2. Propagacja światła w ośrodkach dwójłomnych Dotychczas rozwaŝano jednorodne, transmisyjne ośrodki optyczne, które moŝna scharakteryzować stałą dielektryczną ε (zaleŝną od długości fali), n = ε. Monochromatyczna fala płaska propaguje się z prędkością fazową c/n, bez zmiany amplitudy i polaryzacji, bez względu na kierunek propagacji i polaryzację początkową wiązki. Są to tzw. ośrodki izotropowe. Przy propagacji światła w wielu typach kryształów obserwuje się na wyjściu dwie wiązki wzajemne przesunięte względem siebie. Zjawisko to jest spowodowane tzw. dwójłomnością ośrodka. Nie naleŝy jednak utoŝsamiać kryształów z ciałami anizotropowymi (dwójłomnymi) ciałem anizotropowym moŝe stać się równieŝ ośrodek izotropowy np. pod wpływem napręŝeń. Z matematycznego punktu widzenia kryształy charakteryzują izotropowe (np. sól kuchenna) lub anizotropowe (np. kalcyt) stałe dielektryczne. Dodatkowo, kryształy dzieli się na kryształy jedno i dwuosiowe. Niektóre kryształy wykazują tzw. aktywność optyczną (np. kwarc) obracają one elipsę polaryzacji. Mówiąc o ośrodku optycznie anizotropowym ma się na myśli jego anizotropię elektryczną stała dielektryczna ε przyjmuje róŝne wartości w zaleŝności od kierunku. 2.1. Opis ośrodka anizotropowego Ośrodek dielektryczny charakteryzuje związek między wektorem elektrycznym E(r, t) i wektorem indukcji elektrycznej D(r, t). Dla ośrodka izotropowego D(r, t) = ε E(r, t). (1) Aby opisać zjawisko dwójłomności zapiszmy liniowy związek między D i E D x = ε xx E x + ε xy E y + ε xz E z, (2a) D y = ε yx E x + ε yy E y + ε yz E z, (2b) D z = ε zx E x + ε zy E y + ε zz E z. (2c) Dla ośrodków nieaktywnych wszystkie współczynniki ε ij są rzeczywiste, podczas gdy dla ośrodków aktywnych niektóre z nich maja wartość zespoloną. NiŜej zajmować będziemy się ośrodkami nieaktywnymi, dla których ε ij = ε ji, gdzie ij oznacza kaŝdą kombinację x, y i z. Wzór (2) moŝna równieŝ zapisać w postaci macierzy D ε ε ε E D D x y z = ε ε xx yz zx ε ε xy yy zy ε ε xz yz zz E E x y z (3)
Jeśli wszystkie współczynniki ε ij są rzeczywiste i ε ij = ε ji, wtedy macierz 3 x 3 we wzorze (3) jest macierzą symetryczną. Jest to bardzo waŝne - jeśli kryształ moŝna opisać symetryczną macierzą A, to wtedy zawsze moŝna zredukować (3) do macierzy diagonalnej S wykorzystując macierz C S = C -1 A C, (4a) C -1 = C T (4b) Wzór (4b) opisuje warunek ortogonalności dla macierzy C, a C -1 i C T stanowią, odpowiednio, macierz odwrotną i transponowaną. Wzory (4a) i (4b) zastosowane do rzeczywistej, symetrycznej macierzy A umoŝliwiają zapisanie wzoru (2) w postaci D x = ε x E x, (5a) D y = ε y E y, (5b) D z = ε z E z. (5c) Nowe osie nazywane są osiami głównymi kryształu, a ε x, ε y i ε z głównymi stałymi dielektrycznymi. Wartości głównych współczynników załamania wynoszą n x = ε x, (6a) Wzór (5) moŝna zapisać jako macierz diagonalną n y = ε y, (6b) n z = ε z. (6c) D D D εx = 0 0 0 E 0 E ε z E Kryształy jednoosiowe charakteryzuje równość wartości dwóch głównych współczynników załamania. Przyjmijmy dowolnie, Ŝe n x = n y = n 0, (8a) n z = n e n 0. (8b) Wzory (8) nie zmieniają się przy obrocie wokół osi z. Oś z posiada szczególną właściwość: wzdłuŝ niej kryształy (ośrodki) anizotropowe zachowują się jak kryształ (ośrodek) izotropowy. Jest to specjalny kierunek w krysztale, nazywany osią optyczną. Jeśli są spełnione warunki (8), części rzeczywiste D i E pokrywają się wtedy i tylko wtedy, jeśli część rzeczywista E jest ukierunkowana wzdłuŝ lub prostopadle do osi z. Warunek ten dotyczy równieŝ części zespolonych. x y z 0 ε y 0 x y z (7)
Dla kryształu dwuosiowego wszystkie trzy wartości współczynników załamania są róŝne, czyli n x > n y > n z. (9) MoŜna wykazać, Ŝe dla kryształów dwuosiowych występują dwie osie optyczne w płaszczyźnie xz, osie x i z stanowią dwusieczne kąta między osiami optycznymi. W praktyce najczęściej stosowane są kryształy jednoosiowe (dwa najwaŝniejsze to kwarc i kalcyt), do których ograniczymy niniejszy wykład. W aktywnym ośrodku (krysztale) optycznym związek między D i E odniesiony do odpowiedniego układu współrzędnych opisują wzory gdzie D x = ε x E x + i (δ E) x, (10a) D y = ε y E y + i (δ E) y-, (10b) ( δ E) = u δ E x x x u δ E y y y u δ E z z z D z = ε z E z + i (δ E) z. (10c) (10d) We wzorach (10) stałe dielektryczne są rzeczywiste, δ jest wektorem rzeczywistym. Ze wzorów (10c) i (10d) mamy ε xx = ε x ; ε xy = -iδ z ; ε xz = iδ y, itd. (11) Stałe dielektryczne zaleŝą od ośrodka i nieznacznie od częstotliwości. JednakŜe δ jest skomplikowanym parametrem zaleŝnym od ośrodka, kierunku propagacji fali płaskiej i silnie zaleŝnym od długości fali światła. RozwiąŜmy teraz równania Maxwella Η = (4π/c)j + (1/c) D/ t, (12a) Ε = -(1/c) Β/ t, (12b) D = 4πρ, (12c) Β = 0. dla kryształu (ośrodka) anizotropowego. W krysztale nie występują prądy lub swobodne ładunki. Dodatkowo, zakładamy stałą wartość przewodności µ oraz B = µh. Wzory (12) upraszczają się do postaci (12d) Η = (1/c) D/ t, (13a) Ε = -(µ/c) H/ t, (13b) D = 0, (13c) H = 0. (13d)
