) n + 1. k + 1 Przy pomocy wzoru (8) można obliczać kolejne liczby ( n k ) ustawiając je w następującej tablicy zwanej trójkątem Pascala:

10 I. STRUKTURY LICZBOWE 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1............................................... Liczba znajdująca się w n-tym wierszu tej tablicy na pozycji k odpowiada współczynnikowi Newtona ( ) n k ; pamiętać należy jednak, że zarówno wiersze jak i pozycje w wierszach liczymy od 0. Na przykład widoczna powyżej liczba 20 stojąca w szóstym wierszu odpowiada współczynnikowi ( ) 6 3. Kolejne wiersze powstają w ten sposób, że na początku oraz na końcu każdego wiersza jest liczba 1, a każda inna jest sumą dwóch liczb, które znajdują się nad nią w wierszu poprzednim. Przy pomocy współczynników Newtona można obliczyć ilość tzw. kombinacji k- elementowych wybranych ze zbioru n-elementowego, czyli ilość wszystkich możliwych wyborów k elementów spośród n elementów. Kolejność elementów jest dla poszczególnego wyboru nieistotna. Chodzi tu jedynie o ilość podzbiorów k-elementowych zawartych w zbiorze n-elementowym. Oczywiście podzbiór n-elementowy zbioru n- elementowego jest z nim identyczny, a więc jest tylko jeden. Także zbiór pusty, czyli taki, który nie ma żadnego elementu jest jeden. Ogólnie prawdziwe jest następujące twierdzenie: Twierdzenie 2.4. Ilość podzbiorów k-elementowych dowolnego zbioru n-elementowego wynosi ( ) n k. Uzasadnienie tego twierdzenia przeprowadzimy indukcyjnie ze względu na n. Wpierw jednak przyjmijmy następujące oznaczenia: niech X oznacza ilość elementów zbioru X, a [X] k zbiór wszystkich jego k-elementowych podzbiorów. Zatem, gdy n = 0 to także k = 0 i zbiór [X] k jest jednoelementowy, bo składa się jedynie ze zbioru pustego. Z drugiej zaś strony mamy równość ( 0 0 bo 0! = 1. Załóżmy zatem, że równość ) = 0! 0! 0! = 1 [Y ] k = ( ) n k zachodzi dla każdego zbioru n-elementowego Y i każdego k n. Ustalmy zbiór (n+1)- elementowy X i rozważmy zbiór C k = {(a, A): a A, A X oraz A = k},

2. LICZBY NATURALNE. INDUKCJA MATEMATYCZNA 11 gdzie k n + 1. Dalsza część dowodu oparta jest na standardowym triku kombinatorycznym: policzymy ilość elementów zbioru C k na dwa sposoby, a następnie porównamy. Przy każdym ustalonym A [X] k istnieje dokładnie k elementów a takich, że (a, A) C k. Zatem otrzymujemy C k = k [X] k. Z drugiej strony, jeśli ustalimy element a X oraz para (a, A) C k, to pozostałe elementy zbioru A, czyli elementy zbioru A\{a} są wybrane ze zbioru n-elementowego Y = X \ {a}. Korzystając z założenia indukcyjnego otrzymujemy równość ( ) n C k = (n + 1). k 1 Porównując obydwie równości dostajemy ostatecznie [X] k = n + 1 ( ) n = n + 1 ( ) n! n + 1 k k 1 k (k 1)! (n (k 1))! =, k co kończy dowód. Przy pomocy współczynników Newtona można także zapisać wzór dwumienny Newtona pozwalający na obliczanie wyrażeń postaci (x + y) n, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną. Zanim zapiszemy ten wzór przyjmijmy pewną umowę, tzw. konwencję sumacyjną przyjętą powszechnie nie tylko w matematyce. Wielką literą grecką Σ (czytaj sigma ) będziemy oznaczać dodawanie liczb, których wartości zależą od elementów należących do danego zbioru. Zatem jeśli A = {1, 2,..., n}, to symbol a k oznacza sumę a 1 + a 2 + + a n. k A Na przykład, jeśli A = {1, 2, 3, 4, 5}, to k 2 = 1 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 = 55, a jeśli A = {2, 4, 6, 7}, to k A k 2 = 2 2 + 4 2 + 6 2 + 7 2 = 105. k A Na ogół jednak tym danym zbiorem będzie u nas odcinek zbioru liczb naturalnych postaci {1, 2,..., n} lub {m, m + 1, m + 2,..., n}. Wtedy piszemy n n a k = a 1 + a 2 + + a n lub a k = a m + a m+1 + + a n. k=1 k=m Czasami wygodnie jest założyć, że zbiór A zaczyna się od 0, wtedy n a k = a k = a 0 + a 1 + + a n. k A k=0

