Zestaw. Zadanie.. Prawdziwa wiedza polega na zrozumieniu przyczyn Francis Bacon Zmienna losowa X może przyjmować podane poniżej wartości z określonym prawdopodobieństwem: x i 4 p i / /6 /6 / Przedstaw graicznie rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej X. Oblicz jej wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe. Zadanie.. Zmienna losowa przyjmuje wartości, z jednakowym prawdopodobieństwem. Wyznaczyć rozkład jej prawdopodobieństwa, dystrybuantę oraz parametry rozkładu (E(X), D (X)). Zadanie.. Określić dystrybuantę oraz parametry rozkładu następującej zmiennej losowej: x i 4 p i,5,5,4 Obliczyć P.(X=4). Zadanie. 4. W pewnym mieście wylosowano 6 sklepów i otrzymano następujące wyniki dotyczące liczby sprzedawców: Liczba sprzedawców 4 5 Liczba sklepów 66 4 Na podstawie tych inormacji: a) znaleźć rozkład prawdopodobieństwa liczby sprzedawców w sklepie, b) obliczyć parametry rozkładu i podać ich interpretacje, c) obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość: (i) nie mniejszą niż, (ii) nie większą niż 7.
Zadanie. 5. Zmienna losowa ma następujący rozkład: x i -4-4 p i,,,5, Znaleźć rozkłady zmiennych: Y=X- oraz Z=X. Zadanie. 6. Rozkład prawdopodobieństwa ocen z egzaminu ze statystyki studentów III roku pewnej uczelni jest następujący: ocena x i 4 5 6 p i,4,, Wiedząc, że wartość oczekiwana tak określonej zmiennej losowej wynosi,95, obliczyć P.(X=), P.(X=5) oraz przedstawić graicznie rozkład prawdopodobieństwa i obliczyć ilu spośród zdających studentów otrzymało ocenę conajmniej dobrą (4,). Zadanie. 7. Zmienna losowa X ma rozkład: x i - - p i,,,4, Obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej losowej Y=X-: a) bezpośrednio budując rozkład zmiennej Y, b) korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji. Zadanie. 8. Rzucamy dwiema kostkami sześciennymi do gry. Zmienna losowa przyjmuje wartość sumy oczek na obu kostkach. Podać jej rozkład oraz wyznaczyć parametry rozkładu. Zadanie. 9. Rzucamy kostką do gry. Liczba oczek jaka wypadnie jest równa długości boku trójkąta równobocznego, który musimy wykreślić. Zmienna losową jest długość wysokości tego trójkąta. Obliczyć wartość oczekiwaną tak zdeiniowanej zmiennej losowej. Zadanie.. W tramwaju zgasło światło w momencie, gdy jeden z pasażerów szukał biletu w celu jego skasowania. Pasażer miał biletów, w tym 5 biletów po,4 PLN, bilety po, PLN oraz bilety po,6 PLN pasażer wyciągnął na oślep (czyli w sposób losowy) jeden bilet i skasował go. Jaka jest wartość oczekiwana jego opłaty za przejazd, wariancja i odchylenie standardowe (przy założeniu jednakowych prawdopodobieństw zdarzeń polegających na wyjęciu konkretnego biletu)?
Zadanie.. Z talii liczącej 5 karty, wybrano w sposób losowy jedną kartę. Niech realizacją zmiennej losowej będzie wartość wyciągniętej karty (dwójka-, trójka- itd., natomiast każda igura ma wartość, podobnie as-). Podać rozkład zmiennej losowej oraz obliczyć jej wartość oczekiwaną i wariancję. Zadanie.. Rzucamy jednocześnie monetą i sześcienną kostką do gry. Jeżeli na monecie wypadł orzeł to zmienna losowa X przyjmuje wartość liczby oczek na kostce, w przeciwnym przypadku (wyrzucenie reszki) zmienna losowa przyjmuje wartość liczby oczek na kostce pomnożonej przez. Narysować rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X oraz jej dystrybuantę. Zadanie.. W zbiorniku składającym się z dwóch komór o jednakowej objętości znajdują się 4 poruszające się swobodnie cząsteczki CO. Niech zmienna losowa przyjmuje wartości równe liczbie cząsteczek gazu, jakie znajdą się w dowolnej chwili τ w lewej połowie zbiornika. Określ rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej (narysować odpowiednie wykresy) oraz oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej. Zadanie. 4. Dla jakiej wartości a, unkcja (x)=ax x może być unkcją gęstości prawdopodobieństwa? Zadanie. 5. Zmienna losowa ma unkcję gęstości określoną w następujący sposób: = 8 ( + x ) x 4 x < i x > 4 Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że zmienna losowa X przyjmie: a) wartość nie mniejszą niż oraz nie większą niż, b) wartość co najwyżej równą, c) wartość 4, d) wartość z przedziału <,5 : 4>.
