ALGORYTM STRAŻAKA W WALCE Z ROZLEWAMI OLEJOWYMI

JOLANTA MAZUREK Akademia Morska w Gdyni Katedra Matematyki ALGORYTM STRAŻAKA W WALCE Z ROZLEWAMI OLEJOWYMI W artykule rzedstawiono model wykorzystujący narzędzia matematyczne do ustalenia reguł oraz rozwiązań, które mogą być rzydatne w sytuacjach zagrożeń ekologicznych takich jak rozlewy olejowe. Algorytm strażaka zastosowano do ograniczenia rozrzestrzeniającego się rozlewu. Zdefiniowano model oisujący rozważaną sytuację, zarezentowano rozwiązanie oarte na określonej liczbie dostęnych środków oraz rzedstawiono odstawowe charakterystyki omawianych zmiennych. 1. OPIS MODELOWANEGO SYSTEMU Modelowany system składa się z siatki, która rerezentuje akwen. Na akwenie ojawia się rozlew olejowy. W celu zabezieczenia roztaczającej się lamy należy ją otoczyć secjalnymi zaorami zaobiegającymi rozrzestrzenianiu się rozlewu [3]. Do analizy modelu zostanie wykorzystany tzw. algorytm strażaka, ozwalający otoczyć rozlew, oszacować, ile czasu otrzeba na wykonanie akcji oraz ile węzłów siatki zostanie ochłoniętych rzez olej. 1.1. Siatka modelu Jako model rozważa się rostokątną siatkę, która rerezentuje akwen. Akwen ten dzieli się na regularne, rzylegające do siebie rostokąty, których kształt (długości boków) zależy od lokalnych warunków rozrzestrzeniania się rozlewu (n. rądy morskie). Każdemu rostokątowi rzyorządkowany jest odowiedni węzeł siatki, a rostokątom mającym wsólny bok odowiadają węzły ołączone krawędzią (rys. 1). Rys. 1. Siatka modelu

34 PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 6, 011 1.. Czas akcji Czas akcji liczony jest za omocą cykli. W cyklu zerowym na akwenie ojawia się rozlew oleju. Zakłada się, że oczątkowa wielkość lamy to jeden rostokąt (jeden węzeł). W każdym kolejnym cyklu rozlew rozrzestrzenia się równomiernie w czterech kierunkach na wszystkie rzylegające węzły. Dzieje się tak do momentu rozoczęcia akcji otaczania lamy. Brak dokładnych danych dotyczących czasu otrzebnego na dotarcie jednostek do rejonu rozlewu (warunki hydrometeorologiczne, stan gotowości ludzi i srzętu) oraz brak informacji na temat ołożenia lamy owodują, że nie można rzewidzieć, w którym cyklu rozocznie się akcja. Należy rzyjąć, że liczba cykli (d) trwających od chwili ojawienia się rozlewu do momentu rozoczęcia akcji jest losowa; oznacza się ją symbolem t d. Prawdoodobieństwo ojedynczego zdarzenia, olegającego na rozoczęciu akcji, dla każdego z cykli jest równe. Liczba cykli niezbędnych do rozoczęcia działań, czyli do ostawienia ierwszej zaory, oisana jest rozkładem geometrycznym: k 1 PX ( = k) = (1 ) ; k= 1,,3... 0,1 W cyklu t d = d + 1 zaczyna się akcja otaczania rozlewu. Każdy cykl rozoczyna się od ruchu ekiy walczącej z rozlewem i kończy na reakcji roztaczającego się rozlewu. Ekia oraz rozlew wykonują swoje ruchy narzemiennie. Cykl t d = d +1 jest również ierwszym cyklem odjętej akcji. Od tego momentu wrowadza się symbol t, który oznacza liczbę cykli akcji. 1.3. Akcja W modelu zakłada się, że siły i środki dostęne do wykonania akcji ozwalają na umieszczenie dwóch zaór w każdym z cykli o rozoczęciu akcji. Ekia umieszcza na węzłach zaory zaobiegające rozrzestrzenianiu się rozlewu. Stan każdego węzła jest niezmienny; węzeł zajęty rzez zaorę stanowi nierzenikalną barierę dla rozlewu, a węzła zajętego rzez olej nie można już uratować. (. ALGORYTM OTACZANIA ROZLEWU Przebieg akcji i ołożenie kolejnych zaór określa algorytm strażaka. Zgodnie z algorytmem [] zakłada się, że źródło rozlewu to węzeł o wsółrzędnych (0, 0). Działania odzielone są na cztery etay. W każdym z etaów ekia tworzy tzw. linię ataku, stawiając zaory w taki sosób, aby okrążyć rozlew na jednej z ćwiartek siatki. Równolegle z atakiem wykonywane są minimalne działania obronne, by rozlew nie okrążył zaór (tzw. linia obony). Eta I rozoczyna się i kończy odowiednio w cyklu t = 1 i w cyklu t = d. Zadanie ekiy olega na otoczeniu rozlewu w trzeciej ćwiartce, co ostatecznie rowadzi do umieszczenia zaory na ozycji (0, 3 d). W niearzystych cyklach

