Tadeus Wojnakowski Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkusach kalkulacyjnych adania rowiąaniami Funkcje inżynierskie występują we wsystkich arkusach kalkulacyjnych jak Excel w MS Office Windows cy Gnumeric lub Kspread w systemie Linux. Jeśli bepośrednio funkcje inżynierskie nie występuje w MS Office to należy je dograć wykonując następujące polecenia Po uruchomieniu Excela klikamy na narędia następnie w dodatki i wybieramy Analysis ToolPak. Tera sprawdamy klikając w wstaw, funkcje i sukamy funkcji inżynierskich. W funkcjach inżynierskich mamy m. in. funkcje espolone acynające się od naków IM, funkcje Bessela, formuły dokonujące prekstałceń różnych systemów licb i inne. W tym artykule ajmiemy się funkcjami espolonymi, formułami dokonującymi amiany systemu licenia licb ora funkcjami Bessela co stanowią około 9% funkcji inżynierskich w arkusu (jest ich 39 omówiłem ok. 34). Formuły espolone omówione w rodiale I będiemy stosować i omawiać w oparciu o adania elektroniki, prydatne dla naucycieli matematyki, który ucą predmiotu matematyki w skłach policealnych informatycnych. Zamiany systemu licb (rodiał II) będiemy stosować do adań matematycnych, które są w podręcniku metodycnym dla klasy V skoły podstawowej (Matematyka Krok po kroku Beata Kossakowska, Beata Murawska) ora będiemy stosować prelicnik licb w rejestrach systemu operacyjnego. Ten rodiał będie prydatny dla naucycieli naucających systemy operacyjne i oprogramowanie biurowe. Natomiast funkcje inżynierskie Bessela wykorystamy do równania pola elektromagnetycnego w światłowodach cylindrycnych, które obecnie preżywają ogromny rowój w technologii sieci komputerowej. Ten ostatni rodiał będie prydatny dla naucycieli ucących sieci komputerowe i urądenia techniki komputerowej. 1
I. Zastosowanie licb espolonych w arkusu kalkulacyjnym Gnumeric i KSpread w systemie Linux i MS Excel systemu Windows Zastosowanie licb espolonych w różnych diedinach nauk ma ogromne nacenie na prykład wprowadenie licb espolonych w elektrotechnice daje nam pełniejsą informacje o prebiegu jawiska. Załóżmy, że w obwodie RLC otrymaliśmy następujące równanie: 1 U i R + ω L (1) ωc Widimy, że powyżsy wór nie daje nam informacji o stosunkach faowych. Tutaj i w wielu innych prypadkach powinniśmy wykorystać algebrę licb espolonych. Wykorystując licby espolone nase powyżse równanie pryjmuje postać: U 1 jϕ i R + ωl e () ωc Te równanie wyrażone licbami espolonymi kryje w sobie dwa równania awierające wielkości mieralne: - jedno wynika równości cęści recywistych (wór 1) - drugie wynika równości cęści urojonych W tej pierwsej cęści równania można wynacyć moduł, dający informacje o wartości awady dla prądów miennych, drugi powoli wynacyć argument, dający informacje o stosunkach faowych. Zakładamy, że ω to cęstość kołowa wtedy postać wykładnica licby espolonej apisemy worem: ϕ e j cos ϕ + j sin ϕ Jesce innym prykładem, w którym stosujemy licby espolone jest fala elektromagnetycna. Jeżeli prykładowo ropatrymy falę elektromagnetycną rochodącą się w kierunku to wyraża się następującym worem: B y E e x π i 6
