LEÇONS SUR LES FONCTIONS ENTIÉRES PAR ÉMILE BOREL *

Transkrypt

1 LEÇONS SUR LES FONCTIONS ENTIÉRES PAR ÉMILE BOREL * Drugi tom swych nowych wykładów o teorii funkcji poświęcił autor funkcjom całkowitym przestępnym. Monografia ta obejmuje prawie wszystkie badania, począwszy od zasadniczego odkrycia Weierstrassa, aż do badań ostatnich lat, jakie zawdzięczamy głównie matematykom francuskim. Autor ograniczył się do funkcji całkowitych o rodzaju skończonym, dziedzina bowiem funkcji całkowitych o rodzaju nieskończenie wielkim, pomimo interesujących badań Hadamarda i Borela, nie jest jeszcze należycie zgłębioną. Autor rozpoczyna swój wykład od przedstawienia zasadniczego twierdzenia Weierstrassa, o rozkładzie jakiejkolwiek funkcji całkowitej na iloczyn czynników pierwszych. Weierstrass okazał, iż znając miejsca zerowe a n funkcji, można przedstawić taką funkcję w postaci iloczynu: ρn z z z H( z) H( z) z an an ρn an e Gz ( ) = e e, n= an * Maitre de conférences à l École normale supérieure. Gauthier Villars. Paris s.

2 Leçons sur les fonctions entiéres par Émile Borel 5 gdzie H (z) oznacza dowolną funkcję całkowitą, zaś ρ n liczbę całkowitą dodatnią, zależną lub nie od skaźnika n. Dla funkcji o rodzaju skończonym istnieje zawsze taka liczba całkowita p, dla której szereg jest zbieżny, zaś szereg p+ an n= k, p an n= k K > rozbieżny; dla funkcji o rodzaju nieskończenie wielkim liczba taka nie istnieje. Tak np. dla funkcji o miejscach zerowych a n = log n, log log n, log log log n,..., rodzaj jest nieskończenie wielki. W pierwszym przypadku iloczyn nieskończony jest już zbieżny dla ρ n = p, w przypadku zaś funkcji o rodzaju nieskończenie wielkim liczby ρ n mogą być rozmaicie dobrane. Weierstrass podaje ρ n = n, Borel wskazuje, iż liczby te można znacznie zmniejszyć, np. n przyjąć ρ n = E (log n), lub ρ n = E log, gdzie E oznacza log a n dobrze znany symbol z teorii liczb. Funkcją o rodzaju skończonym nazywamy taką funkcję, w której rozkładzie funkcja H (z) redukuje się do wielomianu całkowitego pewnego stopnia q, rodzaj jest równy większej spośród liczb p, q. Borel wprowadza dla funkcji o rodzaju skończonym nowe nadzwyczaj ważne pojęcie wykładnika zbieżności ρ. Liczba ta wymierna lub niewymierna, wskazuje przy dowolnie małym ε rozbieżność szeregu, zaś zbieżność szeregu ; ρ k a n ρ+ ε a n

3 5 Zdzisław Krygowski przy pomocy tej liczby można okazać, iż począwszy od pewnego n, mamy dla dowolnie małego dodatniego η stale ρ a n η ρ, zaś dla nieskończenie wielu liczb n także a n η. n > n < + Twierdzenie Weierstrassa było punktem wyjścia dla późniejszych badań, głównie Laguerre a, Picarda, Poincarégo, Hadamarda i Borela. Laguerre wprowadził pojęcie rodzaju, a nadto odkrył dwa ciekawe twierdzenia, których wywód, podany w formie zbyt zwięzłej, dzięki wykładowi Borela zyskał na jasności i ścisłości. Pierwsze twierdzenie, powiada, iż dla funkcji rzeczywistych o rodzaju równym zeru lub jedności, mającej wszystkie miejsca zerowe rzeczywiste, funkcja pochodna ma także zera rzeczywiste, a nadto między dwoma po sobie następującymi zerami funkcji pierwotnej znajduje się tylko jedno zero funkcji pochodnej. Funkcja pochodna jest tedy tegoż samego rodzaju, co funkcja pierwotna. Drugie twierdzenie Laguerre a odnosi się do funkcji dowolnego rodzaju k, posiadającej pewną liczbę q pierwiastków urojonych. W tym razie funkcja pochodna jest również rodzaju k i ma obok przynajmniej jednego zera rzeczywistego, znajdującego się między dwoma dowolnymi po sobie następującymi zerami pierwotnej funkcji (jak to wynika z twierdzenia Rolle a) jeszcze co najwyżej k+q zer, zresztą dowolnych, tj. rzeczywistych lub urojonych. Poincaré pierwszy w roku 883 zwraca uwagę na sposób, w jaki funkcja całkowita F (z) o rodzaju skończonym, dana przez szereg Taylora Σ c m z m, wzrasta, oraz prawo, według którego maleje ogólny spółczynnik c m w zależności od rodzaju k. Według pierwszego twierdzenia mamy dla dowolnego dodatniego a:

4 Leçons sur les fonctions entiéres par Émile Borel 53 k+ α z lim{ e F ( z ) } = 0 z = tj. począwszy od pewnego z = r, mamy stale: ( ) < F z e rk + α według drugiego zaś twierdzenia iloczyn { m }== m k + lim c m! 0, tj. począwszy od pewnego m dla funkcji o rodzaju k jest cm < k +. m! Borel uzupełnia pierwsze twierdzenie i dowodzi dla iloczynu czynników pierwszych, tj. funkcji G (z), skoro wykładnik zbieżności zer wynosi ρ, nierówności G( z)< w której ε jest dowolnie małą wielkością dodatnią. Rezultaty, otrzymane przez Laguerre a, Poincarégo, jakkolwiek bardzo ważne i interesujące, nie miały cechy systematycznej. Za twórcę właściwego teorii funkcji całkowitych należy, obok Weierstrassa, uważać Hadamarda, którego praca: Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d une fonction considérée par Riemann (Journal de C. Jordan 893), nagrodzona przez Akademię Nauk w Paryżu w roku 89, zawiera wiele głębokich i interesujących twierdzeń, rozświetlających dotychczas dość ciemną teorię funkcji całkowitych. Nie wchodząc w treść zupełną powyższej pracy, przytoczymy kilka najważniejszych twierdzeń, e r ρ+ ε ;,

5 54 Zdzisław Krygowski odkrytych przez Hadamarda. Przede wszystkim znajdujemy w pracy Hadamarda dowód twierdzenia ogólnego o wzrastaniu funkcji całkowitej. Według tego twierdzenia mamy: przy czym ψ (z) oznacza funkcję odwrotną funkcji ϕ ( m)= m c m, w której spółczynnik ogólny c m z rozwinięcia funkcji na szereg Taylora może być uważany, jak tego osobno dowiódł Hadamard, jako pewna zupełnie określona funkcja argumentu m. Mając górną granicę wzrostu funkcji, Hadamard rozwiązuje następujące zadanie: Wiedząc, iż maximum M (r) wartości bezwzględnej funkcji dla z = r czyni zadość nierówności: M ( r)< e V( r), pytamy, jak znaleźć górną granicę liczby miejsc zerowych, których wartości bezwzględne są mniejsze od r. Skoro ograniczymy się do funkcji o rodzaju skończonym, można, jak to dowiódł prościej Schou, otrzymać dla tej ilości n nierówność: V() r n <, przy czym log( s ) Dla funkcji, dla których ψ z ε F z z e z dz ( )<, ε > 0, ( ) r a = n s s, >. M ( r)< e r ρ ' + ε, ε > 0

6 Leçons sur les fonctions entiéres par Émile Borel 55 i które nazywamy funkcjami o rzędzie pozornym ρ, mamy wtedy twierdzenie, iż wykładnik zbieżności szeregu an ρ jest mniejszy lub co najwyżej równy ρ. W tej formie podaje B o r e l owo, jak nazywa, pierwsze twierdzenie Hadamarda. Według drugiego twierdzenia Hadamarda, mamy dla punktów w skończonej odległości od kół, przechodzących przez miejsca zerowe a n funkcji, dla iloczynu czynników pierwszych G (z) tej funkcji, której wykładnik zbieżności wynosi ρ: ( ) > e r ρ+ ε ε > G z, 0; innymi słowy mamy na nieskończenie wielu kołach, na podstawie powyższego twierdzenia oraz wyżej cytowanego twierdzenia Borela, równocześnie: ρ+ ε ρ+ ε r r e > G( z)> e. Twierdzenie to umożliwiło, jak to okazał Hadamard, znalezienie stopnia wielomianu H (z), skoro znany jest rząd pozorny funkcji oraz wykładnik zbieżności. Twierdzenie odpowiednie powiada, iż rząd pozorny, jeśli nie jest liczbą całkowitą, jest zawsze równy wykładnikowi zbieżności. Według tego twierdzenia wyznacza się natychmiast czynnik e H (z) dla funkcji sin z, czego, jak wiadomo, nie rozwiązuje bezpośrednio teoria Weierstrassa. Inne zastosowanie, znacznie ważniejsze, odnosi się do zbadania rodzaju pewnej funkcji, wprowadzonej przez Riemanna w celu