12 I. STRUKTURY LICZBOWE Dzięki prawom przemienności dodawania oraz rozdzielności mnożenia względem dodawania mamy wzór: n n n (9) α a k + β b k = (αa k + βb k ). k=1 k=1 k+1 Z twierdzenia 2.4 wynika następujący ważny wzór: Twierdzenie 2.5 (Wzór dwumienny Newtona). Dla dowolnej liczby naturalnej n oraz dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi wzór: ( ) n n (10) (x + y) n = x n k y k. k Istotnie, skoro k=0 (x + y) n = (x + y)(x + y)... (x + y), to, na mocy zasady rozdzielności mnożenia względem dodawania, wyrażenie (x + y) n jest równe sumie wyrażeń postaci x n k y k. Powstają one w ten sposób, że z każdego spośród n nawiasów wybieramy x lub y, przy czym jeśli wybierać będziemy element y k-krotnie, a w pozostałych przypadkach (czyli n k-krotnie) wybierzemy element x, to otrzymamy składnik x n k y k. Ponieważ wyborów takich jest dokładnie ( ) n to współczynnik przy x n k y k będzie równy właśnie ( n k W szczególności dla n = 2 oraz n = 3 mamy znane wzory: oraz (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2, (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3. Wstawiając we wzorze (10) x = y = 1 otrzymujemy równość ( ) n n = 2 n. k k=0 ). To kończy dowód wzoru Newtona. Interpretacja tego wzoru jest oczywista: wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego jest dokładnie 2 n. 3. Liczby całkowite, wymierne i rzeczywiste Zbiorem szerszym od zbioru N liczb naturalnych jest zbiór Z liczb całkowitych, który poza elementami zbioru N zawiera jeszcze 0 oraz liczby postaci n, gdzie n N. Zatem Z = N {0} { n: n N}. Inaczej mówiąc zbiór liczb całkowitych składa się z liczb całkowitych dodatnich (czyli liczb naturalnych), zera oraz z liczb całkowitych ujemnych. Ma więc postać:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... k

3. LICZBY CAŁKOWITE, WYMIERNE I RZECZYWISTE 13 Ogólniejsze od liczb całkowitych są liczby wymierne, które mają postać p q, gdzie p jest dowolną liczbą całkowitą, a q jest liczbą naturalną. Zatem liczby wymierne to nic innego, jak dobrze znane ułamki, przy czym przyjmujemy, że p q = x y jeśli py = xq. W szczególności mamy więc 1 2 = 2 4 = 3 6. Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy symbolem Q. Wiadomo, że w mianowniku ułamka nie może pojawić się zero, lecz może pojawić się jedynka. W takim przypadku liczba wymierna jest liczbą całkowitą. Przypomnijmy także, że ułamki dają się niekiedy uprościć przez podzielenie mianownika i licznika przez wspólny czynnik. Taka procedura ma charakter skończony i prowadzi do ułamka nieskracalnego, np. 30 42 = 15 21 = 5 7. W ułamku nieskracalnym, licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika różnego od 1 i 1, a więc są względnie pierwsze. Własności działań na liczbach wymiernych są czytelnikowi zapewne dobrze znane. Przypomnijmy oczywiste prawa mnożenia i dodawania ułamków: a b c d = a c b d, a b + c d = a d + b c. b d Liczby wymierne nie wystarczają do mierzenia wielkości występujących w matematyce a także w świecie realnym. Na przykład: jak wynika z twierdzenia Pitagorasa, przekątna kwadratu o boku długości 1 ma długość równą liczbie, która podniesiona do kwadratu daje 2. Nie jest to liczba wymierna, bo w przeciwnym wypadku można by ją przedstawić w postaci ułamka nieskracalnego postaci a. Mielibyśmy wówczas b ( a b ) 2 = 2. Jeśliby liczba a była nieparzysta, to była by postaci a = 2k + 1. Mielibyśmy wówczas 2b 2 = a 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1, co jest niemożliwe, bo z lewej strony powyższej równości mamy liczbę parzystą, a po prawej nieparzystą. Wobec tego liczba a musi być parzysta, a więc a = 2r dla pewnej liczby naturalnej r. To daje równość ( ) 2r 2 = 2, b

14 I. STRUKTURY LICZBOWE która po przekształceniu ma postać b 2 r = 2. 2 Rozumując jak poprzednio dochodzimy do wniosku, że także b jest liczbą parzystą, co jednak przeczy nieskracalności ułamka a. b Tak więc, aby zmierzyć długość przekątnej kwadratu o boku 1 musimy zgodzić się na istnienie liczby 2, która nie jest wymierna. Fakt ten był już prawdopodobnie znany filozofom z kręgu Pitagorasa, a jest także wspomniany w dziele Euklidesa Elementy. Niewymierność innej ważnej liczby ma także starożytny rodowód: od bardzo dawna było wiadomo, że stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy jest stały niezależnie od wielkości koła. Stosunek ten oznaczamy obecnie symbolem π. Od najdawniejszych czasów próbowano ustalić jego dokładną wielkość. Tak więc Archimedes uważał, że wynosi on 22 8, Ptolemeusz przyjmował π równe 3 + + 30, a matematyk 7 60 3600 hinduski Bhaskara w XII wieku ustalił wielkość π na 754. Dopiero matematyk holenderski Ludolph van Coolen w roku 1610 wyznaczył przybliżoną wartość π z dokładnością 240 do 35 miejsc po przecinku. Stąd też liczba π nazywana jest także ludolfiną. Nie wchodząc głębiej w naturę liczb rzeczywistych przyjmijmy jedynie, że zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych spełnia następujący aksjomat: (Aksjomat Dedekinda). Jeśli R = A B i zbiory A i B nie są puste oraz dla dowolnego a A i dowolnego b B zachodzi nierówność a < b, to wśród liczb należących do zbioru A jest liczba największa albo wśród liczb należących do zbioru B jest liczba najmniejsza. Dzięki temu postulatowi dla każdego zbioru ograniczonego złożonego z liczb rzeczywistych możemy określić jego kres górny (= supremum) oraz kres dolny (= infimum). Definicja 3.1. Mówimy, że zbiór X R jest ograniczony z góry, gdy istnieje taka liczba α R, że nierówność x α zachodzi dla każdego x X. Podobnie mówimy, że zbiór A jest ograniczony z dołu, gdy istnieje taka liczba β R, że nierówność β x zachodzi dla każdego x X. Liczby α i β nazywamy, odpowiednio ograniczeniem górnym i ograniczeniem dolnym zbioru A. Nie każdy zbiór liczb jest ograniczony, np. okazuje się, że zbiór { 2 n } n Q: n N nie jest ograniczony z góry ale jest ograniczony z dołu. Natomiast zbiór {a Q: a 2 < 2}

3. LICZBY CAŁKOWITE, WYMIERNE I RZECZYWISTE 15 jest ograniczony z góry na przykład przez liczbę 142. Z Aksjomatu Dedekinda wynika 100 co następuje: Twierdzenie 3.1. Niech X R będzie dowolnym zbiorem niepustym. Wówczas: (1) jeśli zbiór X jest ograniczony z góry, to istnieje taka liczba α = sup X, nazywana kresem górnym zbioru X, że α jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru X, tzn. x α dla każdego x X oraz jeśli α < α, to istnieje takie x X, że α < x. (2) jeśli zbiór X jest ograniczony z dołu, to istnieje taka liczba β = inf X, nazywana kresem dolnym zbioru X, że β jest największym ograniczeniem dolnym zbioru X, tzn. β x dla każdego x X oraz jeśli β < β, to istnieje takie x X, że x < β. Istotnie, ustalmy zbiór niepusty X ograniczony z góry. Wówczas zbiór B = {b R: x < b dla każdego x X} jest także niepusty. Jeśli zaś jako A przyjmiemy dopełnienie zbioru B, tzn. A = {a A: a / B}, to otrzymamy taki zbiór niepusty, że A B = R. Istotnie, z określenia zbioru B wynika, że żaden element zbioru X nie należy do B, a więc X A, przy czym zbiór X jest niepusty. Jeśli w zbiorze A jest liczba największa, powiedzmy a 0, to x a 0, bo X A. Wówczas a 0 jest elementem największym w X (a więc a 0 = sup X), bo w przeciwnym wypadku a 0 należałoby do B. Jeśli zaś w B jest liczba najmniejsza, to zgodnie z definicją jest ona kresem górnym zbioru X. Drugiej części twierdzenia 3.1 dowodzi się analogicznie. Można nietrudno sprawdzić, że sup{a Q: a 2 < 2} = inf{a Q: 2 < a 2 } = 2. Pojęcie kresu górnego i kresu dolnego należą do najważniejszych w tej części matematyki, którą nazywamy analizą matematyczną. Przy jego pomocy można w szczególności rozszerzyć pojęcie potęgowania liczb na przypadek, gdy wykładnik potęgi jest liczbą niewymierną. Dla liczb wymiernych postaci p oraz dodatnich x R mamy q x p q = q x p ; możemy przy tym zakładać, że q N. Jeśli α R oraz x > 0, to przyjmujemy x α = sup{x w : w Q oraz w α},

16 I. STRUKTURY LICZBOWE jeśli x 1. Definicja jest poprawna bo dla x 1 zbiór {x w : w Q oraz w α} jest ograniczony z góry przez każdą liczbę postaci x s, gdzie α s oraz s Q. Jeśli 0 < x < 1, to przyjmujemy x α = inf{x w : w Q oraz w α}. Wśród podzbiorów zbioru R liczb rzeczywistych będziemy wyróżniali przedziały; zbiór nazywamy przedziałem, jeśli dla dowolnych liczb x, y, z R takich, że x < y < z zachodzi warunek: x, z pociąga y. Bywają rozmaite przedziały: z końcami lub bez końców, ograniczone lub nieograniczone. Oto one: Możemy także uważać, że (a, b) = {x R: a < x < b}, [a, b) = {x R: a x < b}, (a, b] = {x R: a < x b}, [a, b] = {x R: a x b}, (, a) = {x R: x < a}, (, a] = {x R: x a}, (a, ) = {x R: a < x}, [a, ) = {x R: a x}. R = (, ). Przedziały bez końców postaci (a, b) nazywamy otwartymi, a przedziały wraz z końcami [a, b] przedziałami domkniętymi. Każdej liczbie rzeczywistej x można przyporządkować największą liczbę całkowitą c nie większą od x. Liczbę c nazywamy częścią całkowitą liczby x i oznaczamy symbolem [x]. Na przykład [π] = 3, [ 1] = 0, [ 6] = 2. 2 5 Na koniec odnotujmy własności wartości bezwględnej. Przypomnijmy, że wartość bezwględną liczby x (lub inaczej moduł liczby x), którą oznaczamy symbolem x, definiujemy wzorem: x, jeśli x 0 x = x, jeśli x < 0. Najważniejsze własności wartości bezwzględnej zawarte są w następującym twierdzeniu:

4. WIELOMIANY 17 Twierdzenie 3.2. Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y oraz a 0 zachodzą następujące wzory: (a) (b) (c) (d) (e) x x x x a wtedy i tylko wtedy, gdy x + y x + y x y x y xy = x y a x a Własności (a), (b) oraz (e) wynikają wprost z definicji. Zauważmy, że na mocy własności (a) mamy x x x oraz y y y. Dodając te nierówności stronami otrzymujemy Zatem na mocy własności (b) mamy ( x + y ) x + y x + y. x + y x + y. Dysponując już własnością (c) możemy napisać, że skąd x = (x y) + y x y + x x y x y. 4. Wielomiany Omówimy wpierw w skrócie niektóre własności arytmetyczne liczb całkowitych, a więc własności związane z podzielnością. Mówimy, że liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b, albo, że liczba b dzieli a (bez reszty), gdy a jest wielokrotnością liczby b, tzn. gdy istnieje taka liczba całkowita c, że a = bc. Fakt, że b dzieli a zapisujemy symbolicznie w następujący sposób: b a. Z prawa łączności wynika, że jeśli b a oraz b c, to także b a + c. Liczba 1 dzieli każdą liczbę naturalną, a z drugiej strony, jeśli liczba b dzieli a, to nie może być od niej większa. Zatem dla dowolnych dwóch liczb, powiedzmy a oraz b, istnieje największa liczba, która dzieli obydwie. Oznaczamy ją symbolem NWD(a, b) i nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b. Jeśli NWD(a, b) = 1, to mówimy, że a i b są względnie pierwsze. Na przykład liczby 4 i 9 są względnie pierwsze, a liczby 6 i 9 nie są. Tak więc licznik i mianownik w ułamku nieskracalnym są liczbami względnie pierwszymi. Dla liczb względnie pierwszych zachodzi następujące ważne twierdzenie:

18 I. STRUKTURY LICZBOWE Twierdzenie 4.1. Dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich a i b istnieją takie liczby całkowite x i y, że NWD(a, b) = ax + by. W szczególności, jeśli liczby całkowite dodatnie a i b są względnie pierwsze, to istnieją takie liczby całkowite x i y, że ax + by = 1. Aby to twierdzenie uzasadnić rozważmy zbiór Na mocy Zasady Minimum istnieje Istnieją wówczas liczby x 0, y 0 Z takie, że S = {ax + by : ax + by > 0 oraz x, y Z}. d = min S. d = ax 0 + by 0. Pozostaje wykazać, że d = NWD(a, b). Zaważmy wpierw, że d a. Istotnie, gdyby reszta z dzielenia a przez d była dodatnia, tzn. gdyby dla pewnego z N oraz 0 < r < d zachodziła równość a = zd + r to mieli byśmy r = a zd = a azx 0 by 0 = a(1 zx 0 ) + b( y 0 ) S, co daje sprzeczność z określeniem elementu d jako najmniejszego elementu w zbiorze S. Podobni dowodzi się, że d b. Zatem d NWD(a, b). Jeśli zaś przyjmiemy, że NWD(a, b) = d 0, to d 0 a oraz d 0 b, czyli istnieją takie liczby x, y N, że a = xd 0 oraz b = yd 0. Mamy wówczas d = ax 0 + by 0 = xd 0 x 0 + yd 0 y 0 = d 0 (xx 0 + yy 0 ), co w szczególności oznacza, że d d 0. Mamy więc równość d = d 0, co kończy dowód. Teraz już łatwo otrzymujemy następujące twierdzenie: Twierdzenie 4.2 (Zasadnicze Twierdzenie Arytmetyki). Jeśli liczby a i b są względnie pierwsze oraz a dzieli iloczyn bc, to a dzieli c. Istotnie, skoro NWD(a, b) = 1, to z twierdzenia 4.1 wynika, że dla pewnych liczb x, y N, a więc ax + by = 1 c = acx + bcy. Skoro zaś a acx oraz a bcy, to a c. Metodą indukcji matematycznej twierdzenie to można nieco uogólnić: Wniosek 4.1. Jeśli liczby a oraz b są względnie pierwsze oraz n jest liczbą naturalną, to a b n c pociąga a c.

4. WIELOMIANY 19 Istotnie, jeśli a b n+1 c, to a b(b n c). Zatem a b n c, a więc na mocy założenia indukcyjnego, a c. Przypomnijmy, że liczbę naturalną n > 1 nazywamy liczbą pierwszą, jeśli jedynymi liczbami naturalnymi przez które daje się ona podzielić jest 1 i ona sama. Najmniejszą liczbą pierwszą jest oczywiście 2. Jest to jedyna liczba pierwsza wśród liczb parzystych, ale oczywiście nie każda liczba nieparzysta jest liczbą pierwszą. Przykładem jest 9. Zauważmy także, że każde dwie różne liczby pierwsze są względnie pierwsze. Okazuje się, że każda liczba naturalna większa od 1 jest iloczynem pewnej ilości liczb pierwszych, tzn. zachodzi twierdzenie: Twierdzenie 4.3. Jeśli liczba naturalna a > 1 nie jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba naturalna k oraz liczby pierwsze p 1, p 2,..., p k takie, że a = p 1 p 2 p k. Istotnie, gdyby to twierdzenie nie było prawdziwe, to zgodnie z Zasadą Minimum, istniałaby najmniejsza liczba naturalna a 0 > 1, która nie jest liczbą pierwszą, a mimo to nie jest iloczynem liczb pierwszych. Wówczas jednak a 0 = b c, przy czym 1 < b < a 0, 1 < c < a 0. Wobec tego każda spośród liczb b jak i c jest liczbą pierwszą lub jest iloczynami liczb pierwszych. W konsekwencji również a 0 jest iloczynem liczb pierwszych. To daje sprzeczność. Z tego twierdzenia wynika w szczególności, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Mówi o tym następujące twierdzenie, które wykorzystamy później. Twierdzenie 4.4. Dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba pierwsza od niej większa. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wówczas zbiór P wszystkich liczb pierwszych jest skończony i możemy zapisać go w postaci P = {p 1, p 2,..., p n }. Z poprzedniego twierdzenia wynika, że liczba p = p 1 p 2 p n + 1 jest także pierwsza. Istotnie w przeciwnym wypadku mamy p = q 1 q 2 q k, przy czym q i P dla każdego i = 1, 2,..., k. W szczególności q i p dla każdego i = 1, 2,..., k. Zatem każda z liczb q i dzieli różnicę p p 1 p 2 p n = 1, co nie jest możliwe. To dowodzi, że p jest liczbą pierwszą. Z drugiej strony p jest większe od każdej liczby ze zbioru P, co daje sprzeczność. Przypomnijmy, że wielomianem o współczynnikach rzeczywistych nazywamy wyrażenie a 0 + a 1 x + + a n x n,

