Regionalne Koło Matematyczne
|
|
- Halina Zawadzka
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Lista rozwiązań zadań nr 2 ( ) nalogie i różnice miedzy trójkątem i czworościanem 1. Udowodnić, że w dowolnym trójkącie: (a) symetralne boków, (b) dwusieczne kątów, (c) środkowe, (d) proste zawierające wysokości przecinają się w jednym punkcie. Rozwiązanie: (a) Przypomnijmy, że symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka przechodzącą przez jego środek. Wiemy, że symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo odległych od końców odcinka. Udowodnimy, że: la dowolnego trójkąta symetralne jego boków przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie. O Rysunek 1 1
2 Rozważmy trójkąt (Rys. 1). Poprowadźmy symetralne odcinków oraz. Niech O będzie punktem przecięcia tych symetralnych. PonieważOleży na symetralnej odcinka, to O = O. Podobnie otrzymujemy, że O = O, gdyżonależy do symetralnej odcinka. Punkt O jest więc równo odległy od punktówi, tzn.onależy również do symetralnej odcinka. (b) Przypomnijmy, że dwusieczna kąta jest to półprosta składająca się ze wszystkich punktów należących do kąta, które są równo odległe od ramion tego kąta. Udowodnimy, że: la dowolnego trójkąta dwusieczne jego kątów wewnętrznych przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. W Rysunek 2 Rozważmy trójkąt (Rys. 2). Poprowadźmy dwusieczne kątów oraz. Niech W będzie punktem przecięcia tych dwusiecznych. PonieważW leży na dwusiecznej kąta, to jest on równo odległy od prostych i. PunktW jest też równo odległy od prostych i (leży na dwusiecznej kąta ). Punkt W jest więc równo odległy od prostych i, tzn.w należy również do dwusiecznej kąta. (c) Środkową w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Udowodnimy, że: la dowolnego trójkąta trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten dzieli każdą z tych środkowych w stosunku2:1licząc od wierzchołka trójkąta. Sposób I: S E Rysunek 3 2
3 W trójkącie prowadzimy środkowee i (Rys. 3). NiechS będzie punktem przecięcia tych środkowych. Wówczas ES jest podobny do S w skalik=2(e oraz =2 E ). Mamy zatem, że S = 2 SE i S =2 S, tzn. punkts dzieli obie rozważane środkowe w stosunku2:1. Podobne rozumowanie prowadzimy np. dla środkowych E i F. Punkt przecięcia tych środkowych również dzieli każdą z nich w stosunku 2: 1 (licząc od wierzchołka trójkąta). Zatem punkt S należy do wszystkich trzech środkowych trójkąta. Sposób II: O G 1 Rysunek 4 Rozważmy trójkąt, środkową 1 w tym trójkącie oraz punktg leżący na środkowej 1 taki, że G =2 G 1. NiechObędzie dowolnym punktem na płaszczyźnie (Rys. 4). Wówczas: OG= O G, (1) OG= O G, (2) OG= O+ G. (3) Zauważmy, że = 0 oraz G+2 1 G= 0. odając stronami równości (1), (2) i (3) otrzymujemy: 3 OG= O+ O+ O. Ostatnia równość nie zależy od wyboru środkowej, tzn. punkt G leży także na pozostałych środkowych i dzieli je w tym samym stosunku. (d) Pokażemy teraz, że w dowolnym trójkącie proste zawierające wysokości tego trójkąta przecinają się w jednym punkcie. 3
4 Sposób I: O H k Rysunek 5 Niech O będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie (Rys. 5). Ponieważ O = O, to punkttaki, że O+ O= O leży na symetralnej odcinka (czworokąt O jest rombem). Zauważmy, że prosta O jest prostopadła do prostej k zawierającej wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka. Zatem koniec wektora O+ O, tzn. punkt H, leży na prostej k. Ostatecznie otrzymaliśmy, że OH= O+ O+ O, co oznacza, iż wektor OH nie zależy od wyboru wysokości trójkąta, zatem H leży na każdej z trzech prostych zawierających wysokość trójkąta. Sposób II: m 1 1 k l 1 Rysunek 6 Rozważmy trójkąt. Prowadzimy proste k, l i m w następujący sposób: prostamjest równoległa do prostej i przechodzi przez punkt, prostak jest równoległa do prostej i przechodzi przez punkt, prostaljest równoległa do prostej i przechodzi przez punkt. 4