7 56 Zdzisław Krygowski rozwiązania zadania znalezienia liczby liczb pierwszych, mniejszych od pewnej danej liczby. Funkcja ta s s ξ t s S ( )= π ζ s przy czym Γ ( ) ( ), s = + it ζ ( s)= n S n=, oraz, jest funkcją całkowitą i parzystą oraz, jak dowiódł pierwszy Hadamard, jest jako funkcja argumentu t rodzaju równego zeru. Dowód tego ważnego twierdzenia, na którym opiera się rachunek R i e m a n- na, podany w jego pracy bez dowodu, był na próżno poszukiwany przez Stieltjesa, Halphena i innych; dopiero Hadamard przez stworzenie zupełnie odrębnych metod, zdołał zadanie w zupełności rozwiązać. W pracy swej: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Ges. Werke, wyd. II, 45 s.) oznacza Riemann symbolem F (x) liczbę liczb pierwszych mniejszych od liczby x wtedy, gdy x nie jest liczbą pierwszą, gdy zaś x jest liczbą pierwszą p, natenczas kładzie F( p+ ε) F( p ε) F( p)= lim. Nadto wprowadza nową funkcję f (x), określoną równością: f ( x)= F( x)+ F( x )+ F( x 3 )+, skąd na odwrót mamy: ε = 0 m F x m f x m ( )= µ, m ( ) ( )

8 Leçons sur les fonctions entiéres par Émile Borel 57 gdzie µ (m) = 0, gdy m ma czynnik kwadratowy, zaś µ (m) = ±, skoro m w swym rozkładzie na iloczyn liczb pierwszych zawiera parzystą lub nieparzystą ilość liczb pierwszych. s s Między funkcją ζ ( s)= n = Π ( p ) a funkcją f (x) istnieje związek: n= skąd na odwrót logζ s s f ( x)= ( ) = ( ) π i n+ i a i s f x x dx, logζ ( s) s xdx, s gdzie a jest rzeczywiste, większe od. Nareszcie dowodzi Riemann, iż wyrażenie ξ t ()= ( ) ss s/ s π Γ ζ () s, s = + it, nie zmienia się, skoro w nim zamiast s położymy s, tj. zamiast t, t. Funkcję ξ (t) wyraża Riemann wzorem: ( ) d 3 π ξ( t)= ψ ( x) x x t x dx ψ ( x) e n 4 ' x 4 cos log ;. dx n= O funkcji ξ (t) dowiódł, jak powiedziano wyżej, pierwszy Hadamard, iż można ją przedstawić w postaci: t ξ()= t ξ( 0) Π n, α n

9 58 Zdzisław Krygowski gdzie α n są zerami tejże funkcji. Opierając się na możliwości powyższego przedstawienia funkcji ξ (t), podał Riemann wzór: (A) ( )= ( ) ( + )+ ( + iαn) αn (por. Crelle J., t. 4, uwagę v. Mangoldta co do wyrazu log ξ (0), który mylnie pojawia się w rozprawie oraz I i II wyd. (tylko w tekście) dzieł Riemanna). We wzorze tym oznacza Li (x) tzw. logarytm całkowy, przy czym x dx dla x > i rzeczywistego jest: Li ( x) = ± πi. log x 0 W pracy Riemanna nie są wyznaczone miejsca zerowe α n funkcji ξ (t) jako też nie jest dowiedziona zbieżność szeregu, stojącego po prawej stronie związku (A). Co do zer funkcji ξ (t) ograniczył się Riemann do uwagi, iż znajdują się one w części płaszczyzny, zawartej między prostymi R t i że liczbę pierwiastków i =± ; równania ξ (t) = 0, których część rzeczywista jest większa od zera a mniejsza niż T, w przybliżeniu można wyznaczać z wzoru: T T T log. π π π Opierając się na twierdzeniu Hadamarda o rodzaju funkcji ξ (t), dowiódł v. Mangoldt w pracy: Zu Riemanf x x iαn Li Li x Li x + x x dx log xlog x

10 Leçons sur les fonctions entiéres par Émile Borel 59 n s Abhandlung Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. Crelle J., t. 4, s , następujących twierdzeń: ) Równanie ξ (t) = 0 nie posiada pierwiastków, mających część rzeczywistą co do wartości bezwzględnej mniejszą niż liczba. Skoro część rzeczywista pierwiastków jest większa niż, a mniejsza niż h, przy czym h >, natenczas liczbę tychże można przedstawić wzorem: { } ) Szereg (A) jest zbieżny i przedstawia istotnie funkcję f (x). W dowodzie pierwszego z tych twierdzeń posługiwał się v. Mangoldt przedstawieniem funkcji log Γ(z), danym dla z zespolonego przez Stieltjesa (Journal de C. Jordan 889, s. 43, (0), oraz s. 43, (5)), a odpowiadającym dla z rzeczywistego formule Stirlinga. Obliczenia liczby pierwiastków uskutecznia v. M a n g o l d t, obliczając najprzód w pewien sposób odchylenie funkcji log ξ (t) wzdłuż odcinka linii prostej 3 3 a i, b i, gdzie a i b są wielkościami rzeczywistymi oraz b > a. Badania v. Mangoldta potwierdzają wyniki otrzymane poprzednio przez Jensena co do natury pierwiastków α n. Według Jensena mianowicie funkcja ξ (t) nie posiada zer, których część rzeczywista co do bezwzględnej wartości byłaby mniejsza niż 8,4, v. Mangoldt dowodzi jeszcze, iż równanie ξ (t) = 0 posiada przynajmniej jeden pierwiah h h 5 log + + η 034, ( log h) +, 35 log h+ 33,, π π π 4 gdzie η oznacza pewną liczbę pośrednią między, i +.

