Ocena wartości współczynnika osmotycznego van t Hoffa w warunkach polaryzacji stężeniowej układu membranowego

Transkrypt

1 Poimery w Medycynie 11, T. 41, Nr Ocena wartości współczynnika osmotycznego an t Hoa w warunkac poaryzacji stężeniowej układu membranowego Joanta Jasik-Śęzak 1, Korneia Oszówka, Andrzej Śęzak 1 1 Katedra Zdrowia Pubicznego Poitecnika Częstocowska Katedra Inormatyki Ekonomicznej Uniwersytet Ekonomiczny, Katowice Streszczenie Opracowano metodę oceny wartości współczynnika osmotycznego an t Hoa () w układzie membranowym, której podstawę stanowi oryginane równanie trzeciego stopnia da współczynnika. To równanie, wyprowadzone na bazie ormaizmu termodynamicznego Kedem-Katcasky ego, zawiera parametry transportowe membrany (L p, σ, ω), stężenia roztworów (C), strumień objętościowy (J m ), grubość stężeniowej warstwy granicznej (δ), etc. Owe wiekości można wyznaczyć w serii niezaeżnyc eksperymentów. Wykonane obiczenia da roztworów amoniaku w wodnym roztworze KC i membrany poimerowej pokazują, że wartość współczynnika spełnia warunek 1 oraz, że istnieje zakres stężenia amoniaku, w którym zmiany zacodzą niemonotonicznie. Słowa kuczowe: transport membranowy, równania Kedem-Katcasky ego, współczynnik osmotyczny an t Hoa, poaryzacja stężeniowa Eauation o te ant Ho s osmotic coeicient in concentration poarization conditions o membrane system Summary In tis paper te metod o eauation te aue o osmotic ant t Ho s coeicient () in membrane system, wic is based on te origina equation o tird degree or te coeicient was eaborated. Tis equation, obtained on te basis o Kedem-Katcasky equation, contains te transport parameters o membrane (L p, σ, ω), soution concentration (C), oume ux (J m ), tickness o concentration boundary ayer (δ), etc. Tese parameters can be determined in a series o independent experiments. Te cacuation perormed or te soution o ammonia in aqueous soution o KC and poymer membranes sow tat, te aue o coeicient ui te condition 1 and tat tere is a range o concentrations o ammonia, in wic te canges occur nonmoniticay Key words: membrane transport, Kedem- Katcasky equations, an t Ho s osmotic coeicient, concentration poarization WSTĘP Zgodnie z wiedzą podręcznikową [1], roztwory eektroitów w porównaniu z roztworami nieeektroitów o tym samym stężeniu moowym, wykazują wyższe ciśnienie osmotyczne, większe obniżenie prężności pary nad roztworem, większe podwyższenie temperatury wrzenia oraz większe obniżenie temperatury krzepnięcia ( ew ). Wymienione wiekości zaeżą od iczby samodzienyc cząstek w roztworze, a nie zaeżą od ic rodzaju i ładunku. Pomiar tyc wiekości pozwaa wyznaczyć stopień dysocjacji eektroitów (α) z równania

