Wojciech Michalski 1, Zbigniew Michniowski 2, Marian Gryszkiewicz 3, Augustyn Chwaleba 4

Transkrypt

1 PROT. STOM., 2006, LVI, 2 Symulacja numeryczna zachowań mechanicznych skrzydłowej protezy szkieletowej górnej z rozdzieloną kinematyką siodła. Część I. Założenia przestrzennego modelu obliczeniowego Numerical simulations of mechanical actions of the bilateral chrom-cobalt removable upper partial denture with separated kinetics of the saddle. Part I. Three-dimensional assumptions of the computational model Wojciech Michalski 1, Zbigniew Michniowski 2, Marian Gryszkiewicz 3, Augustyn Chwaleba 4 Obliczenia rozkładu naprężeń (odkształceń) oraz przemieszczeń skrzydłowej protezy szkieletowej górnej wymagały przestrzennego odwzorowania pracy układu podczas czynności życia. Celem było zbudowanie numerycznego modelu operacyjnego umożliwiającego optymalizację dystrybucji obciążeń zgryzowych w funkcji kształtu uzupełnienia protetycznego. Dyskretyzację cienkiej metalowej powłoki szkieletu protezy pokrywającej tkanki miękkie, dokonywano przy wykorzystaniu Systemu Digitalizacji MicroScribe-3D (Immersion) i opracowanego programu komputerowego. Umożliwiał on generowanie uporządkowanego układu elementów o dowolnej liczbie węzłów na podstawie pomiaru punk- Calculations of stress patterns (deformations) and displacements of the removable upper partial denture (RPD) required the spatial representation of the system function during mastication. The aim of the work was to construct a numerical operational model, which renders it possible to optimise the distribution of bite loading in the prosthesis complement. The digitisation of the thin metal shell of RPD covering soft tissues was done with use of the Digitizing System MicroScribe-3D (Immersion) and elaborated computer programme. This allowed for generating the order system of flat elements with the finite number of nodes, based on random measurement points on the gypsum diagnostic model of HASŁA INDEKSOWE: modelowanie numeryczne, kinematyka protez, biomechanika stomatologiczna KEY WORDS: numerical modelling, dentures kinematics, dental biomechanics Z Zakładu Propedeutyki i Profilaktyki Stomatologicznej Instytutu Stomatologii Akademii Medycznej w Warszawie 1 Kierownik: dr hab. n. med. L. Wagner mgr inż. Z. Michniowski Usługi Informatyczne i Projektowe 2 mgr inż. M. Gryszkiewicz EM-ES PROGRAMY- KOMPUTERY 3 Z Instytutu Systemów Elektronicznych Wojskowej Akademii Technicznej 4 Adres autorów: Warszawa, ul. Nowogrodzka 59 Połączenie metody obliczeniowej w układzie elementów skończonych i systemu pomiarowego z wykorzystaniem przetworników elektrycznych wspomaganych komputerowo daje narzędzia o prawie nieograniczonych możliwościach w za- Grant 3T10C03326 Opracowanie metod i narzędzi pomiarowych dla obiektywnej oceny skrzydłowych protez szkieletowych podczas czynności żucia. Praca przedstawiona w sesji plakatowej II Sympozjum Eksperyment Naukowy i Metody Poznawcze w Stomatologii, Ustroń r. 147

2 W. Michalski i inni tów rozproszonych na gipsowym modelu diagnostycznym podłoża. Kształt powierzchni środkowej powłoki aproksymowano płaskimi elementami trójkątnymi. Do obliczeń wykorzystano wersję przemieszczeniową metody elementów skończonych w komputerowym Systemie Analizy Statycznej Konstrukcji MIKRO-STRAINS. W symulacji numerycznej przemieszczeń układu powłokowego zastosowano współpłaszczyznowo element tarczowy i element płytowy schodzące się w węzłach. Element tarczowy odwzorowywał oddziaływania składowych sił zgryzu w płaszczyźnie łączników, a element płytowy reakcję zginania podczas ruchu części