MONOGRAFIE STUDIA ROZPRAWY

Transkrypt

1 MNGAFIE STUDIA ZPAWY Macej Trojnack Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych fcyna Wydawncza PIAP Warszawa 3

2 ecenzenc: prof dr hab nż Zdzsław Chłopek prof nzw dr hab nż oman Szewczyk pracowane redakcyjne: dr nż Małgorzata Kalczyńska pracowane grafczne: Ewa Markowska ISBN Wydawca: Przemysłowy Instytut Automatyk Pomarów PIAP Al Jerozolmske, -486 Warszawa wwwpappl

3 Sps treśc Streszczene 7 Abstract 9 Sps ważnejszych oznaczeń Wstęp 5 Wprowadzene 5 Cel zakres pracy 3 Zawartość pracy Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych 3 Wstęp 3 Konwencja oznaczeń układów odnesena wektorów 3 3 Knematyka moblnych robotów kołowych 4 3 Wektor pozycj charakterystycznego punktu robota 4 3 rentacja robota kąty Eulera 5 33 Macerz rotacj przekształcane wektorów pozycj mędzy układam odnesena 6 34 Parametry kątowe ruchu bryły 8 35 Wektory prędkośc lnowej przyspeszena lnowego punktów robota 3 36 Parametry ruchu w parach knematycznych 3 37 Metoda Kane a opsu knematyk 3 38 Zadane proste knematyk Zadane odwrotne knematyk 33 4 Dynamka moblnych robotów kołowych 34 4 Konwencja oznaczeń sł momentów sł 34 4 Stosowane metody tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych 34 4 ównana Newtona-Eulera 35 4 ównana Lagrange a II rodzaju z mnożnkam formalzmy pochodne 36 4 ównana Lagrange a II rodzaju z mnożnkam 36 4 ównana Maggego ównana Apella Inne formalzmy wywodzące sę z równań Lagrange a II rodzaju z mnożnkam Metoda Kane a (forma Lagrange a zasady d Alemberta Metoda układów weloczłonowych 4 3

4 Sps treśc 45 Alternatywne metody tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych 4 46 Porównane metod tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych 4 43 Zadana dynamk ównana dynamk Zadane proste dynamk Zadane odwrotne dynamk Problemy zwązane z opracowywanem model dynamk Modele dynamk moblnych robotów kołowych Modele ogumena stosowane w modelowanu dynamk pojazdów kołowych Problematyka dentyfkacj analzy wrażlwośc modelu dynamk moblnych robotów kołowych 5 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych 55 3 Model otoczena 58 3 Model kontaktu opony z podłożem 6 33 Model opony Poślzg wzdłużny poprzeczny Model opony HB Pacejk Zbór charakterystyk modelu opony 7 34 Model koła jezdnego 7 35 Model platformy moblnej Dynamczne równana ruchu robota Model tarca w parach knematycznych Model napędów robota Zadane proste dynamk napędów Zadane odwrotne dynamk napędów 79 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych 8 4 bekty badań 8 4 obot trzykołowy 8 4 obot czterokołowy 8 4 Przykłady opsu knematyk moblnych robotów kołowych 84 4 Współrzędne prędkośc uogólnone 84 4 ps knematyk robota trzykołowego ps knematyk robota czterokołowego Lokalzacja robota wyznaczane parametrów jego ruchu z zastosowanem nawgacj bezwładnoścowej 9 43 Przykłady opsu dynamk moblnych robotów kołowych 93 4

5 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych 43 ps dynamk robota trzykołowego ps dynamk robota czterokołowego Model szczegółowy Model uproszczony 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych 9 5 obot trzykołowy 9 5 Analza ruchu wzdłużnego robota 9 5 Analza robota w trakce manewru zakręcana 6 53 Podsumowane wynków badań symulacyjnych ruchu robota trzykołowego 4 5 obot czterokołowy 5 5 Analza ruchu wzdłużnego robota 6 5 Badana ruchu robota z napędem na tylne koła jezdne 7 5 Badana ruchu robota z hybrydowym układem jezdnym 39 5 Analza ruchu robota z hybrydowym układem jezdnym w trakce manewru zakręcana Podsumowane wynków badań symulacyjnych ruchu robota czterokołowego 6 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych 65 6 Planowane śceżk 65 6 Sterowane ruchem nadążnym robota SCUT 69 6 egulator prędkośc kół jezdnych 7 6 egulator PD 7 6 egulator adaptacyjny 7 63 egulator odporny 75 6 egulator prędkośc platformy moblnej egulator pozycj kursu robota Badana symulacyjne układów sterowana ruchem nadążnym robota SCUT 8 63 Badana regulatora prędkośc kół jezdnych 8 63 Badana regulatora prędkośc platformy moblnej Badana regulatora pozycj kursu robota Podsumowane wynków badań symulacyjnych układów sterowana ruchem nadążnym robota SCUT 7 Badana empryczne ruchu robota SCUT 3 7 Środowsko badań emprycznych 3 7 Metodyka badań emprycznych 5 73 Badana w zakrese ruchu wzdłużnego robota 6 73 Badana ruchu robota z napędem na tylne koła jezdne 7 73 Badana ruchu robota z hybrydowym układem jezdnym 5

6 Sps treśc 74 Badana w zakrese ruchu obrotowego robota 9 75 Badana w zakrese ruchu wzdłużnego manewru zakręcane robota 6 76 Podsumowane wynków badań emprycznych robota SCUT 36 8 Podsumowane, wnosk kerunk dalszych badań 39 8 Podsumowane wnosk końcowe 39 8 Kerunk dalszych badań 4 Bblografa 45 6

7 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Streszczene Praca dotyczy modelowana wybranych konstrukcj moblnych robotów kołowych bejmuje część teoretyczną, symulacyjną dośwadczalną W częśc teoretycznej pracy opsany jest stan wedzy dotyczący metod modelowana mówone są zagadnena knematyk dynamk, stosowane modele opon pojazdów kołowych oraz problematyka dentyfkacj analzy wrażlwośc Przedstawone są równeż alternatywne metody modelowana dynamk robotów moblnych oparte na technkach sztucznej ntelgencj psano problemy zwązane z opracowanem model dynamk moblnych robotów kołowych luk w stane wedzy Podane zostały także przykłady praktycznego zastosowana opracowanych model robotów Następne opsano w pracy nową unwersalną metodykę modelowana dynamk, która może być użyta do modelowana moblnych robotów lądowych W modelach dynamk opsanych w pracy korzysta sę z formalzmu Newtona- Eulera pracowana metodyka jest stosowana przede wszystkm do robotów kołowych mówone są także możlwośc zastosowana tej metodyk do modelowana robotów kroczących hybrydowych, tj łączących cechy lokomocj cągłej dyskretnej pracowana metodyka może być stosowana dla różnej lczby efektorów (np kół jezdnych, stóp) stykających sę z podłożem Pozwala na odwzorowane warunków współpracy tych efektorów z podłożem o różnych właścwoścach mechancznych oraz uwzględnene występowana poślzgów W przypadku robotów kołowych uwzględnany jest model opon W pracy rozpatrywane są dwe grupy robotów kołowych, tj take, dla których w typowych warunkach eksploatacj występują newelke poślzg kół jezdnych oraz take, w przypadku których poślzg kół jezdnych są neodłączną cechą ch ruchu W dalszej częśc pracy przedstawono przykłady model dynamk dla dwóch klas moblnych robotów kołowych, które opracowano z użycem zaproponowanej metodyk Modele te zostały opracowane dla robota trzykołowego Poneer DX z przednm kołam jezdnym napędzanym tylnym samonastawnym kołem podperającym oraz dla robota czterokołowego SCUT z nekerowanym kołam jezdnym mówono zagadnena knematyk dynamk tych robotów W ramach badań symulacyjnych zwązanych z modelam dynamk moblnych robotów kołowych analzowany jest mn rozkład sł reakcj dzałających na robota od podłoża ozwązywane są zadana proste odwrotne dynamk dla wybranych robotów Wyznaczane są węc zarówno parametry ruchu robota dla znanych momentów napędowych, jak momenty napędowe nezbędne do realzacj założonego ruchu Dodatkowo w badanach uwzględnane są modele napędów oraz opory ruchu w parach knematycznych W pracy omówone są także zagadnena sterowana ruchem moblnych robotów kołowych, w tym zadana globalnego lokalnego planowana śceżk oraz sterowana ruchem nadążnym Zaproponowano herarchczny układ sterowana dla moblnego robota czterokołowego SCUT z nekerowanym kołam jezdnym, 7

8 Streszczene Abstract w którym wyróżnono regulator pozycj kursu robota, regulator prędkośc platformy moblnej oraz regulator prędkośc kół jezdnych Przedstawono przykładowe wynk symulacj wybranych struktur układów sterowana ruchem nadążnym na przykładze tego robota W badanach tych wykorzystano opracowane wcześnej modele dynamk Końcowa część pracy zawera wybrane wynk badań emprycznych zrealzowanych na roboce SCUT Porównano uzyskane wynk badań dośwadczalnych z wynkam badań symulacyjnych, w których wykorzystano opracowane modele W wększośc przypadków uzyskano dużą zgodność otrzymanych wynków W zwązku z tym opracowane modele robota mogą znaleźć zastosowana praktyczne w projektowanu optymalzacj tego typu konstrukcj robotów oraz w synteze algorytmów sterowana ch ruchem Przeprowadzone badana są także podstawą do dalszych prac zwązanych z dentyfkacją parametrów model dynamk robota Słowa kluczowe: moblne roboty kołowe, knematyka, modelowane dynamk, modelowane opony, symulacje komputerowe, badana empryczne, sterowane herarchczne 8

9 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Dynamcs modelng of wheeled moble robots Abstract The work covers dynamcs modelng of selected desgns of wheeled moble robots It contans theoretcal, smulaton-related and emprcal parts In the theoretcal part, state of the art of modelng methods s descrbed Problems of knematcs and dynamcs, used tre models of wheeled vehcles and problems assocated wth dentfcaton of models and senstvty analyss are dscussed Alternatve methods of moble robots dynamcs modelng, grounded n artfcal ntellgence technques, are also presented Problems connected wth development of dynamcs models for wheeled moble robots and defcences n the present knowledge n the feld are descrbed Examples of practcal applcatons of the developed models of robots are also gven Next, a new unversal methodology of dynamcs modelng, well suted to modelng of land moble robots, s proposed n the work In the presented models, the Newton-Euler formalsm s used The methodology can be appled manly to wheeled robots However, also dscussed are possbltes of usng the methodology to modelng of walkng robots and hybrd robots, that s, robots whch combne features of contnuous and dscrete locomoton Descrbed methodology can be used for varyng number of effectors (eg, wheels, feet) n contact wth the ground It enables to replcate condtons of nteracton of these effectors wth grounds of varous mechancal propertes and to take nto account the occurrence of slp In case of wheeled robots, the tre model s ncluded n dynamcs analyss In the work, two groups of wheeled robots are consdered, that s, robots for whch, for typcal operatng condtons, there s vrtually no wheel slp, and those for whch slps of wheels are nherent property of ther moton In the subsequent part of the work, examples of dynamcs models developed usng the proposed methodology are presented for two classes of wheeled moble robots The models were proposed for a three-wheeled Poneer DX robot wth front wheels drven and rear self-steerng supportng wheel as well as for four-wheeled SCUT robot wth non-steered wheels Problems coverng knematcs and dynamcs of those robots are dscussed As a part of smulaton-related research assocated wth dynamcs models of wheeled moble robots, one of the analyzed problems s dstrbuton of reacton forces actng on the robot from the ground Forward and nverse dynamcs problems for the chosen robots are solved Therefore, both the parameters of robot s moton for known torques and torques requred for realzaton of assumed moton are determned Addtonally, drves models and resstances to moton n knematc pars are taken nto account n the research In the work, problems assocated wth control of moton of wheeled moble robots, ncludng tasks of global and local path plannng and trackng control of robot moton are also dscussed Herarchcal control system, for the four-wheeled SCUT moble robot wth non-steered wheels, n whch t s possble to dstngush poston and headng regulator, moble platform speed regulator, and wheel speed 9

10 Streszczene Abstract regulator, s proposed Some llustratve results of smulaton of chosen structures of trackng control systems are presented on example of ths robot In those nvestgatons the dynamcs models mentoned earler were used The fnal part of the work contans selected results of emprcal research realzed usng the SCUT robot The obtaned results of expermental nvestgatons were compared to the results from smulaton research, based on the developed models of robot s dynamcs In most cases a good agreement of the results from emprcal and smulaton research was obtaned In vew of that, the dynamcs models of the robot may fnd practcal applcatons n desgn and optmzaton of constructon of ths knd of robots as well as n synthess of algorthms for control of ther moton The conducted research s also a sold bass for further works connected wth dentfcaton of parameters of models of robot s dynamcs Keywords: wheeled moble robots, knematcs, dynamcs modelng, tre modelng, computer smulaton, emprcal research, herarchcal control

11 Sps ważnejszych oznaczeń Układy odnesena {} neruchomy układ odnesena, {} układ odnesena zwązany z robotem, {A} układ odnesena zwązany z mejscem zamocowana do platformy moblnej -tego efektora (dla koła jezdnego układ wykonuje obrotu wraz z kołem znajduje sę w jego środku geometrycznym), {T} układ odnesena zwązany z obszarem kontaktu -tego efektora z otoczenem, l = {x, y, z} ose układu odnesena, N M e wektor jednostkowy (wersor) os l układu odnesena {M} wyrażony w układze odnesena l {N} Parametry geometryczne robotów r promeń opony (promeń neodkształconej opony), r d promeń dynamczny opony (odległość os koła od punktu kontaktu opony z podłożem dla toczącego sę koła, z uwzględnenem odkształcena promenowego), L odległośc kół na kerunku wzdłużnym (rozstaw os), W odległośc kół na kerunku poprzecznym (rozstaw kół) Parametry knematyczne robotów q, q, q wektory: współrzędnych, prędkośc przyspeszeń uogólnonych, N N N N r [ ] T P = x P, yp, z wektor określający pozycję punktu P robota P w układze odnesena {N}, N N N N w [ ] T P = w Px, wpy, w wektor prędkośc bezwzględnej lub przyspeszena Pz bezwzględnego punktu P w układze {N}, w = {v, a}, w = {v, a}, N M N M N M N M w [ ] T P = w Px, wpy, w wektor prędkośc względnej lub przyspeszena Pz względnego punktu P poruszającego sę względem układu {M}, wyrażony w układze odnesena {N}, w = {v, a}, w = {v, a} Φ, Θ, Ψ tzw kąty Eulera, wg konwencj z-y-x, Φ kąt przechylena (ang roll), Θ kąt pochylena (ang ptch),

12 Sps ważnejszych oznaczeń Ψ N N N N [ α, α α ] T kąt odchylena (ang yaw), M N ϕ l M α N M N α l N v r, N g M N M N M N [ α, α α ] T =, N ω r x y z α = x y, wektor prędkośc kątowej lub przyspeszena kątowego obrotu -tej bryły względem os l układu od- z α φ, φ α = ϕ, ϕ, nesena {N}, = { }, { } kąt obrotu -tej bryły względem układu odnesena {N}, wyrażony w układze odnesena {M} (w szczególnośc może to być układ odnesena tej bryły), wektor prędkośc kątowej lub przyspeszena kątowego obrotu -tej bryły względem układu odnesena {N}, wyrażony w układze odnesena {M}, wartość prędkośc kątowej lub przyspeszena kątowego obrotu -tej bryły względem układu odnesena {N}, wyrażona w układze odnesena {M}, prędkośc cząstkowe (ang partal veloctes) wyznaczane jako pochodne cząstkowe odpowedno prędkośc lnowych kątowych dla -tej bryły po poszczególnych prędkoścach uogólnonych, wyrażane w układze odnesena {N}, wektor przyspeszena grawtacyjnego wyrażony względem układu odnesena {N} Macerze rotacj N M macerz rotacj z układu {M} do układu {N}, N M l macerz rotacj układu {M} względem os l układu {N} Parametry knematyczne kół jezdnych θ, θ, θ odpowedno jako: kąt, prędkość kątowa przyspeszene kątowe obrotu -tego koła jezdnego, kąt skrętu -tego koła jezdnego, ψ * θ prędkość kątowa, jaką ma -te koło jezdne toczące sę bez poślzgu wzdłużnego z prędkoścą wzdłużną środka geometrycznego równą A v Parametry masowe robotów m, I masa tensor momentu bezwładnośc -tego członu, m, I masa całkowta tensor momentu bezwładnośc robota, r CM wektor współrzędnych środka masy robota w układze odnesena {} x

13 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Welkośc zwązane z nterakcją kół jezdnych z podłożem µ s współczynnk tarca statycznego, µ k współczynnk tarca knetycznego/współczynnk przyczepnośc poślzgowej, µ p współczynnk przyczepnośc przylgowej, f r współczynnk oporów toczena, Δr deformacja promenowa opony dla -tego koła jezdnego Welkośc charakteryzujące model opony k r współczynnk sztywnośc promenowej opony, c r współczynnk tłumena promenowego opony, e r wykładnk potęg określający nelnowość charakterystyk sztywnośc promenowej opony (ang force exponent), κ x = λ, κ współczynnk poślzgu wzdłużnego poprzecznego, y r e α B l, C l, D l, S hl, S vl Sły momenty sł N ( ) N ( ) N ( ) [ Q, Q, Q ] T promeń efektywny toczena, kąt poprzecznego znoszena, współczynnk modelu Magc Formula HB Pacejk [55] N ( ) Q P = wektory sł momentów sł dzałających na -tą bryłę w punkce P, wyrażane w układze odnesena Px Py Pz {N}, stosowane oznaczena: Q = {F,, M, T, τ}, Q = {F,, M, T, τ}, (F r ) uogólnona sła czynna dla -tej bryły (wg metody ( F ) * r Kane a), uogólnona sła bezwładnośc dla -tej bryły (wg metody Kane a) Praca, energa, funkcja Lagrange a E energa knetyczna układu, L funkcja Lagrange a (tzw potencjał knetyczny), Q wektor sł uogólnonych, λ wektor mnożnków Lagrange a Welkośc opsujące zespoły napędowe u napęce wejścowe slnka dla -tego koła jezdnego, prąd płynący w uzwojenu twornka dla -tego koła jezdnego, τ moment napędowy dzałający na -te koło jezdne, L d, d ndukcyjność rezystancja uzwojena twornka, 3

14 Sps ważnejszych oznaczeń k e k m n d η d stała elektromotoryczna slnka, stała mechanczna slnka, przełożene przekładn (od napędu aż do os koła jezdnego), współczynnk wydajnośc (sprawnośc) przekładn Parametry układów sterowana θ, θ odpowedno wektory zadanych aktualnych kątów d obrotu własnego napędzanych kół jezdnych, wektor błędu obrotu napędzanych kół jezdnych, θ e u wektor sterowana dla regulatora prędkośc kół jezdnych, û wektor sterowana równoważnego dla regulatora prędkośc kół jezdnych, a, â, ~ a wektory odpowedno: parametrów robota, ch oceny oraz błędów ocen tych parametrów, γ wektor nedokładnośc parametrów robota występujących w jego modelu, T v d = [ v d, ϕ zd ], wektory zadanych aktualnych prędkośc ruchu T platformy moblnej wyrażone w układze zwązanym z robotem, v = [ v, ϕ z ] błędy prędkośc platformy moblnej, v e u v d [ x ] T d, yd, ϕzd [, y, ϕ ] T q =, q = e x z q =[, q e T e F, el, e ] =[ ψ T e x, ey, e ] wektor sterowana dla regulatora prędkośc platformy moblnej, wektory zadanej aktualnej trajektor ruchu robota, tj pozycj kursu względem globalnego układu odnesena {}, wektory błędu trajektor ruchu robota, tj pozycj kursu odpowedno w układze odnesena zwązanym z robotem {} oraz w układze neruchomym {}, 4

15 Wstęp Wprowadzene Śledząc rozwój robotyk, jak mał mejsce w ostatnch latach w Polsce na śwece, można zauważyć znaczną ntensyfkację badań nad robotam moblnym Sytuacja ta jest spowodowana ukerunkowanem prac badawczych w dzedzne robotyk na roboty osobste, usługowe, wojskowe oraz do zastosowań specjalnych, co wynka z beżących potrzeb rynku W Europe prace rozwojowe nad bezzałogowym pojazdam lądowym UGV (ang Unmanned Ground Vehcle) są prowadzone w blsko 5 ośrodkach zlokalzowanych w 4 krajach [] pracowana przez członków Europejskej Platformy Technologcznej obotyk EUP (ang European obotcs Platform) w 9 r strategczna agenda badań w perspektywe do r uznaje modelowane na potrzeby robotyk (w tym modelowane na potrzeby konstrukcyjne) za jedną z 8 technolog kluczowych dla rozwoju robotyk europejskej [] Najblższe lat pownno być okresem ntensywnych przeobrażeń rozwoju szeroko rozumanej robotyk ozwój ten będze następował w krajach wysokorozwnętych Un Europejskej, co w naturalny sposób przełoży sę na szanse rozwojowe Polsk Istotą rozwoju robotyk w najblższych latach będze szeroke wykorzystane zaangażowane w rozwój specyfcznych technolog bazujących na rozwązanach robotycznych frm do tej pory nezwązanych bezpośredno z tą branżą Dodatkowo pojawą sę nowe możlwośc wykorzystana technolog robotycznych w społeczeństwe Zgodne ze strategą Mnsterstwa Nauk Szkolnctwa Wyższego nastąp konsoldacja najlepszych zespołów badawczych ntegracja środowsk naukowych gospodarczych wokół zagadneń kluczowych dla rozwoju kraju, co będze mało odzwercedlene także w obszarze robotyk Budowa kompetencj w zakrese zastosowana robotyk w branżach do tej pory bazujących na pracy człoweka zdecyduje o konkurencyjnośc polskch przedsęborstw Pośredno przełoży sę to na możlwość powstana trwałych mejsc pracy dla specjalstów wytwarzających, ntegrujących, obsługujących nadzorujących roboty zarówno w środowsku przemysłowym, jak w społeczeństwe W Polsce dotąd najszersze zastosowane mają roboty specjalne produkowane w Przemysłowym Instytuce Automatyk Pomarów PIAP [6] Natomast na śwece coraz częścej stosowane są roboty osobste usługowe, np odkurzacze frmy BT, czy roboty kosark do trawy, które mają wbudowany pewen stopeń autonom dzałana Zgodne z europejską strategą rozwoju robotyk [], autonoma jest kluczową funkcjonalnoścą właśne w przypadku robotów usługowych Z tym wąże sę jednak problem odpowedzalnośc w sytuacj, gdy autonomczny robot spowoduje jakąś szkodę [8] prócz wymenonych zastosowań, roboty moblne są z powodzenem stosowane w budownctwe w nnych gałęzach przemysłu [8] Zasadnczym celem 5

16 Wstęp stosowana robotów, w tym moblnych, jest przede wszystkm wyręczene człoweka z wykonywana prac, które są nebezpeczne, cężke monotonne W zwązku z tym od welu lat stosowane są w akcjach ratownczych w nebezpecznych mejscach [] Nowym zastosowanam robotów moblnych są mn kopalne [6], w których robot może wykonywać pomary zawartośc metanu, kotły energetyczne [38], w których przeprowadzane są żmudne czynnośc dagnostyczne oraz zbornk wodne, wymagające okresowych nspekcj [69] Podejmowane są też próby stosowana robotów moblnych w procese drążena wyrobsk korytarzowych w kopalnach węgla kamennego [84] oboty moblne eksplorują też obce planety [] Wymagana jest tutaj pełna autonoma możlwość dzałana nawet w przypadku częścowego uszkodzena ze względu na brak możlwośc wykonywana napraw Tab Scenarusze zastosowań robotów do r według strategcznej agendy badań opracowanej przez członków Europejskej Platformy Technologcznej obotyk EUP [] rola robota sektor robot pracownk robot współpracownk robot w logstyce robot w nadzorze nterwencj robot w eksploracj nspekcj robot w edukacj rozrywce przemysł v v v usług profesjonalne usług domowe bezpeczeństwo ochrona eksploracja przestrzen kosmcznej v v v v v v v v v v v v v v v v v v Dalszy rozwój robotów moblnych będze następował w kerunku ch lepszego dostosowana do współpracy z człowekem, co ma swoje odzwercedlene w europejskej strateg rozwoju robotyk, stąd coraz wększy udzał będą mały roboty społeczne [74], które będą na co dzeń wspomagały osoby starsze [3] nepełnosprawne, w tym dzec z autyzmem [83] oboty take muszą umeć podążać za człowekem [75], meć zblżony wygląd do człoweka [34] oraz realzować zachowana podobne do ludzkch, w tym rozpoznawać wykonywać typowe gesty [4] Scenarusze możlwych zastosowań robota określa kombnacja dwóch zmennych: obszaru aktywnośc człoweka, w którym robot ma sę odnaleźć oraz ro- 6

17 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych l, jaką robot ma pełnć Dla częśc spośród podanych scenaruszy stneją już rozwązana komercyjne (oznaczone w tab symbolem v), np roboty moblne Przemysłowego Instytutu Automatyk obotyk PIAP [6] pełnące zadana nspekcyjne w obszarze bezpeczeństwa ochrony cywlnej [5] Prace badawcze w obszarze robotyk moblnej dotyczą przede wszystkm zagadneń konstrukcyjnych [46, 8] oraz modelowana sterowana ch ruchem [7, ] Szczególne atrakcyjnym zadanem badawczym jest realzacja ruchu robota w trybe autonom [57, 85, 8] Pommo prowadzonych od welu lat prac badawczych w zakrese autonom robotów moblnych, wcąż pozom tej cechy jest dalek od realzowanej przez człoweka Do robotów moblnych można zalczyć przede wszystkm roboty lądowe, latające, pływające oraz podwodne Należy sę spodzewać, że wkrótce do tego grona mogą dołączyć roboty przeznaczone do poruszana sę w przestrzen kosmcznej, dedykowane do pracy w stane neważkośc Moblne roboty lądowe, ze względu na sposób poruszana, można podzelć na: kołowe [7, 85, 95, 8, 3], gąsencowe [67, 87, 9], kroczące skaczące [45, 7,, 36], pełzające [7, 47, 9], rzucane [6, 48, 99, 43], różnego typu rozwązana hybrydowe [4, 9, 9, 3], oraz roboty o zmennej konfguracj [36, 79, 7] Szczegółowy przegląd różnych sposobów realzacj ruchu moblnych robotów lądowych zawera praca [8], w której omówono mn różne układy jezdne robotów kołowych gąsencowych Autor pracy omawa także problematykę moblnośc robotów moblnych, czyl zdolnośc ch poruszana sę w różnych warunkach terenowych becne najwęcej rozwązań konstrukcyjnych dotyczy robotów kołowych Są one stosunkowo łatwe do wykonana, ale często ne mają wystarczająco dobrych właścwośc jezdnych w zróżncowanym terene Z kole, konstrukcje robotów gąsencowych pommo neco lepszych właścwośc jezdnych mogą meć wady, jak np ogranczona trwałość gąsenc w przypadku poruszana sę po twardym podłożu lub stosunkowo nska sprawność energetyczna układu jezdnego w stosunku do układów wyposażonych w koła jezdne pracowywane są konstrukcje umożlwające dostosowywane sę układu jezdnego robota do nerównośc terenu jazdę w trudnych warunkach terenowych, czyl roboty o podwyższonej moblnośc Przykładem jest mn robot IBIS zaprojektowany produkowany w Przemysłowym Instytuce Automatyk Pomarów PIAP [6] Szczególną grupę stanową roboty hybrydowe, które łączą np wybrane cechy robotów kołowych kroczących [9] pracowane modelu robota moblnego jest trudnym stotnym zadanem badawczym, stanowącym zazwyczaj podstawę do realzacj nnych prac zwązanych z zaprojektowanem jego konstrukcj opracowanem algorytmów jego ruchu Pod pojęcem modelu robota moblnego rozume sę model obejmujący zagadnena knematyk oraz dynamk [, 3, 47] Znajomość modelu knematyk jest nezbędna w nektórych przypadkach wystarczająca (gdy poślzg kół jezdnych są pomjalne małe) do poprawnej realzacj ruchu robota W przypadku moblnych ro- 7

18 Wstęp botów kołowych analzuje sę główne zadane odwrotne knematyk, w którym zakładane są tor ruchu punktu charakterystycznego robota jego prędkość, a wyznaczane parametry ruchu zwązane z parametram kątowym obrotu własnego skrętu kół jezdnych Znajomość modelu dynamk robota może być wykorzystana do różnych celów, np do wyznaczena wymaganych do realzacj ruchu momentów napędowych oraz sł momentów sł przenoszonych przez konstrukcję robota, do syntezy ruchu robota td Przykłady takch model można znaleźć w lcznych pracach [7,, 48, 3, 47] Do podstawowych problemów zwązanych z modelowanem dynamk moblnych robotów kołowych można zalczyć koneczność opracowywana osobnego modelu dla każdego rodzaju robota, a nawet dla poszczególnych jego konfguracj Przykładowo, w klasycznym podejścu, zachodz koneczność opracowana osobnych model dynamk dla wszystkch przypadków współpracy układu jezdnego robota z podłożem, tj dla różnej lczby kół jezdnych stykających sę z podłożem, co wynka np z nerównośc podłoża Z tego powodu koneczne jest opracowane unwersalnej metodyk tworzena model dynamk robotów moblnych, które pozwolą na realzację badań symulacyjnych z użycem jednego modelu dla wszystkch możlwych przypadków współpracy kół jezdnych z podłożem Kolejnym problemem jest newyznaczalność równań dynamk Na przykład, dla robota czterokołowego, którego ruchome człony traktuje sę jako bryły sztywne, należy wyznaczyć składowych sł reakcj podłoża, które są efektem kontaktu czterech kół robota z podłożem Natomast do opsana robota jako całośc jest tylko 6 równań wynkających z jego dynamk, a kolejne 4 z toczena sę kół jezdnych po podłożu W zwązku z tym wyznaczene wszystkch składowych sł reakcj podłoża wymaga przyjęca dodatkowych założeń upraszczających Co węcej, analzując dokładne stotę zjawska współpracy kół jezdnych z podłożem, należy uwzględnć mn momenty sł tarca występujące podczas obrotu kół jezdnych wokół os ponowej, co ma mejsce w trakce manewru zakręcana robota, ma szczególne duże znaczene w przypadku, gdy koła jezdne robota ne są kerowane Dodatkowe równana można określć zakładając odkształcalność efektorów, lecz w przypadku wększej lczby kół jezdnych stykających sę z podłożem może to być nadal newystarczające do wyznaczena wszystkch newadomych sł momentów sł reakcj podłoża W zwązku z tym stneje potrzeba opracowana takch metod modelowana, przy użycu których będze można wyznaczyć wszystke możlwe składowe sł momentów sł reakcj podłoża Analzując ruch moblnych robotów kołowych często zakłada sę, że są one bryłam sztywnym ne występuje poślzg kół jezdnych [66, 3] Jest to uzasadnone w przypadku robota Poneer DX (rys a) poruszającego sę z nedużą prędkoścą z newelkm przyspeszenam po jednoltym podłożu o dużym współczynnku przyczepnośc (np wykładzna, beton) Wele konstrukcj robotów kołowych jest jednak projektowanych w tak sposób, że poślzg kół jezdnych są neodłączną cechą ch ruchu Przykładam takch rozwązań są produkowane w Przemysłowym Instytuce Automatyk Pomarów PIAP roboty z nekerowanym kołam jezdnym, np czterokołowy robot SCUT (rys b) sześcokołowy robot IBIS (rys c) oboty take podczas manewru zakręcana zawsze będą poruszały sę w warunkach poślzgu ch ruchu będą decydowały momenty napędowe kół jezd- 8

19 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych nych warunk współpracy tych kół z podłożem Wówczas koneczne jest uwzględnene modelu opony w modelu dynamk robota Można wzorować sę tutaj na odpowednch opracowanach dla pojazdów samochodowych [5, 55, 35] a) b) c) ys obot moblny Poneer DX (a), roboty produkowane w Przemysłowym Instytuce Automatyk Pomarów PIAP [6]: czterokołowy mały robot moblny SCUT do rozpoznana terenu (b), sześcokołowy robot bojowy IBIS (c) Należy zauważyć, że mmo rozwjanych od welu lat metod modelowana ogumena pojazdów samochodowych, w przeważającej wększośc przypadków ne uwzględnają one zastosowana w projektowanu robotów moblnych Wynka to przede wszystkm ze specyfk moblnych robotów kołowych, która jest efektem nnego zakresu prędkośc, rodzaju ogumena, nnych warunków współpracy koła jezdnego z podłożem oraz nnej konstrukcj opon óżnce w zakrese współpracy kół jezdnych z podłożem są zwązane z ruchem po bardzej nachylonym terene oraz z wększym wartoścam poślzgów poprzecznych, które wynkają z występowana nekerowanych kół jezdnych Ponadto roboty kołowe często poruszają sę po podłożach netypowych dla pojazdów samochodowych, jak wykładzny dywanowe oraz PCV Inna konstrukcja opon robotów moblnych zwązana jest z nną ch geometrą, odmennym wypełnenem (np pank) oraz netypowym wzoram beżnka Wymenone przyczyny, w szeregu przypadkach, unemożlwają bezpośredne wykorzystane wynków tych prac Jednakże modele, które cechuje najwększa zgodność, mogą być stosowane w projektowanu robotów moblnych lub stanowć nsprację 9

20 Wstęp do opracowana model ogumena dla kół jezdnych robotów moblnych Występującą lukę w stane wedzy można wypełnć przez ntegrację środowsk badawczych z zakresu pojazdów samochodowych robotyk moblnej oraz realzację wspólnych badań, co może skutkować efektem synerg Porównując konstrukcje moblnych robotów kołowych pojazdów samochodów można także zauważyć, że w robotach ne stosuje sę na ogół układów zaweszena zawerających elementy sprężyste tłumące, gdyż komfort jazdy ne jest w tym przypadku stotny Występujące drgana mają jednak wpływ na urządzena znajdujące sę na roboce na trwałość całej konstrukcj Ponadto w przypadku zastosowana robotów moblnych w operacjach ratownczych [47], gdze koneczny jest transport ludz przy pomocy robotów, zastosowane układów zaweszena jest koneczne Jest to kolejny powód do zaceśnena współpracy środowsk badawczych zajmujących sę pojazdam samochodowym robotam kołowym Zjawska fzyczne zwązane z ruchem moblnych robotów kołowych ne znajdują pełnego odzwercedlena w modelu ch dynamk Często ne uwzględna sę dynamk zespołów napędowych kół jezdnych, pomja zjawska tarca w parach knematycznych td Ponadto wartośc współczynnków występujących w dynamcznych równanach ruchu ne zawsze mogą być dokładne określone Z punktu wdzena teor sterowana najlepszy model to tak, który jest możlwe najprostszy odzwercedla stotne zjawska sterowanego obektu [9] cena, które zjawska są stotne, jest bardzo trudna Podjęce trafnej decyzj wymaga wszechstronnej wedzy o systeme oraz dośwadczena badacza [79] Podsumowując, każdy wysłek prowadzący do zdentyfkowana nowych zjawsk, które są stotne z punktu wdzena tworzena nowych model, ma kluczowe znaczene Z przedstawonej analzy problemów zwązanych z modelowanem dynamk moblnych robotów kołowych wynka, że koneczne jest opracowane unwersalnej metodyk modelowana dynamk umożlwającej opracowywane modelu ruchu robota dla dowolnej lczby kół jezdnych, z uwzględnenem poślzgu tych kół Modele opracowane z użycem takej metodyk pownny uwzględnać przede wszystkm najważnejsze zjawska mające wpływ na ruch analzowanego robota Cel zakres pracy Celem pracy jest przede wszystkm opracowane ogólnej metodyk modelowana dynamk małych moblnych robotów kołowych, zwłaszcza poruszających sę w warunkach poślzgu kół jezdnych, którą docelowo można zastosować do badań szerokej gamy moblnych robotów lądowych Cel ten, w zakrese moblnych robotów kołowych, został osągnęty przez wykorzystane dotychczasowych dośwadczeń w zakrese modelowana ogumena pojazdów samochodowych Istotnym elementem pracy jest opracowana unwersalna metodyka modelowana dynamk moblnych robotów kołowych Metodykę cechuje modułowość modelu, uwzględna model kontaktu współpracy opony z podłożem pozwalający na odwzorowane w szerokm zakrese poślzgów, zawera modele napędów oraz model tarca w parach knematycznych Metodyka uwzględna znaczną lczbę aspektów, umożlwa realzację kompleksowego podejśca do modelowana dynamk moblnych robotów kołowych

21 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych W ramach pracy opracowano modele dwóch wybranych konstrukcj moblnych robotów kołowych, tj robota trzykołowego Poneer DX robota czterokołowego SCUT, dla których wykonano badana symulacyjne ruchu robotów Ponadto, dla robota SCUT przeprowadzono badana dośwadczalne, w których analzowano ruch robota z różną prędkoścą po różnym podłożu Celem pracy jest także pokazane na przykładach możlwośc zastosowana opracowanych model robotów w procese projektowana układów sterowana Zakres pracy obejmuje w szczególnośc: opsane stanu wedzy w zakrese modelowana ruchu moblnych robotów kołowych, zwłaszcza w zakrese dynamk tego typu układów, opsane stanu wedzy w zakrese modelowana współpracy opon robotów moblnych z neodkształcalnym podłożem jego odnesene do stanu wedzy dotyczącego modelowana opon pneumatycznych pojazdów samochodowych, nawązane do stanu wedzy w zakrese modelowana współpracy opon robotów moblnych z odkształcalnym podłożem, omówene problemów zwązanych z modelowanem moblnych robotów kołowych, w szczególnośc dentyfkacja luk w stane wedzy, szczegółowe opsane przyjętej w pracy unwersalnej metodyk modelowana dynamk moblnych robotów kołowych, która po modyfkacj może być także zastosowana np do modelowana robotów kroczących hybrydowych, omówene alternatywnych (w stosunku do klasycznych) metod modelowana robotów moblnych opartych na technkach sztucznej ntelgencj, omówene problematyk dentyfkacj parametrów model robotów moblnych analzy wrażlwośc model na zmany wartośc parametrów, realzację badań symulacyjnych dla opracowanych model moblnych robotów kołowych, omówene możlwośc zastosowana model robotów moblnych w synteze badanach układów sterowana, realzacja badań symulacyjnych dla wybranych układów sterowana z zastosowanem opracowanych model, realzacja badań dośwadczalnych ruchu robota czterokołowego SCUT z nekerowanym kołam jezdnym w celu porównana uzyskanych wynków z tym, które otrzymano w badanach symulacyjnych z zastosowanem opracowanego modelu, wskazane potencjalnych kerunków dalszych badań Wynkem pracy, który będze mógł być zastosowany w praktyce nżynerskej oraz w dalszych badanach naukowych będą nowe modele dynamk moblnych robotów kołowych opracowane z użycem autorskej, unwersalnej metodyk modelowana oraz różne waranty układów sterowana dla robota czterokołowego pracowane modele będą mogły być zastosowane na etape projektowana optymalzacj konstrukcj, natomast układy sterowana pozwolą na poprawę dokładnośc realzacj ruchu robotów oraz optymalzację zużyca energ, co wpłyne na zwększene czasu ch pracy oraz zasęgu dzałań

22 Wstęp 3 Zawartość pracy Nnejsza praca składa sę z ośmu głównych rozdzałów W perwszym, wstępnym rozdzale dokonano wprowadzena w tematykę pracy oraz przedstawono jej główne cele zakres W rozdzale drugm skupono sę na omówenu metod opsu ruchu moblnych robotów kołowych Poruszono zagadnena zarówno knematyk, jak dynamk tego typu układów Szczególne dużo mejsca pośwęcono przedstawenu porównanu różnych metod tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych W rozdzale trzecm opsano przyjętą w pracy metodykę tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych, która umożlwa uwzględnene poślzgów kół jezdnych dzęk modułowemu podejścu, może być stosowana do opsu ruchu moblnych robotów kołowych o dowolnej lczbe kół stykających sę z podłożem ozdzał czwarty zawera przykłady opsu ruchu dwóch wybranych konstrukcj moblnych robotów kołowych, należących do różnych klas Przedstawono w nm obekty badań, tj robot trzykołowy Poneer DX czterokołowy SCUT oraz dokonano opsu knematyk dynamk tych układów W ramach tego rozdzału opracowano dla robota SCUT dwa modele dynamk o różnym pozome szczegółowośc Perwszy, szczegółowy model służy przede wszystkm do symulacj ruchu robota, natomast drug jest przeznaczony główne do syntezy badań układów sterowana, w szczególnośc opartych na modelu obektu ozdzał pąty obejmuje wynk badań symulacyjnych ruchu wcześnej opsanych konstrukcj robotów oraz dyskusję uzyskanych wynków Dla każdego z robotów rozpatruje sę dwe zadane trajektore ruchu Analza ruchu robota SCUT obejmuje dwe wersje jego napędzana, tj z nezależnym napędem wyłączne na tylne koła jezdne oraz z napędem hybrydowym, w którym napęd z tylnych kół jezdnych jest przekazywany na koła przedne za pomocą pasków zębatych W rozdzale szóstym omówono problematykę sterowana ruchem moblnych robotów kołowych psano zagadnena globalnego lokalnego planowana śceżk robota Szczególne skupono sę na układze sterowana ruchem nadążnym robota czterokołowego, który potraktowano jako strukturę herarchczną Przedstawono wynk symulacj wybranych wersj układów sterowana Przedostatn, sódmy rozdzał zawera wynk badań emprycznych ruchu robota czterokołowego SCUT, które można potraktować jako wstępną weryfkację opracowanych model dynamk, mając śwadomość, że naturalnym, kolejnym etapem badań pownna być szczegółowa dentyfkacja paramentów tych model W ostatnm rozdzale dokonano podsumowana pracy, przedstawono najważnejsze wnosk oraz podano kerunk dalszych badań

23 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych Wstęp uch robotów moblnych można opsywać w różnych układach odnesena Najczęścej stosowane układy współrzędnych to: prawoskrętny kartezjańsk układ odnesena, układ współrzędnych naturalnych Do opsu ruchu moblnych robotów lądowych, zarówno ch knematyk, jak dynamk, można generalne stosować: metody mechank klasycznej [87], metody mechank analtycznej [8, ], wywodzącą sę z nch tzw metodę Kane a [4], metody macerzowo-wektorowe stosujące tzw macerze transformacj, w tym bardzo popularną konwencję Denavta-Hartenberga [9], metodę układów weloczłonowych [33] Zagadnena knematyk będą rozpatrywane w nnejszej pracy główne z wykorzystanem metody macerzowo-wektorowej W przypadku zagadneń dynamk, w pracy zostaną omówone take metody, jak: równana Newtona-Eulera, równana Lagrange a II rodzaju z mnożnkam pochodne formalzmy (jak równana Maggego Appella), metoda Kane a metoda układów weloczłonowych Zostaną omówone zalety, wady ogranczena poszczególnych metod oraz problemy zwązane z modelowanem dynamk moblnych robotów kołowych Konwencja oznaczeń układów odnesena wektorów W nnejszym podrozdzale opsana jest stosowana w pracy konwencja oznaczeń układów odnesena welkośc wektorowych Modelując ruch robotów moblnych często koneczne jest zastosowane klku układów odnesena W nnejszej pracy przyjmuje sę, że poszczególne układy odnesena oznaczane są dużym lteram Tym samym lteram oznaczane są początk tych układów Zakłada sę, że wszystke układy odnesena są prawoskrętnym układam kartezjańskm, których ose są do sebe wzajemne prostopadłe W pracy wyróżna sę następujące podstawowe układy odnesena: {} neruchomy układ odnesena (nercjalny), którego oś z (ponowa) jest wyznaczona przez kerunek wektora przyspeszena grawtacyjnego przy powerzchn Zem ma zwrot przecwny do nego, oś x jest skerowana na wschód, zaś oś y w stronę północy magnetycznej; {} układ odnesena zwązany z robotem; {CM} układ odnesena zwązany ze środkem masy robota, o osach równoległych do os układu {}; 3

24 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych {A} układ odnesena zwązany z mejscem zamocowana do platformy moblnej -go efektora (w przypadku koła jezdnego układ ten ne wykonuje obrotu wraz z kołem), {T} układ odnesena zwązany z kontaktem -tego efektora z podłożem (w przypadku kontaktu efektora w klku punktach stosuje sę zaps {Tj}) se układu odnesena oznaczane są jako: x, y, z lub N x, N y, N z jeżel na rysunku występuje klka układów odnesena, gdze N oznacza układ odnesena {N} W zwązku z przyjmowanem różnych układów odnesena, w lewym górnym ndekse wektorów umeszcza sę nazwę układu odnesena, w którym są one wyrażane W prawym dolnym ndekse umeszcza sę nr członu lub nazwę punktu /lub nazwę os, natomast w prawym górnym nazwę układu, względem którego następuje ruch lub w przypadku sł momentów sł numer członu, na który dzała sła lub moment Prawe ndeksy pomja sę w przypadku, gdy ch nazwa jest taka sama, jak nazwa układu odnesena, w którym wektory te są opsywane Zasadnczą zaletą przyjętej konwencj oznaczeń jest fakt, że na podstawe oznaczena welkośc wektorowych można jednoznaczne stwerdzć, w jakm układze odnesena są one opsane, co w przypadku stosowana klku układów odnesena ma zasadncze znaczene W przypadku welkośc knematycznych dodatkowo wadomo, względem jakego układu odnesena odbywa sę ruch w jakm układze odnesena jest on opsywany Wektor jednostkowy (wersor) os l układu odnesena {M}, wyrażony w układze odnesena {N}, oznacza sę jako N M e l, gdze: l nazwa os układu odnesena {M}, l = {x, y, z} Jeżel N = M, wówczas stosuje sę skrócony zaps N e l W pracy [6] zwrócono uwagę na możlwość stosowana reprezentacj geometrycznej algebracznej wektorów Zgodne z tą klasyfkacją wektory stanowące uporządkowaną parę punktów są nazywane wektoram w reprezentacj geometrycznej, natomast wektory rozumane jako macerze kolumnowe są określane manem wektorów w reprezentacj algebracznej 3 Knematyka moblnych robotów kołowych W ramach nnejszego rozdzału zostaną omówone zagadnena zwązane z przekształcanem parametrów ruchu robota mędzy wybranym układam Zostane zaprezentowana metodyka takch przekształceń, z wykorzystanem zapsu macerzowo-wektorowego mówone zostaną także tzw prędkośc cząstkowe występujące w metodze Kane a Następne podane będą defncje zadana prostego odwrotnego knematyk Zadana te będą szerzej analzowane w podrozdzale 4 pracy 3 Wektor pozycj charakterystycznego punktu robota Do jednoznacznego określena położena poszczególnych członów robota w przyjętym układze odnesena koneczne jest podane pozycj charakterystycznych punktów należących do tych członów (np środków mas lub środków geometrycznych) oraz orentacj tych członów 4

25 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Pozycja punktu materalnego P należącego do robota w przyjętym układze odnesena {N} będze opsywana za pomocą wektora pozycj w reprezentacj algebracznej wektorów, tj jako N P N N N [ x, y, z ] T r =, () gdze: N l P współrzędna l punktu P w układze odnesena {N}, l = { x, y, z} P Wektor ten w reprezentacj geometrycznej stosowanej w mechance jest określany jako wektor promeń wodzący [65, 5], wektor wodzący [8], wektor promeń, promeń-wektor [3] oraz wektor położena może być zapsany jako: N P N N P x P N N P y P r = x e + y e + z e, () N N P gdze: N e l wersor os l układu odnesena {N}, l = x, y, z Przekształcane współrzędnych punktu z jednego układu współrzędnych do nnego może być realzowane z zastosowanem reprezentacj geometrycznej wektorów znanej z mechank klasycznej lub z wykorzystanem rachunku macerzowowektorowego Stosowane reprezentacj geometrycznej wektorów jest mało efektywne, dlatego w pracy będze stosowany przede wszystkm opsany w kolejnych podrozdzałach rachunek macerzowo-wektorowy, tj będze stosowana główne reprezentacja algebraczna wektorów 3 rentacja robota kąty Eulera Do określena orentacj przestrzennej robota, tj obrotów układu odnesena {} zwązanego z robotem względem neruchomego układu odnesena {} zostaną użyte tzw kąty Eulera Zostane wykorzystana konwencja kątów oznaczana jako z-y-x, która jest stosowana mn w lotnctwe [7] oraz w dynamce pojazdów samochodowych [6] Interpretacja tych kątów jest następująca: Ф kąt przechylena (ang roll), Θ kąt pochylena (ang ptch), Ψ kąt odchylena (ang yaw) Należy zauważyć, że w tym przypadku dokonuje sę obrotów układu odnesena {} zwązanego z robotem wokół os tego układu w jego kolejnych położenach, będących wynkem poprzednch obrotów Ilustrację kolejnych obrotów układu odnesena {} względem neruchomego układu odnesena {} przedstawono na rys Dla uproszczena rozważań założono, że w położenu początkowym zarówno początk układów odnesena, jak ch odpowedne ose pokrywają sę Kolejność stosowanych obrotów jest następująca: obrót wokół os z = z o kąt Ψ, w wynku czego układ odnesena zwązany z robotem osąga położene oznaczone jako ; obrót wokół os y o kąt Θ, w rezultace czego układ odnesena robota przyjmuje położene ; obrót wokół os x o kąt Ф, w efekce czego układ odnesena robota uzyskuje położene 3 z 5

26 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych ys rentacja układu odnesena {} zwązanego z robotem względem neruchomego układu odnesena {} (przy założenu, że początk układów pokrywają sę) 33 Macerz rotacj przekształcane wektorów pozycj mędzy układam odnesena W celu rzutowana parametrów ruchu z jednego układu odnesena do drugego często stosuje sę macerz rotacj [46, 9], którą otrzymuje sę w wynku mnożena trzech macerzy reprezentujących obroty wokół kolejnych os W przypadku obrotu platformy robota moblnego względem neruchomego układu odnesena poszczególne kąty obrotu są wcześnej omówonym kątam Eulera W nnejszej pracy macerze rotacj zapsuje sę z użycem konwencj stosowanej w [46], czyl zgodne z zasadą, że nazwę układu docelowego (tj tego, do którego następuje transformacja) zapsuje sę w lewym górnym ndekse oznaczena macerzy, a nazwę układu początkowego (z którego nastąpło przekształcene) w lewym dolnym Zatem macerz rotacj z układu {M} do układu {N} jest zapsywana jako N M Dla przypadku obrotu układu odnesena {} zwązanego z robotem względem neruchomego układu odnesena {}, stosując przyjęta konwencję kątów Eulera, można zapsać wzór na macerz rotacj w postac: = (3) Poszczególne macerze wynoszą odpowedno [46, 6, 9]: Φ = cφ sφ, s Φ cφ Ψ cθ sθ Θ =, s Θ cθ Θ Φ cψ sψ = Ψ sψ cψ (4) gdze: c = cos Φ, s = sn Φ, c = cos Θ, s = sn Θ, c = cos Ψ, s = sn Ψ Φ Φ Θ Θ Ψ Ψ 6