20 I. STRUKTURY LICZBOWE gdzie a 0, a 1,..., a n są liczbami rzeczywistymi, a a n 0. Liczbę n nazywamy stopniem tego wielomianu. Przy rozważaniu wielomianów pojawia się naturalny problem znajdywania jego pierwiastków, tzn. takich liczb x R, że w(x) = 0, gdzie w(x) jest wielomianem. Dla wielomianów stopnia większego od 2 nie zawsze jest to zadanie proste. Okazuje się, że dla wielomianów stopnia większego od 4 nie istnieją ogólne wzory pozwalające obliczyć pierwiastki wielomianu. Oznacza to, że istnieją wielomiany stopnia 5 (takim wielomianem jest na przykład wielomian w(x) = x 5 4x 2), których pierwiastki nie dadzą się wyrazić przy pomocy (nawet wielokrotnie powtarzanych) działań arytmetycznych i operacji wyciągania pierwiastków. Istnieje jednak nietrudne kryterium pozwalające sprawdzić czy wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki wymierne. Brzmi ono następująco: Twierdzenie 4.5 (O pierwiastkach wymiernych). Jeśli współczynniki wielomianu w(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n są liczbami całkowitymi oraz liczba wymierna p będąca q ułamkiem nieskracalnym jest pierwiastkiem tego wielomianu, to wyraz wolny (czyli a 0 ) jest podzielny przez p, a współczynnik przy największej potędze (czyli a n ) jest podzielny przez q. W szczególności z tego kryterium wynika, że jeśli a n = 1, to każdy pierwiastek wymierny jest od razu liczbą całkowitą. Aby przekonać się, że twierdzenie jest prawdziwe załóżmy, że w( p ) = 0. Mamy q wówczas po wymnożeniu przez q n następującą równość: a n p n + a n 1 p n 1 q + + a 1 pq n 1 + a 0 q n = 0. Skoro liczby p i q są względnie pierwsze oraz każdy składnik sumy poza pierwszym zawierają jako czynnik liczbę q (czyli dzielą się przez q), to także a n p n jest podzielne przez q. Stąd na mocy wniosku 4.1, q dzieli a n. Analogicznie, skoro wszystkie składniki sumy poza być może ostatnim dzielą się przez p, to także a 0 q n dzieli się przez p, a więc na mocy tego samego wniosku, a 0 jest podzielne przez p. Wnioskiem z przytoczonego wyżej kryterium jest to, że dla każdej liczby naturalnej m pierwiastek n-tego stopnia z m jest albo liczbą naturalną albo jest liczbą niewymierną. Istotnie, rozważmy wielomian f(x) = x n m. Oczywiście x = n n m jest pierwiastkiem tego wielomianu. Jeśli m = p, gdzie p i q q są naturalne i względnie pierwsze, to zgodnie z powyższym kryterium q = 1, skąd p n m = 0 czyli m jest n-tą potęgą liczby p. Tak więc na przykład liczba 3 4 jest niewymierna. Wzór z przykładu 2.2 jest szczególnym przypadkiem wzoru występującego w następnym przykładzie. Wystarczy w nim przyjąć x = 1 oraz a = q.

4. WIELOMIANY 21 Przykład 4.1. Jeśli x oraz a są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz x a, to dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość: (11) x n + x n 1 a + x n 2 a 2 + + xa n 1 + a n = xn+1 a n+1. x a Zauważmy, że w kolejnych składnikach sumy po lewej stronie znaku równości wykładnik potęgi przy x maleje o 1, zaś wykładnik przy a rośnie o 1. Dowód tego wzoru przeprowadzimy indukcyjnie (tzn. w oparciu o twierdzenie 2.2) przyjmując, że własność W(n) mówi, że wzór (3) zachodzi dla liczby naturalnej n. Wtedy W(1) oznacza oczywistą równość x + a = x2 a 2 x a. Jeśli zachodzi W(n), to aby sprawdzić W(n + 1) pomnożymy równość (11) obustronnie przez a, a następnie dodamy, do obydwu stron x n+1. Mamy wówczas x n+1 + x n a + + xa n + a n+1 = = x n+1 + a xn+1 a n+1 = xn+1 (x a) + a(x n+1 a n+1 ) = xn+2 a n+2. x a x a x a Wnioskiem ze wzoru (11) jest ważne kryterium podzielności wielomianów: Twierdzenie 4.6 (Kryterium Bezoult a). Wielomian w(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n jest podzielny bez reszty przez dwumian x a wtedy i tylko wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu w(x), tzn. w(a) = 0. Istotnie, jeśli w(a) = 0, to w(x) = w(x) w(a) = = (a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n ) (a 0 + a 1 a + + a n 1 a n 1 + a n a n ) = = a 1 (x a) + + a n 1 (x n 1 a n 1 ) + a n (x n a n ). Z kolei, na mocy wzoru (3), każde z wyrażeń x k a k dla k = 1, 2,..., n daje się podzielić bez reszty przez x a. Zatem także i w(x) daje się podzielić bez reszty przez x a. Druga część równoważności w Kryterium Bezoult a jest oczywista, bo jeśli w(x) dzieli się bez reszty przez x a, to istnieje taki wielomian q(x), że w(x) = q(x)(x a). Wówczas w(a) = 0. Zauważmy, że skoro w wyniku dzielenia przez x a stopień wielomianu zmniejsza się o 1, to wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków. Kryterium Bezoult a w połączeniu z twierdzeniem 4.5 o znajdywaniu pierwiastków wymiernych wielomianów o współczynnikach całkowitych daje praktyczną możliwość przedstawiania niektórych wielomianów w postaci iloczynów jednomianów i wielomianów nierozkładalnych stopnia drugiego. Zobaczymy to na następującym przykładzie:

22 I. STRUKTURY LICZBOWE Przykład 4.2. Rozważmy wielomian w(x) = x 3 + 6x 2 + 11x + 6 i zauważmy, że na mocy twierdzenia 4.5 jedynymi pierwiastkami wymiernymi mogą być liczby całkowite ze zbioru {1, 2, 3, 1, 2, 3}. Istotnie, jeśli liczba wymierna jest p Z Kryterium Bezoult a wiąże się jeszcze inny przykład na to, że sprawdzenie wzoru w nawet bardzo wielu przypadkach nie musi oznaczać jego ogólnej prawdziwości, tzn. prawdziwości dla wszystkich liczb naturalnych. Okazuje się, że rozkładając wielomian x n 1 na czynniki nierozkładalne o współczynnikach całkowitych (tzn. na takie, które już dalej nie dają się rozłożyć) otrzymujemy często wielomiany o współczynnikach równych 0, 1 oraz 1. Tak więc na przykład x 2 1 = (x 1)(x + 1) x 3 1 = (x 1)(x 2 + x + 1) x 4 1 = (x 1)(x + 1)(x 2 + 1) x 5 1 = (x 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) x 6 1 = (x 1)(x + 1)(x 2 + x + 1)(x 2 x + 1). Okazuje się jednak, że ta zasada nie jest ogólnie prawdziwa: jeden z elementów rozkładu wielomianu x 105 1 ma współczynniki równe 2. 5. Liczby zespolone W elementarnym kursie algebry rozważane są równania kwadratowe postaci ax 2 + bx + c = 0. Łatwe sprawdzenie pokazuje, że rozwiązania takiego równania są postaci: x 1 = b + oraz x 2 = b, 2a 2a o ile wyróżnik = b 2 4ac jest liczbą nieujemną. Jeśli < 0, to powyższe równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych. Najprostsze takie równanie, to równanie postaci x 2 + 1 = 0. Okazuje się, że można zbudować obiekt matematyczny szerszy od zbioru liczb rzeczywistych, w którym dowolne równania kwadratowe mają zawsze pierwiastki. Obiekt ten, to zbiór liczb zespolonych, a konstrukcja tego zbioru jest następująca. Przyjmujemy, że rozwiązaniem powyżej wspomnianego równania x 2 +1 = 0 jest liczba, którą oznaczamy symbolem i. Tak więc i 2 = 1. Z uwagi na ostatnią równość, liczbę i przyjęto nazywać jednostką urojoną. Dysponując już jednostką urojoną i tworzymy formalne sumy postaci (12) z = a + bi,

5. LICZBY ZESPOLONE 23 gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi. Zbiór wszystkich sum postaci (12) tworzy to co nazywamy zbiorem liczb zespolonych, który oznaczać będziemy symbolem C. Liczbę rzeczywistą a nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, a liczbę rzeczywistą b częścią urojoną liczby zespolonej z. Części te oznaczamy odpowiednio symbolami re(z) oraz im(z). Tak więc, jeśli z = a + bi, to re(z) = a oraz im(z) = b. Jeśli b = 0, czyli, jeśli część urojona liczby zespolonej z jest równa 0, to z = a, czyli liczba zespolona staje się wtedy liczbą rzeczywistą. Tak więc zbiór liczb zespolonych jest obiektem większym niż zbiór liczb rzeczywistych. Tym bardziej, że podstawowe działania na liczbach zespolonych definiujemy tak samo jak działania na wyrażeniach algebraicznych, pamiętając wszakże, że i 2 = 1. Mamy zatem: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (ad + bc)i. Z przyjętych powyżej definicji sumy i iloczynu liczb zespolonych wynika, że liczba 0 jest elementem neutralnym dodawania liczb zespolonych, a liczba 1 elementem neutralnym mnożenia tych liczb. Zauważmy jeszcze, że liczba przeciwna do liczby zespolonej niezerowej z = a + bi ma postać z = a bi, i jak nietrudno sprawdzić liczba odwrotna z 1 do liczby zespolonej z = a + bi, tj. taka liczba, że zz 1 = z 1 z = 1 ma postać z 1 a = a 2 + b + b 2 a 2 + b i. 2 Oczywiście liczba odwrotna do liczby z = 0 + 0i nie istnieje. Przykład 5.1. Liczba odwrotna do liczby ma postać z = 1 + i (1 + i) 1 = 1 2 1 2 i. Istotnie, w tym przypadku mamy a = b = 1. Przedstawiony powyżej opis liczb zespolonych, nie jest jedyny. Jest to tak zwana postać algebraiczna liczby zespolonej z = a + bi. Pokażemy teraz jak można liczby zespolone interpretować geometrycznie. Z uwagi na to, że dowolna liczba zespolona z zapisana w postaci algebraicznej, to liczba a + bi, możemy ją umieścić w prostokątnym układzie współrzędnych jako punkt o odciętej równej a i rzędnej równej b. Na odwrót, każdy punkt na płaszczyźnie opisany parą swoich współrzędnych (a, b) można utożsamić z liczbą zespoloną a + bi. Zatem płaszczyzna może być interpretowana jako zbiór liczb zespolonych. Nazywamy ją wtedy płaszczyzną zespoloną lub płaszczyzną Gaussa. Zauważmy, że naturalny układ współrzędnych prostokątnych tej płaszczyzny, to układ wyznaczony przez prostą złożoną z wszystkich punktów postaci (a, 0), gdzie a R oraz prostą złożoną z punktów postaci (0, b), gdzie b R. Pierwsza z tych osi odpowiada dokładnie zbiorowi liczb rzeczywistych, dlatego