J. Mazurek, Algorytm strażaka w walce z rozlewami olejowymi 35 ( t = k + 1, 0 k d 1) umieszcza się jedną zaorę na linii obrony i jedną na linii ataku, w cyklach arzystych ( t = k, 1 k d) umieszcza się dwie zaory na linii ataku. Pozycje zaór w cyklu t = k + 1, 0 k d 1: (-d 1 k, k), ( d + k, 3k 1) Pozycje zaór w cyklu t = k, 1 k d: ( d 1 + k, 3k + 1), ( d + k, 3 k) Eta II rozoczyna się i kończy odowiednio w cyklu t = d + 1 i w cyklu t = 8 d. Ekia kontynuuje otaczanie rozlewu (atak) w czwartej ćwiartce w taki sosób, by dojść do ozycji (9 d, 0). Podobnie jak w etaie ierwszym, w niearzystych cyklach ( t = k + 1, d k 4d 1) umieszcza się jedną zaorę na linii obrony i jedną na linii ataku, w cyklach arzystych ( t = k, d + 1 k 4 d) dwie zaory w ataku. Pozycje zaór w cyklu t = k + 1, d k 4d 1: ( d 1 k, k ),(3( k d) + 1, k 4 d) Pozycje zaór w cyklu t = k, d + 1 k 4d : (3( k d) 1, k 4d 1), (3( k d), k 4 d) Eta III rozoczyna się i kończy odowiednio w cyklach: t = 8 d + 1 i t = 18 d + 1. Zadanie ekiy olega na otoczeniu rozlewu w ierwszej ćwiartce; ozycja ostatniej zaory to ( 019, d + 1). W tym etaie należy ostęować inaczej niż w orzednich etaach, onieważ w niearzystych cyklach ( t = k + 1, 4d k 9 d) umieszcza się dwie zaory na linii ataku, a w arzystych ( t = k, 4d + 1 k 9 d) jedną zaorę na linii obrony i jedną na linii ataku. Pozycje zaór w cyklu t = k + 1, 4d k 9 d: ( k 9d 1,3k 8 d), ( k 9 d,3k 8d + 1) Pozycje zaór w cyklu t = k, 4d + 1 k 9 d: (5 d + k, k 4 d), ( k 9d 1,3k 8d 1) Eta IV rozoczyna się i kończy odowiednio w cyklach: t = 18d + i t = 3 d + 1. Ekia kontynuuje działania w drugiej ćwiartce, dążąc do ostatecznego otoczenia rozlewu. Podobnie jak w etaie trzecim, w niearzystych cyklach

36 PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 6, 011 ( t = k, 9d + 1 k 16 d) umieszcza się dwie zaory na linii ataku, a w arzystych ( t = k + 1, 9d + 1 k 16 d) jedną zaorę na linii obrony i jedną na linii ataku. Pozycje zaór w cyklu t = k, 9d + 1 k 16 d: (5 d + k, k 4 d), (3( k 9 d), 8d k + ) Pozycje zaór w cyklu t = k + 1, 9d + 1 k 16 d: (3( k 9 d) 1, 8d k + ), (3( k 9 d), 8d k + 1) 3. OBSZAR ROZLEWU Algorytm strażaka ozwala również obliczyć wielkość obszaru ochłoniętego rzez rozlew. W tym celu niezbędne jest zdefiniowanie zbioru D k ; jest to zbiór wierzchołków oddalonych od źródła rozlewu (wierzchołka o wsółrzędnych (0, 0) ) na odległość k. Twierdzenie [1] d Niech w nieskończonej kracie ojawia się rozlew w Dk wierzchołkach. Mając k = 0 do dysozycji dwie zaory w każdym cyklu, można otoczyć rozlew w 3d + 1 cyklach, a liczba wierzchołków, na które rozrzestrzenił się rozlew, wynosi 318d + 14d + 1. Dowód Aby obliczyć liczbę wierzchołków, należy odzielić obszar rozlewu na sześć części, w sosób jak na rysunku. Na rysunkach i 3 zastosowano nastęujące oznaczenia: biały wierzchołek źródło rozlewu, czarne wierzchołki rozlew, jasnoszare i ciemnoszare wierzchołki odowiednio zaory obrony i ataku.