27 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych 7 W przypadku odwrotnego przekształcena obowązuje zależność: Ψ Θ Φ =, (5) przy czym [7]: = Φ Φ Φ Φ Φ c s s c, = Θ Θ Θ Θ Θ c s s c, = Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ c s s c (6) stateczne, w wynku mnożena macerzy (4) otrzymuje sę macerz rotacj w postac: = = Θ Φ Θ Φ Θ Ψ Θ Φ Ψ Φ Ψ Θ Φ Ψ Φ Ψ Θ Ψ Θ Φ Ψ Φ Ψ Θ Φ Ψ Φ Ψ Θ c c c s s s s c c s s s s c c s c c s c s s c s s s c c c r r r r r r r r r zz zy zx yz yy yx xz xy xx, (7) której poszczególne elementy odpowadają elementom w macerzy kosnusów kerunkowych Należy zwrócć uwagę na fakt, że tak sam wynk można uzyskać w przypadku wykonywana trzech analogcznych obrotów w odwrotnej kolejnośc wokół os ustalonych, tj neruchomego układu odnesena [46] Podobne jak w przypadku macerzy rotacj, w wynku mnożena macerzy (6) otrzymuje sę macerz: + + = = Θ Φ Ψ Φ Ψ Θ Φ Ψ Φ Ψ Θ Φ Θ Φ Ψ Φ Ψ Θ Φ Ψ Φ Ψ Θ Φ Θ Ψ Θ Ψ Θ c c c s s s c s s c s c c s c c s s s s c c s s s s c c c r r r r r r r r r zz zy zx yz yy yx xz xy xx (8) Można także zauważyć, że: kolejne kolumny macerzy zawerają wersory os układów odnesena {} {} wyrażone odpowedno w układach {} {}; kolejne wersze tych macerzy stanową transponowane wersory os układów odnesena {} {} wyrażone odpowedno w układach {} {}; macerz stanow odwrotność macerzy vce versa oraz, że macerz odwrotną uzyskuje sę w wynku transponowana macerzy; czyl spełnone są zależnośc: [ ] = = T z T y T x z y x ) ( ) ( ) ( e e e e e e, [ ] = = T z T y T x z y x ) ( ) ( ) ( e e e e e e (9)

28 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych Na podstawe wzoru (7) można wyznaczyć dla dowolnej macerzy kosnusów kerunkowych odpowadającą jej trójkę kątów Eulera [6] W tym celu można skorzystać z zależnośc: arcsn( Θ = rzx ), Φ = arctg( rzy / cθ, rzz / cθ ), Ψ = arctg( ryx / cθ, rxx / cθ) () gdze dwuargumentowa funkcja arctg(, ) umożlwa wyznaczene wartośc szukanego kąta w pełnym przedzale kąta Θ, gdy znany jest snus kosnus tego kąta Podobne zależnośc można uzyskać korzystając ze wzoru (8) na podstawe znanej macerzy kosnusów kerunkowych, tj: arcsn( Θ = rxz ), Φ = arctg( ryz / cθ, rzz / cθ ), Ψ = arctg( rxy / cθ, rxx / cθ ) () Należy zauważyć, że w przypadku kątów Eulera stneje szczególne położene układów odnesena, w których ne można wyznaczyć jednoznaczne wszystkch trzech kątów na podstawe danej macerzy kosnusów kerunkowych [6] W analzowanym przypadku sytuacja taka zachodz dla kąta Θ = ±π/ Nedogodność ta ne występuje w przypadku stosowana rachunku kwaternonowego [3, ], który stanow alternatywę dla macerzy obrotu Jeżel zachodz potrzeba przekształcena współrzędnych punktu należących do bryły w układze zwązanym z tą bryłą (np punktu A należącego do robota) do neruchomego układu {}, stosuje sę zaps: gdze: r = [ x, y, z ] T, = [ x, y, z ] T r A = r + ra, () A A A A r wektor określający pozycję punktu (początku układu odnesena {} zwązanego z robotem) względem ne- ruchomego układu odnesena {}, = [ x, y, z ] T r wektor określający A pozycję punktu A w układze odnesena {} zwązanym z robotem Należy zauważyć, że proponowany zaps opsu knematyk jest mnej zwarty w porównanu do zapsu z użycem współrzędnych jednorodnych macerzy transformacj [46, 9] W pracy ne stosuje sę współrzędnych jednorodnych macerzy transformacj ze względu na to, że w takm przypadku występuje wększa lczba operacj mnożena dodawana w stosunku do proponowanego zapsu Ponadto stosowane współrzędnych jednorodnych prowadz nekedy do nekonsekwencj zapsu, która pojawa sę podczas wyznaczana prędkośc przyspeszeń jako pochodne odpowedno wektorów pozycj prędkośc (ostatn element wektora pozostaje w typowym przypadku równy ) Podobne podejśce do zaproponowanego jest także stosowane w pracy [6] 34 Parametry kątowe ruchu bryły psując ruch poszczególnych brył robota, wektor prędkośc kątowej lub przyspeszena kątowego obrotu -tej bryły względem układu {N}, wyrażony w tym samym układze zapsuje sę jako: N α = [ N α x, N α y, N α z ] T, gdze: N α l wartość prędkośc ką- A A A 8

29 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych 9 towej lub przyspeszena kątowego obrotu -tej bryły względem os l układu odnesena {N}, N α l = N α l N e l wektor prędkośc kątowej lub przyspeszena kątowego obrotu -tej bryły względem os l układu odnesena {N}, { } φ φ α, =, { } ϕ ϕ = α, Symbolem φ oznaczane są wektory prędkośc kątowej, natomast symbolem φ wektory przyspeszena kątowego W przypadku, gdy następuje obrót -tej bryły względem układu {N}, lecz wyrażany jest on w układze odnesena {M}, wówczas stosuje sę zaps [ ] T N z M N y M N x M N M α α α =,, α Zaps tak jest stosowany w nnejszej pracy w przypadku wyrażana parametrów kątowych ruchu platformy moblnej w układze odnesena {} zwązanym z robotem Prędkośc kątowe, z jakm platforma moblna (oznaczana symbolem ) obraca sę wokół poszczególnych os układu odnesena w kolejnych ch położenach (rys ) zapsywane są w postac wektora [ ] T Ψ Θ Φ =,, Ω Jak wcześnej podano, kolejność wykonywanych obrotów zależy od przyjętej konwencj kątów Eulera Aby przekształcć wektor [ ] T Ψ Θ Φ =,, Ω do wektora prędkośc kątowej, z jaką platforma moblna robota obraca sę względem neruchomego układu odnesena {} wyrazć ją w układze odnesena {} zwązanym z robotem, można skorzystać z zależnośc [7]: E Ω φ = Φ + Θ + Ψ = Φ Θ Φ (3) Zależność ta jest wynkem rzutowana wektorów prędkośc na ose układu odnesena {} zwązanego z robotem (rys ), gdze: ϕ ϕ ϕ = z y x φ, = Θ Φ Φ Θ Φ Φ Θ c c s c s c s E, (4) Chcąc wyznaczyć wektor prędkośc kątowej, z jaką platforma moblna robota obraca sę względem neruchomego układu odnesena {} wyrazć go w tym układze, można skorzystać z zależnośc: E Ω φ = Φ + Θ + Ψ = Θ Ψ Ψ, (5) gdze: ϕ ϕ ϕ = z y x φ, = Θ Ψ Ψ Θ Ψ Ψ Θ s c s c s c c E (6)

30 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych 3 Następne, różnczkując równana (3) (5) otrzymuje sę wektory przyspeszena kątowego, z jaką platforma moblna obraca sę względem odpowedno układu odnesena {} zwązanego z robotem względem neruchomego układu odnesena {} w postac: E Ω E Ω φ + =, Ω E E Ω φ + =, (7) gdze: Θ Φ Φ + Θ Φ Φ Θ = Θ Φ Θ Φ Φ Θ Φ Θ Φ Φ Θ s c c s c s s c c s c E, Θ Ψ + Ψ Θ Ψ Ψ Θ = Θ Ψ Ψ Θ Ψ Θ Ψ Ψ Θ Ψ Θ c s c c s s c s c c s E (8) Należy zauważyć, że w przypadku wykonywana pojedynczych obrotów, tj tylko wokół jednej os, zarówno kąty Eulera Φ, Θ Ψ, jak ch pochodne będą równe analogcznym kątom x ϕ, y ϕ z ϕ oraz prędkoścom przyspeszenom kątowych wyrażonym w układze odnesena {} zwązanym z robotem Znając wektor prędkośc φ lub φ można na podstawe odpowedno zależnośc (3) lub (5) wyznaczyć pochodne kątów Eulera korzystając ze wzorów: φ E Ω = oraz φ E Ω =, (9) gdze: = Θ Φ Θ Φ Φ Φ Θ Θ Φ Θ Θ Φ c c c s s c c s c c s s / / / / E, = Θ Ψ Θ Θ Ψ Θ Ψ Ψ Θ Ψ Θ Ψ / / / / c s s c c s c s c s c c E () Na tej podstawe, na drodze różnczkowana po czase, można wyznaczyć druge pochodne kątów Eulera, tj Ω Porównując wzory (9) można zauważyć, że zachodzą zależnośc: φ E E φ = oraz φ E E φ = () Poneważ E E = E E =, stąd ostateczne otrzymuje sę: φ φ = oraz φ φ = () 35 Wektory prędkośc lnowej przyspeszena lnowego punktów robota Wektor prędkośc bezwzględnej lub przyspeszena bezwzględnego punktu P w układze {N} zapsuje sę jako: N w P = [ N w Px, N w Py, N w Pz ] T, gdze: N w Pl rzut wektora prędkośc bezwzględnej lub przyspeszena bezwzględnego punktu P na oś l układu odnesena {N}, N w Pl = N w Pl N e l składowa wektora prędkośc bezwzględnej lub przyspeszena bezwzględnego punktu P wzdłuż os l układu odnesena {N}, w = {v, a}, w = {v, a} Lterą v oznaczane są wektory prędkośc, natomast lterą

31 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych a wektory przyspeszena Jeżel P = N, wówczas stosowany jest skrócony zaps: N w = [ N w x, N w y, N w z ] T, N w l = N w l N e l Wektor prędkośc względnej lub przyspeszena względnego punktu P poruszającego sę względem układu {M}, wyrażony w układze odnesena {N} zapsuje N M N M N M N M sę w postac: [ ] T w P = w Px, wpy, w, gdze: N M Pz w rzut na oś l układu odnesena {N} wektora prędkośc względnej lub przyspeszena względnego punktu P Pl N M N M N poruszającego sę względem układu {M}, w = w e składowa wzdłuż os l układu odnesena {N} wektora prędkośc względnej lub przyspeszena względnego punktu P poruszającego sę względem układu {M}, w = {v, a}, w = {v, a} Przekształcając wektor prędkośc punktu należącego do danej bryły, np punktu A należącego do robota, z układu odnesena zwązanego z tą bryłą, np z układu odnesena {} zwązanego z robotem, do neruchomego układu odnesena {} korzysta sę z zależnośc: Stąd ostateczne: φ v A Pl ( r + ra ) = r + ra r A d = r A = + dt Pl l (3) A= v + φ ra v A (4) v + W powyższym równanu wykorzystano zależność: φ (5) = Analogczną zależność, lecz z użycem macerzy stowarzyszonej z wektorem można znaleźć w pracy [6] W analzowanym przypadku znajomość wektora prędkośc kątowej φ pozwala unknąć operacj różnczkowana macerzy zastąpć ją operacją mnożena Zakładając, że r A = const, czyl że ne występuje ruch względny punktu A względem układu odnesena {}, otrzymuje sę: gdze = [ v, v, v ] T A Ax Ay v, (6) v A= v + φ ra = Az A v oznacza wektor prędkośc, z jaką punkt A przemeszcza sę względem neruchomego układu odnesena {}, wyrażony w układze odnesena {} zwązanym z robotem Innym słowy, wektor v A zawera rzuty prędkośc punktu A przemeszczającego sę względem neruchomego układu odnesena {} na ose układu odnesena {} zwązanego z robotem Przez analogę, chcąc przekształcć wektor przyspeszena punktu należącego do danej bryły z układu odnesena zwązanego z tą bryłą do neruchomego układu odnesena {} stosuje sę zależnośc: 3

32 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych 3 ( ) d d A A A A A A A A A t v v r φ r φ r φ v v r φ v v a = = + + = = (7) stateczne: ) ( A A A A A a v φ r φ φ r φ a a = (8) Zakładając, jak poprzedno, że const A = r, otrzymuje sę: A A A A a r φ φ r φ a a = + + = ) (, (9) gdze wektor [ ] T Az Ay Ax A a a a,, = a zawera rzuty przyspeszena punktu A na ose układu odnesena {} zwązanego z robotem Analogczne przekształcena, do wyżej opsanych, stosowane są w przypadku przekształcana wybranych parametrów ruchu robota z neruchomego układu odnesena do np układu odnesena zwązanego z robotem lub kołem jezdnym Chcąc wyznaczyć wektor prędkośc lub przyspeszena punktu A w ruchomym układze odnesena {} zwązanym z robotem można wykorzystać wzory: A A A v r φ v v = + =, (3) A A A A a r φ φ r φ a a = + + = ) ( (3) Z analogcznych zależnośc można korzystać podczas oblczana wektora prędkośc przyspeszena środka masy robota W przypadku analzy zagadneń dynamk koneczne będze także przekształcene wektora przyspeszena grawtacyjnego ],, [ g = g T do ruchomego układu odnesena, np {}, gdze: g = 9,8 m/s W tym celu można skorzystać ze wzoru: g g = (3) 36 Parametry ruchu w parach knematycznych Wszystke analzowane w nnejszej pracy pary knematyczne są param obrotowym, dlatego w przypadku opsu ruchu w tych parach stosowane są następujące oznaczena parametrów ruchu: θ θ θ,, są one określane odpowedno jako: kąt, prędkość kątowa przyspeszene kątowe obrotu w -tej parze knematycznej Położene os poszczególnych obrotów wynka z analzowanej struktury knematycznej robota 37 Metoda Kane a opsu knematyk W metodze Kane a [4] wprowadza sę wektor współrzędnych uogólnonych q = [q, q,, q m ] T dla analzowanego układu Na tej podstawe wyznaczany jest wektor prędkośc uogólnonych u = [u, u,, u m ] T, które w typowym przypadku są pochodnym po czase współrzędnych uogólnonych ( r r q u =, r =,, m)

33 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych W dalszej kolejnośc wyznaczane są wektory prędkośc przyspeszeń lnowych charakterystycznych punktów układu ( N v, N a ) oraz wektory prędkośc przyspeszeń kątowych poszczególnych brył ( N ω j, N ε j ) względem układu odnesena {N}, w którym równeż welkośc te są wyrażane W przypadku analzy ruchu moblnych robotów kołowych charakterystycznym punktam układu są środk mas poszczególnych brył, węc lczba analzowanych punktów jest równa lczbe analzowanych brył (czyl j = ) Kluczową koncepcją metody są tzw prędkośc cząstkowe (ang partal veloctes), które są pochodnym cząstkowym prędkośc lnowych kątowych po poszczególnych prędkoścach uogólnonych: v N N v r =, ur ω N N ω r = ur (33) Na ch podstawe oblczane są uogólnone sły czynne (F r ) uogólnone sły * bezwładnośc ( F ) r dla poszczególnych brył, co zostane omówone w podrozdzale pracy dotyczącym dynamk moblnych robotów kołowych (podrozdzał 43) W przypadku stosowana metody Kane a do przekształcana parametrów ruchu z jednego układu odnesena {N} do układu odnesena {M}, podobne jak w mechance klasycznej, zamast macerzy rotacj stosowany jest loczyn skalarny wektora reprezentującego wybrany parametr ruchu wersora os układu odnesena, do którego ma nastąpć przekształcene, tj {N}, np dla prędkośc lub przyspeszeń lnowych punktu P stosuje sę wzór: gdze l = { x, y, z}, w = { v, a} N M M N wpl = w P el, (34) 38 Zadane proste knematyk Zadane proste knematyk dla robota moblnego polega na wyznaczenu wybranych parametrów ruchu robota lub jego zespołów na podstawe znanych parametrów ruchu w parach knematycznych Przykładowo, w przypadku robota kołowego może ono polegać na znalezenu parametrów kątowych ruchu zwązanych z obrotem własnym platformy moblnej wokół os ponowej oraz parametrów lnowych ruchu wybranego punktu robota na podstawe znanych parametrów kątowych obrotu własnego skrętu kół jezdnych Natomast zadane proste knematyk dla robota kroczącego może być zwązane z wyznaczanem parametrów lnowych ruchu wybranego punktu stopy jej parametrów kątowych na podstawe znanych parametrów ruchu w stawach nóg 39 Zadane odwrotne knematyk Zadane odwrotne knematyk dla robota moblnego zwązane jest z wyznaczenem parametrów ruchu w parach knematycznych robota nezbędnych do realzacj założonego ruchu robota Zadane to jest najczęścej rozwązywane przy okazj sterowana ruchem robota Dla robotów kołowych polega ono na wyznaczenu parametrów kątowych obrotu własnego skrętu kół jezdnych na podstawe znanych parametrów kątowych 33

34 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych ruchu zwązanych z obrotem własnym platformy moblnej wokół os ponowej parametrów lnowych ruchu wybranego punktu robota [47] W przypadku robotów kroczących zadane odwrotne knematyk polega na wyznaczenu parametrów ruchu w stawach nóg, w celu otrzymana założonego ruchu stóp robota W tym przypadku ograncza sę ono do wyznaczena nezbędnych kątów lub przemeszczeń w stawach dla zadanego położena stopy (tj pozycj wybranego punktu jej orentacj) [6] ozwązane takego problemu jest także koneczne w przypadku nektórych robotów hybrydowych, tj łączących cechy lokomocj kołowej nożnej, co ma mejsce np dla robota będącego przedmotem artykułu [3] 4 Dynamka moblnych robotów kołowych 4 Konwencja oznaczeń sł momentów sł Przed przystąpenem do omawana zagadneń dynamk na początek zostane omówona stosowana w pracy konwencja oznaczana sł momentów sł dzałających na robota moblnego Wektory sł momentów sł dzałających na -tą bryłę w punkce P wyraża- N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) ne w układze odnesena {N} oznaczane są jako: [ ] T Q P = QPx, QPy, Q, Pz () gdze: N Q rzut na oś l układu odnesena {N} wektora sły lub momentu sły Pl N ( ) N ( ) N dzałającego na bryłę w punkce P, QPl = QPl el składowa wzdłuż os l układu odnesena {N} wektora sły lub momentu sły dzałającego na bryłę w punkce P, Q = { F,, M, T, τ}, Q = { F,, M, T,τ} () Przykładowo, Ax oznacza rzut na oś x układu odnesena {} wektora sły dzałającej na bryłę w punkce A Jeżel P = N, wówczas stosuje sę skróco- N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) ny zaps: [ ] T Q = Q x, Q y, Q z Jeżel wadomo, na którą bryłę dzała wektor sły lub momentu sły (tak jest w przypadku sł reakcj podłoża dzałających na koło jezdne robota), wówczas ndeks jest pomjany Indeks jest stosowany zawsze w przypadku sł momentów sł reakcj w parach knematycznych Przyjmuje sę, że: wektory sł momentów sł reakcj zwązanych z kontaktem efektorów (kół jezdnych) z otoczenem oznaczane są odpowedno lteram F T, wektory zwązane z słam momentam sł reakcj w parach knematycznych oznacza sę odpowedno jako M, dla wektorów momentów napędowych stosuje sę oznaczene τ, a dla momentu tarca w parach knematycznych oznaczene τ f 4 Stosowane metody tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych Moblne roboty kołowe są układam neholonomcznym, co wynka z faktu, że równana węzów neholonomcznych, tj narzuconych na prędkośc, są necałkowalne [, 5] Do modelowana dynamk moblnych robotów kołowych stosuje sę różne metody Do najczęścej stosowanych można zalczyć formalzm Newtona-Eulera 34

35 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Lagrange a Z formalzmu Lagrange a powstało klka formalzmów pochodnych, w tym równana Maggego Appella Nekedy korzysta sę równeż z zasady d Alemberta, która stanow nejako nne ujęce formalzmu Newtona-Eulera Stosunkowo nowym formalzmem, bo opracowanym w XX w jest metoda Kane a, która została określona przez jej twórcę jako forma Lagrange a zasady d Alemberta Coraz wększe zastosowane do tworzena model dynamk szerokej gamy układów mechancznych znajduje także metoda układów weloczłonowych, która jest metodą typowo numeryczną Na początek zostaną opsane najczęścej stosowane metody tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych, co umożlw omówene ch zalet wad Należy podkreślć, że co prawda nnejsza praca jest ukerunkowana na modelowane moblnych robotów kołowych, to jednak znaczna część omawanych zagadneń problemów dotyczy także nnych układów mechancznych 4 ównana Newtona-Eulera Stosując formalzm matematyczny Newtona-Eulera do opsu dynamk moblnych robotów kołowych należy na początku dokonać dekompozycj układu na podukłady zwązane z poszczególnym członam układu Wówczas dla każdego -tego członu (podukładu), dla którego przyjmuje sę układ odnesena {N}, można zapsać dynamczne równa ruchu w postac: m N a + N ( ) N ( ) = F, (35) N N N N ( ) N ( ) φ + φ I φ = T M, (36) I + gdze: m, I masa tensor bezwładnośc -tego członu, N a, N φ, N φ wektory: przyspeszena środka masy -tego członu oraz prędkośc przyspeszena kątowego tego członu względem neruchomego układu odnesena {}, wyrażone w układze odnesena {N} wybranego członu, N F (), N T () wektory wypadkowe zewnętrznych sł momentów sł dzałających na człon, N (), N M () wektory wypadkowe wewnętrznych sł momentów sł reakcj dzałających na człon ównana te zapsano dla układu współrzędnych zwązanego ze środkem masy danego członu Należy zwrócć uwagę, że równana (35) (36) mogą być także w raze potrzeby zapsane dla całego analzowanego układu mechancznego Wektory zewnętrznych sł momentów sł są zwązane przede wszystkm z słą cężkośc rozpatrywanego członu, reakcjam podłoża ewentualnym nnym zewnętrznym słam momentam sł, co można zapsać jako: gdze: N () F k, N + ( ) N N ( ) N ( ) N ( ) F = m g Fk, T = Tk, (37) k N () T k dodatkowe zewnętrzne sły momenty sł dzałające na -ty człon robota, N g wektor przyspeszena grawtacyjnego wyrażony w układze odnesena tego członu k 35

36 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych Wektory wewnętrznych sł momentów sł reakcj (w tym momentów napędowych), wynkające ze współpracy -tego członu ze współpracującym z nm członam są określane jako: N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) = j, M = M j, (38) j j gdze ndeks j oznacza numer członu współpracującego z -tym członem Ponadto zapsuje sę równana wynkające ze wzajemnego oddzaływana na sebe poszczególnych podukładów (członów), tj równana dla poszczególnych wektorów wewnętrznych sł momentów sł reakcj: N =, ( j) N ( ) j N M = M (39) ( j) N ( ) j ównana Newtona-Eulera pozwalają na kompleksową analzę dynamczną dowolnego układu mechancznego, są węc bardzo unwersalne Stosując metodę Newtona-Eulera można zdekomponować układ, czyl podzelć go na mnejsze elementy, co ułatwa tworzene złożonych model oraz numeryczną mplementację modelu dynamk układu Nekedy zastosowane formalzmu Newtona-Eulera ma też wadę w równanach występują wewnętrzne sły momenty sł wynkające ze wzajemnego oddzaływana na sebe poszczególnych brył układu Welkośc te ne wykonują pracy, a ch wyznaczene ne zawsze jest potrzebne, co w takm przypadku czyn metodę mnej efektywną, np w porównanu z formalzmem Lagrange a czy Kane a 4 ównana Lagrange a II rodzaju z mnożnkam formalzmy pochodne 4 ównana Lagrange a II rodzaju z mnożnkam ównana Lagrange a II rodzaju z mnożnkam są najczęścej stosowane do tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych [7, 47] Wynka to z faktu, że formalzm ten jest dobrze znany pozwala na wyznaczene modelu dynamk całego robota, a otrzymany model jest w welu przypadkach wystarczająco dokładny do wykorzystana w zagadnenach praktycznych zwązanych najczęścej ze sterowanem ruchem robota Na początek wprowadza sę wektor współrzędnych uogólnonych q Wektor ten zawera współrzędne charakterystycznego punktu należącego do robota wyrażone w układze neruchomym, kąty określające orentację platformy moblnej oraz zmenne konfguracyjne, np kąty obrotu własnego skręcena kół jezdnych uch modelu jest ostateczne opsywany przy użycu równana Lagrange a II rodzaju z mnożnkam, które w zapse macerzowo-wektorowym ma postać [7]: T d E t q d T E q = Q + J T λ, (4) gdze: E energa knetyczna układu, Q wektor sł uogólnonych, J macerz jakobanowa, λ wektor mnożnków Lagrange a 36

37 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Wektor sł uogólnonych Q może być wyznaczony przez oblczene pracy wykonanej przez sły czynne dzałające na układ Inna postać równań Lagrange a II rodzaju z mnożnkam określana z zależnośc [48]: T d L t q d T L q = Q + J T λ, (4) korzysta z tzw funkcj Lagrange a (tzw potencjału knetycznego), która stanow różncę energ knetycznej potencjalnej układu, czyl: L = E V, (4) gdze: L energa knetyczna układu, V energa potencjalna tego układu Zarówno energa knetyczna, jak energa potencjalna układu są równe sume algebracznej tych energ dla poszczególnych członów tego układu, czyl: ( ) E = E, ( ) V = V (43) Energa knetyczna dla -tego członu układu jest określana z zależnośc: E natomast energa potencjalna położena jako: N v, ( ) N T N N T = m ( v ) v + ( ω ) V ( ) T = m ( g) I N ω, (44) r, (45) N ω wektory: prędkośc środka masy -tego członu prędkośc kąto- gdze: wej tego członu względem neruchomego układu odnesena {}, wyrażone w układze odnesena {N} tego członu, g, r wektory: przyspeszena grawtacyjnego oraz pozycj środka masy członu w neruchomym układze odnesena {} W równanu (44) zamast wektorów N v, N ω mogą być użyte analogczne wektory wyrażone w neruchomym układze odnesena {} Znak w równanu (45) wynka z faktu, że składowa ponowa przyspeszena grawtacyjnego (na kerunku os z neruchomego układu odnesena {}) ma wartość ujemną Dodatną wartość energ potencjalnej przyjmuje sę w przypadku, gdy masa członu znajduje sę nad powerzchną zerowego potencjału Zakłada sę, że powerzchnę zerowego potencjału stanow płaszczyzna xy neruchomego układu odnesena {} Następne wprowadza sę równane węzów neholonomcznych: J q =, (46) czyl równane węzów narzuconych na prędkośc Wektor sł uogólnonych Q zawera zewnętrzne sły momenty sł dzałające na robota oraz momenty napędowe dzałające na poszczególne koła jezdne Uwzględnene w tych równanach momentów napędowych stanow pewną neśc- 37

38 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych słość, gdyż w rzeczywstośc są one wynkem dzałana sł wewnętrznych układu W przypadku perwszej wersj równań Lagrange a II rodzaju z mnożnkam (równana (4)) wektor sł uogólnonych Q zawera także sły cężkośc Z kole w drugej wersj tych równań (zależnośc (4)), sły cężkośc są uwzględnone w energ potencjalnej układu Sły tarca leżące w płaszczyźne stycznośc kół jezdnych z podłożem wprowadzone są jako mnożnk Lagrange'a [7] Należy podkreślć, że wyznaczene równań dynamk układu wymaga zastosowana przekształceń symbolcznych zwązanych z wyznaczanem różnczek pochodnych, co stanow najwększą wadę w stosunku do formalzmu Newtona-Eulera, unemożlwającą wyłączne numeryczne rozwązywane problemów Ponadto równana Lagrange a ne nadają sę do bezpośrednego zastosowana w przypadku układów mechancznych, w których na ruch poszczególnych członów mają wpływ sły wewnętrzne 4 ównana Maggego ównana Maggego, podobne jak równana Lagrange a II rodzaju z mnożnkam, pozwalają na ops ruchu układu we współrzędnych uogólnonych gólną postać tych równań z uwzględnenem występujących węzów zapsuje sę w postac układu [7, 8]: T T C d E E Θ q q =, (47) dt T q = C e + G, (48) gdze: C, G współczynnk; e charakterystyk (parametry) knetyczne układu we współrzędnych uogólnonych; Θ wektor współczynnków wynkających z rozwązana równań: Θ δe = Q δq = δe C Q (49) j j ównana Maggego zostały użyte mn przez autorów pracy [7] do wyprowadzena modelu dynamk robota trzykołowego 43 ównana Appella Do nnych, rzadzej stosowanych do modelowana dynamk moblnych robotów kołowych formalzmów wywodzących sę z równań Lagrange a II rodzaju z mnożnkam można zalczyć równana Appella, które można uzyskać z równań Maggego doprowadzając je do bardzej zwartej postac ównana te zapsuje sę w postac układu [8, ]: T S e j j j j = Θ, (5) T q = C e + G, (5) gdze: S jest tzw energą przyspeszena lub funkcją Appella 38

39 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Funkcja Appella może być wyznaczona w funkcj przyspeszeń bezwzględnych a z zależnośc: S = N T N ( m ( a ) a ) (5) Jak zauważono w [5], wadą równań Appella jest brak jasnych zasad dotyczących sposobu generowana funkcj przyspeszeń Przykłady model dynamk opracowanych w oparcu o równana Appella dla robota trzykołowego można znaleźć np w pracach [37, 68] 44 Inne formalzmy wywodzące sę z równań Lagrange a II rodzaju z mnożnkam Znane są nelczne przypadk zastosowana nnych formalzmów, wywodzących sę z równań Lagrange a II rodzaju, do modelowana dynamk moblnych robotów kołowych Jednym z przykładów jest praca [54], w której autorzy zastosowal zasadę d Alemberta-Lagrange a do opracowana modelu dynamk robota trzykołowego W pracy [] omówono równana Voronca oraz Czapłygna, które mogą być także użyte do modelowana robotów moblnych 43 Metoda Kane a (forma Lagrange a zasady d Alemberta) Metoda Kane a została określona przez jej autora jako forma Lagrange a zasady d Alemberta [4] ównana ruchu analzowanego układu formułuje sę jako sumę poszczególnych uogólnonych sł czynnych F * r uogólnonych sł bezwładnośc F r, tj korzystając z równana: F + F * r =, (53) r jak ma to mejsce w przypadku zasady d Alemberta, gdze r =,, m; m lczba stopn swobody analzowanego układu Uogólnone sły czynne (F r ) dla poszczególnych brył wyznacza sę jako loczyny skalarne prędkośc cząstkowych N v r N ω r oraz sł momentów sł czynnych F T dzałających na te bryły, czyl: N N ( Fr ) = vr F + ωr T (54) Następne wyznacza sę sły momenty sł bezwładnośc dla poszczególnych brył korzystając z zależnośc: F * N * N N N = m a, T = ε I ω I ω, (55) gdze m, I są odpowedno masą tensorem bezwładnośc -tej bryły * Na tej podstawe określa sę uogólnone sły bezwładnośc ( F r ) dla kolejnych brył jako loczyny skalarne prędkośc cząstkowych N v r N ω r oraz sł momentów sł bezwładnośc F * * T wynkających z ruchu tych brył, tj wykorzystując równana: 39

40 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych * N * N * ( Fr ) vr F + ωr T = (56) Wreszce wyznacza sę uogólnone sły czynne uogólnone sły bezwładnośc dla całego układu sumując wynk uzyskane dla poszczególnych brył: n * * F r = ( F r ), F r = ( F r ) (57) = Na konec formułuje sę równana ruchu jako sumę uogólnonych sł czynnych uogólnonych sł bezwładnośc, tj korzystając z równana (53) Stosując metodę Kane a w jej standardowej postac przyjmuje sę oznaczena członów układu dużym lteram, nazwy układów małym lteram, a dla os układu wprowadza sę oznaczena,, 3 Uważa sę, że metoda Kane a zawera zalety formalzmów Newtona-Eulera oraz Lagrange a ne jest obarczona ch wadam Metoda ta jest jednak stosunkowo mało rozpowszechnona Jedną z nelcznych prac dotyczących modelowana robotów moblnych z zastosowanem metody Kane a jest publkacja [4] W przypadku tego formalzmu ne zachodz koneczność wprowadzana sł momentów sł wynkających z nterakcj poszczególnych brył Poneważ ne wprowadza sę funkcj energetycznych, węc ne ma konecznośc symbolcznego wyznaczana różnczek pochodnych Parametry knematyczne prędkośc przyspeszena są wyznaczane w postac loczynów wektorowych Zachodz natomast koneczność symbolcznego wyznaczana tzw prędkośc cząstkowych Wadą metody Kane a, w stosunku do formalzmu Newtona-Eulera jest stosunkowo duża pracochłonność wyznaczana równań dynamk układu 44 Metoda układów weloczłonowych W metodze układów weloczłonowych, z której korzysta mn program MD Adams stosuje sę współrzędne absolutne, które defnuje sę w postac wektora: N T N T [ r φ ] T n = q =,, (58) gdze wektor r = [x, y, z ] T, określa pozycję środka masy -tego członu, a wektor T φ = [ ψ, θ, φ ] orentację tego członu zdefnowaną za pomocą kątów Eulera w sekwencj obrotów określanych symbolczne jako 33 lub z-x-z [6] Współrzędne opsujące pozycję orentację wszystkch n członów układu można zapsać w postac: T T T [ q q, q ] T q =, (59), Współrzędne te wykorzystuje sę w algorytmach oblczenowych do opsu knematyk dynamk poszczególnych członów układu W przypadku opsu dynamk układu współrzędne te oraz ch pochodne muszą spełnać następujące równana ruchu [33]: T T T M u L + Φ λ H F =, (6) r r F n 3 n T T T p L + Φ λ H T =, (6) φ φ T 3 n 4

41 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych T p Lφ =, (6) 3 n u r =, (63) 3 n ε φ =, (64) 3 n oraz ponższe równane węzów par knematycznych węzów kerujących: Φ = m, (65) a w konsekwencj wynkające z nego lnowe równana węzów względem prędkośc przyspeszeń uogólnonych: Φ Φ q q =, (66) Φ t q ( Φ q ) q Φ q Φ Γ, (67) q = q q q t t t = T T T gdze: L funkcja Lagrange a; Lr, Lφ, Lφ jej różnczk względem r, φ φ ; λ wektor mnożnków Lagrange a; p składowa pędu uogólnonego odpowadająca współrzędnym kątowym; F, T odpowedno wektory zewnętrznych sł momentów sł dzałających na układ; H T T F, HT macerze projekcj odpowedzalne za przelczane wektorów sł momentów sł na sły uogólnone; u, ε wektory opsujące wyrażena na prędkośc lnowe kątowe W przypadku pojedynczego, swobodnego członu układ równań (6) (64) odpowada skalarnym równanom różnczkowym perwszego rzędu 3 skalarnym równanom algebracznym (równane (6)) Układ ten można rozwązać metodą Newtona-aphsona względem newadomych r, φ oraz λ, znajdując poszukwaną konfgurację mechanzmu oraz sły reakcj węzów [33] Układ równań (6) (65) z matematycznego punktu wdzena stanow nelnowy meszany układ równań różnczkowych perwszego rzędu (z czasem jako zmenną nezależną) oraz równań algebracznych (równana (6) (65) uzupełnone o dodatkowe równana defnujące sły momenty sł w postac funkcj wektorowych zależnych od czasu) Zagadnene całkowana takego układu równań jest znaczne bardzej skomplkowane, nż całkowane układu równań złożonego tylko z układu równań różnczkowych zwyczajnych Problemy z tym zwązane są podobne do tych, jake występują w całkowanu równań różnczkowych zwyczajnych źle uwarunkowanych [33] easumując, w ogólnym przypadku zastosowane metody układów weloczłonowych będze wymagało zastosowana wększej lczby równań w stosunku do wcześnej opsanych formalzmów opsu dynamk Metoda układów weloczłonowych ma jednak tę zaletę, że można ją stosować dla praktyczne dowolnego układu mechancznego, jest węc przez to bardzo unwersalna Jej poprawne zastosowane wymaga dobrej znajomośc metod numerycznych odpowednego doboru metody całkowana (solvera) do danego problemu Metoda układów weloczłonowych obok robotów moblnych znajduje przede wszystkm zastosowane do modelowana dynamk pojazdów samochodowych [6] 4

42 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych 45 Alternatywne metody tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych Należy zauważyć, że obok metod klasycznych coraz częścej można spotkać przykłady zastosowana alternatywnych metod modelowana dynamk moblnych robotów kołowych Stosuje sę w tym celu ntelgentne systemy oblczenowe oparte na układach z logką rozmytą [], sztucznych secach neuronowych [], algorytmach ewolucyjnych lub genetycznych [44] oraz nnych metod technk sztucznej ntelgencj [77] W takm przypadku model dynamk robota jest tworzony na podstawe znajomośc sygnałów wejścowych wyjścowych układu, co stanow analogę do dentyfkacj strukturalnej Przykładem takego podejśca do tworzena modelu dynamk robota kołowego jest tzw emulator, który został opracowany na baze sztucznych sec neuronowych [9] W pracy [48] zastosowano w tym celu układy z logką rozmytą, w [36] algorytmy genetyczne, a w [67] sztuczne sec neuronowe układy z logką rozmytą Zastosowane metod sztucznej ntelgencj do modelowana sterowana ruchem moblnych robotów kołowych omówono w [66] Wadą omówonych technk jest to, że otrzymany model jest trudny do nterpretacj, gdyż ne stanow modelu analtycznego, tzn ne został opsany za pomocą równań różnczkowych Problem ten występuje zwłaszcza w przypadku zastosowana sztucznych sec neuronowych Inną cekawą metodą tworzena model dynamk robotów moblnych może być zastosowane technk programowana genetycznego [65] W takm przypadku, w wynku dzałana algorytmu genetycznego, można otrzymać model obektu w postac równań różnczkowych Przykładem takego podejśca jest praca [7], w ramach której otrzymano model zespołów napędowych robota SCUT 46 Porównane metod tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych Porównując opsane metody tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych można wycągnąć ponższe główne wnosk ównana Lagrange a II rodzaju z mnożnkam formalzmy pochodne, jak równana Maggego Appella sprawdzają sę dobrze w przypadku, gdy ne ma potrzeby znajomośc wewnętrznych reakcj węzów układu (sł momentów sł reakcj wynkających ze wzajemnego oddzaływana na sebe brył wchodzących w skład układu) Pozwala to wówczas na wyznaczene przede wszystkm nezbędnych newadomych, przez co występuje mnejsza lczba równań w stosunku do formalzmu Newtona-Eulera Wadą tych formalzmów jest jednak koneczność realzacj przekształceń symbolcznych duża pracochłonność wyznaczana równań dynamk Zaletą równań Newtona-Eulera jest dekompozycja układu na mnejsze elementy, co upraszcza proces modelowana pozwala na łatwejsze zrozumene dzałana układu Wadą tego formalzmu jest natomast koneczność zapsu dodatkowych równań dla wewnętrznych reakcj węzów, które ne zawsze są przedmotem badań, a które powodują zwększene ogólnej lczby równań nezbędnych do rozwązana 4

43 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Metoda Kane a pozwala na wyznaczene przede wszystkm nezbędnych newadomych dla danego modelu dynamk dzęk temu, że ne zachodz koneczność wprowadzana wewnętrznych reakcj węzów W stosunku do formalzmu Lagrange a z mnożnkam pochodnych formalzmów ne ma konecznośc symbolcznego wyznaczana różnczek pochodnych, natomast zachodz koneczność symbolcznego wyznaczana tzw prędkośc cząstkowych Ponadto wadą tej metody jest stosunkowo dużą pracochłonność wyznaczana równań dynamk układu Metoda układów weloczłonowych jest w dużej merze unwersalna, co pozwala na zastosowane jej do modelowana dynamk szerokej gamy układów mechancznych Nestety w jej przypadku występuje duża lczba równań dla ogólnego przypadku Ponadto rozwązane otrzymanego układu równań jest bardzej skomplkowane w stosunku do poprzednch metod modelowana dynamk oraz wymaga dobrej znajomośc metod numerycznych odpowednego doboru metody całkowana (solvera) do danego problemu Alternatywne metody modelowana dynamk moblnych robotów kołowych oparte na ntelgentnych systemach oblczenowych sprawdzają sę tam, gdze ne są znane dokładne parametry /lub struktura modelu oraz w przypadku, gdy badacz ne ma nezbędnej wedzy na temat zjawsk mechank Model dynamk robota jest tworzony na podstawe znajomośc sygnałów wejścowych wyjścowych układu, przez co metoda ta jest stosunkowo unwersalna Wadą takego podejśca są jednak trudnośc w fzycznej nterpretacj otrzymanego modelu, szczególne w przypadku zastosowana sztucznych sec neuronowych Ponadto otrzymany model może być nadmerne rozbudowany, co może być zwązane np z jego nadmernym dopasowanem sę do rejestrowanych sygnałów, które mogą być zaszumone /lub obarczone różnym błędam 43 Zadana dynamk 43 ównana dynamk Nezależne od wybranej metody tworzena modelu dynamk, ostateczne równana dynamk robota mogą być zapsane w następującej zwartej postac macerzowowektorowej: M q + C q = Q + B, (68) gdze: M macerz bezwładnośc, C q wektor sł odśrodkowych Corolsa, Q, B wektory odpowedno uogólnonych sł zewnętrznych uogólnonych sł wewnętrznych W przypadku moblnych robotów kołowych wektor B zawera momenty napędowe, a nekedy także sły momenty sł wynkające ze wzajemnego oddzaływana na sebe poszczególnych brył układu (np dla formalzmu Newtona-Eulera) Jeżel do opsu dynamk robota stosowany jest formalzm Newtona-Eulera, w mejsce równana (68) można zapsać dwa równana wynkające odpowedno z dynamk całego robota poszczególnych kół jezdnych (efektorów), tzn: M q + C q = Q, (69) 43

44 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych M q + C q = Q + B, (7) W W W przy czym w wynku podzału macerzy M C oraz wektorów Q, B, q q otrzymuje sę: q M C Q B q =, M =, C =, Q =, B = (7) qw MW CW QW BW Wektory prędkośc przyspeszeń uogólnonych zawerają prędkośc przyspeszena (lnowe kątowe) dla robota dla kół jezdnych, tj: v CM a CM v a q =, q =, = φ φ W W q W, q W =, (7) ωw εw Wyprowadzone równana dynamk robota mogą posłużyć do rozwązana zadana prostego odwrotnego dynamk Tematyka dynamcznych równań ruchu moblnych robotów kołowych zostane szerzej omówona w rozdzale 3 43 Zadane proste dynamk Zadane proste dynamk dla moblnego robota kołowego polega na wyznaczenu szukanych parametrów jego ruchu na podstawe znanych sł momentów sł dzałających na tego robota W celu rozwązana tego zadana można przekształcć równane (68) do postac: q = M W W ( Q + B C q ) W (73) Jako parametry ruchu układu rozume sę przemeszczena, prędkośc przyspeszena zarówno lnowe (przede wszystkm środka masy brył układu) jak kątowe (poszczególnych brył) Zadane to można podzelć na dwa mnejsze podzadana zwązane z wyznaczenem parametrów ruchu kół jezdnych (efektorów) korpusu robota (platformy moblnej), co sprowadza sę do rozwązana równań (69) (7) Należy zwrócć uwagę, że wynkowy ruch platformy moblnej robota zależy od sł momentów sł reakcj dzałających na robota od jego otoczena W przypadku moblnych robotów kołowych reakcje te są zwązane przede wszystkm ze współpracą kół jezdnych robota z podłożem Dlatego zadane proste dynamk dla platformy moblnej polega na wyznaczenu jej parametrów ruchu na podstawe sł momentów sł dzałających na całego robota Parametram ruchu są w tym przypadku parametry kątowe ruchu platformy moblnej oraz parametry lnowe wybranego jej punku (np środka masy lub początku układu odnesena dla robota) Z równana (69) wyznacza sę wektor: q = M ( Q C q ) czyl przyspeszena lnowe środka masy korpusu platformy moblnej φ, (74) a CM oraz przyspeszena kątowe 44

45 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Zadane proste dynamk dla kół jezdnych polega na wyznaczenu parametrów ruchu w parach knematycznych na podstawe znanych momentów napędowych Z równana (7) można wyznaczyć przyspeszena kątowe obrotu własnego kół jezdnych Należy zauważyć, że w przypadku pojedynczego nekerowanego koła jezdnego do dyspozycj będą trzy równana skalarne opsujące ruch środka masy tego koła trzy równana skalarne opsujące ruchy obrotowe wokół poszczególnych os układu odnesena Szukane przyspeszene kątowe obrotu własnego -tego koła jezdnego θ można w takm przypadku oblczyć z jednego z tych równań Pozostałe równana można pomnąć lub oblczyć z nch składowe sł momentów sł reakcj A M A czywśce, w przypadku koła kerowanego wyznaczane jest dodatkowo przyspeszene ψ zwązane ze skrętem tego koła W pracy przyjęto konwencję zapsu polegającą na oddzelenu wektora M A zwązanego z momentam sł reakcj od wektora momentów napędowych τ W zwązku z tym w przypadku, gdy oś y koła jest osą obrotu, wówczas składowa momentu reakcj M Ay jest równa zero Analogczna sytuacja zachodz w przypadku, gdy oś z jest osą skrętu koła jezdnego 433 Zadane odwrotne dynamk Zadane odwrotne dynamk dla moblnego robota kołowego polega na wyznaczenu szukanych sł momentów sł dzałających na tego robota na podstawe zadanych parametrów jego ruchu Zadane to można podzelć podobne jak poprzedno na dwa mnejsze podzadana zwązane z wyznaczenem parametrów ruchu kół jezdnych (efektorów) korpusu robota (platformy moblnej), co sprowadza sę do rozwązana równań (69) (7) Zadane odwrotne dynamk dla kół jezdnych zwązane jest z wyznaczenem momentów napędowych nezbędnych do realzacj założonych parametrów kątowych ruchu w parach knematycznych Należy zauważyć, że podobne jak poprzedno w przypadku pojedynczego nekerowanego koła jezdnego do dyspozycj będą trzy równana skalarne opsujące ruch środka masy tego koła trzy równana skalarne opsujące ruchy obrotowe wokół poszczególnych os układu odnesena Szukane momenty napędowe zwązane z obrotem -tego koła jezdnego wokół os y (os obrotu własnego), czyl τ y, można w takm przypadku oblczyć z jednego z tych równań Pozostałe równana można pomnąć lub oblczyć z nch składowe sł momentów sł reakcj A M A czywśce, w przypadku koła kerowanego wyznaczany jest dodatkowy moment napędowy zwązany ze skrętem tego koła Zadane odwrotne dynamk dla platformy moblnej polega na określenu sł momentów sł dzałających na całego robota nezbędnych do realzacj założonych dla nego parametrów ruchu Zwązane jest ono z słam momentam sł reakcj dzałającym na koła jezdne robota w zwązku z ch współpracą z podłożem Należy zauważyć, że w przypadku nawet newelkej lczby kół jezdnych będących w kontakce z podłożem, zadane to jest newyznaczalne poneważ stneje neskończene wele możlwych rozwązań 45

46 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych 44 Problemy zwązane z opracowywanem model dynamk W praktyce, przy podejścu klasycznym, z opracowanem modelu dynamk moblnego robota kołowego wąże sę szereg problemów, do których można zalczyć: potrzebę opracowywana modelu osobno dla każdego rodzaju robota, a nawet dla poszczególnych jego konfguracj (w szczególnośc dla różnej lczby kół jezdnych stykających sę z podłożem); newyznaczalność równań dynamk, która wynka z faktu, że do wyznaczena jest węcej newadomych nż jest dostępnych równań (zwłaszcza w przypadku, gdy poszukwane są wszystke składowe sł momentów sł reakcj zwązane z kontaktem kół jezdnych z podłożem); koneczność uwzględnena poślzgów wzdłużnych poprzecznych kół jezdnych, co ma szczególne znaczene w przypadku robotów z kołam nekerowanym (np roboty czterokołowe z nekerowanym kołam jezdnym [3, ]) nnych robotów kołowych poruszających sę z dużą prędkoścą (która ze względu na występowane przyspeszena normalnego ma duże znaczene dla manewru zakręcana) /lub po podłożu o różnych właścwoścach (np ruch robota trzykołowego przy zmane podłoża z betonu na lód []) W zwązku z perwszym z wymenonych problemów, stosując klasyczne podejśce do modelowana dynamk, opracowuje sę osobne modele dynamk robota dla analzowanego przypadku Taką metodykę modelowana zastosowano w analze ruchu robota hybrydowego po schodach [3], gdze dla każdej z konfguracj robota opracowano osobny model dynamk Dwe przykładowe konfguracje robota pokazano na rys Problem newyznaczalnośc równań dynamk układu jest nekedy rozwązywany poprzez wprowadzene dodatkowych równań wynkających z przyjętych założeń upraszczających Przykładowo w pracy [5] zapsano dodatkowe równane, które stosuje sę dla składowych normalnych sł reakcj podłoża dla pojazdu weloosowego znajdującego sę na równ pochyłej pod warunkem, że uwzględn sę podatność opon kół jezdnych Zakłada sę przy tym, że ose kół jezdnych leżą w jednej płaszczyźne ównane take, wg konwencj stosowanej w nnejszej pracy ma postać: F k Az x x A An x x A Anz Az Az = A kn k k F F F, (75) gdze F Az jest składową normalną sły reakcj podłoża dzałającą na daną oś, x A określa położene tej os na kerunku os x względem środka masy pojazdu, k jest sztywnoścą opon dla danej os, oznacza nr os, dla której zapsuje sę równane ( = {, 3,, n }), ndeks dotyczy przednej os, a n oznacza lczbę os pojazdu Postać równana (75) wynka z założena, że korpus pojazdu podłoże ne ulegają odkształcenu, węc wszystke punkty należące do środków kół jezdnych będą leżeć w tym przypadku w jednej płaszczyźne Stosując podobne rozumowane można zapsać analogczne równana dla dowolnego przypadku, w którym znana jest geometra podłoża układu jezdnego oraz sztywność poszczególnych opon Wracając do zadań dynamk, należy zauważyć, że o le rozwązane zadana prostego dynamk polegającego na wyznaczenu parametrów ruchu platformy mo- 46