ZałóŜmy teraz rozwiązania w postaci fal płaskich D(r, t) = D 0 exp(i[k r - ωt]), (14a) E(r, t) = E 0 exp(i[k r - ωt]), (14b) H(r, t) = H 0 exp(i[k r -ωt]). (14c) Dla załoŝonego rozwiązania w postaci fal płaskich moŝemy zastąpić operatory i / t przez skąd ik (15a) / t - iω, (15b) k H = - (ω/c) D, (16a) k E = (µω/c) H, (16b) k D = 0, (16c) k H = 0. (16d) Ze wzorów (16a) i (16b) k (k E) = - 2 D, (17) gdzie = ω/c i podstawiono µ = 1. Stosując dobrze znaną zaleŝność z rachunku wektorowego a (b c) = b (a c) c (a b) moŝemy przepisać ostatni wzór w postaci k 2 E k(k E) = 2 D. (18) Ze wzoru (16c) mamy k D = 0. Wniosek: k i D pozostają prostopadłe względem siebie nawet w ośrodku anizotropowym. Rozwijając (16c) w układzie współrzędnych kartezjańskich otrzymujemy Po podstawieniu wartości z (5) k x D x + k y D y + k z D z = 0 (19) k x ε x E x - k y ε y E y + k z ε z E z = 0. (20) Ze wzoru (20) wynika, Ŝe w ośrodku (krysztale) anizotropowym k i E nie są do siebie prostopadłe. Po rozłoŝeniu na składowe wzór (20) przyjmuje postać k 2 E x k x (k E) = 2 D x, (21a) k 2 E y k y (k E) = 2 D y, (21b) k 2 E z - k z (k E) = 2 D z. (21c)
RozwiąŜmy (21) dla nieaktywnego kryształu jednoosiowego, patrz wzór (8). Jak juŝ wspomniano rozwiązania nie zmieniają się przy obrocie układu współrzędnych wokół osi z. Wystarczy więc rozwaŝyć kierunki k leŝące w płaszczyźnie przechodzącej przez tę oś. Wybierzmy płaszczyznę xz, tzn. k y = 0, (22a) k 2 = k x2 + k y2. (22b) dzięki czemu moŝemy natychmiast zapisać Po podstawieniu (22) do (21) k r = k x x + k y y + k z z = k x x + k z z. (23) (k z2 n 02 2 ) E x k x k z E z = 0, (24a) (k 2 n 02 2 ) E y = 0, (24b) Ostatni wzór ma dwa rozwiązania. Uzyskuje się je analizując wzór (24b). Pierwsze rozwiązanie Przyjmijmy, Ŝe pierwszy wyraz wzoru (24b) jest równy zero. -k x k z E x + (k x2 n e2 2 ) E z = 0. (24c) E x = E z = 0, E y 0, (25a) k = n 0, (25b) gdzie odnosi się do pierwszego rozwiązania. Oznaczając dla niego wektor falowy jako k widzimy, Ŝe jego wielkość nie zaleŝy od kierunku propagacji. Wzory (22b) i (25b) dają opis propagacji fali w postaci k 2 = k x 2 + k z 2 = (n 0 ) 2. (26) Jest to wzór opisujący koło. W trójwymiarowej przestrzeni k fala związana z n 0 jest nazywana falą zwyczajną. Propaguje się ona zawsze jak fala sferyczna. Fala płaska związana z tym rozwiązaniem zachowuje się tak samo jak fala płaska w ośrodku izotropowym. Fala płaska opisana wzorem (25) nazywana jest falą zwyczajną, a główny współczynnik załamania n 0 jest nazywany zwyczajnym współczynnikiem załamania. Rozwiązanie dla D moŝna zapisać jako D = D y = ε y E y = (n 0 ) E 0y exp[i(k x x + k z z)], (27a) lub D y = D 0 exp[i(k x x + k z z)]. (27b) Wzór (27b) opisuje liniowo spolaryzowaną falę propagującą się w kierunku k, stała propagacji n 0. Fala zwyczajna jest zawsze liniowo spolaryzowana, wektory D lub E są prostopadłe do osi symetrii.
Drugie rozwiązanie Uzyskuje się je przyjmując E y = 0 we wzorze (24b). Warunkiem dla uzyskania rozwiązania jest znikanie wyznacznika współczynników E x i E z we wzorach (24a) i (24b). Mamy wtedy (k x 2 / n e2 ) + (k z 2 / n 02 ) = 2, (28) (E z / E x ) = - n 02 k x 2 / n e2 k z 2. (29) Wzór (29) pokazuje, Ŝe pole jest ograniczone do płaszczyzny xz, a więc wiązka jest liniowo spolaryzowana. Wektory E i D znajdują się w płaszczyźnie zdefiniowanej przez k i oś symetrii. W przeciwieństwie do pierwszego rozwiązania, wzór (26), wzór (28) pokazuje, Ŝe zaburzenie nie propaguje się jak sfera, lecz elipsoida. Zaburzenie to nosi nazwę zaburzenia nadzwyczajnego, a główny współczynnik załamania n e jest nazywany współczynnikiem nadzwyczajnym. Drugie rozwiązanie moŝna zapisać jako Wzory (26) i (28) ilustruje rys. 1. Wektory k i k skierowane są ze wspólnego ustalonego punktu. Ich końce opisują dwie powierzchnie obrotowe wokół osi symetrii kryształu. Powierzchnie te noszą nazwę powierzchni wektorów falowych (normalnych do frontów falowych). Nie naleŝy ich mylić z powierzchniami prędkości falowych i powierzchniami prędkości promienia występującymi przy opisie podwójnego załamania. Ze wzoru (26) wynika, Ŝe k jest sferą o promieniu n 0, a ze wzoru (28) k opisuje elipsoidę, której przekrojem w płaszczyźnie zawierającej oś jest elipsa. Główny promień elipsy wzdłuŝ osi symetrii jest równy n e, a w kierunku prostopadłym do tej osi jest on równy n 0. Jeśli n e < n 0 to taki kryształ jednoosiowy jest nazywany kryształem ujemnym. Jeśli n e > n 0 mamy do czynienia z kryształem dodatnim. Najbardziej znanym przedstawicielem kryształów ujemnych jest kalcyt, którego współczynniki załamania dla linii D sodu (5893 A) wynoszą D = D 0 exp[i(k x x + k z z)]. (30) oś optyczna n e = 1.486; n 0 = 1.658 Dla kwarcu, najbardziej znanego kryształy dodatniego n e = 1.553; n 0 = 1.544 E, D Rys. 1 Powierzchnie wektorów falowych dla jednoosiowego kryształu ujemnego.
