Wykład 1 Informatyka Stosowana 2 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 1 / 33
Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne tygodniowo = 2h15min Ćwiczenia: 15h - ćwiczenia "tablicowe" w semestrze zimowym 15h - laboratoria w semetrze letnim Wykład w semestrze zimowym: (w planie: 7:15-10:00 z uwzględnieniem dwóch przerw 15 minutowych) Wykład 7:30-10:00 (uwzględnia 1 przerwę) Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 2 / 33
Dla studentów 1-ego roku obecność na wykładach jest obowiazkowa!!! (podczas wykładu moga być sporzadzane listy obecności) Dopuszczalne 3 nieusprawione nieobecności na wykładach Nieobecności na wykładach można usprawiedliwiać Zaliczenie egzaminu od 50% punktów (przy każdym zadaniu podana liczba punktów) Aby przystapić do egzaminu należy mieć zaliczone ćwiczenia Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 3 / 33
Jak wyglada egzamin? Imię i nazwisko... liczba punktów:... Informatyka Stosowana, EGZAMIN, 2016.09.09 2x + y z + w = 0 i) y + 2z + w = 1, ii) A = 3x 2z = 2. Zad.1 1 0 2 1 1 2 3 1 1, b = 1 0 1 (1p) Rozwiazać układ równań i) (bez stosowania metody podstawiania!!!)., iii) Rzad 1 { x 2y 6 3x + y 1. Zad.2 Zad.3 Zad.4 Zad.5 (1.5p) Obliczyć A 1 i A 1 b, gdzie A i b zadane sa ii). (1.5p) Rozwiazać graficznie i za pomoca odpowiedniego "układu równań" układ nierówności iii). (1p) Znaleźć wartość największa i najmniejsza funkcji f (x, y) = x + y przy warunkach: (1p) Podać definicję pierścienia. x + y 6, 3x + y 2, x 0, y 0. Zad.6 (1p) Sprawdzić, czy odwzorowanie f (x 1, x 2 ) = (2x 1, x 2 2, 2x 1 + x 2 ) jest liniowe.. Zad.7 (2p) W zbiorze R określamy działania i następujaco: a b = a + b 1, a b = 2ab + 1.Wyznaczyć: a) element neutralny e działania, b) element odwrotny dla dowolnego a. Obliczyć 1 1, 2 1. c) wyznaczyć element neutralny e względem działania, (uwaga!!: dla każdego a jest inny ) d) element odwrotny do a względem działania. Obl. 3 1, 4 1. Zad.8 Zad.9 (1p) Sprawdzić, czy wektory (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 1) sa liniowo niezależne w R 4. (2p) Rozważmy punkty A = (3, 1, 2), B = (1, 2, 3), C = (0, 1, 0). Wyznaczyć: a) równanie płaszczyzny π przechodzacej przez punkty A,B i C; b) kosinus kata ABC; c) długość środkowej BS d) odległość od płaszczyzny π punktu (1, 1, 1). Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 4 / 33
Kontakt : najlepiej rozpoczać od kontaktu mailowego: mbucko@utp.edu.pl osobisty (najlepiej podczas konsultacji, ale dogodny termin można umówić również mailowo) termin konsultacji podam wkrótce ( łacznie 1,5h ) treści wykładów nie trzeba przepisywać, pliki będa udostępniane imif.utp.edu.pl/m-alama-bucko pliki z wykładów moga nie zawierać wykresów, rozwiazań zadań, itp. i dlatego warto je notować tzw. "szybki" kontakt ze Starosta (numer telefonu do kontaktu) Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 5 / 33
Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 6 / 33
Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 7 / 33
Co w Sylabusie? a) logika b) analiza matematyczna c) algebra d) rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (?) e) elementy programowania liniowego Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 8 / 33
Literatura podstawowa 1. Leitner R., Zarys matematyki wyższej dla studentów cz.i, WNT Warszawa 2. Marek W., Onyszkiewicz J., Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN Warszawa 3. Maćkiewcz A., Algorytmy algebry liniowej metody bezpośrednie, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej 4. Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz. IA, cz.ib PWN Warszawa 1975 5. Plucińska A., Pluciński E., Probabilistyka: Rachunek prawdopodobieństwa, Statystyka matematyczna, Procesy stochastyczne WNT, Warszawa Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 9 / 33
Literatura uzupełniajaca 1. Białynicki - Birula A., Algebra, PWN Warszawa 2. Żakowski B. W., Kołodziej W., Matematyka WNT, Warszawa 1975 3. Jakubowski J., Sztencel R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT Warszawa 2001r. 4. Gewert M, Skoczylas Z. - cała seria Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 10 / 33
Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 11 / 33