5 Niech 1, 1 i 1 będą punktami przecięcia prostychk, l im(rys. 6). Wówczas łatwo można zaobserwować, że 1 = 1 =, 1 = 1 = oraz 1 = 1 =. Ponadto symetralne boków trójkąta są prostymi zawierającymi wysokości trójkąta. Ponieważ dla dowolnego trójkąta symetralne jego boków przecinają się w jednym punkcie (zadanie 1.(a)), to dla dowolnego trójkąta proste zawierające jego wysokości również przecinają się w jednym punkcie. Sposób III: Skorzystamy z następującej własności (dowód pozostawiam czytelnikowi): la dowolnych czterech punktów,, ina płaszczyźnie prawdziwa jest równość: + + =0. (4) Rysunek 7 Rozważmy trójkąt. Niech będzie punktem przecięcia dwóch prostych zawierających wysokości trójkąta opuszczone z wierzchołków i (Rys. 7). Wówczas wektory i są prostopadłe, zatem =0. Podobnie, zatem =0. Korzystając z powyższych obserwacji oraz z własności (4) otrzymujemy, że =0. Oznacza to, że, tzn. wektor zawarty jest w prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka. Zatem punkt jest punktem wspólnym trzech prostych zawierających wysokości trójkąta. 2. Opisać własności elementów czworościanu analogicznych do następujących elementów trójkąta: (a) symetralne boków, (b) dwusieczne kątów, (c) środkowe, (d) wysokości. Rozwiązanie: (a) Przypomnijmy, że symetralna odcinka na płaszczyźnie, to prosta zawierająca wszystkie punkty równo odległe od końców odcinka. W przestrzeni jej odpowiednikiem jest płaszczyzna symetralna odcinka, czyli płaszczyzna zawierająca wszystkie punkty przestrzeni równo odległe od końców 5
6 tego odcinka. Spróbujemy teraz odpowiedzieć na pytanie, czy sześć płaszczyzn symetralnych w czworościanie przecina się w jednym punkcie. k O k O 1 O 1 Rysunek 8a Rysunek 8b Prowadzimy płaszczyzny symetralne boków trójkąta. Łatwo zauważyć, że płaszczyzny te przecinają się wzdłuż prostejk przechodzącej przez środeko 1 okręgu opisanego na trójkącie i prostopadłej do płaszczyzny (Rys. 8b). owolny punkt prostej k jest równo odległy od punktów, i. Rozważmy czwartą płaszczyznę symetralną, np. dla odcinka. Przecina ona prostąkwpunkcieo(rys. 8a). PunktOjest równo odległy od punktów,, (bo leży na prostejk) oraz od punktówi(bo leży w płaszczyźnie symetralnej odcinka). PunktOjest więc równo odległy od wszystkich czterech wierzchołków czworościanu, tzn. należy do każdej z sześciu płaszczyzn symetralnych krawędzi tego czworościanu. Ponadto punkt O jest środkiem kuli opisanej na czworościanie. Podsumowując: W dowolnym czworościanie płaszczyzny symetralne krawędzi czworościanu przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem kuli opisanej na tym czworościanie. (b) Przypomnijmy, że dwusieczna kąta na płaszczyźnie, to półprosta zawierająca wszystkie punkty należące do kąta, które są równo odległe od ramion tego kąta. W przestrzeni jej odpowiednikiem jest półpłaszczyzna dwusieczna kąta dwuściennego, czyli półpłaszczyzna zawierająca wszystkie punkty należące do kąta dwuściennego, które są równo odległe od ramion tego kąta. Odpowiemy teraz na pytanie, czy sześć półpłaszczyzn dwusiecznych w czworościanie przecina się w jednym punkcie. 6
7 m W Rysunek 9 Prowadzimy półpłaszczyzny dwusieczne trzech kątów dwuściennych o krawędziach, i czworościanu. Półpłaszczyzny te przecinają się wzdłuż półprostej m zawierającej punkty równo odległe od ścian, i czworościanu (Rys. 9). Półpłaszczyzna dwusieczna kąta dwuściennego o krawędzi przetnie półprostą m w punkcie W, który jest równo odległy od wszystkich ścian czworościanu, zatem należy on do każdej z sześciu półpłaszczyzn dwusiecznych dla tego czworościanu. Ponadto punkt W jest środkiem kuli wpisanej w czworościan. Podsumowując: W dowolnym czworościanie półpłaszczyzny dwusieczne kątów dwuściennych czworościanu przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem kuli wpisanej w ten czworościan. (c) Przypomnijmy, że środkowa w trójkącie jest to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. la czworościanu środkową nazywamy odcinek łączący wierzchołek ze środkiem ciężkości przeciwległej ściany czworościanu. Zbadamy czy w każdym czworościanie środkowe mają wspólny punkt przecięcia. Jeśli taki punkt istnieje, to czy podobnie jak dla trójkąta, dzieli środkowe w stałym stosunku. Sposób I: S Q Rysunek 10 7 R P
