Fraktale wokół nas. Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski. informatyka +

Transkrypt

1 Fraktale wokół nas Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski informatyka + 1

2 Podobieństwo figur informatyka + 2

3 Figury podobne Figury są podobne gdy proporcjonalnie zwiększając lub zmniejszając jedną z nich możemy otrzymać tę drugą. informatyka + 3

4 Figury podobne informatyka + 4

5 Figury podobne informatyka + 5

6 Figury podobne - zastosowanie Trójkąty mające proporcjonalne boki są podobne Czworokąty mające proporcjonalne boki NIE muszą być podobne informatyka + 6

7 Samopodobieństwo informatyka + 7

8 Odcinek informatyka + 8

9 Trójkąt prostokątny równoramienny informatyka + 9

10 Krzywa Kocha informatyka + 10

11 Trójkąt Sierpińskiego informatyka + 11

12 Zbiór Cantora informatyka + 12

13 Gąbka Megera informatyka + 13

14 Fraktale informatyka + 14

15 Benoit Mandelbrot matematyk urodził się Warszawie pracował we Francji i USA pierwszy badał fraktale wprowadził nazwę informatyka + 15

16 Żuk Mandelbrota informatyka + 16

17 Żuk Mandelbrota (powiększenie) informatyka + 17

18 Wymiar informatyka + 18

19 Jeden wymiar informatyka + 19

20 Dwa wymiary informatyka + 20

21 Trzy wymiary informatyka + 21

22 Pudełka figury płaskie bryły informatyka + 22

23 Wymiar pudełkowy odcinka informatyka + 23

24 Wymiar pudełkowy odcinka Rozmiar pudełka Liczba pudełek Zależność = 1 ½ 2 2 = 2 ¼ 4 4 = 4 informatyka + 24

25 Wymiar pudełkowy kwadratu informatyka + 25

26 Wymiar pudełkowy kwadratu Rozmiar pudełka Liczba pudełek Zależność = 1 2 ½ 4 4 = 2 2 ¼ = 4 2 informatyka + 26

27 Wymiar pudełkowy odcinka Rozmiar pudełka Liczba pudełek WYMIAR ODCINKA = 1 1 ½ 2 2 = 2 1 ¼ 4 4 = 4 1 informatyka + 27

28 Wymiar pudełkowy sześcianu informatyka + 28

29 Trójkąt Sierpińskiego informatyka + 29

30 Trójkąt Sierpińskiego Rozmiar pudełka Liczba pudełek WYMIAR TR. SIERP = 1? ½ 3 3 = 2? ¼ 9 9 = 4? informatyka + 30

31 Dygresja: logarytm Logarytm ma podstawę: a Logarytm obliczamy z jakiejś liczby: b Logarytm to wykładnik potęgi do jakiej trzeba podnieść a aby otrzymać b Oznaczenie: log a b informatyka + 31

32 Dygresja: logarytm (przykłady) log 3 9=2 bo 3 2 =9 log 5 125=3 bo 5 3 =125 log 10 0,1=-1 bo 10-1 =1/10=0,1 log 2 256=8 bo 2 8 =256 informatyka + 32

33 Szukamy log 2 3 =? log 4 9 =? informatyka + 33

34 Obliczenia ,41 = 2,82 1 0,5 2 2 = 2 2 = 2 1,5 1,5 2 2,82 < 3 < 2 2 informatyka + 34

35 Trójkąt Sierpińskiego Rozmiar pudełka Liczba pudełek WYMIAR TR. SIERP = 1 1,585 ½ ,585 ¼ ,585 informatyka + 35

36 Zbiór Cantora informatyka + 36

37 Rozmiar pudełka Zbiór Cantora Liczba pudełek WYMIAR TR. SIERP = 1 0, / , / ,6309 informatyka + 37

38 Jeż (nieskończony) informatyka + 38

39 Fraktale w przyrodzie informatyka + 39

40 Kryształki lodu informatyka + 40

41 Śnieżynki informatyka + 41

42 Śnieżynki informatyka + 42

43 Brokuły informatyka + 43

44 Brokuły informatyka + 44

45 Muszle informatyka + 45

46 Kolonie pleśni informatyka + 46

47 Rzeki informatyka + 47

48 Rzeki Missisipi wymiar pudełkowy 1,2 informatyka + 48

49 Gałęzie drzew informatyka + 49

50 Rośliny informatyka + 50

51 Paprotka (Barnsleya) informatyka + 51

52 Fraktale w technice informatyka + 52

53 U.S. Patent No. 5,354, informatyka + 53

54 U.S. Patent No. 5,354, informatyka + 54

55 Fraktale w kartografii informatyka + 55

56 Płatek Kocha informatyka + 56

57 Linia brzegowa informatyka + 57

58 Fraktale i komputery informatyka + 58

59 4 wymiarowy zbiór Julia informatyka + 59

60 Narysujmy sobie fraktal informatyka + 60

61 Drzewo informatyka + 61

62 Drzewo (binarne) informatyka + 62

63 Drzewo (binarne) informatyka + 63

64 Drzewo (binarne) algorytm oto drzewobin :b jeżeli :b < 4 [ stop ] naprzód :b lewo 43 drzewobin 0,75 * :b prawo 69 drzewobin 0,75 * :b lewo 26 wstecz :b już informatyka + 64

65 Drzewo Pitagorasa informatyka + 65

66 Drzewo Pitagorasa informatyka + 66

67 Zróbmy sobie fraktala informatyka + 67

68 informatyka + 68

69 Smok informatyka + 69

70 Smoki informatyka + 70

71 Smoki w komputerze Poziom 1. L Poziom 2. LLP informatyka + 71

72 Smoki w komputerze Poziom 3. Poziom 4. LLPLLPP LLPLLPPLLLPPLPP informatyka + 72

73 Smoki w komputerze L LLP LLPLLPP LLPLLPPLLLPPLPP LLPLLPPLLLPPLPPLLLPLLPPPLLPPLPP informatyka + 73

74 Wykorzystane materiały I. Białynicki-Birula, I. Białynicka-Birula, Modelowanie rzeczywistości, WNT, Warszawa 2007 II. Ilustracje pochodzą ze stron internetowych: commons.wikimedia.org cs.unm.edu/~joel/paperfoldingfractal/paper.html webecoist.com/2008/09/07/17-amazing-examples-of-fractals-in-nature classes.yale.edu/fractals informatyka + 74