2 5 JOLANTA JASIK-ŚLĘZAK I INNI 1 α (1) n 1 gdzie: n iczba jonów powstającyc z 1 moa eektroitu, współczynnik osmotyczny (zwany także izotonicznym) Van t Hoa, którego deinicja ma aternatywne postaci π π e o Δp Δp e o ek ok ew ow () W powyższym wyrażeniu π e i π o oznaczają ciśnienia osmotyczne, Δp e i Δp o obniżenie prężności pary, ek i ok obniżenie temperatury krzepnięcia, ew i ok podwyższenie temperatury wrzenia odpowiednio eektroitu (indeks e) i nieeektroitu (indeks o). Współczynnik można wprowadzić do równań Kedem-Katcasky ego, które są podstawowym narzędziem badawczym transportu membranowego []. W przypadku binarnyc, jednorodnyc, dysocjującyc i rozcieńczonyc roztworów, transport można opisać przy pomocy strumienia objętościowego (J ) i strumienia soutu (J s ). Odpowiednie równania opisujące owe strumienie mają postać J s L [ σ RT ( C C ) ΔP) (3) p s J ω RT C C ) + J C (1 σ ) (4) ( s gdzie: L p ω są współczynnikami odpowiednio przepuszczaności ydrauicznej i przepuszczaności soutu, PP P jest różnicą ciśnień mecanicznyc, Δπ RT(C C ) jest różnicą ciśnień osmotycznyc, RT jest ioczynem stałej gazowej i temperatury termodynamicznej; C i C stężenia roztworów w przedziałac odpowiednio oraz ; i s współczynniki osmotyczne Van t Hoa, które wyrażają zwiększenie asocjacji ub dysocjacji soutu i spełniają reacje 1 k, 1 s k); C(C C )[n(c C )],5(C +C ) reprezentuje średnie stężenie soutu w membranie. Osmotyczny (σ ) i adwekcyjny (σ s ) współczynnik odbicia występujące w równaniac (3) i (4) można zdeiniować przy pomocy wyrażeń ΔP σ Δ (5) π J J σs (6) s 1 J C Δ π Takie rozróżnianie współczynnika odbicia zaproponowai Friedman i Meyer [3]. W związku z tym z równań (3) i (4) wynikają następujące deinicje współczynnika osmotycznego Van t Hoa J + Lp ΔP L σ RT ( C C ) p Js J C (1 σs) s ω RT ( C C ) (7) (8) Da roztworów rozcieńczonyc można przyjąć, że σ σ s σ. To założenie jest również słuszne w świete interpretacji współczynnika odbicia przedstawionej w pracy [4]. W związku z tym można przyjąć także, że s. To ostatnie założenie pozwaa przekształcić wyrażenia (7) i (8) do postaci Js + LpC (1 σ)δ P (9) RT ( C C)[ ω + Lp C (1 σ)] Membrany poimerowe zarówno naturane jak i sztuczne są bardzo czułe na zmiany ic wewnętrznego i zewnętrznego środowiska izykocemicznego [5]. W związku z tym, iość przenikającej przez membranę substancji oraz sposób jej przenikania, mogą być kontroowane przez zmiany odczynu kwasowozasadowego, stężenia, gęstości roztworów zewnętrznyc i/ub zewnętrznyc pó izycznyc [6, 7]. Ponadto większość spontanicznie zacodzącyc procesów transportu prowadzi do czasowo-przestrzennej ewoucji poa stężeń, poegającej na kreacji okanyc niejednorodności modyikującyc transport membranowy [8]. Przejawem tego procesu jest poaryzacja stężeniowa, poegająca w ormowaniu się, po obydwu stronac membrany stężeniowyc warstw granicznyc (CBL) [11, 1]. Jedną z konsekwencji owej poaryzacji jest zmiana stężeń na stykac membrana/roztwór [13]. Oznacza to, że poprzez redukcję wartości gradientu stężenia w poprzek membrany, zmniejszeniu uegają przepływy membranowe zarówno osmotyczne jak i dyuzyjne [14]. Mówiąc inaczej, CBL pełnią roę dodatkowyc barier kinetycznyc w procesie przenikania da szybko przenikającyc moekuł, zarówno przez membrany naturane jak i sztuczne [11, 15]. Szybkość i eektywność transormacji cemicznyc wewnątrz CBL jest okreśana przez dostępność reagentów. Oznacza to, że grubość CBL pełni tu unkcję reguatorową [16]. W naszyc pracac [np. 7, 17, 18], warstwy te są traktowane jako ciekłe membrany (pseudomembrany). W związku z tym przypisuje im się odpowiednie właściwości transportowe, wyrażane poprzez wartości odpowiednic współczynników przenikania. Geometrię CBL można obiczyć na podstawie pomiarów strumienia objętościowego [11, ], ub czasowyc carakterystyk potencjałów membranowyc w otoczeniu membrany [1, 1]. Proie stężeniowe