2.2. Propagacja światła w ośrodku anizotropowym RozwaŜmy teraz propagację światła w ośrodku dwójłomnym opisanym jak powyŝej. W pierwszej kolejności rozwaŝmy propagację wzdłuŝ osi symetrii. Dla tego przypadku k x = 0. Wzory (26) i (28) redukują się do k z = n 0, (31a) k z = n 0. (31b) Stałe propagacji są więc identyczne. Odpowiadające im pola opisują wzory D = D 0 exp[in 0 z], (32a) D = D 0 exp[in 0 z]. (32b) We współrzędnych prostokątnych ostatnie dwa wzory, korzystając z (26a) i (29) moŝna zapisać jako D y = D 0y exp[in 0 z], (33a) D x = D 0x exp[in 0 z]. (33b) Wyrazy opisujące fazę są takie same, składowe pola propagują się z tą sama prędkością w kierunku z - wzdłuŝ osi symetrii n e. W krystalografii optycznej oś ta jest nazywana równieŝ osią krystalograficzną lub osią c. Oś optyczna odpowiada kierunkowi w krysztale. Pole propagujące się wzdłuŝ osi optycznej propaguje się tak jak w ośrodku izotropowym zjawisko podwójnego załamania nie występuje. RozwaŜmy teraz przypadek propagacji w kierunku prostopadłym do osi symetrii. Teraz k z = 0, z (26) i (28) mamy k x = n 0, (34a) k x = n e. (34b) Składowe pola opisują teraz wzory D y = D 0y exp[in 0 x], (35a) D z = D 0z exp[in e x]. (35b) W rozwaŝanym przypadku wyrazy opisujące fazę są róŝne. RóŜnica fazy powoduje zjawisko dwójłomności. Uwzględniając czynnik fazowy ωt D y = D 0y cos(ωt n 0 x), (36a) D z = D 0z cos(ωt n e x). (36b) Eliminując ωt otrzymuje się równanie elipsy polaryzacji. RóŜnica faz między zaburzeniami po przejściu odcinka l wynosi δ = (n e n 0 ) l. (37)
Tak więc w przypadku propagacji w kierunku prostopadłym do osi optycznej moŝna uzyskać Ŝądane przesunięcie fazowe kontrolując drogę propagacji x w krysztale. Fakt ten wykorzystuje się przy budowie płytek opóźniających. Dla ćwierćfalówki δ = π/2, dla półfalówki δ = π. Dodatkowo, zmieniając drogę propagacji (a więc przesunięcie fazowe δ między składowymi) moŝna zmieniać stan polaryzacji. Jednym z rozwiązań jest zespół dwóch klinów wykonanych z materiału dwójłomnego o osiach w klinach wzajemnie równoległych, ale biegnących prostopadle do kierunku propagacji wiązki. Jeden z klinów pozostaje nieruchomy, drugi jest przesuwany, rys. 2. Rys. 2 Zespół dwóch klinów wykonanych z materiału dwójłomnego. Osie optyczne w obydwu klinach są prostopadłe do płaszczyzny rysunku, równoległe względem siebie i równoległe względem zewnętrznych płaszczyzn tworzących klinów. Wiązka świetlna pada prostopadle do płaszczyzn tworzących i osi optycznych. l x Przesunięcie fazowe dla propagacji w pierwszym klinie wynosi δ 1 = (n e n 0 ) l, (38a) gdzie l oznacza ustaloną grubość klina w jego środku. Przesunięcie fazowe wprowadzane przez drugi klin δ 2 = (n e n 0 ) x. (38b) Całkowite przesunięcie fazowe δ = δ 1 + δ 2 = (n e n 0 ) (l + x). (39) Z praktycznego punktu widzenia wygodniejszym jest rozwiązanie, w którym dla l = x uzyskuje się zerową intensywność wiązki w układzie polaryzator + kompensator + polaryzator (polaryzatory skrzyŝowane). W tym przypadku zamiast sumy l + x naleŝy otrzymać l x. Realizacja: za pomocą klinów tak wyciętych z kryształu, Ŝe ich osie są wzajemnie prostopadłe (kompensator Babineta). Osie w klinach nadal pozostają prostopadłe do kierunku propagacji wiązki, rys. 3. l Rys. 3 Uproszczony schemat kompensatora Babineta. x
Mamy teraz δ 1 = (n e n 0 ) l, (40a) δ 2 = (n 0 n e ) x, (40b) Kompensator Babineta zostanie bardziej szczegółowo omówiony w dalszej części wykładu. Podsumowanie δ = δ 1 + δ 2 = (n e n 0 ) (l x). (41) 1. W przypadku propagacji wzdłuŝ osi optycznej dwójłomność i podwójne załamanie (kątowa separacja między wiązkami opuszczającymi kryształ) nie występują. 2. W przypadku propagacji w kierunku prostopadłym do osi optycznej występuje dwójłomność, oś optyczna podwójne załamanie nie występuje. 3. Gdy wiązka świetlna nie propaguje się wzdłuŝ któregokolwiek kierunku głównych współczynników załamania, występuje zarówno dwójłomność jak i podwójne załamanie. Światło propagujące się w kaŝdym kierunku poza kierunkiem osi optycznej propaguje się jako zestaw dwóch fal o róŝnych prędkościach i tej samej częstotliwości. Zmianę współczynnika załamania z kierunkiem propagacji moŝna przedstawić posługując się tzw. indykatrysą współczynników załamania, rys. 4. oś optyczna KaŜdy promień wektor reprezentuje kierunek drgań; jego długość jest miarą współczynnika załamania kryształu dla fal świetlnych o kierunku drgań równoległym do kierunku promienia wektora. n e > n 0 n e < n 0 Rys. 4 Indykatrysy współczynników załamania dla kryształu dodatniego i ujemnego.
Rys. 4 pokazuje indykatrysy dla kryształu jednoosiowego: dodatniego i ujemnego. Długości półosi są proporcjonalne do wartości współczynników załamania kryształu. KaŜdy przekrój przechodzący przez oś optyczną i ją zawierający jest elipsą - nosi on nazwę przekroju głównego. Przekroje równoleŝnikowe (poprzeczne, prostopadłe do osi optycznej) mają kształt kół. W przypadku normalnego padania światła niespolaryzowanego na płytkę z kryształu o płaszczyznach tworzących wyciętych prostopadle do osi optycznej, światło nie ulega załamaniu w krysztale i opuszcza go jako niespolaryzowane. Przy kaŝdym innym kierunku padania wystepuje podwójne załamanie. Dla kryształu jednoosiowego równanie indykatrysy ma postać Elipsę w przekroju głównym opisu wzór (x 2 + y 2 ) / n 02 + (z 2 / n e2 ) = 1. (42) (x 2 / n 02 ) + (z 2 / n e2 ) = 1, (43) gdzie x i z oznaczają współrzędne dowolnego punktu elipsy. Współrzędna x jest mierzona w kierunku prostopadłym do osi optycznej; współrzędna z w kierunku równoległym. We współrzędnych biegunowych wzór (43) ma postać r 2 = (n 0 n e ) 2 / {n 0 2 sin 2 θ + n e2 cos 2 θ}, (44) gdzie r jest promieniem wektorem mierzonym od środka elipsy do wybranego punktu elipsy, θ oznacza kąt między promieniem wektorem i osią x układu współrzędnych. W celu przeanalizowania propagacji światła w kierunkach róŝnych od kierunku osi optycznej i kierunku do niego prostopadłego, wykorzystamy zapis indykatrysy w przekroju głównym z zastosowaniem współrzędnych biegunowych. Promień zwyczajny propaguje się zgodnie z prawem Snella, tzn. dla fali zwyczajnej współczynnik załamania wynosi n 0 niezaleŝnie od kąta θ. Wektor D 0 fali zwyczajnej jest prostopadły do płaszczyzny przekroju głównego; wektory D i E są wzajemnie równoległe. Rozwiązanie dla promienia nadzwyczajnego jest bardziej skomplikowane tylko gdy oś optyczna tworzy kąt prosty z płaszczyzną padania propagację moŝna nadal opisać za pomocą wzoru Snella, podstawiając n e w miejsce n 0. Ogólnie, normalna do czoła falowego i kierunek promienia (tzn. kierunek propagacji dany wektorem Poyntinga) nie pokrywają się.