we wore mamy dwie cęści i możemy powiedieć, że pole magnetycne B jest ray więkse, co do wartości bewględnej od pola elektrycnego E i opóźnione w stosunku do niego o 3 stopni kąta faowego. Do sybsego rowiąania funkcji espolonych mogą posłużyć nam arkuse kalkulacyjne. W systemie Linux występują dwa arkuse kalkulacyjne. Jeden o nawie Gnumeric należy do środowiska graficnego GNOME, a drugi KSpread do środowiska KDE. Aby uruchomić jeden nich wystarcy wybrać dowolne środowisko graficne. W arkusach kalkulacyjnych występują funkcje inżynieryjne a w nich funkcje espolone, których jest około 15. Podstawowe funkcje espolone omówię na prykładie adań. Podaję rowiąanie matematycne i rowiąanie informatycne w arkusu kalkulacyjnym. Funkcje espolone, które w odróżnieniu od licb recywistych mają w nawie formuły dwie pierwse litery IM od słowa angielskiego imaginary urojony. Zad. 1 Oblicyć moduł licby espolonej 4. Rowiąanie: Stosujemy wór matematycny: x + y gdie x, y R wtedy postać algebraicna licby espolonej jest następująca x + yi to otrymamy wynik: licba recywista Re 4, urojona Im wtedy 4 + 16 4. Sprawdamy w arkusu np. Gnumeric wpisując do dowolnej komórki formułę espoloną: - cęść recywista: IMREAL( 4 ) - cęść urojona: IMAGINARY(4+i) * Cudysłów w nawiasach nie jest obowiąkowy natomiast obowiąkowy w MS Excel-u. Zad.. Linia o impedancji charakterystycnej Zo jest akońcona impedancją Z k (7 + 3i) Ω; należy naleźć wartość modułu i argumentu dla normaliowanej impedancji k. Rowiąanie: 3
Zakładamy, że standardem w Polsce i USA impedancja charakterystycna wynosi Zo 5 Ω. Stosujemy wór: Z Z 7 + 3i 1,4 +, 5 k k 6 o W arkusy pisemy: IMDIV(7+3i;5) otrymamy wynik jw. Moduł oblicymy e woru: 1,4 +,6 1,53 W arkusu pisemy: IMABS(1,4+,6i) otrymamy wynik jw. Sukamy argument; akładamy, że argumentem licby espolonej naywamy licbę ϕ spełniający układ równań: x cosϕ i y sin ϕ ora i tg ϕ cos a 1,4 ϕ,919 1,53 ora sin b,6 ϕ, 394 1,53 tan ϕ sinϕ cosϕ,394,919,48 Rowiąanie w arkusu: argument licby espolonej w arkusu otrymamy formuły: IMARGUMENT( 1,4+,6i ) i mamy,448 natomiast tan(,448),48. y x Zad. 3 Znaleźć wartość admitancji normaliowanej y k jeżeli impedancja normaliowana jest k 1,4+,6i. Rowiąanie: Wiemy e woru matematycnego, że admitancja normaliowana wyraża się następującym worem: y k -1 to po podstawieniu otrymamy: y k,6-,6i Rowiąanie w arkusu: pisemy formułę na potęgowanie IMPOWER(1,4+,6i;-1) otrymamy,6-,6i Zad. 4 Udowodnij, że w biore licb espolonych 4 { ;} 4
Rowiąanie matematycne: sukamy, dla jakiego kąta mamy takie same ϕ ϕ, bo sin o ora cos o 1 powołując się na wór de Moivre a dla pierwiastków k n ϕ + kπ ϕ + kπ r (cos + j sin ) gdie r n n otrymujemy + π + π 4 (cos + j sin ) 4 (cos + j sin ) 4 (1 + ) 4 1 + 1 π + 1 π 4 (cos + j sin ) 1 4 (cosπ + j sinπ) 4 ( 1+ ) 4 ostało udowodnione, że biore licb espolonych mamy i. Rowiąanie astosowaniem arkusa kalkulacyjnego IMSQRT(4) Otrymujemy i należy godnie modułem i nasymi obliceniami matematycnymi podać licbę preciwną do wyniku, której arkus nie podaje i obowiąuje dla pierwiastka drugiego stopnia ora parystego stopnia np.: IMSQRT(5+1i) otrymamy: 3-i i godnie asadą -(3-i) cyli -3+i Zad. 5 Zapisać w postaci trygonometrycnej otrymane wyniki równania kwadratowego + 4 + 5, 1 - +i ora - i. Rowiąanie: Wykorystując wór r (cos ϕ + i sin ϕ) sukamy modułu a + jb >r r ( ) + 1 5 a 1 cos ϕ,8944 sin ϕ b, 447 r 5 r 5 5
ponieważ jest to II ćwiartka dla cosinusa i sinusa to wtedy od π odejmujemy kąt ϕ i otrymujemy π - 7 153 i możemy apisać w postaci trygonometrycnej następująco: 5(cos153 + j sin153 ) lub możemy apis w postaci wykładnicej r e jϕ W arkusu: IMEXP(153i) otrymujemy: -,591+,864i, bo COS(153) wynosi,59 a IMSIN(153) wynosi: 1,399E+6i, po dodaniu funkcji cos(153) i 1,399 otrymujemy cęść urojoną:,864 Diałania na licbach espolonych wykonujemy tak, jak na wielomianach miennej i, pod warunkiem, że i -1 Zad. 6 Wykonaj podstawowe diałania arytmetycne: a) (-+3i)+(7-8i); b) (4i-3)-(1+1i); c) ( i) ( 3 3i ); 3i + d) ; 5 + 4i Rowiąanie matematycne: ad a) (-+3i)+(7-8i)(-+7)+(3-8)i5-5i. Rowiąanie w arkusu: IMSUM(-+3i;7-8i) otrymamy 5-5i. Rowiąanie matematycne: ad b) ((4i-3)-(1+1i)(-3-1)+(4-1)i-4-6i Rowiąanie w arkusu: IMSUB(-3+4i;1+1i) otrymamy -4-6i Rowiąanie matematycne: ad c) ( + i) ( 3 3i ) 3 3i 3i ( 3 + 3) + ( 3 6) i 6 +, 6i Rowiąanie w arkusu: IMPRODUCT(1,41+i;3-1,73i) otrymamy 5,96+,56i Rowiąanie matematycne: ad d) 3i 5 + 4i ( 3i)( 5 4i) ( 5 + 4i)( 5 4i) 3i 3 i,48 +,56i; 41 41 41 Rowiąanie w arkusu: IMDIV(-3i;5+4i) otrymamy -4,87+,56i. Zad. 6 Oblic dla jakiego kąta fala o równaniu: π i 6 B E e równanie pryjmie postać w y x biore licb recywistych. Rowiąanie: e πi 1. W arkusu wpisujemy formułę: IMEXP(6,8i) otrymujemy 1. 6
Zad. 7 Obwód RLC asilany jest prądem premiennym. Oblic jego awadę espoloną Z i podac cęstotliwość, pry której nastąpi reonans tn. pry która awada będie recywista. Opór R 5 Ω, L 1 Henr, C 1 µf, a cęstotliwość f 1 H. Rowiąanie: wiemy, że ωπf6,8*1h68 R 1 L R L i + ω 1 ω C ωc C,8 393756,4i Z,83, 99i 1 39447 + ωci 1 R + ωli R + ωl ωc Z i. Rowiąanie w arkusu: IMDIV(,8-393756i;39447) otrymujemy: Z(-i) Ω L Dla cęstości reonansowej ωω o nika cęść urojona: R + ω o L stąd wy- C nacamy w prosty sposób ω o i oblicmy. Na akońcenie możemy powiedieć, że wykorystując arkus kalkulacyjny do licb espolonych można w sybsy sposób otrymać wyniki do nasych adań. Licby espolone stosuje się w inżynierii od bardo dawna i wcale nie są one gorse od licb ujemnych. II. Formuły inżynierskie powodujące amiany systemu licb Bardo ważnym agadnieniem w technice cyfrowej jak również w systemach operacyjnych jest amiana systemu licb na inne systemy licb. Powołując się na autora eksperta w diedinie technik komputerowych Jerry Honeycutt, Jr., napisał on w swojej książce Rejestr Windows cytuję Osobom nie roumiejącym notacji sesnastkowej (hex) będie trudno manipulować maskami w Rejestre. Myślę, że są to wystarcające powody do ponania tego systemu. Rowiążmy następujące adania klasy V. 7
Zad. 1 Jaka to licba 1111 BIN w systemie diesiątkowym i sesnastkowym? Rowiąanie: Stosując odpowiedni wór matematycny mamy: 6 * 1 + 5 * + 4 * + 3 * 1 + * 1 + 1 * + * 1 77 W arkusu kalkulacyjnym do dowolnej komórki wpisujemy lub wklejamy funkcji inżynierskich następującą funkcje: BINDEC(1111) i otrymujemy 77 sprawdamy wpisując: DECBIN(77) w systemie sesnastkowym mamy formułę 1). Zad. Predstaw w apisie dwójkowym i diesiętnym licbę sesnastkową 95 występującą w Rejestre w klucu Explorer o nawie wartości NoDriveTypesAutoRun. Rowiąanie: Do amiany licby 95 na system dwójkowy może presłużyć się nam tabela: Cyfra Nibble (cwórki bi- Cyfra Nibble (cwórki bitów) tów) 8 1 1 1 9 11 1 A 11 3 11 B 111 4 1 C 11 5 11 D 111 6 11 E 111 7 111 F 1111 8
Patrąc na tabelę Hex 95 to w Bin 1111 (bajty to grupy po 8 bitów i apisujemy dwoma cyframi) i stosując odpowiedni wór dla nasego prypadku 7 *1+ 6 * + 5 * + 4 * 1 + 3 * + * 1 + 1 * + * 1 18 + 16+4 +1 149 W arkusu kalkulacyjnym wpisujemy lub wklejamy funkcji inżynierskich następującą funkcje: HEXBIN(95) otrymujemy 1111 sprawdamy funkcją BINHEX(1111) natomiast systemu dwójkowego na diesiętny było pokaane w poprednim adaniu. Możemy oblicyć bepośrednio sesnastkowego na diesiętny następującą formułą HEXDEC(95) i otrymamy 149 i sprawdić formułą DECHEX(149). Na akońcenie spróbujmy rowiąać adanie e wspomnianego podręcnika klasy V. Zad 3 Naucyłem się cytać w wieku 4 lat. Dokładnie po upływie lat, kiedy ukońcyłem 11 lat, acąłem chodić do skoły podstawowej. Ucyłem się w niej 4 lata i ukońcyłem ją, mając lat. Tera jestem 1 letnim gimnajalistą. W jakim systemie licenia napisałem swój życiorys? W funkcjach inżynierskich mamy również system ósemkowy (OCT), który wykorystujemy również w systemach operacyjnych na prykład w Linuksie. Prykład 1 Nadanie wsystkim użytkownikom pełnych praw dostępu do pliku pisemy poleceniem: [...]$ chmod 777 nawa_pliku pierwsa cyfra dotycy właściciela, druga cyfra dotycy grupy, a trecia cyfra dotycy poostałych użytkowników. Cyfra 7 jest maksymalną cyfrą w systemie ósemkowym możemy to wpisując w arkusu OCTDEC(8) nie otrymamy wyniku. Zastanów się a może to w tym systemie ostał napisany powyżsy życiorys Prykład Aby nie był widocny w systemie operacyjnym napęd CD ROM można w rejestre w klucu Explorer ałożyć wartość binarną o nawie NoDrives i wpisac popre edytuj 9
wartości binarne licbę 8 i po ponownym uruchomieniu komputera napęd nie będie widocny. Jeśli wpisemy wartośc binarną 1 to będie nie widocny napęd FDD (wartości te są apisane w tw. DWORD w rejestrach lub w kalkulatore Windows możes amienić na sesnastkowy, ósemkowy lub binarny). III. Zastosowanie funkcji Bessela arkusa kalkulacyjnego na prykładie fali elektromagnetycnej rochodącej się w światłowodach walcowych. Światłowody walcowe mają obecnie ogromne astosowanie w mediach sieci komputerowych. Typowym światłowodem cylindrycnym jest światłowód sklany włóknisty. Wyróżniamy w nim dwa obsary: - rdeń