.. Uprość ops zdarzeń: a) A B, A \ B b) ( A B) ( A' B).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A b) A B, ( A B) ( B C).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A B b) A B C ( A B) ( B C).4. Uproścć ops zdarzeń: a) A B, A B b) A C, ( A B) ( B C).5. Dośwadczene losowe polega na rzuce dwoma kostkam do gry a) Zdefnować przestrzeń zdarzeń elementarnych, b) Oblczyć prawdopodobeństwo zdarzena: wypadła neparzysta suma oczek..6. Dośwadczena losowe polega na losowanu jednej z trzech kul oznaczonych numeram,,. Zdefnować przestrzeń probablstyczną tego dośwadczena losowego..7. Zdarzena A, B C tworzą podzał przestrzen zdarzeń elementarnych. Oblcz P(A), jeśl P ( A B). 5 oraz P ( AC). 8.8. Oblcz P(B) jeśl P ( A')., P( C ( A B)')., P( D ( A B)'). 6
.. Dośwadczene losowe polega na rzutach kostką do gry. a) Zbadaj, czy zdarzena: A: Wyrzucono parzystą lczbę oczek B: Wyrzucono lczbę oczek wększą od 4 C: Wyrzucono lczbę oczek wększą od mnejszą od 6 są nezależne param? b) oblcz P ( B A) oraz P ( A B).. Dośwadczene losowe polega na wylosowanu kul ze zboru kul oznaczonych cyfram,,..., 8 Zbadaj, czy zdarzena A: wylosowano jedną z kul o nr, 4, 5, 7 B: wylosowano jedną z kul o numerze, 4, 5, 6 C: wylosowano jedną z kul o nr 5, 6, 7, 8 a) są nezależne param b) są nezależne zespołowo.. Grupa 5-cu osób sklasyfkowana została ze względu na trzy cechy (A, B, C). Okazało sę, że w grupe jest osób posadających cechę A, w tym także osoby posadające wszystke trzy cechy. Wadomo także, że pośród osób posadających jednocześne cechy A B 6% posada cechę C. Podaj prawdopodobeństwo tego, że losowo wybrana osoba a) posada cechę A b) posada wszystke trzy cechy c) posada cechę B pod warunkem, że posada cechę A..4. Dośwadczene losowe polega na rzuce trzema monetam. Zdefnowano następujące zdarzena: A: Na monece perwszej na monece drugej wypadł orzeł, B: Trzy monety upadły na tą samą stronę, C: Wypadło węcej orłów nż reszek, Oblcz: a) P ( C B) b) P ( C B' ) c) P( B A C).5. Na Rajdze Poltechnk jedna z grup rajdowych składa sę ze studentów studentek różnych wydzałów: osób z WIŚ, osoby z WIL 5 osób z WM. Wadomo poza tym, że na WIŚ studentk stanową 65%, na WIL 55% na WM 4%. Oblcz prawdopodobeństwo tego, że perwsza osoba z grupy, która wyruszy na trasę: a) jest studentem z WIL, b) jest studentem..6. Na Rajdze Poltechnk jedna z grup rajdowych składa sę ze studentów studentek różnych wydzałów: osób z WIŚ, osoby z WIL 5 osób z WM. Wadomo poza tym, że na WIŚ studentk stanową 65%, na WIL 55% na WM 4%. Oblcz prawdopodobeństwo tego, że perwsza osoba z grupy, która wyruszy na trasę: a) jest studentem z WM, b) jeśl perwsza wyruszyła studentka, że studuje na WM?.7. Dzekan WIŚ załatwa pozytywne średno 85% podań studenckch, dzekan WIL 7%, zaś dzekan WM 8%. Pewnego dna w kolejce do dzekana WIŚ stało 5 osób, do dzekana WIL osób a do dzekana WM 5 osób. Oblcz prawdopodobeństwo, że perwsza osoba z tych trzech wydzałów, która tego dna przedstawła podane do dzekana: a) studuje na WM a jej podane zostało odrzucone b) została załatwona pozytywne..8. Dzekan WIŚ załatwa pozytywne średno 85% podań studenckch, dzekan WIL 7%, zaś dzekan WM 8%. Pewnego dna w kolejce do dzekana WIŚ stało osób, do dzekana WIL 5 osób a do dzekana WM 5 osób. Oblcz prawdopodobeństwo, że perwsza osoba z tych trzech wydzałów, która tego dna przedstawła podane do dzekana: a) studuje na WIŚ a dzekan pozytywne załatwł podane, b) gdy dzekan pozytywne załatwł podane, studuje na WIŚ.