3 TRANSPORT MEMBRANOWY na podstawie któryc okreśana jest grubość CBL, można zarejestrować także metodami optycznymi, np. mikroskopii uoroscencyjnej [7], metodą aserowej intererometrii Maca-Zendera [1, 13], czy oograii []. W poprzednic pracac [179] przedstawiono mode matematyczny strumienia objętościowego przenikającego przez neutraną membranę, z istniejącymi po obydwu jej stronac stężeniowymi warstwami granicznymi. Ten mode, oparty na równaniac Kedem-Katcasky ego da substancji niedysocjującyc, opisuje strumień objętościowy wygenerowany przez bodziec osmotyczny i ydrostatyczny da niejednorodnego roztworu nieeektroitu. W obecnej pracy ów mode zostanie rozwinięty. Mianowicie wycodząc z równań Kedem-Katcasky ego da substancji dysocjującyc, tj. zawierający współczynnik, otrzymamy mode matematyczny da strumienia objętościowego przenikającego przez eektroobojętną membranę, z istniejącymi po obydwu jej stronac stężeniowymi warstwami granicznymi. Odpowiednie przekształcenie otrzymanego modeu, da równanie trzeciego stopnia ze wzgędu na. W ceu wykonania odpowiednic obiczeń wykorzystano wartości parametrów transportowyc membrany Nepropan da gukozy i wody oraz wyznaczono doświadczanie strumień objętościowy w warunkac poaryzacji stężeniowej. UKŁAD MEMBRANOWY C J s C b P J sm J m 51 Ryc. 1. Układ membranowy: M membrana; i stężeniowe warstwy graniczne (CBLs), P i P ciśnienia mecaniczne; C i C stężenia roztworów poza warstwami; C b i C a stężenia roztworów na granicac /M i M/ ; J m strumień objętościowy przez membranę M; J s, J s i J sm strumienie soutu odpowiednio przez warstwy, oraz membranę M Fig. 1. Te membrane system: M membrane; and te concentration boundary ayers (CBLs), P and P mecanica pressures; C and C concentrations o soutions outside te boundaries; C b and C a te concentrations o soutions at boundaries /M and M/ ; J m te oume uxes troug membrane M; J s, J s and J sm te soute uxes troug ayers, and membrane, respectiey Przedmiotem rozważań będzie transport membranowy w przedstawionym na rycinie 1 układzie, w którym ustawiona w płaszczyźnie oryzontanej membrana (M), rozdziea przedziały () i () wypełnione rozcieńczonymi i niemieszanymi mecanicznie roztworami tyc samyc substancji o stężeniac w cwii początkowej C i C (C >C ). Zakładamy, że roztwory w cwii początkowej są jednorodne, zarówno w każdym punkcie roztworów, jak i na powierzcni styku roztworów z membraną. Ponadto zakładamy, że membrana jest izotropowa, symetryczna, eektroobojętna i seektywnie przepuszczana da wody i rozpuszczonyc w niej substancji. Będziemy badać jedynie stacjonarne procesy transportu membranowego, zacodzące w warunkac izotermicznyc. W takic warunkac woda i substancje rozpuszczone, dyundujące przez membranę, ormują po obydwu jej stronac