położony centralnie - płasc otacający rdeń Zasadnico w rdeniu rochodi się światło cyli fala elektromagnetycna. Równanie falowe dla wektora pola elektrycnego E ma postać: E + k E (podobne dla pola magnetycnego H), gdie k licba falowa. Ze wględu na geometrię problemu wprowadamy układ współrędnych cylindrycnych ( r, φ, ) i pryjmujemy, że oś pokrywa się osią światłowodu i w nim ropatrujemy rochodenie się pola elektrycnego i magnetycnego. Równanie nase natężenia pola elektrycnego wdłuż osi ma następującą postać: E r 1 E 1 E E + + + k E r r r φ Rowiąanie tego równania będiemy posukiwali w postaci ilocynu trech funkcji: E R( r) Φ( φ ) Z( ) Rowiąanie ogólne równania różnickowego wycajnego jest dobre nane analiy matematycnej i wyraża się worem dla : Z( ) C1 exp( γ ) + C (exp( γ) 1
gdie C 1 C to dowolne stałe wynacone pre warunki bregowe, a γ α + jβ γ - stała propagacji wielkość espolona, α - stała tłumienia, β - stała faowa Φ ( φ) C3 cos mφ + C4 Natomiast funkcja R(r) wyraża się worem: sin mφ R( r) C J m ( h1r ) + C6Ym ( h1 5 r gdie J m Y m funkcje Bessela pierwsego rodaju i drugiego rodaju rędu m natomiast C 5 C 6 są to dowolne stałe i jest to równanie dla rdenia r<a Ostatecnie nase wyrażenie na natężenie prądu jest dla rdenia dla płasca E E J ) γ m ( h1 r)( A1 cos mφ + B1 sin mφ e dla r<a K ) γ m( h r)( A cos mφ + B sin mφ e dla r>a gdie A 1 B 1 są to współcynniki stałe, a m N natomiast h h 1 dla r<a natomiast h j h dla r>a h γ +k.aby oblicyć natężenie pola elektrycnego E. należy do powyżsego woru oblicyć wartości funkcji Bessela. W tym prypadku najlepiej jest skorystać funkcji Bessela, które są w arkusu kalkulacyjnym w funkcjach inżynierskich. Jeżeli chcemy oblicyć funkcję dla rędu m1 to wpisujemy następującą formułę: BesselJ(;1) i otrymamy,576. Wykres funkcji Bessela pierwsego rodaju predstawia rysunek: ) 11
gdie a x w arkusu kalkulacyjnym wpisujemy, natomiast m1, natomiast na styku rdenia i płasca r a pry pewnych ałożeniach warunki bregowe mogą być spełnione jedynie w prypadku, gdy m. Wykres funkcji Bessela drugiego rodaju predstawia rysunek poniżej. Tutaj dla Y m pisemy funkcje w arkusu następującą: BesselY(;1) tn. x, a m1 i otrymamy,11, sprawdź na wykresie funkcję Y 1 (). Jeśli pryjąć, że rowiąania Bessela dla płasca predstawia się worem: R( r) C I m ( hr) + C8K m ( h 7 r to w tym prypadku stosujemy odpowiednio I m i K m modyfikowane funkcje Bessela pierwsego i drugiego rodaju rądu m i dla C 7 C 8 dowolnych stałych. Do obliceń tych funkcji modyfikowanych posłużą formuły arkusa BesselaI( ; ) ora BesselaK( ; ). Funkcje Bessela stosujemy do światłowodów cylindrycnych natomiast do światłowodów na prykład planarnych korystamy układu kartejańskiego co pry oblicaniu natężeń pół elektromagnetycnych nacnie uprasca rachunki matematycne. Do rowiąań powyżsych równań różnickowych, których tu nie rowiąałem, bo nie było to tematem mojego artykułu aprasam do literatury m. in. Fundamentals of Optice Fibre Communication New York J. Van der Praas lub innej. ) 1