.. Dla rozkładu prawdopodobeństwa określonego tabelką: 4 8 p..5 a) Wyznacz p.4 p b) Zdefnuj dystrybuantę F() c) Oblcz P ( X 8).. Dla rozkładu prawdopodobeństwa określonego tabelką: - p. p..5 a) Wyznacz p b) Zdefnuj dystrybuantę c) Oblcz P(X>). Dla dystrybuanty zdefnowanej tabelką: (-, > (, > (, 4> (4, 8> (8, ) F()..5.6 a) Zdefnuj rozkład prawdopodobeństwa b) Oblcz P(X<4) c) Oblcz P(X>4).4 Dla dystrybuanty zdefnowanej tabelką: (-, -> (-, > (, > (, > (, ) F()..65.85 a) Zdefnuj rozkład prawdopodobeństwa b) Oblcz P ( X ).5 Dla funkcj gęstośc: f()=. 6 poza tym a) Wyznacz dystrybuantę b) Oblcz P ( 4).6. Dla funkcj gęstośc: f()= c * cos poza tym a) Wyznacz stałą c b) Oblcz P ) (.7. Funkcję F() zdefnowano wzoram: F()= a *( 4) 6 6 a) Dla jakej wartośc a funkcja F() jest dystrybuantą cągłej zmennej losowej b) Zdefnuj funkcję gęstośc dla tak określonej dystrybuanty c) Oblcz P ( 6).8. Dystrybuanta zmennej losowej cągłej określona jest wzorem: F()= sn a) Wyznacz funkcję gęstośc b) Oblcz P X ) ( 6
4.. Dla rozkładu prawdopodobeństwa określonego tabelką: - 5 p.4.4. Wyznacz: a)wartość przecętną EX b) Odchylene standardowe DX c) Trzec moment zwykły 4.. Dla rozkładu prawdopodobeństwa określonego tabelką: - - p..7. a) Wyznacz wartość przecętną EX b) Oblcz odchylene przecętne od wartośc przecętnej c) Podaj wartość mody (domnanty) m d 4. Dla dystrybuanty zdefnowanej tabelką: (-, -> (-, > (, > (, ) F()..7 wyznacz: a) kwantyl rzędu.7. 7 b) wartość przecętną EX 4.4 Dla dystrybuanty zdefnowanej tabelką: (-, -> (-, > (, > (, ) F().5.45 a) Wyznacz medanę. 5 b) Oblcz odchylene przecętne od medany d 4.5 Dla funkcj gęstośc: f()= e poza tym a) Oblcz wartość przecętną EX b) Oblcz drug moment zwykły 4.6. Dla funkcj gęstośc: f()= poza tym a) Oblcz wartość przecętną b) Oblcz warancję 4.7. Dla dystrybuanty: F()= ln e e a) Wyznacz medanę. 5 b) Wyznacz wartość przecętną EX 4.8. Dystrybuanta zmennej losowej cągłej określona jest wzorem: F()= 4 4 a) Wyznacz kwantyl rzędu.5. 5 b) Wyznacz wartość przecętną EX
5.. Co czwarty student przyjeżdża na Poltechnkę autobusem 9. a) Jake jest prawdopodobeństwo tego, że w pęcoosobowej grupce studentów sedzących przed stołówką co najmnej osoby przyjechały autobusem 9? b) Jaka jest przecętna lczba studentów dojeżdżających autobusem 9, jeśl rozpatrujemy grupy pęcoosobowe? 5.. Co trzec student korzysta ze stołówk. a) Jake jest prawdopodobeństwo tego, że w sześcoosobowej grupe studentów co najwyżej czworo korzysta ze stołówk? b) Jaka jest najbardzej prawdopodobna lczba studentów korzystających ze stołówk w grupe sześcoosobowej? 5.. Prawdopodobeństwo zgubena ndeksu przez studenta w okrese roku wynos.4. Na Wydzale studuje osób na studach dzennych. Oblcz prawdopodobeństwo tego, że w beżącym roku dzekanat studów dzennych wyda co najmnej duplkaty. 5.4. Prawdopodobeństwo ne podpsana kartkówk wynos.5. Jeśl przyjąć, że prowadzący zajęca ze statystyk poprawa w semestrze ok. 6 kartkówek, oblcz jake jest prawdopodobeństwo, że lczba ne podpsanych kartkówek będze ne wększa od. 5.5. Dla rozkładu N(-, ) znaleźć P(-4<X<-). 5.6. Cecha X ma rozkład logarytmczno-normalny o parametrach.5,. a) Oblcz P(X>) b) Oblcz medanę. 5 5.7. Wyznacz parametr rozkładu N (, ), jeśl wadomo, że P(X>-.5)=.4. 5.8. Wyznacz parametr μ rozkładu N(μ, 4) zmennej losowej X, jeśl wadomo, że P(X<)=.56