J. Mazurek, Algorytm strażaka w walce z rozlewami olejowymi 37 Źródło rozlewu (0,0) Rys.. Obszar ograniczonego rozlewu dla d = 1 Rys. 3. Obszar ograniczonego rozlewu dla d =

38 PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 6, 011 Łatwo zauważyć ewną analogię, dzięki której można obliczyć liczbę wierzchołków kolejnych obszarów rolewu. Liczba wierzchołków w obszarze A: 7 d(3+ 1 d) 147d + 1d 3+ 6+ + 1d = = Liczba wierzchołków w obszarze B: 1 d (1 + 1 d) 1+ +... + 1d + 9 d 1d = + 108d = 6d + 180d Liczba wierzchołków w obszarze C: Liczba wierzchołków w obszarze D: 3 d (3+ 9 d) 3+ 6 +... + 9d = = 7d + 9d (3 + 3( d 1))( d 1) 1+ 3+ 6 +... + 3( d 1) = 1+ = 1+ 3d 3d Liczba wierzchołków w obszarze E: 4 d (1+ 4 d) 1+ +... + 4 d + d 4d = + 4d = 1d + d Liczba wierzchołków w obszarze F: (3 + 15d 3)(5d 1) 3+ 6 +... + 15d -3= = 75d 15d Po zsumowaniu liczby wierzchołków rozlewu każdego z obszarów otrzymuje się liczbę wierzchołków ochłoniętych rzez rozlew w całej kracie: 147d + 1d + 6d + 180d + 7d + 9d + 1+ 3d 3d + 1d + d + 75d 15d = 5 1 = 19d + 8d + 1+ d + d = 318d + 14d + 1 4. MODEL Z LOSOWYM CZASEM ROZPOCZĘCIA AKCJI Nieełność i nieewność danych o zdarzeniach inicjujących rozlew olejowy owoduje konieczność rzyjęcia założenia o losowym numerze cyklu, w którym nastąi rozoczęcie akcji. Przyjmując, że dla każdego z cykli rawdoodobieństwo rozoczęcia akcji w danym cyklu jest takie samo, otrzymuje się nastęującą charakterystykę losową.

J. Mazurek, Algorytm strażaka w walce z rozlewami olejowymi 39 Liczba cykli, które ułyną do momentu rozoczęcia akcji d oisana jest rozkładem geometrycznym: PX ( = k) = (1 ) k = 1,,3... ( 0,1, q= 1 W celu analizy zmiennej losowej czasu akcji oraz zmiennej losowej liczby wierzchołków rozlewu niezbędne są nastęujące obliczenia: d 1 d= 1 d= 0 d 1 d d d= 1 d= 0 d= 0 q k 1 d = q 1 1 = = 1 q d d d 1 dq = q = q = 1 1 dq dq dq 1 q = = (1 q) d ( 1) d d d d d 1 d 1 dd q = q = q = = = = 3 3 d= 1 d= 0 dq dq d= 0 dq 1 q dq(1 q) (1 q) d 1 d 1 dq = ( dd ( 1) + dq ) = d= 1 d= 1 d 1 d 1 d d 1 = dd ( 1) q + dq = q dd ( 1) q + dq = d= 1 d= 1 d= 1 d= 1 1 q+ = q + = = 3 3 3 4.1. Zmienna losowa oisująca czas trwania akcji Zmienna Y = 3 d + 1 to zmienna oisująca czas trwania otaczania rozlewu. Zmienna ta ma nastęujący rozkład: 0, gdy k 1 I 1 ( ) 3 ( ) (3 1 ) k PY= k = P d+ = k = P d= = k 1 3 1 (1 ) 3, gdy k 1 I 3 Wartość oczekiwana zmiennej Y to średnia wartość czasu trwania akcji (średnia liczba cykli). 3 d 1 EY = 33+ 65q+ 97q + 19 q +... = (3d + 1) q = d = 1 1 1 3 3 + = 3 dq + q = 3 + = + 1 = d 1 d 1 d= 1 d= 1

