Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1
{X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej losowej X t na podprzestrzeń tych funkcji z F s, które sa całkowalne z kwadratem. Innymi słowy, E(X t F s ) minimalizuje funkcjonał Y E(X t Y ) 2, Ruch gdzie Y przebiega F s. Najsławniejszym martyngałem jest proces Wienera, niesłusznie przez matematyków nazywany ruchem. 2
- cd. Norbert Wiener (1894-1964) Ruch 3
- cd. (N. Wiener, 1923) Procesem Wienera nazywamy proces stochastyczny W t, t 0 o następujacych własnościach: 1 W 0 0. 2 Prawie wszystkie trajektorie IR + t W t (ω) sa ciagłe. 3 Przyrosty procesu {W t } sa niezależne i stacjonarne. 4 W t N (0, σ 2 t), t > 0, dla pewnego σ 2 > 0. Ruch 4
Martyngałowe własności procesu Wienera jest martyngałem bowiem E(W t F s ) = E(W t W s F s ) + E(W s F s ) = 0 + W s. Twierdzenie Paula Lévy ego Ciagły martyngał {X t } taki, że X 0 0 i dla pewnej stałej c > 0, proces Xt 2 ct, t 0, też jest martyngałem, jest procesem Wienera (z σ 2 = c). Ruch 5
- cd. Ruch Paul Lévy (1886-1971) 6
- cd. Ruch Symulacja procesu Wienera w jednym wymiarze 7
- cd. Ruch Symulacja procesu Wienera w przestrzeni trójwymiarowej 8
- cd Ruch Symulacja procesu Wienera na płaszczyźnie, z różnymi krokami czasowymi 9
- cd Ruch Symulacja procesu Wienera na płaszczyźnie, na papierze w kratkę? Rysunek ruchów, wykonany przez Perrina! 10
Twórcy fizycznej teorii ruchów Albert Einstein Ruch Marian Smoluchowski Paul Lengevin 11
Czemu proces Wienera nie jest matematyczna idealizacja ruchów? Rozważmy następujacy prosty model: W rozrzedzonym gazie o jednoatomowych molekułach masy m unosi się czasteczka dymu o masie M. Obserwujemy ruch czasteczki dymu zrzutowany na zadana oś. Przypuśćmy, że nastapiło zderzenie sprężyste, przy czym przed zderzeniem czasteczka dymu miała prędkość V, a uczestniczaca w zderzeniu molekuła gazu prędkość U. Po zderzeniu mamy: Ruch V = C(U V ), gdzie C = C(M, m) = 2m/(M + m). Co więcej, przypuśćmy, że takie zderzenia maja miejsce w losowych momentach τ 1 < τ 2 <..., z czasteczkami posiadajacymi losowe prędkości U 1, U 2,.... 12
Wyprowadzenie równania Langevina Mamy więc V (τ k ) = C(U k V (τ k )), gdzie U 1, U 2,... sa niezależne, o rozkładzie normalnym N (0, k B T /m) (tutaj k B jest stała Boltzmanna, a T temperatura absolutna). Wariancja U k musi wynosić k B T /m, na mocy zasady ekwipartycji energii" 1 2 me(u k) 2 = 1 2 k BT. W końcu przypuśćmy, że momenty losowe τ 1, τ 2,... sa takie, że liczba zderzeń do chwili t tworzy proces Poissona z intensywnościa λ dt. N(t) = N λ (t) = 1I [τk,+ )(t) Po(λt), t IR +. k=1 To założenie gwarantuje nam niezależność liczby zderzeń w rozłacznych odcinkach czasu. Ruch 13
Wyprowadzenie równania Langevina - cd. Sumujac zmiany prędkości po czasie do chwili t otrzymujemy V (t) V (0) = CU(t) C V (s ) dn(s), ]0,t] gdzie U(t) = U m,λ (t) = τ k t U k. To równanie jest łatwo rozwiazać: V (t) = C ( Y (t) ) 1( ]0,t] Y (s) du(s) + V (0) ), Ruch gdzie Y (t) = Y m,λ (t) = exp( (ln(1 C(M, m)))n λ (t)). 14
Wyprowadzenie równania Langevina - cd. Przypuśćmy teraz, że λ + i m 0 w taki sposób, że 2λm b, 0 < b < +. Wtedy oraz (funkcjonalnie) Y m,λ (t) P e b M t, t IR +, Ruch C(M, m) U m,λ (t) D 2bkB T M W t, gdzie {W t, t IR + } jest standardowym procesem Wienera (tzn. σ 2 = 1). 15
Wyprowadzenie równania Langevina - cd. Przypomnijmy postać rozwiazania dyskretnych równań : V m,λ (t) = C ( Y m,λ (t) ) 1( ]0,t] Y m,λ (s) du m,λ (s)+v m,λ (0) ). Nie jest więc zaskoczeniem, że te rozwiazania zmierzaja do procesu Ornsteina-Uhlenbecka V (t) = e b t( 2bk B T ) M e b M s dw s + V (0), M ]0,t] który rozwiazuje równanie Langevina M(V (t) V (0)) + b V (s) ds = 2bk B T W t. ]0,t] Ruch Fizycy zapisaliby to proste równanie w formie dv dt (t) + b M V (t) = 2bkB T dw t. M dt 16
Uwagi nt. wyprowadzenia równania Langevina Przejście graniczne do całki stochastycznej Ito nie jest oczywiste, jak pokazuja problemy z tzw. poprawka Wonga-Zakai. Nie jest to również rezultat ad hoc", lecz fragment teorii o dużo szerszym zasięgu. W szczególności rozumowanie obejmuje modele o dużo słabszych założeniach. Współczynnik b jest wielkościa makroskopowa, która może być interpretowana jako opór środowiska spowodowany lepkościa gazu. Nic takiego nie występuje na poziomie mikroskopowym! Matematycznym modelem ruchu jest proces Ruch t X(t) = X(0) + V (s) ds, 0 który ma gładkie (!) trajektorie. 17
nie jest matematyczna idealizacja ruchów! Ale mamy: X(t) X(0) = 2k B T b W t M ( ) V (t) V (0). b jest przybliżeniem ruchu w długim okresie czasu. Ruch Nie trzeba więc zmieniać tradycyjnej nazwy! 18
Ułamkowy ruch (ang. fractional Brownian motion) {Bt H } t R + z indeksem Hursta H (0, 1), to ciagły i scentrowany proces gaussowski o funkcji kowariancji danej wzorem E(B H t B H s ) = 1 2 (t2h + s 2H t s 2H ). Dla H (1/2, 1) proces {B H t } ma dodatnio skorelowane przyrosty: E(B H t B H s )(B H v B H u ) > 0, 0 s < t u < v. Ruch Dla H (0, 1/2) proces {B H t } ma ujemnie skorelowane przyrosty: E(B H t B H s )(B H v B H u ) < 0, 0 s < t u < v. Dla H = 1/2 proces {B H t } jest standardowym procesem Wienera. 19