Jeśli płaszczyzna główna promienia e i płaszczyzna przekroju głównego pokrywają się, normalna do czoła falowego (ale nie promień e) spełnia prawo Snella. Wtedy z wzoru (44) rozkład przestrzenny współczynnika załamania opisują wzory lub 1/ n 2 (θ) = (sin 2 θ / n e2 ) + (cos 2 θ / n 02 ), (45a) n(θ) = n 0 n e / {n 02 sin 2 θ + n e2 cos 2 θ} 1/2. (45b) We wzorach (45a) i (45b) θ oznacza kąt między kierunkiem propagacji fali (normalną do czoła falowego) a osią optyczną (θ 90 0 ). Gdy θ = 0 0, n(θ) = n 0, a gdy θ = 90 0, n(θ) = n e. Wektor D e zaburzenia nadzwyczajnego drga w płaszczyźnie przekroju głównego, jest on prostopadły do kierunku propagacji fali. Tak więc D e nie jest równoległy do E. Te wnioski o charakterze ogólnym, sygnalizowane juŝ uprzednio, ilustruje rys. 5. a) b) kierunek normalnej do czoła falowego dla fali zwyczajnej dla fali nadzwyczajnej Rys. 5 Zmiana współczynnika załamania n e w funkcji kąta θ między kierunkiem propagacji wiązki światła a osią optyczną (a); usytuowanie wektorów D i E w płaszczyźnie przekroju głównego dla fali zwyczajnej (o) i nadzwyczajnej (e). Kółko z kropką w środku oznacza, Ŝe wektor jest prostopadły do płaszczyzny rysunku i skierowany do czytelnika. Na rys. 6 pokazano powierzchnie zmian współczynników załamania normalnych w płaszczyznach: a) przekroju głównego (zawierającej oś optyczną) i b) prostopadłej do niej dla jednoosiowego kryształu dodatniego, n e > n 0.. Na rysunku róŝnice między n e i n 0 zostały wyolbrzymione.
z y n 0 0 n e x,y 0 n 0 n e x Rys. 6 Powierzchnie współczynników załamania w płaszczyźnie zawierającej oś optyczną (a) i płaszczyźnie prostopadłej do osi optycznej (b); jednoosiowy kryształ dodatni, n e > n 0. W praktyce uŝyteczne są tzw. powierzchnie falowe pozwalające wyznaczyć prędkości fazowe c = ω/k w kierunku propagacji. MoŜna je wyznaczyć na drodze geometrycznej przez odkładanie na danym kierunku propagacji, od początku układu współrzędnych, odcinków proporcjonalnych do 1/n (v' = c/n', v" = c/n"), lub analitycznie przez wstawienie do wzorów zaleŝności v x = v y = c/n 0 i v z = c/n e. Otrzymuje się v' 2 = v 02, (46) v" 2 = v 02 cos 2 θ + v e2 sin 2 θ. (47) Prędkość v' zaburzenia zwyczajnego nie zaleŝy od kierunku propagacji podczas gdy prędkość fali nadzwyczajnej v" zmienia się z kątem θ i tylko dla θ = 0 (propagacja wzdłuŝ osi optycznej) v" = v'. Na rys. 7 pokazano krzywe zmian prędkości zaburzeń w płaszczyźnie zawierającej oś optyczną i prostopadłej do niej dla kryształu dodatniego n e > n 0 (v e < v 0 ). z ν 0 y ν 0 ν e Rys. 7 Przekroje powierzchni falowych w płaszczyźnie zawierającej oś optyczną (a) i prostopadłej do niej (b) dla kryształu dodatniego n e > n 0, v e < v 0. 0 ν e x,y 0 x
Podobną analizę moŝna przeprowadzić dla propagacji promieni zaburzenia nadzwyczajnego. W tym przypadku kierunek transportu energii nie pokrywa się z kierunkiem k normalnej do czoła falowego (prostopadłym do wektora D). W ogólności, promienie zaburzenia nadzwyczajnego nie są prostopadłe do ich czoła falowego, a ich kierunek wyznacza wektor Poyntinga (prostopadły do wektora E), rys. 8. S S D k x E k x kz E,D k z no k o n o k o S E,D θ k x S E D θ k x n o k o k y n e k o k y Rys. 8 Zaburzenia: zwyczajne i nadzwyczajne, fala płaska propagująca się w kierunku k pod kątem θ do osi optycznej z w krysztale jednoosiowym. a) fala zwyczajna, b) fala nadzwyczajna. Przejście fali płaskiej przez anizotropową płytkę płaskorównoległą (podwójne załamanie) RozwaŜmy teraz załamanie fali płaskiej na powierzchni rozgraniczającej ośrodek izotropowy (np. powietrze, n = 1) i ośrodek anizotropowy. Warunek dopasowania fazy na powierzchni rozdziału wymaga, aby sin θ i = k sinθ, (48) gdzie θ i i θ oznaczają kąty padania i załamania. JednakŜe w ośrodku anizotropowym liczba falowa k = n(θ) zaleŝy od kąta załamania θ i stąd sinθ i = n(θ) sinθ. (49)
Z powodu anizotropowości ośrodka naleŝy spodziewać się dwóch wiązek załamanych o róŝnych kierunkach propagacji i polaryzacjach. Sytuację pokazuje rys. 9, gdzie zilustrowano przypadek przechodzenia przez kryształ jednoosiowy i płaszczyzny padania równoległej do osi optycznej. D e E e 0 S re 0 S 0 r0 0 S S e 0 Rys. 9 Przechodzenie fali płaskiej przez płytkę płaskorównoległą z jednoosiowego materiału anizotropowego. Z kaŝdego punktu fali płaskiej docierającej do granicy dwóch ośrodków rozchodzą się fale wtórne w postaci dwóch zaburzeń: zwyczajnego i nadzwyczajnego. Po pewnym czasie fale wtórne tworzą powierzchnie falowe π 0 i π e charakterystyczne dla danego kryształu i kierunku osi optycznej. Obwiedniami tych fal są powierzchnie Σ e ' i Σ 0 ' stanowiące płaskie powierzchnie falowe w ośrodku anizotropowym. NaleŜy zwrócić uwagę, Ŝe warunek dopasowania fazowego jest spełniony: czoła falowe obydwu załamanych zaburzeń są równoległe do powierzchni rozdziału ośrodków i powierzchni czoła falowego wiązki padającej. Promień OB w ośrodku izotropowym, prostopadły do czoła falowego, w ośrodku anizotropowym zostaje rozdzielony na dwa promienie: BC 0 i BC e. Promień zwyczajny BC 0, o sferycznym czole falowym, rozchodzi się zgodnie z prawami ośrodka izotropowego. Promień nadzwyczajny BC e, mimo padania wzdłuŝ normalnej do powierzchni rozdziału (θ i = 0), zostaje załamany o kąt ω, którego wartość zaleŝy od połoŝenia osi optycznej i róŝnicy współczynników załamania n e n 0. Z równań Maxwella moŝna równieŝ udowodnić, jak wspomniano wyŝej, Ŝe oba zaburzenia są spolaryzowane liniowo i wzajemnie prostopadle, a ich wektory indukcji elektrycznej D są prostopadłe do kierunków rozchodzenia się tych zaburzeń (wyznaczonych wersorami s 0 e i s 00 ). Dla zaburzenia nadzwyczajnego wektor D e leŝy w płaszczyźnie zawierającej oś optyczną, zaś wektor D 0 leŝy w płaszczyźnie prostopadłej.