40 PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 6, 011 Wykres wartości oczekiwanej EY w zależności od arametru (rys. 4) jest funkcją malejącą o wartościach odwrotnie roorcjonalnych do wartości arametru. Rys. 4. Wykres wartości oczekiwanej EY w zależności od arametru 4.. Zmienna losowa oisująca obszar zajęty rzez rozlew Zmienna losowa nastęujący rozkład: Z = 318d + 14d + 1 oisuje obszar zajęty rzez rozlew i ma PZ ( = k) = P(318d + 14d + 1 = k) = 0, gdy 7 k 69 + I 318 318 (318) 7 k 69 = P d = + 318 318 7 k 69 (318) = + 1 318 318 (318) (1 ), gdy 7 k 69 + I 318 318 (318) lub 0, gdy 7 k 69 I 318 318 (318) 7 k 69 = P d = 318 318 7 k 69 (318) = 1 318 318 (318) (1 ), gdy 7 k 69 I 318 318 (318)

J. Mazurek, Algorytm strażaka w walce z rozlewami olejowymi 41 Wartość oczekiwana zmiennej Z to średnia liczba obszaru zajętego rzez rozlew (średnia liczba wierzchołków, ól). d 1 d 1 d 1 d 1 EZ = (318d + 14d + 1) q = 318 d q + 14 dq + q = d= 1 d= 1 d= 1 d= 1 q+ 1 1 q+ 1 636(1 ) + 33 + = 318 + 14 + 318 14 1 3 = + + = = = 304 + 636 Wykres na rysunku 5 rzedstawia wartość oczekiwaną zmiennej Z w zależności od arametru. Podobnie jak w rzyadku wartości oczekiwanej czasu trwania akcji także wartość oczekiwana obszaru zajętego rzez rozlew jest odwrotnie roorcjonalna do arametru. Rys. 5. Wykres wartości oczekiwanej EZ w zależności od arametru

4 PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 6, 011 WNIOSKI Wraz ze wzrostem cykli trwających do momentu rozoczęcia akcji (arametru d) wzrasta liczba sił i środków (zaór) otrzebnych do otoczenia rozlewu oraz obszar, na który rozwinie się rozlew. Na wykresach rysunków 4 i 5 widać, jak zmieniają się wartości średnie czasu akcji oraz obszaru zajętego rzez rozlew. Istotny zarówno dla czasu trwania akcji, jak i wielkości skażonego obszaru jest czas do rozoczęcia akcji liczony od momentu owstania rozlewu (oóźnienie). Na wielkość oóźnienia wływa bezośrednio rawdoodobieństwo rozoczęcia akcji w danym cyklu. Wartość arametru zależy zarówno od możliwości wykrycia rozlewu i owiadomienia odowiednich służb, jak i od wielkości oraz rozmieszczenia osiadanych sił i środków do ratownictwa ekologicznego. W rzyadku czasu trwania akcji dla ( 0; 0,1) rzy niewielkich zmianach arametru wystęują bardzo duże zmiany wartości średniej czasu akcji; odobnie dzieje się dla obszaru zajętego rzez rozlew. Dla większych wartości arametru różnice omiędzy wartościami średnimi są niewielkie. Przedstawione w artykule modele i zależności ozwalają na oszacowanie otymalnego ze względu na ograniczenia dla czasu trwania akcji i owierzchni obszaru skażonego rozmieszczenia jednostek ratowniczych. LITERATURA 1. Fogarty P., Catching the Fire on Grids, University of Vermont, 003.. Mazurek J., Problem strażaka w grafach kratowych, raca magisterska, Politechnika Gdańska, Gdańsk 009. 3. Mazurek J., Smolarek L., Algorytm strażaka a ograniczanie skutków rozlewów olejowych, Problemy Eksloatacji, 011, nr 1, Radom, s. 19 136. THE FIREFIGHTER ALGORITHM IN THE FIGHT AGAINST OIL SPILL Summary The article resents the use of mathematical tools to determine the rules and ractices that may be useful in situations where environmental threats such as oil sills. "Firefighter algorithm" was used here to reduce the sread of the sill. Defined model describes the situation under consideration, resented a solution emloying a number of resources available and shows the basic characteristics of the described variables.