Zsosow mem w em Mre Kręglews
Progrm zjęć. Czm są meod umerze? Tworzee lgormu.. Ierje rozwąze rówe pu =().. Rozwązwe rówń jedej zmeej: meod sej, Newo sez.. Cłowe umerze: meod rpezów Smpso. 5. Różzowe umerze. 6. Rozwęe uj w szereg. 7. Crers łędu meod umerzej w zleżoś od długoś rou. 8. Esrpolj Rrdso. 9. Numerze rozwązwe rówń różzow..welom: posć url, sem Horer..Ierpolj welomem.
Progrm zjęć.deje rodzje merz. Dzł merz..zps merzow ułdu rówń low..rozwąze ułdu rówń low w pos merzowej. 5.Wroś rersze merz. 6.Eleme eor łędu przeoszee sę łędów. 7.Opmlzj low. 8.Opmlzj elow. LABORATORIUM. Progrm MS Eel. Worzse MS Eel do rozwązw prolemów umerz LITERATURA:. E. Seer, Mem dl emów, WN PWN.. A. Rlso, Wsęp do lz umerzej, PWN 975.
Algorm rozwąz rów =() START Wzj, ε, A = = =½(+A/) NIE - < ε TAK Wpsz STOP Śld dzłń
Eleme lgormu sewejego Komór poząu lu oń Komór wejś/wjś Komór operj? Komór wruu odpowedź TAK lu NIE Kerue do olejej omór =() Isruj podswe wlzo wrość wrże () podsw jes jo ow wrość zmeej
Proes zeż: =½(+/) 8.5.5.5.5.69756.69756.9.9 6 L P 6
Proes rozeż: =6-*..59.59.79.79-6.5896-6.5896 -.65 -.65-9.55657-9.55657-875.576-875.576-7.595E+ -7.595E+ -5.7686E+ -5.7686E+ -.768E+7 -.768E+7 -.7E+95 8 6 - - L P -6-8 -
Meod sej Rozwąze rów ()=, zl szue mejs zerow uj (). Szum mejs zerowego w przedzle <,>, w órm: ) uj () jes ągł ) () zme z w przedzle <,>, z. ()()< mejse zerowe p p p p Przłd: +* -=
Algorm meod sej START Wzj,, ε ()*()< TAK p=(+)/ ()*(p)< TAK =p NIE NIE Wpsz: zł przedzł =p Śld dzłń NIE - <ε TAK Wpsz, STOP
Meod Newo Rozwąze rów ()=, zl szue mejs zerow uj (). Szum mejs zerowego rozpozją w dowolm pue, jeżel: ) uj () orz jej perwsz pood są ągłe ) perwsz pood jes róż od zer mejse zerowe sz Rozwęe uj w szereg Tlor:!
Algorm meod Newo START Wzj, ε = = - ( ) / ( ) NIE - < ε TAK Wpsz STOP Śld dzłń
Meod sez Rozwąze rów ()=, zl szue mejs zerow uj (). Szum mejs zerowego rozpozją z pr puów (, ) jeżel: ) uj () jes ągł ) ( ) ( ), gd mejse zerowe Perwsz pood przlżo przez lorz różow:
Algorm meod sez START Wzj,, ε q =( ) q =( ) = ; = q =q ; q =( ) NIE = q ( - ) /(q -q ) - < ε TAK Wpsz STOP Śld dzłń
Rue różzow Pood uj mr, j szo zme zleż zme sę ze zmą zmeej ezleżej =() L gesow (α) (lee) = - α = - lm lm d d pood
Rue różzow Zjdź poodą uj = Ne = - d orz = ( )-( ) = ( ) -( ) = ( +) -( ) = [( ) + +() ]-( ) = = [ +() ] Po podzeleu przez W gr, gd (z. ) d d lm Poodą uj = jes d/d=