24 I. STRUKTURY LICZBOWE nazywana jest osią rzeczywistą, a druga oś odpowiada zbiorowi tzw. liczb zespolonych czysto urojonych tj. liczb postaci bi, i dlatego nazywana jest osią urojoną. Umieszczenie liczb zespolonych na płaszczyźnie prowadzi w naturalny sposób do kolejnych pojęć. Pierwsze z nich to pojęcie modułu, znanego już w odniesieniu do liczb rzeczywistych. Jeśli z = a + bi, to modułem liczby zespolonej z nazywamy liczbę rzeczywistą z określoną wzorem: z = a 2 + b 2. Zauważmy, że jeśli liczba zespolona z jest liczbą rzeczywistą a, to z = a 2 + 0 = a 2 = a, a więc w tym przypadku moduł liczby zespolonej pokrywa się z wartością bezwzględną liczby rzeczywistej a czyli z modułem liczby a. Moduł liczby zespolonej ma prostą interpretację geometryczną: jest odległością tej liczby od liczby 0, co w oczywisty sposób wynika z twierdzenia Pitagorasa. Rozważmy sytuację bardziej szczegółowo. Niech z = a + bi 0, a r niech będzie odcinkiem na płaszczyźnie zespolonej łączącym 0 z liczbą z. Odcinek r długości z tworzy z osią rzeczywistą pewien kąt α [0, 2π). Z elementarnej trygonometrii wiadomo, że Zatem sin α = b z oraz cos α = a z. z = z (cos α + i sin α). Powyższa postać liczby zespolonej nosi nazwę postaci geometrycznej lub postaci trygonometrycznej. Kąt α nazywamy wówczas argumentem głównym liczby zespolonej z, który oznaczamy symbolem arg(z). Tak więc z = z (cos(arg z) + i sin(arg(z)). Z uwagi na to, że cos(α + 2kπ) = cos α oraz sin(α + 2kπ) = sin α, gdzie k Z, dla dowolnego k Z mamy z = z (cos(arg(z) + 2kπ) + i sin(arg(z) + 2kπ)). Element arg(z) + 2kπ, gdzie k Z, nazywamy ogólnie argumentem liczby zespolonej z. Jeśli k = 0, to taki argument jest argumentem głównym liczby zespolonej z. Przykład 5.2. Jeśli z = 1 + i, to arg(z) = π 4. Istotnie, z = 2 oraz sin π 4 = cos π 4 = 1 2. Postać geometryczna liczby zespolonej jest szczególnie dogodna, w przypadku potęgowania liczb zespolonych, a także ich pierwiastkowania. Korzystając ze wzorów trygonometrycznych na sinus i cosinus sumy, a więc wzoru sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α

oraz ze wzoru łatwo sprawdzić, że 5. LICZBY ZESPOLONE 25 cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β (13) z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(α + β) + i sin(α + β)), jeśli z 1 = z 1 (cos α + i sin α), z 2 = z 2 (cos β + i sin β). Z ostatniego wzoru wynika w szczególności, że z 1 = 1 (cos( α) + i sin( α)), z jeśli z 0 jest postaci z = z (cos α + i sin α ). Tak więc iloraz dwóch liczb zespolonych z 1 i z 2 postaci takiej jak powyżej wyrazić można wzorem: z 1 = z 1 (cos(α β) + i sin(α β)) z 2 z 2 przy założeniu, że z 2 0. Stosując wzór (13) i zasadę indukcji matematycznej otrzymujemy tzw. wzór de Moivre a na potęgę liczby zespolonej z = z (cos α + i sin α): z n = z n (cos(nα) + i sin(nα)). Przykład 5.3. Jeśli z = 1 2 + 3 2 i to z = 1 4 + 3 4 = 1, a więc arg(z) = 2 3 π bo sin 2 3 π = 1 2 oraz cos 2 3 π = 3 2. Zatem z 17 = (cos 2 3 π + i sin 2 3 π)17 = cos 34 34 π + i sin 3 3 π = = cos(10π + 4 3 π) + i sin(10π + 4 3 π) = cos 4 3 π + i sin 4 3 3 π = 1 2 2 i Operacją odwrotną do potęgowania jest pierwiastkowanie, rozumiane w tym sensie, że jeśli n N oraz z n = w, to liczbę z nazywamy pierwiastkiem stopnia n z liczby w, co zapisujemy następująco: z = n w. Dla liczby zespolonej z 0 pierwiastek stopnia n 2 nie jest określony jednoznacznie. Rozumiemy go jako zbiór wszystkich liczb zespolonych postaci (14) ( n z cos α + 2kπ n + i sin α + 2kπ n gdzie z = z (cos α + i sin α) oraz k = 0,..., n 1. Pierwiastek n z w ostatnim wzorze rozumiemy jako pierwiastek arytmetyczny stopnia n z liczby rzeczywistej z. Wzór (14) wynika natychmiast ze wzoru de Moivre a. Przykład 5.4. Jeśli z = 1 = cos 0 + i sin 0, to pierwiastki n-tego stopnia z z mają postać (15) ɛ k = cos 2kπ n + i sin 2kπ n, ),

