4. Pole magnetostatyczne

4. Pole magnetostatyczne 4.1. Podstawowe zależności Równania pola magnetostatycznego Polem statycznym nazywamy pole niezmienne w czasie, czyli pochodne czasowe wektorów indukcji są definicyjnie równe zeru D/ t = B/ t 0. Równania Maxwella rozprzęgają się do dwóch niezależnych układów: W zapisie różniczkowym Magnetostatyka Elektrostatyka B = r H D = r K W zapisie całkowym Magnetostatyka Elektrostatyka B = r H D = r K 2 1

Warunki ciągłości wektorów pola magnetycznego (1) Rozpatrzmy dwa środowiska o przenikalności magnetycznej 1 i 2. Tworzymy zamknięty, prostokątny kontur l przenikający granicę o rozmiarach h i g takich, że h << g. Zauważmy, że S(l) 0. Prawo Ampere a można zapisad jako 1 2 h g y x Całki wzdłuż boków Stąd h mają wartośd pomijalną można przyjąd h dowolnie małe. Jeśli rozmiar g jest na tyle mały, że pole H jest stałe wzdłuż tego boku, to Natężenie pola magnetycznego przy przejściu przez granicę środowisk zachowuje ciągłośd składowej stycznej. 3 Warunki ciągłości wektorów pola magnetycznego (2) Tworzymy obecnie walec o objętości V i powierzchni brzegowej S V przenikający granicę, którego podstawa S ma promieo niewspółmiernie większy od wysokości h. Powierzchnię boczną oznaczamy jako S. 1 2 V u n1 S y u n x Prawo Gauss a można zapisad jako u n2 Całka wzdłuż pobocznicy S ma wartośd pomijalną, ponadto u n1 = _ u n2. Stąd Jeśli rozmiar S jest na tyle mały, że pole B jest stałe na tej powierzchni, to Indukcja pola magnetycznego przy przejściu przez granicę środowisk zachowuje ciągłośd składowej normalnej. 4 2

Zestawienie warunków ciągłości dla pola magnetycznego (1) Najczęstszym przypadkiem granicy środowisk w obliczeniach magnetycznych jest styk obszaru ferromagnetycznego o względnej przenikalności r1=(300 10 000) i niemagnetycznego r2= 1. Niech składowa normalna indukcji na granicy wynosi B n =1 T. Iloraz składowych stycznych jest równy r1 >> 1 B t2 0 r2 = 1 B n B n B t1 H t1 H t2 n t Moduł indukcji, a więc i składowa styczna B t1 jest ograniczona przez indukcję nasycenia B ns 2 T. Stąd wynika W obliczeniach technicznych można więc przyjąd, że wektor indukcji w powietrzu tuż przy granicy jest prostopadły do powierzchni ferromagnetyka. Stwierdzenie to nie jest prawdziwe dla bardzo silnych pól oraz w przypadku występowania prądów wirowych w ferromagnetyku ( B/ t 0). 5 Zestawienie warunków ciągłości dla pola magnetycznego (2) Proporcje pomiędzy składowymi indukcji w ferromagnetyku tuż przy granicy, przez którą wnika pole magnetyczne wynikają z następującego rozumowania: Niech pole 2D indukcji B ma w ferromagnetyku składowe B n i B t1 w pewnym, dostatecznie małym trójkącie o bokach a, b, c zbudowanym jak na rysunku. Warunek bezźródłowości pola indukcji prowadzi do zależności B t2 0 b B n B n B t1 B c a u nc r1 >> 1 u na r2 = 1 n t L wymiar w kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku. Daje to zależnośd która oznacza, że przyjęcie jednorodnego pola indukcji magnetycznej wewnątrz trójkątnego elementu automatycznie spełnia warunek jego bezźródłowości. Ugięcie pola na granicy środowisk jest więc wywołane innymi czynnikami niż nieciągłośd własności materiałowych. 6 3

Wyznaczanie elementarnych pól magnetycznych pole okrągłego przewodu wiodącego prąd Dany jest długi, okrągły przewód miedziany o przekroju S wiodący prąd stały o natężeniu I. Wyznaczyd rozkład pola magnetycznego H w jego otoczeniu przyjmując, że H z =0. Kołowy kontur l o promieniu r pełni dwie funkcje: jest brzegiem otwartej powierzchni S( l ); jest śladem cylindrycznej pobocznicy walca S b o podstawie S. Badany obiekt jest osiowo symetryczny, więc w układzie współrzędnych cylindrycznych (r, ) natężenie pola H jest wyłącznie funkcją promienia. Lewa strona prawa Ampere a dla konturu l jest w postaci Prawa strona prawa Ampere a jest równa Stosując z kolei twierdzenie Gauss a dla powierzchni walca mamy Stąd y x S( l ); r I S b ( l ); l l r P Ostatecznie otrzymuje się 7 Wyznaczanie elementarnych pól magnetycznych pole dwóch przewodów wiodących prąd zasada superpozycji Dane są dwa długie, okrągłe przewody miedziane o przekrojach S 1, S 2 wiodące prąd stały o natężeniu, odpowiednio I 1, I 2. Wyznaczyd rozkład pola magnetycznego H w ich otoczeniu przyjmując, że H z =0. Zasada superpozycji Rozwiązania częściowe są znane w lokalnych układach współrzędnych (r 1, 1) i (r 2, 2). Wypadkowe pole otrzymujemy transformując przyczynki do globalnego układu współrzędnych (x, y) i sumując je. y x I 2 > 0 r 2 H 1 r 1 P I 1 > 0 Pole wektorowe pochodzące od kilku wymuszeo w obszarze o stałych własnościach materiałowych jest równe wektorowej sumie przyczynków, jakie wytwarza każde z tych wymuszeo oddzielnie. W zależności od lokalnego kierunku wektora gęstości prądu J, wartości I 1, I 2 mogą byd dodatnie lub ujemne. H H 2 8 4

Prawo Biota Savarta Uogólnieniem prowadzonych rozważao jest prawo Biota Savarta, które pozwala na określenie natężenia pola magnetycznego w wybranym punkcie dla dowolnej geometrii obwodu wymuszającego pole. H r i u l Elementarny odcinek przewodu wiodącego prąd o natężeniu i wytwarza przyczynek H wypadkowego natężenia pola magnetycznego w danym punkcie określonym przez wektor r Całkowite pole wynosi więc 9 Pole magnetyczne pojedynczego zwoju Rozpatrujemy pole magnetyczne wytworzone przez pojedynczy, kołowy zwój o promieniu r 0, usytuowany w płaszczyźnie 0xy i wiodący prąd i. W dowolnym punkcie P o współrzędnych *0, 0, a] (położonym na osi symetrii zwoju) natężenie pola magnetycznego H(P) ma wyłącznie składową H z. Wartośd przyczynku H z (P) wytworzonego przez dwa wycinki zwoju o długości l wznosi - i l r 0 y x + i l /2 a P H + H_ H z Na podstawie prawa Biota + Savarta wyznaczamy moduły przyczynków H + = H - co daje Pole wytworzone przez cały zwój jest więc równe 10 5

a z 2008-11-14 Pole magnetyczne N-zwojnej cewki (1) Poszukiwany jest rozkład pola magnetycznego H wzdłuż osi symetrii 0z N-zwojnej cewki o promieniu r 0 i długości L wiodącej prąd o natężeniu i. Ze względu na symetrię można rozpatrywad połowę długości cewki. Rzeczywisty, dyskretny rozkład prądu w cewce zastępujemy ciągłym o gęstości liniowej Płaszczyzna symetrii r 0 0 L z 0 P z 1 2 r Oznacza to, że elementarny liniowy wycinek cewki o współrzędnej z i długości z wiedzie prąd Wycinek ten wytwarza w punkcie P pole magnetyczne co wynika z zależności H r 0 r z Całkowite pole H jest równe P r 11 Pole magnetyczne N-zwojnej cewki (2) Otrzymane rozwiązanie pola H w osi cewki należy uzupełnid o wyrażenia na funkcje trygonometryczne Uzyskuje się Rozkład natężenia pola magnetycznego wzdłuż osi symetrii cewki H z Równomiernośd natężenia pola magnetycznego H z w przekroju poprzecznym cewki -0.5 L 0 0.5 L z Izolinie pola magnetycznego 12 6