Rue różzow Poode wr uj elemer ( jes słą): Fuj =() Pood d/d= () - l() l() / s() os() os() -s() d d Ne () orz z() są różzowlm ujm : z d dz d z d dz d z dz d z d / z d d d d d d d d d z d d z dz d Fuj złożo (u()) d d d du * du d
Rue łow podsw Fują perwoą F() uj () jes uj F(), że df()/d=() Cł eozzo o po prosu uj perwo Cł ozzo o gr sum złoów (), dl d F F
Rue łow - przłd Smoód porusz sę ze słą prędośą v()=5 m/. Olz odległość, ją poo w ągu (godz). s v( ) 5m/ * m s v d 5d 5 5* 5* m Kmeń spd z przspeszeem g() = m/s. N poząu jego prędość wosł m/s. Olz odległość, ją meń poo mędz gą ą seudą spdu. v v s v g( ) d d os d os d 5 5* 5* 8 6m
Cłowe umerze T T d m m m T T T m * * T T T m m m *, m m T T T T Meod rpezów T m
Cłowe umerze S d m S S S m m m m *, / m m m m S S S S / Meod Smpso S m/ m przse
I Cłowe lze - przłd ( ) d ()= d 68 ()= d 5 5 5 5 5 5 9766,
Cłowe umerze - przłd I ( ) d () 6 78 76 T ( ) T ( ) S( ) 78 78 *78 695 *78 68 W olzeń umerz T(=) 78 76 T(=) 695 9 S(=) 68 9766,67 I (dołd) 68 9766, ()= ()= T ( ) T ( ) S( ) 76 *6 76 76 *6 76 9766 9 Błęd meod rpezów łąd T() T()-I 78 695 T() T()-I 76 969,6 9,6
Szereg geomerz /* S S S S S S r r Gd = ) Sum jes rów ) Jes rozwęem w szereg uj
Szereg Mlur ) (,,, słe 6 ) "( ) ( d d d d Tus ()! "()! ()!!!! ()! "() ()
Szereg Tlor ) (,,, słe 6 ) "( ) ( d d d d Tus ) (! ) "(! ) (!!!! ) (! ) "( ) (
Szereg Mlur - przłd e, Olz wrość (6) sosują rozwęe w szereg Mlur e " e e * Wwołj Tlor seres
Różzowe umerze ) ( ) ( lm ) ( ) ( lm Przlże jedosroe: L P ) ( ) ( ) ( ) ( - + (+) () (-) Śred P L (róż erl): L P ) ( ) (
Różzowe łąd meod!!!!!!! /:!!! pood łąd! : /!! pood łąd Pood jedosro Pood erl _
Przłd olzee poodej Olz poodą l() w pue = meodą poodej erlej orz jedosroej dl róż długoś roów: ()=l() l()=/ l()=.986 ()=[(+)-(-)]/(*) () () łąd ^ łąd/^.869.657...697.5.5.576.67.9.5.556.5.969....57...5.9.67 ()=[(+)-()]/ + (+) () łąd łąd/.869.8768 -.565 -.565 Zmejszee rou zmejsz łąd, prz zm szej łąd mleje w meodze róż erl.5.5.576.8 -.5.5 -.56....7898 -.5. -.55
Rówe różzowe I rzędu Rówe różzowe opsująe rozpd promeowórz Propozj rozwąz: Sprwdze poprwoś: Podswee do rów: Lew sro rów prwej, gd: dn d N N dn d e e e e e N Wrość wzz z wruu poząowego: Oseze rozwąze lze: sł szoś rozpdu promeowórzego N e N N N N N e
Rozpd promeowórz Rówe różzowe opsująe rozpd promeowórz dn d N Rozwąze lze: Ores połowzego rozpdu : N N N e e N e l N l N l
Rówe różzowe meod Euler Rówe ( jes zą ują): Wzór przlżo poodą: Po przeszłeu: Uproszzo zps: d d d d, d, d d d Os wzór pozwl olze wroś uj pu po pue. Wrość uj w pue zerowm oreślją wru poząowe.