skrzydłowej protezy. Zastosowany wariant techniki hybrydowej wymagał konfrontacji obliczeń modelu matematycznego z wynikami pomiarów na doświadczalnej replice protezy klinicznej przy uwzględnieniu właściwości mechanicznych odlewów stopu CoCrMo. the supporting surface. The shape of the median surface of the shell was approximated with flat triangular elements. The displacing version of the finite element method in the autonomic system of the MIKRO-STRA- INS Statistical Structure Analysis was used in calculations. In the numerical simulation of displacements of the shell configuration, we used coplanar targets and plate elements concurring in the nodes. The target element represented the reaction of occlusal forces in the place of connectors and the plate element bending reaction during the movement of the part of RPD. The applied variant of hybrid technique required to confront calculations in the mathematical model with the results of measurements on the experimental replica of clinical prosthesis, taking account of mechanical properties of the casts of CoCrMo alloy. kresie analizy naprężeń (odkształceń) i przemieszczeń pod wpływem zmian przykładanych obciążeń. Stwarzają one warunki dla zastosowania zaawansowanej techniki hybrydowej, w której metoda tensometrii rezystancyjnej z jednoczesnym indukcyjnościowym pomiarem ugięć i symulacja numeryczna uzupełniają się wzajemnie podczas weryfikacji założeń klinicznych konstrukcji jednostronnej protezy skrzydłowej górnej o rozdzielonej kinematyce (4, 20, 22, 23). Występujące między nimi sprzężenie zwrotne umożliwia obiektywną ocenę w procesie odwzorowania ruchu siodła protezy szkieletowej i jej oddziaływania na tkanki wspierające podczas czynności żucia (ryc. 1). U podstaw zastosowanej techniki badania leży założenie, że kombinacja metody analityczno-numerycznej operującej modelem matematycznym z realizowanym równolegle eksperymentem tensometrycznym na modelu fizycznym są źródłem zdecydowanie lepszej informacji o zachowaniu mechanicznym zaprojektowanej protezy i bardziej wiarygodnych obliczeń dystrybucji obciążeń zgryzowych (1, 7, 8, 10, 12). W postępowaniu iteracyjnym wykorzystano wariant analizy statycznej, w której wyniki doświadczalne stanowić będą odniesienie dla poprawności rozwiązania numerycznego przy uwzględnieniu rzeczywistych parametrów materiałowych odlewu metalowej konstrukcji szkieletu (6, 19). Poszczególne elementy w odwzorowaniu hybrydowym opisywane są oddzielnie, lecz stanowią całość w powiązaniu z ogólnie przyjętymi kinematycznymi zasadami Ryc. 1. Technika eksperymentalno-numeryczna zastosowana w weryfikacji założeń klinicznych konstrukcji skrzydłowej protezy szkieletowej schemat blokowy. 148

3 Protezy szkieletowe projektowania i kliniczną oceną sprawności czynnościowej protezy częściowej przy współpracy z tkankami podłoża (7, 9, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19). Cel pracy Celem było zbudowanie przestrzennego modelu numerycznego doświadczalnej repliki protezy klinicznej, którą wykonano w wybranym przypadku jednostronnego rozległego braku skrzydłowego w szczęce. Zweryfikowany model numeryczny (operacyjny) umożliwi optymalizację rozkładu nacisku wywieranego w obszarze podparcia śluzówkowego i ozębnowego w funkcji kształtu uzupełnienia przy określonej grubości łączników. Jako kryterium optymalizacji przyjęto przeciętną wartość tolerowanego odporu liniowo sprężystego (z pominięciem cech reologicznych) tkanek miękkich, jako najbardziej wrażliwego ogniwa w transmisji obciążeń zgryzowych. Koncepcja obiektu powierzchniowego Analizie poddano zachowania mechaniczne wykonanej protezy o złożonej geometrii, w której jeden wymiar utożsamiany z grubością metalowego szkieletu był wyraźnie mniejszy od dwóch pozostałych. Zajmował on przestrzeń między powierzchniami ograniczającymi, które umownie nazwano górną dośluzową i dolną od strony jamy ustnej właściwej oraz boczną (ryc. 2). Odwzorowanie pod postacią modelu matematycznego (tzn. układu równań algebraicznych opisujących zachowanie protezy klinicznej pod działaniem zewnętrznych sił zgryzu) ustalono przy założeniu, że był to obiekt powierzchniowy cienki, którego grubość h porównana z minimalnym promieniem jego krzywizny R min spełniała nierówność: h / R min < 1/20 1/30 W teorii obiektów cienkich operacje obliczeniowe odnosi się do powierzchni środkowej, jako równo oddalonej od powierzchni górnej i dolnej (11, 21). Odmierzano ją wzdłuż prostej normalnej do tych powierzchni i ortogonalnie względem zakrzywień podłoża protetycznego. Założenie to pozwalało na ograniczenie rozważań do dwuwymiarowej powierzchni środkowej przy lokalnym uśrednieniu wartości trzeciego wymiaru grubości metalowych łączników części skrzydłowej z zębami filarowymi. Wobec powyższego rozpatrywany obiekt powierzchniowy można zdefiniować jako: cienką metalową powłokę pokrywającą tkanki podłoża, której kształt wynikał z analizy paralelometrycznej w procedurze projektowania konstrukcji i laboratoryjnego wykonania szkieletu o właściwościach mechanicznych uwarunkowanych jakością odlewu stopu CoCrMo. Należy podkreślić, że niespełnienie założenia cienkościenności spowodowałoby przejście do obiektów średnio grubych lub grubych, w których stosowanie tego rodzaju uproszczeń prowadziłoby do znacznych rozbieżności obliczeń w modelu matematycznym z pomiarami na modelu fizycznym protezy rzeczywistej. Ryc. 2. Pomiar grubości konstrukcji szkieletu protezy jako obiektu powierzchniowego. Warunki pracy powłoki szkieletu Kliniczne konstrukcje jednostronnej protezy skrzydłowej, w której zastosowano założenia rozdzielenia kinematyki siodła, uwarunkowane były: wielokrotną różnicą tolerowanej deformacji dostosowawczej (wydolności biomechanicznej) tkanek miękkich przy kierunkach anizotropii podłoża kostnego w odcinku bezzębnym i przyzębia filarów uzu- 149

4 W. Michalski i inni pełnienia stałego, nieregularnie rozmieszczonych w łuku szczęki (ryc. 3). W związku z tym pionową koordynację ruchu części skrzydłowej (od 27 do 23) oddzielono wzdłuż linii klamrowej (między filarem mostu 17 a matrycą zamocowania 22) od rozległego podparcia ozębnowego przez separację siodła (pomiędzy 22 a 23) oraz przewężenie dużego łącznika w obszarze bezpośredniego wsparcia błoną śluzową nieruchomą (12, 17, 18). Założono wyrównanie nacisku wywieranego osiowo-intruzyjnie na filary pośrednie (13, 12 i 11) przez ograniczenie oddziaływania ekstruzyjnego sił zgryzu na filary skrajne (17 i 21). Tym samym fizjologiczną rezerwę przyzębia zachowanych zębów naturalnych wykorzystano do kompensacji przemieszczeń poziomych i kontroli zakresu ugięć dośluzowych części skrzydłowej. Pracę protezy podczas czynności żucia przyjęto w stanie liniowo sprężystym przenoszeniu naprężeń wzdłuż grubości cienkiej metalowej powłoki szkieletu (12). Potwierdzono to doświadczalnie w kierunkowej ocenie charakterystyki odkształceń przetworników pomiarowych rozmieszczonych na łącznikach przy dopuszczalnej wartości przesunięć liniowych rozdzielonego kinematycznie siodła pod wpływem rosnących i malejących obciążeń statycznych (15, 16, 18). Teorię zachowań mechanicznych powłok cienkich opiera się najczęściej na założeniach upraszczających zwanych hipotezami Kirchhoffa-Love a (21). W odwzorowaniu numerycznym obciążonej powłoki szkieletu sprowadzono je do dwóch podstawowych stwierdzeń (ryc. 4): odcinek prostopadły do powierzchni środkowej powłoki pozostawał niewydłużalny oraz prostoliniowy do odkształcanych powierzchni górnej i dolnej, naprężenie σ z w obrębie powierzchni środkowej szkieletu było w stosunku do pozostałych składowych znikomo małe i we wszystkich punktach powłoki wynosiło: σ z (x e, y e, z e ) = 0 Ryc. 3. Model fizyczny protezy rzeczywistej o rozdzielonej kinematyce siodła z przetwornikami pomiarowymi i punktami przyłożeń sił skupionych. Ryc. 4. Schemat zachowania powierzchni środkowej przy zginaniu metalowej powłoki szkieletu. 150

5 Protezy szkieletowe Ponadto w obliczeniach należało uwzględnić kolejne założenia, a mianowicie: a) obowiązywała zasada zesztywnienia, tzn. przemieszczenia były na tyle małe, że obliczenia można było odnieść lokalnie do nieodkształconego obszaru konstrukcji szkieletu, b) reakcja materiału łączników (odlewu stopu CoCrMo) była liniowo sprężysta pod wpływem przenoszonych obciążeń zgryzowych, tzn. w zakresie stosowalności prawa Hooke a, c) materiał metaliczny odlewu był jednorodny (nieuwarstwiony) o stałej grubości wynikającej z uśrednionej wartości pomiarów w lokalnym obszarze powłoki szkieletu: h (x e, y e ) = const d) izotropowy materiał metaliczny posiadał moduł sprężystości podłużnej E wyznaczany w statycznej próbie rozciągania oraz współczynnik Poisson a ν dane literaturowe, e) pomijane były siły bezwładności i energia kinetyczna podczas ruchu obiektu, gdyż obliczenia ograniczono do obciążeń przykładanych statycznie analogicznie do pomiaru wielkości mechanicznych na modelu fizycznym protezy rzeczywistej. Wobec powyższego wspomniany stan giętny w obciążonej powłoce szkieletu można lokalnie odnieść do powierzchni środkowej płyty. Podobnie stan bezmomentowy nazywany tarczowym występuje w odniesieniu do układu obliczeniowego płaskiego, gdzie oddziaływania sił w obrębie powierzchni środkowej łączników nie wywołują stanu giętnego (5, 11, 21). W ograniczonym obszarze powłoki szkieletu obydwa stany występowały współpłaszczyznowo (komplanarnie) odwzorowując przestrzennie naprężenia (odkształcenia) i przemieszczenia, co stanowiło podstawę przybliżenia (aproksymacji) zachowań protezy rzeczywistej w symulacji numerycznej. Model obliczeniowy powłoki szkieletu Wyprowadzenie równań opisujących powyższe stany mechaniczne obejmuje na ogół modele kontynualne, w których dąży się do uzyskania rozwiązań ścisłych lub przybliżonych w postaci funkcji zmiennych niezależnych oraz parametrów geometrii i obciążenia przy niezbędnych uproszczeniach (5, 11). Możliwości obliczeniowe komputerów spowodowały przesunięcie uwagi w kierunku modeli dyskretnych, w których otrzymywane rozwiązania są przeliczalnymi zbiorami wartości uzyskanymi w określonych punktach analizowanego obiektu. Podejście dyskretyzacyjne polegające na geometrycznym podziale continuum obiektu fizycznego na elementy z niewiadomymi w węzłach, otrzymało nazwę metody elementów skończonych (MES) i stało się powszechnie stosowane (4, 23). W metodzie tej, wielkości węzłowe są stopniami swobody funkcji aproksymujących pola przemieszczeń lub naprężeń (odkształceń) w elemencie skończonym, a ich wartości są wyznaczane z minimalizacji odpowiednich funkcjonałów. Praktyczne wdrożenie MES pociągnęło za sobą daleko idącą unifikację, skutkiem czego różnice w analizie obiektu powierzchniowego czy np. prętowego lub bryłowego polegają na wyspecyfikowaniu właściwego elementu skończonego (5). W przestrzennym odwzorowaniu zachowań metalowej powłoki szkieletu, modelujący ją zdyskretyzowany układ powierzchniowy U obejmował: strukturę dyskretną S i obciążenia zewnętrzne P, co można zapisać symbolicznie: U = (S, P) Struktura S zawierała zbiory następujących wielkości: S = [ Es, W, R(Es, W) ] gdzie: Es to zbiór elementów skończonych Es = {Es: e = 1, 2,.., m} m całkowita liczba elementów, W to zbiór węzłów W = { Wi: i = 1, 2,.., n} n całkowita liczba węzłów, a R(Es, W) to zbiór relacji przylegania elementów do węzłów. Każdemu węzłowi przypisano wektor uogólnionych sił węzłowych Q i (w) pochodzący od obciążeń zewnętrznych (sił zgryzu). Siły te jako oddziaływania między sobą odpowiednich więzi nazywano reakcjami (siłami) wyjściowymi. Do węzłów przykładane bywają skupione obciążenia węzłowe P i skutkiem czego obciążenia zewnętrzne P sprowadzono do wektorów Q (w) i P: 151

6 W. Michalski i inni P = (Q (w), P) = ({Q i (w) }, { P i }) Wyraźne rozdzielenie struktury dyskretnej S i obciążeń P w powłoce szkieletu wynikało z kolejności analizy, gdzie znana była struktura układu, a poszukiwana była jego reakcja (odpowiedź) na zmiany przykładanych obciążeń. Dlatego jako najodpowiedniejszy w numerycznym odwzorowaniu zachowań mechanicznych protezy rzeczywistej przyjęto wariant przemieszczeniowy MES, w którym poszukiwanymi niewiadomymi były uogólnione przemieszczenia węzłów q i, będące elementem przemieszczeń układu q: q = { q i: i = 1, 2,.., n} n całkowita liczba węzłów. Zastosowany algorytm, tożsamy ze stosowanym Ryc. 5. Siatka elementów trójkątnych z węzłami w układzie powłokowym metalowej konstrukcji łączników siodła: A punktów rozproszonych oraz B rozmieszczeniu regularnym (aproksymowanym). w macierzowej metodzie przemieszczeń obejmował następujące etapy: Dyskretyzację powłoki szkieletu S, tzn. geometryczny podział na elementy Es, wybór węzłów W oraz zbudowanie relacji przylegania (topologii) R(Es, W). Zbudowanie macierzy sztywności oraz wektorów sił węzłowych Q i (w) i P i dla oddzielnych elementów. Agregację elementów w układ U zbudowanie globalnej macierzy sztywności. Uwzględnienie warunków brzegowych. Obliczenie przemieszczeń węzłów q i. Obliczenie uogólnionych naprężeń (odkształceń) w poszczególnych elementach lub w wybranych punktach (miejscach) powłoki. Dyskretyzacja metalowej powłoki szkieletu Kryteria geometrycznego podziału powierzchni środkowej szkieletu protezy na elementy skończone nie są i nie były jednoznaczne. Dlatego warto tu przytoczyć przyjęte w procedurze dyskretyzacyjnej wskazania (ryc. 5, 6). Siatka elementów powinna aproksymować możliwie dokładnie kształt metalowej powłoki. Dotyczyło to szczególnie obszarów zakrzywień powierzchni środkowej odwzorowującej topografię podłoża śłuzówkowo-kostnego. Ponadto powinna w miarę dokładnie rozgraniczać zmianę grubości, a tym samym sztywności łączników w miejscach połączeń z zębami filarowymi. Należało unikać elementów wydłużonych stosując, o ile to możliwe, elementy o kształtach zbliżonych do regularnych, np. trójkątne zbliżone do równobocznych czy prostokątne zbliżone do kwadratów. W przewidywanych obszarach koncentracji naprężeń (odkształceń) łączników lub przemieszczeń konstrukcji, geometryczny podział powłoki na elementy należało odpowiednio zagęścić. Przy wątpliwościach co do wartości uzyskanych wyników, obliczenia należało powtórzyć na siatce co najmniej dwukrotnie zagęszczonej, aby w przybliżeniu oszacować dokładność uzyskanego rozwiązania. W opracowanym generatorze siatek należało zapewnić wgląd w topograficzny efekt odwzorowa- 152

7 Protezy szkieletowe pomiaru położenia zdefiniowanego układu punktów (w systemie mechanicznym lub optycznym), uznano wykorzystywany wcześniej manualny System Digitalizacji MicroScribe-3D (Immersion) o rozdzielczości 0,009 cala 0,23mm (14). W kolejności odwzorowania kształtu podłoża pokrytego siatką elementów powłokowych nawiązano do uproszczonej symulacji numerycznej zachowań mechanicznych protezy skrzydłowej i liniowo sprężystej reakcji tkanek wspierających z wykorzystaniem metody fotogrametrycznej w układzie x y płaszczyzny zwarcia (13, 17). Opracowany program komputerowy współpracujący ze skanerem MicroScribe TM G2X umożliwiał przestrzenne generowanie siatek elementów o dowolnej gęstości węzłów w oparciu o pomierzone punkty rozproszone względem globalnych osi x-y-z powierzchni zwarcia (14). Ponadto aproksymował przebieg warstwic ilustrujących topografię podłoża w obrysie kształtu protezy. W przestrzennym modelu numerycznym powłoki szkieletu program generował elementy trójkątne, które uznano za najlepsze do aproksymacji powierzchni dowolnie zakrzywionych. Do obliczeń wyznaczał węzły tylko w narożach elementów. Ryc. 6. Topografia podłoża protetycznego w układzie warstwic o zadanej gęstości punktów węzłowych generowanych w odwzorowaniu regularnym. nia podłoża protetycznego z możliwością wprowadzenia korekty w miejscach o kształcie ewidentnie odbiegającym od wskazań opisanych wyżej. Zgodnie z nimi, powierzchnię środkową metalowej powłoki szkieletu aproksymowano skończonym układem elementów płaskich o węzłach znajdujących się w połowie odległości między powierzchnią górną a dolną. Innymi słowy: węzły elementów były odsunięte wzdłuż prostych normalnych do powierzchni środkowej o połowę uśrednionej grubości łączników ortogonalnie od punktów kontaktu protezy z tkankami podłoża. Dlatego jego powierzchnię w obrysie protezy odwzorowano przez skanowanie punktów rozproszonych na gipsowym modelu roboczym wykorzystywanym w analizie paralelometrycznej i w postępowaniu laboratoryjnym. Jako najwygodniejszy do Analiza oddzielnego elementu skończonego Za podstawowy element w układzie powłokowym protezy przyjęto płaski element trójkątny e o węzłach: i, j, k opisanych w lokalnym układzie współrzędnych kartezjańskich x, y, z (ryc. 7 i 8). Dla pojedynczego węzła, np. i przyjęto następujące składowe wektora uogólnionych przemieszczeń qi, które odpowiadały liczbie jego stopni swobody: qi = { u x, v y, w z, φ x, φ y, φ z } Poziome przemieszczenia węzła u x i v y odpowiadały stanowi tarczowemu (bezmomentowemu) wywołanemu siłami rozciągającymi lub ściskającymi powłokę szkieletu w płaszczyźnie elementu. Natomiast przemieszczenia prostopadłe w z występujące przy zginaniu materiału łączników odpowiadały stanowi płytowemu (giętnemu) elementu. Analizując zilustrowane kierunki przemieszczeń węzła i można stwierdzić, że obrót φ z wokół osi z prostopadłej do płaszczyzny środkowej i po- 153

8 W. Michalski i inni Ryc. 9. Przemieszczenia elementu powłokowego poddawanemu siłom obciążającym: w płaszczyźnie elementu oddziaływania tarczowe oraz siłom odkształcającym płytę oddziaływania giętne. Ryc. 7. Schemat aproksymacji kształtu zakrzywionej powierzchni przy geometrycznym podziale na płaskie elementy trójkątne. Ryc. 8. Wektory przemieszczeń oraz obrotów w węźle i płaskiego elementu trójkątnego. wierzchni podłoża w wyznaczonym punkcie, wywoływał efekt skręcania trójkąta w płaszczyźnie elementu, ale nie wpływał na sprężystą deformację tarczy. Natomiast obroty φ x, φ y wokół lokalnych osi x i y przebiegających wzdłuż krawędzi elementu, odpowiadały za efekt liniowego odkształcenia płyty przy zginaniu (ryc. 9). Podejście takie było poprawne z punktu widzenia samej płyty pracującej w stanie bezmomentowym, jak również samej tarczy pracującej bez stanu giętnego (11, 21). W obu przypadkach otrzymywane wyniki będą prawidłowe, gdyż odwzorowując przestrzennie pracę powłoki szkieletu, superponowano stan tarczowy i stan płytowy przy komplanarnych elementach schodzących się w węźle. Dla uzasadnienia takiego rozdzielenia oddziaływań (tzw. rozprzężenia stanu bezmomentowego i giętnego) podawany jest argument, że: przemieszczenia powodowane działaniem sił w płaszczyźnie nie wpływają na odkształcenia giętne i odwrotnie odkształcenia giętne nie wpływają na siły w płaszczyźnie. Wynikało to z jednorodności materiału łączników oraz objawiało się tym, że siły podłużne (w oddziaływaniu tarczowym) uzależnione były od odkształceń powierzchni środkowej powłoki szkieletu, a momenty od zmian krzywizn odwzorowujących kształt podłoża. Wobec tego wektory przemieszczeń węzłów dla pojedynczego elementu e : qi, qj i qk (odpowiadające wyznaczonym punktom kontaktu protezy z podłożem) połączono w wektor uogólnionych przemieszczeń elementu qe o łącznej liczbie stopni swobody dla trzech węzłów. Przy czym przemieszczenia węzłów należały do pola przemieszczeń elementu, gdyż stanowiły jego integralną część. W tej sytuacji pole przemieszczeń wewnątrz (na obszarze) elementu e aproksymowano zbiorem funkcji dopuszczalnych, które zapisywano w postaci iloczynu tzw. macierzy funkcji kształtu elementu N e i wektora uogólnionych przemieszczeń elementu qe: u = N e qe Podsumowanie Otrzymany związek przemieszczeń dla pojedynczego elementu układu u miał podstawowe znaczenie w analizie statycznej konstrukcji protezy skrzydłowej. Ustalając bowiem odpowiednie funkcje dopuszczalne kierowano się następującymi kryteriami dostosowania elementów: Kryterium zgodności przemieszczeń: pole 154

9 Protezy szkieletowe przemieszczeń musi być ciągle na obszarze elementu, a na krawędziach sąsiadujących elementów (tzn. na odcinkach między węzłami) muszą być spełnione odpowiednie warunki zgodności przemieszczeń. Kryterium przemieszczenia ciała sztywnego: jeżeli przemieszczenia węzłów wskazują na ruch elementu jako bryły sztywnej, to element na swym obszarze nie powinien doznawać żadnych odkształceń. Kryterium stałego odkształcenia: przyjęte funkcje kształtu (dopuszczalne) muszą zapewnić realizację stałego stanu odkształcenia na całym obszarze elementu. A zatem uzyskanie równowagi (zgodności) sił zewnętrznych i wewnętrznych będącej konsekwencją zależności wiążącej siły z przemieszczeniami elementów w węzłach, było warunkiem przeprowadzenia symulacji zachowań mechanicznych konstrukcji protezy jako całości. Z kolei wyniki obliczeń uzyskane w modelu matematycznym należało poddać konfrontacji z wynikami pomiarów naprężeń (odkształceń), a przede wszystkim ugięć w funkcji symulowanych obciążeń zgryzowych na modelu fizycznym konstrukcji rzeczywistej. Wykorzystanie rozwiązań ścisłych w koncepcji obiektu powierzchniowego odwzorowującego protezę skrzydłową było utrudnione. W dostępnej literaturze analizę układu powłokowego ograniczano do przykładów rozwiązań fragmentarycznych, przez co porównanie kompletnych wyników obejmujących: przemieszczenia, siły wewnętrzne i reakcje w jednym schemacie obliczeniowym było niemożliwe (2, 5, 11, 21, 23). Z tego względu w postępowaniu iteracyjnym za podstawowy przyjęto płaski element powłokowy, złożony z elementu tarczowego i płytowego oraz wykorzystano program komputerowy MIKRO-STRAINS jako moduł obliczeniowy autonomicznej aplikacji kontrolującej wyniki i modyfikującej dane wejściowe (6). Piśmiennictwo 1. Barzykowski J. (red): Współczesna metrologia zagadnienia wybrane. WNT, Warszawa Chronowicz A.: The Design of Shells. A Practical Approach. Crosby Lockwood & Son Ltd, London Chwaleba A., Koniński M., Siedlecki A.: Metrologia elektryczna. wyd. VIII, WNT, Warszawa Clough R. W.: Comparison of three-dimensional finite elements in stress analysis. ed. Zienkiewicz O.C.: Various types of bridges by the finite element method. Lockwood Cusens A. R., Pama R. P.: Analiza statyczna pomostów. Metoda elementów skończonych. Wydawnictwo Komunikacji i Łączności, Warszawa Gryszkiewicz M.: System Analizy Statycznej MIKRO-STRAINS. Podręcznik Użytkowania, EM-ES PROGRAMY-KOMPUTERY, Warszawa Hupfauf L. (red.): Protezy częściowe., Niedermeier W.: Kinematyka protez. Urban & Partner, Wrocław Kapkowski J., Kujawińska M.: Współczesne zastosowanie technik hybrydowych w mechanice ciała stałego. Materiały XVI Sympozjum Mechaniki Eksperymentalnej, 1994, Kwiatos K., Kuchta M., Fokow K., Michalski W.: Stanowisko do pomiaru naprężeń płyty podniebiennej przy przemieszczeniach skrzydła protezy szkieletowej. VII Szkoła Konferencja METROLOGIA WSPOMAGANA KOMPUTEROWO, MWK 2005, Tom III Granty i Projekty Celowe, Laerman K. H. (red.): Hybrid techniques in experimental solid mechanics. Springer, Vien 2000, Meyer C., Scordelis A. C.: Computer Program for Prismatic Folded Plates with Plate and Beam Elements. University of California, Berkeley Michalski W.: Zastosowanie sprężystego odkształcenia płyty w konstrukcjach szkieletowych protez skrzydłowych szczęki. Prot. Stom., 2001, LI, 6, Michalski W., Bączkowski B., Michniowski Z.: Geometryczny aspekt powierzchni zwarcia w analizie i ocenie porównawczej. Prot. Stom., 2002, LII, 5, Michalski W., Michniowski Z., Kuchta M., Wasek M.: Kliniczny kształt krzywej zwarcia a wyidealizowana powierzchnia sferyczna. Część I. Badanie stopnia dopasowania na modelu matematycznym układu. Prot. Stom., 2004, LIV, 6, Michalski W., Kuchta M., Chwaleba A., Kwiatos K., Michniowski Z.: Tensometryczny pomiar naprężeń dużego łącznika przy przemieszczeniach skrzydła protezy szkieletowej górnej w warunkach doświadczalnych. Część I. Ocena właściwości układu pomiarowego. Prot. Stom., 2005, LV, 2, Michalski W., Kuchta M., Fokow K.: Tensometryczne pomiary doświadczalne zachowań mechanicznych dla symulacji numerycznej skrzydłowej protezy zębowej. Materiały VII Sympozjum MODELOWANIE I POMIARY W MEDYCYNIE, MPM 2005, Michalski W., Michniowski Z., Kuchta M., Chwaleba A.: Symulacja numeryczna 155

10 W. Michalski i inni zachowań mechanicznych i reakcji podłoża skrzydłowej protezy szkieletowej górnej model płaski. Prot. Stom., 2005, LV, 3, Michalski W., Kuchta M., Fokow K., Chwaleba A.: Tensometryczny pomiar naprężeń dużego łącznika przy przemieszczeniach skrzydła protezy szkieletowej górnej w warunkach doświadczalnych. Część II. Ocena rozkładu odkształceń oraz przesunięć liniowych dla symulacji numerycznej. Prot. Stom., 2005, LV, 5, Michalski W., Komorek Z., Michniowski Z., Kuchta M.: Badania wytrzymałościowe materiału łączników dla doświadczalnych pomiarów naprężeń i obliczeń na modelu numerycznym skrzydłowej protezy szkieletowej górnej. Prot. Stom., 2006, LVI, (przyjęta do druku). 20. Roliński Z.: Tensometria oporowa. Podstawy teoretyczne i przykłady zastosowań. WNT, Warszawa Timoshenko S., Woinowsky-Krieger S.: Teoria płyt i powłok. Arkady, Warszawa Winiecki W.: Organizacja komputerowych systemów pomiarowych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa Zienkiewicz O. C.: Metoda elementów skończonych. Arkady, Warszawa Otrzymano: 10.IX.2005 r. 156