:V]\WVNLH V\PEROH Z\VWSXMF\FK SUHG\NDWyZ IXQNFML L VWDá\FK PXV] E\ü ZF]HQLHM ]GHILQLRZDQH

Transkrypt

1 (/(0(17</2*,., Zdni mtemtyczne = 5 2 < 3 1 {1, 2, 3} Istnieje n WDNLH *H n 2 = 4. 'OD ND*GHM OLF]E\ QDWXDOQHM k PR*QD ]QDOH(ü OLF]E LHZV] p k. {1, 2, 3} {2, 4, 6} {k N : k = 7 4b, N, b N} 1LH LVWQLHMH QDMZLNV]D OLF]ED QDWXDOQD Z]JOGHP HODFML. :V]\WVNLH V\PEROH Z\VWXMF\FK HG\NDWyZ IXQNFML L VWDá\FK PXV] E\ü ZF]HQLHM ]GHILQLRZDQH =GDQLH PDWHPDW\F]QH MHVW DOER IDáV]\ZH DOER DZG]LZH Niech Zα = JG\ JG\ α α 3]\NáDG\ ]GD ]ár*rq\fk MHVW ]GDQLHP DZG]LZ\P MHVW ]GDQLHP IDOV]\Z\P Je*eli jest podzielne przez to N = 4 i 2 2 = P lub P Albo P lbo P Nie prwd, *e {1, 2, 3} {1, 2, 3} = {1, 2, 3} : M]\NX ORJLNL VyMQLNL VáX*FH GR WZR]HQLD ]GD ]ár*rq\fk V Z\D*DQH ]H] V\PEROH ~ (lterntyw, NRQLXQNFMD LPOLNDFMD RZQRZD*QRü DOWHQDW\ZD Z\NOXF]DMFD (XOR), negcj). pójniki te nzywmy spójnikmi logicznymi lub funktormi zdniotwórczymi. :DWRü ORJLF]QD ]GDQLD ]ár*rqhjr w(p q ]DOH*\ MHG\QLH RG ZDWRFL ORJLF]Q\FK w(p) i w(q) orz od funkcji w : {0, 1} 2 {0, 1} przypisnej spójnikowi. w(p q) = w (w(p), w(q)) Mtryce logiczne spójników ~ x y w (x, y) w (x, y) w (x, y) w (x, y) w (x, y) w ~ (x) )XQNWR\ ]GDQLRWZyF]H PRJ PLHü ZLFHM QL* DJXPHQW\ 1D ]\NáDG NAND(p 1, p 2,..., p n ) ]\MPXMH ZDWRü ORJLF]Q ZWZJ FR QDMPQLHM MHGQR ]H ]GD p i MHVW IDáV]\ZH Dl dowolnej implikcji p q: Zdnie p nzywmy poprzednikiem, q nstpnikiem tej implikcji. 0yZLP\ *H p jest wrunkiem dosttecznym dl q RD] *H q jest ZDXQNLHP Z\VWDF]DMF\P GOD p. Zdnie proste WR ]GDQLH Z NWy\P QLH Z\VWXM VyMQLNL

