Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wkład 5
. Proces AR 2. Proces MA 3. Modele ARMA 4. Prognozowanie za pomocą modelu ARMA 2
. Proces AR 2. Proces MA 3. Modele ARMA 4. Prognozowanie za pomocą modelu ARMA 3
Proces auoregresjn (auoregressive) rzędu p: AR(p) gdzie jes białm szumem. Przkładowo AR(): 4 p p... 2 2
. Proces AR 2. Proces MA 3. Modele ARMA 4. Prognozowanie za pomocą modelu ARMA 5
Proces średniej ruchomej (moving average) rzędu q: MA(q) gdzie jes białm szumem. Przkładowo MA(): 6 q q... 2 2
. Proces AR 2. Proces MA 3. Model ARMA 4. Prognozowanie za pomocą modelu ARMA 7
Modele auoregresjne ze średnią ruchomą (auoregressive moving average) ARMA(p,q): dla 8 q q p p...... 2 2 2 2 0 ), ( ) ( 0 ) ( 2 s Cov Var E s
Modele auoregresjne ze średnią ruchomą ARMA(p,q) nie są opare na eorii ekonomicznej są o modele aeoreczne. W przpadku ch modeli analizowane są włącznie własności sasczne danego szeregu czasowego. Modele e są użecznm narzędziem prognoscznm. 9
Modele e są szacowane za pomocą Meod Największej Wiargodności (MNW) lub Nieliniowej Meod Najmniejszch Kwadraów (NMNK). 0
San równowagi długookresowej w modelu ARMA(p,q): 0 ) (... ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( * q p E E E E E E
San równowagi długookresowej w modelu ARMA(p,q): 2 p p p... )... (... * * * * *
Model ARIMA(p,d,q) o odpowiednik modelu ARMA (p,q) dla zmiennej niesacjonarnej. d określa sopień zinegrowania zmiennej. ARIMA(p,0,q) o inaczej ARMA(p,q). 3 q q p d p d d d...... 2 2 2 2
Idenfikacja rzędów p i q: a) Funkcje ACF i PACF; b) meoda od ogólnego do szczególnego; c) kreria informacjne. 4
Funkcja auokorelacji (Auocorrelaion Funcion) o współcznnik korelacji międz dwoma realizacjami oddalonmi w czasie o k okresów. k (, Cov Var ( ) k ) [,] 5
Funkcja auokorelacji cząskowej (Parial Auocorrelaion Funcion) mierz korelację międz obserwacjami oddalonmi od siebie o k okresów bez uwzględnienia wpłwu k, k 2,..., Funkcja a jes równa wesmowanemu współcznnikowi w modelu auoregresjnm k ego rzędu: k... k k 6
ACF dla białego szumu 7
PACF dla białego szumu 8
ACF i PACF dla białego szumu 9
- 0-0 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor] ------------------------------------------------------------------------------- 0.0083 0.0083.3868 0.2389 2 0.0048 0.0047.8458 0.3974 3-0.009-0.0020.994 0.5893 4-0.0027-0.0027 2.068 0.7233 5-0.0094-0.0093 3.828 0.5744 6 0.0048 0.0050 4.294 0.6373 7-0.0039-0.0039 4.599 0.7088 8-0.0033-0.0034 4.823 0.7763 9 0.0050 0.0050 5.386 0.8057 0-0.020-0.022 8.229 0.608 20
ACF dla AR() gd 2
PACF dla AR() gd 22
ACF i PACF dla AR() gd 23
- 0-0 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor] ------------------------------------------------------------------------------- 0.8668 0.8683 753.52 0.0000 ------ ------ 2 0.7536 0.04 323.6 0.0000 ------ 3 0.6538-0.002 753.2 0.0000 ----- 4 0.5624-0.022 207.4 0.0000 ---- 5 0.492 0.0349 235.3 0.0000 --- 6 0.4400 0.049 250.5 0.0000 --- 7 0.3974 0.029 2669.9 0.0000 --- 8 0.359-0.0275 2795 0.0000 -- 9 0.378 0.0228 2897. 0.0000 -- 0 0.293 0.0307 2984. 0.0000 -- 24