Zakres stosowalności prawa Biota - Savarta Wzór Biota Savarta został wyprowadzony z I prawa Maxwell a (rot H = J). Jeżeli w całym badanym obszarze przenikalnośd magnetyczna jest stała, to automatycznie są spełnione warunki ciągłości pola dla dowolnej powierzchni mamy ciągłośd zarówno składowych stycznych jak i normalnych pól H i B. Jeżeli w rozpatrywanym obszarze występują różne materiały, to wzór ten nie może byd stosowany, ponieważ jest wymagana nieciągłośd składowych normalnych H oraz stycznych B. H t1 =H t2 B t1 / r1 = B t2 / r2 B n1 =B n2 r1 H n1 = r2h n2 Należy wprowadzid do równania różniczkowego opisującego pole magnetyczne jednocześnie wymagania rot H = J div B = 0 B= 0 r H 13 Wpływ obecności ferromagnetyka na przestrzenny rozkład wektorów pola magnetycznego bez rdzenia rdzeo r=10 4 rdzeo stalowy H [A/m] B [T] 14 7

4.2. Potencjały magnetyczne 15 Magnetyczny potencjał wektorowy Pojęcie magnetycznego potencjału wektorowego A wprowadza się definiując pole indukcji magnetycznej B jako Definicja ta spełnia automatycznie warunek bezźródłowości pola indukcji, ponieważ Zakładając, że przenikalnośd magnetyczna r jest obszarami stała, otrzymuje się Definicja pola B = rot A nie jest jednoznaczna, ze względu na tożsamośd (pole A jest określone z dokładnością do gradientu dowolnej różniczkowalnej funkcji skalarnej ) W zależności od zagadnienia wprowadza się więc dodatkowo tzw. warunek skalowania. Dla pola magnetostatycznego jest to co prowadzi do układu trzech równao różniczkowych cząstkowych (Poissona) 16 8

Magnetyczny potencjał skalarny Pojęcie magnetycznego potencjału skalarnego V wprowadza się definiując natężenie pola magnetycznego H jako Pole magnetyczne określone w ten sposób nie może opisad pola wewnątrz przewodników wiodących prąd, ponieważ Zakładając, że przenikalnośd magnetyczna r jest obszarami stała, otrzymuje się co prowadzi do równania różniczkowego cząstkowego (Laplace a) Uwzględnienie wymuszenia prądowego (bądź obecności magnesów trwałych) otrzymuje się prowadzając elektryczny potencjał wektorowy T, który spełnia zależnośd J = rot T. Całkowite natężenie pola magnetycznego H c jest sumą H c = - grad V + T Równanie różniczkowe cząstkowe opisujące pole magnetyczne wynika z warunku bezźródłowości div B = 0 Równanie to jest powszechnie stosowane w obliczeniach trójwymiarowych pól. 17 Dwuwymiarowe pole magnetyczne Jeżeli w prawie całej objętości badanego obiektu, gęstośd prądu J ma tylko jedną składową, np. J = u z J z (x,y), to I równanie Maxwell a zapisane przy pomocy potencjału wektorowego ma postad Jest to równanie cząstkowe drugiego rzędu (eliptyczne), do którego rozwiązania jest potrzebna znajomośd własności pola potencjału na brzegu analizowanej objętości S(V). Wyróżniamy trzy rodzaje warunków brzegowych: 1. Warunek typu Dirichleta : A z (x,y S D ) = D(x,y). Najczęściej D(x,y)=0. Warunek ten musi wystąpid przynajmniej na części brzegu S(V). 2. Warunek typu Neumanna : A z (x,y S N )/ n = N(x,y). Najczęściej N(x,y)=0. 3. Warunek periodyczności : A z (x,y S P1 ) = ± A z (x,y S P2 ) = 18 9

Fizyczna interpretacja warunków brzegowych dla pól 2D Na zewnętrznej powierzchni tworzymy lokalny układ współrzędnych (0ns). Wektor indukcji B (o składowej B z =0) w tym układzie oblicza się jako y S B s B s n B n Warunek typu Dirichleta : A z (x,y co daje S D ) = D(x,y) = const. czyli pole indukcji na brzegu S(V) ma wyłącznie składową styczną x Warunek typu Neumanna: czyli pole indukcji na brzegu S(V) ma wyłącznie składową normalną 19 Przykłady zastosowania warunków brzegowych 2D jednorodny Dirichleta 1. W dostatecznie dużej odległości d > r od badanego obiektu indukcja magnetyczna jest pomijalna: B(d)= 0 ponieważ B n (r) = 0. r n d A z =0 2. Na zewnątrz zamkniętego, ferromagnetycznego obwodu indukcja magnetyczna jest pomijalna: z warunku ciągłości składowych stycznych natężenia pola magnetycznego H s0 =H sfe wynika B s0 =B sfe / r s n A z =0 W obydwu przypadkach narzucenie warunku brzegowego wprowadza pewien błąd do wynikowych obliczeo! 20 10