2 2GRZLHGQLN ]GDQLD ]ár*rqhjr Z NWy\P ]DPLDVW ]GD RVW\FK Z\VWXM ]PLHQQH ]GDQLRZH QD]\ZDP\ schemtem logicznym (np. q (p q)). 6FKHPDW ORJLF]Q\ VWDMH VL ]GDQLHP R ]DVWLHQLX ZV]\VWNLFK ]PLHQQ\FK ]GDQLRZ\FK ]GDQLDPL ZV]\VWNLH Z\VWLHQLD WHM VDPHM ]PLHQQHM PXV] E\ü ]DVWLRQH W\P VDP\P ]GDQLHP q = 1 > 0 p = 1 < 0 (1 > 0) ((1 < 0) (1 > 0)) =GDQLD R]QDF]Dü EG]LHP\ PDá\PL OLWHDPL p, q, r,... 6FKHPDW\ ORJLF]QH R]QDF]Dü EG]LHP\ ZLHONLPL OLWHDPL A, B,... =DXZD*P\ *H VFKHPDW\ PR*HP\ WDN*H áf]\ü VyMQLNDPL WZR]F VFKHPDW\ EDG]LHM ]ár*rqh Np. dl A = p q, B = p r mmy A B = (p q) (p r). :\D*HQLH P(x 1,..., x n NWyH R ]DVWLHQLX ]PLHQQ\FK LQG\ZLduowych) x 1,..., x n obiektmi mtemtycznymi (elementmi dziedziny) VWDMH VL ]GDQLHP ORJLF]Q\P QD]\ZDP\ n-rgumentow funkcj zdniow lub n-rgumentowym predyktem. 3]\NáDG\ IXQNFML ]GDQLRZ\FK x > 0 x > y x + y = z (A B = ) (A = ) x N x + 1 N chemt (p 1,..., p n ) nzywmy tutologi MH*HOL w((p 1,..., p n )) = 1 GOD GRZROQHJR ZDWRFLRZDQLD w(p 1 ),..., w(p n ). = (p 1,..., p n R]QDF]D *H (p 1,..., p n MHVW WDXWRORJL = p p = p ~p = ~(p ~p) = (p ~p) q chemt nzywmy sprzecznym MH*HOL _ E\ XGRZRGQLü *H VFKHPDW ORJLF]Q\ (p 1,..., p n MHVW WDXWRORJL QDOH*\ VDZG]Lü F]\ GOD ZV]\VWNLFK PR*OLZ\FK VHNZHQFML ZDWRFL w(p 1 ),..., w(p n ZDWRü w((p 1,..., p n )) wynosi 1. W(p) w(q) w(~p) w(p ~p) w((p ~p) q) yZLP\ *H VFKHPDW implikuje logicznie schemt R ( R MH*HOL GOD GRZROQHJR ZDWRFLRZDQLD ]PLHQQ\FK ]GDQLRZ\FK Z\VWXM cych w i R zchodzi w(r) w(). (o ile tylko MHVW DZG WR R WH* MHVW DZG R wtwg. = R

3 0yZLP\ *H VFKHPDW\ i R V ORJLF]QLH yzqrzd*qh R MH*HOL GOD GRZROQHJR ZDWRFLRZDQLD ]PLHQQ\FK ]GDQLRZ\FK Z\VWXM cych w i R zchodzi w(r) = w(). ( MHVW DZG ZWHG\ L W\ONR ZWHG\ gdy R WH* MHVW DZG R wtwg. = R Reguá podstwini dl schemtów logicznych -H*HOL _ (p 1,..., p n ) to = (A 1,..., A n ), gdzie (A 1,..., A n ) jest sche- PDWHP RZVWDá\P ] (p 1,..., p n ]H] ]DVWLHQLH ND*GHJR Z\VWLHQLD zmiennej zdniowej p i schemtem A i GOD ND*HJR i {1,..., n} = (p) = p ~p A = q p = (q p) (~(q p)) Wybrne prw rchunku zd (1) 3]HPLHQQRü DOWHQDW\Z\ DOWHQDW\Z\ Z\NOXF]DMFHM NRQLXQNFML L yzqrzd*qrfl = (p q) (q p) = (p q) (q p) = (p q) (q p) = (p q) (q p) (4) 3]HFKRGQLRü yzqrzd*qrfl L LPOLNDFML GOD MDNLFK LQQ\FK IXQNWRyZ ]DFKRG]L ]HFKRGQLRü" = ((p q) (q r)) (p r) = ((p q) (q r)) (p r) 5R]G]LHOQRü NRQLXQNFML Z]JOGHP DOWHQDW\Z\ RD] DOWHQDW\Z\ Z]JOGHP NRQLXQNFML = (p (q r)) ((p q) (p r)) = (p (q r)) ((p q) (p r)) (6) Prw De Morgn = ~(p q) (~p ~q) = ~(p q) (~p ~q) 3DZR Z\áF]RQHJR RGND = (p ~p) (8) Prwo podwójnego przeczeni: = ~ ~p p (9) Prwo kontrpozycji: = (p q) (~q ~p) (2) àf]qrü DOWHQDW\Z\ DOWHQDW\Z\ Z\NOXF]DMFHM L NRQLXQNFML GOD MDNLFK LQQ\FK IXQNWRyZ ]DFKRG]L áf]qrü" = ((p q) r) (p (q r)) = ((p q) r) (p (q r)) = ((p q) r) (p (q r))