47 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych blnej jej kół jezdnych na podstawe równana (68) jest możlwe dla dowolnej lczby kół jezdnych, to ne jest już możlwe rozwązane zadana odwrotnego dynamk polegającego na wyznaczenu zarówno sł momentów sł dzałających na platformę moblną (zwązanych przede wszystkm z reakcjam podłoża), jak momentów napędowych Wynka to z faktu, że w ogólnym przypadku lczba newadomych składowych sł momentów sł jest zbyt duża w stosunku do możlwych do zapsu równań Można natomast wyznaczyć wektory wypadkowe tych sł momentów sł Można także w mejsce klku rzeczywstych kół jezdnych wprowadzać tzw koła zastępcze Take podejśce zastosowano do modelowana dynamk robota trzykołowego czterokołowego [47] ys Przykładowe konfguracje robota hybrydowego [3] Analzując zjawsko poślzgu kół jezdnych, należy zwrócć uwagę, że jest ono zwązane z rodzajem zastosowanego ogumena kół podłoża, po którym porusza sę robot czywstym jest, że naczej będze zachowywało sę koło jezdne toczące sę po betone, a naczej to samo koło toczące sę po lodze W przypadku, gdy poślzg kół jezdnych w stotny sposób wpływa na ruch robota koneczne jest 47

48 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych uwzględnene modelu opony w modelu robota Problematyka modelowana opon kół jezdnych jest szerzej omówona w podrozdzałach Modele dynamk moblnych robotów kołowych W lteraturze można znaleźć sporo przykładów model dynamk moblnych robotów kołowych ch symulacj Wększość model jest opracowywanych z użycem formalzmu Lagrange a pochodnych formalzmów Take podejśce jest stosowane w przypadku, gdy na podstawe modelu robota jest wykonywana synteza algorytmu sterowana Model robota pownen węc uwzględnać najbardzej stotne zjawska Z użycem formalzmu Lagrange a opracowano model robota jednokołowego [7], model robota w układze roweru [39], model robota dwukołowego [5, 8], model robota dwukołowego uwzględnający poślzg kół jezdnych [5], model robota czterokołowego z odwróconym wahadłem [66] pracowano też model robota trzykołowego sterowanego różncowo z użycem równań Maggego [66, 7] oraz modele analogcznych robotów z zastosowanem równań Apella [37, 68] ównana Newtona-Eulera są często stosowane do opsu dynamk moblnych robotów kołowych [4, 47, 59, 5] Przykładowo w [5] przeanalzowano cztery różne konstrukcje robotów moblnych robot trzykołowy z przednm kołam napędzanym trzecm podperającym kołem samonastawnym; robot czterokołowy z kołam nekerowanym sprzężonym param za pomocą pasków; robot gąsencowy z dwema nezależnym gąsencam oraz robot trzykołowy z trzema nekerowanym tzw kołam szwedzkm W publkacj [47] omówono model dynamk robota czterokołowego z dwoma manpulatoram z elastycznym zaweszenem W badanach uwzględnono nerównośc terenu, po którym poruszał sę robot W artykule [59] opsano opracowany model dynamk robota czterokołowego, którego obe ose kół jezdnych były połączone ze sobą za pomocą elastycznej ramy Jak wcześnej stwerdzono, newele prac jest pośweconych modelowanu dynamk robotów kołowych z użycem metody Kane a Jedną z takch prac jest artykuł [4] Znaczna grupa prac zwązanych z modelowanem dynamk dotyczy konstrukcj robotów czterokołowych sześcokołowych z nekerowanym kołam (ang skd-steered robots) W tego typu robotach zmana kerunku ruchu następuje poprzez zróżncowane prędkośc kątowych obrotu własnego kół jezdnych znajdujących sę po lewej prawej strone Ponadto w trakce manewru zakręcana lub obrotu wokół os ponowej występuje poślzg na kerunku poprzecznym oboty tego typu znajdują coraz częścej zastosowana praktyczne ze względu na dużą sztywność konstrukcj są przeznaczone do poruszana sę w otwartym terene (ang outdoor robots), w tym po różnego typu nerównoścach Przykładam prac dotyczących takch konstrukcj robotów czterokołowych są mn [,6, 3] oraz [58, 6] dla robotów sześcokołowych Na ruch robotów z nekerowanym kołam jezdnym stotny wpływ mają sły boczne występujące na styku kół jezdnych z podłożem Coraz częścej w modelach dynamk robotów uwzględna sę występowane poślzgu kół jezdnych [78, 89, 7, 3] Problem ten znany jest z nektórych wcześnej omówonych prac W [78] analzowano dynamkę robota wyposażonego w układ dwunastu nekerowanych kół obot jest przeznaczony do poruszana sę 48

49 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych po schodach Koła jezdne robota zostały pogrupowane po trzy Każda z grup mogła wykonywać nezależny obrót W modelu dynamk robota uwzględnono występowane poślzgu kół jezdnych W modelach dynamk robotów kołowych coraz częścej uwzględna sę także podatność gruntu, korzystając z wedzy z obszaru terramechank, za której twórcę uznaje sę uczonego polskego pochodzena MG Bekkera [9] Przykładem takej pracy jest mn [33], gdze badany jest robot czterokołowy przeznaczony do msj na obcych planetach W opracowanym modelu uwzględna sę także występowane poślzgu kół jezdnych Inną tego typu pracą jest [4] W nektórych pracach dotyczących modelowana dynamk robotów kołowych duży nacsk kładze sę na model dynamk napędów Przykładem są artykuły [98, 3], które dotyczą mnmalzacj zużyca energ przez robota trzykołowego z tzw kołam szwedzkm W praca tych w badanach wykorzystano modele napędów Zużyce energ przez robota ma z kole stotny wpływ na jego zasęg, dlatego jest to stotny parametr z punktu wdzena użytkownka 46 Modele ogumena stosowane w modelowanu dynamk pojazdów kołowych W lteraturze dotyczącej metodyk modelowana dynamk moblnych robotów kołowych często zakłada sę ch ruch bez poślzgów, co ma odzwercedlene w pracach [[7, 3, 48, 3] Jest to uzasadnone w przypadku robotów poruszających sę z nedużą prędkoścą z newelkm przyspeszenem po podłożu utwardzonym o dużym współczynnku przyczepnośc (np beton) W takch przypadkach wartośc sł tarca występujących na styku kół jezdnych z podłożem są mnejsze od maksymalnej dostępnej sły przyczepnośc Ponadto koła jezdne robota muszą meć opony o dużej sztywnośc, aby ch deformacje ne mały stotnego wpływu na ruch Spowodowane jest to tym, że zmnejszane sztywnośc opon (z powodu np zmnejszana cśnena w oponach) prowadz do zwększana współczynnków oporu toczena Z drugej strony powoduje to zwększene współczynnka przyczepnośc, co jest zjawskem pozytywnym Ponadto, m mnejsza jest sztywność koła, tym podczas zakręcana występuje wększe poprzeczne znoszene środka koła jezdnego pommo newelkego poślzgu poprzecznego, na co zwrócono uwagę w pracy [67] W przypadku ruchu robotów kołowych z wększym prędkoścam ( m/s lub węcej) /lub po podłożu o newelkm współczynnku przyczepnośc (znaczne mnejszym od ) koneczne jest uwzględnene modelu opony w modelu dynamk robota Model opony pownen także być uwzględnany w przypadku zmennego ruchu robota, tj w obecnośc dużych przyspeszeń, gdyż wówczas występują duże wartośc sł tarca na styku kół jezdnych z podłożem, blske grancznym wartoścom maksymalnym (blske tzw tarcu rozwnętemu) Ponadto zwększenu ulegają wtedy poślzg kół jezdnych pojawają sę nelnowośc w charakterystyce sły tarca w funkcj poślzgu, co powoduje potrzebę uwzględnana model opon w modelach dynamk robotów Przyjmuje sę, że dla małych poślzgów, tj wynoszących klka procent charakterystyka ta jest lnowa [35] Koneczność uwzględnane modelu opony wynka węc przede wszystkm z faktu, że sły wynkające z nterakcj koła jezdnego z podłożem mają obok sł grawtacj zasadnczy wpływ na ruch robota kołowego Co węcej, sły te jako jedyne mają wpływ na sterowane ruchem robota Sły oporu 49

50 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych aerodynamcznego są w wększośc przypadków pomjane ze względu na ch małe wartośc w stosunku do sł tarca Wynka to z faktu, że prędkośc rozwjane przez roboty kołowe są na ogół znaczne mnejsze od prędkośc rozwjanych przez pojazdy samochodowe Problematyka modelowana ruchu z uwzględnenem poślzgu kół jezdnych jest od welu lat przedmotem badań welu ośrodków zajmujących sę problematyką samochodową, gdze modelowane współpracy koła ogumonego z podłożem stało sę stotnym obszarem badawczym Wynk takch badań można odnaleźć mn w pracach [8, 6, 5, 55, 35] bszerny przegląd model stosowanego oprogramowana symulacyjnego wraz z porównanem uzyskanych wynków zawarto w pracy [38] Podobne prace z zakresu modelowana opon prowadz sę także dla kół jezdnych samolotów [76], co ma stotne znaczene zwłaszcza w przypadku ch hamowana [] Modele ogumena omawane w nnejszej pracy są przeznaczone do badań dynamk moblnych robotów kołowych Modele ogumena pojazdów, znane z lteratury, można podzelć na dwa osobne modele [7]: model struktury opony, model tarca powerzchn styku opony z podłożem Model struktury opony tworzy sę odwzorowując jej własnośc sprężyste tłumące [7] Model tak, opracowany na wzór podejśca stosowanego mn w programe MD Adams [4], będze w tej pracy określany manem modelu kontaktu będze dotyczył sztywnośc tłumena opony na kerunku promenowym Będze on podstawą wyznaczana sł normalnych dzałających na oponę w mejscu jej kontaktu z podłożem Szerzej ta problematyka jest omówona w podrozdzale 3 W przypadku modelu tarca na powerzchn styku opony z podłożem, można uwzględnć tzw tarce punktowe, rozłożone na odcnku ln prostej lub na powerzchn styku [7] W pracy będą analzowane przede wszystkm proste modele opon, a wększy nacsk zostane położony na modelowane dynamk całego robota Z tego względu stosowane będą modele z tarcem punktowym Modele współpracy opony z podłożem mogą być opracowywane przy założenu neodkształcalnego podłoża, czego przykładem jest spora grupa model stosowanych w modelowanu dynamk pojazdów samochodowych, w tym modele opsane w pracach [55, 97, 35] Stosowane są także modele zakładające odkształcalność podłoża, co jest szczególne koneczne w przypadku naturalnych rodzajów podłoża takch, jak: neutwardzona gleba, trawa, pasek, żwr, błoto, śneg tp W takch przypadkach obok modelu opony zachodz koneczność użyca modelu podłoża Jedną z ważnejszych publkacj na ten temat jest praca [9] Praca ta zawera podstawy mechank gruntu jest podstawą welu późnejszych prac W nowszych pracach, w tym [86], uwzględnono dodatkowo efekty welokrotnego przejazdu przez odkształcalne podłoże zagłębana sę kół w podłoże w efekce buksowana W badanach dynamk moblnych robotów kołowych nekedy uwzględna sę modele opon bazując na wynkach badań dośwadczalnych dla opon pojazdów samochodowych [6, 5, 55, 35] Do rzadkośc należą natomast prace zwązane z badanam opon małych robotów moblnych Wynk takch prac można znaleźć w [5, 75], gdze w drugm przypadku przedstawono charakterystyk sły w funk- 5

51 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych cj poślzgu, bazując na badanach dośwadczalnych ruchu całego robota moblnego wyposażonego w nepneumatyczne koła jezdne W lteraturze można także znaleźć wynk nelcznych badań zwązanych z modelowanem dynamk robotów moblnych z uwzględnenem ch nterakcj ze zróżncowanym podłożem oraz estymacją parametrów tego podłoża [] Take zagadnena są w szczególnośc w obszarze zanteresowań badaczy zajmujących sę robotam do zastosowań kosmcznych (ang planetary rovers) Model opony dla robota moblnego, na wzór dośwadczeń przemysłu samochodowego, może być na podstawe [6, 88, 73] opracowany jako: a) model matematyczny służący do aproksymacj charakterystyk uzyskanych w badanach dośwadczalnych (w szczególnośc za pomocą zależnośc Magc Formula [55]); b) model szczotkowy (ang brush tre model) [97], model w postac sztywnego perścena (ang rgd belt model) [4], z użycem prostego modelu E Fal [6] lub modelu SWIFT [84], stanowącego połączene modelu w postac perścena z modelem aproksymującym charakterystyk dośwadczalne; c) model strukturalny, w którym oponę modeluje sę najczęścej przy pomocy odpowedno dobranego zestawu elementów sprężystych tłumących [7] lub jako elastyczny perśceń najbardzej popularnym tego typu modelem jest Tre [6, 7, 94], który został zamplementowany w programe MD Adams, nnym modelem stosowanym także w programe MD Adams jest model MD-K [54]; d) modelu bazującego na metodze elementów skończonych (MES), co ma odzwercedlene mn w pracach [5, 8] Zaprezentowane modele zostały wymenone wg rosnącej ch złożonośc rosnącego zakresu uwzględnanych przez model częstotlwośc zman welkośc wejścowych wyjścowych, dla których mogą być stosowane, tj modele typu (a) mogą być stosowane dla najnższej częstotlwośc zman, a typu (d) dla najwyższej Klasyfkacja model opon w zależnośc od ch złożonośc zakresu częstotlwośc zman parametrów wg [6] została zlustrowana na rys 3 ys 3 Klasyfkacja model opon na podstawe ch złożonośc zakresu częstotlwośc zman welkośc wejścowych wyjścowych [6] 5

52 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych bok wymenonych model można także znaleźć wcześnej opracowane modele teoretyczne, np model M Kełdysza [5] oraz modele opsane w pracy przeglądowej [6] Z uwag na różnce mędzy oponam stosowanym w moblnych robotach kołowych a tym, z których korzystają pojazdy samochodowe, koneczne jest przeprowadzene szczegółowych badań pozwalających na opracowane model opon dedykowanych do takch zastosowań, w szczególnośc dla małych robotów moblnych Potrzeba taka wynka mn: z różnc w geometr tych opon (w tym beżnka), stosowanych materałów, z różnego typu wypełnenam opon (w robotach moblnych zamast powetrza często na wypełnena stosowane są różnego typu pank) oraz z różnc konstrukcyjnych opon óżnce konstrukcyjne polegają na tym, że w oponach małych robotów moblnych ne stosuje sę np kevlarowego opasana, czy stalowych wzmocneń pasa, co występuje w każdej opone samochodowej oboty tego typu mają opony jednorodne wykonane najczęścej z gumy lub vtonu Ponadto, w przypadku nektórych konstrukcj robotów kołowych, jak dla omawanego w tej pracy robota SCUT, wszystke koła jezdne są nekerowane, co powoduje, że zakres poślzgu poprzecznego jest znaczne wększy nż dla pojazdów samochodowych Poza tym zróżncowane podłoża, po którym może poruszać sę robot kołowy jest w ogólnym przypadku wększe nż dla pojazdów samochodowych W przypadku poruszana sę w budynkach opony robota moblnego muszą współpracować z netypowym dla pojazdów samochodowych rodzajam podłoża, jak wykładzna dywanowa wykładzna PCV prócz tego opona robota ma często głębok beżnk o rzeźbe klockowej, co ma stotny wpływ na ruch robota, np podczas pokonywana krawężnka Przypadku takego ne można symulować stosując model gładkch opon Podobny problem będze występował w przypadku symulacj ruchu robota po stalowej krace Należy także zwrócć uwagę, że model opony pownen uwzględnać fakt, że koła jezdne oraz cały robot mogą znajdować sę na pochylonym terene Faktu tego zazwyczaj ne uwzględnają dostępne modele opon opracowane dla pojazdów samochodowych W pracy przez model opony rozume sę model umożlwający wyznaczene sł momentów sł reakcj podłoża dzałających na oponę w mejscach (punktach) jej kontaktu z podłożem Zakłada sę przy tym, że podłoże, po którym porusza sę robot moblny jest neodkształcalne Tematyka model opon jest szerzej omówona w podrozdzale 33, gdze opsano model HB Panejk [55], który zastosowano w badanach symulacyjnych ruchu moblnych robotów kołowych 47 Problematyka dentyfkacj analzy wrażlwośc modelu dynamk moblnych robotów kołowych Jak wspomnano wcześnej, modele dynamk moblnych robotów kołowych opsują zjawska ruchu w sposób przyblżony Z kole z punktu wdzena teor sterowana najlepszy model to tak, który jest możlwe najprostszy odzwercedla stotne zjawska sterowanego obektu [9] dpowedź na pytane, które współczynnk występujące w modelu dynamk robota pownny być dentyfkowane, poneważ ch wpływ jest znaczący, daje analza wrażlwośc cena wpływu współczynnków modelu na parametry ruchu będze możlwa jeżel rozwązane zostaną równana wrażlwośc łączne z dynamcznym 5

53 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych równanam ruchu analzowanego robota Przyjęta metoda dentyfkacj zależy mn od rodzaju modelowanego obektu W zwązku z tym metody dentyfkacj dzel sę na metody dentyfkacj model: lnowych nelnowych, parametrycznych neparametrycznych, stacjonarnych nestacjonarnych, o parametrach skuponych rozłożonych oraz stanowących kombnacje metod podstawowych [56, 68] Identyfkacja obektu może następować w wynku eksperymentu czynnego, w którym oddzałuje sę na obekt oraz eksperymentu bernego, w którym dokonuje sę jedyne pomaru sygnałów wejścowych wyjścowych badanego obektu W procese dentyfkacj stotny jest wybór zastosowanego kryterum jakośc, tj kryterum chwlowego lub całkowego Często stosuje sę kwadratową funkcję jakośc Stosowana procedura dentyfkacj może bazować na jawnych zależnoścach matematycznych, metodach z dostrajanem modelu lub na metodach statystycznych Stosuje sę tutaj metody on-lne oraz metody wsadowe (off-lne) [4, 53] Najkorzystnejszą metodą dentyfkacj właścwośc dynamcznych robotów moblnych jest metoda on-lne, w której uaktualnane parametrów modelu następuje na podstawe beżących danych pomarowych Metoda ta może być realzowana w czase rzeczywstym służyć do estymacj parametrów model układów stacjonarnych nestacjonarnych Algorytm dentyfkacj może być realzowany w trybe on-lne, jeżel jest wystarczająco wydajny, czyl może być zrealzowany w dostateczne krótkm cyklu [35, 4, 53] oboty moblne są układam nelnowym Ze względu na swoją złożoność ne doczekały sę dotąd opracowana ogólnych metod dentyfkacj pracowane metody dla układów nelnowych dotyczą jedyne wybranych klas model Na uwagę zasługują metody: szeregu czasowego, grupowej obróbk danych, bezpośrednej dentyfkacj parametrów modelu, dostrajana modelu oraz nelnowego modelu regresyjnego NAMAX Spośród tych metod na szczególną uwagę zasługuje metoda dostrajana modelu ze względu na to, że jest metodą ścśle parametryczną, pozwalającą na aktualzację ocen parametrów on-lne w czase rzeczywstym na podstawe beżących danych pomarowych [56, 68, 53] Do alternatywnych metod modelowana dentyfkacj dynamk robotów moblnych można zalczyć metody oparte na sztucznej ntelgencj, co ma odzwercedlene mn w pracach [36, 7, 53] Stosuje sę w tym celu znane technk sztucznej ntelgencj [77], jak sztuczne sec neuronowe [, ], układy z logką rozmytą [, 4], algorytmy genetyczne [98] oraz kombnacje tych metod Cechą wspólną tych metod jest to, że służą one do aproksymacj funkcj nelnowych występujących w modelu obektu Podejśce to jest szczególne korzystne w przypadku ogranczonej wedzy o badanym obekce W celu przeprowadzena dentyfkacj dynamcznych równań ruchu najczęścej przyjmuje sę strukturę dentyfkacj parametrów, równoległą lub szeregoworównoległą Jeżel znany jest pełny wektor stanu, to w procese dentyfkacj można przyjąć strukturę emulatora stanu W przypadku, gdy ne dysponuje sę pełnym wektorem stanu, można przyjąć strukturę dentyfkacj w postac struktury dentyfkatora (merzonych zmennych stanu) lub obserwatora (nemerzonych zmennych stanu) [35, 7, 53] 53

54 Metody opsu ruchu moblnych robotów kołowych 54

55 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych W zwązku z problemam wymenonym w podrozdzale 44 została opracowana autorska unwersalna kompleksowa metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych, uwzględnająca występowane poślzgu kół jezdnych Metodyka ta może być zastosowana do modelowana robota o dowolnej lczbe kół jezdnych stykających sę z podłożem Unwersalność proponowanej metodyk polega na możlwośc zastosowana jej do szerokej gamy moblnych robotów kołowych Kompleksowość metodyk wynka z uwzględnena welu zjawsk (poślzg kół jezdnych, tarce w parach knematycznych), które są często pomjane, a mają wpływ na ruch robota Istotą metodyk jest zastosowane modelu kontaktu efektorów z podłożem oraz podzał modelu dynamk robota na część zwązaną z platformą moblną (tj opsującą ruch całego robota) na częśc zwązane z poszczególnym efektoram Przez efektory rozume sę te zespoły robota, które są w nterakcj z otoczenem W omawanym przypadku moblnych robotów kołowych efektoram są koła jezdne, natomast w przypadku nnych robotów mogą to być manpulatory, pedpulatory td Model dynamk robota zbudowano w oparcu o równana Newtona-Eulera W opracowanej metodyce wyznaczane składowych normalnych sł reakcj dzałających na poszczególne efektory następuje na podstawe modelu ch kontaktu z podłożem dla znanego położena efektorów danego modelu otoczena Na podstawe model efektorów (w analzowanym przypadku są to modele opon) wyznaczane są pozostałe składowe sł momentów sł reakcj występujące w mejscach kontaktu stateczne mogą one być zredukowane do punktów zamocowana efektorów do platformy moblnej Na podstawe uzyskanych równań możlwe jest rozwązane zadana prostego lub odwrotnego dynamk Należy podkreślć, że dzęk zastosowanu proponowanego podejśca opracowany model składa sę z modułów, co pozwala na łatwą jego modyfkację w celu opracowana nnego robota, np zawerającego nną lczbę kół jezdnych Model dynamk robota opracowano stosując założena upraszczające: opory ruchu ośrodka, w którym porusza sę robot są pomjane, platformę moblną robota tworzy jedna lub wększa lczba brył sztywnych, pomja sę odkształcene podłoża pod wpływem ruchu robota, pomja sę luzy w parach knematycznych w przekładnach robota Pomnęce oporów ruchu jest uzasadnone, gdyż moblne roboty lądowe, zwłaszcza małe, poruszają sę z newelkm prędkoścam Poneważ przyjmuje sę, że opory ruchu zależą od kwadratu prędkośc, węc dla typowego zakresu prędkośc ruchu moblnych robotów kołowych są one pomjalne małe Take założene jest stosowane w przeważającej lczbe prac z zakresu modelowana dynamk robotów kołowych Założene dotyczące traktowana platformy moblnej jako bryły sztywnej lub zboru brył sztywnych wynka z faktu, że borąc pod uwagę sły dzałające na robota, deformacje tych brył pod wpływem ruchu robota są newelke mają charakter odkształceń sprężystych Założene to jest też powszechne stosowane w lteraturze 55

56 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych Założene braku odkształcalnośc podłoża pod wpływem ruchu po nm robota stanow dosyć duże uproszczene Jest ono uzasadnone w przypadku ruchu po typowych dla samochodów osobowych rodzajach podłoża, jak asfalt, beton, utwardzona droga tp jest powszechne stosowane w lteraturze (przykłady takego podejśca można odnaleźć w pracach [, 55, 3, 48]) Zasadne jest także, gdy robot porusza sę po podłożach występujących w budynkach, jak różnego typu wykładzny, posadzk tp W przypadku ruchu robota po mękkm lub sypkm podłożu należałoby uwzględnć odkształcalność podłoża pracowana metodyka, ze względu na jej unwersalność umożlwa uwzględnene odkształcalnośc podłoża przez rozbudowane modelu kontaktu opony z podłożem W tym celu można zastosować znane z lteratury zależnośc dla różnego rodzaju podłoża [9] W parach knematycznych robotów moblnych występują dokładne pasowana, stąd występujące luzy są pomjalne małe Z kole luzy w przekładnach mają znaczene przede wszystkm podczas zmany kerunku obrotu kół jezdnych, kedy to następuje kasowane luzów Zmana taka ne występuje jednak często w typowych warunkach eksploatacj moblnych robotów kołowych Efekt kasowana luzów może także wystąpć w chwl rozpoczęca jazdy robota zależy od tego, w jak sposób robot zakończył poprzedn ruch Luzy w parach knematycznych przekładnach zębatych są pomjane w przeważającej wększośc prac dotyczących dynamk robotów kołowych [4, 7,, 48, 4, 47] W pracy zakłada sę, że koła jezdne robota są wyposażone w podatne na odkształcena opony deformujące sę pod wpływem dzałających na ne sł Wynka to z faktu, że koła jezdne robotów moblnych posadają opony pneumatyczne podobne jak pojazdy samochodowe; lub ch opony są wykonane z materałów typu guma albo vton mają elastyczne wkłady z panek; są powlekane gumą lub nnym materałem sprężystym Dlatego pod wpływem sł dzałających na robota, podobne jak w przypadku pojazdów samochodowych [55, 67, 35], opony te odkształcają sę Poneważ roboty moblne poruszają sę ze zmenną prędkoścą, węc zmane ulegają sły dzałające na robota, stąd odkształcena opon ulegają zmane w trakce ruchu Ma to wpływ na ruch platformy moblnej, która może ulegać przechylanu pochylanu Przygotowane modelu moblnego robota kołowego zgodne z proponowaną metodyką przebega w klku następujących po sobe krokach: a) wyznaczene, na podstawe modelu otoczena (zawerającego nformację o jego geometr rodzaju podłoża), współczynnków tarca/przyczepnośc oporu toczena opsujących współpracę opony z podłożem (w postac wektora μ, np μ = [μ p, f r ] T ); b) oblczene deformacj promenowej opon Δr na podstawe znanej geometr podłoża geometr opon oraz pozycj środków geometrycznych kół jezdnych (tj wektorów r A ); c) wyznaczene składowych normalnych sł reakcj T F z dzałających na poszczególne koła jezdne na podstawe modelu kontaktu tych kół z podłożem, w układach zwązanych z mejscam kontaktu; d) oblczene wartośc poślzgu wzdłużnego λ kąta poprzecznego znoszena α dla kół jezdnych na podstawe aktualnych wartośc składowych prędkośc 56

57 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych A A środków geometrycznych kół v x, vy oraz prędkośc kątowych ch obrotu własnego θ ; e) wyznaczene wartośc składowych sł momentów sł reakcj ( T F x, T F y, T T x, T T y, T T z ) w mejscach kontaktu kół jezdnych z podłożem z przyjętego modelu opony na podstawe obcążena kół jezdnych (tj wartośc składowych normalnych T F z ) oraz wartośc poślzgu wzdłużnego λ, kąta poprzecznego znoszena α, kąta przechylena koła γ (ang camber angle) oraz współczynnków przyczepnośc/tarca dla -tego koła jezdnego podłoża, po którym sę porusza, a które zależą mn od rodzaju ogumena, obcążena koła, cśnena powetrza w opone (dla opon pneumatycznych) [35]; f) zredukowane sł momentów sł reakcj dzałających na koła jezdne do początków układów odnesena tych kół (przy założenu, że układy te ne obracają sę wraz z nm), tj oblczene wektorów A F, A T; g) oblczene na podstawe dynamcznych równań ruchu kół jezdnych parametrów kątowych ruchu kół jezdnych dla znanych momentów napędowych (w przypadku zadana prostego dynamk) lub momentów napędowych dla założonych parametrów kątowych ruchu tych kół (zadane odwrotne dynamk) oraz sł momentów sł reakcj wewnętrznych; h) wyznaczene parametrów ruchu platformy moblnej na podstawe dynamcznych równań ruchu opsujących całego robota (gdy platforma moblna składa sę z klku członów, wówczas należy uwzględnć dodatkowe układy dynamcznych równań ruchu) Na podkreślene zasługuje fakt, że proponowana metodyka jest na tyle unwersalna, że może zostać wykorzystana do opracowana modelu dynamk robota moblnego o dowolnej lczbe kół stykających sę z podłożem Zastosowano tu koncepcję modelowana fzycznego, analogczną do stosowanej w przybornku SmScape paketu MATLAB/Smulnk lub do tzw koncepcj model częścowych [37] Idea takego podejśca polega na dekompozycj modelu na szereg mnejszych elementów składowych, odpowadających fzycznym komponentom układu Każdy pojedynczy komponent (blok) może zostać wykorzystany do opracowana modelu nnego układu W analzowanym przypadku opracowane modele platformy moblnej kół jezdnych, uwzględnające modele kontaktu opony, mogą być po zmane ch parametrów wykorzystane do opracowana model nnych robotów moblnych, np zawerających nną lczbę kół jezdnych Schemat deowy modelu dynamk moblnego robota kołowego, opracowanego za pomocą opsanej metodyk, został przedstawony na rys 3 Prostokątnym blokam zaznaczono poszczególne modele składowe użyte w metodyce, natomast blokam owalnym welkośc wejścowe wyjścowe Na schemace pomnęto przekształcena parametrów knematycznych robota Proponowana metodyka umożlwa wyznaczene, dla zadanego wymuszena ruchu, szukanej odpowedz układu, tj wyznaczene parametrów kątowych ruchu kół jezdnych dla dzałających momentów napędowych (zadane proste dynamk) lub wyznaczene momentów napędowych dla zakładanych parametrów kątowych tych kół (zadane odwrotne dynamk) Należy zwrócć uwagę, że w obu przypadkach wyznaczany jest ruch platformy moblnej, który można także traktować jako 57

58 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych odpowedź układu uch platformy moblnej wynka z określonych, na podstawe modelu kontaktu oraz modelu opon, sł momentów sł reakcj podłoża ys 3 Schemat deowy modelu dynamk moblnego robota kołowego opracowanego za pomocą autorskej metodyk, wraz z zaznaczenem kluczowych parametrów W welu modelach dynamk moblnych robotów kołowych, w których pomja sę występowane poślzgu kół jezdnych, odpowedzą układu są wyłączne parametry kątowe kół jezdnych lub momenty napędowe, co ma odzwercedlena w pracach [7, 3, 48, 3] W takch przypadkach parametry ruchu platformy moblnej uzyskuje sę w wynku rozwązana zadana prostego knematyk ne zaś jako wynk dzałana modelu dynamk robota 3 Model otoczena W modelu otoczena zadawana jest geometra typ podłoża, z którego wynkają parametry współpracy koła jezdnego z podłożem W zależnośc od rodzaju wybranego modelu opony korzysta sę z różnych współczynnków służących do opsu nterakcj opony z podłożem Zakłada sę, że: podłoże jest suche, ne odkształca sę pod wpływem dzałających na ne sł, współczynnk charakteryzujące nterakcję efektorów z poszczególnym rodzajam podłoża mają jednakowe wartośc we wszystkch kerunkach, współczynnk te ne zależą od prędkośc ruchu robota W przypadku, gdy efektorem jest koło jezdne robota, nterakcja opony z podłożem opsywana jest za pomocą współczynnków przyczepnośc oporu toczena dla par opona-podłoże Należy zwrócć uwagę, że ze względu na szczególny charakter współpracy kół jezdnych z podłożem, zazwyczaj wprowadza sę pojęce współczynnków przyczepnośc zamast współczynnków tarca Ponadto wyróżna sę współczynnk przyczepnośc przylgowej µ p oraz poślzgowej µ k, który jest równoważny współczynnkow tarca knetycznego, stąd pracy oznaczany jest tym samym 58

59 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych symbolem Współczynnk przyczepnośc przylgowej µ p dotyczy przypadku, w którym na koło jezdne toczące sę po pozomym podłożu dzała maksymalna wartość składowej wzdłużnej sły reakcj podłoża Przypadek tak występuje dla poślzgu wzdłużnego wynoszącego ok ± % [35] Drug skrajny przypadek, w którym zastosowane ma współczynnk przyczepnośc poślzgowej µ k dotyczy poślzgu wzdłużnego wynoszącego ± % Mędzy współczynnkem tarca statycznego µ s oraz współczynnkam przyczepnośc przylgowej µ p poślzgowej µ k (współczynnkem tarca knetycznego) zachodz zwązek: µ s > µ p > µ k To, że współczynnk przyczepnośc przylgowej µ p ma wartość pośredną mędzy współczynnkam tarca statycznego knetycznego wynka z faktu, że w trakce toczena sę koła jezdnego powerzchna styku opony z podłożem zawera obszar przyczepnośc (adhezj) ślzgana, dla których obowązują odpowedno współczynnk µ s µ k bszary te zlustrowano na rys 3 na podstawe [88] Należy zauważyć, że wartość współczynnka przyczepnośc przylgowej µ p dla danej opony zależy ne tylko od rodzaju stykających sę powerzchn, ale także od ukształtowana beżnka opony ys 3 bszary przyczepnośc ślzgana występujące na styku opony z podłożem [88] W przypadku nektórych model opon, np w modelu szczotkowym, nterakcję opon z podłożem opsuje sę za pomocą współczynnków tarca, wyróżnając współczynnk tarca statycznego µ s knetycznego µ k, przy czym µ s > µ k Przyjęte w pracy wartośc współczynnków opsujących nterakcję opon z różnym rodzajam podłoża zestawono w tab 3 Wartośc współczynnków tarca ślzgowego przyczepnośc dla współpracy opon robota SCUT (będącego przedmotem badań) oraz wykładzny dywanowej wykładzny PCV określono w wynku badań emprycznych W tym celu użyto równ pochyłej, do której przymocowywano badany materał podłoża Następne na równ pochyłej umeszczono opony robota zwększano kąt nachylena równ pochyłej aż do osągnęca grancznego kąta, przy którym rozpoczynał sę ruch opon 59

60 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych Tab 3 Wartośc współczynnków tarca ślzgowego, przyczepnośc oporu toczena opsujące nterakcję opon z wybranym rodzajam podłoża wg [5, 35] nnych źródeł odzaj podłoża Współczynnk tarca statycznego μ s Współczynnk przyczepnośc przylgowej μ p Współczynnk tarca knetycznego μ k Współczynnk oporu toczena f r asfalt beton,,85,75,5 wykładzna dywanowa,5,87,76,3 wykładzna PCV,6,5,45, walcowany żwr,7,6,55, neutwardzona droga,8,68,65,5 ubty śneg,4,,5,3 lód,,,7, W badanach symulacyjnych szukane współczynnk charakteryzujące współpracę opony z podłożem określa sę korzystając z zależnośc: gc( μ = x, y ) (3) gdze: gc( x A, y A ) funkcja opsująca wektor współczynnków charakteryzujących współpracę opony z podłożem w wybranym mejscu podłoża (tj dla danych współrzędnych x A y A ) Współczynnk charakteryzujące współpracę opony z podłożem zależą od przyjętego modelu opony podłoża W przypadku sztywnego podłoża użyca modelu HB Panejk [55], są nm współczynnk przyczepnośc przylgowej współczynnk oporów toczena Dla tzw modelu szczotkowego opony [97] równeż sztywnego podłoża, zamast współczynnka przyczepnośc przylgowej wprowadza sę współczynnk tarca statycznego knetycznego 3 Model kontaktu opony z podłożem Jako model kontaktu rozume sę model umożlwający wyznaczene sły dzałającej na oponę na kerunku normalnym do powerzchn jej styku z podłożem Zgodne z przyjętym założenam na początku nnejszego rozdzału, w opsywanym modelu kontaktu stosowanym w pracy zakłada sę, że podłoże jest sztywne, czyl ne odkształca sę pod wpływem dzałających na ne sł, natomast odkształcalne są elementy efektorów (opon) mających kontakt z podłożem Ponadto, zakłada sę, że obszar styku jest płask występuje tylko jeden obszar styku, co przyjmuje sę w wększośc prac dotyczących modelowana współpracy opony z podłożem ze względu na to, że jest to sytuacja typowa Jeśl przedmotem badań byłoby pokonywane przeszkód terenowych (typu krawężnk), należałoby przyjąć bardzej złożony model kontaktu opony z podłożem uwzględnający welopunktowy styk Aby uwzględnć podatność podłoża, można zastosować model opracowany w [9] lub w pracach z zakresu terramechank A A Szacunkowe wartośc uzyskane w wynku własnych badań dośwadczalnych Wartość współczynnka przyjęta w nnejszej pracy 6

61 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych W przypadku koła jezdnego robota moblnego deformacja promenowa opony Δr wyznaczana jest na podstawe znanej geometr podłoża, promena neodkształconej opony r, pozycj środka geometrycznego opony oraz jej orentacj względem neruchomego układu odnesena W przypadku pozomego podłoża oraz newelkego przechylena/pochylena robota kół jezdnych, deformację -tego koła jezdnego można wyznaczyć ze wzoru: ( gh( x, y ) + r z, ) Δ r = max, (3) A gdze: r promeń neodkształconej opony -tego koła jezdnego, z A ponowa współrzędna środka geometrycznego tego koła w neruchomym układze odnesena, gh ( x A, y A ) funkcja wyznaczająca wysokość podłoża, tj wysokość nad płaszczyzną xy układu neruchomego, dla zadanych współrzędnych x A, y A Deformacja opony wyznaczana jest w środku obszaru styku opony z podłożem Mus ona być neujemna, dlatego stosuje sę dodatkową funkcję max(, ) Na podstawe znanej deformacj promenowej opony wyznaczana jest wartość składowej normalnej sły reakcj podłoża w mejscu kontaktu W przypadku newelkego przychylena/pochylena robota podłoża, składową normalną sły reakcj podłoża w układze zwązanym z mejscem kontaktu można wyznaczyć z zależnośc: T er Fz = kr Δr + cr sgn ( Δr ) Δr, d Δr = Δr, (33) dt gdze: k r współczynnk sztywnośc promenowej opony, c r współczynnk tłumena promenowego opony, e r wykładnk potęg określający nelnowość charakterystyk sztywnośc promenowej opony (ang force exponent) [4], Δ r prędkość zman deformacj promenowej opony, sgn( ) funkcja określająca znak argumentu W przypadku newelkego przychylena/pochylena robota podłoża przyjmuje sę, że F Tz T F z, czyl składowa sły reakcj normalna do podłoża ma tę samą wartość wyrażoną w neruchomym układze odnesena układze zwązanym z kontaktem koła jezdnego z podłożem Jeżel znana jest charakterystyka sztywnośc opony, składową normalną sły reakcj podłoża w układze zwązanym z mejscem kontaktu można określć ze wzoru: T F z kr A ( Δr ) + cr ( Δr ) Δr = f sgn, A d Δr = Δr, (34) dt w której f kr jest funkcją opsującą charakterystykę sztywnośc -tej opony Charakterystykę tego typu otrzymano w wynku badań emprycznych opon zastosowanych w roboce SCUT, który jest analzowany w nnejszej pracy (podrozdzał 4) Badana te były realzowane w ramach pracy dyplomowej [3] pod kerunkem autora nnejszego opracowana Z przeprowadzonych badań dośwadczalnych wynka, że charakterystykę sztywnośc opony można bardzo dobrze opsać za pomocą welomanu czwartego stopna ze względu na deformację promenową opony, tj za pomocą funkcj: 6

62 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych f kr = 4 j= j k Δr, (35) gdze: k rj współczynnk welomanu Badana zostały przeprowadzone z użycem wag cyfrowej, która umożlwła wyznaczene dzałającej na oponę sły normalnej T F z wysokoścomerza suwmarkowego, za pomocą którego zmerzono deformację promenową opony Δr Badana opona była oponą nepneumatyczną stotne różnła sę od opon samochodowych pod względem geometr, konstrukcj rodzaju użytych materałów pona mała średncę zewnętrzną d =,93 m oraz szerokość w =,7 m Zewnętrzna część opony była jednorodna wykonana z vtonu We wnętrzu znajdowało sę wypełnene w postac pank Stanowsko badawcze uzyskaną w wynku badań charakterystykę sztywnośc promenowej opony przedstawono na rys 33a Natomast na rys 33b zlustrowano zarówno charakterystykę T F z (Δr ) uzyskaną w wynku pomaru, jak charakterystykę T F za (Δr ) wynkającą z aproksymacj tej charakterystyk r j a) b) 6 T F z (N) T F za (N) Δr (m) ys 33 Badana dośwadczalne opony robota SCUT: wyznaczane charakterystyk sztywnośc promenowej opony na stanowsku badawczym (a), otrzymana charakterystyka jej przyblżene za pomocą welomanu czwartego stopna (b) 6

63 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych W wynku aproksymacj uzyskano funkcję opsującą zmanę sły normalnej T F z w zależnośc od deformacj promenowej Δr w postac: T F za =,66-3 (Δr ) 4,93 - (Δr ) 3 + 5,83-8 (Δr ) + 5,9-5 Δr (36) Z uzyskanego przebegu T F z (Δr ) wdać, że charakterystyka ta może być także aproksymowana w zakrese T F z od N do N za pomocą ln prostej, dla której k r = 8 97 N/m trzymane wynk badań emprycznych wykorzystano na etape badań symulacyjnych (podrozdzał 5), w których dla uproszczena założono lnową charakterystykę sztywnośc promenowej opony wypełnena, przyjmując współczynnk k r = N/m W badanach symulacyjnych dla typowych opon samochodowych zazwyczaj przyjmuje sę współczynnk tłumena promenowego opony c r (Ns/m) o dwa rzędy mnejszy w stosunku do współczynnka sztywnośc promenowej k r (N/m) przy założenu lnowej charakterystyk sztywnośc Przez analogę do charakterystyk sztywnośc, w mejsce lnowej charakterystyk tłumena opony można wprowadzć charakterystykę nelnową wynkającą z badań dośwadczalnych opony 33 Model opony W pracy zostaną zaprezentowane wynk badań modelu współpracy opon robotów moblnych z podłożem, bazującego na tzw zależnośc Magc Formula opracowanej przez HB Pacejkę Należy podkreślć, że na ruch robotów moblnych, mają także wpływ nne zjawska fzyczne, jak drgana mechanczne [76] Zagadnene to ne jest jednak analzowane w nnejszej pracy 33 Poślzg wzdłużny poprzeczny W przypadku modelowana charakterystyk opony koneczne jest wprowadzene pojęca poślzgu wzdłużnego poprzecznego W lteraturze można spotkać różne konwencje dotyczące poślzgu wzdłużnego (nazywany też poślzgem obwodowym [7]), mn w postac [4, 6, 55, 4, 35]: r θ λ = d, A v x A vx λ =, r θ d λ = v re θ, r θ A x e * θ θ λ = max * ( θ, θ ), (37) gdze: θ A prędkość kątowa obrotu własnego -tego koła, θ * = vx r prędkość d kątowa, jaką ma ogumone koło jezdne toczące sę bez poślzgu wzdłużnego z prędkoścą wzdłużną środka geometrycznego równą A v, x rd = r Δz promeń toczącego sę (odkształconego) koła, r = v θ tzw promeń efektywny A toczena e x Promeń toczącego sę koła r d uwzględna deformację opony Gdy jest ona newelka można przyjąć, że r d = r Nezależne od zastosowanego wzoru, zarówno poślzg wzdłużny jak poprzeczny są wyrażane jako loraz prędkośc poślzgu prędkośc obwodowej koła jezdnego lub składowej wzdłużnej prędkośc środka geometrycznego koła, czyl: 63

64 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych A vsx κ x = λ =, A v, v } { x o A vsy κ y =, (38) A v, v } { x o przy czym prędkość poślzgu na kerunku wzdłużnym poprzecznym określane są z zależnośc: A A A A v = v v, v = v, (39) sx x o sy y a prędkość obwodowa jako: v o = θ r, (3) gdze: A v x A v y to odpowedno składowa wzdłużna poprzeczna prędkośc środka geometrycznego koła jezdnego Wyznaczone z zależnośc (39) prędkośc poślzgu są słuszne w przypadku odpowedno dużej sztywnośc wzdłużnej poprzecznej opony Wartość poślzgu podaje sę w przedzale (, ) lub alternatywne ( %, %) Należy zauważyć, że wybór zależnośc na poślzg jest kluczowy podyktowany tym, czy analzuje sę toczene koła jezdnego pod wpływem momentu napędowego czy też jest ono hamowane lub jest swobodne W przypadku napędzanego koła jezdnego korzystne jest odneść prędkość poślzgu do prędkośc obwodowej tego koła v o, natomast gdy jest ono hamowane lub swobodne, odneść do prędkośc wzdłużnej jego środka geometrycznego Ze względu na to, że w pracy będze analzowany ruch moblnych robotów kołowych w pełnym zakrese poślzgu, dlatego przyjęta do badań defncja poślzgu pownna uwzględnać wszystke możlwe przypadk ruchu, a także jego brak W zwązku z tym w ramach pracy opracowano defncję poślzgu, w której wyróżnkem tego czy koło jezdne jest napędzane czy też hamowane lub swobodne jest wartość momentu napędowego τ y W przypadku robota moblnego wartość ta zakładana jest jako znana W zależnośc berze sę także pod uwagę przypadek koła neruchomego Poślzg dla -tego koła jezdnego w przypadku założonego ruchu do przodu defnuje sę zatem w postac: λ = κ x A vsx v = A vsx vo A x dla dla dla dla dla τ τ y y τ y A vx τ < v < = v v y A vx v A x A vx o o o = = v o = (3) gdze κ x = λ Kolejne zależnośc układu (3) odpowadają następującym przypadkom: koło przemeszcza sę bez obracana (np koło jest zablokowane przy hamowanu), koło jest hamowane, koło jest neruchome lub toczy sę bez poślzgu, koło jest napędzane, 64

65 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych koło obraca sę w mejscu (tzw buksowane) W przypadku ruchu koła jezdnego do tyłu obowązuje analogczna zależność, przy czym zmenają sę na przecwne znak v o, A v x τ y oraz znak nerównośc Charakterystyczne przypadk toczena sę koła jezdnego odpowadające m wartośc poślzgu wzdłużnego zebrano w tab 3 [7] Tab 3 Przypadk toczena sę koła jezdnego [7] Koło jezdne toczące sę swobodne Koło jezdne napędzane (τ y > ) Koło jezdne hamowane (τ y < ) bez poślzgu z poślzgem z poślzgem z poślzgem z poślzgem κ x = < κ x < κ x = > κ x > κ x = A vx = θ A rd vx θ rd = < A A v x = vx > θ rd θ = A vsx = vx θ r A vsx = θ A A r v d sx = vx θ r A A d v sx = v A κ = v θ A A r κ = v v A A v sx d x sx d x sx x x Wpływ poślzgu wzdłużnego na słę wzdłużną (aktualną wartość współczynnka przyczepnośc μ x ) zlustrowano na rys 34 ys 34 Wpływ poślzgu wzdłużnego po słę wzdłużną [35] Z pokazanego przebegu wdać, że sła wzdłużna jest równa dla zerowego poślzgu wzdłużnego Wynka stąd wnosek, że wystąpene poślzgu wzdłużnego jest warunkem konecznym zastnena toczena sę koła jezdnego, gdy znajduje sę ono na pozomym podłożu, gdyż aby rozpoczął sę ruch na koło jezdne mus zadzałać sła wzdłużna dmenna sytuacja może być w przypadku, gdy robot znajduje sę 65

66 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych na równ pochyłej, kedy to ruch robota może wywołać sła cężkośc W trakce ruchu ustalonego, jak zauważono w pracy [55], gdy koło jezdne ne jest obcążone momentem napędowym lub hamującym wówczas poślzg wzdłużny może także być równy Poneważ w praktyce w parze knematycznej w trakce ruchu będą występowały także sły tarca, sytuacja taka wystąp w przypadku, gdy suma momentów napędowych, hamujących tarca w parach knematycznych będze równa Dodatkowe opory ruchu, które mają w tym przypadku znaczene, zwązane są z zespołam napędowym, w tym z przekładnam W ramach prac zwązanych z modelowanem współpracy opony z podłożem, np w [63], przyblżona wartość aktualnego współczynnka przyczepnośc μ x wylczana jest z modelu Kencke a [8]: μ λ λ μ x =, (3) λ + λ p p p na podstawe którego wyznaczana jest wartość sły wzdłużnej jako: T F x = μ F, (33) gdze λ p oznacza wartość poślzgu wzdłużnego odpowadającą współczynnkow przyczepnośc przylgowej µ p (rys 34) Model Knecke a ma jednak tę wadę, że wartość współczynnka przyczepnośc jest zbyt nska dla dużych wartośc poślzgu, tj dobrze odwzorowuje on zależność µ x (λ ) dla wartośc λ w zakrese λ p λ λ p Z wynków badań dośwadczalnych dla opon pojazdów samochodowych wynka także, że współczynnk przyczepnośc μ x dla opony podłoża zmena sę praktyczne lnowo w zakrese μ p / μ x μ p /, co występuje dla odpowadającego jemu zakresow poślzgu wzdłużnego λ c λ λ c (rys 34) [35] W takm przypadku można skorzystać ze wzoru: T x μ z c μ x = λ, (34) λc gdze: μ c = μ p /, λ c λ λ c Zgodne z [88, 34] nnym źródłam, wartość sły wzdłużnej zależy od tzw przyczepnośc opony, czyl zdolnośc powerzchn opony pojazdu do przylegana do podłoża Według zasad mechank klasycznej sła tarca zależy od współczynnka tarca pomędzy współpracującym powerzchnam oraz od sły reakcj normalnej wartośc tej ne decyduje welkość powerzchn przylegana Pogląd ten ne uwzględna jednak własnośc opony, gdyż ne stanow ona bryły sztywnej jej elastyczność determnuje nny charakter styku z podłożem Klasyczne operane sę przy określanu zjawsk zachodzących na styku opona-jezdna na współczynnku tarca jest newystarczające nepełne Z tego względu wprowadza sę współczynnk przyczepnośc przylgowej poślzgowej Najwększa wartość sły wzdłużnej występuje dla poślzgu wzdłużnego wynoszącego około % [35] dpowada ona loczynow sły normalnej wartośc współczynnka przyczepnośc przylgowej μ p Z kole wartość sły wzdłużnej dla maksymalnego poślzgu wzdłużnego stanow loczyn sły normalnej współczynn- 66

67 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych ka przyczepnośc poślzgowej, który jest równoważny współczynnkow tarca knetycznego, dlatego dla obu stosuje sę wspólne oznaczene μ k Poślzg poprzeczny jest określany za pomocą współczynnka poślzgu poprzecznego, który wyraża stosunek prędkośc poprzecznej do prędkośc wzdłużnej środka geometrycznego koła jezdnego Pomędzy wektorem prędkośc środka geometrycznego koła jezdnego, a płaszczyzną tego koła wprowadza sę tzw kąt poprzecznego znoszena α (rys 35) Kąt ten (dla os układu odnesena przyjętych wg tzw konwencj IS [55]) jest oblczany w nnejszej pracy wg zależnośc: α = A arctg ( vy, v A x ) dla dla A y A vx v =, > (35) Należy zauważyć, że w powyższej zależnośc w manownku brana jest pod uwagę wartość bezwzględna prędkośc wzdłużnej A v, gdyż w ogólnym przypadku x kąt poprzecznego znoszena α może być wększy od ±π/ ys 35 Konwencja opsu welkośc knematycznych modelu koła Fakt ten ne jest zazwyczaj uwzględnany w lteraturze, w której typowo podaje sę zależność na tangens tego kąta w postac [55, 35]: tg( α )= v v (36) A y A x Standardowa zależność ne obowązuje dla przypadku, gdy A v x < Sytuacja taka jest netypowa dla pojazdów samochodowych, natomast występuje w przypadku obracana analzowanego w pracy robota SCUT wokół os ponowej (podrozdzał 74) Jeśl wartość składowej prędkośc A v =, tangens kąta α jest równy zero (unka sę osoblwośc typowego równana, zwązanej z dzelenem przez zero) W celu oblczena kąta określającego kerunek prędkośc ślzgana wprowadza sę w pracy zależność: x 67

68 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych β = A arctg ( vsy, v A sx ) dla dla A sy A vsx który umożlwa wyznaczene tego kąta w pełnym przedzale v =, >, (37) 33 Model opony HB Pacejk Do badań symulacyjnych został wybrany model opony bazujący na zależnośc Magc Formula HB Panejk [3] ze względu na prostotę jego mplementacj weryfkacj Model ten zostane zastosowany dla przypadku ruchu robota po pozomym podłożu Jest on dedykowany do wsparca testów jazdy pojazdów samochodowych projektowana układów sterowana [6] W celu wyznaczena składowej wzdłużnej poprzecznej sły w mejscu kontaktu opony z podłożem, czyl T F x T F y oraz momentu stablzującego T T z (ang self-algnng torque) korzysta sę z zależnośc Magc Formula, która została opracowana na podstawe badań emprycznych przeprowadzonych dla opon samochodowych Welkośc te wyznacza sę na podstawe wartośc poślzgu wzdłużnego λ, kąta poprzecznego znoszena α, maksymalnej wartośc współczynnka przyczepnośc przylgowej μ p, składowej normalnej sły reakcj podłoża w mejscu kontaktu T F z oraz kąta przechylena koła γ (ang camber angle) Zależnośc Magc Formula [55, 35] defnuje sę w następujący sposób: l x = X + S, X = λ, α, α }, (38) l l l hl l { [ C arctg( B x E ( B x arctg( B x )))] y = D sn, (39) Y y + S l l l vl l l T T T =, Y = { F F, T } l l x l l y z l l,, (3) gdze: l = {x, y, z}, a współczynnk B l, C l, D l, S hl, S vl są oblczane wg [55, 35] w następujący sposób: BCD D x a T T = D = μ F, Dz = a z ( Fz ) + az F, (3) z y ( F ) + a T p z T T 3x, z z 4x, z z T x, z =, T y a3 y sn[ a4y arctg( a5 y Fz )] a5 x, z Fz e F BCD =, (3) C x =,65, C y =,5 3 C z =,4, (33) B l ( a l γ ) BCDl Cl Dl =, E l a = F a a T T 6l ( z ) + 7l z + 8l, (34) 3l F γ a S vl = a F + a F ] γ (35) T T [ l ( z ) l z 3 Wartość współczynnka przyjęta w nnejszej pracy W lteraturze zazwyczaj przyjmuje sę C y =,3 68

69 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Kolejność argumentów Y l w równanu (3) odpowada kolejnośc argumentów X l w równanu (38) jednocześne wynka z kolejnośc współrzędnych l W pracy przyjęto wartość współczynnka C y =,5 w celu lepszego dopasowane charakterystyk T F y (α ) dla dużych wartośc kąta α Typowa wartość tego współczynnka wynos C y =,3 sprawdza sę bardzo dobrze w węższych przedzałach kąta α (tj dla mnejszych bezwzględnych wartośc tego kąta) Zmana znaków dla T F y T T z w stosunku do zależnośc podanych w [55, 35] wynka z przyjęca układu odnesena zgodnego z konwencją IS Wartość T F z wstawa sę do powyższych wzorów w (kn), a kąt γ w ( ) Na rys 36a przedstawono grafczną lustrację zależnośc Magc Formula, a na rys 36b przebeg T F y (α ) T T z (α ) dla konwencj IS ys 36 Ilustracja grafczna zależnośc Magc Formula [55, 35] (a) oraz przebeg T F y (α) T T z (α) z uwzględnenem znaków tych welkośc wg konwencj IS (b) Występujące w równanach welkośc mają następującą nterpretację: B l współczynnk sztywnośc (ang stffness factor), C l współczynnk kształtu (ang shape factor), D l wartość maksymalna (ang peak value), E l współczynnk krzywzny (ang curvature factor), S hl przesunęce pozome (ang horzontal shft), S vl przesunęce ponowe (ang vertcal shft) Wartośc współczynnków a a 3 zaczerpnęte z [35] zestawono w tab 33 Tab 33 Współczynnk w zależnoścach Magc Formula [35] a a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 T F x (N),3 44, 4,9 6,,69,6,56,85 4 T F y (N),, 78, 5,46 5,8,,354,77 T T z (Nm),7,8,86,73,,7,643 4,4 a 9 a a a a 3 T F y (N),8, 4,8,, T T z (Nm),5,66,945,3,7 4 Przyjęta wartość współczynnka, w lteraturze wynos zazwyczaj,486 5 Przyjęta wartość współczynnka, w lteraturze wynos zazwyczaj,8 69

70 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych Nektóre wartośc współczynnków a a 3 zmenono w celu lepszego dopasowana przebegów T F x (λ ) T F y (α ) w końcowych zakresach odpowedno λ oraz α Standardowe wartośc tych współczynnków zapewnają dobre dopasowane przebegów T F x (λ ) T F y (α ) do przebegów rzeczywstych w wąskm przedzale wartośc odpowedno λ oraz α Nezależne od wyboru modelu opony na koło jezdne dzałają sły momenty sł zwązane z kontaktem opony z podłożem oraz z zamocowanem koła do platformy moblnej (rys 37) ys 37 Ilustracja sł momentów sł zwązanych z kontaktem opony z podłożem (a), sły momenty sł reakcj w mejscu zamocowana koła do platformy moblnej (b) W modelach opon pomnęto wpływ momentu przechylającego (ang overturnng moment) Wpływ tego momentu na dynamkę koła jezdnego będze analzowany w ramach dalszych prac badawczych autora Na toczene sę koła jezdnego ma wpływ moment oporów toczena (ang rollng resstance moment), który wyznacza sę z zależnośc: ( θ ) T T Ty = Fz r f r sgn, (36) gdze: f r współczynnk oporów toczena Moment oporów toczena zwązany jest z odkształcenem opony, a nekedy równeż z nerównoścam odkształcenem podłoża Współczynnk oporów toczena zależy od rodzaju gładkośc podłoża oraz od kwadratu prędkośc [35] Z uwag na newelke prędkośc, z jakm poruszają sę analzowane roboty, przyjmuje sę stałe wartośc tego współczynnka Moment stablzujący T M z wynka z faktu, że dzałająca na koło ogumone sła T F y jest przemeszczona na kerunku os x w stosunku do położena os symetr ( zarazem os obrotu własnego) koła jezdnego Poneważ welkośc T F x, T F y T T z wyznaczane w modelu opony bazującym na zależnośc Magc Formula, są funkcją poślzgu wzdłużnego, kąta poprzecznego 7

71 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych znoszena, kąta przechylena koła oraz jego obcążena, dlatego tak model ne zawsze będze dobrze dzałał np w przypadku, gdy robot będze znajdował sę na nachylonym terene Wówczas bardzej korzystne będze zastosowane modelu szczotkowego opony 333 Zbór charakterystyk modelu opony Właścwośc modelu opony mogą być jednoznaczne scharakteryzowane za pomocą zboru charakterystyk tzw odcsku palca modelu opony (ang tre fngerprnt) [73], czyl unkalnego dla danego modelu opony zestawu charakterystyk: T F x (λ ), T F y (α ), T M z (α ), T M z ( T F y ), T F y ( T F x ), T M z ( T F x ) Część z tych charakterystyk jest sporządzana dla różnego obcążena koła, część dla różnego kąta przechylena koła (ang camber angle), a pozostałe dla różnych kątów poprzecznego znoszena Przykład tzw odcsku palca modelu opony przedstawono na rys 38 [73] Wdoczne na rysunku charakterystyk zostały wygenerowane w oparcu o zależność Magc Formula HB Panejk [55] Generując je ustawono ogranczena na welkośc wejścowe, węc w nektórych mejscach charakterystyk te są błędne (są nm pozome lne na rys 38a, c, f), co skomentowano szczegółowo w pracy [73] a) b) czysty poślzg czysty poślzg F x (N) F y (N) λ (%) α ( ) c) d) czysty poślzg czysty poślzg M z (Nm) M z (Nm) α ( ) F y (N) 7

72 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych Przez model koła jezdnego rozume sę model umożlwający wyznaczene momentów napędowych dla zadanych parametrów ruchu w parach knematycznych (występujących pomędzy kołam jezdnym platformą moblną) lub momentów napę- e) f) czysty poślzg, przechylone koło czysty poślzg, przechylone koło F y (N) M z (Nm) α ( ) α ( ) g) złożony poślzg, h) neprzechylone koło F z = 5 (N) złożony poślzg, neprzechylone koło F y (N) M z (Nm) F x (N) F x (N) ys 38 Przykładowy zbór charakterystyk modelu opony tzw odcsku palca modelu opony [73] Charakterystyk wdoczne na rys 38a d dotyczą obcążena koła w zakrese 3 9 N, na rys 38e f zostały sporządzone dla kątów przechylena koła w zakrese od 5 do 5, zaś pokazane na rys 38g h dla kątów w przedzale od,5 do,5 Porównując charakterystyk dla modelu opony z charakterystykam uzyskanym z badań dośwadczalnych można zauważyć, gdze występują najwększe różnce 34 Model koła jezdnego 7

73 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych dowych nezbędnych do realzacj założonego ruchu w tych parach knematycznych (zależne od rozwązywanego zadana dynamk) Sły momenty sł są ostateczne redukowane do umownego punktu zamocowana koła jezdnego do platformy moblnej, który oznacza sę dla -tego koła jezdnego jako A trzymuje sę węc: A F = T A A T T F, T= r F + T (37) Dynamczne równana ruchu koła robota, traktowanego jako cało sztywne, w układze odnesena {A} (zwązanym z mejscem zamocowana -tego koła do platformy moblnej) można zapsać w postac: T A A A ( ) A m r = F + + m g, (38) CM A A A A A ( ) A ( ) ( θ + φ ) + ( θ + φ ) I ( θ + φ ) = T+ M τ I +, (39) gdze: m, I masa tensor bezwładnośc koła jezdnego, A r CM wektor przyspeszena środka masy tego koła, A F wektor sł w mejscu kontaktu, A T wektor momentu sł pochodzący od sł momentów sł w mejscu kontaktu, A (), A M () wektory sły momentu sły reakcj wewnętrznych, dzałających na koło w mejscu jego zamocowana do platformy moblnej, A g wektor przyspeszena grawtacyjnego, φ, φ wektory prędkośc przyspeszena kątowego platformy moblnej, θ θ A, wektory prędkośc przyspeszena kątowego obrotu koła jezdnego A A ( ) A ( ) A ( ) względem platformy moblnej, τ = τd + τ suma wektorów momentu napędowego oporów ruchu w parze knematycznej f Zakłada sę, że punkt A jest także środkem geometrycznym środkem masy A A koła jezdnego, czyl r CM = r koło jezdne jest wyrównoważone dynamczne Wektor przyspeszena grawtacyjnego wyrażony w neruchomym układze odnesena {} wynos g = [,, g] T, natomast ten sam wektor w układze odnesena {A} zwązanym z kołem jezdnym, otrzymuje sę poprzez przekształcene: A A g = g (33) zuty wektora przyspeszena grawtacyjnego na ose układu odnesena zwązanego z kołem jezdnym zależą od aktualnej orentacj platformy moblnej oraz -tego koła, tj kątów przechylena, pochylena odchylena oraz ewentualnego skrętu koła jezdnego ównana (38) (39) umożlwają wyznaczene sł momentów sł reakcj w mejscu połączena koła jezdnego z platformą moblną lub przyspeszeń lnowych (środka masy) kątowych tego koła W przypadku napędzanego nekerowanego koła jezdnego wyznaczane są () wartośc: A () x, A () y, A () z, A () M x, A M z θ, gdy rozwązywane jest zadane y () proste dynamk lub wartośc: A, A () x, A () y, A () z M, A () x M τ z y w przypadku rozwązywana zadana odwrotnego dynamk 73

74 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych Na tym etape oblczeń można także uwzględnć występowane oporów ruchu w parach knematycznych 35 Model platformy moblnej uch robota jest wynkem dzałających na efektory sł momentów sł, które mogą być zredukowane do mejsc ch połączeń z platformą moblną Pomja sę oddzaływane dodatkowych sł zewnętrznych, w tym sł zwązanych z oporem ośrodka Na rys 39 pokazano sły momenty sł dzałające na -ty efektor (np koło jezdne) zredukowane do punktu A, który jest traktowany jako punkt zamocowana tego efektora do platformy moblnej W przypadku koła jezdnego punktem tym jest środek geometryczny koła ys 39 Układy współrzędnych {} {} oraz sły momenty sł zwązane z -tym efektorem dzałające na platformę moblną Dynamczne równana ruchu platformy moblnej, zakładając, że dzałają na ną wyłączne sły cężkośc oraz sły momenty sł zwązane z kontaktem kół jezdnych (efektorów) z podłożem, mogą być zapsane jako: gdze: m I m a = F + m g, (33) CM A [ T + ( r r ) ] φ + φ I φ = A A CM F (33) A,, I, a masa całkowta, tensor bezwładnośc wektor przyspeszena CM środka masy robota Na podstawe tych równań można wyznaczyć parametry ruchu robota: a CM = FA + m g, (333) m 74

75 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych [ T + ( r r ) F ] φ I φ φ = I A A CM A (334) Wektor przyspeszena grawtacyjnego wyrażony w układze odnesena {} zwązanym z robotem otrzymuje sę w wynku przekształcena: g = g (335) zuty tego wektora na ose układu odnesena {} zależą od aktualnej orentacj platformy moblnej, tj od kątów Eulera, odpowedno: przechylena Φ, pochylena Θ oraz odchylena Ψ (podrozdzał 3) wynoszą: g x = g s Θ, g y = g sφcθ, g z = g cφcθ, (336) gdze: c Φ = cos Φ, s Φ = sn Φ, c Θ = cos Θ, s Θ = sn Θ, g = 9,8 m/s Należy zauważyć, że w przypadku nektórych robotów, np robota IBIS [39], czy robota trzykołowego analzowanego w pracy [], platforma moblna składa sę z klku członów, które połączone są ze sobą param knematycznym W takm przypadku należy zapsać dodatkowe równana ruchu dla poszczególnych członów platformy ównana take pozwalają na wyznaczene sł momentów sł reakcj w parach knematycznych oraz przyspeszeń (w przypadku zadana prostego dynamk) lub momentów napędowych (w przypadku zadana odwrotnego dynamk), o le pary te są napędzane 36 Dynamczne równana ruchu robota Dynamczne równana ruchu całego robota ((33) (33)) oraz jego kół jezdnych ((38) (39)) można zapsać w zwartej postac jako: W M q + C q = Q, (337) W W W W M q + C q = Q + B, (338) gdze wektory prędkośc przyspeszeń uogólnonych zawerają prędkośc przyspeszena (lnowe kątowe) dla robota dla kół jezdnych: vcm q =, φ acm q =, φ poszczególne macerze wektory mają postać: Q F ( ) A + m g = + TA ( ra rcm ) FA W v W q =, W ωw a W q W =, (339) εw F A+ Ft + G A, Q W =, BW =, TA + Tt M A+ τ (34) 75

76 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych 76 = An A A F F F, = An A A T T T, = tn t t F F F, = tn t t T T T, (34) = g g G n m m, = An A A, = An A A M M M, = ) ( () n n τ τ τ, (34) = n W v v v, = n W a a a, + + = n W φ θ φ θ ω, + + = n W φ θ φ θ ε, (343) zaś macerze M, C, M W C W wynkają z rozwązana następujących równań: = CM m φ I a q M, = n 3 φ I φ q C, (344) ( ) ( ) + + = n n n n W W m m φ θ I φ θ I a a q M, ( ) ( ) ( ) ( ) = n n n n W W 3 φ θ I φ θ φ θ I φ θ q C (345) Wektory F t T t są zwązane z występowanem sł momentów sł pochodzących od pasków zębatych łączących koła jezdne, co ma mejsce w przypadku analzowanego w pracy robota SCUT 37 Model tarca w parach knematycznych W pracach badawczych zazwyczaj pomjane jest zjawsko tarca w parach knematycznych robota, np na osach kół, co jest uzasadnone newelkm wpływem tarca na ruch robota Jednak wpływ ten jest stotny w przypadku newelkch prędkośc ruchu robota, szczególne w chwl rozpoczynana kończena ruchu Wówczas zjawsko tarca w parach knematycznych może powodować powstawane momentów o wartoścach porównywalnych z wartoścą momentów napędowych Uwzględnene tarca w parach knematycznych ma szczególne znaczene podczas rozwązywana zadana prostego dynamk Wynka to z faktu, że jeżel pomne sę tarce w parach knematycznych, to w przypadku braku momentów napędowych nawet newelke błędy numeryczne symulacj spowodują nezamerzony ruch w tych parach, a w konsekwencj nezamerzony ruch całego robota

77 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Najprostszym stosowanym modelem tarca jest model tarca Coulomba, który dotyczy stanu spoczynku ruchu Nestety, ne odwzorowuje on zjawsk tarca występujących przy przejścu ze stanu spoczynku do ruchu Ponadto z praktycznego punktu wdzena trudno jest określć w symulacj, kedy prędkość pownna być uznana jako równa zeru Należy raczej posługwać sę newelkm przedzałem, w którym prędkość jest blska zeru Taką deę realzuje model tarca Karnoppa [7] Innym modelem tarca jest model LuGre [53], który jest już znaczne bardzej złożonym modelem dynamcznym, stanowącym rozwnęce tzw modelu Dahla [49] W pracy korzysta sę natomast z modelu tarca cągłego różnczkowalnego [4], który dzęk modułowej budowe umożlwa uwzględnene lub pomnęce wybranych efektów zwązanych z tarcem Zgodne z tym modelem aktualny współczynnk tarca w -tej parze knematycznej ma następującą nelnową parametryczną postać: f ( γ θ γ θ ) + γ γ θ ) tgh( 3 ) 4 tgh( 5 + γ6θ = γ tgh(, (346) ) gdze: γ j dodatn stały parametr, nr pary knematycznej, j numer parametru, j = {,,, 6}, a jednostką θ jest (rad/s) Współczynnk tarca statycznego µ s jest odwzorowany w postac wyrażena γ + γ 4, natomast współczynnk tarca knetycznego µ k stanow wyraz γ 4 Wyrażene tgh( γ θ ) tgh( γ 3θ ) odzwercedla efekt Strbecka, w którym współczynnk tarca zmnejsza sę od wartośc odpowadającej współczynnkow tarca statycznego wraz ze wzrostem prędkośc ślzgana Tarce lepke jest uwzględnone w postac wyrażena γ θ Tarce Coulomba jest modelowane wyrażenem 6 γ 4 tgh( γ 5θ ) Moment sł tarca w parze knematycznej jest wyznaczany w nnejszej pracy z następującej zależnośc: τ = r f, (347) f gdze: moduł sły reakcj w parze knematycznej, r f promeń tarca w parze knematycznej Zakłada sę, że promeń tarca w parze knematycznej jest równy promenow, na jakm pracują elementy łożyska 38 Model napędów robota W modelu robota można także uwzględnć model jego napędów Ma to szczególne duże znaczene, gdy chce sę połączyć model dynamk robota (traktowanego jako układ weloczłonowy) z układem sterowana W takm przypadku model napędu stanow ognwo pośredne mędzy układem sterowana a modelem dynamk robota Model napędów robota może meć zastosowane zarówno w przypadku rozwązywana zadana prostego dynamk, jak zadana odwrotnego dynamk W bardzej zaawansowanych modelach można uwzględnć też wpływ napędów robota na drgana konstrukcj w celu ch redukcj [43] Przyjmuje sę, że napędy robota są serwomechanzmam prądu stałego Każdy serwomechanzm zawera slnk prądu stałego, enkoder przekładnę Napęd z slnka jest przekazywany za pomocą przekład- f 77

78 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych n na oś koła jezdnego (rys 3) W przypadku robota SCUT poza przekładną zębatą występuje przekładna łańcuchowa, za pomocą której moment napędowy jest ostateczne przekazywany na koło jezdne ys 3 Schemat układu przenesena napędu z slnka prądu stałego na oś koła jezdnego Zakłada sę, że: serwomechanzmy robota ne są samohamowne, tj mogą obracać sę swobodne pod wpływem dzałających zewnętrznych momentów sł, masowe momenty bezwładnośc obracających sę elementów serwomechanzmów slnka prądu stałego, enkodera przekładn są małe w porównanu z masowym momentam bezwładnośc napędzanych elementów robota (kół jezdnych), dlatego są pomjane 38 Zadane proste dynamk napędów Zależnośc opsujące napęce wejścowe slnka (przy pomocy którego jest on sterowany), prąd płynący w uzwojenu twornka oraz moment napędowy na kole jezdnym mogą być opsane następującym równanam [7]: ( u kendθ d ) Ld d = dt d d m, (348) τ = η n k, (349) gdze: u napęce wejścowe, prąd płynący w uzwojenu twornka, L d, d odpowedno ndukcyjność rezystancja uzwojena twornka, k e stała elektromotoryczna, k m stała mechanczna, n d przełożene przekładn od napędu aż do os koła jezdnego, η d współczynnk wydajnośc przekładn Przyjęty model napędu umożlwa wyznaczene prądu płynącego w uzwojenu twornka oraz momentu napędowego przenoszonego na koło jezdne dla znanych wartośc napęca wejścowego slnka prędkośc kątowej koła jezdnego ozwązywane tego problemu będze nazywane zadanem prostym dynamk napędu Tego 78

79 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych typu model napędu zastosowany w połączenu z zadanem prostym dynamk robota umożlw odwzorowane zachowana sę rzeczywstego robota Może być zastosowany łączne z układem sterowna ze sprzężenem zwrotnym, którego celem jest wypracowane napęca wejścowego powodującego założony ruch robota (co będze przedmotem podrozdzałów 43 6) Można także przyjąć dla uproszczena, że napęce wejścowe zależy od zadanej prędkośc kątowej θ obrotu własnego tego koła, zgodne ze wzorem: d u = k n θ, (35) e co pozwala na realzację sterowana w tzw otwartej pętl Wykorzystane tej zależnośc prowadz do rozwązana zadana prostego dynamk robota dla zadanej trajektor ruchu bez potrzeby stosowana regulatora ze sprzężenem zwrotnym Zależność ta stanow dobre przyblżene zachowana sę napędu w ruchu ustalonym gdy poberany przez napęd prąd jest newelk Uwzględnene dynamk napędu ma szczególne duże znaczene w przypadku zadawana skokowych zman prędkośc kątowych obrotu własnego kół jezdnych θ d Wówczas pownna być stosowana bardzej dokładna zależność (348) Jak wadomo, w praktyce ne jest możlwa skokowa zmana tej prędkośc, mn ze względu na ogranczena wynkające z dynamk napędów, w szczególnośc ch bezwładnośc Zadając skokową zmanę napęca wejścowego można w zadanych warunkach uzyskać odpowedź skokową obektu, jakm jest moblny robot kołowy czywśce odpowedź taka będze zależała od warunków współpracy efektora z podłożem 38 Zadane odwrotne dynamk napędów Przekształcając równana (348) (349) do postac: y d d d = τ /( η n k ), (35) m u = kendθ + Ld + d d d (35) dt można wyznaczyć prąd płynący w uzwojenu twornka oraz wartość napęca wejścowego slnka nezbędne do realzacj ruchu koła jezdnego z zadaną prędkoścą kątową dla zadanego momentu napędowego przenoszonego przez to koło ozwązywane takego problemu będze nazywane zadanem odwrotnym dynamk napędu Tego typu model napędu może zostać zastosowany w połączenu z układem sterowana robota lub nawet stanowć jego część Dzęk znajomośc dynamk napędów układ sterowana może wypracować sterowane, które zapewn lepszą dokładność realzacj założonego ruchu w stosunku do rozwązana, w którym ne jest wykorzystywana wedza o dynamce napędów (wynk tak badań można odnaleźć w podrozdzale 6) 79

80 3 pracowana metodyka tworzena model dynamk moblnych robotów kołowych 8

81 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych 4 bekty badań 4 obot trzykołowy Perwszym analzowanym w tej pracy robotem moblnym będze robot Poneer DX (rys 4a) obot ten był mn tematem pracy [95], w której korzystając z modelu dynamk opsanego równanam Maggego [7], analzowano problem sterowana ruchem nadążnym, przy założenu ruchu robota bez poślzgów Natomast ruch robota z uwzględnenem występujących poślzgów analzowano w [4] Do rozważań przyjęto model robota pokazany na rys 4b, w którym wyróżnono podstawowe zespoły robota oznaczone jako: platforma moblna,, napędzane koła jezdne, 3 samonastawne koło podperające Koła jezdne napędzane są oddzelnym slnkam elektrycznym prądu stałego, które wraz z przekładną tworzą zespół napędzający dane koło W modelu robota przyjęto następujące oznaczena dla -tego koła jezdnego: A środek geometryczny, r promeń, θ kąt obrotu własnego Kąt obrotu własnego platformy moblnej oznaczony jest jako φ z, a kąt skrętu samonastawnego koła podperającego jako ψ 3 a) ys 4 Moblny robot kołowy Poneer DX: wdok robota (a), model robota (b) (A = A = W/, A 3 = L) Do badań symulacyjnych przyjmuje sę następujące parametry robota: wymary geometryczne (oznaczena W L jak na rys 4b): L =,7 m, W =,36 m, r = r = r =,85 m, r 3 =,4 m; masy poszczególnych członów: m = 5,67 kg, m = m =,5 kg, m 3 = =,5 kg; wektory określające pozycję środków mas poszczególnych członów w (m): r = [,94,, ] T, A r = [,, ] T, 8

82 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych tensory bezwładnośc 6 w (kg m ): I = [,78,, ;,,, ;,,,54], I = I = [,3,, ;,,7, ;,,,3], I 3 = [,4,, ;,,55, ;,,,4]; parametry opony: k = N/m, c = 5 Ns/m, e = ; parametry zespołów napędowych robota: L d =,66 H, d =,7 Ω, k e =,3 Vs/rad, k m =,3 Nm/A, n d = 9,7, η d =,8 Wartośc tych parametrów przyjęto na podstawe dostępnej dokumentacj robota [3] jego napędów [64], pracy [66] oraz szacunkowych oblczeń założeń autora 4 obot czterokołowy W ramach pracy analzowana będze także wersja nekomercyjna robota czterokołowego SCUT (rys 4), który został opracowany w Przemysłowym Instytuce Automatyk Pomarów PIAP obot ma nezależne napędzane tylne koła jezdne Napęd z tylnych kół jezdnych jest przekazywany na koła przedne za pośrednctwem pasków zębatych, które po zdjęcu kół jezdnych mogą także pełnć rolę gąsenc Maksymalna prędkość robota w analzowanej wersj wynos około, m/s, tj około 8 km/h a) b) ys 4 obot SCUT produkcj PIAP: wdok robota (a), robot podejmujący przedmot znajdujący sę pod podwozem samochodu (b) [9] obot SCUT charakteryzuje sę małym gabarytam, newelką masą stosunkowo dużą prędkoścą maksymalną oraz posada możlwość dołączana urządzeń takch jak manpulator z chwytakem lub dodatkowe kamery, czy też różnego rodzaju czujnk lub uzbrojene Przyjęte rozwązane zapewna małe rozmary masę robota, dzęk czemu może on być transportowany w typowym plecaku wojskowym Połączene dużej prędkośc maksymalnej robota z możlwoścą przemeszczana sę w ogranczonej przestrzen pozwala na szybke zdalne rozpoznane terenu akcj Za pomocą robota można sprawdzć podwoze podejrzanego samochodu, casne pomeszczene lub szyb wentylacyjny [6] 6 Poszczególne elementy w werszach macerzy oddzelono przecnkam, a wersze oddzelono średnkam 8

83 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Na potrzeby realzacj badań dośwadczalnych robot został wyposażony w dodatkowy stelaż, laptop czujnk, natomast usunęto z nego manpulator obot SCUT w wersj dostosowanej do badań emprycznych pokazano na rys 43a, a przyjęty w pracy model robota został przedstawony na rys 43b a) ys 43 obot SCUT w wersj dostosowanej do badań emprycznych (a), przyjęty model robota (b) (A A 3 = A A 4 = L, A A = A 3 A 4 = W) W modelu wyróżna sę następujące podstawowe zespoły robota: platformę moblną (korpus z dołączonym do nego stelażem), 4 koła jezdne Dodatkowo przedne koła jezdne mogą być sprzężone z tylnym kołam jezdnym za pomocą pasków zębatych (gąsenc) oznaczonych jako 5 6 Przyjęto analogczne oznaczena dla -tego koła jezdnego, jak w przypadku robota Poneer DX: A środek geometryczny, r promeń, θ kąt obrotu własnego Kąt obrotu własnego platformy moblnej oznaczony jest jako φ z Podczas badań analzuje sę dwe konfguracje układu napędowego robota: a) koła jezdne robota są rozprzęgnęte, tj napędzane są nezależne tylne koła jezdne, natomast przedne są swobodne; b) koła jezdne napędzane są tak, jak w orygnalnej wersj robota, tj napędzane są nezależne tylne koła jezdne, a napęd na przedne koła jezdne przekazywany jest z tylnych kół jezdnych za pomocą pasków zębatych W roboce zastosowano slnk prądu stałego wraz z przekładnam Ich model został opsany w podrozdzale 38 Do badań symulacyjnych przyjmuje sę mn następujące parametry robota: wymary geometryczne (oznaczena W L pokazano na rys 43b): L =,35 m, W =,386 m, r =,965 m, = {,, 4}, masy poszczególnych członów: m = 5, kg, m =,66 kg, m 5 = m 6 =,7 kg, wektory określające pozycje środków mas kolejnych członów w (m): r = [,,,,,4] T, A r = [,, ] T, r 5 = [, W/, ] T, r 6 = [, W/, ] T, tensory bezwładnośc w (kg m ): I = [,3,, ;,,3, ;,,,4], 83

84 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych I = [,7,, ;,,, ;,,,7], I 5 = I 6 = [,, ] (pomja sę tensor bezwładnośc dla pasków zębatych), parametry opony: k = N/m, c = 5 Ns/m, e =, parametry zespołów napędowych robota: L d =,83 H, d =,37 Ω, k e =,3 Vs/rad, k m =,3 Nm/A, n d = 6 /5, η d =,8 Wartośc tych parametrów przyjęto na podstawe dostępnej dokumentacj robota jego napędów, pomarów oraz szacunkowych oblczeń założeń autora 4 Przykłady opsu knematyk moblnych robotów kołowych 4 Współrzędne prędkośc uogólnone Zadawane odpowednego ruchu robota wymaga analzy zadana odwrotnego knematyk jest zwązane z wyznaczanem parametrów ruchu kół jezdnych w przypadku, gdy zadawany jest ruch wybranego punktu robota Żąda sę wówczas, aby określony punkt robota przemeszczał sę po zadanym torze ruchu z odpowedną prędkoścą Na tej podstawe wyznacza sę parametry ruchu członów napędzających [47] Zakłada sę, że ruch przyjętego modelu odbywa sę w płaszczyźne xy układu {} Platforma moblna robota może być w ruchu postępowym, obrotowym lub płaskm Pozycję orentację platformy moblnej opsuje wektor współrzędnych uogólnonych: [ x x, ϕ ] T q =, (4), z gdze: x, y współrzędne punktu platformy moblnej, φ z kąt obrotu własnego platformy moblnej względem neruchomego układu odnesena {} Wektory prędkośc uogólnonych, odpowedno w układach {} {}, można zapsać w postac: q = [, y, ϕ ] T, = [, y, ϕ ] T x z przy czym: v = x, v = y, v = x, v = y x y Mędzy wektoram q q x q, (4) y zachodz zależność: x z q = J q, (43) gdze macerz J jest macerzą Jakobego ma następującą postać: cos( ϕ ) ( ) z sn ϕ z J = sn( ϕ z ) cos( ϕ z ) (44) Wektor prędkośc uogólnonych q może być określony na podstawe założonej wartośc prędkośc ruchu punktu robota na kerunku os x układu {} zwązanego z robotem, tj v x, prędkośc kątowej obrotu własnego platformy moblnej, tj ϕ, na podstawe knematycznych równań ruchu w postac: z 84

85 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych q x cos( ϕ = sn( ϕ z = vx y z ) ϕ z ϕ z ) (45) Powyższe równane jest słuszne w przypadku, gdy robot porusza sę po pozomym podłożu 4 ps knematyk robota trzykołowego Na rys 4b pokazano rozkład prędkośc charakterystycznych punktów robota Punkt C jest chwlowym środkem obrotu (prędkośc) platformy moblnej robota Należy zauważyć, że jeśl platforma moblna składa sę z klku członów połączonych param knematycznym, jak to ma mejsce w przypadku robota opsanego w pracach [94, ], wówczas podczas ruchu robota można wyróżnć węcej nż jeden chwlowy środek obrotu zut punktu C na oś x układu {} będze oznaczany jako punkt B Wektor prędkośc punktu B w układze {} ma kerunek os x W ogólnym przypadku, mędzy wektoram prędkośc punktów B zachodzą zależnośc: v B v + v B =, v ϕ x e = v, (46) B = z gdze: v B wektor prędkośc punktu B względem punktu, e y wektor jednostkowy (wersor) os y układu {} wyrażony w tym samym układze zuty wektora prędkośc punktu B na ose układu {} spełnają równana: ( ϕz ) + vy sn( ϕ z ) vx ( ϕ ) + v cos( ϕ ) + ϕ x Bx = vx B v cos =, (47) vby = v sn x z y z z C =, (48) y v =, (49) Bz przy czym x C = x B Wektor prędkośc punktu B w układze {} może być zapsany w funkcj wektora prędkośc uogólnonych w postac: v B = A cos q = sn ( ϕz ) sn( ϕz ) ( ϕ ) cos( ϕ ) z z v xc v ϕ x y z y v = x (4) Analzowane w pracy moblne roboty kołowe są układam neholonomcznym Z rozkładu wektora prędkośc punktu B wynka, że narzucone są na nego węzy neholonomczne, które można zapsać w następującej postac: gdze: a = [ sn( φ z ), cos( φ z ), x C ] a q = (4) 85

86 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych W przypadku robota Poneer DX, gdy jego koła jezdne toczą sę bez poślzgu, chwlowy środek obrotu, tj punkt C leży na os y układu {} zwązanego z robotem, czyl punkt B pokrywa sę z punktem Przypadek tak (rys 4b) zachodz, gdy robot porusza sę z newelkm prędkoścam przyspeszenam, co będze omawane w dalszej częśc pracy (podrozdzał 5) Można wówczas zauważyć, że x C = x B = x =, węc: T ( J ) J A = = (4) W takm przypadku równane węzów neholonomcznych może być także zapsane w postac [47]: y = x tg( ϕz ) lub y = x tg ϕ (43) z Prędkośc charakterystycznych punktów A robota mogą być wyznaczone z rozkładu prędkośc (rys 4b) Można je oblczyć na podstawe znajomośc wektorów prędkośc charakterystycznego punkt, tj v oraz prędkośc kątowej obrotu własnego korpusu robota φ z zależnośc: v A = v + v A = v + ra φ, (44) gdze: v A ra φ = jest prędkoścą zwązaną z obrotem punktu A wokół punktu, r A określa pozycję punktu A w układze odnesena {} zwązanym z robotem W przypadku braku poślzgu kół jezdnych, prędkośc punktów A dla napędzanych kół jezdnych można wyznaczyć ze wzoru: v A W / v x = (45) va W / ϕ z Prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych dla robota Poneer DX można wyznaczyć z zależnośc (46), zakładając, że toczą sę one bez poślzgu: θ W / vx =, (46) θ r W / ϕ z gdze: r = r = r promene napędzanych kół jezdnych ównane to umożlwa rozwązane zadana odwrotnego knematyk dla robota Poneer DX, tj wyznaczene prędkośc kątowych obrotu własnego napędzanych kół jezdnych, zakładając przy tym ruch robota bez poślzgu z prędkoścą lnową v x punktu oraz prędkoścą kątową ϕ platformy moblnej z Natomast zadane proste knematyk dla robota Poneer DX może być rozwązywane w oparcu o równane: v W / θ / / θ x = = r, (47) ϕ r W / θ / W / W θ z 86

87 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych które odpowada dwóm zależnoścom: v x = ( θ + θ ) /, r r ϕ z ( ) = θ θ (48) W Prędkość punktu A 3 samonastawnego koła jezdnego 3 prędkość kątowa obrotu własnego tego koła mogą być natomast oblczone z zależnośc: (49) A3 vx = ( vx ) + L( ϕ z ), θ3 = ( vx) + L( ϕz ) / r3 Z kole kąt skrętu tego koła można wyznaczyć ze wzoru: tg( ψ3) = L ϕ z / v (4) x 43 ps knematyk robota czterokołowego Na rys 43b zlustrowano rozkład prędkośc charakterystycznych punktów robota przy założenu, że punkt C jest chwlowym środkem obrotu (prędkośc) platformy moblnej robota Pozycja tego punktu w stotny sposób zależy od poślzgów kół jezdnych zut tego punktu na oś x układu {} jest oznaczany jako punkt B Dla wektora prędkośc tego punktu obowązują zależnośc (46) (4) oraz równane węzów neholonomcznych (4) podane dla robota Poneer DX Podobne jak poprzedno, prędkośc punktów A (tj środków geometrycznych kół jezdnych) robota można oblczyć na podstawe znajomośc wektorów prędkośc charakterystycznego punktu, tj v oraz prędkośc kątowej obrotu własnego korpusu robota, czyl φ W tym celu można wykorzystać następujący wzór: v A = v + v A = v + ra φ, (4) gdze: v A ra φ = oznacza prędkość zwązaną z obrotem punktu A wokół punktu, natomast r A jest wektorem pozycj punktu A w układze odnesena {} zwązanym z robotem W przypadku rzutów prędkośc punktów A na ose x y układu {}, spełnają one podane w [3] zależnośc: valx va x = va3x =, varx va x = va4 x =, (4) vafy va y = va y =, vaby va3 y = va4 y =, (43) gdze: l lewe koła jezdne l = {, 3}, r prawe koła jezdne r = {, 4}, f przedne koła jezdne f = {, }, b tylne koła jezdne b = {3, 4} Zakładając, że korpus robota jest w ruchu płaskm, zależnośc mędzy rzutam prędkośc punktów A na ose x y układu {} mogą być opsane w funkcj prędkośc uogólnonych w następującej postac: 87

88 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych v Alx varx vafy vaby = W W L x L C xc v ϕ x z = W + y C W + y C L L v ϕ y z (44) Ponadto rzuty prędkośc punktu A należącego do -tego koła jezdnego na ose x y układu {} zależą od prędkośc kątowej obrotu własnego koła jezdnego θ prędkośc poślzgu, czyl spełnone są równana: v = θ r + v, Ax Sx v = v, (45) Ay Sy gdze: v Sx, v Sy składowe prędkośc poślzgu w układze {}, czyl ruchu punktów stycznośc koła jezdnego względem podłoża Prędkośc uogólnone można zatem zapsać w postac: x ( valx varx ) vy ϕz x ( v v ) W = ( v v ) L v = +, =, B = (46) ϕ z Arx Alx Współrzędne chwlowego środka obrotu, tj punktu C (rys 43b) mogą być wyznaczone z równań: xc xb = vy ϕz Aby =, = v ϕ (47) Afy yc x z Położene punkt B ma decydujący wpływ na stablność ruchu robota Jeżel początek układu odnesena zwązanego z robotem znajduje sę w połowe odległośc mędzy przednm tylnym koła jezdnym, wówczas można przyjąć, że współrzędne tego punktu pownny spełnać zależność: x B ( L/, L/) (48) uch robota czterokołowego SCUT w dużej merze zależy od występujących poślzgów kół jezdnych Jeśl chodz o przypadek ruchu wzdłużnego robota, w którym korpus jest w ruchu postępowym, a koła jezdne w ruchu płaskm, jeżel poślzg wzdłużne ne są duże, można korzystając ze wzoru: v x θ =, = {3, 4} (49) r wyznaczyć prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych nezbędne do ruchu z zadaną prędkoścą v, czyl rozwązać zadane odwrotne knematyk x dla analzowanego przypadku Sytuacja znaczne komplkuje sę, gdy robot wykonuje manewr zakręcana lub obraca sę wokół os ponowej Poneważ koła jezdne robota ne są kerowane, węc jego ruch zależy od dzałających sł wzdłużnych na styku kół jezdnych z pod- 88

89 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych łożem, a także w dużym stopnu od dzałających sł poprzecznych, czyl ogólne od dynamk robota (podrozdzały 74 75) W takm przypadku spełnona jest nerówność: θ l W / vx, (43) θ r r W / ϕ z gdyż wskutek dzałających sł poprzecznych robot będze wykonywał obrót wokół os ponowej z mnejszą prędkoścą kątową ϕ nż wynka to z zadanych prędkośc kątowych θ l z θ óżnca ta będze tym wększa, m mnejsza lczba kół jezdnych będze napędzana, gdyż wówczas mnejszy będze udzał sł wzdłużnych po- r wodujących ruch w stosunku do pozostałych sł przeszkadzających w realzacj zakładanego ruchu (w szczególnośc sł poprzecznych oraz sł wzdłużnych dla nenapędzanych kół jezdnych) Jako perwsze przyblżene można zastosować zależność: θ l W / vx =, (43) θ r r W / kωz ϕ z w której współczynnk k ωz zależy przede wszystkm od sposobu napędzana robota, czyl m mnej jest napędzanych kół jezdnych, tym k ωz jest wększe, ponadto mają na nego wpływ przede wszystkm zastosowane opony, rodzaj podłoża, po którym porusza sę robot oraz stan współpracujących powerzchn (np ch chropowatość, temperatura wlgotność) Take podejśce może być zastosowane, gdy poślzg kół jezdnych występują główne podczas manewru zakręcana robota obrotu wokół jego os ponowej, ale są pomjalne małe w ruchu wzdłużnym Sytuacja taka może zachodzć w przypadku ruchu robota z newelką prędkoścą v newelkm przyspeszenem a x Współczynnk k ωz, jak zostane to pokazane dalej (podrozdzały 74 75), może być wyznaczony dośwadczalne dla danego sposobu napędzana robota, dla danej prędkośc jego ruchu, zastosowanych opon rodzaju podłoża, po którym sę on porusza Podobne zastrzeżena jak powyżej dotyczą też rozwązana zadana prostego knematyk dla analzowanego robota Zatem, w ogólnym przypadku zachodz nerówność: v / / θ x l r (43) ϕ / W / W z θ r Analogczne jak w przypadku zależnośc (43) można jako perwsze przyblżene zastosować wzór: v / / θ x l = r (433) ϕ /( k z ω z W ) /( kω z W ) θ r Szerzej ta problematyka będze omawana w podrozdzale (6) dotyczącym układu sterowana ruchem nadążnym robota x 89

90 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych 44 Lokalzacja robota wyznaczane parametrów jego ruchu z zastosowanem nawgacj bezwładnoścowej W praktyce stosuje sę następujące główne metody lokalzacj wyznaczana parametrów ruchu robota: nawgację GPS (ang Global Postonng System) lub pochodne systemy [55, 96, 97, 8], nawgację bezwładnoścową INS (ang Inertal Navgaton System) [33, 8, 6], czujnk typu skanery laserowe lub systemy wzyjne w połączenu z mapam otoczena [6, 9, 5], odometrę robota [8, 44, 57, 58], połączene klku technk, np nawgacj GPS oraz bezwładnoścowej INS [78, 96, 7] lub nawgacj GPS czujnków otoczena w połączenu z mapam otoczena [74] Zastosowane standardowej nawgacj GPS ne gwarantuje wystarczającej dokładnośc określena pozycj robota, a tym samym parametrów jego ruchu Dlatego w mejsce klasycznych odbornków GPS coraz częścej wprowadza sę odbornk GNSS [6] dbornk take w połączenu z tzw stacjam referencyjnym mogą zagwarantować dokładność określana pozycj robota już na pozome pojedynczych centymetrów dokładnośc określana parametrów ruchu robota, poza dokładnoścą wyznaczana pozycj, decydować będze częstotlwość, z jaką otrzymuje on nformacje dotyczące pozycj robota z wdocznych sateltów (co zależy od rodzaju wykuponej lcencj) Nawgacja bezwładnoścowa INS [8] w stosunku do nawgacj GPS ma tę zaletę, że umożlwa określene parametrów ruchu układu z wększą dokładnoścą, jednak z drugej strony ma tę wadę, że wskutek całkowana przyspeszeń (z akcelerometrów) prędkośc kątowych (z żyroskopów) błędy nektórych wyznaczanych parametrów ruchu wzrastają w czase Do zalet nawgacj INS opartej na układach MEMS można zalczyć znaczne mnejsze wymary urządzena pomarowego, brak zależnośc od otoczena (dzała wszędze, nawet w przestrzen kosmcznej), ponadto cechuje ją welokrotne nższa cena [5] W celu wykorzystana zalet nawgacj GPS nawgacj bezwładnoścowej stosuje sę połączene obu lub wększej lczby technk nawgacj [78] W pracy dla robota SCUT zostane zastosowana metoda nawgacj bezwładnoścowej do lokalzacj robota wyznaczana parametrów jego ruchu Do pomaru parametrów ruchu pojazdów mogą zostać wykorzystane akcelerometry (typu MEMS), pod rygorem spełnena następujących warunków [5]: a) wykonane kalbracj w celu ogranczena błędów wynkających z konstrukcj nstrumentu, b) pomar kąta mędzy kerunkem wektora przyspeszena grawtacyjnego a osą ponową (z) akcelerometru, wykorzystywanego do wyelmnowana wpływu przyspeszena grawtacyjnego na wskazana nstrumentu, c) mnmalzacja nepewnośc chwl czasowej, w której wykonuje sę pomar przyspeszena, co ma stotne znaczene przy wyznaczanu parametrów ruchu w procese całkowana, 9

91 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych d) dobór nstrumentu cechującego sę jak najmnejszym pozomem szumu w sygnale przyspeszena, z uwzględnenem uzasadnena ekonomcznego Zakłada sę, że robot jest wyposażony w czujnk składający sę z akcelerometru trzyosowego oraz żyroskopu trzyosowego, który jest umeszczony w charakterystycznym punkce I Z czujnka otrzymuje sę nformacje odnośne przyspeszeń lnowych (z akcelerometru) oraz prędkośc kątowych ruchu robota (z żyroskopu) w układze odnesena {} zwązanym z robotem, odpowedno: f I φ Przyjmuje sę, że na akcelerometr dzała sła cężkośc zwązana z przyspeszenem grawtacyjnym g sła bezwładnośc pochodząca od ruchu robota z przyspeszenem a Pomja sę przyspeszena zwązane z obrotem własnym Zem, A poneważ są małe w stosunku do nnych przyspeszeń zwązanych z ruchem robota Zatem w celu wyznaczena wektora przyspeszena zwązanego z ruchem robota należy w perwszej kolejnośc od wektora przyspeszena odczytanego z akcelerometru odjąć wektor przyspeszena grawtacyjnego Zakładając, że przyspeszene grawtacyjne wskazywane przez daną oś akcelerometru jest dodatne, gdy oś ta jest skerowana do góry (tak jest często w przypadku akcelerometrów MEMS dostępnych na rynku), należy skorzystać ze wzoru: a = f + g, (434) I przy czym: cθcψ cθsψ sθ g = g, = s + ΦsΘcΨ cφsψ sφsθsψ cφcψ sφc, g = [,, g] T Θ cφsθcψ + sφsψ cφsθsψ sφcψ cφcθ (435) Do wylczena wektora g nezbędna jest znajomość tzw kątów Eulera dla platformy moblnej, które można otrzymać w wynku całkowana pochodnych tych kątów, tj Ω = [ Φ, Θ, Ψ ] T, wyznaczonych na podstawe wzoru (podrozdzał 34): czyl: Ω = E φ, Ω I sφsθ / cθ cφsθ / cθ E = c Φ s (436) Φ sφ / cθ cφ / cθ Ω dt = ΔΩ + Ω, (437) = gdze: Ω zawera przyrosty tzw kątów Eulera od chwl początkowej t = s, natomast Ω = [Ф, Θ, Ψ ] T początkowe wartośc tych kątów Początkową wartość kąta Ψ można przyjąć jako równą lub wyznaczyć ją na podstawe danych odczytanych z magnetometru, jeżel kurs równy zero ma odpowadać północy magnetycznej Początkowe wartośc kątów Φ Θ można otrzymać na podstawe znajomośc wektora f I w chwl początkowej [39], który wynos: 9

92 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych [ s s c c c ] T I = ai g = g = g Θ, Φ Θ, Φ Θ f, (438) gdze: c Φ = cos Φ, s Φ = sn Φ, c Θ = cos Θ, s Θ = sn Θ Poneważ dane z akcelerometru są zazwyczaj zaszumone, węc w praktyce zamast pojedynczej wartośc w chwl początkowej można wząć pod uwagę średną wartość f I z przedzału czasu, w którym robot pozostaje neruchomy Początkowe wartośc tzw kątów Eulera przyjmują wartośc: T Ω = [arctg( g y / g z), arcsn( g x), Ψ ] (439) Wektor prędkośc kątowej platformy moblnej robota wyrażony w ruchomym układze odnesena {} zwązanym z robotem można wyznaczyć korzystając z zależnośc: sθ φ = E Ω, E = c Φ sφc (44) Θ sφ cφcθ Na tej podstawe, na drodze różnczkowana, można oblczyć przyspeszene kątowe platformy moblnej w tym samym układze odnesena, tj φ Wektor przyspeszena lnowego punktu robota w układze odnesena {} (rys 43b) można wyznaczyć na podstawe znanego wektora przyspeszena punktu I stosując wzór: a = a φ r φ φ r ) (44) I I ( I Wektor prędkośc punktu robota można uzyskać na drodze bezpośrednego całkowana przyspeszena a : v = a d +, (44) t = Δv v gdze Δ v stanow przyrost wektora prędkośc od chwl początkowej, a v jest wektorem początkowej prędkośc punktu Wektory prędkośc przyspeszena charakterystycznych punktów A robota (rys 43b) można otrzymać korzystając ze wzorów: A = v + φ r, (443) A v a = a + φ r + φ φ r ), (444) A A ( A gdze ndeks oznacza numer koła jezdnego Następne można oblczyć wektory prędkośc przyspeszena wybranych punktów w neruchomym układze odnesena {} korzystając z zależnośc: gdze P = {, A} v = v, P P a = a, (445) P P 9

93 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Wektor pozycj charakterystycznego punktu robota w neruchomym układze odnesena {} oblcza sę na drodze całkowana prędkośc tego punktu, czyl: r = v t = Δr + r, (446) d gdze r stanow przyrost wektora pozycj od chwl początkowej, a r jest wektorem początkowej pozycj punktu 43 Przykłady opsu dynamk moblnych robotów kołowych 43 ps dynamk robota trzykołowego W oparcu o metodykę modelowana dynamk opsaną w rozdzale 3 został opracowany model dynamk dla robota Poneer DX przedstawonego w podrozdzale 4 Model ten został opracowany w wersj umożlwającej rozwązane zadana odwrotnego dynamk, tj wyznaczene momentów napędowych τ τ nezbędnych do realzacj zadanego ruchu Na rys 44 przedstawono składowe sł reakcj dzałające w płaszczyźne stycznośc kół jezdnych z podłożem, tj A F x A F y, = {,, 3} ys 44 Ilustracja sł reakcj dzałających na robota Poneer DX w płaszczyźne stycznośc kół jezdnych z podłożem Sły te mają decydujący wpływ na ruch robota, przy czym w przypadku jazdy z newelkm prędkoścam przyspeszenam składowe A F y są newelke Składowe A F y (poprzeczne) mają wpływ na ruch robota przede wszystkm w trakce zakręcana zależą wówczas główne od prędkośc kątowej zakręcana Z kole składowe A F x (wzdłużne) osągają duże wartośc w przypadku dużych przyspeszeń lnowych na kerunku os x, dlatego ch najwększe wartośc obserwuje sę najczęścej podczas rozpędzana hamowana bok wymenonych składowych sł reakcj, na styku kół jezdnych z podłożem występują także składowe normalne A F z oraz składowe momentów, tj A T x, A T y, A T z (podrozdzał 33), które typowo mają już mnejszy wpływ na ruch robota 93

94 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych Schemat modelu robota opracowanego z użycem paketu oblczenowego MATLAB/Smulnk został zaprezentowany na rys 45 ys 45 Schemat modelu robota Poneer DX umożlwający rozwązane zadana odwrotnego dynamk, opracowany z użycem paketu MATLAB/Smulnk Model robota Poner DX zawera następujące podsystemy: Zadany ruch robota generuje zadane przebeg prędkośc charakterystycznego punktu robota v d prędkośc kątowej jego korpusu ϕ ; zd Zadane odwrotne knematyk robota wyznacza zadane prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych θ d θ na podstawe zadanych d prędkośc v ϕ, korzystając z równana (46); d zd Zadany tor ruchu punktu robota oblcza wektor zadanych prędkośc uogólnonych q d na podstawe zadanych prędkośc v d ϕ, z użycem równana (45), a następne na drodze całkowana wyznacza zadane zd współrzędne charakterystycznego punktu robota x d y d (co pozwala na wyznaczene zadanego toru ruchu tego punktu) oraz zadaną orentację korpusu robota ϕ ; zd Zadane odwrotne dynamk robota rozwązuje zadane odwrotne dynamk dla robota Poneer DX z wykorzystanem metodyk opsanej w rozdzale 3, tj z użycem zaproponowanych model: otoczena (podrozdzał 3); kontaktu opony z podłożem (podrozdzał 3), tj równana (33); opony z zastosowanem modelu HB Pacejk (podrozdzał 33) przyjętej zależnośc na poślzg wzdłużny kół jezdnych układ równań (3); koła jezdnego (podrozdzał 34), tj z użycem równań (38) (39); platformy moblnej (podrozdzał 35), korzystając z równań (33) (33); oraz tarca w parach knematycznych (podrozdzał 37) zależnośc (346) (347) 94

95 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Szczegóły dotyczące zadanych parametrów ruchu robota uzyskanych wynków symulacj komputerowych zostaną podane w podrozdzale 5 opsującym symulacje ruchu robota Poneer DX 43 ps dynamk robota czterokołowego Dla robota SCUT przedstawonego w podrozdzale 4 zostały opracowane dwa modele dynamk Perwszy model dynamk robota, nazywany modelem szczegółowym został opracowany w oparcu o metodykę opsaną w rozdzale 3 Model ten jest szczegółowo omówony w kolejnym podrozdzale 43 Drug uproszczony model dynamk robota został opracowany w celu użyca go w synteze układów sterowana na baze modelu robota Jest on wyprowadzony w podrozdzale 43 Nezależne od wybranego modelu w płaszczyźne stycznośc kół jezdnych z podłożem dzałają sły reakcj A F x A F y, = {,, 3, 4} zlustrowane na rys 46, które mają decydujący wpływ na ruch robota prócz nch, na styku kół jezdnych z podłożem występują także składowe normalne A F z oraz składowe momentów, tj A T x, A T y, A T z (podrozdzał 33) Składowa A T x momentu sły ne jest uwzględnana, natomast składowa A T z jest wyznaczana tylko w modelu szczegółowym ys 46 Ilustracja sł reakcj dzałających na robota SCUT w płaszczyźne stycznośc kół jezdnych z podłożem Zgodne z tym, na co zwrócono uwagę już w trakce omawana zagadneń knematyk robota SCUT (podrozdzał 43), na zakręcane robota lub obracane wokół jego os ponowej obok składowych wzdłużnych sł reakcj podłoża A F x stotny wpływ mają składowe poprzeczne A F y Zasadnczy wpływ na ruch robota ma wówczas także sposób jego napędzana Przykładowo, jeżel napęd jest przekazywany na wszystke koła jezdne (bezpośredno lub za pośrednctwem pasków zębatych), wówczas w przypadku obracana w mejscu (wokół os ponowej), np w lewo składowe wzdłużne sł reakcj podłoża A F x mają zwroty zgodne ze zwrotem os x układu odnesena zwązanego z robotem dla kół jezdnych znajdujących sę po prawej strone robota, a przecwne dla kół jezdnych usytuowanych po strone lewej Z kole składowe poprzeczne sł reak- 95

96 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych cj podłoża A F y mają wtedy zwroty zgodne ze zwrotem os y tego samego układu odnesena dla kół tylnych, a przecwne dla kół przednch W przypadku obracana sę robota w prawo wokół os ponowej omówone składowe sł reakcj podłoża maja zwroty przecwne do wymenonych Zatem w przypadku obracana sę robota wokół os ponowej wszystke składowe wzdłużne sł reakcj podłoża będą powodowały ruch, a wszystke składowe poprzeczne będą temu ruchow przecwdzałały Dlatego też prędkość kątowa platformy moblnej robota w trakce obracana ne będze w ścsły sposób wynkała z prędkośc kątowych kół jezdnych, tj będą spełnone nerównośc (43) (43) Zatem rozwązane zadań prostego odwrotnego knematyk dla robota ne będze wystarczająco dokładne Jeszcze gorszy przypadek występuje, gdy napęd jest przekazywany tylko na dwa koła jezdne robota (np tylne), a pozostałe są swobodne Wówczas tylko dwe składowe wzdłużne sł reakcj podłoża dla napędzanych kół jezdnych będą powodowały ruch, a wszystke pozostałe składowe sł reakcj w płaszczyźne stycznośc kół jezdnych z podłożem będą temu ruchow przecwdzałały Nezależne od sposobu napędzana, wszystke składowe sł reakcj podłoża będą zależały od: zastosowanych opon, rodzaju podłoża, po którym porusza sę robot stanu współpracujących powerzchn, z których wynkają wartośc współczynnków charakteryzujących współpracę kół jezdnych z podłożem (podrozdzał 3) Z powyższych rozważań wynka fakt, że w celu realzacj ruchu robota z zadowalająca dokładnoścą, zadane prędkośc kątowe obrotu własnego kół jezdnych pownny być wyznaczane na beżąco przez regulator na podstawe zadanych aktualnych prędkośc ruchu robota, tj prędkośc lnowej punktu oraz prędkośc kątowej obrotu platformy moblnej wokół jej os ponowej 43 Model szczegółowy Szczegółowy model dynamk robota SCUT (opsanego w podrozdzale 4) został opracowany z użycem metodyk modelowana omówonej w rozdzale 3 Model ten został przygotowany w dwóch wersjach: w wersj umożlwającej rozwązane zadana odwrotnego dynamk, tj wyznaczene nezbędnych do zadanego ruchu momentów napędowych; oraz w wersj przeznaczonej do rozwązana zadana prostego dynamk, czyl wyznaczena ruchu robota na podstawe danych momentów napędowych ys 47 Schemat modelu robota SCUT umożlwający rozwązane zadana odwrotnego dynamk, opracowany z użycem paketu MATLAB/Smulnk 96

97 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Schemat blokowy perwszej wersj modelu robota SCUT został pokazany na rys 47 zawera analogczne podsystemy, jak model opracowany dla robota Poneer DX (podrozdzał 43) Dodatkowo na schemace wprowadzono blok Zadane odwrotne dynamk napędów, który może pozwolć na wyznaczene takch parametrów napędów, jak aktualne poberany prąd, czy nezbędne do założonego ruchu napęce wejścowe, na podstawe znanych momentów napędowych zadanych parametrów kątowych obrotu własnego kół jezdnych, czyl w oparcu o równana (35) (35) Ponadto, w przypadku zadana odwrotnego knematyk może być stosowana zależność (43) zamast (46) Schemat blokowy modelu umożlwającego rozwązane zadana prostego dynamk jest przedstawony na rys 48 ys 48 Schemat modelu robota SCUT umożlwający rozwązane zadana prostego dynamk, opracowany z użycem paketu MATLAB/Smulnk Powyższy schemat zawera podsystemy: Zadany ruch robota generuje zadane przebeg prędkośc charakterystycznego punktu robota v prędkośc kątowej jego korpusu ϕ ; d Zadane odwrotne knematyk robota wyznacza zadane prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych θ 3d θ na podstawe zadanych 4d prędkośc v ϕ, korzystając z równana (43); d zd Zadany tor ruchu punktu robota oblcza wektor zadanych prędkośc uogólnonych q na podstawe zadanych prędkośc v ϕ, z uży- d cem równana (45), a następne na drodze całkowana wyznacza zadane współrzędne charakterystycznego punktu robota x d y d (co pozwala na narysowane zadanego toru ruchu tego punktu) oraz zadaną orentację korpusu robota ϕ ; zd Sterowane oblcza napęce wejścowe nezbędne do ruchu robota z zakładanym prędkoścam kątowym kół jezdnych θ 3d θ, ze wzoru (35); 4d Zadane proste dynamk napędów umożlwa wyznaczene poboru prądu momentu napędowego dla napędów robota na podstawe aktualnego napę- d zd zd 97

98 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych ca wejścowego aktualnych parametrów kątowych obrotu własnego napędzanych kół jezdnych, na podstawe równań (348) (349); Zadane proste dynamk robota rozwązuje zadane proste dynamk robota korzystając z model: otoczena (podrozdzał 3); kontaktu opony z podłożem (podrozdzał 3), tj równana (33); opony z zastosowanem modelu HB Pacejk (podrozdzał 33) oraz przyjętej w pracy zależnośc na poślzg wzdłużny kół jezdnych układ równań (3); koła jezdnego uzupełnonego o model przekładn pasowej łączącej koła tylne przedne znajdujące sę po jednej strone robota, tj z użycem równań omówonych w nnejszym podrozdzale; platformy moblnej (podrozdzał 35), z równań (33) (33); oraz tarca w parach knematycznych (podrozdzał 37) zależnośc (346) (347) Ta wersja modelu zostane użyta w badanach symulacyjnych w celu zbadana wpływu dynamk napędów na ruch robota oraz będze wykorzystana w badanach dotyczących realzacj ruchu nadążnego robota (podrozdzał 6) W badanach tych szczegółowy model dynamk robota będze odwzorowywał zachowane rzeczywstego obektu W przypadku użyca w roboce hybrydowego układu jezdnego, w którym nezależne napędzane są tylne koła jezdne, a następne napęd z nch przenoszony jest na koła przedne za pomocą pasków zębatych (które mogą także pełnć rolę gąsenc) koneczne jest uwzględnene dodatkowo przekładn pasowej z paskam zębatym w modelu robota Model przekładn wraz z dwoma kołam jezdnym oraz dzałającym na ne słam momentam sł zlustrowano na rys 49 W modelu tym zakłada sę, że pasek zębaty ne ślzga sę po powerzchn kół pasowych, poneważ są one zaopatrzone w zęby współpracujące z tym, które są na pasku ys 49 Model przekładn pasowej wraz z tylnym przednm kołem jezdnym Należy zauważyć, że w analzowanym przypadku oprócz sł momentów sł zwązanych z kontaktem kół jezdnych z podłożem, momentów napędowych momentów tarca w parach knematycznych, na koła te dzałają także sły zwązane z napęcem górnej dolnej częśc paska zębatego (gąsency), odpowedno F tu F td Sły momenty sł pochodzące od paska zębatego można zapsać jako: 98

99 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych gdze: r = r = [,, r ] T u d F t = Ftu + Ftd, T t ru Ftu + rd Ftd t =, (447), r t promeń podzałowy koła pasowego (z zębam), na którym umeszczone są pask zębate Sły napęca górnej dolnej częśc gąsency określone są z zależnośc: tcb = Ftcf [ F,, ] T F =, Fcs ktδlcs cs =, l = ( Δl ± ( θ θ ) r, ) Δ max, cs f b t (448) gdze: Δl wstępne napęce gąsency, Δl cs aktualne wydłużene gąsency, k t współczynnk sztywnośc gąsency, F cs aktualne napęce gąsency, c = {u, d}, u górna część gąsency, d dolna część gąsency, s = {l, r}, l lewa gąsenca, r prawa gąsenca, f = {, }, b = {3, 4}, f przedne koła jezdne, b tylne koła jezdne, f = b = 3 dla s = l oraz f = b = 4 dla s = r W powyższym równanu znak + obowązuje dla górnej gąsency (c = u), natomast dla dolnej (c = d) Dynamczne równana ruchu koła jezdnego mogą być zapsane w analogcznej postac do równań (38) (39) po ch uzupełnenu o sły momenty sł wynkające z zastosowanych pasków zębatych, tj jako: ( ) m a = F + F + + m A t A g, (449) ( ) ( ) ( θ + φ ) + ( θ + φ ) I ( θ + φ ) = T + T + M τ I +, (45) gdze: m, I masa tensor bezwładnośc koła jezdnego, a wektor przyspeszena środka masy tego koła, F A wektor sł reakcj w mejscu kontaktu, T A wektor momentu sł reakcj pochodzący od sł momentów sł reakcj w mejscu () kontaktu,, () A M wektory sły momentu sły reakcj wewnętrznych, dzałające na koło w mejscu jego zamocowana do platformy moblnej, A g wektor przy- A speszena grawtacyjnego, φ, φ wektory prędkośc przyspeszena kątowego platformy moblnej, θ, θ wektory prędkośc przyspeszena kątowego ( ) ( ) ( ) obrotu własnego koła jezdnego względem platformy moblnej, τ = τd + τ f suma wektorów momentu napędowego oporów ruchu w parze knematycznej Należy zauważyć, że analzowany robot SCUT ma wyłączne nekerowane koła jezdne, w zwązku z tym ne ma potrzeby zapsywana równań (449) (45) w układach odnesena {A} zwązanych z tym kołam, gdyż ch ose mają zawsze tę samą orentację co układ odnesena {} zwązany z robotem W zwązku z tym równana te zostały zapsane w układze odnesena {} zwązanym z robotem Szczegóły dotyczące zadanych parametrów ruchu robota uzyskanych wynków zostaną opsane w punkce 5 dotyczącym symulacj ruchu robota SCUT A t A 99

100 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych 43 Model uproszczony Na potrzeby projektowana symulacj układów sterowana opartych na modelu obektu (sterowane adaptacyjne, odporne tp) zostane wyprowadzony uproszczony model robota SCUT dla wszystkch możlwych konfguracj układu napędowego: napędzana tylko tylnych kół jezdnych, hybrydowego układu jezdnego (napędzana tylnych kół jezdnych przenoszena napędu na koła przedne za pomocą pasków zębatych), oraz nezależnego napędu na wszystke cztery koła jezdne Nżej podane zależnośc są wyprowadzane zgodne z kolejnoścą ch stosowana w oblczenach modelu dynamk robota Zakłada sę, że na robota jezdne dzałają następujące sły zewnętrzne: sły reakcj podłoża F A = [ F Ax, F Ay, F Az ] T dzałające na poszczególne koła jezdne, sła cężkośc G = m g, gdze m oznacza masę całkowtą robota Sła cężkośc G jest funkcją przyspeszena grawtacyjnego g = = [ g x, g y, g z ] T jest przyłożona w środku masy robota, którego pozycję określa wektor r CM = [ x CM, y CM, z CM ] T W wynku dzałana wymenonych sł, zgodne z II prawem Newtona, robot T porusza sę z przyspeszenem a CM =[ a CMx, acmy, acmz ] Dla wszystkch konfguracj układu napędowego robota obowązują węc następujące dynamczne równana ruchu środka masy robota: 4 m acmx = Fx + = 4 m acmy = Fy + = 4 m acmz = Fz + = m m m g g g x y z, (45), (45) (453) Wektor przyspeszena grawtacyjnego, wyrażony w układze odnesena {} zwązanym z robotem, otrzymuje sę w wynku przekształcena: g = g, (454) gdze jest macerzą rotacj z neruchomego układu odnesena {} do ruchomego układu odnesena {} zwązanego z robotem, zaś wektor przyspeszena grawtacyjnego, wyrażony w neruchomym układze odnesena {}, wynos g = [,, g] T zuty tego wektora na ose układu odnesena {} zależą od aktualnej orentacj platformy moblnej, tj od kątów Eulera, odpowedno: przechylena Φ, pochylena Θ oraz odchylena Ψ (podrozdzał 3) wynoszą: g x = g s, Θ g y = g sφc, g Θ z = g cφc Θ (455)

101 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Zakłada sę, że robot ne wykonuje obrotów wokół os x y oraz ne przemeszcza sę na kerunku os z, tj a CMz = Wprowadza sę pomocnczy układ odnesena xyz o początku w punkce przecęca os z z podłożem (tj w punkce rys 4) oraz o osach równoległych do os układu odnesena zwązanego z robotem Dzałające na robota sły zewnętrzne w płaszczyznach xz yz dla opsanego przypadku (przyjmując, że y CM = ) zlustrowano na rys 4 Wprowadzone na rysunku ndeksy przy słach reakcj podłoża oznaczają odpowedne koła jezdne: f = {, } koła przedne, b = {3, 4} koła tylne, l = {, 3} koła lewe r = {, 4} koła prawe a) b) ys 4 Ilustracja sł zewnętrznych dzałających na robota w płaszczyznach: xz (a) yz (b) Na podstawe rozkładu sł pokazanych na rys 4 można zapsać dwa ponższe równana równowag momentów sł wokół os x oraz y, które znajdują sę w płaszczyźne stycznośc kół jezdnych z podłożem: m( acmy g y )( r+ zcg ) + m g z ycm + ( F z + F3 z F z F4 z ) W / =, (456) m( acmx + g x)( r+ zcg ) m g z xcm + ( F3 z + F4 z F z F z ) L / =, (457) gdze: L W odległośc środków kół jezdnych odpowedno na kerunku os x y, r promeń neodkształconego koła jezdnego

102 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych Zakładając, że: korpus robota jest bryłą sztywną, punkty stycznośc kół jezdnych z podłożem leżą w jednej płaszczyźne, opony kół jezdnych deformują sę wprost proporcjonalne do dzałających sł reakcj na kerunku normalnym do podłoża oraz odwrotne proporcjonalne do ch sztywnośc k (przyjmując, że sztywnośc opony są jednakowe dla wszystkch kół jezdnych), można zapsać następującą zależność na deformacje poszczególnych kół jezdnych: ( 3 4 Δ Δ Δ )/ L = ( Δ )/ L (458) Podstawając Δ = F z /k (bo F z = Δ k) otrzymuje sę dodatkowe równane: F3 z F z = F4 z F z (459) Przyjmując, że y CM =, można na podstawe równań (453), (456), (457) (459) wyznaczyć składowe normalne sł reakcj podłoża (zakładając, że znane są przyspeszena środka masy robota a, a a, oraz a = ) jako: = CMx CMy ((( g a ) /(L) + ( g a ) /(W ))( r+ z ) g (/ 4+ x /( ))) F z m x CMx y CMy CM z CM L = CMz CMz, (46) ((( g a ) /(L) ( g a ) /(W ))( r+ z ) g (/ 4+ x /( ))) F z m x CMx y CMy CM z CM L =, (46) ((( a g ) /(L) + ( g a ) /(W ))( r+ z ) g (/ 4 x /( ))), (46) F3 z m CMx x y CMy CM z CM L ((( a g ) /(L) ( g a ) /(W ))( r+ z ) g (/ 4 x /( ))) = (463) W przypadku pozomego podłoża powyższe wzory upraszają sę do postac: F4 z m CMx x y CMy CM z CM L = ( acmx /(L) acmy /(W ))( r+ zcm ) + g(/ 4 + xcm /( ))) ( acmx /(L) + acmy /(W ))( r+ zcm ) + g(/ 4+ xcm /( ))) ( acmx /(L) acmy /(W ))( r+ zcm ) + g(/ 4 xcm /( ))) ( a /(L) + a /(W ))( r+ z ) + g(/ 4 x /( ))) F z m L = F z m L = F3 z m L = F4 z m CMx CMy CM CM L, (464), (465), (466) (467) Należy zauważyć, że w celu oblczena wartośc składowych normalnych sł reakcj podłoża nezbędna jest znajomość parametrów ruchu środka masy robota CM środków geometrycznych kół jezdnych, tj charakterystycznych punktów A W tym celu do oblczeń berze sę wartośc tych parametrów z poprzednego kroku oblczeń, tj z chwl t Δt, gdze Δt jest przyjętym krokem dyskretyzacj W perwszym kroku oblczeń brane są po uwagę znane warunk początkowe

103 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Aktualną wartość poślzgu wzdłużnego dla -tego koła jezdnego wyznacza sę ze wzoru: A dla vx = vo =, λ = A A ( vx vo)/max( vx, vo) dla nnych v A x v o, (468) który jest uproszczoną wersją zależnośc (3), gdze vo = θ r oraz A v są odpowedno prędkoścą obwodową tego koła składową wzdłużną jego środka geome- x trycznego Aktualną wartość współczynnka przyczepnośc na kerunku wzdłużnym dla tego koła oblcza sę korzystając z modelu Kencke a [63] rozszerzonego przez autora, tj ze wzoru: μ p λ p λ dla λ λ, p μ = λ + λ x p a λ x λ + bλx sgn( λ ) dla λ > λ p, (469) gdze λ p oznacza wartość poślzgu wzdłużnego odpowadającą współczynnkow przyczepnośc przylgowej μ p (rys 34), a współczynnk a λx b λx określają wzory: a λx μ p μ = λ λ p k, b x = μ p ax λ p max λ, (47) gdze μ k oznacza współczynnk przyczepnośc poślzgowej (tożsamy ze współczynnkem tarca knetycznego), a λ max = jest maksymalną analzowaną w pracy wartoścą poślzgu wzdłużnego Składowa wzdłużna sły reakcj podłoża dla -tego koła jezdnego zależy od aktualnej wartośc współczynnka przyczepnośc na kerunku wzdłużnym, zgodne z zależnoścą: F = μ F (47) x Z kole aktualna wartość kąta poprzecznego znoszena dla -tego koła jezdnego wyznaczana jest z zależnośc: x z α = A arctg ( vy, v A x ) dla dla A y A vx v =, >, (47) gdze A v x A v y to odpowedno prędkoścą wzdłużna poprzeczna środka geometrycznego -tego koła jezdnego Na podstawe kąta poprzecznego znoszena można oblczyć dla -tego koła jezdnego aktualną wartość współczynnka przyczepnośc na kerunku poprzecznym W tym celu wprowadza sę przyblżoną, w stosunku do modelu HB Pacejk [55], zależność: 3

104 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych μ y = μ ymax sn( α ), (473) gdze μ ymax oznacza maksymalną wartość współczynnka przyczepnośc na kerunku poprzecznym (przyjmuje sę, że μ p μ ymax μ k ) Stąd składową poprzeczną sły reakcj podłoża dla -tego koła jezdnego oblcza sę ze wzoru: F = μ F (474) y Znając wartośc składowych wzdłużnych poprzecznych sł reakcj podłoża dla poszczególnych kół jezdnych można na podstawe zależnośc (45) (45) oblczyć wartośc przyspeszeń na kerunkach wzdłużnym poprzecznym ze wzorów: 4 a CMx = Fx / m + = 4 a CMy = Fy / m + = y z g g x y, (475), (476) natomast w przypadku pozomego podłoża można skorzystać z uproszczonych zależnośc: 4 a CMx Fx / = = m, (477) 4 a CMy Fy / = = m (478) Dla robota można także zapsać następujące dynamczne równane ruchu wynkające z jego obrotu z przyspeszenem ϕ wokół os z: I z ϕ z = 4 = + ( F T ( F + z y x y 3x CM z F )( W / y + F )( L / x CM ) ( F 3y ) + ( F x 4 y + F )( W / + y 4x + F )( L / + x (479) gdze: I z masowy moment bezwładnośc robota wokół os z, T z tzw moment stablzujący zwązany z obrotem -tego koła jezdnego wokół os z, wynkający z dzałających sł tarca na styku opony z podłożem Zakładając, że T z, tj moment stablzujący jest pomjalne mały w stosunku do pozostałych momentów sł dzałających wokół os z, oraz korzystając z równana (479) można wyznaczyć wartość przyspeszena zwązanego z obrotem robota wokół os z jako: ( ϕ z = ( F x + F3 x )( W / ycm ) + ( F x + F4 x )( W / + ycm ) + + ( F + F )( L / x ) ( F + F )( L / + x ))/ I, y y CM 3 y 4 y CM CM z ), CM ) + (48) 4

105 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych a następne na drodze całkowana oblczyć wartość prędkośc kątowej obrotu własnego korpusu robota wokół tej os, czyl ϕ z Na podstawe znanych wartośc przyspeszeń a CMx a CMy oraz prędkośc kątowej obrotu własnego korpusu robota ϕ, można wyznaczyć wartośc prędkośc z v CMx v CMy środka masy robota, a następne składowe prędkośc przyspeszena charakterystycznego punktu Jeżel x CM, wówczas acmx ax acmy ay Można zauważyć, że wektor prędkośc punktu robota zależy od prędkośc kątowej ϕ promena krzywzny toru z zgodne ze wzorem: z = ϕ (48) v z Ponadto, w ogólnym przypadku wektor przyspeszena składową styczną, jak normalną, tj obowązują zależnośc: a = v a = a τ + a => n z a = a a a ma zarówno τ n, (48) = (483) τ, an ( v ) / z = ( ϕz ) z = v ϕ z Zatem, w rezultace rozwązana równań: =, (484) vx ax + vy ϕz = ϕ, (485) vy ay vx z (które wynkają z rzutowana wektorów przyspeszeń występujących w równanu (48) na ose układu odnesena zwązanego z robotem) można oblczyć wartośc prędkośc v x v y Znając wartość składowej wzdłużnej prędkośc punktu, tj v oraz wartość prędkośc kątowej obrotu własnego korpusu robota wokół os z, czyl ϕ, x z można na tej podstawe oblczyć prędkośc A charakterystycznych punktów robota ze wzoru: v Alx v Arx vafy vaby = W L x L W C xc v ϕ x z (486) Dla przypomnena, ndeksy f, b, l r oznaczają koła jezdne: f = {, } koła przedne, b = {3, 4} koła tylne, l = {, 3} koła lewe r = {, 4} koła prawe Można dodatkowo założyć, że x C = x B =, tj współrzędna x określająca położene chwlowego środka obrotu platformy moblnej w układze zwązanym z robotem jest równa 5

106 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych Dla każdego z kół jezdnych robota można następne zapsać dynamczne równane ruchu wynkające z ch obrotu własnego: I Wy θ = τ + T F r F r f sgn( θ ) τ sgn( θ ), (487) t x w którym I Wy oznacza masowy moment bezwładnośc koła jezdnego wokół jego własnej os obrotu, τ jest momentem napędowym, τ f momentem sł tarca w parze knematycznej, T t momentem pochodzącym od sł w pasku zębatym, f r współczynnkem oporów toczena, natomast θ θ są odpowedno prędkoścą przyspeszenem kątowym obrotu własnego tego koła W mejsce funkcj sgn( θ ) można wprowadzć bardzej korzystną z punktu wdzena symulacj funkcję tgh( k θ θ ), gdze współczynnk k > pownen być θ tym wększy, m bardzej funkcja ta ma być zblżona do sgn( θ ) Momenty sł τ oraz T t zależą od konfguracj robota ze względu na sposób napędzana Borąc pod uwagę te konfguracje można zauważyć, że: dla nezależnego napędu na tylne koła jezdne: T t =, τ p =, p = {, }, (488) dla hybrydowego układu jezdnego (tj z paskam zębatym): T tp = τ a /, T ta = τ a /, a = {3, 4}, p = {, }, (489) dla nezależnego napędu na wszystke cztery koła jezdne: T t =, = a = {,, 3, 4}, (49) gdze ndeks a dotyczy napędzanych kół jezdnych, zaś ndeks p swobodnych kół jezdnych Uwzględnając powyższe zależnośc można z równana (487) wyznaczyć: momenty napędowe τ a dla napędzanych kół jezdnych na podstawe zadanych parametrów kątowych ch obrotu własnego θ a θ a (zadane odwrotne dynamk) oraz parametry kątowe obrotu swobodnych kół jezdnych, tj θ p θ p (o le take występują); parametry kątowe obrotu własnego kół jezdnych θ θ na podstawe dzałających na robota momentów napędowych τ a (zadane proste dynamk) stateczne otrzymuje sę węc następujące rozwązana: dla nezależnego napędu na tylne koła jezdne: τ = I θ + τ sgn( θ ) + F r+ F r f sgn( θ ), (49) a a Wy a f a z ( τa F axr Fazr fr sgn( θ a ) τ f sgn( θ a ))/ IWy ( F pxr Fpzr f r sgn( θ p ) τ f sgn( θ p ))/ IWy r ax θ =, (49) θ =, (493) p az r f a 6

107 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych dla hybrydowego układu jezdnego (z paskam zębatym): τ a a = τ p = ( IWy θ a + τ f sgn( θ a ) + Faxr+ Fazr fr sgn( θ a )) ( τa / F axr Fazr f r sgn( θ a ) τ f sgn( θ a ))/ IWy ( τa / F pxr Fpzr fr sgn( θ p ) τ f sgn( θ p ))/ IWy, (494) θ =, (495) θ =, (496) p dla nezależnego napędu na wszystke cztery koła jezdne: τ = I θ + τ sgn( θ ) + F r+ F r f sgn( θ ), (497) a a Wy a f a ( τa F axr Fazr f r sgn( θ a ) τ f sgn( θ a ))/ IWy ax θ = (498) Powyższe równana momentów napędowych τ a można zapsać dla wszystkch napędzanych kół jezdnych w zwartej postac, dogodnej do syntezy układów sterowana: Y a = τ, (499) gdze a jest wektorem parametrów modelu dynamk robota, a macerz Y jest zależna od aktualnych parametrów ruchu robota Zatem, w celu ułatwena projektowana układów sterowana, model dynamk robota pownen być lnowy ze względu na wektor parametrów robota a Jeżel przyjme sę dla uproszczena, że współczynnk przyczepnośc μ x opony podłoża zmena sę zgodne z modelem Kencke a [63], tj według wzoru: az μ = μ λ λ /( λ + λ ) (4) x p p Zakładając, że λ p = 6,5 (typowo λ p zawera sę w przedzale [35]), wówczas równane (499) może być rozpsane dla robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym w postac dwóch równań skalarnych: ( θ3 + tgh( θ a a k 3) + λ λ3 /( λ + λ3)( ) + θ p p a a ax a ay (4) + ( a + a a a a ) tgh( k θ ( 6 7 x 8 y θ 3 p )) = τ, θ4 + tgh( θ a a k 4) + λ λ4 /( λ + λ4)( ) + θ p p a a ax a ay (4) + ( a + a a + a a ) tgh( k θ 6 7 x 8 y θ 4 3 )) = τ, gdze występujące w równanach parametry modelu dynamk robota wynoszą: a = CM L = b I Wy, a = b = τ f 4 r a, (43) a = b b = μ p m g r(/ 4 x /( )), a = b b = μ p m r( r+ z ) /( ), (44) CM W CM L a = b b = μ p m r( r+ z ) /( ), a 6 = b4b7 = mg r(/ 4 xcm /(L)) f, (45) r a ) 7 = b5b7 = mr( r+ zcm ) /(L f r a 8 b6b7 = mr( r+ zcm ) /(W ) fr =,(46) 7

108 4 ps ruchu moblnych robotów kołowych przy czym: b3 = μ p, b4 = mg r(/ 4 xcm /(L)), b5 = m r( r+ zcm ) /(L), (47) b = m r( r z ) /( ), b 7 = fr (48) 6 + CM W Ponadto, w mejsce funkcj sgn( θ ) wprowadza sę funkcję tgh( k θ ) Na podstawe znanych parametrów a 3 a 8 mogą być oblczone wartośc składowych normalnych sł reakcj podłoża składowych wzdłużnych (dla napędzanych kół jezdnych) jako: F = a a a a a ) /( r f ), F = a a a + a a ) /( r f ), (49) z ( 6 7 x 8 y r z ( 6 7 x 8 y r = a + a a a a ) /( r f ), F = a + a a + a a ) /( r f ), (4) F3 z ( 6 7 x 8 y r θ 4z ( 6 7 x 8 y r F3 x 3x 3z p 3 p x 5 = μ F = λ λ /( λ + λ )( a + a a a a ) / r, (4) F4 x 4x 4z p 3 p x + 5 = μ F = λ λ /( λ + λ )( a + a a a a ) / r (4) o le znane są wartośc parametrów r, f r μ x Analzując równana (4) (4) można zauważyć mn, że do estymacj momentów napędowych τ 3 τ 4, dla robota w wersj z hybrydowym układem jezdnym, nezbędna jest znajomość wartośc takch parametrów ruchu robota, jak: θ 3, θ 4, θ3, θ 4, a x, ay oraz poślzgów λ 3 λ 4, które z nch wynkają W równanach tych ne występuje natomast w sposób jawny przyspeszene kątowe ϕ obrotu własnego platformy moblnej an masowy moment bezwładnośc I z z psany uproszczony model dynamk robota może być także uzupełnony o model jego napędów (przedstawony w podrozdzale 38) y y 8

109 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych 5 obot trzykołowy W badanach symulacyjnych dla robota trzykołowego Poneer DX został zastosowany model dynamk opsany w podrozdzale 43 Badana zostały przeprowadzone w dwóch etapach, przy czym perwszy etap dotyczył analzy ruchu wzdłużnego robota, natomast w ramach drugego etapu rozpatrywany był manewr zakręcana robota Do badań symulacyjnych przyjęto szacunkowe wartośc współczynnków charakteryzujących współpracę opon robota z różnym rodzajam podłoża (tab 3) 5 Analza ruchu wzdłużnego robota Badana rozpoczęto od analzy wpływu prędkośc przyspeszena ruchu robota na poślzg kół jezdnych W perwszej kolejnośc analza została przeprowadzona dla przypadku ruchu wzdłużnego robota, tj takego, w którym jego korpus jest w ruchu postępowym do przodu (wszystke punkty korpusu robota poruszają sę po torach prostolnowych), a koła jezdne są w ruchu płaskm W tym przypadku analzowane były poślzg wzdłużne kół jezdnych Założono występowane następujących faz ruchu: rozpędzane od chwl czasu t do t r na drodze l r ; jazda ze stałą prędkoścą v = v u (w przedzale czasu od t r do t h ) na drodze d L p l r l h ; hamowane od chwl czasu t h do t z na drodze l h, gdze długośc L p, l r l h oznaczają odpowedno: długość drog jazdy ze stałą prędkoścą v u oraz drogę rozpędzana drogę hamowana Prędkość charakterystycznego punktu korpusu robota ma postać: step( t, t,, tr, vu ) dla t ( tr + t ) /, h v d = vxd = (5) step( t, th, vu, tz, ) dla t > ( tr + th) /, gdze: t aktualny czas symulacj, t, t r, t h, t z charakterystyczne chwle czasu, odpowedno: rozpoczęca ruchu, zakończena rozpędzana, rozpoczęca hamowana, zakończena ruchu, v u zadana prędkość charakterystycznego punktu robota w ruchu ustalonym W zwązku z powyższym okres czasu, w jakm robot pownen być w ruchu wynos T = t z t, zaś w ruchu ze stałą prędkoścą T u = t h t r Funkcja step(,,,, ) została zapożyczona z programu MD Adams [4] umożlwa wygenerowane łagodnego przebegu prędkośc Wartośc tej funkcj są wyznaczane zgodne z zależnoścą: 9

110 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych h dla x x, step( x, x, h, x, h ) = h + a Δ ( 3 Δ) dla x < x < x, (5) h dla x x, gdze: a h h Δ = x x x x Charakterystyczne chwle czasu oblczone zostały na podstawe ponższych zależnośc, które wynkają z funkcj step(,,,, ) =, ( ) ( ) t =,5 s, tr = lr / vu + t, t h = Lp / vu + tr, t z = lh / vu + th (53) W przypadku zastosowana funkcj step(,,,, ) maksymalne wartośc przyspeszeń podczas rozpędzana hamowana wynoszą odpowedno: a r 3 vu =, 4 l r a h 3 vu = (54) 4 l uch robota może być także zadawany w nny sposób, tj dla danej prędkośc v u, zamast drog rozpędzana l r drog hamowana l h mogą być zadawane maksymalne wartośc przyspeszeń podczas rozpędzana hamowana, czyl a r a h Wówczas drogę rozpędzana hamowana w analzowanym przypadku można wyznaczyć ze wzorów: 3 vu lr =, 4 a r l h h h 3 vu = (55) 4 a W badanach symulacyjnych założono różne wartośc zadanej prędkośc ruchu robota v d, przyjmując, że prędkość kątowa obrotu własnego platformy moblnej ϕ jest równa zero Badana przeprowadzono dla różnych kombnacj zd prędkośc (tab 5) rodzajów podłoża (tab 3) Przyjęto, że droga rozpędzana wynos l r =,5 m, droga jazdy ze stałą prędkoścą L p =,5 m, a droga hamowana l h =,5 m Tab 5 Waranty prędkośc v u do analzy ruchu wzdłużnego robota Poneer DX Warant v u (m/s),,3,6,,3,6 Następne wyznaczono nezbędne do założonego ruchu prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych korzystając z zależnośc: = θ W d / vd θ =, (56) d θ r W / ϕ d zd która odpowada zależnośc (46)

111 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych W ten sposób rozwązano zadane odwrotne knematyk dla robota, co szerzej omawano w podrozdzale 4 W pracy zaprezentowano dalej wybrane wynk symulacj dla różnych rodzajów podłoża W symulacjach wyznacza sę błąd położena charakterystycznego punktu robota w trakce jego ruchu ze wzoru: e = ( xd x ) + ( yd y ), (57) czyl borąc pod uwagę różncę zadanych aktualnych współrzędnych tego punktu Symulacja 5 Założono, że robot ma poruszać sę prosto z maksymalną prędkoścą v u =, m/s po podłożu betonowym Zadano przebeg prędkośc przyspeszena charakterystycznego punktu robota (rys 5a) W wynku symulacj wyznaczono mn przebeg momentów napędowych nezbędnych do realzacj zakładanego ruchu (rys 5b) oraz składowe sł reakcj podłoża dla kół (rys 5c), 3 a) b) v d (m/s) a d (m/s ) c) d) A F x (N) 4 A F y (N) A F z (N) λ (%) e) e (m) τ y (Nm) τ y (Nm) ys 5 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego robota Poneer DX z zadaną prędkoścą v u =, m/s po podłożu betonowym Podczas ruchu robota występuje newelk poślzg wzdłużny kół jezdnych, który dla koła nr w ruchu ustalonym osąga wartość mnejszą od % (rys 5d), w zwązku z tym występuje newelk błąd realzacj zadanego ruchu punktu robota (rys 5e) Błąd ten wynka jedyne z występujących poślzgów kół jezdnych,

112 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych gdyż rozwązując zadane odwrotne dynamk zakłada sę, że zadane parametry kątowe kół jezdnych są realzowane w sposób dealny, tj bez błędów Symulacja 5 Druga symulacja została przeprowadzona dla podobnych założeń jak symulacja perwsza, ale tym razem maksymalna zadana wartość prędkośc robota wynosła v u =,3 m/s Zadany przebeg prędkośc przyspeszena charakterystycznego punktu robota zlustrowano na rys 5a, natomast na rys 5b e uzyskane wynk Porównując te wynk z otrzymanym w poprzednej symulacj można zauważyć, że mmo wększej prędkośc przyspeszena, otrzymano neco mnejszą maksymalną wartość błędu położena charakterystycznego punktu robota (rys 5e) Wynka to z faktu, że w przypadku ruchu z mnejszą prędkoścą (np, m/s, jak w poprzednej symulacj) wększy negatywny wpływ na dokładność realzacj ruchu mają opory ruchu w parach knematycznych, których występowane uwzględnono w modelu robota Nemnej jednak w obu przypadkach występowane tarca w parach knematycznych ne wpływa w stotny sposób na dokładność realzacj ruchu a) b) 4 3 v d (m/s) a d (m/s ) c) d) A F x (N) 4 A F y (N) A F z (N) λ (%) e) e (m) τ y (Nm) τ y (Nm) ys 5 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego robota Poneer DX z zadaną prędkoścą v u =,3 m/s po podłożu betonowym Symulacja 53 Trzeca symulacja została wykonana dla analogcznych założeń jak poprzedne, przy czym dla zadanej prędkośc ruchu robota v u =, m/s Na uwagę zasługuje tym ra-

113 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych zem fakt znaczne zwększonych w trakce rozpędzana hamowana robota wartośc momentów napędowych (rys 53b), składowych wzdłużnych sł reakcj podłoża dla napędzanych kół jezdnych (rys 53c), poślzgu wzdłużnego (rys 53e) oraz występujące zmany składowych normalnych sł reakcj podłoża (rys 53c d), co jest spowodowane występowanem stosunkowo dużych tzw sł bezwładnośc dzałających na robota W efekce błąd realzacj zadanego ruchu charakterystycznego punktu robota (rys 53f) jest neco wększy w stosunku do poprzedno analzowanych przypadków a) b) v d (m/s) a d (m/s ) c) d) A F x (N) 4 A F y (N) A F z (N) τ y (Nm) e) f) λ (%) e (m) τ y (Nm) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) ys 53 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego robota Poneer DX z zadaną prędkoścą v u =, m/s po podłożu betonowym Symulacja 54 Kolejną, czwartą symulację przeprowadzono dla podobnych założeń jak poprzedno, lecz tym razem dla maksymalnej dla robota Poneer DX prędkośc v u =,6 m/s Jak należało sę spodzewać, uzyskano jeszcze wększe wartośc momentów napędowych nezbędnych do założonego ruchu (rys 54b), składowych wzdłużnych sł reakcj podłoża dla napędzanych kół jezdnych (rys 54c), poślzgów wzdłużnych (rys 54e) oraz wększe zróżncowane składowych normalnych sł reakcj podłoża (rys 54c d) W efekce otrzymano wększe wartośc błędu realzacj zadanego ruchu spowodowane poślzgem (rys 54f) Wdoczna (rys 54e) różnca maksymalnych (bezwzględnych) wartośc poślzgu wzdłużnego wynka z różnć w zakrese 3

114 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych składowych normalnych sł reakcj podłoża dla napędzanych kół jezdnych (rys 54c) Podczas rozpędzana składowe te przyjmują wartośc najmnejsze, węc koła jezdne przenoszą najmnejsze składowe wzdłużne sł reakcj podłoża, natomast w trakce hamowana składowe normalne osągają wartośc maksymalne, co pozwala na przenoszene maksymalnych sł wzdłużnych W konsekwencj podczas hamowana występują mnejsze (bezwzględne) wartośc poślzgu wzdłużnego, a robot podczas hamowana może osągać wększe (bezwzględne) wartośc przyspeszena a) b) v d (m/s) a d (m/s ) c) d) A F x (N) A F y (N) A F z (N) e) f) λ (%) τ y (Nm) τ y (Nm) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) e (m) ys 54 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego robota Poneer DX z zadaną prędkoścą v u =,6 m/s po podłożu betonowym Symulacja 55 W następnej symulacj analzowano analogczny jak poprzedno ruch robota, ale ze znaczne wększym wartoścam przyspeszena podczas rozpędzana hamowana W tym celu stotne skrócono drogę rozpędzana hamowana, przyjęto l r =,5 m l h =,5 m zakładając, że długość drog jazdy ze stałą prędkoścą L p =,5 m ne ulega zmane Wynkające z takch założeń przebeg zadanej prędkośc zadanego przyspeszena punktu robota pokazano na rys 55a W tym przypadku naczej wyglądają przebeg nezbędnych do założonego ruchu momentów napędowych Ich wartośc są stotne wększe w stosunku do poprzednch symulacj (rys 55b) Ponadto występują znaczne wększe wartośc poślzgu wzdłużnego, dochodzące nawet do % (rys 55e) oraz znaczne wększe wartośc składowych wzdłużnych sł reakcj podłoża dla napędzanych kół jezdnych (rys 55c) W efekce następuje bardzo 4

115 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych duże zróżncowane składowych normalnych sł reakcj podłoża dla kół jezdnych (rys 55c d), w szczególnośc w trakce rozpędzana stotne zmnejszają sę te składowe dla napędzanych kół przednch, a zwększają dla samonastawnego koła podperającego znajdującego sę z tyłu Z kole w trakce hamowana występuje odwrotny efekt, a na dodatek tylne koło odrywa sę od podłoża robot pochyla sę do przodu Dalsze zwększane zadanego przyspeszena ruchu robota powoduje zwększane opsanych wyżej efektów, prowadząc do przewrócena sę robota do przodu a) b) v d (m/s) a d (m/s ) c) d) A F x (N) A F y (N) A F z (N) e) f) λ (%) τ y (Nm) τ y (Nm) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) ys 55 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego robota Poneer DX z zadaną prędkoścą v u =,6 m/s po podłożu betonowym z dużym przyspeszenam Symulacja 56 statna, prezentowana symulacja dotycząca robota Poneer DX była zwązana z jego ruchem wzdłużnym po lodze z prędkoścą v u =,6 m/s Zadany ruch robota zlustrowano na rys 56a, natomast na rys 56b f uzyskane wynk Analzując uzyskane przebeg można zauważyć stosunkowo małe wartośc momentów napędowych (rys 56b) składowych wzdłużnych sł reakcj podłoża dla napędzanych kół jezdnych (rys 56c), co wynka z małej wartośc współczynnka przyczepnośc przylgowej dla lodu (tab 3) z newelkej wartośc przyspeszena robota (rys 56a) W trakce rozpędzana występują dość duże wartośc poślzgu wzdłużnego (rys 56d), co powoduje duże błędy w realzacj założonego ruchu (rys 56e) Uzyskany w wynku ruchu przebeg prędkośc w trakce rozpędzana stotne odbega od przebegu zadanego, co pokazano na dodatkowym rys 56f e (m) 5

116 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych Dalsze zwększane prędkośc przyspeszena ruchu robota potęguje wyżej omówone zjawska prowadząc do coraz wększych błędów w realzacj założonego ruchu aż do całkowtego braku ruchu, w momence, gdy poślzg wzdłużny cały czas będze utrzymywał sę na pozome % a) b) v d (m/s) a d (m/s ) c) d) 4 A F x (N) A F y (N) A F z (N) λ (%) e) f) e (m) τ y (Nm) τ y (Nm) v (m/s) v d (m/s) ys 56 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego robota Poneer DX z zadaną prędkoścą v u =,6 m/s po lodze 5 Analza robota w trakce manewru zakręcana becne zostane przeprowadzona analza ruchu robota w trakce manewru zakręcana dla różnych prędkośc lnowych charakterystycznego punktu robota dla różnych promen zakrętu Analzowane będą zarówno poślzg wzdłużne, jak poprzeczne kół jezdnych psane badana będą realzowane podobne jak poprzedno przy założenu, że zadane są parametry kątowe obrotu napędzanych kół jezdnych, a wyznaczone zostaną nezbędne do ruchu momenty napędowe, czyl rozwązywane będze zadane odwrotne dynamk robota Prędkość charakterystycznego punktu korpusu robota jest zadana analogczne jak w przypadku ruchu wzdłużnego robota, zależność (5) uch robota odbywa sę przy założenu, że droga rozpędzana wynos l r =,5 m, jazdy ze stałą prędkoścą po ln prostej L p =,5 m, a hamowana l h =,5 m Zadany promeń zakręcana (dla punktu korpusu robota) wynos z, a droga, jaką pokonuje punkt robota w trakce 6