Zadanie. 6. Sprawdź, czy unkcja: = x 5 x < x x > jest unkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Jeżeli tak, to: a) przedstaw unkcję gęstości graicznie, b) wyznacz i narysuj dystrybuantę tej zmiennej losowej, c) oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej, d) oblicz P( < X <). Zadanie. 7. Dla jakiej wartości c unkcja: = 5 ( x ) x c x < i x > c jest gęstością prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej? Znaleźć dystrybuantę wyznaczonego rozkładu zmiennej losowej i wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej. Zadanie. 8. Czy unkcja: F = x x x < x x > może być unkcją dystrybuanty pewnej zmiennej losowej? Zadanie. 9. Dla zmiennej losowej ciągłej dystrybuanta dana jest wzorem: F = x a) wyznaczyć wartość A, x < x A x > A 4
b) obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, c) obliczyć P.( - X ). Zadanie.. Realizacją zmiennej losowej X jest liczba oczek wyrzuconych na sześciennej kostce. Obliczyć momenty zwykłe tej zmiennej losowej (-go, -go, -go i -go stopnia). Zadanie.. Dla zmiennej losowej opisanej w zadaniu ) obliczyć momenty centralne: zerowy, pierwszy, drugi i trzeci. Zadanie.. Koło ruletki w Las Vegas ma 8 pól oznaczonych jako:,,,,...,6. Jeśli grający postawi dolara na jedno z trzydziestu ośmiu pól i to pole wypadnie, otrzymuje zwrot swojego dolara, jak również dodatkowo 5 dolarów, a w przeciwnym razie traci postawionego dolara. Ile wynosi oczekiwana wygrana w takim systemie (czyli wartość oczekiwana wygranej)? Zadanie.. Oblicz odchylenie standardowe wartości oczekiwanej w ruletce z zadania. Zadanie. 4. Ile gracz musiałby otrzymywać dolarów za trane wytypowanie pola w ruletce w Las Vegas, aby gra była sprawiedliwa (to znaczy wartość oczekiwana wygranej wynosiła dolarów)? Zadanie. 5. Automat do gry tzw. jednoręki bandyta, ma trzy okienka, za każdym z których znajduje się obracający dysk. Na każdym dysku umieszczone jest obrazków różnych owoców. Wszystkie dyski są identyczne. Dyski te wprawiane są w ruch obrotowy i każdy z dysków zatrzymywany jest niezależnie w losowej pozycji. Automat wypłaca złotówkę, jeśli w okienkach, na dowolnych pozycjach, pojawią się dwa identyczne obrazki owoców oraz złotych za trzy identyczne obrazki. W pozostałych przypadkach grający traci żeton. Ile powinna wynosić cena takiego żetonu, aby gra była uczciwa (to znaczy wartość oczekiwana wygranej była równa złotych)? Zadanie. 6. Otrzymałeś(aś) darmowy bilet na mecz koszykówki sponsorowany przez lokalną stację radiową. Jeżeli wygra drużyna sponsorowana przez tę rozgłośnie otrzymasz, jako właściciel biletu, zł. Według Ciebie prawdopodobieństwo wygrania drużyny sponsorowanej przez rozgłośnie wynosi 6%. Czy powinieneś (powinnaś) skorzystać z propozycji przyjaciela, który chce odkupić od Ciebie ten bilet za 5 zł? 5