Polish Academy of Sciences

Podobne dokumenty
Grupa izometrii płaszczyzny hiperbolicznej

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 4: Benoit Mandelbrot i inni

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Układy dynamiczne. proseminarium dla studentów III roku matematyki. Michał Krych i Anna Zdunik. rok akad. 2014/15

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

samopodobnym nieskończenie subtelny

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO

Teoria ergodyczna. seminarium monograficzne dla studentów matematyki. dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik. rok akad.

Algebraiczne własności grup klas odwzorowań

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)

Geometria analityczna

Wstęp do układów statycznych

Obliczenia inspirowane Naturą

Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii

TEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska

Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 3W E, 3C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2

Afiniczne krzywe algebraiczne

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Plan prezentacji. Cechy charakterystyczne fraktali Zastosowanie fraktali Wymiar fraktalny D. Iteracyjny system funkcji (IFS)

Układy dynamiczne na miarach. Wykłady

Projekt matematyczny

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2

Twierdzenie Banacha-Tarskiego z punktu widzenia algebraika

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

Geometria Różniczkowa I

Fale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

czyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

Od autorów... 7 Zamiast wstępu zrozumieć symbolikę... 9 Zdania Liczby rzeczywiste i ich zbiory... 15

Równania Pitagorasa i Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu.

In the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Analiza zespolona. 2. KIERUNEK: Matematyka. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: II/4

Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PROPOZYCJA ZASTOSOWANIA WYMIARU PUDEŁKOWEGO DO OCENY ODKSZTAŁCEŃ PRZEBIEGÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Spis treści: 3. Geometrii innych niż euklidesowa.

AUTOREFERAT. 3. Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych:

1 Relacje i odwzorowania

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Fraktale deterministyczne i stochastyczne. Katarzyna Weron Katedra Fizyki Teoretycznej

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)

FRAKTALE. nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę, bądź za pomocą

Elementy teorii powierzchni metali

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I

Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13

Witaj Biologio! Matematyka dla Wydziału Biologii 2015/2016

Spis treści. Księgarnia PWN: Andrzej Ganczar - Analiza zespolona w zadaniach. Wstęp... Oznaczenia... Zadania. 1. Liczby zespolone...

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

Matematyczne Metody Fizyki II

Z czterech wierzchołków w głąb geometrii

Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Paradoksalny rozkład kuli

Witaj Biologio! Matematyka dla Wydziału Biologii 2015/2016

Twierdzenie o liczbach pierwszych i hipoteza Riemanna

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Ciągłość i topologia. Rozdział Ciągłość funkcji wg. Cauchy

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

Topologia I Wykład 4.

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające

Endomorfizmy liniowe

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Strumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Podsumowanie wiadomości o przekształceniach izometrycznych na płaszczyźnie

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Mathematica jako narz dzie badawcze Cz ± pi ta. Fraktale

1. Algebra 2. Analiza Matematyczna. Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Efekt motyla i dziwne atraktory

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

DENJOY DAWNIEJ I DZIŚ P. Walczak, Będlewo 2007

Funkcje elementarne. Matematyka 1

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA

SPIS TREŚCI WSTĘP LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Centralne twierdzenie graniczne

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Transkrypt:

INSTITUTE OF MATHEMATICS Polish Academy of Sciences

INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK LIPIEC 1993 PREPRINT 30. SERIA D FELIKS PRZYTYCKI. JAN SKRZYPCZAK WSTĘP DO TEORII I T E R A C J I WYMIERNYCH NA SFERZE RΙΕΜΑΝΝΑ

INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK ŚNIADECKICH 8 SKR. POCZT. 137 00-950 WARSZAWA http://rcin.org.pl

Spis treści CZĘŚĆ II I Przedmowa i wstęp do Wstępu 1 II Zbiór Julii i jego własności. Przypadek wielomianów 4 1. Zbiór Julii 4 (Podstawowe własności, punkty wyjątkowe, gęstość punktów okresowych) 2. Sprzężenie w okolicy ścieku i basen A dla wielomianów.. 17 (Sprzężenie z λ z lub z k ) 3. Wielomiany stopnia dwa 23 (Spójność J(fc) <=> c Μ) III Składowe uzupełnienia zbioru Julii 30 1. Niestała funkcja graniczna 30 (Sytuacja gdy w zbiorze granicznym dla ciągu funkcji f n \u dla składowej U istnieje funkcja niestała. Składowe osobliwe: dyski Siegela, pierścienie Hermana.) 2. Wszystkie funkcje graniczne są funkcjami stałymi 41 (Składowa okresowa U na której wszystkie funkcje graniczne ciągu f n \u są stałe. Baseny bezpośredniego przyciągania ścieków i punktów neutralnych wymiernych (parabolicznych).) IV Punkty krytyczne 55 1. Punkty krytyczne w składowych okresowych 55 2. Punkty krytyczne w zbiorze Julii. Expanding 59 V Punkty neutralne 66 (Klasyczne oszacowania liczby orbit, okresowych ścieków i punktów neutralnych) VI Podsumowanie 80 iii http://rcin.org.pl

CZĘŚĆ II VII Twierdzenia Sullivana 83 (Nieistnienie składowych błądzących) 1. Homeomorfizmy quasikonforemne i mierzalne struktury konforemne 83 2. Sformułowanie 85 3. Dowód w przypadku (I) 86 4. Dowód w przypadku (II) 89 5. Przestrzenie Teichmullera 98 DODATKI Dodatek 1. Automorfizmy dysku Poincare go: podstawowe definicje Dodatek 2. Dowód Twierdzenia Montela 110 Bibliografia 117 iv http://rcin.org.pl

CZĘŚĆ I I Przedmowa i wstęp do Wstępu Przedstawiony tekst to notatki części cyklu wykładów wygłoszonych przez pierwszego z autorów w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego w roku 1987/1988. Drugi z autorów był wtedy studentem, słuchaczem tych wykładów i on jest głównym redaktorem tego tekstu. Wykład składał się z dwóch części: 1. Ogólnej dotyczącej klasycznej części teorii iteracji funkcji wymiernych z czasów Julii i Fatou oraz zastosowanie teorii przekształceń kwazikonforemnych w Twierdzeniu Dennisa Sullivana o nieistnieniu dziedzin błądządzych i oszacowaniu liczby orbit dziedzin okresowych. 2. Dotyczącej iteracji wielomianów kwadratowych - teorii Douady'ego-Hubbarda geometrii zbiorów Julii i zbioru Mandelbrota. Przedstawiony tekst dotyczy tylko części 1, i to też z dużymi lukami. W ostatnich latach pojawiło sie kilka nowych podręcznikowych tekstów dotyczących podstaw teorii iteracji funkcji wymiernych [Beardon, Carleson, Milnor]. Uznaliśmy jednak, że nasz tekst mimo już paroletniego leżenia na półce nadal może jeszcze być pożyteczny nawet w formie niekompletnej i postanowiliśmy go udostępnić czytelnikom w postaci tego skryptu. W teorii iteracji funkcji wymiernych klasyfikuje się punkty sfery Riemanna C w zależności od zachowania się ich trajektorii. Jeśli f oznacza przekształcenie wymierne (iloraz dwóch wielomianów) to chodzi o trajektorie w przód z, f(z), f 2 (z),... gdzie f n oznacza złożenie η razy przekształcenia /: f n = f o f o f o... o f. Popularnym obiektem badań jest 1 http://rcin.org.pl