PoniewaŜ kierunek rozchodzenia się energii s r jest prostopadły do wektora elektrycznego, w przypadku promienia nadzwyczajnego nie moŝe się on pokrywać kierunkiem rozchodzenia się fali s e. Miarą prędkości fali jest odcinek BG, a prędkości promienia odcinek BF. Z dotychczasowych rozwaŝań wynika, Ŝe wiązka o płaskim czole falowym padająca na płytkę płaskorównoległą z materiału dwójłomnego pod kątem θ i = 0 tworzy dwie wiązki o płaskich czołach falowych przesunięte względem siebie w przestrzeni: w kierunku rozchodzenia się fal o odległość l, w kierunku do niego prostopadłym, w płaszczyźnie zawierającej oś optyczną, o odległość e. Obydwa przesunięcia zaleŝą od połoŝenia osi optycznej w płytce, jej grubości oraz dwójłomności n e n 0. Dla przypadku pokazanego na rys. 9 mamy l = (n e n 0 )d, gdzie d oznacza grubość płytki. W przypadku ogólnym zaburzenie nadzwyczajne o czole falowym Σ e " i zaburzenie zwyczajne o czole Σ 0 " o wzajemnie prostopadłych polaryzacjach liniowych dają w wyniku superpozycji zaburzenie o polaryzacji eliptycznej. Aktywność optyczna Pewne materiały wykazują tzw. aktywność optyczną, to znaczy powodują obrót płaszczyzny polaryzacji liniowej fali przez nie przechodzącej. W odróŝnieniu od dotychczas omówionych ośrodków, w których ortogonalne składowe są spolaryzowane liniowo, ortogonalne składowe ośrodka aktywnego są spolaryzowane kołowo prawo- i lewoskrętnie i propagują się z róŝnymi prędkościami fazowymi. Przykłady materiałów aktywnych to kwarc, selen, telur, dwutlenek teluru oraz wiele materiałów organicznych. Opis za pomocą rachunku wektorowego Jonesa Parametr zdolności skręcającej Γ 0 (obrót na jednostkę długości) moŝna wyznaczyć, między innymi, za pomocą rachunku wektorowego Jonesa. Polaryzację liniową moŝna przedstawić jako superpozycję polaryzacji kołowych prawo i lewoskrętnych o jednakowych amplitudach, tzn. cosψ = sin ψ 1 e 2 -iψ 1 + i 1 e 2 iψ 1, i (50) gdzie ψ oznacza początkowy azymut polaryzacji. Po propagacji na odległości d mamy
Rys. 10 Obrót Γ płaszczyzny polaryzacji liniowej w ośrodku aktywnym gdy n R < n L Kołowa składowa prawoskrętna R propaguje się szybciej od składowej lewoskrętnej L, Γ > 0. e 2 e 1 1 + e i 2 e 1 = e i 1 iψ iϕ R iψ iϕ L iϕ 0 ϕ cos ψ 2, ϕ sin ψ 2 (51) gdzie φ R = 2πn R d/λ 0, φ L = 2πn L d/λ 0 (zmiany fazy dla polaryzacji prawo i lewoskrętnej), φ 0 = (φ R + φ L )/2, φ = φ L -φ R = 2π(n L - n R )d/λ 0. Wektor Jonesa przedstawia wiązkę o polaryzacji liniowej obróconej o kąt φ/2 = π(n L n R )d/λ 0. W przypadku zawracania wiązki przez odbicie od zwierciadła ustawionego za ośrodkiem aktywnym i ponownej (przeciwbieŝnej do poprzedniej) propagacji przez ten sam ośrodek uzyskuje się pierwotny azymut polaryzacji liniowej. Γ = π (n R n L ) z / λ. Wielkość Γ 0 = Γ/d, gdzie d oznacza drogę geometryczną światła w ośrodku aktywnym, nosi nazwę zdolności skręcającej. Dla kwarcu (oświetlenie lampą sodową) mamy 21.7 0 /mm, skąd n R - n L = 7.1 x 10-5. Fresnel wykazał istnienie składowych kołowych i rozdzielił je za pomocą oryginalnej konstrukcji pryzmatu złoŝonego z kwarcu typu R i L, patrz rys. 11. Na kaŝdej powierzchni załamującej rośnie kątowa separacja między składowymi kołowymi, gdyŝ składowa prawoskrętna rozchodzi się szybciej w kwarcu R i wolniej w kwarcu L. Odwrotna sytuacja dotyczy składowej lewoskrętnej. Pierwsza składowa uginana jest ku górze, druga w dół. Rys. 11 Konstrukcja pryzmatu Fresnela do wizualizacji aktywności optycznej i kołowej polaryzacji światła
Polaryzatory wykorzystujące zjawisko dwójłomności Pryzmat Nicola Pryzmat Nicola ma juŝ znaczenie historyczne (pierwszy skonstruowany a) pryzmat polaryzacyjny) i został wyparty przez inne pryzmaty takie jak Glanaoś Thompsona, Glana-Foucaulta, Rochona czy Wollastona (patrz dalsza część optyczna wykładu). Jest on jednak często omawiany dla celów dydaktycznych. Dwie części składowe pryzmatu Nicola są wykonane z kalcytu. Płaszczyzny cięcia pryzmatów składowych tworzą kąt 90 0 z płaszczyzną zawierająca oś optyczną i normalną do powierzchni czołowych (wejściowej i wyjściowej), są one sklejone balsamem kanadyjskim o współczynniku załamania 1.53. Wartość ta mieści się między współczynnikami załamania kalcytu n 0 = 1.658 i n e = 1.486. Zasada działania pryzmatu polega na eliminacji zaburzenia zwyczajnego (poprzez całkowite wewnętrzne odbicie i absorpcję) i transmisji zaburzenia nadzwyczajnego. Przedstawmy typowe obliczenia dla biegu promienia zwyczajnego w pryzmacie Nicola. Niech kąt padania niespolaryzowanej wiązki światła na wejściową powierzchnię czołową wynosi 22 0, rys. 13. normalna normalna b) i 1 promień zwyczajny i 2 Rys. 13 Schemat biegu promienia zwyczajnego w pryzmacie Nicola Rys. 12 Budowa pryzmatu Nicola (a), przekrój poprzeczny (b). NaleŜy wyznaczyć: kąt załamania i 1 promienia o na pierwszej powierzchni, kąt graniczny dla całkowitego wewnętrznego odbicia w kalcycie przy padaniu na warstwę balsamu kanadyjskiego, kąt padania i 2 na powierzchnię warstwy balsamu kanadyjskiego.