8 W czworościanie prowadzimy środkową P trójkąta oraz środkowąp trójkąta. NiechQiRbędą środkami ciężkości odpowiednio trójkątów i, a S punktem przecięcia środkowych czworościanu R i Q (Rys. 10). Zauważmy, że: PQ Q =1 2 = PR R. Zatem na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa odcinki QR i są równoległe. Łatwo zauważyć, że trójkątys iqrs są podobne w skali (gdyż = PQ = 1 ). PunktS dzieli zatem każdą z 1 QR 3 P 3 rozważanych środkowych w stosunku3:1licząc od wierzchołka czworościanu. Jednakże nasze rozumowanie można ponownie przeprowadzić dla dowolnego innego wyboru pary środkowych czworościanu. Otrzymujemy więc, że punkt S należy do wszystkich czterech środkowych czworościanu. Sposób II: O G 1 Rysunek 11 Rozważmy czworościan, środkową 1 w tym czworościanie oraz punktgleżący na środkowej 1 taki, że G =3 G 1 ( 1 - środek ciężkości trójkąta). NiechObędzie dowolnym punktem w przestrzeni (Rys. 11). Wówczas: OG= O G, (5) OG= O G, (6) OG= O G. (7) OG= O+ G. (8) Zauważmy, że = 0 oraz G+ 1 G= 0. odając stronami równości (5), (6), (7) i (8) otrzymujemy: 4 OG= O+ O+ O+ O. 8
9 Ostatnia równość nie zależy od wyboru środkowej, tzn. punkt G leży także na pozostałych środkowych i dzieli je w ten sam sposób. Podsumowując: W dowolnym czworościanie cztery środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każda z nich w stosunku3:1 licząc od wierzchołka czworościanu. (d) Wysokość w czworościanie to najkrótszy odcinek łączący wierzchołek z płaszczyzną zawierającą przeciwległą ścianę czworościanu. Zastanówmy się, czy dla dowolnego czworościanu proste zawierające wysokości tego czworościanu przecinają się w jednym punkcie. Odpowiedź brzmi NIE. ardzo łatwo można podać przykład czworościanu, w którym dwie proste zawierające wysokości czworościanu nie mają punktu wspólnego. Rysunek 11 la przykładu rozważmy czworościan przedstawiony na rysunku 12. Ściany i tego czworościanu są prostopadłe, a rzut prostopadły punktu na płaszczyznę jest różny od rzutu prostopadłego punktu na płaszczyznę. Zatem proste zawierające wysokości opuszczone z wierzchołków itego czworościany są prostymi skośnymi. 3. any jest czworościan foremny o krawędzi 6 i ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wszystkie krawędzie mają długość 6. Sklejamy te bryły ścianą trójkątna. Ile ścian ma otrzymana bryła? Rozwiązanie: Udowodnimy, że bryła otrzymana po sklejeniu danych wielościanów ma tylko 5 ścian. Sposób I: Policzmy kosinusy kątów dwuściennych utworzonych przez sąsiednie ściany boczne zarówno dla czworościanu foremnego jak i dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Rozważmy kąt dwuścienny α w czworościanie foremnym o krawędzi długości 6 (Rys. 12). Odcinki E i E są wysokościami przystających trójkątów równobocznych, zatem E = E =3 3. Zastosujemy teraz twierdzenie kosinusów dla trójkąta E oraz kąta α: 2 = E 2 + E 2 2 E E cosα 9
10 36= cosα cosα= 1 3. E α Rysunek 12 Rozważmy teraz kąt dwuścienny β między sąsiednimi ścianami bocznymi w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym E, którego wszystkie krawędzie mają długość6(rys. 13). E β F Rysunek 13 Podobnie jak poprzednio obserwujemy, że odcinki F i F są wysokościami przystających trójkątów równobocznych, zatem F = F =3 3. Odcinek jest przekątną w kwadracie, czyli =6 2. Zastosujemy twierdzenie kosinusów dla trójkątaf oraz kątaβ: 2 = F 2 + F 2 2 F F cosβ 72= cosβ cosβ= 1 3. Ponieważα (0,90 ),β (90,180 ) orazcosβ= cosα, toα+β=180. Sposób II: Rozważmy dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne o wszystkich krawędziach długości 6 (Rys. 14). Łatwo zauważyć, że pomiędzy te dwie bryły można dokładnie włożyć właśnie czworościan foremny o krawędzi długości 6. 10
11 Rysunek Uzasadnić, że jeśli w czworościanie przy pewnym wierzchołku wszystkie kąty płaskie są proste (czworościan trójprostokątny), to wówczas suma kwadratów pól ścian będących trójkątami prostokątnymi jest równa kwadratowi pola czwartej ściany. Rozwiązanie: Rozważmy czworościan trójprostokątny z kątami prostymi przy wierzchołku oraz wysokość tego czworościanu opuszczoną z wierzchołka. Niech E będzie spodkiem tej wysokości. Poprowadźmy odcinkie ie oraz zaznaczmy przekrójf wyznaczony przez krawędź oraz wysokość E (Rys. 15). F E Rysunek 15 Zauważmy, że trójkąt E jest rzutem prostokątnym ściany na płaszczyznę. Policzmy pola następujących trójkątów: P = 1 2 F, P E= 1 2 EF, P = 1 2 F. Zatem oraz P 2 = F 2 (9) P E P = EF F. (10) 11
