Regionalne Koło Matematyczne

Transkrypt

1 Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Lista rozwiązań zadań nr 0, grupa zaawansowana ( ) krąg dziewięciu punktów 1. Udowodnić, że w każdym trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie długości trzeciego boku. Rozwiązanie. Pierwszy sposób wynika on bezpośrednio z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa i wniosku z tego twierdzenia. rugi sposób. Wykorzystamy rachunek wektorowy. Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku. E Ponieważ punktyie są środkami boków i, więc E= + 1 E= + 1 = 1 ( + 1 )=. Z równości tej otrzymujemy, że E i E = 1 co kończy rozwiązanie. 1

2 . Udowodnić, że w dowolnym trójkącie: 1) środkowe przecinają się w jednym punkcie, ) proste zawierające wysokości przecinają się w jednym punkcie. Rozwiązanie. Problem poruszony w tym zadaniu był już omówiony za zajęciach, na których szukano analogii i różnic między trójkątem i czworościanem. Rozwiązując to zadanie wykorzystamy rachunek wektorowy. 1) Niech dany będzie trójkąt i niech będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie. Niech ponadto będzie środkiem boku i niechgbędzie punktem odcinka takim, że G = G. G Zauważmy, że Sumując te trzy równości, mamy G= + + G G= + + G G= + G. 3 G= G+ E. Ponieważ = ig= G, więc mamy G= 1 3 ( + + ). PunktG, obrany na środkowej, jest jednocześnie końcem wektora 1( ) zaczepionego w punkcie. Ponieważ suma + + nie zależy od kolejności dodawania składników, więc punkt G leży na każdej środkowej trójkąta, to oznacza, że środkowe przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. ) Niech będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie i rozważmy wektor = + +. Zauważmy, że = = =R, gdzierjest promieniem okręgu opisanego na trójkącie.

3 M Niech + =. Wówczas czworokąt jest rombem, gdyż = i jest ten czworokąt równoległobokiem. Stąd im punkt przecięcia przekątnych i rombu jest środkiem boku. Zauważmy, że = + + = +. Zatem czworokąt jest równoległobokiem (zasada dodawania wektorów). Stąd wnioskujemy, że, a więc. znacza to, że punkt leży na prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka. Ponieważ suma + + nie zależy od kolejności dodawania składników, więc punkt koniec wektora + + zaczepionego w punkcie leży także na prostych zawierających pozostałe wysokości. owodzi to faktu, że proste zawierające wysokości w trójkącie przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta. 3. W trójkącie punktjest środkiem okręgu opisanego, punkt jest ortocentrum,m jest środkiem boku ie jest środkiem odcinka. Wykazać, że środki odcinków im E pokrywają się. Rozwiązanie. Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku. E M 3

4 Z rozwiązania poprzedniego zadania wynika, że czworokąt jest równoległobokiem. dcinek łączącym (środek boku i jednocześnie środek odcinka) ie (środek odcinka) jest równoległy do boków i. dcinek ten przecina każdy z odcinków, których jeden koniec leży na boku, a drugi na boku, w jego środku. Zatem także odcinekm E przecina odcinek w środku odcinka. zytelnik łatwo uzasadni, że punkt przecięcia tych odcinków jest jednocześnie środkiem każdego z tych odcinków. efinicja. Środek odcinka łączącego ortocentrum trójkąta z wierzchołkiem nazywamy punktem Eulera. Wniosek. dcinki łączące punkty Eulera odpowiednio ze środkami boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem odcinka łączącego ortocentrum trójkąta ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie. 4. Udowodnić, że w każdym trójkącie: (a) środki boków trójkąta, (b) spodki wysokości, (c) środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z jego wierzchołkami leżą na jednym okręgu. krąg ten nazywamy okręgiem dziewięciu punktów. Rozwiązanie tego zadania znajduje się na liście rozwiązań zadań grupy podstawowej. 5. Wyznaczyć promień okręgu dziewięciu punktów i położenie środka tego okręgu. Uwaga. Jeśli mamy cięciwę okręgu, to środek tego okręgu leży na symetralnej tej cięciwy. Rozwiązanie tego zadania znajduje się na liście rozwiązań zadań grupy podstawowej. Inne uzasadnienie. Wiadomo, że na odcinkue M leży środek odcinka. Ponieważ punktye,m leżą na okręgu dziewięciu punktów, więc odcinek E M jest średnicą tego okręgu. Ponadto wiadomo, że E M = =R, więc 1 R jest promieniem okręgu dziewięciu punktów. 6. Udowodnić, że w trójkącie: środek okręgu opisanego na trójkącie, środek ciężkości trójkąta, środek okręgu dziewięciu punktów i ortocentrum leżą na jednej prostej. Tę prostą nazywamy prostą Eulera. Rozwiązanie. Niech dany będzie trójkąt, niech będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie i niech G będzie środkiem ciężkości, ortocentrum, 9 środkiem okręgu dziewięciu punktów. W rozwiązaniu zadania otrzymaliśmy G= 1 3 ( + + ) 4

5 i =( + + ). Stąd wnosimy, iż =3 G. Zatem punkty,g, leżą na jednej prostej i to w wymienionym porządku, przy czym =3 G. Ponadto środek odcinka jest środkiem okręgu dziewięciu punktów. Wniosek. Punkty wymienione w zadaniu są położone na odcinku w następującym porządku. 5x x 3x 9 G 5