Ad. a) Ad. b) n pow sin22 0 = n 0kalc sin i 1 n kalc sin i gran = n bals sin 90 0 (dla całk. wewn. odbicia) 0.375 = 1.658 sin i 1 sin i gran = 1.53 / 1.658 sin i 1 = 0.22594 i gran = 67.3 0 i 1 = 13.06 0 Ad. c) i 1 + i 2 + 90 0 = 180 0 skąd i 2 = 90 0 i 1 = 76.94 0 > i gran Kąt padania i 2 = 76.94 0 jest większy od kata granicznego 67.3 0. A więc promień zwyczajny o zostanie odbity od warstwy balsamu kanadyjskiego. Pryzmaty Nicola są doskonałymi polaryzatorami, ale są one drogie i mają ograniczone pole do około 28 0. Polaryzatory (pryzmaty) Glana-Foucaulta i Glana-Thompsona Polaryzator Glana-Foucaulta (Glana-powietrze) jest zbudowany z dwóch pryzmatów prostokątnych wykonanych z kalcytu; pasmo widmowe od około 230 nm do 5000 nm. Bieg promieni o i e pokazuje rysunek 14. Gdy kąt padania na powierzchnię kalcyt/powietrze wynosi i c/a, naleŝy zapewnić aby n e < 1 / sin i c/a < n 0. Spełnienie tego warunku prowadzi do całkowitego wewnętrznego odbicia promienia zwyczajnego. Jeśli pryzmaty są sklejone (w ultrafiolecie: gliceryna lub olej mineralny) i mają odpowiednio dobrany kąt łamiący α - to taki polaryzator (pryzmat) nosi nazwę Glana-Thompsona. Jego apertura wynosi około 30 0, dla polaryzatora Glana-Foucaulta tylko około 10 0. W przypadku polaryzatora G-F moŝna jednak stosować promieniowanie laserowe o większej Rys. 14 Bieg promieni (zwyczajnego i nadzwyczajnego) przez polaryzator (pryzmat) Glana- Foucaulta.
mocy. Przy pracy ciągłej dopuszczalne powierzchniowe gęstości mocy wynoszą: dla polaryzatora G-T około 1 W/cm 2, dla G-F: około 100 W/cm 2. Przez sklejenie pryzmatów dwójłomnych z róŝnie zorientowanymi osiami optycznymi uzyskuje się kątowe rozdzielenie promieni spolaryzowanych w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach. Podział następuje w wyniku niejednakowego załamania składowych na granicy dwóch ośrodków, z których przynajmniej jeden jest dwójłomny. PoniŜej pokazano bieg promieni w tzw. pryzmacie Wollastona oraz rysunki innych, wybranych polaryzatorów dwójłomnych. a) b) c) Rys. 15 Bieg promieni w pryzmacie (polaryzatorze) Wollastona. d) e) Rys. 16 Trójwymiarowa reprezentacja róŝnych polaryzatorów z rozdzieleniem wiązki zwyczajnej i nadzwyczajnej na wyjściu: a) pryzmat Rochona, b) pryzmat Senarmonta, c) pryzmat Wollastona, d) pryzmat Fostera (zacieniona powierzchnia powierzchnia odbijająca), e) wersja pryzmatu Glana-Thompsona.
a) b) c) d) e) Rys. 17 Biegi promieni w pryzmatach pokazanych na rys. 16. Kierunki osi optycznych oznaczono strzałkami i kropkami. Transmisja światła spolaryzowanego przez płytkę dwójłomną RozwaŜmy teraz przejście światła spolaryzowanego liniowo przez płytkę wykonaną z materiału dwójłomnego. Sytuację pokazuje rys. 18. Rys. 18 Przejście światła spolaryzowanego liniowo przez płytkę wyciętą z materiału dwójłomnego. P polaryzator, Q płytka z materiału dwójłomnego, A analizator, D wektory indukcji elektrycznej (w poszczególnych elementach polaryzacyjnych P, Q i A).
Celem jest wyznaczenie i analiza intensywności za analizatorem w funkcji azymutów polaryzatora (α) i analizatora (β) odniesionych do układu współrzędnych o osiach odpowiadających kierunkom wektorów indukcji elektrycznej zaburzenia zwyczajnego (D 0 ) i nadzwyczajnego (D e ) w płytce. Przypomnijmy, Ŝe D e leŝy w płaszczyźnie przekroju głównego zawierającej oś optyczną. Gdy α = 0 lub α = π/2, płytka nie wpływa na stan polaryzacji wiązki. ZałóŜmy dowolny kąt α miedzy płaszczyzną drgań polaryzatora a osią D e (kierunkiem wektora indukcji elektrycznej fali nadzwyczajnej). Zaburzenia składowe w płytce opisują zaleŝności D Qe = D P cosα, (72a) Rys. 19 Usytuowanie płaszczyzn przepuszczania polaryzatora i analizatora względem układu współrzędnych w celu wyznaczenia składowych pola optycznego. Wynikowe zaburzenie nadzwyczajne za analizatorem opisuje wzór D Qo = D P sinα, (72b) gdzie D P oznacza amplitudę zaburzenia padającego na płytkę dwójłomną. Za analizatorem mamy następujące składowe D Ae = D Qe cosβ, D Ao = D Qo sinβ. (73a) (73b) a zaburzenie zwyczajne dane jest wzorem D Ae = D Ae exp(-iωt) exp(iδ), D Ao = D Ao exp(-iωt). (74a) (74b) Wyraz exp(iδ) uwzględnia róŝnicę fazy między tymi zaburzeniami spowodowaną przejściem przez płytkę. Zaburzenia interferują za analizatorem (zostały wytworzone z wiązki liniowo spolaryzowanej przez polaryzator P, analizator A sprowadza je do wspólnej płaszczyzny drgań). D A = D Ae + D Ao = D P [sinαsinβ + cosαcosβexp(iδ)] exp(-iωt). (75)
Intensywność za analizatorem wynosi I A = D A D A * = I P [cos 2 αcos 2 β + sin 2 αsin 2 β + ½ sin2αsin2βcosδ]]. (76) Umieszczenie płytki dwójłomnej między P i A uzaleŝnia intensywność światła na wyjściu od róŝnicy fazy δ = 2πl/λ między zaburzeniem nadzwyczajnym i zwyczajnym. Przeprowadźmy analizę wpływu kątów α i β na intensywność. Wyznaczymy warunki, przy których uzyskuje się maksymalny kontrast prąŝków oraz maksymalną wartość intensywności światła przechodzącego. Wzór (76) moŝna przekształcić do postaci I A = I P [cos 2 (α + β) + sin2αsin2βcos 2 (δ/2)]. (77) Rozpatrzmy najpierw przypadek, kiedy płaszczyzny drgań P i A leŝą w tej samej ćwiartce podziału kątowego, tzn. sin2αsin2β > 0. (78) Z uwagi na zmiany δ otrzymuje się Jasny prąŝek występuje gdy Ciemny prąŝek występuje dla I Amax = I P [cos 2 (α +β) + sin2αsin2β], I Amin = I P cos 2 (α + β). δ = 2πl/λ = 2mπ; m = 0, +/-1, +/-2,... l j = mλ. (79a) (79b) (80a) (80b) l c = (λ/2) + mλ. Maksymalny kontrast C = 1 prąŝków występuje gdy spełniony jest warunek (80c) skąd cos(α + β) = 0, α + β = (π/2) + mπ. (81a) (81b)
Wtedy I min = 0, a I Amax = sin2αsin2β. NajwyŜszą intensywność prąŝka otrzymuje się gdy co w połączeniu z poprzednimi wynikami daje sin2α = 1 oraz sin2β = 1, (82a) α = β = π/4 lub α = β = 3π/4. (82b) Płaszczyzny drgań P i A powinny być więc równoległe i tworzyć kąt π/4 z płaszczyzną przechodzącą przez oś optyczną płytki. Z podobnej analizy dla kątów α i β leŝących w róŝnych ćwiartkach, tzn. sin2αsinβ < 0 (83) wynika, Ŝe optymalne warunki występują gdy płaszczyzny drgań wektora D polaryzatora (D P ) i analizatora (D A ) są wzajemnie prostopadłe i tworzą z płaszczyzną przechodzącą przez oś kryształu kąt π/4. Przykładowo, jeśli α = π/4 i β = 3π/4, wtedy ciemny prąŝek spełnia zaleŝność a jasny prąŝek l c = mλ, m = 0, +/-1, +/-2,... (84a) l j = (λ/2) + mλ. Tak więc prąŝki ciemne i jasne dla połoŝeń P i A równoległych i skrzyŝowanych względem siebie zamieniają się miejscami. Z wyprowadzonego wzoru ogólnego (76) wynika, Ŝe I A jest funkcją kąta obrotu analizatora β. JeŜeli cosδ = 0, tzn. δ = (π/2) + mπ, oraz cosα = sinα; tzn. α = π/4 lub 3π/4, wówczas I a = I P /2, niezaleŝnie od kąta β. W tym przypadku mamy polaryzację kołową i obrót analizatora nie zmienia intensywności światła na wyjściu. Dla innych wartości kątów δ i α obrót analizatora zmienia I A (patrz równieŝ poprzednie części wykładu dotyczące matematycznych opisów polaryzacji). (84b)