117 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych manewru zakręcana wynos π z /, czyl zakłada sę, że w wynku manewru zakręcana korpus robota obróc sę o kąt φ zm = π/ rad Należy podkreślć, że zadany tor ruchu robota w trakce manewru zakręcana stanow jedyne przyblżene łuku okręgu Wynka to z faktu, że aby nastąpło przejśce z toru prostolnowego na łuk okręgu odwrotne prędkość kątowa mus sę zmenć odpowedno od wartośc równej zero do wartośc równej v d / z, a następne od tej wartośc do zera Zmana ta ne jest możlwa w neskończene krótkm czase, w zwązku z tym m krótszy będze ten czas przejśca z jednego toru ruchu w drug, tym bardzej łuk uzyskany w trakce manewru zakręcana będze zblżony do łuku okręgu W badanach symulacyjnych zakłada sę, że różne wartośc zadanej prędkośc ruchu charakterystycznego punkt robota w ruchu ustalonym v u oraz promena zakrętu z Z welkośc tych wynka prędkość kątowa obrotu własnego platformy moblnej w trakce ustalonego zakręcana, która wynos: ϕ (58) zu = v u / Przebeg zadanej prędkośc charakterystycznego punktu robota generuje sę podobne jak w przypadku ruchu wzdłużnego z użycem funkcj step(,,,, ), tj korzystając z zależnośc (5) Podobne, przebeg zadanej prędkośc kątowej obrotu własnego korpusu robota generuje sę korzystając ze wzoru: step( t, t,, t, ϕ ) dla t ( t + t ) /, zu 3 ϕ = (59) zd step( t, t3, ϕ zu, t4, ) dla t > ( t + t3) / t Charakterystyczne chwle czasu wyznaczane są na podstawe zależnośc: t =,5 s, tr = lr / vu + t, t = Lp / vu 3/ 4 ϕ zu / ϕ zm + t, (5) r =, t3 = ϕzm z / vu + t, t4 = 3/ ϕ zu / ϕ zm + t, 3 (5) 3/ ϕzu / ϕzm + t t h Lp / vu 3/ 4 ϕ zu / ϕzm + t4 z =, t z = lh / vu + t, (5) h gdze charakterystyczne chwle czasu mają następujące znaczene: t rozpoczęce ruchu po torze prostolnowym, t r zakończene rozpędzana, t zakończene jazdy po torze prostolnowym rozpoczęce jazdy po łuku okręgu, t ustalene sę prędkośc kątowej zakręcana, t 3 kończene jazdy po łuku okręgu, t 4 zakończene jazdy po łuku okręgu rozpoczęce jazdy po torze prostolnowym, t h rozpoczęce hamowana, t z zakończene ruchu W powyższych wzorach występuje zakładana maksymalna wartość przyspeszena kątowego w trakce realzacj manewru zakręcana ϕ, która decyduje zm o tym, jak szybko prędkość kątowa obrotu własnego korpusu robota osągne zadaną wartość ϕ zu W zwązku z konecznoścą wygenerowana krzywych przejścowych z łuku okręgu na prostą, odwrotne, skrócenu ulega droga jazdy po ln prostej 7

118 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych Podobne jak w przypadku ruchu wzdłużnego zadane przebeg prędkośc charakterystycznego punktu robota v d oraz prędkośc kątowej obrotu własnego korpusu ϕ mogą być także wygenerowane w nny sposób Przykładowo zadana zd trajektora ruchu może ne zawerać częśc zwązanych z krzywym przejścowym Następne wyznacza sę nezbędne do założonego ruchu prędkośc kątowe obrotu własnego kół jezdnych korzystając z zależnośc (56), czyl rozwązuje zadane odwrotne knematyk dla robota Badana symulacyjne przeprowadzono dla różnych kombnacj prędkośc v u przyspeszeń kątowych ϕ (tab 5), promen zakrętów zm z (tab 53) oraz dla rodzajów podłoża (tab 3) Założono, że przyspeszene kątowe ϕ jest proporcjonalne do prędkośc v u Dalej zaprezentowano wybrane wynk zm symulacj ϕ do analzy manewru zakrę- zm Tab 5 Waranty prędkośc v u przyspeszeń kątowych cana robota Poneer DX Warant v u (m/s),,,3,5,7,,3,6 ϕ zm (rad/s),5 π, π,5 π,5 π,35 π,5 π,65 π,8 π Tab 53 Waranty promen zakrętu z do analzy manewru zakręcana robota Poneer DX Warant z (m),5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, Symulacja 57 Perwszą symulację manewru zakręcana robota Poneer DX przeprowadzono dla zadanych parametrów lnowych ruchu charakterystycznego punktu robota (rys 57a) oraz zadanych parametrów kątowych obrotu własnego platformy moblnej (rys 57b) zakładając, że ruch odbywa sę po podłożu betonowym Dla tak zadanych parametrów ruchu robota wyznaczono zadane wartośc prędkośc kątowych obrotu własnego kół jezdnych (rys 57c) W wynku symulacj uzyskano przebeg zaprezentowane na rys 57d j Analzując te przebeg można zauważyć, że momenty napędowe nezbędne do założonego ruchu (rys 57d) osągają newelke wartośc Gwałtowne zmany wartośc momentów napędowych można zaobserwować w początkowej końcowej faze ruchu, co ma odzwercedlene w postac analogcznych zman składowych wzdłużnych sł reakcj podłoża dla napędzanych kół jezdnych (rys 57e f) oraz poślzgów wzdłużnych (rys 57g) Gwałtowne zmany tych parametrów (oscylacje) w momence rozpoczęca zakończena ruchu wynkają przede wszystkm z dzałana solvera maleją wraz ze zwększanem dokładnośc symulacj, tj zmnejszanem kroku dyskretyzacj Δt Ponadto, spowodowane są one użycem modelu opony HB Pacejk, który sprawdza sę najlepej w stanach ustalonych, natomast podczas rozpędzana hamowana występują stany przejścowe W trakce ruchu robota występują newelke, bo wynoszące mne nż %, poślzg napędzanych kół jezdnych (rys 57g) oraz neduże wartośc kąta poprzecznego znoszena dla tych kół (rys 57h) 8

119 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych a) b) 4 v d (m/s) a d (m/s ) c) d) 4 3 θ (rad/s) θ (rad/s) e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) ω zd (rad/s) ε zd (rad/s ) τ y (Nm) τ y (Nm) A F x (N) A F y (N) A F z (N) g) h) λ (%) λ (%) α (rad) α (rad) ) j) 4 y (m) r r d e (m) e ψ (rad) x (m) ys 57 Wynk symulacj manewru zakręcana robota Poneer DX z zadaną prędkoścą v u =,3 m/s promenem zakrętu z =,5 m po podłożu betonowym 9

120 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych W rezultace symulowanego ruchu robota uzyskano także neduże wartośc błędów pozycj orentacj robota (rys 57) Uzyskany tor ruchu robota jest bardzo zblżony do zadanego (rys 57j) W analzowanym zadanu odwrotnym dynamk powstałe błędy wynkają wyłączne z występujących newelkch poślzgów kół jezdnych, gdyż zakłada sę, że zadane parametry kątowe tych kół są realzowane w sposób dealny Symulacja 58 W kolejnej symulacj analzowany był analogczny jak poprzedno ruch robota, z tym, że tym razem z wększą prędkoścą, tj wynoszącą v u =, m/s Dla zadanych parametrów ruchu robota zlustrowanych na rys 58a c otrzymano przebeg przedstawone na rys 58d j a) b) v d (m/s) a d (m/s ) ω zd (rad/s) ε zd (rad/s ) c) d) θ (rad/s) θ (rad/s) τ y (Nm) τ y (Nm) e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) 4 4 A F x (N) A F y (N) A F z (N) g) h) λ (%) λ (%) α (rad) α (rad) 4 6 8

121 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych ) j) 4 y (m) r r d e (m) e ψ (rad) x (m) ys 58 Wynk symulacj manewru zakręcana robota Poneer DX z zadaną prędkoścą v u =, m/s promenem zakrętu z =,5 m po podłożu betonowym Wnosk wynkające z tej symulacj w trakce ruchu wzdłużnego robota, tj podczas rozpędzana hamowana robota oraz jazdy prosto są analogczne do tych, które omówono przy okazj wcześnejszych symulacj (główne Symulacja 53) Analzując etap zakręcana robota można zauważyć, że w efekce występujących poślzgów (przede wszystkm poprzecznych), których odzwercedlenem są kąty poprzecznego znoszena (rys 58h), otrzymuje sę tym razem wyraźne wększy błąd pozycj robota e (rys 58) W zwązku z tym uzyskany tor ruchu robota różn sę od zadanego (rys 58j) Symulacja 59 W następnej symulacj przeprowadzono podobne badana jak poprzedno lecz założono wększy promeń zakręcana, bo wynoszący z = 5 m Zadany ruch robota w trakce manewru zakręcana realzowany był z neco wększą dokładnoścą (por rys 58j rys 59j), jednak ostateczne błąd pozycj robota osąga neco wększą wartość, co jest zwązane z pokonywanem przez nego znaczne dłuższej drog a) b) v d (m/s) a d (m/s ) c) d) θ (rad/s) θ (rad/s) e) f) - - ω zd (rad/s) ε zd (rad/s ) τ y (Nm) τ y (Nm)

122 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych 4 A F x (N) A F y (N) A F z (N) 4 A F x (N) A F y (N) A F z (N) g) h) λ (%) λ (%) α (rad) α (rad) ) j) 8 y (m) r r d e (m) e ψ (rad) x (m) ys 59 Wynk symulacj manewru zakręcana robota Poneer DX z zadaną prędkoścą v u =, m/s promenem zakrętu z = 5 m po podłożu betonowym Tym razem maksymalna wartość kąta poprzecznego znoszena jest neco mnejsza ze względu na wększy promeń zakręcana (por rys 58h rys 59h) Występujące w trakce manewru zakręcana robota składowe poprzeczne sł reakcj podłoża dla napędzanych kół jezdnych są pomjalne małe (rys 59e f), mają jednak wpływ na dokładność realzacj ruchu robota Symulacja 5 Kolejna symulacja dotyczy manewru zakręcana robota na lodze obot ma poruszać sę z maksymalną prędkoścą v u =,3 m/s, natomast zadany promeń zakrętu jest równy z =,5 m Zadane parametry ruchu robota napędzanych kół jezdnych są dentyczne jak w perwszej symulacj manewru zakręcana (Symulacja 57) są pokazane na rys 57a c Uzyskane wynk symulacj są zlustrowane na rys 5 Porównując symulację ruchu robota po lodze z analogczną symulacja ruchu po podłożu betonowym (Symulacja 57) można zauważyć duże podobeństwo uzyskanych wynków Jest to spowodowane tym, że wymagane do zadanego ruchu składowe wzdłużne sł reakcj podłoża dla napędzanych kół jezdnych w obu przypadkach ne przekraczają wartośc sł tarca rozwnętego (tzn A F x μ A F z, = {, })

123 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych a) b) τ y (Nm) τ y (Nm) A F x (N) A F y (N) A F z (N) c) d) λ (%) λ (%) α (rad) α (rad) g) h) 4 y (m) r r d e (m) e ψ (rad) x (m) ys 5 Wynk symulacj manewru zakręcana robota Poneer DX z zadaną prędkoścą v u =,3 m/s promenem zakrętu z =,5 m po lodze Symulacja 5 W ostatnej symulacj manewru zakręcana dla robota Poneer DX analzowany jest jego ruch po lodze z prędkoścą maksymalną v u =, m/s promenem zakrętu z =,5 m Zarówno parametry ruchu robota, jak napędzanych kół jezdnych są dentyczne jak w symulacj ruchu robota po podłożu betonowym (Symulacja 58) zostały przedstawone na rys 58a c trzymany przebeg prędkośc ruchu charakterystycznego punktu robota stotne różn sę od zadanego przebegu (por rys 58a rys 5a) W początkowej końcowej faze ruchu, tj podczas rozpędzana hamowana występują duże wartośc poślzgu wzdłużnego (rys 5e) W trakce analzowanego ruchu po lodze występują znaczne mnejsze wartośc składowych wzdłużnych sł reakcj podłoża dla napędzanych kół jezdnych (por rys 58e f rys 5c d) W zwązku z tym mnejsze są także wartośc nezbędnych do ruchu momentów napędowych (por rys 58d rys 5b) W efekce ruchu robota uzyskuje sę duże wartośc błędów pozycj orentacj robota (rys 5g), węc otrzymany tor ruchu robota wyraźne różn sę od zadanego (rys 5h) 3

124 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych Dalsze zwększane prędkośc ruchu robota krzywzny toru ruchu punktu prowadz do coraz wększych błędów realzacj ruchu wskutek występujących poślzgów kół jezdnych a) b) v x (m/s) v y (m/s) τ y (Nm) τ y (Nm) c) d) A F x (N) A F y (N) A F z (N) 4 4 A F x (N) A F y (N) A F z (N) e) f) λ (%) λ (%) α (rad) α (rad) g) h) 4 y (m) r r d 3 3 e (m) e ψ (rad) x (m) ys 5 Wynk symulacj manewru zakręcana robota Poneer DX z zadaną prędkoścą v u =, m/s promenem zakrętu z =,5 m po lodze 53 Podsumowane wynków badań symulacyjnych ruchu robota trzykołowego Z przedstawonych wynków badań symulacyjnych ruchu robota trzykołowego z użycem opracowanego modelu dynamk wynkają ponższe główne wnosk 4

125 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych W przypadku ruchu analzowanego robota z nedużym prędkoścam (do około,5 m/s) oraz przyspeszenam (do około m/s ) występujące poślzg kół jezdnych są na tyle małe (mnejsze nż 5 %), że ne mają stotnego wpływu na ruch robota, dlatego mogą być pomnęte (można zrezygnować z wprowadzana modelu opony, podobne jak w pracy [66]) Przykłady takego ruchu są analzowane w ramach Symulacj 5, 5, 57, 5 Spośród analzowanych prędkośc robota najwększą dokładność realzacj ruchu wzdłużnego uzyskano dla prędkośc v u =,3 m/s (Symulacja 5) Dla wększych prędkośc występujące błędy były zwązane z coraz wększym wartoścam poślzgu wzdłużnego kół jezdnych (Symulacje 53 56), natomast dla mnejszych prędkośc wększe błędy były zwązane z oporam ruchu w parach knematycznych W trakce ruchu wzdłużnego robota z dużym przyspeszenam można zaobserwować występowane dużych poślzgów kół jezdnych, tj wynoszących ok % (Symulacja 55) Wynka to z faktu, że sły wzdłużne na styku opon z podłożem występujące w trakce ruchu robota osągają wartośc zblżone do wartośc sły tarca rozwnętego W przypadku ruchu robota po podłożu o małym współczynnku przyczepnośc (np lód) poślzg kół jezdnych także mogą być newelke, jeżel robot będze poruszał sę z małym prędkoścam przyspeszenam Duże poślzg wzdłużne wystąpą dla znaczne mnejszych wartośc prędkośc przyspeszeń w stosunku do analogcznego ruchu po podłożu o dużym współczynnku przyczepnośc (np beton, asfalt) (Symulacja 56) Wynka to z faktu, że występująca tu sła tarca rozwnętego ma znaczne mnejszą wartość Podczas manewru zakręcana robota występują poślzg poprzeczne kół jezdnych zwązane z tym sły poprzeczne Ze względu na strukturę knematyczną robota poślzg poprzeczne są w wększośc przypadków pomjalne małe ne mają stotnego wpływu na ruch robota (można pomnąć model opony) Przykłady takego ruchu są analzowane w prezentowanych symulacjach Sformułowane wnosk mogą być uogólnone na nne konstrukcje robotów moblnych, w których występują koła kerowane lub samonastawne Przykładem takego robota jest robot trzykołowy z przednm kołem napędzanym kerowanym [], a także robot czterokołowy z napędem na tylne koła z przednm kołam kerowanym [47] 5 obot czterokołowy W badanach symulacyjnych zastosowano model dynamk robota SCUT (podrozdzał 43) Badana zostały przeprowadzone w dwóch etapach, ze względu na rodzaj realzowanego ruchu, tj rozpatrzono ruch wzdłużny oraz manewr zakręcana robota Ponadto analzowano ruch robota w przypadku skokowych łagodnych zman prędkośc charakterystycznego punkt robota v d oraz prędkośc kątowej jego korpusu ϕ zd Należy zauważyć, że w rzeczywstośc ne jest możlwa skokowa zmana prędkośc kątowej obrotu własnego napędzanych kół jezdnych Aby uzyskać możl- 5

126 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych wy do zrealzowana przebeg tej prędkośc należałoby dodatkowo uwzględnć dynamkę napędów robota Założene skokowych zman prędkośc kątowych obrotu własnego napędzanych kół jezdnych umożlwa wyznaczene odpowedz skokowej obektu, jakm jest analzowany robot Badana symulacyjne przeprowadzono dla dwóch konfguracj układu napędowego robota, tj dla przypadków: nezależnego napędu na tylne koła jezdne przy swobodnych, nenapędzanych przednch kołach jezdnych; nezależnego napędu na tylne koła jezdne przekazywanu napędu z tych kół na przedne koła jezdne przy pomocy pasków zębatych Druga z wymenonych konfguracj robota, dalej nazywana jest konfguracją z hybrydowym układem jezdnym ze względu na wykorzystane kół jezdnych oraz pasków zębatych, które w przypadku poruszana sę po nerównoścach mogą pełnć rolę gąsenc Do badań symulacyjnych przyjęto szacunkowe wartośc współczynnków charakteryzujących współpracę opon robota z podłożem (tab 3) 5 Analza ruchu wzdłużnego robota Podobne jak w przypadku robota Poneer DX, na początku analzowano ruch wzdłużny robota, w którym jego korpus jest w ruchu postępowym, a koła jezdne w ruchu płaskm Analzy przeprowadzono dla różnych wartośc prędkośc przyspeszena, badając wpływ tych parametrów na poślzg wzdłużne kół jezdnych W perwszym etape badań zadana prędkość charakterystycznego punktu robota zmenała sę w sposób skokowy, tj w chwl t zmenała wartość z na v u, a w chwl t z zamenała sę z v u na W drugm etape badań założono występowane następujących faz ruchu: rozpędzane od chwl t do t r na drodze l r ; jazda ze stałą prędkoścą v d = v u (w przedzale czasu od t r do t h ) na drodze L p l r l h ; hamowane od chwl t h do t z na drodze l h, gdze długośc L p, l r l h oznaczają odpowedno: całkowtą długość drog oraz drogę rozpędzana drogę hamowana Zmany prędkośc punktu charakterystycznego robota wygenerowano na podstawe zależnośc: step( t, t,, tr, vu ) dla t ( tr + t ) /, h v d = v = (53) xd step( t, th, vu, tz, ) dla t > ( tr + th ) /, gdze: t aktualny czas symulacj, t, t r, t h, t z charakterystyczne chwle czasu, odpowedno: rozpoczęca ruchu, zakończena rozpędzana, rozpoczęca hamowana, zakończena ruchu, v u zadana prędkość charakterystycznego punktu robota w ruchu ustalonym Wartośc funkcj step(,,,, ) były wyznaczane zgodne ze wzorem (5) Charakterystyczne chwle czasu oblczono na podstawe zależnośc: 6

127 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych t =,5 s, tr = lr / vu + t, t h = ( Lp lr lh) / vu + t, r t z = lh / vu + t, h (54) przyjmując, że droga rozpędzana hamowana (odpowedno l r l h ) zależy od założonych wartośc maksymalnego przyspeszena rozpędzana hamowana (odpowedno a r a h ): 3 vu lr =, 3 vu lh =, (55) 4 a 4 a r zaś droga całkowta L p (od rozpoczęca ruchu do jego zakończena) zależy od założonej prędkośc v u, m wększa była prędkość, tym dłuższa była odpowadająca jej droga całkowta W przypadku skokowych zman prędkośc zadana v u długość drog rozpędzana hamowana zakładana jest jako równa zero (l r = l h = m), stąd charakterystyczne chwle czasu zakończena rozpędzana zakończena ruchu są równe odpowedno chwlom czasu rozpoczęca zakończena ruchu (t r = t, t z = t h ) Badana przeprowadzono dla różnych kombnacj prędkośc v u, przyspeszeń a r = a h długośc drog całkowtej L p (tab 54) oraz rodzajów podłoża (tab 3) Podane w tabel wartośc przyspeszeń dotyczą wyłączne badań dla przypadku łagodnej zmany prędkośc zadanej robota Tab 54 Waranty prędkośc v u przyspeszeń a r = a h oraz długośc drog całkowtej L p do analzy ruchu wzdłużnego robota SCUT Warant v u (m/s),,3,7,,6, a r = a h (m/s ),,7,5, 3, 4, L p (m),,5 3, 3,5 4, 4,5 Nezbędne do realzacj założonego ruchu prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych wyznaczono ze wzoru (który odpowada zależnośc (49)): θ 3d vd / r θ = = (56) d θ 4d vd / r Należy podkreślć fakt, że wyznaczone z powyższego wzoru zadane wartośc prędkośc kątowych θ ( = {3, 4}) odpowadają zakładanej prędkośc v d d, która może być osągnęta w przypadku braku poślzgu kół jezdnych Dalej zaprezentowano wybrane wynk symulacj ruchu wzdłużnego robota W perwszej kolejnośc badano ruch robota z napędem na tylne koła jezdne, a następne z hybrydowym układem jezdnym 5 Badana ruchu robota z napędem na tylne koła jezdne Badana ruchu robota SCUT z napędem na tylne koła jezdne prowadzono w dwóch etapach W perwszym etape założono skokowe zmany prędkośc zadanej, natomast h 7

128 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych w drugm zakładano, że zadana prędkość ruchu robota zmena sę łagodne, z zakładanym przyspeszenem Symulacja 5 W ramach perwszej symulacj analzowany był ruch wzdłużny robota po wykładzne dywanowej z zadaną prędkoścą maksymalną v u =,3 m/s, w przypadku skokowych zman prędkośc (rys 5) Na rys 5a pokazano zadany przebeg prędkośc kątowej obrotu własnego napędzanego koła jezdnego θ = oraz jej wartość * teoretyczną θ wynkającą z aktualnej prędkośc ruchu robota 3 3 θ 3 d przypadkow toczena sę tego koła bez poślzgu z prędkoścą lnową v, odpowadającą v a) b) 4 3 θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) λ (%) λ 3 (%) c) d) v (m/s) a (m/s ) τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) g) h) e (m) 5 y (m) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) ys 5 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT napędzanego na tylne koła jezdne, z zadaną prędkoścą v u =,3 m/s, po wykładzne dywanowej, w przypadku skokowych zman prędkośc zadanej r r d x (m) 8

129 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych W symulacj analzowane było zadane odwrotne dynamk, w ramach którego wyznaczono nezbędne do założonego ruchu momenty napędowe Na rys 5b h przedstawono wynk symulacj Analzując uzyskane przebeg można zauważyć, że w trakce rozpędzana robota, a zwłaszcza jego hamowana występują duże, bo wynoszące ok ± % poślzg wzdłużne kół jezdnych (rys 5b) obot w bardzo krótkm czase osąga zadaną prędkość ruchu v = v u, maksymalne przyspeszena podczas rozpędzana oraz hamowana wynoszą blsko 8 m/s (rys 5c) Momenty napędowe osągają duże wartośc w chwl rozpoczęca ruchu, późnej mają już mnejszą, stałą wartość, zaś w końcowej faze hamowana mają wartośc ujemne (rys 5d) Składowe wzdłużne sł reakcj podłoża mają dla napędzanych kół jezdnych wartośc dodatne podczas rozpędzana jazdy ze stałą prędkoścą ujemne podczas hamowana, przy czym najwększe wartośc osągają w chwl rozpoczęca ruchu (rys 5f) Dla kół swobodnych składowe te są w wększośc ujemne, przy czym w początkowej końcowej faze ruchu można zaobserwować oscylacje, które wynkają główne z funkcjonowana solvera (rys 5e) Ich wyelmnowane wymaga zastosowana bardzo małego kroku dyskretyzacj Δt Składowe poprzeczne sł reakcj są równe zero w trakce analzowanego ruchu robota, z kole składowe normalne mają stałe wartośc podczas ruchu ze stałą prędkoścą, natomast ulegają zmane w przypadku występowana przyspeszeń, tj podczas rozpędzana zwększają sę wartośc tych składowych dla tylnych kół jezdnych, a zmnejszają dla przednch, natomast w trakce hamowana zachodz zjawsko odwrotne (rys 5e f) uch robota jest realzowany ze stosunkowo dużą dokładnoścą, co wdać zarówno z przebegu błędu pozycj robota e (rys 5g), jak uzyskanego toru ruchu charakterystycznego punkt robota, który praktyczne pokrywa sę z zadanym torem (rys 5h) Symulacja 53 Kolejna symulacja została przeprowadzona dla analogcznych założeń jak poprzedna, jednak tym razem robot mał poruszać sę z maksymalną prędkoścą v u =, m/s Wdoczne są znaczne różnce mędzy zadanym parametram kątowym napędzanych kół jezdnych θ = θ ch wartoścam teoretycznym * d θ ( = {3, 4}) odpowadają- cym ruchow robota z aktualną prędkoścą v Te różnce można zaobserwować na przykładowych przebegach dla koła jezdnego nr 3 (rys 53a) Można także zaobserwować charakterystyczny przebeg poślzgu dla napędzanych kół jezdnych po osągnęcu wartośc % w chwl rozpoczęca ruchu, stopnowo maleje praktyczne do zera, a w trakce hamowana utrzymuje wartość %, zaś przebeg poślzgu dla swobodnych kół jezdnych ma postać analogczną do poprzednej (rys 53b) Podczas rozpędzana robot osąga maksymalne przyspeszene wynoszące ok 5 m/s, a podczas hamowana ok 3 m/s (rys 53c) Maksymalne wartośc momentów napędowych wynoszą odpowedno: podczas rozpędzana ok 6 Nm, w ruchu ustalonym ok Nm ok Nm w trakce hamowana (rys 53d) Analzując przebeg sł reakcj podłoża (rys 53e f) można zaobserwować wększe ch zróżncowane w stosunku do poprzednej symulacj (rys 5e f) Podczas rozpędzana wyraźne zmnejszają sę składowe normalne sł reakcj podłoża dla 9

130 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych przednch kół jezdnych, a zwększają dla tylnych, zaś podczas hamowana jest odwrotne Składowe wzdłużne sł reakcj podłoża mają duże dodatne wartośc podczas rozpędzana ok 5 N, newelke podczas jazdy ze stałą prędkoścą mnejsze, bo wynoszące ok N w trakce hamowana Błąd pozycj robota e jest tym razem o rząd wększy (rys 53g), jednak wcąż tor ruchu robota ne odbega stotne od zadanego (rys 53h) a) b) 8 4 θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) λ (%) λ 3 (%) c) d) v (m/s) a (m/s ) e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) τ 3y (Nm) g) h) e (m) y (m) τ 4y (Nm) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) r x (m) ys 53 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT napędzanego na tylne koła jezdne, z zadaną prędkoścą v u =, m/s, po wykładzne dywanowej, w przypadku skokowych zman prędkośc zadanej Symulacja 54 Następna symulacja została przeprowadzona dla podobnych założeń, jak wcześnejsza, ale tym razem maksymalna zadana prędkość robota wynosła już v u =, m/s Wnosk wynkające z tej symulacj są analogczne jak w poprzednej symulacj r d 3

131 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Tym razem wdoczne są dłużej utrzymujące sę poślzg podczas rozpędzana hamowana (rys 54b), co ma odzwercedlene w przebegach prędkośc przyspeszena ruchu robota (rys 54a oraz rys 54c), momentów napędowych (rys 54d) sł reakcj podłoża (rys 54e f) Maksymalny błąd pozycj robota wynos ok,4 m, pod konec ruchu dochodz do wartośc m, zaś ostateczne osąga wartość ok,5 m (rys 54g) Uzyskany tor ruchu charakterystycznego punktu robota różn sę już zauważalne od zadanego (rys 54h) a) b) θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) λ (%) λ 3 (%) 3 4 c) d) v (m/s) a (m/s ) 8 9 τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) 3 4 g) h) e (m) y (m) 6 r r d x (m) ys 54 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT napędzanego na tylne koła jezdne, z zadaną prędkoścą v u =, m/s, po wykładzne dywanowej, w przypadku skokowych zman prędkośc zadanej Kolejne dwe symulacje dotyczą analogcznych badań jak w przypadku dwóch poprzednch symulacj, ale tym razem zastosowano opsany w podrozdzale 43 model w wersj przeznaczonej do rozwązana zadana prostego dynamk Schemat 3

132 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych blokowy tego modelu znajduje sę na rys 48 W modelu tym uwzględnono dynamkę napędów robota, co pozwolło na oblczene momentów napędowych, dla których realzowany był zakładany ruch Symulacja 55 Porównując wynk symulacj dla prędkośc v u =, m/s (rys 53), dla której ne uwzględnono dynamk napędów, z wynkam analogcznej symulacj uwzględnającej dynamkę napędów można zauważyć, że tym razem przebeg prędkośc kątowych θ dla napędzanych kół jezdnych ( = {3, 4}) różn sę od zadanego przebegu θ *, nny jest też przebeg prędkośc kątowej θ odpowadającej ruchow robota d z aktualną prędkoścą v (rys 55a) Prędkośc kątowe θ w trace rozpędzana dosyć szybko osągają wartość blską zadanej Podobne podczas hamowana stosunkowo szybko osągają one wartość blską zeru, przy czym pod konec ruchu wartość ta przez pewen czas jest praktyczne stała W konsekwencj neco naczej wygląda przebeg poślzgu wzdłużnego, zasadnczą różncę można obserwować podczas hamowana, kedy poślzg stopnowo maleje (rys 55b), a ne jest praktyczne stały, jak we wcześnejszej symulacj (rys 53b) Uzyskane przebeg czasowe prędkośc przyspeszena punktu są do sebe zblżone (rys 53c rys 55c) Analzując momenty napędowe sły reakcj podłoża można dostrzec newelke różnce uzyskanych przebegów, główne podczas rozpędzana hamowana Neco naczej wygląda przebeg błędu pozycj punktu (rys 53g rys 55g) W obu przypadkach uzyskany tor ruchu tego punktu jest zblżony do zadanego a) b) 8 4 θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) θ 3d (rad/s) c) d) v (m/s) a (m/s ) τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) λ (%) λ 3 (%) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N)

133 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych g) h) e (m) y (m) 5 r r d x (m) ys 55 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT napędzanego na tylne koła jezdne, z zadaną prędkoścą v u =, m/s, po wykładzne dywanowej, w przypadku skokowych zman prędkośc zadanej z uwzględnenem dynamk napędów Symulacja 56 Analogczne wnosk do poprzednch można przytoczyć w efekce porównana wynków symulacj ruchu robota z zadaną prędkoścą maksymalną v u =, m/s bez uwzględnena dynamk napędów (rys 54) z wynkam nnejszej symulacj, gdze dynamkę napędów uwzględnono (rys 56) W obu przypadkach analzowane były skokowe zmany zadanej prędkośc ruchu robota a) b) θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) θ 3d (rad/s) c) d) 5 5 v (m/s) a (m/s ) 3 4 e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) λ (%) λ 3 (%) 3 4 τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) 3 4 A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N)

134 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych g) h) e (m) 6 y (m) r r d x (m) ys 56 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT napędzanego na tylne koła jezdne, z zadaną prędkoścą v u =, m/s, po wykładzne dywanowej, w przypadku skokowych zman prędkośc zadanej z uwzględnenem dynamk napędów W kolejnych symulacjach przeprowadzono badana dla przypadku, gdy zadana prędkość ruchu robota zmena sę już łagodne, przy czym na początku ne uwzględna sę dynamk napędów Symulacja 57 W nnejszej symulacj badany jest ruch robota po wykładzne dywanowej z zadaną prędkoścą maksymalną v u =,3 m/s Można zauważyć, że przebeg prędkośc kątowej θ = θ dla napędzanych kół jezdnych ( = {3, 4}) jest zblżony do wartośc d * teoretycznej θ wynkającej z aktualnej prędkośc ruchu robota v (rys 57a), dlatego podczas ruchu robota występują newelke poślzg kół jezdnych Można je główne zaobserwować w początkowej końcowej faze ruchu (rys 57b), przy czym, jak to już sygnalzowano wcześnej, są one zwązane w dużej merze z dzałanem solvera, tj początkowe końcowe oscylacje trwają krócej mają mnejsze ampltudy (wraz ze zmnejszanem kroku dyskretyzacj Δt) scylacje te można także zaobserwować na przebegach przyspeszena punktu robota (rys 57c), momentów napędowych (rys 57d) oraz sł reakcj podłoża (rys 57e f) Wymagane do osągnęca założonego ruchu momenty napędowe ne są duże, najwększe wartośc występują podczas rozpędzana hamowana (rys 57d) a) b) 4 3 θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) λ (%) λ 3 (%) c) d) v (m/s) a (m/s ) τ 3y (Nm) τ 4y (Nm)

135 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) g) h) e (m) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) y (m) r r d x (m) ys 57 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT napędzanego na tylne koła jezdne, z zadaną prędkoścą v u =,3 m/s, po wykładzne dywanowej, w przypadku łagodnych zman prędkośc W stosunku do przypadku ze skokową zmaną prędkośc ruchu (rys 5g), tym razem błąd pozycj punktu robota ma nny przebeg osąga mnejsze wartośc (rys 57g) Wpływ poślzgu kół jezdnych na ruch robota jest zatem w tym przypadku pomjalne mały Symulacja 58 W kolejnej symulacj analzowany był analogczny jak poprzedno ruch robota, lecz tym razem z zadaną prędkoścą maksymalną v u =, m/s Podobne jak poprzedno występujące poślzg kół jezdnych (rys 58b) ogólne ne są duże (wększe wartośc obserwuje sę tylko w początkowej końcowej faze ruchu), w zwązku z czym uzyskany tor ruchu robota praktyczne pokrywa sę z zadanym (rys 58h) a) b) 8 4 θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) λ (%) λ 3 (%) c) d) v (m/s) a (m/s ) 8 6 τ 3y (Nm) τ 4y (Nm)

136 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) g) h) e (m) y (m) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) r r d x (m) ys 58 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT napędzanego na tylne koła jezdne, z zadaną prędkoścą v u =, m/s, po wykładzne dywanowej, w przypadku łagodnych zman prędkośc W stosunku do analogcznej symulacj przypadek skokowych zman prędkośc zadanej (rys 53) obserwowane teraz poślzg kół jezdnych mają znkomy wpływ na uzyskane przebeg Symulacja 59 Następną symulację przeprowadzono dla podobnych założeń jak poprzedną, lecz dla zadanej prędkośc maksymalnej v u =, m/s W tym przypadku można już zaobserwować wyraźną różncę jeśl chodz o przebeg prędkośc kątowej napędzanych kół jezdnych θ = θ * odpowadający m przebeg teoretycznej prędkośc d θ dla przypadku braku poślzgu wzdłużnego (rys 59a) óżnca ta uwdaczna sę główne w trakce hamowana, podczas którego poślzg wzdłużny kół jezdnych stopnowo zmena sę osągając skrajną wartość % (rys 59b) Wskutek tego przebeg w funkcj czasu przyspeszena punktu robota w końcowej faze ruchu wyraźne odbega od zakładanego (rys 59c) Przebeg momentów napędowych są podobne do przebegu przyspeszena punktu, przy czym podczas ruchu ustalonego (ze stałą prędkoścą) momenty napędowe mają stałe nezerowe wartośc wynoszące ok Nm (rys 59d) Składowe sł reakcj podłoża (rys 59e f) zmenają sę podobne jak w poprzednej symulacj, z tą różncą, że składowa wzdłużna sły reakcj podłoża dla napędzanych kół jezdnych w końcowej faze ruchu ma podobne cechy jak przyspeszene punktu, tj utrzymuje sę nemal na stałym pozome aż do zatrzymana Wynka to z faktu, że napędzane koła jezdne szybcej redukują swoją prędkość kątową w stosunku do prędkośc lnowej środka masy, węc w końcowej faze ruchu ślzgają sę już względem podłoża Błąd pozycj robota jest o rząd wększy w stosunku do analogcznej symulacj z prędkoścą v u = m/s (rys 58g), wcąż jednak ne jest duży w stosunku do całej długośc drog (rys 59g), co lustruje uzyskana postać toru ruchu punktu robota (rys 59h) 36

137 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych a) b) θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) c) d) 5 5 v (m/s) a (m/s ) e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) g) h) e (m) λ (%) λ 3 (%) 3 4 τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) 3 4 A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) ys 59 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT napędzanego na tylne koła jezdne, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne dywanowej, w przypadku łagodnych zman prędkośc W celu zbadana wpływu dynamk napędów na ruch robota dla przypadku łagodnych zman prędkośc przeprowadzono także badana symulacyjne z użycem modelu symulacyjnego opsanego w podrozdzale 43 W modelu symulacyjnym (rys 48) rozwązywane było zadane proste dynamk oraz uwzględnono dodatkowo dynamkę napędów Pozwolło to na oblczene momentów napędowych, dla których realzowany był zakładany ruch Badana symulacyjne były realzowane dla analogcznych prędkośc jak w przypadku symulacj zadana odwrotnego dynamk bez uwzględnena dynamk napędów Symulacja 5 W ramach nnejszej symulacj zbadano ruch robota po wykładzne dywanowej z prędkoścą maksymalną v u =, m/s, zakładając łagodny przebeg zman tej y (m) r r d x (m) 37

138 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych prędkośc Wynk symulacj przedstawono na rys 5 Porównując je z wynkam poprzednej symulacj, w której pomnęto dynamkę napędów robota w modelu symulacyjnym (rys 59) można zauważyć newelką różncę uzyskanych przebegów w początkowym okrese ruchu oraz neco wększe różnce podczas hamowana a) b) θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) c) d) v (m/s) a (m/s ) 8 6 τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) g) h) e (m) λ (%) λ 3 (%) 3 4 A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) ys 5 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT napędzanego na tylne koła jezdne, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne dywanowej, w przypadku łagodnych zman prędkośc z uwzględnenem dynamk napędów óżnce te wynkają z faktu, że napędy robota mają pewną bezwładność, co wprowadza opóźnena w przebegach czasowych Można zauważyć przede wszystkm różnce w przebegu poślzgu wzdłużnego dla napędzanych kół jezdnych Z porównana tych przebegów (rys 59b rys 5b) wdać, że w przypadku uwzględnena dynamk napędów podczas hamowana, poślzg wzdłużny przechodz łagodne od wartośc blskej % do około 7 %, a następne przyjmuje wartość %, natomast w poprzednej symulacj zmenał sę od % do około % w końcowej y (m) r r d x (m) 38

139 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych faze hamowana W wynku przeprowadzonej symulacj uzyskano wększy nż poprzedno maksymalny błąd pozycj punktu robota, jednak ostateczne po zatrzymanu robota osągnął on mnejszą wartość (rys 59g rys 5g) Uzyskany tor ruchu (rys 5h), w stosunku do wynku wcześnejszej symulacj (rys 59h), neco bardzej odbega od zadanego 5 Badana ruchu robota z hybrydowym układem jezdnym Badana symulacyjne ruchu robota czterokołowego SCUT przeprowadzono także dla jego wersj z hybrydowym układem jezdnym Waranty parametrów charakterystycznych dla tych badań są zestawone w tab 54 W ramach nnejszego podrozdzału zaprezentowane są wynk wybranych symulacj Symulacja 5 Perwsza prezentowana symulacja ruchu robota czterokołowego SCUT dla hybrydowego układu jezdnego dotyczyła ruchu wzdłużnego po wykładzne dywanowej z zadaną prędkoścą maksymalną v u =,3 m/s, przy założonej skokowej zmane tej prędkośc Uzyskane wynk symulacj (rys 5) są zblżone do wynków analogcznej symulacj dla robota napędzanego wyłączne na tylne koła jezdne (rys 5) óżnce uwdacznają sę główne w początkowej końcowej faze ruchu Ponadto można zauważyć wyraźne mnejsze błędy realzacj założonego ruchu dla robota z hybrydowym układem jezdnym (por rys 5g rys 5g), jednak w obu przypadkach są one pomjalne małe a) b) 4 3 θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) λ (%) λ 3 (%) c) d) v (m/s) a (m/s ) τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N)

140 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych g) h) e (m) ys 5 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =,3 m/s, po wykładzne dywanowej, w przypadku skokowych zman prędkośc zadanej Symulacja 5 Kolejna symulacja dotyczyła analogcznego jak poprzedno ruchu robota, dla zadanej prędkośc maksymalnej v u =, m/s Wynk tej symulacj (rys 5) można skonfrontować z wynkam analogcznej symulacj dla napędu robota wyłączne na tylne koła jezdne (rys 53) W szczególnośc można zauważyć, że w przypadku hybrydowego układu jezdnego czas, w jakm robot osąga zakładaną prędkość maksymalną, jest wyraźne krótszy (por rys 53a rys 5a) Ponadto, podczas rozpędzana poślzg wzdłużny zmnejsza sę znaczne szybcej, a w trakce hamowana utrzymuje sę na stałym pozome wynoszącym ok % przez znaczne krótszy czas (por rys 53b rys 5b) obot uzyskuje także wyraźne wększe przyspeszena podczas rozpędzana hamowana (por rys 53c rys 5c) wynoszą odpowedno ok 8 m/s ok 7 m/s Przebeg czasowe momentów napędowych są zblżone do przypadku napędu wyłączne na tylne koła jezdne, przy czym tym razem można zaobserwować wększą jego maksymalną wartość podczas rozruchu (por rys 53d rys 5d) W przypadku sł reakcj podłoża, ch składowe normalne poprzeczne są analogczne jak dla napędu robota wyłączne na tylne koła jezdne, natomast wyraźne różnce można zaobserwować dla składowych wzdłużnych (por rys 53e f rys 5e f) y (m) r r d x (m) a) b) 8 4 θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) c) d) v (m/s) a (m/s ) λ (%) λ 3 (%) τ 3y (Nm) τ 4y (Nm)

141 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) g) h) e (m) ys 5 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s, po wykładzne dywanowej, w przypadku skokowych zman prędkośc zadanej Tym razem napędzane są także przedne koła jezdne dzęk przenesenu na ne napędu za pomocą pasków zębatych z tylnych kół jezdnych W zwązku z tym składowe wzdłużne sł reakcj podłoża mają dla tych kół podobną postać do analogcznych sł dla kół tylnych, z tą różncą, że podczas rozpędzana składowe te są mnejsze, a w trakce hamowana wększe Wynka to z faktu, że przy rozpędzanu bardzej docążone są koła tylne, węc mogą przeneść wększą słę wzdłużną, natomast przy hamowanu jest sytuacja odwrotna Podczas symulacj uzyskano tym razem bardzej dokładny ruch robota, na co wskazuje przebeg błędu pozycj punktu robota (por rys 53g rys 5g) otrzymany tor ruchu tego punktu (por rys 53h rys 5h) W przypadku obu omawanych symulacj błędy realzacj założonego ruchu ne są bardzo duże Symulacja 53 Analogczną symulację do poprzednej zrealzowano przy dodatkowym uwzględnenu dynamk napędów robota, tj z zastosowanem modelu opsanego w podrozdzale 43 ezultaty symulacj zaprezentowano na rys 53 Analzując wynk ostatnch symulacj można zauważyć, że w przypadku uwzględnena dynamk napędów robot neco wolnej osąga zakładaną prędkość maksymalną (por rys 5a rys 53a), wskutek czego podczas rozpędzana poślzg wzdłużne dla napędzanych kół jezdnych szybcej zmnejszają sę od wartośc ok % do ok %, natomast podczas hamowana zmenają sę stopnowo od ok % do ok %, naczej nż poprzedno, gdze utrzymywały sę na stałym pozome % (rys 5b rys 53b) Główną przyczyną opsanych różnc jest bezwładność napędów, która w analzowanym przypadku wpływa na redukcję poślzgów wzdłużnych Konsekwencją tego są także neco nne przebeg czasowe prędkośc przyspeszena punktu robota (por rys 5c rys 53c), momentów napędowych (rys 5d rys 53d) składowych sł reakcj podłoża, ale różnce dotyczą główne składowych wzdłużnych (por rys 5e f rys 53e f) Tym razem uzyskano wększy - y (m) r r d x (m) 4

142 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych błąd pozycj charakterystycznego punktu robota (por rys 5g rys 53g) oraz bardzej odbegający od zakładanego tor ruchu tego punktu (rys 5h rys 53h) Błąd pozycj w stosunku do całej długośc drog ne jest jednak duży a) b) 8 4 θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) θ 3d (rad/s) c) d) v (m/s) a (m/s ) λ (%) λ 3 (%) τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) g) h) e (m) ys 53 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s, po wykładzne dywanowej, w przypadku skokowych zman prędkośc zadanej z uwzględnenem dynamk napędów Symulacja 54 statną symulację ruchu wzdłużnego robota z hybrydowym układem jezdnym po wykładzne dywanowej dla przypadku skokowych zman prędkośc przeprowadzono dla zakładanej prędkoścą maksymalną v u =, m/s W symulacj tej podobne jak poprzedno robot poruszał sę po wykładzne dywanowej podobne jak poprzedno uwzględnono w nej dynamkę napędów robota Uzyskane wynk noszą wele cech poprzedno omawanej symulacj (por rys 53 oraz rys 54) Tym ra- - y (m) r r d x (m) 4

143 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych zem podczas hamowana prędkośc kątowe napędzanych kół jezdnych zmnejszają sę bardzo szybko do newelkej wartośc blskej rad/s utrzymują tę prędkość na podobnym pozome aż do końcowej fazy hamowana (rys 54a) W trakce rozpędzana obserwuje sę także newelke oscylacje poślzgu wzdłużnego dla przednch kół jezdnych, a podczas hamowana dla kół tylnych (rys 54b) a) b) θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) θ 3d (rad/s) λ (%) λ 3 (%) 3 4 c) d) v (m/s) a (m/s ) τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) g) h) e (m) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) ys 54 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s, po wykładzne dywanowej, w przypadku skokowych zman prędkośc zadanej z uwzględnenem dynamk napędów scylacje występują także na przebegu czasowym przyspeszena punkt robota (rys 54c), charakterystykach czasowych momentów napędowych (rys 54d) składowych sł reakcj podłoża (rys 54e f) Na uwagę zasługuje fakt, że w początkowym okrese rozpędzana przedne koła jezdne odrywają sę na chwlę od podłoża, natomast w początkowym okrese hamowana zjawsko take zachodz dla - y (m) r r d x (m) 43

144 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych kół tylnych Maksymalny błąd pozycj punktu robota jest już stosunkowo duży, wynos ok,3 m, jednak jego końcowa wartość jest znaczne mnejsza (rys 54g), przez co tor ruchu tego punktu ne odbega znacząco od zadanego (rys 54h) Kolejne dwe symulacje ruchu robota z hybrydowym układem jezdnym zrealzowano zakładając ruch po wykładzne PCV W modelu symulacyjnym uwzględnono dynamkę napędów Symulacja 55 Perwsza symulacja ruchu wzdłużnego po wykładzne dywanowej została przeprowadzona dla zadanej prędkośc maksymalnej v u =, m/s Prędkość ta zmenała sę skokowo Porównując wynk tej symulacj z wynkam analogcznej symulacj ruchu robota po wykładzne dywanowej wdać podobeństwo przebegów prędkośc kątowych obrotu kół jezdnych (rys 53a rys 55a), a w trakce rozpędzana hamowana robota na wykładzne PCV duże wartośc poślzgu wzdłużnego utrzymują sę dłużej (por rys 53b rys 55b) W obu fazach ruchu występują tym razem nemal dwukrotne mnejsze maksymalne przyspeszena (rys 53c rys 55c) momenty napędowe (rys 53c rys 55c), co jest efektem występowana mnejszych wartośc składowych wzdłużnych sł reakcj podłoża (rys 53e f rys 55e f), w zwązku z mnejszą wartoścą współczynnka przyczepnośc a) b) 8 4 θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) θ 3d (rad/s) c) d) 5 v (m/s) a (m/s ) e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) λ 3 (%) λ 4 (%) τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) A4 F x (N) A4 F y (N) A4 F z (N)

145 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych g) h) e (m) y (m) r r d x (m) ys 55 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne PCV, w przypadku skokowych zman prędkośc zadanej z uwzględnenem dynamk napędów Maksymalny błąd pozycj robota jest neco wększy, ale ostateczne osąga, podobną jak poprzedno, wartość (rys 53g rys 55g) trzymany tor ruchu punktu robota jest w obu przypadkach zblżony do zadanego (rys 53h rys 55h) Symulacja 56 Wynk kolejnej symulacj ruchu robota po wykładzne PCV z zadaną prędkoścą maksymalną v u =, m/s wskazują na wększe zróżncowane otrzymanych charakterystyk Wyraźne wolnej zmena sę prędkość ruchu robota (rys 54c rys 56c) oraz dłużej utrzymują sę poślzg wzdłużne kół jezdnych (por rys 54b rys 56b) Analogczne jak poprzedno występują ok dwukrotne mnejsze maksymalne wartośc momentów napędowych (por rys 54d rys 56d) oraz składowych wzdłużnych sł reakcj podłoża (por rys 54e f rys 56e f) Pommo wększego maksymalnego błędu pozycj robota (por rys 54g rys 56g), ostateczne uzyskany tor ruchu jest nadal zblżony do zadanego (por rys 54h rys 56h) a) b) θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) θ 3d (rad/s) c) d) 5 5 v (m/s) a (m/s ) λ 3 (%) λ 4 (%) 3 4 τ 3y (Nm) τ 4y (Nm)

146 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych e) f) A F x (N) 5 A F y (N) A F z (N) g) h) e (m) A4 F x (N) A4 F y (N) A4 F z (N) 3 4 y (m) r r d x (m) ys 56 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne PCV, w przypadku skokowych zman prędkośc zadanej z uwzględnenem dynamk napędów Kolejne dwe symulacje ruchu wzdłużnego robota z hybrydowym układem jezdnym przeprowadzono przy założenu, że prędkość ruchu robota zmena sę w sposób łagodny W symulacjach tych uwzględnono model napędów robota Symulacja 57 Perwszą symulację ruchu robota z hybrydowym układem jezdnym wykonano dla prędkośc maksymalnej v u =, m/s, zakładając ruch robota po wykładzne dywanowej Uzyskany ruch robota jest bardzo zblżony do zakładanego, co wdać na przebegach czasowych prędkośc (rys 57a rys 57c) a) b) 8 4 θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) θ 3d (rad/s) c) d) v (m/s) a (m/s ) λ (%) λ 3 (%) τ 3y (Nm) τ 4y (Nm)

147 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) g) h) e (m) y (m) r r d x (m) ys 57 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne dywanowej, w przypadku łagodnych zman prędkośc z uwzględnenem dynamk napędów Poślzg wzdłużny (rys 57b) występuje tylko w chwl rozruchu kończena ruchu Jest on w dużej merze wynkem nedokładnośc oblczeń zwązanych z zastosowanym solverem maleje wraz ze zmnejszanem kroku dyskretyzacj Δt Przebeg czasowe momentów napędowych są zblżone do tych, które uzyskuje sę w przypadku napędu wyłączne na tylne koła jezdne (por rys 58d rys 57d) óżnce są wdoczne główne w przebegach składowych wzdłużnych sł reakcj podłoża (por rys 58e f rys 57e f) Tym razem składowe te dla wszystkch kół jezdnych mają podobny przebeg, natomast poprzedno składowe te musały meć wększe wartośc dla napędzanych tylnych kół jezdnych, poneważ przedne koła jezdne były nenapędzane W przypadku hybrydowego układu jezdnego uzyskano tym razem neco mnejszy maksymalny błąd pozycj punktu robota, jednak ostateczne zarówno jego końcowa wartość, jak uzyskany tor ruchu są do sebe zblżone (por rys 58g h rys 57g h) Symulacja 58 statna symulacja ruchu wzdłużnego robota z hybrydowym układem jezdnym została zrealzowana dla podobnych założeń jak poprzedna, ale dla zakładanej prędkośc maksymalnej v u =, m/s W wynku symulacj uzyskano analogczne przebeg jak poprzedno a) b) θ 3 * (rad/s) θ 3 (rad/s) θ 3d (rad/s) λ (%) λ 3 (%)