12 Przypomnijmy pewną własność dotyczącą trójkątów prostokątnych. Rozważmy dowolny trójkąt prostokątny, gdzie =90 oraz wysokość tego trójkąta (Rys. 16). Wówczas: 2 = Rysunek 16 Korzystając z tej własności dla trójkąta prostokątnego F mamy: Z równości (9), (10) i (11) otrzymujemy: F 2 = EF F. (11) P 2 =P E P. W dowolnym czworościanie trójprostokątnym kwadrat pola ściany prostokątnej jest równy iloczynowi pola ściany nieprostokątnej przez pole rzutu prostokątnego na tę ścianę rozważanej ściany prostokątnej. Skorzystajmy teraz z ostatniej równości kolejno dla każdej ściany prostokątnej i dodajmy te równości stronami: P 2 +P2 +P2 =P (P E +P E +P E ). PonieważP E +P E +P E =P, to: P 2 +P2 +P2 =P2. 12
Metoda objętości zadania
Metoda objętości zadania Płaszczyzny i dzielą graniastosłup trójkątny na cztery bryły Znaleźć stosunki objętości tych brył 2 any jest równoległościan o objętości V Wyznaczyć objętość części wspólnej czworościanów
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 0, grupa zaawansowana (7.03.010) krąg dziewięciu
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowoOstrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V =
Ostrosłupy Zad 1: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kwadrat długości krawędzi podstawy, kwadrat długości wysokości ostrosłupa i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
Bardziej szczegółowoProjekt Zobaczę-dotknę-wiem i umiem, dofinansowany przez Fundację mbanku w partnerstwie z Fundacją Dobra Sieć
Kartka papieru i własności trójkątów. Ćwiczenie 1 Uczniowie ustalają ile znają rodzajów trójkątów. Podział ze względu na miary kątów Podział ostrokątny prostokątny rozwartokątny ze względu na długości
Bardziej szczegółowoZbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza
Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoStereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoCzworościany ortocentryczne zadania
Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (29 września 2016 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. odatnia liczba a powiększona o 50% jest równa dodatniej liczbie b pomniejszonej
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
Bardziej szczegółowoPytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoTemat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW. Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej
Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej Przypomnienie podstawowych wiadomości potrzebnych do rozwiązywania zadań z przekrojami prostopadłościanów. 1. Prostopadłościan
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (27 listopada 2014 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje ostrosłup, który ma dokładnie 15 14 a) wierzchołków;
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I
MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia
Bardziej szczegółowoCztery punkty na okręgu
Tomasz Szymczyk V LO w ielsku-iałej ztery punkty na okręgu Przydatne fakty: (1) kąty wpisane w okrąg oparte na łukach przystających są równe, (2) czworokąt jest wpisany w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy
Bardziej szczegółowoTrójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180. +
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy, klasa 3 ZSZ
Plan wynikowy, klasa 3 ZSZ Nazwa działu Temat Liczba godzin 1. Trójkąty prostokątne powtórzenie 1. Trygonometria (10 h) 2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 3. 4. Trygonometria zastosowania 5. 6. Związki
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Mówimy, że odcinki i CD są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli CD = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli
Bardziej szczegółowoStereo. (a miejscami nawet surround) 30 stycznia 2014
Stereo (a miejscami nawet surround) 30 stycznia 2014 To kółko wiele zawdzięcza niezrównanym artykułom Michała Kiezy z Kącika Przestrzennego Delty. Oprócz tego zadania pochodzą z OMów oraz prezentacji Adama
Bardziej szczegółowow jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok
Wielościany Definicja 1: Wielościanem nazywamy zbiór skończonej ilości wielokątów płaskich spełniających następujące warunki: 1. każde dwa wielokąty mają bok lub wierzchołek wspólny albo nie mają żadnego
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia geometryczne
PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych
Bardziej szczegółowoInwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania Rozważmy sferę S o środku O i promieniu R. Inwersją względem sfery S nazywamy przekształcenie, które przekształca punkt A na punkt A leżący na półprostej
Bardziej szczegółowoTrójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowo1.2. Ostrosłupy. W tym temacie dowiesz się: jak obliczać długości odcinków zawartych w ostrosłupach, jakie są charakterystyczne kąty w ostrosłupach.
12 Ostrosłupy W tym temacie dowiesz się: jak obliczać długości odcinków zawartych w ostrosłupach, jakie są charakterystyczne kąty w ostrosłupach Ostrosłup prosty to ostrosłup, który ma wszystkie krawędzie
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoXII. GEOMETRIA PRZESTRZENNA GRANIASTOSŁUPY
pitagoras.d2.pl XII. GEOMETRIA PRZESTRZENNA GRANIASTOSŁUPY Graniastosłup to wielościan posiadający dwie identyczne i równoległe podstawy oraz ściany boczne będące równoległobokami. Jeśli podstawy graniastosłupa
Bardziej szczegółowoMini tablice matematyczne. Figury geometryczne
Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą
Bardziej szczegółowoPlanimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
Bardziej szczegółowoTWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI
TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
Bardziej szczegółowoSkrypt 33. Powtórzenie do matury:
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 33 Powtórzenie do matury:
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoLVII Olimpiada Matematyczna
Zadanie 1. LVII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 5 kwietnia 2006 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d, e układ równań
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY
Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik
Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada atematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2017 r. 16 października 2017 r.) 1. iczby a, b, c spełniają zależności Wykaż, że a 2 +b 2 = c 2. Szkice
Bardziej szczegółowoGraniastosłupy mają dwie podstawy, a ich ściany boczne mają kształt prostokątów.
GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY Bryły czyli figury przestrzenne dzielimy na: graniastosłupy ostrosłupy bryły obrotowe Graniastosłupy i ostrosłupy nazywamy wielościanami Graniastosłupy mają dwie podstawy, a
Bardziej szczegółowoVIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI
Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Ocena dopuszczająca: - nazwy działań - algorytm mnożenia i dzielenia
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)
PLNIMETRI pp 2015/16 WŁSNOŚI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) Zad.1 Wyznacz kąty trójkąta jeżeli stosunek ich miar wynosi 5:3:1. Zad.2 Znajdź
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej Rozwiązania - klasy drugie 1. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające nierówności x + 1 + y 4 x + y 4 5 x 4 + y 1 > 4. Ważne jest zauważenie,
Bardziej szczegółowo7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek
Bardziej szczegółowoZadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest
Bardziej szczegółowoProjekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt dla ucznia Planimetria: 5.
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem nierówności A. B. C. 4 D. 2
(Kod ucznia).... /50 pkt. (Liczba uzyskanych punktów) Matura próbna z matematyki KLASA III poziom podstawowy Czas trwania 170 minut Liczba punktów do uzyskania - 50 Zadanie 1. (0-1) Liczba jest równa A)
Bardziej szczegółowoMETODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45
METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 28 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 8. any jest sześcian (zobacz rysunek) o krawędzi równej 1. unkt S jest środkiem krawędzi. Odcinek W jest wysokością ostrosłupa
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2015 r. 12 października 2015 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. Wykaż, że istnieje
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona
Bardziej szczegółowoKonkurs dla gimnazjalistów Etap II 8 lutego 2017 roku
Konkurs dla gimnazjalistów Etap II 8 lutego 017 roku Instrukcja dla ucznia 1. W zadaniach o numerach od 1. do 15. są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D. Dokładnie jedna z nich jest poprawna.