Płytki opóźniające (fazowe) Fazowe płytki opóźniające wykonuje się z materiałów anizotropowych w postaci płytek płaskorównoległych o płaszczyznach tworzących wyciętych równolegle do kierunku osi optycznej. Przy prostopadłym padaniu światła na płytkę na wyjściu otrzymuje się, w zaleŝności od parametrów konstrukcyjnych, określone przesunięcie fazowe między składowymi wektora pola elektrycznego. Jedna ze składowych doznaje opóźnienia fazowego względem drugiej, stąd nazwa płytka opóźniająca. Gdy światło propaguje się wzdłuŝ jednej z osi głównych kryształu, np. osi z, w kierunkach x i y mamy dwa zaburzenia składowe spolaryzowane liniowo, wzajemnie prostopadle. PoniewaŜ współczynniki załamania wzdłuŝ osi x i y są róŝne (n 1, n 2 ), składowe propagują się z róŝnymi prędkościami c 0 /n 1 i c 0 /n 2, Jeśli n 1 < n 2, oś x jest tzw. osią szybką (szybsza propagacja światła w ośrodku o mniejszym współczynniku załamania). Dla płytki o grubości d opóźnienie fazowe między składowymi wynosi (n 2 n 1 ) d = 2πd(n 2 n 1 )/λ 0. W przypadku ogólnym, gdy na płytkę pada wiązka spolaryzowana liniowo o dowolnym azymucie, w wyniku superpozycji składowych otrzymuje się polaryzację eliptyczną. Współczynniki załamania, przykładowo dla miki, wynoszą 1.599 i 1.594 dla λ 0 = 633 nm i wprowadzane przesunięcie fazowe wynosi około 15.8π radianów/mm grubości materiału. Tak więc folia o grubości 63.3 µm będzie spełniała rolę półfalówki. Szczególnie wygodnym materiałem do wykonywania płytek opóźniających jest kwarc krystaliczny. Płytki wykonuje się zazwyczaj w postaci dwóch płytek o płaszczyznach tworzących wyciętych równolegle do osi optycznej i sklejonych subtraktywnie, patrz rys. 20. Rys. 20 Dwie płytki płaskorównoległe wycięte z kwarcu i sklejone w sposób subtraktywny (osie optyczne płytek wzajemnie prostopadłe). Promień biegnący w pierwszej płytce jako promień zwyczajny staje się promieniem nadzwyczajnym w drugiej płytce i wypadkowa róŝnica drogi optycznej między promieniami za płytką wynosi (n e n 0 )(l 2 l 1 ). ZaleŜy ona od dwójłomności materiału n e n 0 oraz róŝnicy grubości płytek l 2 l 1, którą moŝna zmieniać w pewnym zakresie przez pochylenie zespołu płytek. Rys. 21 pokazuje wpływ płytek dwójłomnych o róŝnej grubości na stan polaryzacji na wyjściu. Na wszystkich rysunkach wiązka padająca ma polaryzację liniową o azymucie 45 0.
Najczęściej spotykane płytki opóźniające to: Ćwierćfalówka wprowadzająca przesunięcie fazowe między składowe równe π/2 lub nieparzystej wielokrotności π/2. Ćwierćfalówkę stosuje się do wytwarzania dowolnego stanu polaryzacji światła. W szczególnym przypadku jest to polaryzacja kołowa uzyskuje się ją gdy oś szybka lub wolna płytki tworzy kąt ±45 0 z płaszczyzną polaryzacji liniowej wiązki. Rys. 21 Stany polaryzacji światła po przejściu przez płytkę dwójłomną wprowadzającą skokowe wartości róŝnicy dróg optycznych. Płytka o poziomej szybkiej osi. Rys. 22 Zmiana polaryzacji na wyjściu ćwierćfalówki w funkcji azymutu wejściowej polaryzacji liniowej. Rys. 22 pokazuje wpływ ćwierćfalówki na polaryzację, gdy oś szybka płytki (w krysztale dodatnim, n e > n 0, oś szybka jest prostopadła do osi optycznej) leŝy w płaszczyźnie poziomej, a azymut polaryzacji liniowej wiązki padającej zmienia się od 0 0 do 90 0. Dla zerowego azymutu przechodzi tylko promień zwyczajny (kryształ dodatni), stan polaryzacji nie ulega zmianie. Przy wzroście azymutu polaryzacji liniowej wiązka staje się spolaryzowana eliptycznie, oś główna pokrywa się z kierunkiem szybkiej osi płytki; tgυ = b/a. Przy azymucie 45 0 mamy polaryzację kołową prawoskrętną; przy dalszym wzroście azymutu, między 45 0 a 90 0 polaryzację eliptyczną (tym razem oś duŝa elipsy jest równoległa do osi wolnej płytki). Przy azymucie polaryzacji liniowej równym 90 0 wiązka jest spolaryzowana liniowo, a przy dalszym jego wzroście stany polaryzacji powtarzają się i są symetryczne względem wolnej osi, a kierunek skrętności zmienia się z prawo na lewoskrętny.
Na rys. 23 pokazano schemat układu do wytwarzania dowolnego stanu polaryzacji eliptycznej. ψ p = ψ - ν ν = ψ - ψ p ψ 1 = ψ Rys. 23 Wytwarzanie dowolnego stanu polaryzacji eliptycznej. ψ Na rysunku oznaczono, kolejno, azymuty polaryzatora ψ - υ i ćwiećfalówki ψ. Te dwa elementy tworzą polaryzator eliptyczny. Na jego wyjściu otrzymuje się polaryzację eliptyczną o azymucie osi głównej ψ (determinowanym przez azymut ćwierćfalówki) i eliptyczności υ. Modulacji azymutu (υ = const) dokonuje się przez jednoczesny obrót polaryzatora i ćwierćfalówki, natomiast zmianę eliptyczności (Ψ = const) realizuje się przez obrót polaryzatora. Płytkę λ/4 stosuje się do analizy stanów polaryzacji przekształca ona (patrz poprzednia część wykładu) światło spolaryzowane eliptycznie na spolaryzowane liniowo (oś szybka powinna pokrywać się z duŝą osią elipsy stanu polaryzacji) i vice versa. Szeroko stosowana w elipsometrii do pomiaru grubości i współczynnika załamania cienkich warstw, do pomiaru dyspersji, dichroizmu kołowego lub napręŝeń, w mikroskopii i interferometrii polaryzacyjnej. MoŜliwa jest konstrukcja ćwierćfalówki achromatycznej w postaci tzw. rombu Fresnela lub rombu Mooney a. Rys. 24 przedstawia schematycznie zasadę pierwszego z tych rozwiązań. Rys. 24 Schemat budowy i działania ćwierćfalówki achromatycznej tzw. rombu Fresnela. W szkle o współczynniku załamania 1.51 przy kącie padania 54.6 0 (θ i > θ c = arcsin(1/1.51) = 41.47 0 ) uzyskuje się przesunięcie fazowe między ortogonalnymi składowymi równe 45 0. Dwukrotne całkowite wewnętrzne odbicie daje przesunięcie fazowe 90 0. Przy azymucie polaryzacji linowej wiązki padającej równym 45 0, po pierwszym odbiciu w szkle uzyskuje się polaryzację eliptyczną, a po drugim odbiciu polaryzację kołową. Wartość opóźnienia fazowego jest prawie stała w stosunkowo szerokim paśmie widmowym stąd nazwa ćwiećfalówka achromatyczna.