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami w sensie logiki, tzn. takimi zdaniami orzekajacymi, które sa prawdziwe albo fałszywe. Zdanie prawdziwe ma wartość logiczna 1. Zdanie fałszywe ma wartość logiczna 0. Zdania oznaczamy małymi literami: p, q, r,... Wartość logiczna zdania p można zapisać w postaci w(p). Zdania pytajace i rozkazujace nie sa zdaniami w sensie logiki. Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 12 / 33
Przykład 1. "13 jest liczba parzysta" ma wartość logiczna 0 (bo fałsz) 2. "13 jest pechowa liczba " nie jest zdaniem (logicznym), bo nie jest ani prawdziwe ani fałszywe. 3. "n jest liczba parzysta" nie jest zdaniem (logicznym). Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 13 / 33
Z jednego albo kilku zdań przy użyciu operatorów logicznych (zwanych również spójnikami zdaniowymi albo funktorami zdaniotwórczymi) możemy utworzyć nowe zdania (tzw. zdania złożone). Podstawowe operatory logiczne: operator jednoargumentowy zaprzeczenie (negacja) (nie; nieprawda, że ) operatory dwuargumentowe koniunkcja (i ) alternatywa (lub ) alternatywa rozłaczna () implikacja (implikuje ) równoważność (jest równoważne ) Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 14 / 33
zaprzeczenie (negacja) zdania p oznaczamy p albo p czytamy: "nieprawda, że p"; "nie p"; tabelka wartości p p 0 1 1 0 Jaka wartość logiczna ma zdanie ( p)? (tzw. podwójne zaprzeczenie) Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 15 / 33
koniunkcja zdań p i q (tzw. iloczyn logiczny zdań p i q) oznaczamy p q czytamy: "p i q" zdania p i q nazywamy czynnikami tabelka wartości p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania sa prawdziwe. Najłatwiej liczac p q po prostu wymnożyć wartości logiczne składowych zdań. W informatyce: If (warunek1)&(warunek2) then..., If (warunek1)&&(warunek2) then... Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 16 / 33
iloczyn logiczny jest przemienny p q q p iloczyn logiczny jest łaczny (p q) r p (q r) Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 17 / 33
alternatywa zdań p i q (tzw. suma logiczna zdań p i q) oznaczamy p q czytamy: "p lub q" zdania p i q nazywamy składnikami tabelka wartości p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, gdy co najmniej jedno ze zdań jest prawdziwe. Alternatywa dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba zdania sa fałszywe. W informatyce: If ( warunek 1 or warunek 2 ) then... If ( warunek 1 warunek 2 )... Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 18 / 33
alternatywa logiczna jest przemienna p q q p alternatywa logiczna jest łaczna (p q) r p (q r) Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 19 / 33
alternatywa rozłaczna, różnica symetryczna, xor zdań p i q oznaczamy p q czytamy: "albo p albo q" ("albo" oznacza: "dokładnie jedno ze zdań p i q ") tablica wartości p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Działanie XOR dwóch zdań jest prawdziwe, gdy dokładnie jedno ze zdań jest prawdziwe. Działanie XOR dwóch zdań jest fałszywe, gdy zdania p i q maja te same wartości logiczne. różnica symetryczna jest przemienna: p q q p różnica symetryczna jest łaczna: (p q) r p (q r) Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 20 / 33
implikacja (wynikanie) oznaczamy p q czytamy "jeżeli p to q" zdanie p nazywamy poprzednikiem, a zdanie q- następnikiem tabelka wartości p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy z prawdy wynika fałsz. Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 21 / 33
równoważność p q czytamy: "p wtedy i tylko wtedy, gdy q" tabelka wartości p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Dwa zdania sa równoważne, gdy maja takie same wartości logiczne, czyli sa równocześnie prawdziwe, albo równocześnie fałszywe. Zaprzeczeniem działania jest działanie XOR, zatem p XOR q (p q) Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 22 / 33
Przykład p - zdanie " Bydgoszcz jest stolica Polski", q - zdanie " UTP jest w Bydgoszczy" Określić wartość logiczna zdań: p, q, p q, p q, p q, q p, p q. Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 23 / 33
Definicja Tautologia (inaczej prawem rachunku zdań) nazywamy zdanie złożone, które jest prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań, z których jest złożone. Jest wiele metod służacych weryfikacji, czy dane zdanie jest tautologia. np. metoda nie wprost, metoda "tabelkowa" na wykładzie sprawdzenia będziemy dokonywać za pomoca tabelek tworzymy tabelkę zero-jedynkowa, w której dla wszystkich możliwych wartości logicznych zdań prostych weryfikujemy, czy zdanie złożone jest zawsze prawdziwe Przykład 1: (p q) r (p r) (q r) Przykład 2: [(p q) (p r)] [(q r) p] Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 24 / 33
Niektóre prawa rachunku zdań: 1. prawo podwójnego przeczenia : ( p) p 2. prawo wyłaczonego środka: p ( p) 3. prawa de Morgana: 4. (p q) p ( q) 5. p q ( q) ( p) 6. p q q ( p) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) r (p r) (q r) 9. [(p q) r] [p (q r)] 10. (p q) [(p q) (q p)] (p q) ( p) ( q) (p q) ( p) ( q) Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 25 / 33
Kwantyfikatory Definicja Wyrażenie "dla każdego x" nazywamy kwantyfikatorem ogólnym i oznaczamy x. Wyrażenie "istnieje x" nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym i oznaczamy x. Zapis x X x X p(x) oznacza: dla każdego x ze zbioru X zachodzi p(x). p(x) oznacza: w zbiorze X istnieje x taki, że zachodzi p(x). Oczywiście x p(x) x p(x) ale x p(x) x p(x) Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 26 / 33
Przykład x R x 2 + 4 > 0 - zdanie prawdziwe Zatem również x R x 2 + 4 > 0 jest zdaniem prawdziwym. x R x 2 + 4 = 0 - zdanie fałszywe x R x 2 4 = 0 - zdanie prawdziwe n N 4n > 20 - zdanie fałszywe (bo np. liczby 1, 2, 3, 4, 5 tej nierówności nie spełniaja) Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 27 / 33
Kwantyfikatory można łaczyć: x y x y - dla każdego x istnieje y - istnieje taki x, że dla każdego y Przykład x R y R x + y = 2 prawda, bo taki y ma wartość y = 2 x x R y R xy 2 0 prawda, bo taka nierówność jest prawdziwa dla x 0 x R y R xy 2 0 nieprawda, bo np. dla x = 2 taki y nie istnieje Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 28 / 33
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów: ( x p(x)) x ( p(x)) ( x p(x)) x ( p(x)) Zatem ponieważ x R x 2 + 1 > 0 jest prawda, więc zaprzeczenie jest fałszem ( x R x 2 + 1 > 0) x R ( (x 2 + 1 > 0)) x R x 2 + 1 0 ponieważ x R (x 1) 2 < 0 jest fałszem, więc zaprzeczenie jest prawda ( x R (x 1) 2 < 0) x R ( (x 1) 2 < 0) x R (x 1) 2 0 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 29 / 33
Jeszcze kilka dodatkowych wzorów: x (p(x) q(x)) x p(x) x q(x) x (p(x) q(x)) x p(x) x q(x) x (p(x) q(x)) x p(x) x q(x) x (p(x) q(x)) x p(x) x q(x) Przykład x (x > 0 x 2 = 4) x x > 0 x x 2 = 4 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 30 / 33
Zdefiniowana logikę wykorzystujemy w budowaniu tzw.bramek logicznych (->Wikipedia->Bramka logiczna) Bramka logiczna - element konstrukcyjny maszyn i mechanizmów (dziś zazwyczaj: układ scalony...), realizujacy fizycznie pewna prosta funkcję logiczna, której argumenty (zmienne logiczne) oraz sama funkcja moga przybierać jedna z dwóch wartości, np. 0 lub 1. Podstawowymi elementami logicznymi, stosowanymi powszechnie w budowie układów logicznych, sa elementy realizujace funkcje logiczne: alternatywy, koniunkcji, negacji. Sa to odpowiednio bramki OR, AND i NOT. Za pomoca dwóch takich bramek (OR i NOT lub AND i NOT) można zbudować układ realizujacy dowolna funkcję logiczna. Bramki NAND (negacja koniunkcji) oraz NOR (negacja sumy logicznej) nazywa się funkcjonalnie pełnymi, ponieważ przy ich użyciu (tzn. samych NAND lub samych NOR) można zbudować układ realizujacy dowolna funkcję logiczna. Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 31 / 33
Zatem bramka logiczna realizuje pewna prosta funkcję logiczna o argumentach 0 i 1. W zależności od składowych funkcji logicznych mamy następujace rodzaje bramek: bramka NOT (zaprzeczenie ) bramka AND (iloczyn logiczny ) bramka NAND ( NOT AND = ) bramka OR (alternatywa logiczna ) bramka NOR (NOT OR = ) bramka XOR (NEQ) (alternatywa rozłaczna) bramka XNOR ( = NOT XOR, czyli zaprzeczenie alternatywy rozłacznej) Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 32 / 33
Dziękuję za uwagę! Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 33 / 33