2 http://rcin.org.pl zbiór Julii: J(f) := { z C dla każdego otoczenia U punktu z ciąg iteracji f n \u nie jest normalny w sensie Montela} Podstawy tej teorii stworzyli na początku XX wieku matematycy francuscy Gaston Julia i Pierre Fatou. Jednak do lat 70-tych teoria ta była mało znana i uważana za nudną. Za to w ciągu ostatnich 15 lat uzyskano wiele pięknych rysunków zbiorów Julii przy użyciu komputerów. Dzięki temu między innymi stara teoria odżyła i dokonano w niej dużych postępów. Na ogół zbiór Julii ma niezwykły "fraktalny" kształt: jego wymiar Hausdorffa jest większy niż wymiar topologiczny jego dowolnie małe fragmenty są podobne do dużych (własność samopodobieństwa). Innym popularnym zbiorem, tym razem w zbiorze parametrów jest tzw. zbiór Mandelbrota M. Oznaczmy fc(z) = z 2 + c. Definiujemy Μ = {c Ć : f n c (0) } Z tym zbiorem związanych jest wiele nadal nie rozwiązanych problemów, na przykład nie wiadomo czy miara Lebesgue'a w wymiarze 2 brzegu Μ jest dodatnia czy nie i nie wiadomo czy ten brzeg jest lokalnie spójny. Ciekawe, że dla wielu parametrów zbiór Julii dla fc jest podobny do zbioru Mandelbrota w otoczeniu tego parametru c.

Rysunek z książki H.-O. Peitgen, Ρ. H. Richter The Beauty of Fractals". 3 http://rcin.org.pl

II Zbiór Julii i jego własności. Przypadek wielomianów http://rcin.org.pl

III Składowe spójności uzupełnienia zbioru Julii http://rcin.org.pl

IV Punkty krytyczne http://rcin.org.pl

V Punkty neutralne http://rcin.org.pl

VI Podsumowanie http://rcin.org.pl

CZĘŚĆ II VII Twierdzenie Sullivana

DODATKI Dodatek 1. Automorfizmy dysku Poincare'go: podstawowe definicje. Sfera Riemanna C to płaszczyzna zespolona C uzupełniona punktem w oo ze strukturą holomorficzną daną przez mapy hi, h2 : C C, h\(z) = z,h.2(z) = l/z. Standardowa metryka Riemanna na C to przeniesiona przez hi, i = 1,2 metryka euklidesowa na C podzielona przez funkcję (1 -I- \z\ 2 ) 2 to znaczy dla v, w Ε TzC (υ, w) = (Re(v) Re(w) + Im(v) Im(u/))/(l + \z\ 2 ) 2 (h2 oh~ l jest izometrią w tej metryce.) Grupą Móbiusa nazywamy grupę wszystkich przekształceń sfery Riemanna generowanych przez inwersje względem okręgów i symetrie względem prostych w C. Oznaczmy ją przez Moeb2. Grupę wszystkich elementów Moeb2 zachowujących orientację będziemy oznaczać przez Moeb^. Można sprawdzić, że Moebt = izh az ^ a,6,c,d 6 C, ad - bc φ ()} L cz + d J Te przekształcenia stanowią grupę wszystkich holomorficznych automorfizmów C. Nazywa się je homografiami. Można teraz wyróżnić w Moeb2 i MoebJ podgrupy A i odpowiednio A + elementów zachowujących dysk jednostkowy D = {z C : z < 1}. Są to odpowiednio wszystkie przekształcenia będące złożeniami inwersji względem okręgów prostopadłych do okręgu jednostkowego <9D = { z = 1} lub hoinografie postaci Λ, a < 1, λ = 1, tak zwane przekształcenia Blaschke. Są to dokładnie wszystkie konforemne, odpowiednio holomorficzne, automorfizmy D.

Dodatek 2. Dowód Twierdzenia Montela. http://rcin.org.pl

Bibliografia. [Be] A. Beardon, It.eration of Rational Functions. Graduate Texts in Math. 132, Springer-Verlag 1991. [BI] P. Blanchard, Complex analytic dynamics on the Riemann sphere. Bull. Amer. Math. Soc. 11, (1984), 85-141. [Ca] C. Camacho, On the local structure of conformal mappings and holomorphic vector fields. Asterisąue 59-60 (1978), 83-94. [C] L. Carleson, preprint [L] M. Lyubich, The dynamics of rational transformatios: the topological picture. Russian Math. Surveys 41.4 (1986), 43-117. Uspehi Mat Nauk 41.4 (1986), 35-95. [M] J. Milnor, Dynamics in one complex variable, Preprint 1990/#5, Institute for Mathematical Sciences, SUNY at Stony Brook 117