Rówe różzowe I rzędu dn d N 5.86. N dn/d Nl -5. 5-5 66.57. 5-5 67.879. 5-65.. 6.5 -.5 5.5 5.5.5-56.5 8.85 6.6 5.65-78.5 9.7877 7.7 7.85-9.65.978 8.8.965-9.5 8.56 9.9.955-9.7656.9.97656 -.888 6.7797..888 -..8677.. -.7.7875..7 -.65.59..65 -.58.988 5.5.58 -.559.558 6.6.559 -.769.56 7.7.769 -.85.68 8.8.85 -.97. 9.9.97 -.95.785.95 -.77.5 8 6.5.5 N Nl
Rówe różzowe II rzędu Drg rmoze F p = m - przspeszee F w = - - wlee Przjmjm: m= = Rówowg sł F p = F w =- " d d Rozwąz szzególe rów: e e e e e e e Rozwąze ogóle rów: e e F Słe wzze z wruów poząow
Rówe różzowe II rzędu e e - Wru poząowe: e e e e Rozwąze ogóle z uwzględeem wruów poząow: e e os
Rozwąze umerze I d d v d d d dv gdze : Korzsm z przlżo wzorów poode: v v v v v v v v Ozzm: v v v Z pos rów w:
Rozwąze umerze I.d. Gd = : m v m s () () v() () -.8997 -.9 -.6799.98865 -.6799 -.98865.9699.985958 -.956 -.98596.55988.89785 -.567 -.89785 5.65985.87 -.68 -.8 6.78598.7778 -.777 -.7778 7.96979.65 -.886 -.65 8.7976.5687 -.97 -.569 9.7897.97 -.995 -.97.89969.895 -.95 -.895.98966.5675 -.875 -.568.57796.985 -.77 -.98.7696 -.58 -.8558.579.85957 -.88 -.987.878 5.9695 -. -.59.6 6.995 -.566 -.9988.566 7.598 -.6975 -.958.6975 8.5695 -.888 -.88.8887 9.879 -.96 -.788.96.67999 -.75 -.6777.75.78896 -.976 -.755.976.87979 -.5979 -.99.5979.69 -.97 -.798.965.597 -.595 -.777.5955 pood jedosro - 5 5 - - - - - - v () v() ()
Rozwąze umerze II d d v d d d dv gdze : Korzsm z przlżo wzorów poode erle: v v v v v v v v Ozzm: v v v Z pos rów w:
Rozwąze umerze II.d. Gd = : m v m v v s () () v(+/) () -.655 -.8997.996 -.958 -.99.6799.965877 -.66 -.965877.9699.977 -.58 -.977.55988.86588 -.5559 -.86588 5.65985.7968 -.6597 -.7968 6.78598.7679 -.75 -.7679 7.96979.68 -.886 -.68 8.7976.995 -.897 -.995 9.7897.897 -.976 -.895.89969.5795 -.98977 -.579.98966.959 -.99799 -.955.57796 -. -.99778.6.7696 -.7 -.9858.7.85957 -.685 -.969.685 5.9695 -.898 -.896.8987 6.995 -.597 -.86.5969 7.598 -.6 -.75758.65 8.5695 -.7898 -.658.78976 9.879 -.795 -.555.795.67999 -.86696 -.566.86696.78896 -.96 -.95.96.87979 -.96657 -.9.966569.69 -.997 -.67.9977.597 -.999997.6769.9999975 pood erl.5.5 -.5 5 5 - -.5.5.5 -.5 - -.5 -.5.5.5 - -.5 v () v(+/) ()
Esrpolj Rrdso Cz woują olze ze sońzo długośą rou moż oszowć w grz dl? F p r O r p F() wrość olzo dl długoś rou = F() poez wrość dl zerowej długoś rou p rząd łędu meod umerzej Olzm w umerz F dl dwó róż roów (q) F F F F p r O p q q O r q p p p q q /* q p
