Fraktale - wprowadenie Próba definici fraktala Jak określamy biory naywane fraktalami? Prykłady procedur konstrukci fraktali W aki sposób b diała aą algorytmy generaci nabardie nanych fraktali? Jakie własnow asności maą wygenerowane biory? Fraktale 3-D3 Jak twory się fraktale w prestreni 3-D 3 D?. Próba definici fraktala.. Zbiór X Założenie: Roważana ana est prestreń R. Definica : X - biór, którego elementami sąs i niepuste podbiory R. Zbiór r warty - biór r ogranicony i domknięty. - biór r ogranicony - można go awreć w dostatecnie dużym kole, - biór r domknięty - granica każdego bieżnego ciągu elementów w bioru należy y też do bioru. warte Definica : Fraktalem naywamy element bioru X... Prykłady Odcinek [0,] est elementem bioru X. Odcinek (0,) nie est elementem bioru X,, bo dla prykładu granica ciągu elementów w odcinka w postaci nie należy y do tego odcinka. an = n =,,... n. Prykłady procedur konstrukci fraktali.. Zbiór Cantora (883) dany est odcinek [0,] odcinek dielimy na try równe r cęś ęści i usuwamy cęść środkową. poostałe e odcinki dielimy na try równe r cęś ęści i usuwamy cęś ęści środkowe i tak dale, w granicy otrymuemy biór Cantora 3 4
Podstawowe własnow asności bioru Cantora: biór awiera nieprelicalną ilość punktów, długość bioru est równa 0, biór est domknięty, biór est nigdie gęsty (nie awiera żadnego niepustego bioru otwartego)... Krywa von Kocha (883) dany est odcinek [0,] odcinek dielimy na try równe r cęś ęści i buduemy łamaną, /3 /3 /3 /3 l = 4/3 odcinki łamane dielimy na try równe r cęś ęści i na każdym nich buduemy nów łamaną, /9 l = 6/9 i tak dale, w granicy otrymuemy krywą von Kocha. Krywa est ogranicona i nieskońcenie długa. d 5 6.3. Trók kąt t Sierpińskiego (95) dany est trók kąt t równobocny r o boku, w poostałych trók kątach nów w dielimy boki na pół, p łącymy punkty podiału u i usuwamy powstałe e w ten sposób b trók kąty, dielimy boki na pół, p łącymy punkty podiału u i usuwamy powstały y w ten sposób b trók kąt, i tak dale, w granicy otrymuemy trók kąt t Sierpińskiego. Podstawowe własnow asności trók kąta Sierpińskiego: biór r domknięty, biór r nigdie gęsty, g pole trók kąta wynosi 0. 7 8
.4. Ciągi licb w diedinie espolone Niech będie określony następuący wiąek pomiędy kolenymi wyraami ciągu licb espolonych + = f (,c ) 0 Prykłady achowania się ciągu 0,,,... dla prypadku + = f (,c ) = + c 0 Prykład 0 = 0.5 + i 0.4 c = 0. + i 0.5 = 0, = 000 0 - warunek pocątkowy, c - parametr. Równanie powyżse można traktować ako model dyskretnego systemu dynamicnego. Można postawić pytanie. Jak diałanie takiego systemu ależy od warunku pocątkowego a ak od parametru? 3 5 o 0 = 0.037 + i 0.683 4 000 = 0.030 + i 0.660 9 0 Prykład 0 = 0.5 + i 0.4 c = 0.5 +i 0.5 = 9, = 5.4.. Zachowanie się ciągu 0,,,... w ależno ności od c Niech będie b dany następu puący ciąg g licb espolonych + = + c = 0 + i0 0 o 9 Definica 3: Zbiór r tych wartości parametru c, dla których ciąg licb 0,,,... est ogranicony, twory na płascyp ascyźnie espolone biór Mandelbrota (980). 9 = 4.6974 - i.8097 5 = (.398 + i.9758)0 Podstawowe własnow asności bioru Mandelbrota: domknięty i ogranicony, spóny. 3
Obray bioru Mandelbrota: -,0 0,0 kolor żółty - biór c,, dla których ciąg g est ogranicony kolor niebieski - dla tych c,, ciąg g est robieżny 3 4.4.. Zachowanie się ciągu 0,,,... w ależno ności od 0 Prykład 3 Dla tych 0 ciąg est robieżny. Dla tych 0 ciąg est bieżny do (0, 0). Gaston Julia (90) + = 0 Dla tych 0 ciąg nie est ani bieżny do (0, 0), ani nie est robieżny. Jest to tak wany biór Julii. 5 Wnioski: odworowanie f() = ma dwa punkty stałe () = 0 i () = biorem pryciągania () est wnętre koła < biorem pryciągania () est obsar > biory pryciągania punktów () i () rodiela koło, o, =, est to biór r Julii Prykład 4 Jak wygląda daą biory Julii dla prykładowych licb c? + = + c 6 4
c = -0,5 c = 0,40 -i 0,3760 c = -i Algorytm rysowania obrau fraktala Julii:. Ustalić prostokąt t w akim będie b rysowany obra np. 30x40 punktów,. Prypisać bokom prostokąta ta odpowiednie akresy licb recywistych a punktom proporconalnie odpowiednie pary licb, 3. Kolene punkty, tak powstałego prostokąta ta prymować a 0 i oblicać,, sprawdaąc c ednoceśnie nie warunek, k < ρ eśli dla kolenego k warunek nie est spełniony to preść do następnego punktu prostokąta, ta, eśli warunek est spełniony dla k > N (np.n=500 N=500) ) to narysować punkt bioru Julii. 7 8 3. Fraktale 3-D3 3.. Algebra kwaternionów Kwaternion ogólniesa licba espolona. q = q ( 0 ) + i q ( ) + q ( ) + k q ( 3 ) dodawanie - dodae się odpowiednie składniki, mnożenie należy y posłużyć się tabelą i = k i i = -k i i i = = k k k k = - k k = i k = -i i k k = - k i i = i k k = - 9 3.. Generaca fraktala Julii Wykorystue się nacęście formułę opisuącą ciąg punktów prestreni cterowymiarowe w postaci q + = f ( q,qc ) = q + q c q0 Algorytm generaci fraktala Julii 3-D:. Pobrać koleny punkt w kostce prestreni 4-D,. Podstawić współrędne pobranego punktu ako q 0, 3. Oblicyć N kolenych wyraów ciągu q, eśli N- ty wyra ciągu mieści się w hiperkuli o promieniu ρ = 4pryąć, że punkt q 0 należy do bioru Julii, eśli nie, to preść do kolenego punktu w kostce. 0 5
4. Zrutować otrymany biór prestreni 4-D na prestreń 3-D. + = q qc q c = 0,49 + i 0,50 0,34 + k 0, 0 q + q = q + q + c q c = 0,083 + i 0,000 0,830 k 0, 05 6