148 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych c) d) 5 5 v (m/s) a (m/s ) τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) 3 4 e) f) A F x (N) A F y (N) A F z (N) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) g) h) e (m) y (m) r r d x (m) ys 58 Wynk ruchu wzdłużnego robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne dywanowej, w przypadku łagodnych zman prędkośc z uwzględnenem dynamk napędów ówneż tym razem, mmo stosunkowo dużej prędkośc, uzyskano dość dokładny ruch robota (rys 58a rys 58c) trzymane przebeg czasowe prędkośc są także blższe zakładanym, w odróżnenu od przypadku ruchu robota z wyłącznym napędem na tylne koła jezdne, co znalazło odzwercedlene w kształce przebegów czasowych poślzgu wzdłużnego (por rys 59a c rys 58a c) 5 Analza ruchu robota z hybrydowym układem jezdnym w trakce manewru zakręcana Kolejnym etapem badań symulacyjnych była analza ruchu robota, której zasadnczym elementem było zakręcane Badana zrealzowano dla różnych wartośc prędkośc przyspeszena punktu robota oraz różnych wartośc prędkośc przyspeszeń kątowych obrotu własnego korpusu robota wokół os ponowej Metodyka tych badan była analogczna do badań symulacyjnych dla robota Poneer DX Założono występowane następujących faz ruchu robota: rozpędzane od chwl czasu t do t r na drodze l r, podczas którego robot jest w ruchu wzdłużnym do przodu; jazda ze stałą prędkoścą v = v d u do przodu (w czase od t r do t ) na drodze L p l r ; 48

149 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych rozpoczęce zakręcana, tj zwększane zadanej prędkośc kątowej zakręcana ϕ od do zd ϕ (rad/s) (w czase od t zu do t ); ruch w trakce ustalonego zakręcana, czyl z prędkoścą kątową ϕ = zd ϕ zu (w czase od t do t 3 ); kończene zakręcana, tj zmnejszane zadanej prędkośc kątowej zakręcana ϕ od zd ϕ do (rad/s) (w czase od t zu 3 do t 4 ); ponowny ruch wzdłużny do przodu ze stałą prędkoścą v = v d u (w przedzale czasu od t 4 do t h ) na drodze L p l h ; hamowane w ruchu wzdłużnym do przodu od chwl czasu t h do t z na drodze l h, gdze długośc L p, l r l h oznaczają odpowedno: długość drog w ruchu wzdłużnym oraz drogę rozpędzana drogę hamowana Prędkość charakterystycznego punktu korpusu robota jest zadana analogczne, jak w przypadku ruchu wzdłużnego robota, tj w postac (53) Droga rozpędzana hamowana (odpowedno l r l h ) była oblczana na podstawe wzorów (55) dla zakładanej wartośc prędkośc punktu robota w ruchu ustalonym, tj v u oraz wartośc maksymalnego przyspeszena rozpędzana hamowana (odpowedno a r a h ) Należy pamętać, że zadany tor ruchu robota podczas manewru zakręcana stanow jedyne przyblżene łuku okręgu Jak wspomnano wcześnej, warunkem przejśca z toru prostolnowego na łuk okręgu odwrotne, jest zmana prędkośc kątowej odpowedno od wartośc równej zero do wartośc równej v d /, a następne od tej wartośc do zera z W badanach symulacyjnych założono różne wartośc zadanej prędkośc ruchu charakterystycznego punkt robota w ruchu ustalonym v u oraz promena zakrętu z Na podstawe tych welkośc oblczono zadaną prędkość kątową obrotu własnego platformy moblnej w trakce ustalonego zakręcana z zależnośc: ϕ (57) zu = v u / Przebeg zadanej prędkośc kątowej obrotu własnego korpusu robota generuje sę korzystając z analogcznego wzoru jak dla badań robota Poneer DX, czyl: step( t, t,, t, ϕ ) dla t ( t + t ) /, zu 3 ϕ = (58) zd step( t, t3, ϕ zu, t4, ) dla t > ( t + t3) / ówneż podobne wyznacza sę charakterystyczne chwle czasu, tj jako: t =,5 s, tr = lr / vu + t, t = Lp / vu 3/ 4 ϕ zu / ϕ zm + t, (59) r 3/ ϕzu / ϕzm + t t =, t3 = ϕzm z / vu + t, t4 = 3/ ϕ zu / ϕ zm + t, 3 (5) z 49

150 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych h Lp / vu 3/ 4 ϕ zu / ϕzm + t4 t =, t z = lh / vu + t (5) h W powyższych zależnoścach występuje zakładana maksymalna wartość przyspeszena kątowego występująca w trakce manewru zakręcana ϕ, która zm decyduje o tym, jak szybko prędkość kątowa obrotu własnego korpusu robota osągne zadaną wartość ϕ zu Następne wyznaczane są nezbędne do osągnęca założonego ruchu prędkośc kątowe obrotu własnego kół jezdnych z zależnośc (43), czyl rozwązywane jest zadane odwrotne knematyk dla robota Jak zaznaczono w podrozdzale 43, pod wpływem dzałających sł poprzecznych robot będze wykonywał obrót wokół os ponowej z mnejszą prędkoścą kątową ϕ nż wynka to z zadanych prędkośc kątowych θ θ (odpowedno dla lewych prawych kół jezdnych) z Wylczone l r w ten sposób prędkośc kątowe kół jezdnych będą stanowły perwsze przyblżene będą podstawą odpowednego doboru współczynnka k ωz albo jeszcze lepej zastosowana regulatora prędkośc platformy moblnej Na początek będze przyjmowana wartość k ωz = Badana symulacyjne przeprowadzono dla różnych kombnacj prędkośc v u przyspeszeń kątowych ϕ (tab 55) oraz rodzajów podłoża (tab 3) zm Tab 55 Waranty parametrów ruchu do analzy manewru zakręcana robota SCUT Warant v u (m/s),3, a r = a h (m/s ),7, ω = zu zu zm ϕ (rad/s) 6,67 ε = ϕ (rad/s ) zm 6 π π W badanach założono, że zakręt będze bardzo ostry, czyl promeń zakrętu z będze równy,5 m Założono, że przyspeszene kątowe ϕ jest proporcjonalne do prędkośc v u zm Dalej zaprezentowano wybrane wynk symulacj ruchu wzdłużnego robota W symulacjach tych badano ruch robota z hybrydowym układem jezdnym, który okazał sę znaczne lepszy w przypadku realzacj manewru zakręcana robota Symulacja 59 Perwszą symulację manewru zakręcana robota SCUT wykonano zakładając jego ruch po wykładzne dywanowej z zadaną prędkoścą maksymalną v u =,3 m/s Zadane prędkośc kątowe obrotu własnego kół jezdnych pokazano na rys 59a W wynku symulacj ruchu robota otrzymano składowe prędkośc przyspeszena punktu robota (rys 59c d) oraz prędkość przyspeszene kątowe jego korpusu (rys 59b) Można zauważyć, że na skutek dzałającej tzw sły bezwładnośc zwązanej z przyspeszenem dośrodkowym (normalnym do kerunku ruchu) robot w trakce manewru zakręcana przemeszcza sę w kerunku poprzecznym Ponadto 5

151 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych prędkość kątowa ϕ zakręcana robota jest neco nższa od zakładanej Na podstawe znanej prędkośc punktu robota oraz prędkośc kątowej ϕ oblczono z z wartośc składowych prędkośc charakterystycznych punktów A robota (rys 59e f), tj punktów znajdujących sę w środkach geometrycznych kół jezdnych (zgodne z rys 43b) W trakce manewru zakręcana można zaobserwować wększe wartośc poślzgu wzdłużnego w stosunku do ruchu wzdłużnego (rys 59g) oraz zaobserwować zjawsko poślzgu poprzecznego, które ma odzwercedlene w charakterystyce kąta poprzecznego znoszena (rys 59h) Podczas manewru zakręcana występują także znaczne wększe wartośc składowych wzdłużnych poprzecznych sł reakcj podłoża (rys 59 j), co skutkuje znacznym zwększenem wymaganych do ruchu momentów napędowych (rys 59m) a) b) θ 3d (rad/s) θ 4d (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) a x (m/s) a y (m/s) e) f) v A3x (m/s) v A3y (m/s) g) h) λ 3 (%) λ 4 (%) v A4x (m/s) v A4y (m/s) α 3 (rad) α 4 (rad)

152 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych ) j) A F x (N) A F y (N) A F z (N) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) k) l) e (m) ϕ z (rad) m) n) 4 y (m) r r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 59 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego manewru zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =,3 m/s po wykładzne dywanowej, w przypadku łagodnych zman prędkośc Z uzyskanych przebegów czasowych błędu pozycj kursu robota (rys 59k l) oraz toru ruchu charakterystycznego punktu (rys 59n) wynka, że ruch robota od momentu rozpoczęca manewru zakręcana stotne odbega od zakładanego Symulacja 53 Kolejną symulację przeprowadzono dla analogcznych założeń jak poprzedno, lecz tym razem zastosowano model robota opsany w podrozdzale 43, w którym uwzględnono dodatkowo model napędów W tym przypadku zauważono znaczne wększy wpływ modelu napędów na uzyskane wynk w stosunku do badań symulacyjnych ruchu wzdłużnego Na skutek dzałających dużych sł poprzecznych oraz wzdłużnych, prędkośc kątowe obrotu własnego kół jezdnych podczas manewru zakręcana osągają znaczne mnejsze wartośc w porównanu do zakładanych (rys 53a) W efekce prędkość kątowa zakręcana ϕ jest około dwukrotne mnejsza z w stosunku do zakładanej wartośc (rys 53b) Dlatego robot zakręca o ok,9 rad zamast o π/ rad (rys 53l) 5

153 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych a) b) θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) a x (m/s) a y (m/s) e) f) v A3x (m/s) v A3y (m/s) v A4x (m/s) v A4y (m/s) g) h) λ 3 (%) λ 4 (%) ) j) A F x (N) A F y (N) A F z (N) α 3 (rad) α 4 (rad) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) k) l) e (m) ϕ z (rad)

154 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych m) n) 4 y (m) r r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 53 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego manewru zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =,3 m/s po wykładzne dywanowej, w przypadku łagodnych zman prędkośc z uwzględnenem dynamk napędów Błąd pozycj punktu robota osąga znaczne wększą wartość (rys 53k), a otrzymany tor ruchu tego punktu, od chwl wejśca w zakręt, znaczne odbega od zakładanego (rys 53n) W zwązku z opsanym wynkam symulacj manewru zakręcana robota, w dalszych symulacjach jest stosowany model dynamk robota uzupełnony o model jego napędów Symulacja 53 Podobną symulację do poprzednej przeprowadzono dla przypadku ruchu robota po wykładzne PCV Tym razem robot w trakce manewru zakręcana uzyskał neco wększe prędkośc kątowe obrotu własnego kół jezdnych (rys 53a rys 53a) W konsekwencj robot obracał sę z trochę wększą prędkoścą kątową (por rys 53b rys 53b) a) b) θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) a x (m/s) a y (m/s)

155 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych e) f) v A3x (m/s) v A3y (m/s) v A4x (m/s) v A4y (m/s) g) h) λ 3 (%) λ 4 (%) ) j) A F x (N) A F y (N) A F z (N) k) l) e (m) α 3 (rad) α 4 (rad) A4 F x (N) A4 F y (N) A4 F z (N) ϕ z (rad) m) n) 4 y (m) r r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 53 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego manewru zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =,3 m/s na wykładzne PCV, dla łagodnych zman prędkośc z uwzględnenem dynamk napędów 55

156 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych brotow towarzyszyły znaczne wększe wartośc poślzgu wzdłużnego koła jezdnego nr 4, które było kołem wewnętrznym, tj znajdującym sę blżej chwlowego środka obrotu korpusu (por rys 53g rys 53g) stateczne uzyskano zblżony do poprzednego wynkowy ruch robota, o czym śwadczą przebeg błędu pozycj (por rys 53k rys 53k) kursu robota (por rys 53l rys 53l) oraz otrzymanego toru ruchu (por rys 53n rys 53n) Symulacja 53 Następną symulację manewru zakręcana przeprowadzono dla prędkośc maksymalnej v u =, m/s Co cekawe, w tym przypadku parametry kątowe kół jezdnych robota w mnejszym stopnu odbegają od zadanych wartośc (rys 53a), także prędkość kątowa zakręcana platformy moblnej jest obarczona względne mnejszym błędem (rys 53b) a) b) 3 - θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) a x (m/s) a y (m/s) e) f) v A3x (m/s) v A3y (m/s) g) h) λ 3 (%) λ 4 (%) v A4x (m/s) v A4y (m/s) 3 4 α 3 (rad) α 4 (rad)

157 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych ) j) A F x (N) A F y (N) A F z (N) A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) k) l) e (m) ϕ z (rad) 3 4 m) n) 4 y (m) r r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 53 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego manewru zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne dywanowej, w przypadku łagodnych zman prędkośc z uwzględnenem dynamk napędów W trakce manewru zakręcana można zaobserwować stosunkowo dużą, bo wynoszącą ok,6 m/s prędkość poprzeczną punktu robota (rys 53c) oraz składową poprzeczną przyspeszena tego punktu (rys 53d), która jest w przyblżenu równa składowej normalnej Na podstawe prędkośc kątowych obrotu własnego kół jezdnych oraz wylczonych prędkośc charakterystycznych punktów A robota wyznaczane są wartośc poślzgu wzdłużnego (rys 53g) kąta poprzecznego znoszena (rys 53h) Można zauważyć duże wartośc poślzgu wzdłużnego występującego podczas manewru zakręcana oraz duże wartośc składowych wzdłużnych sł reakcj podłoża (rys 53 j), co prowadz do bardzo dużych wartośc momentów napędowych (rys 53m) Wynkowy ruch robota, od chwl wchodzena robota w zakręt, wyraźne odbega od zakładanego, co wdać na przebegach błędu pozycj kursu robota (rys 53k l) oraz toru ruchu punktu (rys 53n) W zwązku z opsanym problemam wynkającym z dokładnośc realzacj ruchu robota podczas manewru zakręcana, w ramach kolejnych symulacj starano 57

158 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych sę dobrać współczynnk k ωz > w tak sposób, aby uzyskać ruch robota jak najbardzej zblżony do zakładanego Symulacja 533 W ramach analzy ruchu robota w trakce manewru zakręcana z zadaną prędkoścą maksymalną v u =,3 m/s dobrano wartość współczynnka k ωz równą,5 korzystając ze wzoru (43) wyznaczono nowe wartośc zadanych prędkośc kątowych obrotu własnego napędzanych kół jezdnych W wynku symulacj uzyskano prędkośc kątowe obrotu własnego tych kół pokazane na rys 533a, które są mnejsze od wartośc zadanych, ale odpowedno wększe w stosunku do wartośc uzyskanych dla współczynnka k ωz = trzymane parametry kątowe platformy moblnej, podczas manewru zakręcana, są zblżone do wartośc zadanych (rys 533b) W trakce manewru zakręcana występuje jednak składowa prędkośc na kerunku poprzecznym do zadanego ruchu robota, która jest wększa nż w przypadku symulacj dla współczynnka k ωz = (por rys 53c rys 533c) Bardzej stotne jest, że tym razem uzyskano znaczne mnejsze wartośc błędu pozycj kursu po zakończenu ruchu robota (por rys 53k rys 533l) W konsekwencj otrzymany tor ruchu charakterystycznego punktu robota jest bardzej zblżony do zakładanego (por rys 53n rys 533n) Dalszą poprawę dokładnośc realzacj ruchu można uzyskać przez dokładnejszy dobór współczynnka k ωz lub przez zastosowane regulatora prędkośc platformy moblnej, co jest rozwązanem bardzej unwersalnym, tj nezależnym od warunków współpracy kół jezdnych z podłożem a) b) θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) a x (m/s) a y (m/s) e) f) v A3x (m/s) v A3y (m/s) v A4x (m/s) v A4y (m/s)

159 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych g) h) λ 3 (%) λ 4 (%) α 3 (rad) α 4 (rad) ) j) A F x (N) 8 A F y (N) A F z (N) 8 A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) k) l) e (m) ϕ z (rad) m) n) 4 y (m) r r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 533 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego manewru zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =,3 m/s po wykładzne dywanowej, w przypadku łagodnych zman prędkośc, z uwzględnenem dynamk napędów dla k ωz =,5 Symulacja 534 statna symulacja ruchu robota SCUT dotyczy manewru zakręcana z zadaną prędkoścą maksymalną v u =, m/s W wynku badań symulacyjnych dobrano wartość współczynnka k ωz = 3,, dla którego oblczono z zależnośc (43) zadane prędkośc obrotu własnego kół jezdnych uzyskując najlepszą dokładność realzacj ruchu Wynk tej symulacj można porównać z wynkam analogcznej symulacj 59

160 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych dla k ωz =, (rys 53) Prędkośc kątowe obrotu własnego kół jezdnych podczas manewru zakręcana są tym razem znaczne wększe (por rys 53a rys 533a), wskutek czego platforma moblna obraca sę z wększą prędkoścą kątową, zblżoną do wartośc zadanej (rys 533b), uzyskując zakładany kurs (rys 533l) a) b) θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) e) f) v A3x (m/s) v A3y (m/s) g) h) λ 3 (%) λ 4 (%) ) j) 9 A F x (N) A F y (N) A F z (N) a x (m/s) a y (m/s) 3 4 v A4x (m/s) v A4y (m/s) 3 4 α 3 (rad) α 4 (rad) 3 4 A3 F x (N) A3 F y (N) A3 F z (N) 3 4 6

161 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych k) l) 4 3 e (m) ϕ z (rad) 3 4 m) n) 4 y (m) r r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 534 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego manewru zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne dywanowej, w przypadku łagodnych zman prędkośc, z uwzględnenem dynamk napędów dla k ωz = 3, W trakce ruchu robota można zaobserwować dużą wartość prędkośc na kerunku poprzecznym (rys 533c), co w konsekwencj skutkuje dużym wyślzgwanem sę robota, dużym błędem pozycj (rys 533k) znacznym odchylenem toru ruchu punktu robota w stosunku do zadanego toru (rys 533n) Momenty napędowe nezbędne do realzacj analzowanego ruchu robota są neco wększe w stosunku do symulacj dla k ωz =, (por rys 53m rys 533m) 53 Podsumowane wynków badań symulacyjnych ruchu robota czterokołowego Po analze wynków badań symulacyjnych ruchu robota czterokołowego sformułowano następujące główne wnosk Dla robota Poneer DX w podrozdzale 5 analzowane były przypadk ruchu wzdłużnego robota, w których zadana prędkość ruchu punktu zmenała sę wyłączne łagodne, z przyspeszenem mnejszym nż m/s Podobne badana zostały przeprowadzone dla robota SCUT dla dwóch konfguracj układu jezdnego zaobserwowano analogczne zjawska W sytuacj, gdy robot poruszał sę z newelkm prędkoścam (do,5 m/s) po podłożu o dużym współczynnku przyczepnośc (rzędu, np dla wykładzny dywanowej) występowały pomjalne małe poślzg wzdłużne kół jezdnych W takch przypadkach uzasadnone jest pomnęce modelu opon w modelu dynamk robota, co ma mejsce w lcznych pracach dotyczących modelowana dynamk moblnych robotów kołowych [66, 3] 6

162 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych Gdy robot SCUT poruszał sę z wększym zadanym prędkoścam ( m/s lub węcej), które zmenały sę w sposób skokowy, wówczas podczas rozpędzana hamowana występowały znaczne wartośc poślzgu wzdłużnego (Symulacje oraz Symulacje 5 56) Znaczne wartośc poślzgów w trakce rozpędzana hamowana (dla skokowych zman prędkośc) trwały znaczne krócej dla hybrydowego układu jezdnego robota SCUT, o czym można sę przekonać porównując wynk symulacj dla analogcznych założeń (Symulacja 55 Symulacja 53 oraz Symulacja 56 Symulacja 4) Wynkało to z faktu, że wszystke koła jezdne, dzęk wprowadzenu pasków zębatych, były w analogczny sposób napędzane mogły przenosć podobne składowe wzdłużne sł reakcj podłoża (różnce wynkały z różnc rozkładu składowych normalnych) W przypadku ruchu wzdłużnego robota SCUT dla zadanej prędkośc ruchu zmenającej sę łagodne (tj z przyspeszenem mnejszym nż m/s ) można zaobserwować duże wartośc poślzgu wzdłużnego główne dla konfguracj robota z wyłącznym napędem na tylne koła jezdne dla stosunkowo dużej prędkośc ruchu (np m/s Symulacja 5) Spowodowane jest to tym, że napędzane tylko dwóch kół jezdnych ne pozwala na przenoszene tak dużych wzdłużnych sł reakcj podłoża, jake są nezbędne do realzacj założonego ruchu Ma to szczególne duże znaczene podczas hamowana, kedy to bardzej docążone są przedne koła jezdne (słam reakcj składowym normalnym sł reakcj podłoża) Koła te jednak praktyczne ne uczestnczą w hamowana, natomast mnej docążone tylne koła jezdne ne mogą wówczas przenosć dużych wartośc składowych wzdłużnych sł reakcj podłoża Podczas manewru zakręcana robota SCUT, wszystke jego koła jezdne są nekerowane, węc występują duże wartośc składowych poprzecznych sł reakcj podłoża Są one porównywalne z wartoścam składowych wzdłużnych Jest to efektem występowana dużych wartośc poślzgu poprzecznego, którego marą jest kąt poprzecznego znoszena Ponadto, zależne od rodzaju podłoża prędkośc kątowych kół jezdnych, w nektórych przypadkach (np Symulacja 53), występują także duże wartośc poślzgu wzdłużnego Zwększene prędkośc kątowej obrotu własnego korpusu robota podczas manewru zakręcana można uzyskać przez wększe zróżncowane prędkośc kątowych obrotu własnego kół jezdnych W tym celu wprowadzono współczynnk k ωz, który podczas wylczana zadanych prędkośc kątowych obrotu własnego tych kół uwzględnono w zależnośc (43) Jak wykazały badana symulacyjne (Symulacja 533 Symulacja 534) spowodowało to zamerzony efekt, tj zwększene prędkośc kątowych obrotu własnego korpusu robota do wartośc blskch zadanym, jednak zanm to nastąpło robot znaczne przemeścł sę na kerunku poprzecznym w stosunku do zadanej śceżk Z analzy uzyskanych wynków w trakce manewru zakręcana wynka, że prędkość kątowa, z jaką wykonuje obrót korpus robota dla danego układu jezdnego w newelkm stopnu zależy od rodzaju podłoża, po którym porusza sę robot (Symulacja 53 Symulacja 53) W zwązku z występowanem dużych wartośc składowych poprzecznych sł reakcj podłoża, korpus robota wykonuje obrót z mnejszą prędkoścą kątową 6

163 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych nż małoby to mejsce w przypadku manewru zakręcana robota wyposażonego w kerowane koła jezdne Prędkość ta jest tym mnejsza m mnejsza jest lczba kół jezdnych przenoszących napęd W przypadku napędzana robota wyłączne na tylne koła jezdne, będze on wykonywał obrót z mnejszą prędkoścą kątową w stosunku do użyca hybrydowego układu jezdnego Z tego względu badana symulacyjne manewru zakręcana robota SCUT koncentrowały sę na badanu hybrydowego układu jezdnego Badana symulacyjne dla robota SCUT przeprowadzono dla dwóch wersj modelu W perwszej wersj (rys 47) rozwązywane było zadane odwrotne dynamk w modelu ne uwzględnano dynamk napędów W zwązku z tym prędkośc kątowe obrotu własnego kół jezdnych zmenały sę tak, jakby było w przypadku dealnym W drugej wersj modelu (rys 48) rozwązywane było zadane proste dynamk z uwzględnenem dynamk napędów, jednak ne zamodelowano regulatora prędkośc kół jezdnych występującego w rzeczywstym roboce W zwązku z tym uzyskane wynk mogą być gorsze w stosunku do badań emprycznych ze względu na to, że w rzeczywstym roboce zastosowany jest regulator prędkośc kół jezdnych, który na beżąco koryguje sterowane w celu mnmalzacj błędów obrotu kół jezdnych Badana symulacyjne z uwzględnenem modelu regulatora prędkośc kół jezdnych będą tematem podrozdzału 63 mówone główne wnosk wynkające z przeprowadzonych badań symulacyjnych mogą być uogólnone na nne konstrukcje robotów moblnych, w których występują wyłączne nekerowane koła jezdne Przykładem takego robota jest robot IBIS, także produkowany w Przemysłowym Instytuce Automatyk Pomarów PIAP [6], który był mn przedmotem pracy [39] 63

164 5 Badana symulacyjne ruchu moblnych robotów kołowych 64

165 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych Jednym z najczęstszych problemów dotyczącym sterowana ruchem moblnych robotów kołowych rozwązywanym przez badaczy jest zadane podążana robota od pozycj początkowej do zadanej pozycj końcowej Zadane to obejmuje zagadnena planowana oraz realzacj ruchu będze przedmotem rozważań w nnejszym rozdzale pracy Układy sterowana moblnych robotów kołowych realzujących take zadane mają zazwyczaj strukturę herarchczną [7] W lteraturze wyróżna sę w tym przypadku trzy pozomy herarch układu sterowana, zaczynając od pozomu najwyższego: globalne planowane śceżk, lokalne planowane śceżk, sterowane ruchem nadążnym Należy podkreślć, że ne zawsze występują wszystke opsane pozomy układu sterowana Przykładowo może być pomnęty najwyższy pozom herarch, tj zadana śceżka robota może być zadana a pror Może być także pomnęty kolejny pozom herarch, jeśl założy sę, że ruch robota odbywa sę wyłączne w znanym otoczenu, tj ne występują w nm nezaplanowane przeszkody statn pozom herarch, choć ne zawsze analzowany przez autorów prac badawczych, w praktyce zawsze mus wystąpć, gdyż bez nego ne może być realzowany ruch robota dstępstwem od tej zasady może być sterowane behaworalne [], w którym nformacje pochodzące z czujnków otoczena po ch przetworzenu mogą stanowć bezpośredne sterowana dla napędów kół jezdnych robota Na każdym z wymenonych pozomów herarch układu sterowana mogą być także wyróżnone kolejne podpozomy herarch 6 Planowane śceżk Jak wcześnej wspomnano, perwszy najwyższy pozom herarch układu sterowana jest odpowedzalny za globalne planowane śceżk, tj wyznaczene teoretycznej śceżk prowadzącej od początkowego położena robota do zadanego położena końcowego, przy założenu zgrubnej znajomośc otoczena, w którym ma poruszać sę robot Ten pozom układu sterowana realzuje zadane optymalzacj wg przyjętego kryterum jakośc jest przedmotem badań przez welu autorów [, 59,,, 44] Do głównych problemów zwązanych z realzacją tego zadana można zalczyć: sposób reprezentacj otoczena robota, przyjęce ogranczeń, wybór kryterów optymalzacj oraz dobór algorytmu przeszukwań Zazwyczaj przyjmuje sę, że teren po którym porusza sę robot jest płask, czyl wprowadza sę dwuwymarową reprezentację otoczena [5, 38] bok terenu płaskego na mape otoczena mogą występować przeszkody, którym mogą być np budynk, zbornk wodne, pagórk dołk Jeśl chodz o uwzględnene ogranczeń poszukwań optymalnej śceżk, to można je podzelć na dwe grupy Do perwszej grupy można zalczyć ogranczena wynkające z otoczena, natomast do drugej samego robota granczena otoczena mają zazwyczaj odzwercedlene w postac kosztu pokonana zdyskretyzowane- 65

166 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych go fragmentu otoczena [73] Ne berze sę zazwyczaj pod uwagę kerunku ruchu robota przez dany teren [3, 38], co oczywśce ma znaczene w rzeczywstych warunkach, kedy ne bez znaczena jest to, czy robot pokonuje teren jadąc po wznesenu do góry lub w dół Ponadto, stosowane w welu publkacjach podejśce polegające na uwzględnanu kosztu pokonana danego terenu jedyne na etape reprezentacj terenu ne jest dobrym podejścem, gdyż koszt ten zależy także od cech robota, rodzaju ukształtowana terenu oraz kerunku ruchu, jest węc wypadkową tych czynnków W zwązku z tym pownen on być wyznaczany borąc pod uwagę te czynnk, a ne być zakładany z góry Nebagatelną rolę w tym przypadku odgrywać pownen model dynamk robota jego napędów Proponowane przez autora pracy podejśce, polegające na uwzględnenu modelu dynamk robota napędów w procese globalnego planowana śceżk było przedmotem pracy [4] Z kole wybór kryterów optymalzacj sprowadza sę zazwyczaj do zdefnowana tzw funkcj kosztu, która ma zapewnć np mnmalzację długośc śceżk, czasu ruchu, zużyca energ [88, 4], ryzyka [77] nnych czynnków przyjętych przez badacza Dobrana funkcja kosztu wraz z przyjętym ogranczenam redukuje lczbę możlwych śceżek wynkających z dzałana algorytmu przeszukwań W przeważającej wększośc publkacj przyjętym kryterum optymalzacj jest długość drog, jaką pokonuje robot [7] Podejśce take jest słuszne jedyne w przypadku mało zróżncowanego terenu, gdy jego rodzaj ukształtowane ma newelk wpływ na zużyce energ przez robota W nnym przypadku funkcja kosztu pownna być tak dobrana, aby uwzględnała ona także zużyce energ przez robota, co ma nebagatelny wpływ na jego zasęg Ne bez znaczena jest także sposób realzacj ruchu przez robota Przykładowo, robot z nekerowanym kołam jezdnym, np opsany robot SCUT, zużywa znaczne węcej energ w trakce obracana zakręcana w stosunku do jazdy prosto (podrozdzały 5 75), dlatego optymalna pod względem energetycznym śceżka pownna zawerać jak najmnej zakrętów, a jak najwęcej prostych odcnków Przyjmowane przez autorów krytera optymalzacj rzadko uwzględnają zmenną prędkość ruchu robota, co z oczywstych względów ma mejsce w rzeczywstych warunkach Do wyjątków pod tym względem można zalczyć pracę [83] ealzacja algorytmu poszukwana optymalnej drog jest zazwyczaj realzowana przez tzw agenta ntelgentnego [76] nazywanego też agentem upostacowonym [46] opera sę na przeszukwanu grafów Znane są także nne podejśca do zadana globalnego planowana śceżk, np w oparcu o metodę sztucznych pól potencjalnych [3], metodę rozchodzena sę fal [63] nnych Stosowane metody przeszukwań grafów można podzelć na trzy grupy [76]: nformowane (heurystyczne), nenformowane (ślepe) oraz metaheurystyczne Do metod nenformowanych można zalczyć algorytmy [76]: poszukwana wszerz (ang Breadth-Frst Search), wgłąb (ang Depth-Frst Search) algorytm Djkstry [] Do metod heurystycznych należą bardzo popularny algorytm A* (dedykowany do statycznego otoczena, stosowany mn w pracy [4]) oraz wywodzące sę z nego algorytmy pochodne, jak np D* [59] (przeznaczony do poszukwań w przypadku dynamcznego otoczena) Wreszce do metod metaheurystycznych zalcza sę algorytmy genetyczne [43] ch modyfkacje, jak algorytmy memetyczne [], algorytmy mrówkowe [7] nne zadzej stosowane są sztuczne sec neuronowe [95] Można także spotkać publkacje, w których korzysta sę z algo- 66

167 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych rytmów stanowących połączene klku metod, np heurystycznych metaheurystycznych [4] wyborze metody przeszukwań grafów decydują take czynnk, jak szybkość algorytmu, kompletność (tj gwarancja wyznaczena rozwązana, o le take stneje), dopuszczalność (tj pewność znalezena optymalnego rozwązana dla dowolnego grafu pod warunkem, że take stneje) oraz ogranczena wynkające z użytego sprzętu, jak lość wymaganej pamęc [4] Następny, drug pozom herarch układu sterowana odpowada za lokalne planowane śceżk, które jest także nazywane zagadnenem nawgacj zazwyczaj polega na wyznaczenu śceżk mędzy aktualnym położenem robota, a nowym zadanym położenem (które z punktu wdzena globalnego planowana śceżk może być położenem pośrednm), z uwzględnenem neznanych przeszkód otaczających robota nnych ogranczeń Wynk badań dotyczących problematyk nawgacj robotów moblnych z uwzględnenem występujących przeszkód można znaleźć mn w pracach [, 9,, 69, 7,, ] Nowe położena robota będące wynkem dzałana algorytmu lokalnego planowana śceżk pownno znajdować sę na zadanej śceżce teoretycznej wyznaczonej przez wyższy pozom herarch, chyba że na drodze robota występują przeszkody (neznane na etape globalnego planowana śceżk), które należy omnąć Wówczas algorytm planowana lokalnego wyznacza nową śceżkę, dążąc przy tym do jak najszybszego powrotu na zadaną śceżkę teoretyczną ealzację zadana lokalnego planowana śceżk w celu osągnęca zadanego położena końcowego robota można podzelć na etapy polegające na: budowe reprezentacj środowska, lokalzacj robota planowanu dzałań [4] Po zakończenu tych etapów następuje realzacja ruchu przez nższy pozom herarch układu sterowana, co może sprowadzać sę do zagadnena śledzena zadanej trajektor ruchu, czyl sterowana ruchem nadążnym W nektórych metodach pomja sę budowę reprezentacj środowska Jest to uzasadnone w takch przypadkach, gdy dynamka zman środowska jest porównywalna lub wększa nż dynamka generacj mapy procesu podejmowana decyzj wówczas zbudowana mapa otoczena ne jest warygodnym źródłem nformacj Podejśce, w którym budowano reprezentację otoczena robota zastosowano w publkacjach [8], a pomnęto w [9] Lokalzacja robotów moblnych bazuje na: znajomośc statycznej mapy otoczena odczytach z czujnków otoczena jak skanery laserowe, które umożlwają lokalzację robota na mape [35], na różnych odmanach nawgacj nercyjnej [8], lokalzacj GPS lub GNSS [6] oraz na połączenu klku metod [78, 74] Zastosowane odometr do lokalzacj sprawdza sę jedyne w przypadku, gdy robot porusza sę po równej powerzchn bez poślzgów oraz przemeszcza sę na newelke odległośc Jedną z wczesnych metod lokalnego planowana śceżk jest sterowane odruchowe (behaworalne) [], którego twórcą jest V Bratenberg, a w którym realzowane są różne elementarne zadana zachowana sę moblnego robota, jak: osągnj środek wolnej przestrzen, dź do celu, podążaj przy ścane oraz koordynacja tych zachowań [66, 49] 67

168 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych Koordynacja elementarnych zachowań robota moblnego jest w tym przypadku realzowana na wyższym pozome herarchcznego układu sterowana [9] Przy koordynacj zachowań często pojawa sę problem, który polega na tym, że klka zadań pozostaje ze sobą w konflkce Wówczas nadrzędny układ sterowana mus wypracować sterowane w tak sposób, aby tylko jedno z zachowań zostało realzowane, albo wystąpło pośredne (kompromsowe) zachowane robota bok sterowana odruchowego w procese planowana bezkolzyjnej trasy stosowane są także: metoda hstogramów kątowych [3], metoda potencjałów [8], dynamcznego okna [3], sec komórkowe CNN [9] oraz metody hybrydowe stanowące połączene klku metod [8] Coraz częścej do realzacj lokalnego planowana śceżk wykorzystuje sę różne technk sztucznej ntelgencj, jak algorytmy genetyczne [85], układy z logką rozmytą [, 86], sztuczne sec neuronowe [37], uczene ze wzmocnenem [45] oraz połączene klku tych technk [8, 45] Informacje o otaczających robota przeszkodach pochodzą od czujnków zamontowanych na roboce W stosowanych rozwązanach można znaleźć szeroką gamę czujnków, np skanery dalmerze laserowe, czujnk ultradźwękowe, czujnk na podczerweń, czujnk radarowe, czujnk ldarowe, czujnk dotyku (taktylne) oraz różnego typu systemy wzyjne (w tym kamery termowzyjne dzałające w podczerwen) [] Wybór czujnków zależy od środowska, w którym pracuje robot Przykładowo czujnk ultradźwękowe na podczerweń ne sprawdzają sę w otwartej przestrzen ze względu na ch wrażlwość na zmenne warunk środowska Często stosuje sę klka czujnków różnego typu, aby umożlwć detekcję szerokej gamy przeszkód otaczających robota, w tym przeszkód wklęsłych (zagłębeń) Podejśce take zastosowano mn w pracy [3], gdze użyto skaner laserowy, dalmerze laserowe, czujnk radarowe, kamerę termowzyjną czujnk taktylne, przy czym część czujnków była skerowana w dół pod znanym kątem Szczególnym typem przeszkód są ruchome obekty [9], w przypadku których jeżel robot ma za zadane ch omnąć należy także uwzględnć ch kerunek ruchu prędkość Do tworzena szczegółowych, trójwymarowych map otoczena, zarówno na potrzeby globalnego, jak lokalnego planowana śceżk, coraz częścej korzysta sę ze skanerów 3D [9] Stosowane są także tzw mapy kogntywne, które są tworzone na podstawe odczytów z czujnków robota, ale reprezentowane w forme przystępnej dla człoweka [] Do ogranczeń wynkających z zastosowanego robota, które można wykorzystać na etape globalnego lokalnego planowana śceżk, można zalczyć jego moblność, możlwe parametry ruchu wynkające z jego dynamk zastosowanych napędów, pojemność bater td Przez moblność (zgodne z [8]) rozume sę zdolność pokonywana przez robota różnych przeszkód terenowych, jak zbornk wodne, schody td Problematyka moblnośc dla robota czterokołowego dla różnych sposobów jego napędzana była też przedmotem pracy [] Moblność zależy od rodzaju robota w dużym stopnu wynka z jego modelu dynamk Jest ona zwązana mn z rodzajem układu jezdnego użytych opon [35] Z modelu dynamk robota, jego napędów bater wynkają ogranczena na maksymalną prędkość robota oraz możlwe do osągnęca przyspeszena, zarówno parametry lnowe, jak kątowe Ne bez znaczena jest uwzględnene zużyca energ przez napędy elektronkę robota 68

169 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych oraz pojemność jego bater, która decyduje o zasęgu robota Wymenone ogranczena wynkające z modelu dynamk robota, jak wcześnej wspomnano, można wykorzystać zarówno na etape globalnego, jak lokalnego planowana śceżk [9] 6 Sterowane ruchem nadążnym robota SCUT Trzec, najnższy pozom herarch układu sterowana jest odpowedzalny za bezpośredną realzację ruchu robota Najczęścej realzuje on zadane sterowana nadążnego ruchem robota [9], które polega na wyznaczenu sterowań nezbędnych do realzacj założonego ruchu robota Moblne roboty kołowe są pojazdam poruszającym sę po zadanych trajektorach ruchu Tego typu ruch moblnych robotów kołowych określa sę manem ruchu nadążnego [66] W układze sterowana nadążnego ruchem tego typu robotów, który jak wspomnano na początku nnejszego rozdzału, stanow najnższy pozom herarch układu sterowana, często stosuje sę strukturę herarchczną, tj wprowadza sę kolejne pozomy herarch układu Ich lczba zależna jest od tego, jake welkośc stanową (defnują) zadaną trajektorę ruchu robota jak układ jezdny posada ten robot W ogólnym przypadku można węc wyróżnć następujące pozomy, zależne od zadanej trajektor ruchu, zaczynając od pozomu najwyższego: pozom odpowedzalny za dokładność realzacj ruchu robota względem globalnego układu odnesena {}, w którym zadaną trajektorę ruchu stanową zadana pozycja kurs robota q d = [ x d, y d, φ zd ] T ; pozom odpowadający za ruch robota z zadaną prędkoścą jego charakterystycznego punktu prędkoścą kątową platformy moblnej T v d = [ v d, ϕ zd ] ; pozom realzujący sterowane napędzanym kołam jezdnym robota, w którym zadane są prędkośc kątowe obrotu własnego tych kół θ [ ] T d = θ ld, θ, tj rd dla odpowedno lewych (l) prawych (r) kół jezdnych robota Podobne, jak w całym układze sterowana ruchem robota, równeż w przypadku jego najnższego pozomu, tj układu sterowana ruchem nadążnym, mogą ne występować wszystke wymenone pozomy Przykładowo, jeśl ruch robota odbywa sę z newelkm poślzgam kół jezdnych, wówczas na podstawe zadanej trajektor ruchu q d = [ x d, y d, φ zd ] T T mogą być wyznaczone prędkośc v d = [ v d, ϕ zd ], a na ch podstawe, przez rozwązane zadana odwrotnego knematyk (podrozdzał 39) zadane prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych θ [ ] T d = θ ld, θ, które mogą stanowć trajektorę zadaną dla układu sterowana rd Zatem, spośród wymenonych wcześnej pozomów układu sterowana ruchem nadążnym, w praktyce zawsze będze występował pozom najnższy odpowedzalny za realzację zadanych parametrów kątowych kół jezdnych robota Jedną z podstawowych kwest zwązanych ze sterowanem ruchem nadążnym jest zapewnene odpowednej dokładnośc stablnośc ruchu Należy podkreślć, że projektując układy sterowana dla moblnych robotów kołowych pownno sę uwzględnć zmenne warunk pracy robota, które wynkają z realzacj różnych zadań 69

170 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych w zróżncowanym terene [9] W przypadku robotów moblnych stablność układu sterowana najczęścej bada sę w oparcu o teorę stablnośc Lapunova [, 9] Projektując układy sterowana ruchem nadążnym moblnych robotów kołowych często zakłada sę ch ruch bez poślzgu kół jezdnych, po podłożu o jednoltych właścwoścach, co ma odzwercedlene mn w pracach [89, 99, 56, 5] Znane są publkacje, w których opsany układ sterowana ruchem nadążnym uwzględna poślzg kół jezdnych /lub zróżncowane parametry podłoża [, 4, 9, 6,, 7], a autorzy badają wpływ zróżncowanych parametrów podłoża na ruch robota Problematyka sterowana ruchem nadążnym moblnych robotów kołowych, które z założena poruszają sę w warunkach poślzgu kół jezdnych (ang skd-steered moble robots), jest w szczególnośc przedmotem rozważań w pracach [5, 4, ], w których poślzg kół jezdnych (ang skd/slp) jest uwzględnany w układze sterowana Występowane poślzgu kół jezdnych jest brane pod uwagę mn w układze sterowana bezzałogowych, terenowych pojazdów rolnczych (ang off-road agrcultural vehcles) [9] Sterowane ruchem nadążnym moblnych robotów kołowych jest często realzowane z zastosowanem klasycznego lnowego regulatora PID Tego typu regulator użyty do sterowana układem nelnowym, jakm jest moblny robot kołowy, może zagwarantować odpowedną precyzję realzacj ruchu tylko w wąskm zakrese parametrów robota warunków jego otoczena Dlatego też tego typu układy sterowana cechują sę dużą wrażlwoścą na zmenne warunk pracy robota Z tego też powodu, metody sterowana, które zapewnają dużą dokładność realzacj ruchu w obecnośc zmennych warunków pracy obektu, które ne wymagają precyzyjnej wedzy na temat jego modelu są nadal przedmotem badań Jedną z takch metod jest sterowane adaptacyjne [9] W metodze tej algorytm sterowana jest zaprojektowany w tak sposób, że modyfkuje on parametry układu sterowana zależne od warunków pracy obektu Do sterowana układam nelnowym stosowane są także metody tzw sterowana ślzgowego (ang sldng mode method) [3, 9] Układy sterowana ruchem nadążnym moblnych robotów kołowych, podobne jak dla wyższych pozomów układu sterowana, często korzystają z metod technk tzw sztucznej ntelgencj, takch jak: sztuczne sec neuronowe [3], układy z logką rozmytą [34], algorytmy ewolucyjne różne kombnacje tych metod, jak sterowane neuronowo-rozmyte [93] Kolejne podrozdzały pracy dotyczą syntezy symulacj układu sterowana moblnym robotem czterokołowym SCUT Zaprojektowany układ sterowana będze mał strukturę herarchczną, jego zadanem będze zapewnene jak najwyższej dokładnośc realzacj ruchu nadążnego dzęk uwzględnenu w algorytme sterowana poślzgu kół jezdnych oraz zmennych warunków pracy robota (np zmenny rodzaj podłoża zwązane z tym zmenne parametry kontaktu kół z podłożem, czy zmenna masa przewożonego ładunku) Jak wcześnej wspomnano najwyższy pozom układu sterowana ruchem nadążnym moblnego robota kołowego jest odpowedzalny za dokładność realzacj ruchu tego robota względem globalnego układu odnesena polega na mnmalzacj jego błędu pozycj kursu Dlatego też regulator odpowedzalny za realzację tego zadana będze nazywany regulatorem pozycj kursu robota Zadanem kolejnego, nższego pozomu układu sterowana jest zapewnene realzacj ruchu robota z zadanym prędkoścam platformy moblnej, tj z zadaną 7

171 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych prędkoścą charakterystycznego punktu robota prędkoścą kątową platformy moblnej W zwązku z tym regulator odpowadający za realzację tego zadana będze nazywany regulatorem prędkośc platformy moblnej Najnższy pozom analzowanego układu sterowana jest odpowedzalny za realzację ruchu napędzanych kół jezdnych robota z zadanym parametram kątowym egulator realzujący to zadane będze najczęścej nazywany regulatorem prędkośc kół jezdnych W kolejnych podrozdzałach omówone są wybrane struktury układów sterowana zawerające opsane pozomy herarch, zaczynając od pozomu najnższego, oraz przykładowe wynk badań symulacyjnych z zastosowanem tych układów 6 egulator prędkośc kół jezdnych Zadane prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych θ mogą być d wyznaczane w czase ruchu robota przez regulator prędkośc platformy moblnej lub w wynku rozwązana zadana odwrotnego knematyk Są one welkoścam wejścowym dla regulatora prędkośc kół jezdnych Na tej podstawe są wyznaczane pozostałe parametry kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych, tj kąt obrotu θ d przyspeszene kątowe θ Projektując regulator prędkośc kół jezdnych d zakłada sę, że napędzane koła jezdne robota przemeszczają sę po zadanej trajektor ruchu zdefnowanej w postac wektora θ d = [θ ld, θ rd ] T (rad), który jest funkcją czasu Problematyka sterowana ruchem nadążnym była szerzej poruszona w pracy [5], w której dla robota Poneer DX jako regulator napędzanych kół jezdnych został użyty zarówno regulator PD, jak regulatory adaptacyjne oparte na adaptacj analtycznej sztucznych secach neuronowych W pracy tej ne był użyty nadrzędny regulator prędkośc platformy moblnej an regulator pozycj kursu robota, gdyż zakładano ruch robota bez poślzgu kół jezdnych W pracy [93] został użyty układ sterowana wykorzystujący zarówno logkę rozmytą, jak sztuczne sec neuronowe Analzowany był tam także najnższy pozom herarch układu sterowana, w którym zakładano brak poślzgu kół jezdnych [9] W kolejnych podrozdzałach zostaną omówone trzy przykładowe wersje regulatora prędkośc kół jezdnych, tj regulator PD, regulator adaptacyjny oraz regulator odporny Dwa ostatne regulatory bazują na przyjętym uproszczonym modelu robota (podrozdzał 43) Ponadto w każdym z tych regulatorów można dodatkowo wprowadzć model zadana odwrotnego dynamk napędów (podrozdzał 38), co pownno wpłynąć na poprawę dokładnośc realzacj zadanych parametrów kątowych obrotu własnego kół jezdnych 6 egulator PD Początkowe rozważana odnoszą sę do najprostszej struktury regulatora prędkośc kół jezdnych, który może zapewnć stablność układu, tj regulatora PD Błąd wynkający z obrotu napędzanych kół jezdnych jest przyjęty w postac: θ e = θ d θ, (6) natomast uogólnony błąd nadążana jako [9]: s =, (6) θ θe + Λθθ e 7

172 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych gdze: θ = [θ l, θ r ] T (rad) wektor kątów obrotu odpowedno kół jezdnych znajdujących sę po lewej prawej strone robota, θ e = [θ le, θ re ] T (rad), Λ θ = dag(λ θl, λ θr ) (s ) macerz dagonalna dodatnch wzmocneń Sygnał sterowana, stanowący wyjśce regulatora prędkośc kół jezdnych ma postać: u = K θ s θ lub u = ΘK θ s θ, (63) gdze: Θ = dag( sgn( θ ld ), sgn( θ ) ) ( ) rd Wyrażene K θ s θ reprezentuje regulator PD, dla którego wzmocnene członu proporcjonalnego wynos K θ Λ θ, natomast wzmocnene członu różnczkującego K θ Jeżel sygnałem wyjścowym regulatora jest napęce sterujące pracą napędów robota, to jednostką K θ jest (Vs/rad) Macerz Θ może być użyta przede wszystkm w celu wymuszena zatrzymana sę robota w przypadku, gdy zadane prędkośc kątowe obrotu własnego kół jezdnych są równe zero Bez tego dodatkowego zabezpeczena, po zakończenu zadanego ruchu robota, gdy błąd nadążana byłby różny od zera robot nadal otrzymywałby sygnały sterowana, co powodowałoby nezamerzony jego ruch Schemat struktury układu sterowana z regulatorem PD zrealzowanej w środowsku MATLAB/Smulnk pokazany jest na rys 6 Stanow on modyfkację przedstawonego w podrozdzale 43 modelu robota (rys 48) umożlwającego rozwązane zadana prostego dynamk W mejsce bloku Sterowane pozwalającego na sterowane ruchem robota w otwartej pętl został wprowadzony blok egulator prędkośc kół jezdnych, który na podstawe błędów nadążana wyznacza napęca sterujące napędam robota W bloku Zadane odwrotne knematyk robota wykorzystano zależność (43), zakładając, że k ωz, ys 6 Struktura układu sterowana z regulatorem PD w środowsku MATLAB/Smulnk 6 egulator adaptacyjny mówony w poprzednm podrozdzale regulator PD jest przykładem regulatora lnowego Poneważ obektem sterowana jest układ nelnowy, dlatego regulator tego typu może zapewnć dokładną regulację prędkośc kątowych obrotu kół jezdnych tylko w określonych warunkach W przypadku zmany warunków pracy obektu zwązanych np ze zmaną podłoża, po którym porusza sę robot, lub zmany para- 7