Esrpolj Rrdso.d. r O q q F F F p eż jes orzoe łędem posępowe moż prowdzć dlej. Njzęśej esrpolję sosujem dl q=, wed: r O F F F p p p p p p p p p q q F F q q q F q q F q odejmujem srom
Esrpolj Rrdso przłd I d 68 W umerze meodą rpezów: T() 78 695 T T 695 78 T 695 695 68
Esrpolj Rrdso przłd ()=l() l()=/ ()=[(+)-(-)]/(*) P() /.8.8.5.59..78857...775.5 -.87..6.9555...65.88 -.5.8.8.969....57 -...9.67 łąd meod róż erl, zl p=. = P()-P()
Ierpolj welomem D jes uj () w pos l, z. zm jej wroś w (+) pu (węzł) ( ), ( ), ( ),, ( ). Zde: zleźć welom -ego sop, że: w( )= ( ) w( )= ( ) w( )= ( ) w () zwm welomem erpoljm. Cele erpolj: łwe zpmęe pos uj (współz) wowe operj memz welome wzze pośred wroś uj
Olze wroś welomu Posć url welomu w Olze wroś welomu wg semu Horer w
Olze wroś welomu Algorm START Wzj, { }, w= =- w=w*+ =- TAK NIE Wpsz w STOP
Śld dzłń w ()=+- + = = = =- = Olz wrość welomu w pue =. w *-= *+= *+= - Wrość welomu w pue = wos.
Posć Newo welomu Ne,,,, - są dm lzm, dl ór wroś welomu są oreśloe (de). Tworzm welom pomoze p (=,,,,) e, że p () = p () = - p () = (- )(- ) p ()= (- )(- ) (- - ) Welom w () przedswm jo w p J wzzć współz?
Wzze współzów () [ l, l+ ] [ l, l+, l+ ] ( ) ( ) ( ) ( ),,,,,,,,,,,,,,
Przłd 7 58 5 8 7 5 5 w p p p p () [,] [,..,] [,,] 5 66 8 7 96 5 58 9 78 7 8 = = 8 = 58 =
Ierpolj low Pros: w ()= + ( ) = = + (/ ) ( ) = = + (/ ) Wzz, - = =( - )/( - ) - = =( )/( - ) w ()= [( )/( - )] + [( - )/( - )] w ()= [( + )/( - )] + [( - )/( - )] w ()= + [( - )/( - )] (- ) o posć Newo dl w () = p () + p (), gdze p () = = p () = - = ( - )/( - )
Zjwso Rugego Prz erpolj welomem wsoego sop, p. -ego dl uj w przedzle [-,] dl węzłów rówoodległ ( ) 5 = - + *, =,,,, () w() -.86.86 -.8.588.8.588 -.6..588.68. -...5.759.79855. -..5.5.5.976.68665.5.5.5.8E-5 -.6767-6.6..5 -.5 -.5-5 -.5-7.575-7.675.5.. -.5.5 5 6.5 9.75.9 8.86..6. -.5.5 -.5E-5 -.5-9.75-56.5-8.8-67.96..8.588 -.588.759 -.98 -.6767 7.575.9 8.85 9.779.97.588.86 -.8.68 -.7986.68665 6.6-7.675-8.86-67.96 -.9 -.9.86
Zjwso Rugego Porówe wresu uj welomu:.5.5.5 -.5 - -.5.5.5 -.5
Dołdość olzeń Źródł łędów: łęd d wejśow łęd zorągleń łęd oę uproszze modelu łęd przpdowe Błęd ezwzględe względe: wrość przlżo wrość dołd łąd ezwzględ łąd względ r
Zorągle oe zorąglee oęe,97,,9 -,97 -, -,9 zorąglee do r po przeu lz orzo łędem ½ - Przłd powżej:, ½ - =,,5 J zorąglć lz zońzoe rą 5?,5,,5, reduj łędów prz dodwu
Przeoszee sę łędów Dodwe odejmowe,5,75,7,,,, m,8,,,, m,,,, J jes łąd sum? J jes łąd róż?,5,9,86,,,, m,96,,,, m
Przeoszee sę łędów Dodwe odejmowe Podoe: Błąd ezwzględ sum lu róż rów sę sume łędów ezwzględ słdów.