26 I. STRUKTURY LICZBOWE gdzie k = 0,..., n 1. W szczególności dla n = 3 mamy ɛ 0 = 1, ɛ 1 = cos 2π +i sin 2π = 3 3 1 + i 3 oraz ɛ 2 2 2 = cos 4π + i sin 4π = 1 i 3. 3 3 2 2 Na liczbach zespolonych możemy wykonać pewną prostą operację, która nie ma odpowiednika w zbiorze liczb rzeczywistych. Otóż, jeśli z = a + bi, to liczbę zespoloną z = a bi nazywamy liczbą sprzężoną z liczbą zespoloną z. Geometrycznie operacja sprzężenia na płaszczyźnie zespolonej oznacza symetrię względem osi rzeczywistej. Tak więc z = z dla dowolnej liczby zespolonej z oraz a = a, jeśli a R. Ponadto dla dowolnych liczb zespolonych z 1, z 2 prawdziwe są następujące wzory: ( ) z1 z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, = z 1, z 2 z 2 przy czym w ostatnim wzorze zakładamy, że z 2 0. Zauważmy, że podobnie jak w zbiorze liczb rzeczywistych, w zbiorze liczb zespolonych można także rozważać wielomiany. Jak już wspomniano wyżej, liczby zespolone pozwalają rozwiązywać równania, które w zakresie liczb rzeczywistych nie mają rozwiązania, takie jak na przykład równanie x 2 +1 = 0. Prawdziwe jest jednak twierdzenie znacznie ogólniejsze: Twierdzenie 5.1 (Zasadnicze Twierdzenie Algebry). Każdy wielomian stopnia n, o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych, ma dokładnie n pierwiastków zespolonych. Z wymienionych powyżej własności operacji sprzężenia wynika, że jeśli wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek równy z, to także liczba z jest pierwiastkiem tego wielomianu. Stąd wynika, że jeśli wielomian o współczynnikach rzeczywistych jest stopnia nieparzystego, to musi mieć pierwiastek rzeczywisty bo dla któregoś z pierwiastków musi zachodzić równość z = z gdyż jest ich nieparzysta ilość. 6. Grupy, ciała, przestrzenie liniowe Jak nietrudno zauważyć operacje w omawianych wyżej zbiorach liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych, mają pewne wspólne własności. Dla przykładu, działanie dodawania w każdym z wymienionych powyżej zbiorze jest operacją łączną, tzn. dla dowolnych x, y, z zachodzi rowność x + (y + z) = (x + y) + z. Ponad to dodawanie w tych zbiorach jest przemienne tzn. x + y = y + x. Analogiczne własności ma mnożenie liczb. Następną wspólną własnością tych działań jest to, że istnieje dla nich element neutralny. Liczba 0 jest elementem neutralnym dodawania: x + 0 = 0 + x = x, a 1 elementem neutralnym mnożenia x 1 = 1 x = x. Jednak z przyjętej przez nas powyżej definicji zbioru liczb naturalnych N = {1, 2, 3,... } wynika, że dodawanie w zbiorze liczb naturalnych nie ma elementu neutralnego. Zauważmy

6. GRUPY, CIAŁA, PRZESTRZENIE LINIOWE 27 jeszcze, że dodawanie we wszystkich zbiorach liczbowych z wyjątkiem zbioru liczb naturalnych, ma taką własność, że dla dowolnego elementu x istnieje element przeciwny, tj. taki element y, że x + y = y + x = 0. Analogiczną własność ma mnożenie, ale dopiero w zbiorze liczb wymiernych bez elementu 0: dla każdego x istnieje taki y, że x y = y x = 1. Uzasadnia to potrzebę wprowadzenia następującej definicji: Definicja 6.1. Grupą nazywamy każdy zbiór G z wyróżnionym elementem e, w którym określone jest działanie dwuargumentowe, tzn. każdym dwóm elementom x, y G przyporządkowany jest element z G, który oznaczamy symbolem x y, w taki sposób, że spełnione są następujące warunki: (1) x (y z) = (x y) z dla dowolnych x, y, z G, (2) x e = e x = x dla każdego x G, (3) dla każdego x G istnieje taki element y G, że x y = y x = e. Jeśli ponadto spełniony jest warunek (4) x y = y x dla dowolnych x, y G to taką grupę nazywamy przemienną (lub abelową). Przykład 6.1. (a) Zbiór liczb całkowitych Z z działaniem dodawania i elementem neutralnym 0 jest grupą przemienną. Podobnie zbiór liczb wymiernych Q, zbiór liczb rzeczywistych R, zbiór liczb zespolonych C, z dodawaniem i wyróżnionym elementem 0 jest grupą przemienną. (b) Zbiór liczb całkowitych Z z działaniem mnożenia nie jest grupą, gdyż dla liczby k Z, różnej od 1 oraz 1 nie istnieje liczba całkowita l taka, że k l = 1. (c) Zbiór liczb wymiernych niezerowych Q \ {0} z mnożeniem oraz wyróżnionym elementem 1 jest grupą przemienną. Podobnie zbiór liczb rzeczywistych niezerowych. (d) Rozważmy zbiór Izom złożony ze wszystkich izometrii płaszczyzny. Niech id oznacza izometrię trywialną, tj. taką, że id(x) = x dla każdego punktu x płaszczyzny. Niech oznacza działanie złożenia w zbiorze Izom. Jest to istotnie działanie w tym zbiorze, gdyż złożenie dwóch izometrii płaszczyzny jest izometrią płaszczyzny. Z elementarnego kursu geometrii wiadomo, że zbiór Izom wraz z działaniem i z elementem neutralnym id jest grupą. Wiadomo również, że nie jest to grupa przemienna. (e) Rozważmy zbiór Perm(n) wszystkich funkcji różnowartościowych zbioru n- elementowego {1, 2,..., n} z działaniem składania funkcji. Każdą taką funkcje możemy utożsamić z permutacją zbioru {1, 2,..., n}. Istotnie, jeśli f : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n}, to możemy taką funkcję jednoznacznie opisać jako permutację (f(1), f(2),..., f(n)). Składanie funkcji jest wtedy tożsame ze składaniem permutacji. Grupa ta, jak nietrudno zauważyć, nie jest przemienna. Wiemy także, że ma ona n! elementów. Podamy teraz przykłady pewnych grup bliskie grupom liczbowym. Ustalmy liczbę naturalną n 2 i rozpatrzmy zbiór Z n = {0, 1,..., n 1}.