stężeniowe warstwy graniczne oraz, o carakterze pseudomembran. Grubość tyc warstw da stanu stacjonarnego wynosi odpowiednio δ i δ. Uormowane warstwy powodują, że w stanie stacjonarnym stężenia roztworów na stykac /M i M/ zmienią się odpowiednio do wartości C i oraz C e (C >C i >C e, C i >C e >C ). Zgodnie z ormaizmem Kedem-Katcasky ego [18] właściwości transportowe membrany okreśone są przez współczynniki: przepuszczaności ydrauicznej (L p ), odbicia (σ) i przepuszczaności substancji rozpuszczonej (ω). Właściwości transportowe warstw i są scarakteryzowane odpowiednio przez współczynniki: odbicia spełniające warunek σ σ oraz współczynniki dyuzji D i D. Strumień objętościowy i strumień substancji rozpuszczonej przez membranę oznaczony odpowiednio przez J m i J sm. Strumienie substancji rozpuszczonej przez warstwy i są oznaczone odpowiednio przez J s i J s. MODEL MATEMATYCZNY W warunkac poaryzacji stężeniowej, tzn. w warunkac, w któryc warstwa zmniejsza stężenie C do wartości C a, a warstwa zwiększa stężenie C do wartości C b, da stanu stacjonarnego C a P J s C M

4 5 JOLANTA JASIK-ŚLĘZAK I INNI równanie (3), po uwzgędnieniu warunków σ σ s σ i s, przyjmie postać J m L [ σ RT( C C ) ΔP] (1) p Nieznane stężenia C a i C b można obiczyć na podstawie równania (4), przyjmując, że σ σ s σ i s oraz, że w stanie stacjonarnym spełniony jest następujący warunek s sm a s b J J J (11) W ceu obiczenia tyc stężeń przeprowadzimy następujące rozważania. Da warstwy, membrany (M) oraz warstwy, równanie (4) można zapisać w następującyc postaciac s 1 J D σ ( C C ) + J C (1) J ωrt ( C C ) + J C (1 σ) (13) a m sm a b m m s 1 J D σ ( C C ) + J C (14) b gdzie: C,5(C +C a ), C m,5(c a +C b ), C,5(C b +C ). Uwzgędniając równania (1) (14) w równaniu (11) otrzymujemy C C m γ + γ1 Jm + γ Jm a (15) ψ + ψ1jm + ψjm υ + υ1 Jm + υjm b (16) ψ + ψ1jm + ψjm gdzie: γ α, α [C D δ (D δ +ωrt)+c ωrtd δ ] γ 1 α 1, α 1,5[(ωRT+D δ )(C C )+σ(c D δ + +C D δ )] γ,5[c +σ(c C )]α ψ β, β D δ (D δ +ωrt)+ωrtd δ ψ 1 β 1, β 1,5σ(D δ D δ ) ψ,5(1 σ)β υ χ, χ C D δ (D δ +ωrt)+c ωrtd δ υ 1 χ 1, χ 1,5[(ωRT+D δ )(C C ) σ(c D δ + +C D δ )] υ,5[c σ(c C )]χ Uwzgędniając wyrażenia (15) i (16) w równaniu (1) oraz czyniąc niezbędne przekształcenia agebraiczne otrzymujemy a + a + a + a (17) gdzie: a J m β (J m L p P) a 1 J m {J m [β 1 L p σrt(α χ )]+L p β 1 P} a J m [β L p σrt(α 1 χ 1 )+L p β P] a 3 L p σrt(α χ ) Otrzymane wyrażenie jest równaniem trzeciego stopnia ze wzgędu na. WYNIKI BADAŃ I DYSKUSJA Badania przepływów objętościowyc przeprowadzono za pomocą zestawu pomiarowego i metody opisanyc w poprzedniej pracy [14, ]. Ów zestaw składał się z dwóc cyindrycznyc naczyń pomiarowyc (, ) o jednakowej objętości (V), spełniającej warunek V V cm 3. Naczynie zawierało roztwór amoniaku w wodnym roztworze KC, natomiast naczynie wodny roztwór KC. Naeży zaznaczyć, że stężenie KC w obydwu naczyniac było jednakowe i wynosiło C 1 C,1 mo i było stałe we wszystkic eksperymentac. Jak wiadomo [1] wodny roztwór amoniaku, nazywany jest zasadą amonową i zapisywaną jako NH 4 OH; jest słabym eektroitem. Stopień dysocjacji,1 mo wodnego