. 4. DOŚWIADCZENIA WIELOETAPOWE Drzewem stochastycznym nazywamy graf ilustrujący przebieg wieloetapowego doświadczenia losowego. Wierzchołkom drzewa stochastycznego przyporządkowane są wyniki poszczególnych etapów doświadczenia, a krawędziom prawdopodobieństwa uzyskania tych wyników. Suma prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom wychodzącym z tego samego wierzchołka jest równa. Przykład drzewa doświadczenia dwuetapowego Początek drzewa B, B dwa moŝliwe wyniki w pierwszym etapie doświadczenia p gałąź drzewa A, A dwa moŝliwe wyniki w drugim etapie doświadczenia krawędź p p - prawdopodobieństwo otrzymania wyniku B w pierwszym etapie p - prawdopodobieństwo otrzymania wyniku B w pierwszym etapie B B q, q - prawdopodobieństwo warunkowe otrzymania wyniku A w drugim etapie q q q q 4 q, q4 - prawdopodobieństwo warunkowe otrzymania wyniku A w A A A A p + p 0 q + q 0 q + q 0 4 drugim etapie Gałąź drzewa stochastycznego ciąg krawędzi prowadzących od początku drzewa do jednego z ostatnich jego wierzchołków. Reguła iloczynów: Prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez jedną gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom, z których składa się rozwaŝana gałąź. Reguła sum : Prawdopodobieństwo danego zdarzenia opisanego przez kilka gałęzi jest równe sumie prawdopodobieństw otrzymanych regułą iloczynów dla tych gałęzi. Przykład.4.. W urnie I są kule białe i czarne, W urnie II jest kula biała i czarne. Rzucamy monetą. Jeśli wypadnie orzeł to losujemy jedną kulę z urny I, jeśli reszkę to z urny II. a) Oblicz prawdopodobieństwa wszystkich wyników doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Rozwiązanie Pierwszy etap doświadczenia polega na rzucie monetą. Prawdopodobieństwo, Ŝe wypadnie orzeł ( O) Prawdopodobieństwo, Ŝe wypadnie reszka ( R) a) P ( O, 5 0 P ( O, C) 5 0 P ( R, 6 P ( R, C) 6 9 5 P ( A) P( O, R, + + 0 6 0 0 4 0 Drugi etap doświadczenia polega na wylosowaniu kuli. Jeśli wyrzuciliśmy orła, to losujemy kulę z urny I, w której są kule białe i czarne. Zatem prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej P ( 5 oraz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej ( C) 5 Jeśli wyrzuciliśmy reszkę, to losujemy kulę z urny II, w której są kule białe i czarne. Zatem prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej P ( oraz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej ( C) Obliczamy prawdopodobieństwa wszystkich wyników doświadczenia, stosując regułę iloczynów. Drzewo składa się z 4 gałęzi, zatem mamy 4 zdarzenia elementarne. Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej P (A), stosując regułę sum. Zdarzeniu polegającemu na wylosowaniu kuli białej sprzyjają dwa zdarzenia elementarne: ( O,, ( R,
Przykład.4.. Wśród 0 losów jest los uprawniający do odebrania nagrody głównej oraz losy uprawniające do dalszego losowania. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania nagrody głównej, jeśli kupimy jeden los. Rozwiązanie Pierwszy etap doświadczenia polega na wylosowaniu losu. W tym doświadczeniu moŝemy wylosować: 0 nagrodę główną z prawdopodobieństwem P (, los uprawniający do dalszego losowania z 0 0 0 prawdopodobieństwem P ( lub los pusty z prawdopodobieństwem 7 0 JeŜeli wylosowaliśmy los uprawniający do dalszego losowania, to przechodzimy do drugiego etapu doświadczenia i znowu losujemy los tym razem spośród 9 losów. W tym doświadczeniu moŝemy wylosować: nagrodę 9 główną z prawdopodobieństwem P (, los uprawniający do dalszego losowania z 9 9 9 prawdopodobieństwem P ( lub los pusty z prawdopodobieństwem 7 9 P( A) P( + + 0 0 9 0 9 8 4 6 80 + + 6840 6840 6840 6840 9 4 JeŜeli znowu wylosowaliśmy los uprawniający do dalszego losowania, to przechodzimy do trzeciego etapu doświadczenia i znowu losujemy los tym razem spośród 8 losów. W tym doświadczeniu moŝemy wylosować: nagrodę 8 główną z prawdopodobieństwem P (, lub los pusty z prawdopodobieństwem 8 7 8 8 Obliczamy prawdopodobieństwo wygrania nagrody głównej P (A), stosując regułę iloczynów i sum. Zdarzeniu polegającemu na wylosowaniu nagrody głównej sprzyjają trzy zdarzenia elementarne: ( G ), (,(
Przykład.4.. Trzy brygady B, B, B produkują krzesła. Wśród krzeseł wyprodukowanych przez brygadę B jest 6% wadliwych, a wśród wyprodukowanych przez B i B po %. W magazynie znajduje się po 00 krzeseł wytworzonych przez kaŝdą z brygad. Oblicz prawdopodobieństwo tego, Ŝe losowo wybrane z magazynu krzesło nie ma wad. Rozwiązanie Pierwszy etap doświadczenia polega na określeniu brygady, która wyprodukowała wybrane krzesło. PoniewaŜ kaŝda z brygad wyprodukowała po 00 krzeseł, to 00 ( 00 00 00 P, P (, 00 P ( 00 Drugi etap doświadczenia polega na określeniu, czy wybrane krzesło jest dobre, czy wadliwe. Jeśli krzesło wyprodukowała B, to prawdopodobieństwo, Ŝe 6 00 jest to krzesło wadliwe P ( W ), a Ŝe jest to krzesło dobre P ( 94 00 Jeśli krzesło wyprodukowała B, to prawdopodobieństwo, Ŝe 00 jest to krzesło wadliwe P ( W ), a Ŝe jest to krzesło dobre P ( 00 Jeśli krzesło wyprodukowała B, to prawdopodobieństwo, Ŝe 00 jest to krzesło wadliwe P ( W ), a Ŝe jest to krzesło dobre P ( 00 P( A) P( B, B, B, 94 00 + 00 + 00 88 00 Obliczamy prawdopodobieństwo wybrania krzesła dobrego P (A), stosując regułę iloczynów i sum. Zdarzeniu polegającemu na wybraniu dobrego krzesła sprzyjają zdarzenia elementarne: ( B,,( B,,( B,
ĆWICZENIA Ćwiczenie.4.. (pkt.) Z urny zawierającej pięć kul białych i cztery czarne losujemy jedną kulę, a następnie zwracamy ją do urny i dokładamy dwie tego samego koloru. Następnie losujemy jedna kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo Ŝe będzie to kula biała? Podanie prawdopodobieństwa wylosowania dwóch kul białych: P ( b, Podanie prawdopodobieństwa wylosowania kuli czarnej i kuli białej: P ( cz, Podanie prawdopodobieństwa wylosowania kuli białej w drugim losowaniu. Ćwiczenie.4.. (pkt.) Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,9. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe przy trzykrotnym strzelaniu strzelec trafi dokładnie dwa razy? Podanie. Ćwiczenie.4.. (pkt.) Na meczu koszykówki męŝczyźni stanowią 0% kibiców, a 70% panów pomalowało twarze w barwy swojej druŝyny. AŜ 80% kobiet, które przyszły na mecz, się umalowało. Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe losowo wybrany kibic jest pomalowany. Podanie prawdopodobieństwa, Ŝe wybrany kibic, to pomalowana kobieta. Podanie prawdopodobieństwa, Ŝe wybrany kibic, to pomalowany męŝczyzna. Podanie prawdopodobieństwa, Ŝe wybrany kibic jest pomalowany.