173 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych metrów robota (np zmana masy przewożonego ładunku), błędy nadążana mogą ulec stotnemu zwększenu W zwązku z tym, w ramach pracy zostane także omówony regulator adaptacyjny bazujący na uproszczonym modelu robota SCUT opsanym w podrozdzale 43 Metoda sterowana adaptacyjnego pozwala na kompensację nelnowośc wynkających z dynamk robota [9] ównana dynamk dla tego robota mogą być zapsane w zwartej postac: Y a = τ, (64) gdze a jest wektorem parametrów robota, τ jest wektorem momentów napędowych, a macerz Y jest zależna od aktualnych parametrów ruchu robota W przypadku konfguracj robota z hybrydowym układem jezdnym powyższe równane może być zapsane w postac dwóch równań skalarnych: ( θ3 + tgh( θ a a k 3) + λ λ3 /( λ + λ3)( ) + θ p p a a ax a ay (65) + ( a + a a a a ) tgh( k θ ( 6 7 x 8 y θ 3 )) = τ, θ4 + tgh( θ a a k 4) + λ λ4 /( λ + λ4)( ) + θ p p a a ax a ay (66) + ( a + a a + a a ) tgh( k θ 6 7 x 8 y θ 4 3 )) = τ, gdze występujące w tych równanach parametry modelu dynamk robota zostały opsane w podrozdzale 43 Dla regulatora adaptacyjnego, obok błędu nadążana θ e w postac (6) oraz uogólnonego błędu nadążana s θ zdefnowanego jako (6), wprowadzono dodatkowe sygnały [9, 9]: v = θ d Λθ θ e, v = θ d Λ θ (67) θ e Prawo sterowana może być wówczas zdefnowane jako: θ θ 4 u = uˆ + ΘK s (68) gdze û jest sygnałem sterowana równoważnego, który może być zapsany jako: u ˆ = Y a, (69) wynka on z modelu dynamk robota, przy czym w mejsce parametrów ruchu robota wprowadza sę kombnacje błędów, tj sygnały v, v Z kole prawo adaptacj parametrów robota wynka z równana: Γa~ T Yv s =, (6) v ˆ + θ gdze Г jest dagonalną macerzą projektową o elementach dodatnch, a ~ a jest błędem ocen parametrów robota Przyjmując, że parametry robota są stałe spełnona jest zależność: ~ a = a ˆ, (6) 73

174 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych zaś prawo adaptacj parametrów robota przyjmuje postać [9, 9]: T aˆ Γ Yv s = (6) = θ Strukturę regulatora adaptacyjnego dla układu sterowana ruchem robota SCUT przedstawono na rys 6 W stosunku do układu sterowana z regulatorem PD (rys 6) wprowadzono blok Sterowane adaptacyjne, który bazując na równanach uproszczonego modelu dynamk robota (65) (66) oraz na podstawe przyjętego prawa adaptacj parametrów (6) wyznacza oceny parametrów robota â oraz sterowane równoważne û, zgodne ze wzorem (69) Na potrzeby układu sterowana wprowadzono także blok Poślzg wzdłużny oblczający wartośc poślzgu wzdłużnego dla napędzanych kół jezdnych ys 6 Struktura układu sterowana z regulatorem adaptacyjnym w środowsku oblczenowym MATLAB/Smulnk Analzę stablnośc tak zaprojektowanego układu sterowana, tj dla prawa sterowana prawa adaptacj parametrów modelu dynamk robota Poneer DX przeprowadzono mn w ramach pracy [95], gdze wykazano jego globalną stablność w sense Lapunowa pracowany układ sterowana został następne zweryfkowany na etape badań symulacyjnych dośwadczalnych na rzeczywstym roboce Z przeprowadzonych badań wynka, że tego typu regulator może zapewnć dużą dokładność realzacj ruchu w przypadku braku poślzgu W adaptacyjnych układach sterowana stotną rolę odgrywa właścwe pobudzene obektu, na co szczególne zwrócono uwagę w pracy [3] Z tego względu korzystne jest zdefnowane zadanej trajektor ruchu robota w tak sposób, aby pobudzała ona w jak najwększym stopnu wszystke komponenty modelu dynamk robota jego napędów Sytuacja taka zachodz, gdy wszystke zadane prędkośc przyspeszena, zarówno lnowe jak kątowe, będą zmenały sę w szerokm zakrese welkośc dopuszczalnych psana metoda sterowana adaptacyjnego może być stosowana także na wyższym pozome układu sterowana, jak w omówonym w poprzednm rozdzale regulatorze prędkośc platformy moblnej 74

175 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych 63 egulator odporny W podobny sposób można zastosować regulator odporny Wówczas prawo sterowana ma postać [9]: u = Yaˆ + k ) ΘK s (63) θ sgn( sθ + Tym razem w regulatorze typowo występuje człon k θ sgn(s θ ), który ma za zadane wyelmnowane nepożądanych drgań układu sterowana Ponadto, w mejsce funkcj sgn(s θ ) zwracającej znak argumentu, można zastosować funkcję sat(s θ, s max, s mn ) lub tgh(k θ s θ ) Wynkem dzałana funkcj sat(s θ, s max, s mn ) jest wartość s θ dla s mn s θ s max, s max dla s θ > s max oraz s mn dla s θ < s mn W sterowanu odpornym równeż występuje wektor sterowana równoważnego û = Y v â, lecz w porównanu do sterowana adaptacyjnego zamast wektora ocen parametrów robota â uzyskanego w procese adaptacj wprowadza sę analogczny wektor zawerający przyblżone nomnalne wartośc parametrów robota wynkające z przyjętego modelu dynamk oraz defnuje sę wektor zakładanych nedokładnośc modelowana γ, dla którego spełnona jest nerówność: γ aˆ a (64) Strukturę regulatora odpornego dla układu sterowana ruchem robota SCUT zaprezentowano na rys 63 W stosunku do poprzedno prezentowanego układu sterowana z regulatorem adaptacyjnym (rys 6) w mejsce bloku Sterowane adaptacyjne wprowadzono blok Sterowane odporne, który wyznacza sterowane równoważne z analogcznego wzoru (69), lecz tym razem zamast oblczana ocen parametrów w oparcu o przyjęte prawo adaptacj wprowadzane są nomnalne wartośc parametrów robota â, które są generowane w osobnym bloku Nomnalne wartośc parametrów robota θ θ ys 63 Struktura układu sterowana z regulatorem odpornym w środowsku oblczenowym MATLAB/Smulnk Przykłady badań tego typu regulatora z użycem robota Poneer DX można odnaleźć w pracy [7] 75

176 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych Podobne, jak w przypadku metody sterowana adaptacyjnego, metoda sterowana odpornego może być zastosowana na wyższym pozome układu sterowana 6 egulator prędkośc platformy moblnej Zadane prędkośc uogólnone platformy moblnej robota, dane w postac wektora T v = v, ϕ ], będącego funkcją czasu, są podstawą do wyznaczena zadanych d [ d zd parametrów kątowych kół jezdnych θ [ ] T d = θ ld, θ Prędkośc uogólnone platformy rd moblnej mogą wynkać z zadanej trajektor ruchu robota q d = [ x d, y d, φ zd ] T lub być wyznaczane przez regulator pozycj kursu robota (podrozdzał 63) W przypadku moblnych robotów kołowych poruszających sę z newelkm poślzgam kół jezdnych, zadane prędkośc kątowe obrotu własnego kół jezdnych mogą być z dużą dokładnoścą wyznaczone w wynku rozwązana zadana odwrotnego knematyk Podejśce take może być zastosowane do sterowana ruchem nadążnym robota Poneer DX [7, 5] W tym celu, przyjmując, że vd vxd, można wykorzystać zależność wynkającą z knematyk (podrozdzał 4): θ θ d d = W / v W / ϕ d r zd, (65) gdze: r = r = r promene napędzanych kół jezdnych, W ch rozstaw (rys 4b) Podejśca takego w ogólnym przypadku ne można zastosować dla robota SCUT, którego poślzg kół jezdnych są neodłączną cechą jego ruchu w trakce manewru zakręcana ruchu obrotowego wokół jego os ponowej Zgodne z tym, co zostało przedstawone w podrozdzale 43, dla takego robota w ogólnym przypadku spełnona jest nerówność: θ θ ld rd W / v W / ϕ d r zd, (66) gdze θ ld θ to odpowedno zadane prędkośc kątowe napędzanych lewych prawych kół jezdnych robota rd óżnca mędzy zadaną prędkoścą kątową obrotu własnego platformy moblnej robota ϕ, a wartoścą wynkającą z zadawanych prędkośc napędzanych zd kół jezdnych ( θ rd θ ld ) r / W będze tym wększa, m mnejsza lczba kół jezdnych będze napędzana, gdyż wówczas mnejszy będze udzał sł wzdłużnych powodujących ruch w stosunku do pozostałych sł przeszkadzających w realzacj zakładanego ruchu W perwszym przyblżenu można zastosować podejśce, w którym zadane prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych są wyznaczane w oparcu o zależność (przyjmując podobne jak poprzedno, że v v ): θ θ ld rd W / vd = r W / kωz ϕ zd d xd, (67) 76

177 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych w której współczynnk k ωz ( ) zależy przede wszystkm od sposobu napędzana robota, tj m mnej jest napędzanych kół jezdnych, tym k ωz jest wększe Ponadto, na współczynnk k ωz ma wpływ prędkość ruchu robota oraz warunk współpracy kół jezdnych z podłożem, o których, dla danego rodzaju opony, decyduje rodzaj podłoża, po którym sę on porusza dpowedn dobór wartośc współczynnka k ωz może w danych warunkach zapewnć ruch robota z zakładaną prędkoścą kątową obrotu własnego platformy moblnej wokół os ponowej ϕ Jeżel na roboce merzone są prędkośc kątowe zd obrotu własnego kół jezdnych ( θ ld θ ) oraz prędkość kątowa rd ϕ, wówczas zd współczynnk k ωz może być wyznaczony dla danych warunków współpracy kół jezdnych z podłożem w wynku realzacj obrotu robota wokół os ponowej z zadaną prędkoścą kątową ϕ zd Jeżel w trakce ruchu robota będą występowały duże poślzg napędzanych kół jezdnych, wówczas regulator prędkośc platformy moblnej może być rozszerzony w tak sposób, żeby realzował on ruch robota z zadaną prędkoścą lnową v Problem tak może w szczególnośc wystąpć w przypadku ruchu robota z dużą prędkoścą /lub z dużym przyspeszenem W zwązku z powyższym zostaną zaproponowane dwe wersje regulatora prędkośc platformy moblnej, zaczynając od bardzej ogólnej wersj drugej Błędy prędkośc uogólnonych platformy moblnej robota można zapsać w postac wektora: e v vd v x v = = (68) e eω z ϕ zd ϕ z gdze e v (m/s) e ωz (rad/s) błędy prędkośc lnowej kątowej robota Następne można wprowadzć uogólnony błąd, będący kombnacją błędów prędkośc drog, jako: s + v = ve Λv se, s e ve dt = Δse + se d =, (69) gdze: s v = [s v, s ωz ] T (s v (m/s), s ωz (rad/s)), Λ v = dag(λ v, λ ωz ) (s ) macerz dagonalna zawerająca dodatne wzmocnena, Δs e = [ e s, e φz ] T przyrost wektora błędów pozycj kursu platformy moblnej od chwl początkowej ( e s (m), e φz (rad)), s e = [ e s (), e φz ()] T wektor początkowego błędu pozycj kursu o analogcznych jednostkach jak wektor s e Sygnał sterowana, stanowący wyjśce regulatora prędkośc platformy moblnej można określć ze wzoru: u v u v = =K v uω z s v, (6) gdze K v = dag(k v, k ωz ) ( ) jest macerzą dagonalną zawerającą dodatne wzmocnena 77

178 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych Jeśl podczas ruchu wzdłużnego występują newelke poślzg napędzanych kół jezdnych ne ma potrzeby regulacj prędkośc v, wówczas regulator prędkośc platformy moblnej można uproścć do postac: u v v d u = =, (6) v uωz kωz sωz przy czym sω z = e z λ ω + ωz ϕ, e z e z ω = ( ϕ zd ϕ z ), eϕ = eωz dt W przypadku robota SCUT jest to uzasadnone faktem, że błąd prędkośc lnowej robota e v (m/s) jest w typowym przypadku znaczne mnejszy od błędu prędkośc kątowej e ωz (rad/s) Ponadto wyznaczene błędu prędkośc lnowej e v jest znaczne trudnejsze nż prędkośc kątowej e ωz Wynka to z faktu, że do oblczena błędu prędkośc lnowej należy wyznaczyć rzeczywstą prędkość lnową punktu robota, tj v, co w przypadku zastosowana metody nawgacj bezwładnoścowej wymaga całkowana przyspeszeń (podrozdzał 44), natomast w przypadku lokalzacj sateltarnej różnczkowana drog be z wymenonych metod oblczana prędkośc v są wrażlwe na błędy wynkające z nachylena terenu, po którym porusza sę robot są mn obarczone błędam wynkającym z przyjętych metod odpowedno całkowana różnczkowana Z kole błąd prędkośc kątowej e ωz może być łatwo oblczony na podstawe rzeczywstej prędkośc kątowej ϕ uzyskanej z żyroskopu, co ne na- stręcza już takch trudnośc jak wyznaczene prędkośc lnowej v egulator prędkośc platformy moblnej w uproszczonej wersj może być w szczególnośc zastosowany do stablzacj ruchu wzdłużnego robota W przypadku, gdy robot porusza sę po podłożu o zróżncowanych właścwoścach, wówczas może występować nezamerzone odchylane sę robota od kursu, a proponowany regulator może temu przecwdzałać Układ tak może być zastosowany ne tylko w przypadku autonomcznej realzacj założonego ruchu, ale także w przypadku teleoperacj robotem przez człoweka Mając sygnał sterowana u v regulatora prędkośc platformy moblnej, zadane prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych można wyznaczyć korzystając z ponższej zależnośc wynkającej z knematyk robota: z θ = W / (6) ld θd = v r W u θ / rd Schemat struktury układu sterowana z regulatorem prędkośc platformy moblnej zamodelowany został w środowsku MATLAB/Smulnk (rys 64) Układ sterowana, obok wprowadzonego regulatora prędkośc platformy moblnej, zawera także omówony wcześnej regulator prędkośc kół jezdnych Model symulacyjny został tak zaprojektowany, aby poprzez proste przełączene można było analzować zarówno sam regulator prędkośc kół jezdnych jak oba regulatory z 78

179 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych ys 64 Struktura układu sterowana z regulatorem prędkośc platformy moblnej w środowsku MATLAB/Smulnk 63 egulator pozycj kursu robota W wynku dzałana regulatora pozycj kursu robota wyznaczane są sterowana, którym są zadana prędkość charakterystycznego punktu robota prędkość kątowa T platformy moblnej v d = [ v d, ϕ zd ] (rys 43b) Prędkośc te są welkoścam zadanym dla kolejnego, nższego pozomu herarch układu sterowana ruchem nadążnym robota be welkośc są ostateczne wyznaczane w układze odnesena {} zwązanym z robotem Na początek zakłada sę, że ruch robota jest realzowany na podstawe zadawanego w kolejnych chwlach czasu wektora pozycj kursu robota, czyl w postac: d [, y, ϕ ] T q =, (63) xd d zd gdze: x d, y d zadane współrzędne charakterystycznego punktu robota w układze {} w (m), φ zd zadany kąt obrotu własnego platformy moblnej względem układu {} w (rad) Zakładając, że analzowany robot jest układem neholonomcznym porusza sę po pozomym podłożu, można dla nego zapsać następujące knematyczne równane ruchu: x q d = y ϕ d d zd cos( ϕ = sn( ϕ zd zd ) ) v ω d d v = cos( d vd sn( ω d ϕ ϕ zd zd ) ) (64) gdze v d, ω d odpowedno zadana prędkość lnowa charakterystycznego punktu robota w (m/s) zadana prędkość kątowa jego platformy moblnej w (rad/s), w globalnym (neruchomym) układze odnesena {} Błędy pozycj kursu robota w układze odnesena zwązanym z robotem {} oraz w układze neruchomym {} mogą być wyznaczone z zależnośc: 79

180 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych q e ef cos( ϕz ) = el = sn( ϕz ) e sn( cos( ϕ ) z ϕz ) q, e ex xd x qe = ey = yd y, eψ ϕzd ϕz (65) gdze e F, e L e odpowedno błąd wzdłużny w (m), poprzeczny w (m) błąd kursu robota w (rad) obot pownen poruszać sę po zadanej trajektor z prędkoścam opsanym za pomocą wektora zadanych prędkośc uogólnonych: d [, ϕ ] T v = (66) vd zd Nezbędne do założonego ruchu robota prędkośc uogólnone mogą być wyznaczone z użycem różnych metod Popularną metodą stosowaną w tym celu jest tzw metoda cofana (ang backsteppng method) [3] Według nej wektor zadanych prędkośc uogólnonych ruchu platformy moblnej robota wyrażony w układze odnesena {} zwązanym z robotem może być wyznaczony w oparcu o zależność: gdze: v d ( e ) v d kf ef + vd cos v = =, (67) d ϕ zd ϕ zd + kl vd el + k vd sn( e ) ϕ zadane prędkośc ruchu robota wyrażone w układze odnesena zd {} zwązanym z robotem, tj prędkość lnowa charakterystycznego punktu w (m/s) prędkość kątowa platformy moblnej w (rad/s), k F (s ), k L (rad/m ), k (rad/m) dobrane dodatne parametry egulator pozycj kursu robota może być zmodyfkowany w tak sposób, aby wymusć zatrzymane sę robota, gdy zadana prędkość v d jest równa zero, pommo że błąd e F może być różny od zera W tym celu można zastosować wzór: ( e ) ( ) e vd kf ef sgn( vd ) + vd cos v = =, (68) d ϕ zd ϕ zd + kl vd el + k vd sn w którym dodano wyrażene sgn( v d ) mające na celu wymuszene zatrzymana sę robota Schemat struktury układu sterowana z regulatorem pozycj kursu robota przedstawono na rys 65 Stanow on uzupełnene schematu z rys 64 o blok egulator pozycj kursu robota Schemat ten został opracowany w środowsku oblczenowym MATLAB/Sumulnk będze przedmotem badań w kolejnym podrozdzale W celu uproszczena układu sterowana, lub gdy ne jest dostępny pomar prędkośc v punktu prędkośc kątowej ϕ obrotu platformy moblnej, można pomnąć blok regulatora prędkośc platformy z moblnej 8

181 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych ys 65 Struktura układu sterowana z regulatorem pozycj kursu robota w środowsku oblczenowym MATLAB/Smulnk W ramach kolejnego podrozdzału zostaną omówone są wynk badań symulacyjnych wybranych struktur układu sterowana ruchem nadążnym robota SCUT Badana symulacyjne są realzowane począwszy od najnższego pozomu układu sterowana 63 Badana symulacyjne układów sterowana ruchem nadążnym robota SCUT W badanach symulacjach zostane zastosowany wcześnej opracowany przebadany model dynamk robota SCUT w wersj z hybrydowym układem jezdnym opsany w podrozdzale 43 Będze on służył do rozwązana zadana prostego dynamk robota zostane zastosowany w badanach układów sterowana zamast rzeczywstego obektu Zasadnczym celem tej częśc badań symulacyjnych jest weryfkacja zaproponowanego układu sterowana określene zakresu jego zastosowana wynkającego z właścwośc modelu robota podłoża, po którym sę on porusza Badana te obejmują symulację ruchu robota po różnym podłożu dla różnych prędkośc, po torze prostolnowym kołowym 63 Badana regulatora prędkośc kół jezdnych W perwszej kolejnośc badana symulacyjne układu sterowana ruchem robota czterokołowego obejmują regulator prędkośc kół jezdnych Do badań wybrano regulator PD opsany wzorem (63) W regulatorze PD pomnęto macerz Θ ogranczającą sygnał sterowana Strukturę przyjętego układu sterowana pokazano na rys 6 W wynku wstępnych badań symulacyjnych przyjęto ponższe wzmocnena regulatora prędkośc kół jezdnych: Λ θ = 3 I (s ), K θ = I (Vs/rad), (69) gdze I jest macerzą jednostkową Do badań została użyta analogczna zadana trajektora ruchu jak w przypadku badań symulacyjnych dotyczących modelu dynamk robota zameszczonych w podrozdzale 5, gdze analzowany był ruch wzdłużny zakręcane robota Badana symulacyjne wykonano zakładając ruch robota po wykładzne dywanowej wykładzne PCV Symulacja 6 Perwsza symulacja została wykonana dla przypadku ruchu robota po wykładzne dywanowej z zadaną prędkoścą maksymalną v u =,3 m/s Na podstawe wynków 8

182 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych symulacj można stwerdzć, że zastosowany regulator umożlwł dosyć werną realzację zadanych prędkośc kątowych obrotu własnego kół jezdnych (rys 66a) Śwadczą o tym uzyskane przebeg czasowe błędów pokazane na rys 66e f oraz trajektore fazowe przedstawone na rys 66g h Na rysunkach tych zaznaczono na zelono lnę ślzgu Λ θ θ e, którą wprowadza sę na trajektor fazowej korzystając z teor ruchu ślzgowego [9, 9] W zwązku z newelkm wartoścam błędów nadążana uzyskane przebeg czasowe parametrów kątowych obrotu własnego korpusu robota (rys 66b), parametrów lnowych punktów A (rys 66c,d,,j), poślzgów wzdłużnych (rys 66k), kąta poprzecznego znoszena (rys 66l), składowych sł reakcj podłoża (rys 66m n), momentów napędowych (rys 66r), kursu (rys 66o) błędu pozycj (rys 66p) oraz otrzymanego toru ruchu punktu (rys 66s) są bardzo zblżone do tych, jake uzyskano w wynku analogcznej symulacj zadana odwrotnego dynamk z zastosowanem modelu dynamk robota (Symulacja 59), którego schemat pokazany jest na rys 47 a) b) θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) a x (m/s) a y (m/s) e) f) 3 - θ 3e (rad) θ 4e (rad) g) h) θ 8 3e (rad/s) θ 8 4e (rad/s) θ 3e (rad) θ 3e (rad/s) θ 4e (rad/s) θ 4e (rad)

183 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych ) j) v A3x (m/s) v A3y (m/s) k) l) λ 3 (%) λ 4 (%) m) n) A F x (N) A F y (N) A F z (N) o) p) e (m) v A4x (m/s) v A4y (m/s) α 3 (rad) α 4 (rad) A4 F x (N) A4 F y (N) A4 F z (N) ϕ z (rad) r) s) 4 y (m) r r o r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 66 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =,3 m/s po wykładzne dywanowej, z zastosowanem regulatora prędkośc kół jezdnych 83

184 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych Ponadto tor ruchu punktu robota wynkający z odometr ( r o ) jest zblżony do zadanego ( r d ) (rys 66s) Dalszą poprawę dokładnośc realzacj zadanych parametrów kątowych obrotu własnego kół jezdnych można uzyskać przez zastosowane sterowane adaptacyjnego lub odpornego Nemnej jednak kluczową rolę w zapewnenu odpowednej dokładnośc realzacj założonego ruchu platformy moblnej, tj prędkośc v punktu prędkośc kątowej obrotu własnego korpusu ϕ, odgrywają warunk współpracy poszczególnych kół jezdnych z podłożem z Z tego względu zasadnczą poprawę można uzyskać dzęk zastosowanu dodatkowo regulatora prędkośc platformy moblnej (podrozdzał 6), co będze przedmotem kolejnych rozważań (podrozdzał 63) Symulacja 6 Kolejna symulacja została zrealzowana dla ruchu robota po wykładzne dywanowej z zadaną prędkoścą maksymalną v u =, m/s Tym razem uzyskano około dwukrotne wększe maksymalne błędy realzacj zakładanych parametrów kątowych kół jezdnych (co można zauważyć porównując rys 66e f oraz rys 67e f), jednak nadal błędy te ne są znaczące, dlatego też uzyskany tor ruchu punktu robota wynkający z odometr nadal ne odbega znacząco od zakładanego (co wdać porównując rys 66s oraz rys 67s) W wynku symulacj uzyskano zblżone wynk do analogcznej symulacj zadana prostego dynamk robota z uwzględnenem modelu napędów (Symulacja 53) W porównanu z wynkam poprzednej symulacj dla v u =,3 m/s, w tym przypadku rzeczywsty tor ruchu stotne odbega od zadanego (por rys 66s rys 67s), co wynka z faktu, że w trakce manewru zakręcana korpus robota obraca sę z wyraźne mnejszą prędkoścą kątową nż zakładana (rys 67b) oraz dodatkowo przemeszcza sę na kerunku poprzecznym do zadanego kerunku ruchu (rys 67c), co było nezamerzone Wynka to występowana poślzgu kół jezdnych na kerunku poprzecznym, co było szerzej omawane na etape badań symulacyjnych modelu dynamk robota SCUT (podrozdzał 5) a) b) 3 - θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) a x (m/s) a y (m/s)

185 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych e) f) θ 3e (rad) θ 4e (rad) 3 4 g) h) θ 3e (rad/s) θ 4e (rad/s) θ 3e (rad) ) j) v A3x (m/s) v A3y (m/s) l) l) λ 3 (%) λ 4 (%) m) n) A F x (N) A F y (N) A F z (N) o) p) 6 4 e (m) θ 3e (rad/s) θ 4e (rad/s) 3 4 θ 4e (rad) v A4x (m/s) v A4y (m/s) 3 4 α 3 (rad) α 4 (rad) 3 4 A4 F x (N) A4 F y (N) A4 F z (N) 3 4 ϕ z (rad)

186 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych r) s) 4 y (m) r r o r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 67 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne dywanowej, z zastosowanem regulatora prędkośc kół jezdnych Symulacja 63 statna symulacja dotyczy ruchu robota po wykładzne PCV z analogczną jak poprzedno zadaną prędkoścą punkt Mmo dokładnej realzacj zadanych parametrów kątowych obrotu własnego kół jezdnych (rys 68a,e h), korpus robota wykonuje obrót z jeszcze mnejszą prędkoścą kątową nż poprzedno (por rys 67b rys 68b) W efekce tego uzyskuje sę wyraźne wększe błędy pozycj robota (por rys 67o rys 68o), a kurs robota odbega stotne od zadanego, tj π/ (rys 68p) Stąd uzyskany tor ruchu charakterystycznego punktu jeszcze bardzej różn sę od zadanego (por rys 67s rys 68s) W zwązku z tym jeszcze bardzej uzasadnone jest wprowadzene do układu sterowana regulatora prędkośc platformy moblnej a) b) 3 - θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) a x (m/s) a y (m/s)

187 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych e) f) θ 3e (rad) θ 4e (rad) g) h) θ 3e (rad/s) θ 4e (rad/s) - - θ 3e (rad) ) j) v A3x (m/s) v A3y (m/s) θ 3e (rad/s) θ 4e (rad/s) θ 4e (rad) v A4x (m/s) v A4y (m/s) 3 4 l) l) λ 3 (%) λ 4 (%) m) n) A F x (N) A F y (N) A F z (N) o) p) e (m) α 3 (rad) α 4 (rad) 3 4 A4 F x (N) A4 F y (N) A4 F z (N) 3 4 ϕ z (rad)

188 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych r) s) 4 y (m) r r o r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 68 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne PCV, z zastosowanem regulatora prędkośc kół jezdnych 63 Badana regulatora prędkośc platformy moblnej W ramach dalszych badań symulacyjnych układu sterowana moblnego robota czterokołowego SCUT został on uzupełnony o regulator prędkośc platformy moblnej, opsany w podrozdzale 6, który jest regulatorem nadrzędnym w stosunku do regulatora prędkośc kół jezdnych Analzowana była uproszczona wersja regulatora przeznaczona wyłączne do regulacj prędkośc kątowej obrotu własnego korpusu robota W zwązku z tym regulator prędkośc platformy moblnej wypracowywał sterowana w oparcu o wzór: u v v d u = =, (63) v uωz kωz sωz gdze sω z = e z λ ω + ωz e z ϕ, e z ω = ( ϕ zd ϕ z ), eϕ z = eω z dt Z kole zadane prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych były oblczane w oparcu o zależność: θ W / = = (63) ld θd v r W u θ / rd Do badań symulacyjnych zostały użyte ponższe wzmocnena regulatora: λ ωz = 3 s, k ωz = (63) W badanach nadal korzystano z analogcznej jak poprzedno zadanej trajektor ruchu robota Symulacja 64 W ramach perwszej symulacj analzowany był ruchu robota po wykładzne dywanowej z zadaną prędkoścą maksymalną v u =,3 m/s Uzyskane wynk można porównać z wynkam analogcznej symulacj z użycem jedyne regulatora prędkośc kół jezdnych (Symulacja 6) Z porównana tego wynka, że w przypadku zasto- 88

189 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych sowana dodatkowo uproszczonej wersj regulatora prędkośc platformy moblnej uzyskuje sę poprawę dokładnośc realzacj ruchu w zakrese parametrów kątowych obrotu platformy moblnej robota Przejawem tego są przebeg czasowe parametrów kątowych obrotu platformy moblnej (por rys 66b,p rys 69b,p) oraz uzyskanego toru ruchu charakterystycznego punktu robota (por rys 66s rys 69s) Uzyskane w wynku symulacj błędy regulatora prędkośc platformy moblnej pokazane są na rys 69g h, przy czym zadanem regulatora w badanej jego uproszczonej wersj jest wyłączne mnmalzacja błędów zwązanych z obracanem sę platformy moblnej Konsekwencją zmnejszena błędu kąta obrotu robota (tj kursu) jest jednak także zmnejszene błędu pozycj robota (por rys 66o rys 69o) a) b) θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) a x (m/s) a y (m/s) e) f) 3 - θ 3e (rad) θ 4e (rad) g) h) e s (m) e ϕz (rad) θ 3e (rad/s) θ 4e (rad/s) e v (m/s) e ωz (rad/s)

190 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych ) j) v A3x (m/s) v A3y (m/s) k) l) λ 3 (%) λ 4 (%) m) n) A F x (N) A F y (N) A F z (N) o) p) e (m) v A4x (m/s) v A4y (m/s) α 3 (rad) α 4 (rad) A4 F x (N) A4 F y (N) A4 F z (N) ϕ z (rad) r) s) 4 y (m) r r o r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 69 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =,3 m/s po wykładzne dywanowej, z zastosowanem regulatora prędkośc kół jezdnych regulatora prędkośc platformy moblnej 9

191 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych sągnęta poprawa ne jest znacząca, gdyż uzyskane poprzedno błędy parametrów kątowych platformy moblnej dla analzowanej prędkośc ne były duże W zwązku z dzałanem regulatora prędkośc platformy moblnej nne nż poprzedno są zadane parametry kątowe obrotu własnego kół jezdnych (por rys 66a rys 69a) Wększość otrzymanych przebegów czasowych pozostałych analzowanych welkośc jest zblżona do tych, jake uzyskano w wynku analogcznej symulacj bez regulatora prędkośc platformy moblnej (Symulacja 6) Symulacja 65 Podobną symulacje do poprzednej przeprowadzono dla zadanej prędkośc maksymalnej v u =, m/s Wynk tej symulacj można skonfrontować z wynkam podobnej symulacj lecz bez zastosowana regulatora prędkośc platformy moblnej (Symulacja 6) a) b) 4 - θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) a x (m/s) a y (m/s) e) f) θ 3e (rad) θ 4e (rad) θ 3e (rad/s) θ 4e (rad/s) 3 4 g) h) e s (m) e ϕz (rad) e v (m/s) e ωz (rad/s) 3 4 9

192 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych ) j) v A3x (m/s) v A3y (m/s) k) l) λ 3 (%) λ 4 (%) m) n) A F x (N) A F y (N) A F z (N) o) p) 6 4 e (m) v A4x (m/s) v A4y (m/s) 3 4 α 3 (rad) α 4 (rad) 3 4 A4 F x (N) A4 F y (N) A4 F z (N) 3 4 ϕ z (rad) 3 4 r) s) 4 y (m) r r o r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 6 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne dywanowej, z zastosowanem regulatora prędkośc kół jezdnych regulatora prędkośc platformy moblnej 9

193 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych Można zauważyć, że tym razem poprawa dokładnośc realzacj ruchu robota jest bardzej znacząca, ale nadal nezadowalająca Maksymalne wartośc błędów kursu prędkośc kątowej obrotu platformy moblnej wynoszą odpowedno e φz,5 rad e ωz 3, rad/s (rys 6g h) W wynku zmany prędkośc kątowej obrotu własnego platformy moblnej jej kąt obrotu po zakończenu symulacj jest bardzej zblżony zadanego, w zwązku z czym uzyskany błąd pozycj robota jest tym razem mnejszy, a tor ruchu punktu robota mnej odbega od zadanego (por rys 67b,o,p,s rys 6b,o,p,s) Na uwagę zasługuje także fakt, że w trakce zakręcana stotnej zmane ulegają zadane prędkośc kątowe obrotu kół jezdnych (por rys 67a rys 6a) W zwązku z tym tor ruchu robota wynkający z odometr robota od chwl rozpoczęca manewru zakręcana stotne różn sę od zadanego (rys 6s) Ponadto podczas manewru zakręcana maksymalne momenty napędowe, nezbędne do realzacj założonego ruchu robota, są tym razem neco wększe (por rys 67r rys 6r) Symulacja 66 statna symulacja dla analzowanej wersj układu sterowana jest zwązana z ruchem robota po wykładzne PCV z analogczną jak poprzedno zadaną prędkoścą punkt Jej odpowednkem jest podobna symulacja bez zastosowana regulatora prędkośc platformy moblnej (Symulacja 63) Wnosk wynkające z porównana tych symulacj są analogczne do omawanych przy okazj poprzednej symulacj Tym razem w stosunku do poprzednej symulacj uzyskano gorszą dokładność realzacj ruchu robota, co wynka z mnejszego współczynnka przyczepnośc pomędzy oponam podłożem trzymane błędy regulatora prędkośc platformy moblnej zaprezentowano na rys 6g h Podobne jak poprzedno zadanem tego regulatora, w analzowanej wersj uproszczonej, była mnmalzacja wyłączne błędów zwązanych z obracanem robota Prędkośc kątowe obrotu własnego kół jezdnych osągają podczas zakręcana znaczne wększe wartośc (por rys 68a rys 6a), dlatego też tor ruchu robota wynkający z jego odometr jeszcze bardzej odbega od zadanego (por rys 68s rys 6s) a) b) θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) a x (m/s) a y (m/s)

194 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych e) f) θ 3e (rad) θ 4e (rad) g) h) e s (m) e ϕz (rad) ) j) v A3x (m/s) v A3y (m/s) θ 3e (rad/s) θ 4e (rad/s) 3 4 e v (m/s) e ωz (rad/s) 3 4 v A4x (m/s) v A4y (m/s) 3 4 k) l) λ 3 (%) λ 4 (%) m) n) A F x (N) A F y (N) A F z (N) α 3 (rad) α 4 (rad) 3 4 A4 F x (N) A4 F y (N) A4 F z (N) 3 4 o) p) 6 4 e (m) ϕ z (rad)

195 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych r) s) 4 y (m) r r o r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 6 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne PCV, z zastosowanem regulatora prędkośc kół jezdnych regulatora prędkośc platformy moblnej Wprowadzene regulatora prędkośc platformy moblnej w stotny sposób wpłynęło na poprawę dokładnośc realzacj ruchu, jednak wcąż ne uzyskano satysfakcjonujących wynków Z przeprowadzonych badań wynka, że błąd prędkośc punktu robota jest newelk w stosunku do błędu prędkośc kątowej platformy moblnej, dlatego w analzowanym przypadku ne zachodz potrzeba użyca pełnej wersj regulatora prędkośc platformy moblnej przeznaczonej do regulacj, zarówno prędkośc charakterystycznego punktu robota, jak prędkośc kątowej obrotu platformy moblnej W zwązku z nezadowalającą dokładnoścą realzacj parametrów kątowych platformy moblnej wydaje sę natomast uzasadnone użyce dodatkowo nadrzędnego regulatora pozycj orentacj robota 633 Badana regulatora pozycj kursu robota Badana symulacyjne regulatora pozycj kursu robota zostały zrealzowane w oparcu o tzw metodę cofana opsaną w podrozdzale 63, tj zadane prędkośc ruchu platformy moblnej robota były wyznaczone z zastosowanem wzoru: ( e ) v d kf ef + vd cos v = =, (633) d ϕ zd ϕ zd + kl vd el + k vd sn( e ) gdze e F, e L e są odpowedno błędam: wzdłużnym, poprzecznym kursu robota, oblczanym z zależnośc (65) Do badań przyjęto następujące wartośc wzmocneń regulatora pozycj kursu robota: k F = s, k L = rad/m, k = 4 rad/m (634) Schemat układu sterowana opracowany w środowsku MATLAB/Smulnk, stosowany w badanach symulacyjnych jest przedstawony na rys 65 Do badań użyto analogcznej jak poprzedno zadanej trajektor ruchu robota Badano ruch robota z zadaną prędkoścą maksymalną v u =, m/s, dla której uzyskano wyraźne wększe błędy w stosunku do ruchu z prędkoścą v u =,3 m/s 95

196 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych Symulacja 67 Na początku przedmotem badań regulatora pozycj kursu robota był ruch robota po wykładzne dywanowej W wynku symulacj okazało sę, że wprowadzene regulatora pozycj kursu robota w stotny sposób wpływa na poprawę dokładnośc realzacj ruchu w stosunku do symulacj, w której ne użyto tego regulatora (Symulacja 65) Można to zauważyć na podstawe uzyskanych przebegów czasowych parametrów kątowych platformy moblnej (por rys 6b rys 6b) oraz otrzymanego toru ruchu charakterystycznego punktu robota (por rys 6s rys 6s) W zwązku z mnmalzacją błędów pozycj kursu robota (rys 6) koneczna jest modyfkacj przez regulator zadanej prędkośc lnowej v d punktu robota oraz prędkośc kątowej ω jego korpusu (rys 6,j) Dlatego tez ulegają zmane przebeg czasowe prędkośc przyspeszena punktu (por rys 6c d rys zd 6c d) a) b) θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) 3 4 e) f) θ 3e (rad) θ 4e (rad) g) h) e s (m) e ϕz (rad) a x (m/s) a y (m/s) 3 4 θ 3e (rad/s) θ 4e (rad/s) 3 4 e v (m/s) e ωz (rad/s)

197 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych ) j) v d (m/s) ω zd (rad/s) k) l) v A3x (m/s) v A3y (m/s) m) n) λ 3 (%) λ 4 (%) o) p) A F x (N) A F y (N) A F z (N) v A4x (m/s) v A4y (m/s) 3 4 α 3 (rad) α 4 (rad) 3 4 A4 F x (N) A4 F y (N) A4 F z (N) 3 4 r) s) 4 y (m) r r o r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 6 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne dywanowej, z zastosowanem regulatora prędkośc kół jezdnych, regulatora prędkośc platformy moblnej oraz regulatora pozycj kursu robota 97

198 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych Inne są przebeg błędów parametrów kątowych kół jezdnych (por rys 6e f rys 6e f) oraz błędów prędkośc lnowej v d punktu robota oraz prędkośc kątowej ω (por rys 6g h rys 6g h), których maksymalne zd wartośc są tym razem wększe Występują także wększe wartośc zadanych prędkośc kątowych kół jezdnych robota (por rys 6a rys 6a) Pod konec fazy zakręcana występuje duża dodatna wartość poślzgu dla koła jezdnego nr 3, czego ne obserwowano wcześnej (por rys 6m rys 6m) Symulacja 68 W ramach ostatnej symulacj badany był regulator pozycj kursu robota dla analogcznego ruchu jak w poprzednm przypadku, lecz tym razem robot poruszał sę po wykładzne PCV a) b) θ 3 (rad/s) θ 4 (rad/s) v /r (rad/s) ω z (rad/s) ε z (rad/s ) c) d) v x (m/s) v y (m/s) a x (m/s) a y (m/s) e) f) θ 3e (rad) θ 4e (rad) 3 4 g) h) e s (m) e ϕz (rad) θ 3e (rad/s) θ 4e (rad/s) 3 4 e v (m/s) e ωz (rad/s)

199 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych ) j) k) l) v A3x (m/s) v A3y (m/s) m) n) λ 3 (%) λ 4 (%) o) p) A F x (N) A F y (N) A F z (N) v d (m/s) ω zd (rad/s) 3 4 v A4x (m/s) v A4y (m/s) 3 4 α 3 (rad) α 4 (rad) 3 4 A4 F x (N) A4 F y (N) A4 F z (N) r) s) 4 y (m) r r o r d τ 3y (Nm) τ 4y (Nm) x (m) ys 63 Wynk symulacj ruchu wzdłużnego zakręcana robota SCUT z hybrydowym układem jezdnym, z zadaną prędkoścą v u =, m/s po wykładzne PCV, z zastosowanem regulatora prędkośc kół jezdnych, regulatora prędkośc platformy moblnej oraz regulatora pozycj kursu robota 99

200 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych Z porównana wynków tej symulacj z wynkam analogcznej symulacj, w której ne był użyty regulator pozycj kursu robota (Symulacja 66), wdać wyraźną poprawę dokładnośc realzacj założonego ruchu Przejawem tego jest przede wszystkm uzyskany tor ruchu robota (por rys 6s rys 63s) Po stosunkowo dużym odchylenu od zadanej trajektor ruchu błędy pozycj kursu robota ulegają stotnemu zmnejszenu (rys 63) Przebeg zadanej prędkośc lnowej v d punktu robota oraz prędkośc kątowej ω jego korpusu stotne różną sę od zd perwotnych przebegów, tj w przypadku, gdy ne był użyty regulator pozycj kursu robota (rys 63j) W chwl wystąpena dużych błędów pozycj kursu robota znacznemu zwększenu ulega prędkość robota zmena sę jego kurs w celu mnmalzacj tych błędów Modyfkacja układu sterowana powoduje zwększene zadanych prędkośc kątowych obrotu własnego kół jezdnych (por rys 6a rys 63a) oraz maksymalnych wartośc błędów obrotu tych kół (por rys 6e f rys 63e f), parametrów ruchu korpusu robota (por rys 6b d rys 63b d) wynkających z nch błędów (por rys 6g h rys 63g h) Ponadto w trakce zakręcana zwększenu ulegają poślzg wzdłużne poprzeczne (por rys 6k l rys 63m n), co jest zwązane ze zmaną zadanej trajektor ruchu kół jezdnych Wynkają z tego faktu równeż różnce przebegów czasowych sł reakcj podłoża momentów napędowych (por rys 6m,n,r rys 63o r) 634 Podsumowane wynków badań symulacyjnych układów sterowana ruchem nadążnym robota SCUT W ramach pracy wykonano badana symulacyjne wybranych układów sterowana ruchem nadążnym robota SCUT borąc pod uwagę jego konfgurację, w której wyposażony jest w hybrydowy układ jezdny Analzowany był ruch wzdłużny zakręcane robota po wykładzne dywanowej wykładzne PCV Badana symulacyjne przeprowadzono dla różnych konfguracj układu sterowana, zaczynając od analzy najnższego pozomu sterowana, odpowedzalnego za realzację parametrów kątowych kół jezdnych Następne rozszerzano układ sterowana dodając jego kolejne pozomy, czyl regulator prędkośc platformy moblnej w wersj uproszczonej wreszce regulator pozycj kursu robota Z przedstawonych wynków badań symulacyjnych układów sterowana ruchem nadążnym moblnego robota czterokołowego SCUT wynkają ponższe najważnejsze wnosk W przypadku zastosowana jedyne regulatora prędkośc kół jezdnych, w zwązku z występującym poślzgam kół jezdnych, parametry ruchu platformy moblnej, tj prędkość v punktu prędkość kątowa obrotu własnego korpusu ϕ, coraz bardzej odbegają od wartośc zadanych wraz ze z wzrostem maksymalnych wartośc prędkośc zadanych zakładanych przyspeszeń (lnowych lub kątowych) oraz wraz ze zmnejszanem sę przyczepnośc kół jezdnych do podłoża, co można zaobserwować porównując wynk symulacj ruchu robota po wykładzne dywanowej wykładzne PCV Wprowadzene dodatkowo regulatora prędkośc platformy moblnej w wersj uproszczonej, obejmującej jedyne regulację prędkośc kątowej obrotu wła-

201 Modelowane dynamk moblnych robotów kołowych snego platformy moblnej ϕ, prowadz do redukcj błędów zwązanych z z obracanem sę robota podczas manewru zakręcana, a w konsekwencj do mnmalzacj błędu jego pozycj Uzyskana poprawa jest tym wększa, z m wększą prędkoścą porusza sę robot jednak ne jest ona w zupełnośc satysfakcjonująca Wynka to z faktu, że powstały błąd pozycj będący rezultatem wcześnejszych błędów prędkośc platformy moblnej ne jest w dalszej częśc ruchu robota mnmalzowany przez użyty regulator Wprowadzene regulatora prędkośc platformy moblnej prowadz do zwększena zadanych wartośc prędkośc kątowych obrotu własnego napędzanych kół jezdnych, poślzgów wzdłużnych oraz wymaganych do ruchu momentów napędowych Wraz ze wzrostem prędkośc ruchu występują coraz wększe różnce pomędzy zadanym torem ruchu punktu, otrzymanym w wynku ruchu robota wynkającym z jego odometr W wynku symulacj regulatora prędkośc platformy moblnej uzyskano newelką wartość błędu prędkośc punktu robota w stosunku do błędu prędkośc kątowej platformy moblnej Dlatego użyce pełnej wersj regulatora prędkośc platformy moblnej przeznaczonej do regulacj zarówno prędkośc charakterystycznego punktu robota jak prędkośc kątowej obrotu platformy moblnej w przypadku robota SCUT wydaje sę być mało opłacalne Wynka to z faktu, że dodatkowa regulacja prędkośc lnowej punktu spowoduje newelką poprawę błędów pozycj kursu robota Jej mplementacja na rzeczywstym roboce jest utrudnona ze względu na koneczność określana prędkośc lnowej ruchu robota, którą można uzyskać wykorzystując pomar przyspeszeń przez akcelerometry (podrozdzał 44) Zasadnczą trudność w tym przypadku stanow uwzględnene przechylana pochylana robota w trakce jego ruchu oraz kumulujące sę w wynku całkowana błędy pomaru przyspeszeń lnowych podstawy czasu, co znajduje odzwercedlene we wzrastających w czase błędach oblczanej prędkośc drog Wprowadzene dodatkowo regulatora pozycj kursu robota prowadz do dalszej poprawy dokładnośc realzacj założonego ruchu, tj pozycj kursu robota w globalnym układze odnesena Powstałe błędy w początkowym okrese zakręcana są stopnowo mnmalzowane dzęk użycu regulatora pozycj kursu robota Wprowadzene tego regulatora prowadz do dalszego zwększena maksymalnych wartośc prędkośc kątowych obrotu własnego kół jezdnych, poślzgów wzdłużnych poprzecznych oraz ma wpływ na dalsze zwększene momentów napędowych Implementacja regulatora pozycj kursu robota zależy w dużej merze od sposobu globalnej lokalzacj robota W tym celu może być zastosowana lokalzacja oparta na GNSS, na nawgacj bezwładnoścowej, nnych technkach oraz kombnacj klku metod (podrozdzał 44) Przedstawone najważnejsze wnosk wynkające z przeprowadzonych badań symulacyjnych układów sterowana ruchem nadążnym robota SCUT mogą być także uogólnone na nne konstrukcje robotów moblnych, w których występują wyłączne nekerowane koła jezdne Przykładem takego robota jest IBIS także produkowany w Przemysłowym Instytuce Automatyk Pomarów PIAP [6]

202 6 Sterowane ruchem moblnych robotów kołowych

203 7 Badana empryczne ruchu robota SCUT 7 Środowsko badań emprycznych ezultaty badań symulacyjnych zostały zweryfkowane przez badana empryczne ruchu robota W badanach wykorzystano nekomercyjną wersję robota czterokołowego SCUT pokazaną na rys 7, którego wyposażono w dodatkowy stelaż nezbędną aparaturę kontrolno-pomarową ys 7 obot SCUT w wersj dostosowanej do badań emprycznych W celu realzacj badań emprycznych na roboce umeszczono laptop, który za pomocą konwertera USB-CAN połączono z głównym sterownkem robota poprzez magstralę CAN w celu: zadawana prędkośc kątowych obrotu własnego napędzanych tylnych kół T jezdnych θ d = [ θ 3 d, θ 4d ], wyznaczana aktualnych prędkośc kątowych obrotu własnego tych kół T θ = [ θ 3, θ 4 ], pomaru prądu poberanego przez napędy robota służące do napędzana tych kół = [ 3, 4 ] T Dodatkowo na roboce zamontowano (rys 7): układ NEM, który podłączono do laptopa nterfejsem USB, przyspeszenomerz trzyosowy Phdget podłączony do laptopa także za pomocą nterfejsu USB Położene na roboce akcelerometru Phdget oraz akcelerometru stanowącego część układu NEM określają odpowedno wektory r P = [,9,,,38] T, r I = [,,,7] T Z kole układ NEM umożlwa pomar: T przyspeszeń lnowych a =[ a, a, a ] (z akcelerometru), I Ix Iy Iz 3

204 7 Badana empryczne ruchu robota SCUT T prędkośc kątowych φ = ϕ, ϕ, ] (z żyroskopu), [ x y ϕz T wektora ndukcj magnetycznej B =[ B, B, B ] (z magnetometru), wektora kątów Eulera φ x y z ys 7 Schemat układu kontrolno-pomarowego wykorzystanego w badanach ruchu robota T Pomar wektora przyspeszena a P = [ a Px, apy, apz ] realzowano za pomocą czujnka Phdget, który pełnł funkcję czujnka referencyjnego w stosunku do akcelerometru znajdującego sę w układze NEM W przypadku badań emprycznych robota w ruchu wzdłużnym, przyspeszene ruchu robota wyznaczono w wynku uśrednena wektorów przyspeszeń a I a P, przez co uzyskano wększą dokładność pomarów W badanach emprycznych zadawane były prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych θ ( = {3, 4}) na podstawe zakładanego przebegu d prędkośc charakterystycznego punktu korpusu robota v d oraz zadanego promena zakręcana z (w przypadku jazdy po torze krzywolnowym), na podstawe którego określana była prędkość kątowa podczas ustalonego manewru zakręcana, tj ϕ zu = v d / Welkośc te były zapsane w plkach w trakce eksperymentu z pomarowego były wysyłane do magstral CAN robota za pomocą oprogramowana do badań emprycznych zamplementowanego na laptope Zadane prędkośc kątowe obrotu własnego napędzanych kół jezdnych θ zostały wygenerowane zakładając w wększośc przypadków krok czasowy Δt = ms, d jednak system komputerowy realzujący badana empryczne wysyłał do robota kolejne welkośc z neco wększym krokem czasowym, wynoszącym około ms, dlatego robot pokonywał w badanach emprycznych wększy dystans nż to było zakładane Zadane parametry kątowe napędzanych kół jezdnych były przekazywane do wewnętrznego regulatora prędkośc kół jezdnych robota, który na podstawe aktualnego błędu wyznaczał sterowana PWM (ang Pulse Wdth Modulaton) napędam robota 4