4 Definicj pozostáych spójników z pomoc ~ p q ~(~p ~q) p q ~p q p q (p q) (q p) p q ~(p q) Definicj pozostáych spójników z pomoc ~ p q p ~q,, MDN RZ\*HM Reguáy wnioskowni chemt B MHVW ORJLF]Q NRQVHNZHQFM VFKHPDWyZ ORJLF]Q\FK A 1,..., A n JG\ VHáQLRQ\ MHVW ZDXQHN *H ]\ GRZROQ\P ZDWRFLRZDQLX ]PLHQQ\FK ]GDQLRZ\FK Z\VWXMF\FK Z A 1,..., A n, B MHOL W\ONR A 1,..., A n ]HGVWDZLDM ]GDQLD DZG]LZH WR yzqlh* B przedstwi zdnie prwdziwe. 0yZLP\ ZyZF]DV *H 5HJXáD ZQLRVNRZDQLD Q Q jest reguá wnioskowni. Z\D*D *H A 1... A n ) B. 'RNRQXMF RGVWDZLHQLD NRQNHWQ\FK ]GD ]D RV]F]HJyOQH ]PLHQQH ]GDQLRZH Z\VWXMFH ZH ZV]\VWNLFK VFKHPDWDFK A 1,..., A n, B HJXáD wnioskowni Q R]ZDOD X]QDü ]GDQLH RZVWDáH ]H VFKHPDWX B ]D DZG]LZH XGRZRGQLRQH JG\ ZV]\VWNLH ]GDQLD RZVWDáH ]H schemtów A 1,..., A n V DZG]LZH ZF]HQLHM XGRZRGQLRQH 1D ]\NáDG QLHFK p = ']L MHVW VRERWD i niech q = ']L QLH PD Z\NäDGX :yzf]dv R XGRZRGQLHQLX ]GD -HHOL G]L MHVW VRERWD WR G]L QLH PD Z\NäDGX orz ']L MHVW Z\NäDG VWRVXMF HJXá PR*HP\ X]QDü ]D DZG]LZH ]GDQLH ']L QLH MHVW VRERWD Q MHVW HJXá ZQLRVNRZDQLD ZWZJ _ A 1... A n ) B 5HJXá\ ZQLRVNRZDQLD PRJ E\ü WDN*H RPRFQH GR GRZRG]HQLD *H GDQ\ VFKHPDW MHVW WDXWRORJL -H*HOL Q to B MHVW WDN*H WDXWRORJL MHVW HJXá ZQLRVNRZDQLD RD] A 1,..., A n V WDXWRORJLDPL Reguá podstwini dl reguá wnioskowni Niech Q EG]LH GRZROQ HJXá ZQLRVNRZDQLD 1LHFK p 1,..., p k EG ZV]\VWNLPL ]PLHQQ\PL ]GDQLRZ\PL Z\VWXMF\PL Z VFKHPD tch A 1,..., A n, B. Niech C 1,..., C k EG GRZROQ\PL VFKHPDWDPL 5HJXáD Q, któr powstje z Q ]H] ]DVWLHQLH ND*GHJR Z\VWLHQLD ]PLHQQHM ]GDQLRZHM p i schemtem C i GOD ND*HJR i {1,..., k` MHVW WDN*H RDZQ HJXá ZQLRVNRZDQLD

5 5R]ZD*P\ ]\NáDG 3RZ\*V]D HJXáD RGVWDZLDQLD PyZL *H MHOL MHVW HJXá ZQLRVNRZDQLD WR WDN*H GOD GRZROQ\FK VFKHPDWyZ A, B, C & & MHVW HJXá ZQLRVNRZDQLD -H*HOL XGRZRGQLOLP\ *H = (s (~s s)) s = s (~s s) WR VWRVXMF HJXá & & ]\MPXMF A = s (~s s), B = s, C = ~s s PR*HP\ X]QDü ]D XGRZRGQLRQH _ s (~s s)) (~s s). Przegld wybrnych reguá wnioskowni 5HJXá\ ]DVWRZDQLD ]GDQLHP yzqrzd*q\p gdzie {,,,, } 5HJXáD RG\ZDQLD PRGXV RQHQV 5HJXáD V\ORJL]PX ZDXQNRZHJR 5HJXáD NRQWDR]\FML 5HJXá\ GRZRG]HQLD ] NRQLXQNFM L DOWHQDW\Z 5HJXá\ GRZRG]HQLD QLH ZRVW

