Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie. Joanna Sendorek

Transkrypt

1 Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie Joanna Sendorek

2 Spis treści Wstęp 2 2 Stosunki odcinków w czworokątach 2 3 Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie 4 4 ibliografia 5

3 Wstęp W swojej pracy zbadałam zagadnienie podziału odcinków w czworokącie. rzeczytawszy artykuł pt. twierdzenie o odcinkach w czworokącie starałam się uogólnić rozważone w nim problemy i udowodnić przez przeprowadzenie rozumowania dla dowolnego czworokąta, postawioną w artykule hipotezę. Tak więc w swojej pracy nie opieram się na konkretnych wartościach liczbowych podziału poszczególnych odcinków, a stosuję ogólne nazewnictwo. zięki temu udało mi się zbadać jak dzielą się poszczególne odcinki w dowolnym równoległoboku, trapezie równoramiennym, a wreszcie w dowolnym czworokącie, przechodząc stopniowo od jednego punktu podziału przez dwa do czterech. Na końcu pracy badając podziały dla czterech punktów i równoległoboku stawiam hipotezę, która okazuje się prawdziwa, a dowód przeprowadzam z użyciem twierdzenia Menelaosa. Nazywam wyprowadzoną zależność twierdzeniem o podziale odcinków w czworokącie. 2 Stosunki odcinków w czworokątach roblem. Na początek rozważmy prosty przypadek. Mamy równoległobok, na którego przekątnej leży punkt, taki, że = n. Niech będzie punktem przecięcia prostej z bokiem. Zastanówmy się jaki będzie stosunek? 2

4 Narysujmy drugą przekątną () i oznaczmy punkt przecięcia przekątnych równoległoboku jako S. oprowadźmy teraz prostą przechodzącą przez punkt S i równoległą do prostej i oznaczmy jej punkt przecięcia z bokiem przez M. M S Z twierdzenia Talesa mamy: M = S = n 2 n = n 2n (2 n) = 2 n 2 () M M = S S Z faktów () i (2) mamy: = = = M = M (2) M + M = 2 M = 2 2(n 2) = n 2 3 (3)

5 Widzimy więc, że stosunek od wyboru punktu. w danym równoległoboku zależy tylko roblem 2. odajmy jeszcze jeden punkt, nazwijmy go R, taki, że = R m. Zastanówmy się jaka będzie wartość? R Z rozwiązania poprzedniego problemu mamy: = n 2 (4) nalogicznie wyznaczymy. oprowadźmy prostą przechodzącą przez punkt S i równoległą do prostej oraz oznaczmy jej punkt przecięcia z bokiem przez N. N S R 4

6 Stosując znów twierdzenie Talesa mamy: N = R RS = m = 2 m 2 2 m (5) N N = S S Z faktów (5) i (6) mamy: = = N = N (6) = L ( 2 m 2 ) 2 L = m 2 (7) Z (4) i (7): = n 2 (n 2) = m 2 m 2 (8) Spróbowałam teraz nieco uogólnić nasze zadanie przeprowadzając podobne rozumowanie dla trapezu równoramiennego o znanym stosunku w jakim dzielą się przekątne. roblem 3. Mamy trapez równoramienny o przekątnych przecinających się w punkcie S. Niech znany będzie stosunek x = S S. Niech będzie punktem leżącym na przekątnej takim, że = n. oprowadźmy prostą a jej punkt przecięcia z bokiem oznaczmy przez K. Zastanówmy się ile wyniesie stosunek? oprowadźmy prostą przechodzącą przez punkt S, równoległą do i przecinającą bok w punkcie. 5

7 K S Z twierdzenia Talesa mamy: K = S = n S = n S (9) n Oprócz tego mamy: S = S x S ( + x) = x S = ( S ) x S = x +x (0) odstawiając (0) do (9) otrzymujemy: K = n x = n +x n n x +x = + x n x () onownie z twierdzenia Talesa mamy: Ostatecznie otrzymujemy: = K K = S S = x = K = K (2) x K + K = ( ) = + x + x K n x + x + x = n + n 2 x (3) x x Zauważmy, że otrzymaliśmy ogólniejszy wynik niż dla równoległoboku. o podstawieniu x = (w równoległoboku przekątne dzielą się na połowy) otrzymujemy ten sam wynik co poprzednio. 6