6.. Dla próbk:, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9,4 pochodzącej z populacj o rozkładze normalnym o neznanych parametrach oblcz przedzał ufnośc dla wartośc przecętnej μ populacj jeśl założono pozom ufnośc -α =.95. 6.. Dla próbk:, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9,4 pochodzącej z populacj o rozkładze normalnym o znanym parametrze σ oblczono przedzał ufnośc dla wartośc przecętnej μ populacj przy założonym pozome ufnośc -α =.95, który wynos: 4.7 < μ < 9.87. Wyznacz wartość parametru σ, którą użyto do oblczena przedzału ufnośc. 6.. Dla próbk:, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 pochodzącej z populacj o rozkładze normalnym o neznanych parametrach oblcz przedzał ufnośc dla wartośc przecętnej μ populacj, jeśl założono pozom ufnośc -α =.98. 6.4. Dla n-elementowej próby (n>) oblczono przedzał ufnośc dla wartośc przecętnej populacj μ przy założenu pozomu ufnośc -α =.98. Oblcz lczność n próbk (zaokrąglć do lczby całkowtej), jeśl przedzał ufnośc wynos: 4.97 < μ < 6., oraz 5. 5, s =.5 6.5. Dla próbk:, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9,4 pochodzącej z populacj o rozkładze normalnym o neznanych parametrach oblcz przedzał ufnośc dla odchylena standardowego σ populacj jeśl założono pozom ufnośc -α =.95. 6.6. Dla próbk:, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 pochodzącej z populacj o rozkładze normalnym o neznanych parametrach oblcz przedzał ufnośc dla odchylena standardowego σ populacj jeśl założono pozom ufnośc -α =.98. 6.7. Porównaj przedzały ufnośc dla warancj populacj oblczone przy użycu dwóch model z 5-co elementowej próbk o odchylenu standardowym s=, jeśl założono pozom ufnośc -α =.9 6.8. Dla próbk:, 7,,,,,, 5 pochodzącej z populacj o rozkładze normalnym o neznanych parametrach oblcz przedzały ufnośc dla wartośc przecętnej μ oraz dla odchylena standardowego σ populacj jeśl założono pozom ufnośc -α =.95.
7.. Z populacj o rozkładze normalnym znanej warancj. 5 wylosowano próbę:.8,.6,.6,.,.4,.6,.,.9,.4,.5 Posługując sę testem stotnośc, dla pozomu stotnośc. sprawdź hpotezę: Ho:. 5 wobec H : #. 5 Podaj granczną lczebność próby n dla której (bez zmany pozostałych parametrów) można przyjąć hpotezę H. 7.. Z populacj o rozkładze normalnym wylosowano próbę: 8, 9, 56, 6, 47, 48, 4, 5, 6, 4, 49, 9 Przy wykorzystanu testu stotnośc, dla pozomu stotnośc. sprawdź hpotezę: Ho: 5 wobec H : 5 Oszacuj granczną wartość pozomu stotnośc powyżej której hpotezę Ho należy odrzucć. 7.. Z populacj o neznanym rozkładze wylosowano 5 elementową próbę. Oblczono dla próby wartość średną. 4 oraz odchylene standardowe s =.5. Sprawdź przy pomocy testu stotnośc hpotezę: Ho: wobec H : Przyjmj pozom stotnośc. 5. 7.4. Z populacj o rozkładze normalnym wylosowano próbę: 8, 9, 56, 6, 47, 48, 4, 5, 6, 4, 49, 9 Korzystając z testu stotnośc sprawdź dla pozomu stotnośc. 5 hpotezę: Ho: 8 wobec H : 8 7.5. Z populacj o rozkładze normalnym wylosowano 5-co elementową próbę. Wedząc, że warancja z próby s 6 sprawdź przy pomocy testu stotnośc hpotezę: Ho: wobec H : # Przyjmj pozom stotnośc.. Sprawdź test stotnośc dwukrotne, wykorzystując modele dla próby małej dużej. 7.6. Wyobraźmy sobe, że na Rajdze PK pewnego roku zadano pytane uczestnkom rajdu le klometrów przeszl po trasach rajdu tego roku. Załóżmy, że padły następujące odpowedz: d (km) <, 5) <5, ) <, 45) <45, 6) <6, 75) n (lczba studentów) 55 45 7 Dla pozomu stotnośc. sprawdź, czy teoretyczną postać Fo(d) dystrybuanty F(d) zmennej losowej D (pokonana droga w klometrach) można opsać wzorem F ( d).5d e 7.7. Dla próby:, 4,, 6,, 6, 5 wylosowanej z populacj o rozkładze normalnym o neznanych parametrach zweryfkuj na pozome stotnośc. hpotezę: H F ( ) F ( ) : X N(5,) 7.8. Wylosowano próbę:.8,.6,.6,.,.4,.6,.,.9,.4,.5 Sprawdź na pozome stotnośc. 5 czy próba może pochodzć z populacj o rozkładze N(.5,.5).