roztworu tego związku cemicznego w temp. 5 C wynosi 1,3%. Wraz ze wzrostem stężenia stopień dysocjacji maeje. Oznacza to, że 1 mo wodnego roztwór NH 4 OH pod wzgędem osmotycznym zacowuje się jak nieeektroit. Wodny roztwór KC jest mocnym eektroitem, którego stopień dysocjacji nawet da roztworów o dużyc stężeniac jest równy 1%. Dodanie do roztworu NH 4 OH pewnej niewiekiej iości KC, zmienia odczyn badanego roztworu z zasadowego na kwaśny i zwiększa stopień dysocjacji. We wszystkic eksperymentac nie używano mieszania mecanicznego roztworów. Naczynia i rozdzieała membrana Nepropan o powierzcni S3,36 cm i właściwościac transportowyc okreśonyc przez współczynniki: przepuszczaności ydrauicznej (L p ), odbicia (σ) oraz przepuszczaności soutu (ω). Wartości tyc współczynników da wodnyc roztworów amoniaku, wyznaczone w serii niezaeżnyc doświadczeń, wynoszą: L p 5 1 m 3 N s, σ,1 oraz ω,7 1 9 mo N s. Współczynnik dyuzji amoniaku w roztworze wynosił D m s. We wszystkic eksperymentac membrana była usytuowana w płaszczyźnie oryzontanej. Ponadto do naczynia podłączono wyskaowaną (z dokładnością do,5 mm 3 ) pipetę (K), ustawioną w płaszczyźnie równoegłej do płaszczyzny membrany. Z koei naczynie było połączone z rezerwuarem roztworu KC (N) o reguowanej wysokości ustawiania wzgędem pipety K. Umożiwiało to kompensację ciśnienia ydrostatycznego (ΔP) występującego w zestawie pomiarowym.

5 TRANSPORT MEMBRANOWY J m 1 8 [m s ] C [mo ] Ryc.. Iustracja doświadczanej zaeżności J m (ΔC ) da ΔC 1 C 1 C 1, C 1 C 1,1 mo, membrany Nepropan i roztworów amoniaku w wodnym roztworze KC Fig.. Iustration o experimenta dependence J m (ΔC ) or ΔC 1 C 1 C 1, C 1 C 1,1 mo, Nepropan membrane and ammonia in aquoeus KC soution δ [mm] C [mo ] 53 Ryc. 3. Iustracja zaeżności δ(δc ) da ΔC 1 C 1 C 1, C 1 C 1,1 mo, membrany Nepropan i roztworów amoniaku w wodnym roztworze KC Fig. 3. Iustration o dependence δ(δc ) or ΔC 1 C 1 C 1, C 1 C 1,1 mo, Nepropan membrane and ammonia in aquoeus KC soution Strumień objętościowy obiczono na podstawie pomiarów zmiany objętości (ΔV) w pipecie K zacodzącej w czasie Δt, przez powierzcnię membrany S, stosując wzór J m (ΔV)S (Δt) da ΔP. Przepływy objętościowe zacodziły od naczynia do naczynia. Badania doświadczane przepływów objętościowyc poegały na wyznaczeniu czasowej carakterystyki strumienia objętościowego (J m ), da różnyc stężeń roztworów amoniaku w wodnym roztworze KC. Każdy eksperyment prowadzono do cwii uzyskania stanu stacjonarnego. Błąd wzgędny popełniany przy wyznaczaniu J nie był większy niż 3%. Badania przeprowadzono w warunkac izotermicznyc da T95 K. Na podstawie carakterystyk J m (t), da stanu stacjonarnego sporządzono carakterystykę J m (ΔC ) da ΔC 1 C 1 C 1, przy czym C 1 C 1 const, przedstawiono na rycinie. Z przebiegu krzywej doświadczanej przedstawionej na tej rycinie wynika, że istnieją dwa tempa wzrostu wartości J m : większe da <ΔC 1 mo i mo ΔC oraz mniejsze da ΔC>1, mo i ΔC<, mo. W przedziae różnic stężeń 1 mo ΔC 1, mo, J m maeje nieiniowo od 7,1 1 8 m s do 4,4 1 8 m s oraz w przedziae,5 mo ΔC mo, od, m s do,8 1 8 m s. Owa zmiana tempa przyrostu