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 15 (20.02.2010) Zbiory wypukłe Definicja. Zbiór
Bardziej szczegółowoCo należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu
Oznaczenia A, B, 1, 2, I, II, punkty a, b, proste α, β, płaszczyzny π 1, π 2, rzutnie k kierunek rzutowania d(a,m) odległość punktu od prostej m(a,b) prosta przechodząca przez punkty A i B α(1,2,3) płaszczyzna
Bardziej szczegółowoRozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328
Drogi Czytelniku 9 Oznaczenia matematyczne 11 Podstawowe wzory 15 Rozdział I. Zbiory. Działania na zbiorach 21 1. Zbiór liczb naturalnych 22 1.1. Działania w zbiorze liczb naturalnych 22 1.2. Prawa działań
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 2, grupa zaawansowana (17.10.2009) Analogie i
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2
Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Wróćmy do twierdzenia Pitagorasa, które dobrze znamy. Mówi ono o związkach między bokami w trójkącie prostokątnym. Może w jego
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019 Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające,
Bardziej szczegółowoMłodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. dr Michał Lorens
Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego ODLEGŁOŚĆ NA POWIERZCHNI WIELOŚCIANU dr Michał Lorens 28.04.2012 Projekt
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA. Poziom podstawowy
STEREOMETRIA Poziom podstawowy Zadanie ( 8 pkt ) W stożku tworząca o długości jest nachylona do powierzchni podstawy pod kątem, którego tangens jest równy Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa VII Planimetria Teoria
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy klasa 3. Zakres podstawowy
Plan wynikowy klasa 3 Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające. RACHUNE PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Bardziej szczegółowoRozwiązanie. Oznaczmy przekątne rombu, który jest podstawa graniastosłupa: dłuższa
Temat: RZEKROJE GRANIASTOSŁUÓW I OSTROSŁUÓW Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej rzypomnienie podstawowych wiadomości potrzebnych do rozwiązywania zadań z przekrojami. Sposób wyznaczania kąta
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5
Bardziej szczegółowoGeometria wykreślna. 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury
Geometria wykreślna 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1 3.
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Bardziej szczegółowo6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb
LICZBY I DZIAŁANIA PROCENTY str. 1 Przedmiot: matematyka Klasa: 2 ROK SZKOLNY 2015/2016 temat Wymagania podstawowe P 2. Wartość bezwzględna oblicza wartość bezwzględną liczby wymiernej 3. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej.
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające;
Bardziej szczegółowoW(x) = Stopień wielomianu jest równy: A. B. C. D. A. B. C. D.
Zadanie 9. (1 pkt.) (Czerwiec 014) Dane są wielomiany: x, P(x) = x 3 + x, Q(x) = (1 x)(x + 1) W(x) = 1 W(x) P(x) Q(x). Stopień wielomianu jest równy: 3 6 7 1 Zadanie 10. (1 pkt.) (Czerwiec 014) Pierwsza
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoSkrypt 26. Stereometria: Opracowanie Jerzy Mil
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 26 Stereometria: 1. Przypomnienie
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania
Bardziej szczegółowoGeometria. Planimetria. Podstawowe figury geometryczne
Geometria Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Aksjomaty
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.
Bardziej szczegółowoPlanimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Bardziej szczegółowoGeometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
Geometria Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 W tym przypadku możemy wykonać szkic pięciokąta i policzyć przekątne: Zadanie. Promień okręgu opisanego na kwadracie
Bardziej szczegółowoWłasności punktów w czworokątach
Własności punktów w czworokątach Autor: Michał Woźny Gimnazjum nr 2 im. A. Mickiewicza w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1. Wstęp str. 3 2. Badanie punktów będących środkami boków w
Bardziej szczegółowoODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Klasa 3
PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Klasa 3 I. FUNKCJE grupuje elementy w zbiory ze względu na wspólne cechy wymienia elementy zbioru rozpoznaje funkcje wśród przyporządkowań
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne
Bardziej szczegółowo