ACF dla AR(2) 25
PACF dla AR(2) 26
ACF i PACF dla AR(2) 27
- 0-0 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor] ------------------------------------------------------------------------------- 0.6258 0.6258 397.8 0.0000 ----- ----- 2 0.525 0.235 6638.5 0.0000 ---- - 3 0.3926 0.0039 880.3 0.0000 --- 4 0.306 0.0008 97.6 0.0000 -- 5 0.244 0.046 974. 0.0000-6 0.90 0.0007 0079 0.0000-7 0.483-0.0046 0299 0.0000-8 0.66 0.00 0436 0.0000 9 0.0897-0.0020 056 0.0000 0 0.0792 0.058 0579 0.0000 28
ACF dla MA() 29
PACF dla MA() 30
ACF i PACF dla MA() 3
ACF dla MA(2) 32
PACF dla MA(2) 33
ACF i PACF dla MA(2) 34
ACF dla błądzenia przpadkowego 35
PACF dla błądzenia przpadkowego 36
ACF i PACF dla błądzenia przpadkowego 37
- 0-0 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor] ------------------------------------------------------------------------------- 0.994 0.9975 99.9 0.0000 ------- ------- 2 0.9884 0.0369 972 0.0000 ------- 3 0.9829 0.0208 2943 0.0000 ------- 4 0.977 0.0006 3903.5 0.0000 ------- 5 0.977 0.0528 4854.3 0.0000 ------- 6 0.9664 0.0503 5795.8 0.0000 ------- 7 0.964 0.0228 6728.5 0.0000 ------- 8 0.9562-0.0262 7652 0.0000 ------- 9 0.9508 0.0242 8566 0.0000 ------- 0 0.9456 0.0264 9470.9 0.0000 ------- 38
AR(p) MA(q) ARMA(p,q) ACF Funkcja ACF wgasa do 0 Dla ACF isonch jes q pierwszch opóźnień Dla ACF isonch jes q pierwszch opóźnień i wgasa ona do 0 PACF Dla PACF isonch jes p pierwszch opóźnień Funkcja PACF wgasa do 0 Dla PACF isonch jes p pierwszch opóźnień i wgasa ona do 0. 39
Uwaga: w przpadku zmiennej niesacjonarnej funkcja ACF nie wgasa a warości ej funkcji pozosają duże. 40
Idenfikacja: meoda od ogólnego do szczególnego. Idenfikacja: kreria informacjne. 4
Esmacja Diagnoska: esowanie cz resz z modelu są białm szumem. Wkorzsujem do ego es Ljunga-Boxa: Q T m 2 k 2 ( T 2) ~ m k T k Hipoeza zerowa: resz są białm szumem. 42
. Proces AR 2. Proces MA 3. Model ARMA 4. Prognozowanie za pomocą modelu ARMA 43
T o osani okres, dla kórego mam obserwacje w próbce. Po oszacowaniu paramerów można sformułować prognozę: 44...... q T q T T p T p T T 2 2...... q T q T T p T p T T T e e e 2 2 2 2...... q T q T p T p T T e e
W en sposób możem rekurencjnie uzskać prognozę T s Jednak prognozowanie dla dłuższego horzonu czasowego w przpadku modeli ARMA(p,q) nie ma sensu ponieważ prognoz zbiegają do równowagi długookresowej. Sensowne jes prognozowanie na max{p,q} okresów. 45
. Podać ogólną posać modelu ARMA(p,q). 2. Jaką hipoezę badam za pomocą esu Ljunga-Boxa? 3. Wjaśnić w jaki sposób worzone są prognoz za pomocą modelu ARMA(p,q). 4. Wjaśnić w jaki sposób użwa się funkcji ACF i PACF do usalania paramerów p i q w modelu ARMA(p,q).
Dziękuję za uwagę 47