wartości J m, jest związana ze zmniejszeniem iości cząstek determinującyc ciśnienie osmotyczne amoniaku w wodnym roztworze KC. Oznacza to także, że maeje stopień dysocjacji amoniaku w tym roztworze. Na rycinie 3 przedstawiono carakterystykę δ(δc ) da ΔC 1 C 1 C 1 oraz C 1 C 1 const, przedstawiającą zaeżność średniej grubości stężeniowej warstwy granicznej (δ) od różnicy stężeń amoniaku w wodnym roztworze KC. Wartość δ obiczono korzystając z procedury przedstawionej w pracy [19], której podstawą jest równanie δ,5d ω (L p σj m ΔC R T ), wartości parametrów transportowyc membrany oraz carakterystyka J m (ΔC ). Biorąc pod uwagę równanie (17), carakterystykę J m (ΔC ), przedstawioną na rycinie i carakterystykę δ(δc ) przedstawioną na rycinie 3, wartości parametrów transportowyc (L p, σ, ω, D ) da membrany Nepropan i roztworów amoniaku w wodnym roztworze KC, R8,31 K mo K oraz T95 K, wykonano obiczenia współczynnika osmotycznego an t Hoa (). Wyniki tyc obiczeń, wykonanyc przy pomocy oprogramowania Matab, przedstawiono na rycinie 4. Zaprezentowana na tej rycinie krzywa jest symetryczna wzgędem osi co oznacza, że carakterystyka (ΔC ) jest niezaeżna od stanu ydrodynamicznego stężeniowyc warstw granicznyc. Zarówno w stanie bezkonwekcyjnym jak i konwekcyjnym wartość współczynnika spełnia warunek 1 oraz istnieją zakresy ΔC, w któryc zmiany zacodzą niemonotonicznie. Te zakresy można okreśić wprowadza- 6 4

6 54 JOLANTA JASIK-ŚLĘZAK I INNI 1,1,1 LITERATURA 1,8 1,5 1,,9 1 C [mo ] Ryc. 4. Iustracja zaeżności (ΔC ) da ΔC 1 C 1 C 1, C 1 C 1,1 mo, membrany Nepropan i roztworów amoniaku w wodnym roztworze KC, obiczonej na podstawie równania (17) Fig. 4. Iustration o dependence (ΔC ) or ΔC 1 C 1 C 1, C 1 C 1,1 mo, Nepropan membrane and ammonia in aquoeus KC soution, cacuated on te basis o equation (17) jąc następujące warunki:,5 mo ΔC,5 mo oraz,5 mo ΔC 1,5 mo. Uwzgędniając obiczone wartości współczynnika w równaniu (1), można w stosunkowo prosty sposób obiczyć stopień dysocjacji eektroitu pod warunkiem, że znana jest iczba n występująca w równaniu (1). WNIOSKI 1. Opracowano metodę oceny wartości współczynnika osmotycznego an t Hoa () w układzie membranowym, której podstawę stanowi oryginane równanie trzeciego stopnia da współczynnika a 3 + a1 + a + a3 gdzie: a 1, a, a 3 współczynniki zaeżne od właściwości transportowyc membrany.. Wartość współczynnika spełnia warunek 1 oraz istnieje zakres stężenia amoniaku, w którym zmiany zacodzą niemonotonicznie. 3. Przedstawiony mode matematyczny może być wygodnym narzędziem, do badania właściwości izykocemicznyc w układac spoaryzowanyc stężeniowo w warunkac zmiany odczynu środowiska. 