Zoszee sę słdów prz odejmowu %,,,,,,576,576,576,576 r łąd ezwzględ łąd względ
Przeoszee sę łędów Możee dzelee r r r r r r r r r r r r r r Podoe: r r r r Błąd względ lozu lu lorzu rów sę sume łędów względ zów.
Worzse zsd przeosze łędów Olz perws rów wdrowego woują olze z dołdośą do 5 r zzą. 8 8 78 78 7,98 8 7,98,8 lo r zząe 8 7,98 55,98 5 r zzą r,5,8 r,5 55,98 9 6
Worzse zsd przeosze łędów Worzse wzorów Vee 6 5 6 9 55,98,5,786,5,786 55,98 55,98 7,98 8 7,98 78 78 8 8 r r
Błęd msmle złożo wrżeń r,,,,,, D zleżość uj Prmer orzoe łędm. J jes łąd msml weloś złożoej?
Przłd szow łędu msmlego 6%,6,,, r,,,
Błęd sdrdowe złożo wrżeń,,,,,,,,, s s s s s s s s s D zleżość uj s o łęd sdrdowe zme. J jes łąd sdrdow weloś złożoej?
Przłd szow łędu sdrdowego,, s s s s s s s,,, s s s
Rozwązwe ułdu rówń A A A A A Przłd: + + = + + = + + = 8 A A 8 A =- = =
Merze przeszłe geomerze wersj P ode w płszzźe P oró os s s os P φ Merze rsormj geomerz są merzm orogolm Q Q Q Q Q T Q Q Q Q Q T os s s os os s s os os s s os Q Q Q Q Q T
Przeszłee merz przez podoeńswo Iseje odwzorowe A, óre przeszł : A Jeżel weor przeszłe są do weorów poprzez rsormję Q, j wgląd odwzorowe weor w weor? Q Jeżel orz, o Q A AQ Q Jeżel merz Q jes eosolw, o Q Q Q Q AQ AQ B Merze A B są swom rsormm przeszłom przez podoeńswo B Q AQ
Przeszłee - przłd os s s os Q φ=-5
Przeszłee - przłd (, )=(,) (, )=(,-) += -=- -5 (, )= (, )=,,
Rówe rersze merz λ slr, A() I() K() K = A λi merz rersz merz A dek = K(λ) = de(a - λi)=a - λi= rówe rersze merz K(λ) = λ + - λ - + - λ - + + λ + = Perws welomu K(λ): λ, λ,, λ -, λ zwm perwsm rerszm (wrośm włsm) merz A. Jeżel B = Q - AQ, o merz rersz merz B K = B λi = Q - AQ - Q - IQ = Q - (A - I)Q, wzz dek =B - λi= Q - A - λi Q = A - λi= Dwe merze zwąze przeszłeem przez podoeńswo mją e sme perws rersze.
Perws rersze, de, de I I A B A B
Merz dgol d d d d d d d d d d d d d d d d,,,, I D I D D Jeżel seje e przeszłee przez podoeńswo, óre merz A sprowdz do merz dgolej D, o eleme przeąej merz dgolej są zrzem perwsm rerszm (wrośm włsm) merz A.
