Podsumowanie wiadomości o przekształceniach izometrycznych na płaszczyźnie

Transkrypt

1 Podsumowanie wiadomości o przekształceniach izometrycznych na płaszczyźnie 1. Cele lekcji a) Wiadomości 1. Utrwalenie wiadomości o przekształceniach izometrycznych. b) Umiejętności 1. Uczeń potrafi zastąpić każde z przekształceń izometrycznych odpowiednią liczbą symetrii osiowych o odpowiednich osiach. 2. Uczeń potrafi rozpoznawać wynik złożenia dwóch przekształceń izometrycznych, posługując się sporządzoną charakterystyką oraz doświadczeniem empirycznym przeprowadzonym za pomocą komputera. 3. Ćwiczenie umiejętności pracy z tekstem matematycznym. 4. Ćwiczenie umiejętności pracy w grupie. 2. Metoda i forma pracy Praca indywidualna, praca w grupach. 3. Środki dydaktyczne 1. Komputer z rzutnikiem multimedialnym. 2. Zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego. 4. Przebieg lekcji Na początku uczniowie zbierają wcześniej zdobyte wiadomości na temat przekształceń izometrycznych w formie następującej tabelki: tria osiow a tria środk owa Definicja Punkty stałe Nieskończenie wiele cała prosta Jeden Charakterystyka odcinków XX Równoległe do siebie, prostopadłe do prostej, która jest symetralną każdego z nich, dowolnej długości Punkt stały jest środkiem każdego odcinka, dowolnej długości Ciekawe własności (np. obraz prostej) Uwagi Jedna symetria osiowa prostopadłych

2 Tran slacja Obró t tria z pośliz giem Brak Jeden Brak Równoległe do siebie, tej samem długości Dowolnej długości, symetralne przecinają się w środku obrotu Różnej długości, najmniejsza to długość wektora, dana prosta przechodzi przez środki równoległych przecinających się Złożenie trzech : dwie osie równoległe i jedna prostopadła do nich Prze kszta łcenie tożsa mości owe Nieskończenie wiele cała płaszczyzna Zawsze to punkt pokrywających się Uczniowie wypełniają tabelkę, prócz ostatniej kolumny Uwagi. Nauczyciel stawia przed uczniami problem: Zbadajmy, jakim przekształceniem będzie złożenie dwóch. Korzystamy z programu CABRI 1. Rozważamy następujące przypadki: osie równoległe pokrywające się, osie równoległe rozłączne, osie przecinające się pod kątem prostym, osie przecinające się pod dowolnym kątem. Praca nad każdym z przypadków wygląda następująco: obieramy odpowiednio dwie proste, wykonujemy złożenie, chowamy (na komputerze) wszystkie elementy pozostawiając jedynie punkt X i jego ostateczny obraz w złożeniu X ; tworzymy odcinek XX ; zmieniając położenie punktu X obserwujemy wygląd i własności odcinków XX ; staramy się dopasować rysopis odcinków XX do wcześniej przygotowanych (przy realizacji przekształceń izometrycznych). W wyniku takiej pracy otrzymujemy następujące hipotezy: Złożeniem dwóch pokrywających się jest przekształcenie tożsamościowe. Złożeniem dwóch równoległych rozłącznych jest translacja (wektor przesunięcia jest prostopadły do prostych, dwa razy dłuższy niż odległość między równoległymi prostymi).

3 Złożeniem dwóch przecinających się pod kątem prostym jest symetria środkowa (środek symetrii to wspólny punkt obu prostych). Złożeniem dwóch przecinających się jest obrót wokół wspólnego punktu obu prostych o kąt o mierze dwukrotnie większej niż kąt pomiędzy przecinającymi się prostymi. Po tym eksperymencie (wykonanym na komputerze) uczący nadaje postawionym hipotezom sens matematyczny oznajmiając, że są to w matematyce twierdzenia. Ponadto wskazuje (poprzez prezentację komputerową w CABRI 1), że sens twierdzeń można wzmocnić, np. prostopadłych to symetria środkowa i na odwrót: każdą symetrię środkową można zastąpić złożeniem dwóch prostopadłych przechodzących przez środek symetrii środkowej. Analogiczne twierdzenia zostają sformułowane (dotyczą translacji, obrotu, przekształcenia tożsamościowego). Po tym fragmencie lekcji uczniowie uzupełniają tabelkę w kolumnie Uwagi o informacje dotyczącą rozkładu przekształcenia na złożenie ten wynik jest traktowany jedynie jako rezultat pracy z komputerem, a więc doświadczenia empirycznego. Ćwiczenie: Uczniowie wybierają dwa dowolne przekształcenia, przy pomocy komputera (CABRI 1) wykonujemy wskazane złożenie i na podstawie własności odcinków XX wskazujemy wynik złożenia. Celem tego ćwiczenia empirycznego jest próba ukazania, że na płaszczyźnie jest dokładnie sześć przekształceń izometrycznych (zgodnych z przyjętym nazewnictwem) oraz wskazania, co to oznacza (każde złożenie jest jednym z tych sześciu przekształceń). 1. Złożenie obrotu i translacji (wynik: symetria z poślizgiem):

4 2. Złożenie symetrii z poślizgiem oraz symetrii osiowej (wynik: obrót): 5. Bibliografia 1. Konior J., Repetytorium z CABRI, część II, [w:] Matematyka i Komputery nr 11, 2002, s Pająk W., Badanie przekształceń geometrycznych, [w:] Nauczyciele i Matematyka nr 8, 1993, s Pająk W., CABRI i przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie, VULCAN, Wrocław Pawlak R i H., Rychlewicz A i A., Żylak K., Matematyka krok po kroku. Podręcznik dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź Pawlak R i H., Rychlewicz A i A, Żylak K., Matematyka krok po kroku. Zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź Załączniki a) Zadanie domowe 1. Wykonanie kilku złożeń i zbadanie ich wyniku. 2. Kilka zadań ze zbioru zadań: strona 181.

5 7. Czas trwania lekcji 1 godzina lekcyjna 8. Uwagi do scenariusza brak