Półfalówka wprowadza przesunięcie fazowe π między zaburzenia składowe. Stosowana jest głównie do zmiany azymutu polaryzacji liniowej (patrz poprzednia część wykładu). Przykładowo, gdy płaszczyzna drgań (przepuszczania) polaryzatora tworzy kąt z płaszczyzną przechodzącą przez oś optyczną kryształu, wówczas za płytką półfalową otrzymuje się polaryzację liniową o płaszczyźnie drgań połoŝonej symetrycznie względem płaszczyzny zawierającej oś optyczną. Dla kąta 45 0 mamy obrót o 90 0. Płytka λ/2 zmienia kierunek skrętności (obrotu wektora elektrycznego) światła spolaryzowanego eliptycznie lub kołowo. Falówka wprowadza przesunięcie fazy 2π między zaburzenia składowe. Z analizatorem półfalówka tworzy bardzo czuły układ do analizy światła białego. Gdy analizator jest skrzyŝowany względem kierunku liniowej polaryzacji światła padającego, a płytka falowa jest obracana wokół kierunku wiązki padającej, obserwuje się wyraźne zmiany barwy światła przechodzącego. Dla pewnego połoŝenia wygaszane są barwy zielona i Ŝółta, a przepuszczane barwy niebieska i czerwona tworzą barwę purpurową. Nieznaczny obrót płytki falowej powoduje zmianę barwy na czerwoną lub fioletową. Zastosowanie: dokładna wizualna ocena róŝnicy dróg optycznych i dwójłomności mikroobiektów. Kompensatory UmoŜliwiają płynną zmianę przesunięcia fazowego między składowymi, a następnie interferującymi falami. Uzasadnienie nazwy element o zmiennym opóźnieniu fazowym kompensuje opóźnienie wprowadzane przez obiekt badany. Główne typy kompensatorów: Babineta i Soleila: zmiana długości przejścia wiązki przez materiał dwójłomny, Senarmonta: ćwierćfalówka i obrotowy analizator do kompensacji zmiennej eliptyczności wiązki, Bereka, Eringhausa: zmiana drogi w materiale dwójłomnym poprzez zmianę kąta padania wiązki, modulatory elektrooptyczne i piezooptyczne kontrola dwójłomności za pomocą pola elektrycznego i ciśnienia.
Kompensator Babineta W pierwszym klinie zaburzenie nadzwyczajne drga w płaszczyźnie poziomej (zawierającej oś optyczną) i w kwarcu jest opóźnione względem zaburzenia zwyczajnego (kwarc, n e > n 0 ). Po wejściu do drugiego klina zaburzenie o poziomej płaszczyźnie drgań staje się zwyczajnym i jest przyspieszane w stosunku do zaburzenia drgającego w płaszczyźnie pionowej. Całkowite opóźnienie jest proporcjonalne do (d 1 d 2 ) (n e n 0 ). SkrzyŜowany polaryzator i analizator w świetle monochromatycznym dają ciemne i jasne prąŝki; w świetle białym prąŝki barwne (poza przypadkiem zerowego opóźnienia). Linia odniesienia jest naniesiona na nieruchomy klin i pozostaje w środku pola widzenia. Powinien być równieŝ oznaczony kierunek osi optycznych i kierunek ruchu klina odpowiadający dodatniemu lub ujemnemu przyrostowi fazy. Kompensator Soleila (nazywany czasami kompensatorem Babineta-Soleila) P P Próbka Próbka A A Rys. 25 Schemat układu polaryzator kompensator Babineta analizator do pomiaru opóźnienia wprowadzanego przez próbkę. Detekcja w polu prąŝkowym. Rys. 26 Schemat układu polaryzator kompensator Soleila analizator do pomiaru opóźnienia wprowadzanego przez próbkę. Detekcja w polu jednorodnym.
Stosunek grubości bloków kwarcowych (jeden składa się z nieruchomego i ruchomego klina) jest taki sam w całym polu widzenia. Kompensator wytwarza polaryzacje eliptyczną o zmiennych parametrach w funkcji przesunięcia ruchomego klina. Główna zaleta: moŝliwość stosowania detekcji fotoelektrycznej. Kompensator Senarmonta Często stosowany do wyznaczania eliptyczności polaryzacji, gdy połoŝenie osi elipsy jest stałe. Składa się z płytki ćwierćfalowej i obrotowego analizatora. Składowe polaryzacji eliptycznej rozłoŝone na równoległą i prostopadłą do osi elipsy są wzajemnie przesunięte w fazie o π/2. Gdy któraś z osi płytki λ/4 będzie równoległa do głównej osi elipsy, wtedy polaryzacja eliptyczna zamieniana jest na liniową. Analizator jest stosowany do wygaszania tej polaryzacji liniowej i ustalenia jej azymutu. Kompensatory pochylne Kompensator Bereka Płytka płaskorównoległa o grubości d i osi optycznej prostopadłej do powierzchni tworzących płytki. Przy padaniu wiązki wzdłuŝ normalnej do płytki brak wpływu dwójłomności (wiązka propaguje się wzdłuŝ osi optycznej). Gdy płytka zostanie pochylona światło nie biegnie juŝ wzdłuŝ osi optycznej i powstaje róŝnica faz δ = k d n 0 {[1 (sin 2 i)/n 02 ] 1/2 - [1 (sin 2 i)/n e ] 1/2 } Próbka Fig. 27 Zastosowanie kompensatora Senarmonta do wyznaczania eliptyczności lub opóźnienia fazowego powstających przy przejściu wiązki przez element dwójłomny. Kierunek osi optycznej ćwierćfalówki jest ustalony, obracany jest analizator. Kompensator ten umoŝliwia pomiar róŝnicy dróg optycznych rzędu kilku długości fali. d Nieruchoma λ/4 A Kompensator Eringhausa Dwie płytki sklejone subtraktywnie. Oś obrotu pokrywa się z jednym z kierunków wektora D. Pochylenie wprowadza wzajemne przesunięcie fazy między składowymi (wzór jak w przypadku kompensatora Bereka). MoŜliwość kompensacji dróg optycznych nawet powyŝej 100λ. i