11 60 Zdzisław Krygowski stek, którego część rzeczywiście leży w granicach 0 i 53, pierwiastek ten lub ewentualnie pierwiastki są jednak nieznane. W drugiej części swej pracy, na podstawie rozległych i subtelnych poszukiwań nad pewnymi całkami i szeregami, otrzymuje jako przypadek szczególny wzór (A), który tedy ostatecznie łącznie z wzorem m F( x)= µ m f xm rozwiązuje problemat Riemanna. Pozostaje jeszcze znalezienie pierwiastków α n. W roku 896 dowiódł Hadamard (Bulletin de la Société mathématique, t. XXIV) w pracy: Sur la distribution des zéros de la fonction ξ (s) et ses conséquences arithmétiques i równocześnie prawie de la Valléc-Poussin (Annales de la Société scientifique de Bruxelles, t. XX) w pracy: Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers, iż funkcja ξ (s) nie ma zer na prostych R (s) = 0, R (s) =. Ponieważ zewnątrz części płaszczyzny s, ograniczonej tymi dwiema prostymi, funkcja ξ (s), prócz punktów s = n, (n =,, 3,...) nie posiada innych zer (jak to wynika z własności funkcji Γ (x)), przeto wszystkie pierwiastki funkcji ξ (s) mogą się mieścić jedynie w części płaszczyzny > R (s) > 0. Riemann wyraził przypuszczenie, iż wszystkie pierwiastki równania ξ (t) = 0 są rzeczywiste (Werke, wyd. II, s. 48, wiersz 8), tj. iż wszystkie pierwiastki równania ξ (s) = 0 mieszczą się na prostej R( s)= m ( ) ( ). Twierdzenie to dotychczas nie zostało dowiedzione. Por. Riemann l. c. s. 46, wiersz 6. oraz uwaga., s. 54.

12 Leçons sur les fonctions entiéres par Émile Borel 6 Ostatni rozdział książki Borela poświęcony jest twierdzeniu Picarda oraz jego rozmaitym uogólnieniom. Według tego twierdzenia, nieistnienie pierwiastków dwóch równań F (z) = a, F (z) = b, gdzie a i b oznaczają dwie wielkości stałe, pociąga za sobą, iż funkcja taka może być tylko wielkością stałą. Dowód Picarda, jakkolwiek prowadzony drogą bardzo oryginalną i subtelną polega bowiem na wprowadzeniu w rozumowanie funkcji odwrotnej funkcji modułowej, eliptycznej oparty jest jednak na własnościach funkcji, obcej zupełnie funkcjom całkowitym. To też Hadamard, a później Borel, starał się dojść do tego twierdzenia drogą, na której korzysta się jedynie z własności funkcji całkowitych i ogólnych własności funkcji. Hadamard rozwiązał zadanie powyższe dla funkcji, których wzrastanie można porównać z wrastaniem jednej z funkcji szeregu: ϕ z ( )= ( )= ( ) m ( )= z ϕm ( z) ϕ z e, ϕ z e,, ϕ z e,, istnieją jednak funkcje całkowite, np. m ( z) F( z)= ϕ, ϕ ( m) m= które rosną prędzej, aniżeli jakakolwiek funkcja powyższego szeregu. W tym przypadku metoda Hadamarda okazuje się niewystarczającą, można jednakże dowód twierdzenia Picarda sprowadzić do dowodu twierdzenia o nieistnieniu równania F e ( z ) F z + e ( ) =, m

13 6 Zdzisław Krygowski w którym F (z), F (z) oznaczają dowolne funkcje całkowite. Dowód ten podał Borel w roku 896 w Comptes rendus, znajduje się on w pierwszej nocie umieszczonej na końcu książki; pewne uogólnienia tego twierdzenia można znaleźć w rozprawie tegoż autora: Sur les fonctions entières, drukowanej w t. XX Acta Mathematica. Z. Krygowski