Przłd dgolzj merz s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os s os os s s os os s s os os s s os os s s os AQ Q A Q A wzerowć eleme edgole: 8 os s s os Po przeszłeu orzmujem merz:, s os s os
Perws weor rersze C - AC jes przeszłeem dgolzująm merz A. Kolum merz C są weorm rerszm. Jeżel merz C jes orogol, o C - =C T, C - AC = C T AC. os C s 8 s 8 os 8 8 os s 8 8 s os 8 8 Ousroe pomożee merz A przez weor rersz dje wrość rerszą: os 8 os s os s 8 os s os os os s s os s os s 8 Ogóle: 8 8 T A 8 8 8 8 8 8 8 8,,, 8 s s 8 8
Regresj low 5 5 (, ) 5 (, ) 6 8 Regresj low: =*+ Zde: Wzzć opmle wroś orz. 76
Regresj low Podswowe złoże: ) Rozłd woół l prosej jes losow ) Wrj σ jes ezleż od Meod jmejsz wdrów:, Wzzm m Φ(,) względem orz :,, 77
78 Regresj low Rozwąze ułdu rówń ze względu, :
Regresj low Esm wrj dl wroś : s Esm wrj dl prmerów orz : s s s s Współz orelj lowej dl pró r r ov vr, S vr S S Wrość r zwer sę mędz - +. r> wszuje zleżość dodą, r< zleżość ujemą mędz orz. r= wszuje r zleżoś lowej mędz orz. 79
Regresj low - przłd -5 - -5 - -5 - -5-5 6 7 8 9 8
[m] [g] * * -*- (-*-)^ -sr -sr - - -..6-8 - 9 -.8.6-5 - 5-7 - 9 - -.8.6-9 -8 8 -..6-8 Sum: 5-65 -68..6 = -.6 g/m = g s^=.5 s=.7 g s^=. s=.55 s^=. s=.66 sr= 5 ov(,)= -6.8 sr= - vr()= 8. vr()= 69.6 r(,)= -.999 8
Węej o orelj - wdr -5 - -5 - -5 - -5-5 6 7 8 9 IV III I II μ Kwdr: I -μ < -μ < (-μ )(-μ )> II -μ > -μ < (-μ )(-μ )< III -μ > -μ > (-μ )(-μ )> IV -μ < -μ > (-μ )(-μ )< μ ov(, ) ov, 8
r Współz orelj lowej ov vr, S vr S S r=- -<r< r= <r< r= 8
Regresj low jo ułd rówń Newdome:, Szum rozwąz ego, uzsć m Zps merzow: J
Ułd rówń dmrow J J ε ε ε J T T Poszuujem rozwąz, dl órego T jes mmle. J J J J J J J J J ε ε J J J J J J J J J J J T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T olzoe wroś prmerów zpewją mmlzję sum wdrów odleń od prosej
Przłd przedswe merzowego 9,5 5, 8 8 5 8 8 6 8 * de 8 6 8 6 8 6 5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 J J J J J J J J T T T T
Wres d zd 6 5 5 6 7 8 9
Wrj dl zmeej 8 J 6 5 8 Wrje s, 5,,9 9,5,,7 ε T ε,,9,,7 ε s,,9,,7, 9 Wrje owrj dl prmerów 5,8 s ov(, ) ov(, ) s s,6 8 8 58 8 8 J T J,9* 8 8 58 8 8 8 Współz orelj lowej r ov(, ) 58,6*8,, 9 s s
Jo W regresj lowej uj modelu o pros = * +. Jo o merz pood po prmer, we wszs pu d =,,, J Jeżel do d elśm dopsowć welom -go sop = + * + *, o jo mł posć: J
Rozłd złożoego psm Psmo dośwdzle Nleż dopsowć do psm rzwe Guss w pos 5 5 5 5 5 5 P e - wsoość - położee - szeroość 9
Meod jmejsz wdrów { }, =:M, M dopsow prmerów Fuj łędu (sum po pu): Φ{ } = j [ j (dośw) - j ({ }] Zde Mmlzowć Φ modują zór { } srują z wroś poząow { } 9
Fuj łędu jo 9 e P e P e P N P P e P Rozłd N psm Eleme jou
Algorm 9 P P P P P P P P J Y Poprwo wrość { } J T Y J T J
Meod jmejsz wdrów 5 5 5 5 5 Kro Psmo rozłożoe słdowe 5 5 5 5 9