Rozkład χ Niech ziea losowa a rozkład oralyn(; µ,). Zajdziey rozkład zieej: µ Stadaryzjąc zieą losową µ otrzyjey stadaryzoway rozkład Gassa: ( ;, ) ep N 0 π Rozkład zieej a więc postać: d ( X + ) N N ep d π Rozważy dwie iezależe ziee losowe i z tego saego rozkład oralego, i zajdźy rozkład zieej losowej: Szkay rozkład a postać: M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład - µ µ + dt X X t X t dt ep ep π t( t) 0 0
X Rozkład χ Postępjąc tak dalej zajdjey rozkład sy kwadratów iezależych, stadaryzowaych zieych losowych każda z rozkład Gassa, zway rozkłade χ : gdzie ideks ozacza liczbę stopi swobody. Wartość oczekiwaa i wariacja: E[] V[] ep, >, 0 0 Γ Math Player Math Player Math Player Zachowaie dla dżych : z + z M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -3
Rozkład χ Jak ziei się rozkład zieej losowej w przypadk gdy:... + + + Wychodząc z łączego rozkład p-twa zieych,,, : f (,,..., ; µ, ) N ( i; µ, ) ep i µ i ( π ) i oża pokazać, że łączy rozkład p-twa zieych oraz a postać: ( µ ) g(, ;, ) ep ep µ ;, X N µ π Γ Wioski:. Ziee i są statystyczie iezależe. M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -4. Rozkład zieej to rozkład χ o - stopiach swobody (życie średiej ziejsza liczbę iezależych składików w sie).
Rozkład χ Korzystając z rozkład zieej losowej zajdjey rozkład zieej: s i i który a postać: ( ) ( ) f ( ;, ) ep Γ Wartość oczekiwaa zieej : [ ] s [ ] E E E Wariacja zieej : [ ] s [ ] V V V Wartość oczekiwaa i wariacja estyatora s : [ s ] [ ] ˆ E V s V[ s] s Podoba aaliza prowadzi do wiosk, że statystyką o - stopiach swobody jest też: s gdzie s s i ( ) i M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -5 4
Rozkład Stdeta Aby ikąć proble iezaej dyspersji rozkład oralego w zieej typ χ, rozważy statystykę postaci (Stdeta): µ µ µ s s µ z Uogólijy rozważaą zieą losową a zieą: t t gdzie jest zieą z rozkład oralego o paraetrach µ i, a z jest stadaryzowaą zieą gassowską. Natoiast ziea podlega rozkładowi χ o stopiach swobody. Łącza gęstość p-twa zieych z oraz a postać: (, ) ep z ep h z π Γ M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -6
Rozkład Stdeta W stadardowy sposób zajdjey rozkład zieej losowej t: z z z t t z t t / J t 0 Łączy rozkład p-twa zieych t oraz : g t, h z t,, t, J t, + t t ep ep + + π Γ Γ π Rozkład brzegowy zieej t: S t t g t, d q + 0 + + t q Γ t + q ep dq + + π Γ Γ 0 π + + M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -7
Rozkład Stdeta o stopiach swobody: Rozkład Stdeta ( Γ + ) ( + ) t S t g( t, ) d + 0 π Γ,,... < t < Dla rozkład Stdeta przechodzi w rozkład Cachy ego: S( t) π + t Uwaga: Dla rozkład Cachy ego ie istieją wartość oczekiwaa ai wariacja. Wartość oczekiwaa rozkład Stdeta (dla >): E[ t] ts t dt 0 Wariacja (dla >): [ t] V t S t dt M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -8 Math Player
Rozkład Stdeta Przykład: Sprawdzay rzetelość prodceta ckr. Ważyy 5 toreb ckr (których waga etto powia wyosić kg) otrzyjąc 960 g oraz s 0. g. Czy prodcet jest czciwy w raach trzech odchyleń stadardowych? Rozkład oraly: P(µ3 < < µ+3) 0.9973 Obliczay wartość statystyki Stdeta: Obliczy p-two: P( 960 040) P( -4 t 4) 09839. Dla rozkład Stdeta: P( -6. 6 t 6. 6) P( 934 < < 066) 0. 9973 t µ 960000-4 s 0 M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -9
Rozkład Sedecora-ishera Rozważy dwie ziee losowe oraz każda o rozkładzie χ, odpowiedio o i stopiach swobody. Kostrjey statystykę ishera: Łącza gęstość p-twa zieych oraz a postać: h, (, ) ( ) ep ( ) ep Γ Γ Iteresje as rozkład zieej losowej : J 0 ( ) g, (, ) + ep + + Γ Γ M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -0
Rozkład Sedecora-ishera Rozkład brzegowy zieej azyway rozkłade - ishera o (,) stopiach swobody: ( Γ + ),,, > 0, 0 ( + ) Γ Γ ( + ) Wartość oczekiwaa (dla >): [ ] E Wariacja (dla >4): V[ ] ( + ) ( ) ( 4) Zachowaia graicze: : rozkład S (t) : rozkład χ () i : r. Gassa Uwaga: Kwatyle rozkład - ishera spełiają relację f (, ) α (, ) Math Player M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład - f α
Rozkład Sedecora-ishera Przykład: Porówaie odchyleń stadardowych. Kostrjey dwie statystyki oraz y podlegające rozkładowi χ o - i - st. swobody: s ( ) s (y y) i y y i i y y i Z wielkości tych ożey zbdować zieą ishera: s s s / y y y s y / y Ziea ta podlega rozkładowi - ishera o (-, -) stopiach swobody i dostarcza arzędzia do testowaia hipotez o rówości wariacji w dw próbach prostych wylosowaych z rozkład oralego. M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -
Rozkład Sedecora-ishera s s y Przykład: Zakładając, że i są estyatorai wariacji obliczoyi z próbek 0 i 8 eleetowych pobraych z rozkładów takich, że 3 y, zajdź wartości a i b dla których zachodzi s P a b. s 090 y Wiey, ze ziea losowa: s / s / 3 s / s / s y s y y y y 3 y a rozkład -ishera o 9 i 7 stopiach swobody, a więc: s s. P f. (, ). (, ) P. (, ) s f y f. (, ) s f 0 90 005 9 7 0 95 9 7 095 9 7 3 095 7 9 3 y Z tablic odczytjey: f oraz f Ostateczie więc otrzyjey: 7, 9 39. 9, 7 368. 0. 95 095. s s 090. P 368. P... s 09 04 y s 39 3 y M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -3