Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna........................................... 3 2.2 Emisja wymuszona............................................ 3 2.3 Jak dziaªa laser?............................................. 4 3 Szczególne przypadki rozwi za«równania Schrodingera 4 3.1 Skok potencjaªu.............................................. 4 3.2 Efekt tunelowy.............................................. 6 3.3 STM/AFM................................................ 7 4 Dodatek 8 1 Niesko«czona studnia potencjaªu Ten przykªad nie ma wªa±ciwie sensu zycznego ale stanowi dobry (bo ªatwy) trening w rozwi zywaniu równania Schrödingera. Dokªadniejsze komentarze podane zostan na wykªadzie. Rysunek 1: Niesko«czona studnia potencjaªu. Wykres energetyczny. Funkcja opisuj ca energi potencjaln w tym zagadnieniu ma posta V = 0 dla 0 < x < L V = dla x 0 lub x L Cz stka mo»e przebywa tylko w obszarze pomi dzy ±cianami (dlaczego?) wi c: dla x 0 Ψ(x) = 0 (1.1) dla x L 1
1 NIESKO CZONA STUDNIA POTENCJAŠU Ψ(x) = 0 (1.2) Korzystaj c z (??) mo»emy zapisa równanie Schrodingera dla obszaru pomi dzy ±cianami w postaci: czyli 2 2m 2 Ψ x 2 = EΨ Wprowad¹my oznaczenie: Równanie (1.3) przyjmie wtedy posta : 2 Ψ x 2 = 2mE 2 Ψ (1.3) k 2 = 2mE 2 (1.4) 2 Ψ x 2 = k2 Ψ (1.5) Aby rozwi za równanie ró»niczkowe (1.5) skorzystamy z metody opisanej w Dodatku (Rozdziaª 4). Równanie charakterystyczne dla (1.5) b dzie miaªo posta : Pierwiastki równania charakterystycznego wynosz a rozwi zaniem równania (1.5) b dzie funkcja postaci: r 2 = k 2 r = ± 1k = ±ik Ψ(x) = Ae ikx + Be ikx (1.6) Dobra funkcja falowa musi speªnia okre±lone warunki. Przede wszystkim musi by ci gªa. Korzystaj c z równa«(1.1) i (1.2) mo»emy wi c zapisa Z równa«(1.6) i (1.7) wynika,»e wi c Ψ(0) = 0 (1.7) Ψ(L) = 0 (1.8) Ψ(0) = Ae 0 + Be 0 = A + B = 0 Podstawiaj c relacj (1.9) do rozwi zania (1.6) otrzymamy A = B (1.9) Ψ(x) = A ( e ikx e ikx ) = A [cos(kx) + i sin(kx) cos(kx) + i sin(kx)] = 2Ai sin(kx) (1.10) Zastosujemy teraz drugi warunek ci gªo±ci. Korzystaj c z (1.8) i (1.10) otrzymamy co jest równowa»ne Ψ(L) = 2Ai sin(kl) = 0 kl = nπ (1.11) c Mariusz Krasi«ski 2007 2
2 LASER Podstawiaj c warto± k (wzór 1.4) do warunku (1.11) mo»emy wyliczy energi cz stki uwi zionej w studni potencjaªu a st d 2mE L = nπ E = 2 π 2 2mL 2 n2 (1.12) Ostateczn posta funkcji falowej znajdujemy wykorzystuj c (1.12) w równaniu (1.10) ( ) 2mE Ψ(x) = 2Ai sin(kx) = 2Ai sin x Warto± wspóªczynnika A mo»emy znale¹ wykorzystuj c warunek unormowania funkcji falowej (równanie (??)) czyli L 0 ( 2mE 2 2Ai sin x) dx = 1 1 A = 4 ( ) L 2mE 0 sin2 x dx Poniewa» sens zyczny ma dopiero kwadrat moduªu funkcji falowej, wi c Interpretacja, wykresy... na wykªadzie ( ) Ψ(x,t) 2 2mE = 4A 2 sin 2 x 2 Laser 2.1 Emisja spontaniczna Pobudzony przez foton elektron przeskakuje na wy»szy poziom energetyczny. Po pewnym czasie wzbudzony elektron spada na poziom ni»szy (niekoniecznie na ten sam z którego zostaª pobudzony) emituj c foton o energii równej ró»nicy energii poziomu górnego i dolnego. Spadek odbywa si spontanicznie!! Rysunek 2: Przebieg emisji spontanicznej. 2.2 Emisja wymuszona Emisja wymuszona polega na zmuszeniu elektronu do przej±cia na ni»szy poziom enegetyczny. Czynnikiem wymuszaj cym jest inny foton, którego energia wynosi dokªadnie E fot = E G E D gdzie E G jest energi elektronu na poziomi z którego ma nast pi przeskok za± E D jest energi elektronu na poziomi na który przeskoczy. W wyniku procesu powstaje wi c dodatkowy foton o energii identycznej z fotonem wymuszaj cym. Foton wymuszaj cy»yje dalej tak jakby nic si nie staªo. c Mariusz Krasi«ski 2007 3
2.3 Jak dziaªa laser? 3 SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ROZWI ZA RÓWNANIA SCHRODINGERA Rysunek 3: Podstaw dziaªania lasera jest zjawisko emisji wymuszonej 2.3 Jak dziaªa laser? Na rysunku 4 przedstawiono ukªad poziomów energetycznych w rubinie. Zasada dziaªania lasera rubinowego (jako prosty przykªad lasera) zostanie omówiona szczegóªowo na wykªadzie. Rysunek 4: Zasada dziaªania lasera rubinowego Niezb dne elementy lasera to: o±rodek czynny (krysztaª, zª cze, gaz itp) wzbudzacz (lampa bªyskowa, pole elektryczne itp) lustra tworz ce rezonator (fala stoj ca) Rysunek 5: Podstawowe elementy lasera rubinowego. 3 Szczególne przypadki rozwi za«równania Schrodingera 3.1 Skok potencjaªu Uwaga! Wi kszo± obja±nie«podana b dzie na wykªadzie! c Mariusz Krasi«ski 2007 4
3.1 Skok potencjaªu 3 SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ROZWI ZA RÓWNANIA SCHRODINGERA Rysunek 6: Skok potencjaªu. Wykres energetyczny. Ksztaªt potencjaªu V (x) = 0 dla x < 0 V (x) = V dla x > 0 a postaci równania Schrödingera w obu obszarach lewy obszar x < 0 Prawy obszar x > 0 2 2m 2 2m ( 2 ) Ψ L x 2 = EΨ L (3.1) ( 2 ) Ψ R x 2 + V Ψ R = EΨ R (3.2) Charakter rozwi zania zale»y od relacji pomi dzy energi caªkowit E a energi potencjaln V w prawym obszarze. Rozpatrzmy kolejno dwa mo»liwe przypadki Przypadek I E > V Rysunek 7: Skok potencjaªu. Energia cz stki E > V Rozwi zania równa«(3.1) i (3.2) maj w tym przypadku posta : dla x < 0 dla x > 0 Ψ L = e ik Lx + k L k R k L + k R e ik Lx Ψ R = 2k L k L + k R e ik Rx gdzie k 2 L = 2m(E) 2 k 2 R = 2m(E V ) 2 (3.3) Dyskusja rozwi zania na wykªadzie! c Mariusz Krasi«ski 2007 5
3.2 Efekt tunelowy 3 SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ROZWI ZA RÓWNANIA SCHRODINGERA Przypadek II E < V Rysunek 8: Skok potencjaªu. Energia cz stki E < V Równania Schrodingera przyjmuj postaci: dla x < 0 dla x > 0 a rozwi zania w poszczególnych obszarach ( 2 ) Ψ L x 2 + klψ 2 L = 0 ( 2 ) Ψ R x 2 krψ 2 R = 0 Ψ L = e ik Lx + k L ik R k L + ik R e ik Lx (3.4) Ψ R = gdzie k L i k R znajdujemy ponownie z zale»no±ci (3.3) 2k L k L + ik R e k Rx Zajmijmy si rozwi zaniem (3.5), dotycz cym prawej strony ( x > 0). G sto± prawdopodobie«stwa spotkania elektronu w tym obszarze wynosi (3.5) σ = Ψ(x)Ψ (x) = i maleje wraz z odlegªo±ci od bariery x. 2k L k L + ik R e k Rx 2k L k L ik R e k Rx = 4k2 L k 2 L + k2 R e 2k Rx (3.6) 3.2 Efekt tunelowy Rysunek 9: Bariera potencjaªu. Jakie jest prawdobodobie«stwo przebicia si elektronu przez warstw o sko«czonej grubo±ci b? Zdeniujmy wspóªczynnik transmisji przez warstw o grubo±ci b jako: T = σ(b) σ(0) c Mariusz Krasi«ski 2007 6
3.3 STM/AFM 3 SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ROZWI ZA RÓWNANIA SCHRODINGERA Na podstawie (3.6) otrzymamy wi c T = σ(b) σ(0) = 4k 2 L e 2k Rb kl 2 +k2 R 4kL 2 e k 2k R0 L 2 +k2 R = e 2k Rb Podstawiaj c do powy»szego równania warto± wspóªczynnika k R z równania (3.3) otrzymamy (Analiza jak zwykle na wykªadzie) T = e 2 2m V E b 2 8m = e 2 (V E) b (3.7) 3.3 Wykorzystanie efektu tunelowego 3.3.1 Skaningowy mikroskop tunelowy - STM Zgodnie z wzorem (3.7) pr d tunelowy zale»y od grubo±ci bariery b oraz niedoboru energii V E 0. Mo»na wykorzysta t zale»no± do pomiaru ksztaªtu powierzchni na poziomie atomowym. Rysunek 10: Zasada dziaªania Skaningowego Mikroskopu Tunelowego. W przypadku STM pr d tunelowy zale»y od przyªo»onego napi cia (regulowanego przez u»ytkownika) oraz odlegªo±ci ostrza od powierzchni próbki. Nierówno±ci na powierzchni powoduj wi c zmian pr du tunekowego. Rozdzielczo± pionowa STM jest wystarczaj ca aby bez problemu obserwowa pojedyncze warstwy atomowe. Opis dziaªania mikroskopu - na wykªadzie. 3.3.2 Mikroskop siª atomowych - AFM W mikroskopie AFM wykorzystujemy odpychanie pomi dzy ostrzem zamocowanym na elastycznym ramieniu oraz powirzchni próbki. Odksztaªcenia ramienia rejestrowane s przez ukªad wykorzystuj cy odbicie promienia lasera od ramienia (dokªadnie tak jak podczas puszczania zaj czków przy pomocy lusterka). Dokªadniejszy opis dziaªania na wykªadzie. c Mariusz Krasi«ski 2007 7
4 DODATEK Rysunek 11: Mikroskop siª atomowych. Najwa»niejsze elementy. Poni»ej dodatkowe rysunki, które b d wykorzystane podczas omawiania zasady dziaªania AFM. Rysunek 12: Zasada dziaªania AFM 4 Dodatek Gdy rozwi zujemy jednowymiarowe równanie Schrodingera, cz sto pojawia si konieczno± rozwi zania równania ró»niczkowego, nast puj cego typu: ( 2 Φ x 2 ) + k 2 Φ = 0 (4.1) Rozwi zujemy je tworz c tzw. równanie charakterystyczne, przez dokonanie zamiany ( n ) Φ x n r n (4.2) Φ 1 (4.3) Po dokonaniu zamian (4.2) i (4.3) w równaniu (4.1) otrzymujemy równanie charakterystyczne postaci r 2 + k 2 = 0 (4.4) Rozwi zania równania charakterystycznego (4.4) ma posta : r = ±ik c Mariusz Krasi«ski 2007 8
4 DODATEK Ogólne rozwi zanie równania ró»niczkowego typu (4.1) ma posta : Φ = Ae r1x + Be r2x gdzie r 1 i r 2 s pierwiastkami równania charakterystycznego (4.4). Ostatecznie wi c, rozwi zanie równania (4.1) ma posta Φ = Ae ikx + Be ikx Je±li chcesz zgª bi problem dokªadniej, we¹ ksi»k z analizy matematycznej. opisane bardziej szczegóªowo i bardziej poprawnie. Tam b dzie to c Mariusz Krasi«ski 2007 9