Przykłady zastosowania warunków brzegowych 2D jednorodny Neumanna A z =0 Wyznaczenie pola rozproszenia w żłobku maszyny elektrycznej Pole indukcji magnetycznej na powierzchni ferromagnetyka nie ma składowej stycznej B s = n A z =0. Warunek jednorodny Dirichleta A z =0 w otwarciu żłobka jest niezbędny do poprawnego postawienia zadania obliczeniowego. Wprowadzenie warunku na z =0 pomija spadek napięcia magnetycznego H Fe l Fe w rdzeniu! I u l na z =0 21 Przykłady zastosowania warunków brzegowych 2D wykorzystanie symetrii obiektu 1. Jeżeli badany obiekt posiada płaszczyznę symetrii jednocześnie: geometryczną, materiałową oraz wymuszeo pola magnetycznego, to na płaszczyźnie tej pole indukcji magnetycznej ma wyłącznie składową normalną. Oznacza to, że B s = n A z = 0. 2. Jeżeli badany obiekt posiada płaszczyznę symetrii geometrycznej i materiałowej będącą jednocześnie płaszczyzną antysymetrii wymuszeo pola magnetycznego, to na płaszczyźnie tej pole indukcji magnetycznej ma wyłącznie składową styczną. Oznacza to: A z = const dla punktów leżących na tej płaszczyźnie. na z = 0 A z = 0 +I -I * +I -I * A z =const 3. Model obliczeniowy redukuje się do postaci +I/2 * -I/2 na z = 0 A z = 0 22 11

Warunki brzegowe periodyczności 1 r 1 W maszynach elektrycznych wirujących rozkład pola magnetycznego jest p-okresowy (na rys. p=2). Oznacza to, że w układzie współrzędnych cylindrycznych r wektor indukcji magnetycznej B(r, ) jest taki sam jak B(r, p). Uzyskuje się: A z (r, ) = A z (r, p) lub dla dwu układów współrzędnych r 1 r 2 przesuniętych o kąt p i dowolnie usytuowanych w przestrzeni mamy A z (r 1, ) = A z (r 2, ). Rozmiar modelu obliczeniowego redukuje się 1/p razy. B S N r 2 N 2 S B 23 Warunki brzegowe anty-periodyczności W maszynach elektrycznych wirujących rozkład pola magnetycznego jest p-okresowy (na rys. p=2). oraz najczęściej o odwrotnej zgodności półokresów. Oznacza to, że w układzie współrzędnych cylindrycznych r wektor indukcji magnetycznej B(r, ) jest taki sam jak B(r, p) a ponadto B(r, )=- B(r, p). Uzyskuje się więc : A z (r, ) = -A z (r, p) lub dla dwu układów współrzędnych r 1 r 2 przesuniętych o kąt p i dowolnie usytuowanych w przestrzeni mamy A z (r 1, ) = - A z (r 2, ). r 2 2 B S 1 N r 1 N S Rozmiar modelu obliczeniowego redukuje się 1/2p razy. B Warunki brzegowe periodyczności (anty-periodyczności) stosuje się przy wyznaczaniu pola magnetycznego w stanie obciążenia maszyny. 24 12

L 2008-11-14 Wyznaczenie strumienia skojarzonego z cewką (1) Dane jest płaskie pole indukcji B i związane z nim zależnością B = A pole magnetycznego potencjału wektorowego A = u z A. Poszukiwany jest strumieo skojarzony z cewką o N zwojach i przekroju S wytyczonym przez jej kontur l(s). A z n v l(s) Strumieo skojarzony z cewką jest określony wzorem w lokalnym układzie współrzędnych 0vnz z y B x Stosując twierdzenie Stokes a mamy 25 Wyznaczenie strumienia skojarzonego z cewką (2) Potencjał wektorowy ma tylko składową Az, dlatego iloczyny skalarne A, u l mają wartośd niezerową wyłącznie na bokach równoległych do osi 0z. M u l z v Wartośd potencjału nie zależy od współrzędnej z, stąd P Q Strumieo magnetyczny skojarzony z cewką jest proporcjonalny do różnicy wartości magnetycznego potencjału wektorowego w punktach, w których boki cewki przecinają płaszczyznę linii pola (dotyczy płaskiego pola indukcji magnetycznej). 26 13

4.3. Pole magnetyczne quasi-statyczne 27 Definicja quasi-statyczności pola Pole magnetyczne nazywamy quasi-statycznym, jeżeli rozkład przestrzenny pola magnetycznego w danej chwili czasowej t k wywołany przez układ zmiennych w czasie prądów elektrycznych *I 1 (t), I 2 (t),... I M (t)+ jest taki sam jak rozkład przestrzenny pola wytworzony przez układ prądów stałych w czasie *I 1 =I 1 (t k ), I 2 =I 2 (t k ),..., I M =I M (t k )]. I 1 I 2 (t k ) t t k I 2 t I 1 (t k ) H 2 H 1 Warunkiem pozwalającym na powyższe założenie jest, przy danej częstotliwości wymuszenia, odpowiednio mały przekrój przewodników wiodących prąd. Dla 50 Hz przekrój ten jest rzędu kilku mm 2 - dla miedzi bądź aluminium. 28 14

II prawo Maxwell a dla pól quasi-statycznych (1) W zapisie różniczkowym II prawo Maxwell a jest w postaci Całkując po wybranej powierzchni S(l) np. pojedynczego lub serii zwojów i stosując twierdzenie Stokes a otrzymuje się i(t) u l B u(t) Natężenie pola elektrycznego K jest związane z wektorem gęstości prądu J poprzez konduktywnośd Zakładając równomierną gęstośd prądu w przekroju S d przewodnika (warunek quasi-statyczności pola) mamy u napięcie w odbiornikowym systemie oznaczeo 29 II prawo Maxwell a dla pól quasi-statycznych (2) Oznaczając formalnie strumieo skojarzony jako sumę strumienia zewnętrznego z oraz strumienia i wytworzonego przez wartośd chwilową prądu i(t) obwodu Współczynnik L nazywa się indukcyjnością statyczną obwodu Łącząc powyższe zależności otrzymuje się II prawo Kirchoffa (w zapisie odbiornikowym) W układach zawierających elementy ferromagnetyczne na drodze strumienia magnetycznego L=f(i). Zachodzi wówczas L=tg i 30 15

4.4. Siły i energia w polu magnetycznym 31 Podstawowe zależności dla sił magnetycznych (1) 1. Siła Lorentz a. Na elementarną objętośd V= l S d, przez którą przepływa prąd o gęstości J, umieszczoną w polu magnetycznym o indukcji B działa siła F o objętościowej gęstości f Wersory u l oraz u ns są współliniowe z J. S d l J B F 32 16

Podstawowe zależności dla sił magnetycznych (2) 2. Naprężenia Maxwell a. Na elementarną powierzchnię S rozgraniczającą środowiska o przenikalnościach magnetycznych 1, 2, na której występuje pole magnetyczne o indukcji B i natężeniu H, działa siła F S o powierzchniowej gęstości f S 1 2 u n1 T n1 T n2 Składniki T ni (i=1,2) nazywane są naprężeniami normalnymi Maxwell a i są równe F S Jeżeli 1= 0 r ( r ) oraz 2= 0 to siła F S wynosi w przybliżeniu 33 Gęstośd energii pola magnetycznego Objętościową gęstością energii pola magnetycznego w m, [J/m 3 +, nazywamy wyrażenie w m równe ilościowo polu powierzchni pomiędzy osią B i charakterystyką magnesowania B(H). H Pomijając zjawisko nasycenia magnetycznego otrzymuje się co oznacza, że gęstośd energii w ferromagnetyku, przy tej samej indukcji, jest wielokrotnie mniejsza niż w powietrzu. 34 17

Powiązanie siły i energii pola magnetycznego Zwora elektromagnesu przesunęła się o pod wpływem sił magnetycznych, które wykonały pracę W i Jeżeli energia układu pozostała bez zmian (brak jej dopływu z sieci), to praca W powstała kosztem zmniejszenia energii pola magnetycznego - W m Dla dowolnie małych przemieszczeo zachodzi więc 35 18