1,8 1,5 1,,9 [1] Kedryna T.: Cemia ogóna z eementami biocemii. Wyd. Zamiast Korepetycji. Kraków [] Katcasky A., Curran P. F.: Nonequiibrium termodynamics in biopysics. Harard Uni. Press, Cambridge,1965. [3] Friedman M. H., Meyer R. A.: Transport across omoporous and eteroporous membranes in nonidea, nondiute soutions. I. Inequaity o reection coeicient or oume and soute ow. Biopys. J. (1981), 34, [4] Kargo M., Kargo A.: Mecanistic equations or membrane substance transport and teir identity wit Kedem-Katcasky equations. Biopys. Cem. (3), 13, [5] Kro J. J., Wessing M., Stratman N.: Concentration poarization wit monopoar ion excange membranes: current-otage cures and water dissociation. J. Membr. Sci. (1999), 16, [6] Naiki T., Karino T.: Visuaization o owdependent concentration poarization o macromoecues at te surace o a cutured endoteia ce monoayer uorescence microscopy. Bioreoogy (), 37, [7] Śęzak A., Śęzak I. H., Śęzak K. M.: Inuence o te concentration boundary ayers on membrane potentia in a singe membrane system. Desaination (5), 184, [8] Dworecki K., Śęzak A., Orna-Wąsik B., Wąsik S.: Eoution o concentration ied in a membrane system. J. Biocem. Biopys. Metods (5), 6, [9] Rubinstein I., Zatzmann B.: Eectroosmotic sip o te second kind and instabiity in concentration poarisation at eectrodiaisis membranes. Matemat. Modes Metod. App. Sci. (1), 11, [1] Dworecki K., Śęzak A., Wąsik S.: Tempora and spatia structure o te concentration boundary ayers in membrane system. Pysica A (3), 36, [11] Bary P. H.: Diamond J. M.: Eects o unstirred ayers on membrane penomena. Pysio. Re. (1984), 64, [1] Grzegorczyn S., Śęzak A.: Time caracteristics o eectromotie orce in singe-membrane ce or stabe and unstabe conditions o reconstructing o concentration boundary ayers. J. Membr. Sci. (6), 8,

7 TRANSPORT MEMBRANOWY 55 [13] Dworecki K.: Intererometric inestigations o te near-membrane diusion ayers. J. Bio. Pys. (1995), 1, [14] Śęzak A.: Irreersibe termodynamic mode equations o te transport across a orizontay mounted membrane. Biopys. Cem. (1989), 34, 91. [15] Peppeneimer J. R.: Roe o pre-epiteia unstirred ayers in a absorption o nutrients rom te uman jejunum. J. Membr. Bio. (1), 179, [16] Winne D.: Unstirred ayer as a diusion barrier in itro and in io. W: Intestina absorption and secretion, F. Skadause and K. Heintse (eds.) MTP-Press, Lancaster, 1981, [17] Śęzak A.: Membrane transport o te nonomogeneous non-eectroyte soutions: matematica mode based on te Kedem-Katcasky and Rayeig equations. Poym. Med. (7), 37, [18] Grzegorczyn S., Jasik-Śęzak J., Micaska- Małecka K., Śęzak A.: Transport o non-eectroyte soutions troug membrane wit concentration poarization. Gen. Pysio. Biopys. (8), 7, [19] Jasik-Śęzak J., Śęzak A.: Mode matematyczny transportu roztworów substancji dysocjującyc przez membranę poimerową z poaryzacją stężeniową. Poim. Med. (9), 39, [] Śęzak A.: Metoda szacowania grubości stężeniowyc warstw granicznyc w układzie 1-membranowym zawierającym roztwory binarne. Poim. Med. (8), 38, [1] Po P., Saparo S. M., Antonenko.: Te size o te unstirred ayer as a Function o te soute diusion coeicient. Biopys. J. (1998), 75, [] Fernández-Sempre J., Ruiz-Beiá F., Garcia- Agado P., Sacedo-Diaz R.: Visuaization and modeing o te poarization ayer and reersibe adsorption process in PEG-1 deadend utraitration. J. Membr. Sci. (9), 34, Adres do korespondencji Katedra Zdrowia Pubicznego Wydział Zarządzania, Poitecnika Częstocowska a. Armii Krajowej 36b, 4- Częstocowa te. (34) , te./ax (34) e-mai:andrzejsezak@poczta.onet.p