8 roblem 4. Możemy teraz podobnie jak w równoległoboku wprowadzić drugi punkt podziału. odajmy więc punkt R taki, że = m. Niech R punkt przecięcia prostej R z bokiem będzie punktem. Z poprzedniego problemu mamy dane S S = x. Spróbujmy obliczyć. R W rozwiązaniu poprzedniego problemu otrzymaliśmy: = n x + x + x (4) oprowadźmy prostą SL równoległą do R i niech punkt L leży na boku. L S R 7

9 Korzystając z zależności () z rozwiązania poprzedniego problemu, analogicznie mamy: Z twierdzenia Talesa mamy: Ostatecznie dostajemy: L = + x m x (5) L L = x = L = L (6) x = L + L = L ( ) = + x + m x x Z (4) i (7) mamy: = ( + x) (m x) ( + x ) + x ( + ) (n x) x ( + x) (7) (8) 8

10 zyli = (n x) (m x) (9) Otrzymany wynik znowu potwierdza uzyskany wcześniej dla równoległoboku. roblem 5. Wróćmy teraz na chwilę do równoległoboku i przeprowadźmy rozumowanie dla czterech punktów podziału. Mamy więc dany równoległobok, którego przekątne przecinają się w punkcie S. Niech będzie takim punktem na przekątnej, że = n, a R takim punktem przekątnej, że R = m. Nazwijmy punkty przecięcia prostych, R,, R z bokami,,, odpowiednio przez,, G, H. Obliczmy jaki będzie stosunek H H G G. H S R G oprowadźmy przez punkt S proste równoległe do kolejno, R,, R i oznaczmy punkty przecięcia z bokami,,, odpowiednio przez M, N, L, K. 9

11 M H N K S R L G nalogicznie do rozwiązania poprzedniego problemu: G GL = R RS = m = 2 m 2 2 m (20) L LG = S S = = L = LG (2) analogicznie: G G = G GL + L = G 2 GL = m 2 (22) Ostatecznie otrzymujemy: H H = n 2 (23) H H G G = m 2 n 2 (n 2) (m 2) = (24) ostaliśmy, więc tym razem wynik nie uzależniony ani od n ani od m. w związku z tym wysnułam hipotezę, że zależność ta zachodzi dla każdego czworokąta. Zanim jednak sprawdzimy czy postawiona hipoteza jest prawdziwa, chciałabym pokazać inny sposób na rozwiązanie tego zadania, również opierający się tylko na szukaniu stosunków poszczególnych odcinków. do rozwiązania tego problemu zastosuję twierdzenie Menelaosa, którego treść przypominam niżej. 0

12 Twierdzenie Menelaosa Założenia Mamy trójkąt i prostą przecinającą bok w punkcie, bok w punkcie, a przedłużenie boku w punkcie. Teza =

13 Sposób drugi H S R G Z twierdzenia Menelaosa dla trójkąta S i prostej G mamy: Wiemy też, że: G G R RS S = (25) oraz z (20) mamy: Z (26) i (27) mamy: S = 2 R RS = 2 m 2 (26) (27) mamy: G G = 2 m 2 2 = m 2 = G G = m 2 (28) nalogicznie z twierdzenia Menelaosa dla trójkąta S i prostej = n 2 dla trójkąta S i prostej H mamy: (29) 2

14 dla trójkąta S i prostej mamy: H H = n 2 (30) = m 2 (3) Z faktów (28), (29), (30), (3) ponownie otrzymujemy: H H G G = m 2 n 2 (n 2) (m 2) = (32) Teraz wróćmy do naszej hipotezy i sprawdźmy czy dla każdego czworokąta zachodzi podana zależność. 3

15 3 Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie Założenia any jest czworokąt o przekątnych przecinających się w punkcie S. na przekątnej obrano punkty i R przez które następnie poprowadzono proste,, R i R, które przecięły kolejno boki,, i odpowiednio w punktach, H,, G. H S R G Teza H G G = 4

16 owód. onownie korzystając z twierdzenia Menelaosa dla trójkąta S i prostej G mamy: G G R RS S = = G G = R RS S (33) mamy: nalogicznie z twierdzenia Menelaosa dla trójkąta S i prostej S S dla trójkąta S i prostej H mamy: = = = S S (34) H H S S = = H H S = S (35) dla trójkąta S i prostej mamy: R RS S = = = RS R S (36) Z faktów (33), (34), (35), (36) mamy: H H G G S S RS R S = S S R S RS = (37) co kończy dowód. 4 ibliografia ) ompe Waldemar, Ćwiczenia z geometrii I, ) damczak Mariusz, Twierdzenie o odcinkach w czworokącie, 20, odcinkach_w_czworokacie.doc 5