6 Rchunek zd w ujciu ksjomtycznym PDWHLDá QLHRERZL]NRZ\ 6yEXMP\ XGRZRGQLü *H _p p Przyjmujemy pewien zbiór ksjomtów: Wszystkie schemty postci: (A1) - (A (B A)) (A2) - ((A (B C)) ((A B) ( A C)) (A3) - (~A (A B)) (A4) - ((~A A) A) Przyjmujemy definicje: A B = (~A B) A B = ~(A ~B) (A B) = (A B) (B A) (A B) = ~(A B) 3]\MPXMHP\ HJXá\ ZQLRVNRZDQLD (1) - p ((p p) p) [ks. A1] (2) - p (p p) [ks. A1] (3) - (p ((p p) p)) ((p (p p)) (p p)) [ks. A2] (4) - ((p (p p)) (p p)) [odr. (1) z (3)] (5) - (p p) [odr. (2) z (4)] 'OD RZ\*V]HJR ]ELRX DNVMRPDWyZ L HJXá ZQLRVNRZDQLD PR*QD XGRZRGQLü WZLHG]HQLH NWyH PyZL R W\P *H VFKHPDW ORJLF]Q\ MHVW WDXWRORJL ZWHG\ L W\ONR ZWHG\ JG\ MHVW WZLHG]HQLHP DFKXQNX ]GD = wtwg -. Problemtyk konstruowni sformlizownych teorii i systemów GHGXNF\MQ\FK Z\NDF]D R]D WHPDW\N WHJR Z\NáDGX 3]HGVWDZLRQH RZ\*HM DNVMRPDW\F]QH XMFLH DFKXQNX ]GD FHOX MHG\QLH ]\EOL*HQLH RMü WDNLFK MDN twierdzenie i dowód. PD QD 0yZLP\ *H schemt jest twierdzeniem DFKXQNX ]GD FR zpisujemy - MH*HOL LVWQLHMH FLJ VFKHPDWyZ A 1,..., A n WDNL *H (1) A n = 'OD ND*GHJR i {1,..., n} schemt A i MHVW DNVMRPDWHP OXE RZVWDá Z Z\QLNX ]DVWRVRZDQLD MHGQHM ] ]\MW\FK HJXá ZQLRVNRZDQLD GR VFKHPDWyZ Z\VWXMF\FK ]HG A i RVLDGDMF\FK LQGHNV PQLHMV]\ QL* i). &LJ A 1,..., A n VHáQLDMF\ WH ZDXQNL QD]\ZDP\ dowodem twierdzeni.

7 Rchunek predyktów :\D*HQLH P(x 1,..., x n NWyH R ]DVWLHQLX ]PLHQQ\FK LQG\ZLduowych) x 1,..., x n obiektmi mtemtycznymi (elementmi dziedziny) VWDMH VL ]GDQLHP ORJLF]Q\P QD]\ZDP\ n-rgumentow funkcj zdniow lub n-rgumentowym predyktem. 3]\NáDG\ IXQNFML ]GDQLRZ\FK x > 0 x > y x + y = z (A B = ) (A = ) x N x + 1 N Niech X = {x 1, x 2,..., x n }. 'OD Z\D*HQLD NRQLXQNFML P(x 1 )... P(x n ) stosujemy kwntyfiktor ogólny (uniwerslny) x X (P(x)). 'OD Z\D*HQLD DOWHQDW\Z\ P(x 1 )... P(x n ) stosujemy kwntyfiktor V]F]HJyáRZ\ HJ]\VWHQFMDOQ\ x X (P(x)). : QDWXDOQ\ VRVyE XRJyOQLDP\ LQWHHWDFM NZDQW\ILNDWRyZ QD ]ELy QLHVNRF]RQ\ XQLZHVXP Zdnie x X (P(x)) jest prwdziwe wtwg {x X : P(x)} = X Zdnie x X (P(x)) jest prwdziwe wtwg {x X : P(x)} Zdnie x X (P(x F]\WDP\ 'OD ND*GHJR HOHPHQWX x ze zbioru X zdnie P(x) jest prwdziwe. Zdnie x X (P(x)) czytmy: Istnieje element x w zbiorze X WDNL *H zdnie P(x) jest prwdziwe. &KFF RJDQLF]\ü ]DNHV ]PLHQQRFL ]PLHQQHM NZDQW\ILNDWRD GR pewnego podzbioru uniwesum {x X: Q(x` X*\MHP\ QRWDFML Q(x) (P(x)) Q(x) (P(x)) 1D ]\NáDG X = R): x>1 x 1 > 0 x>1 x 1 < Z drugiej strony, w zpisch x (P(x)) orz x (P(x GRP\OQLH ]\MPXMHP\ *H ]DNHVHP ]PLHQQRFL ]PLHQQHM NZDQW\ILNDWRD MHVW FDáH XQLZHVXP X. Q(x) (P(x)) x (Q(x) P(x)) Q(x) (P(x)) x (Q(x) P(x)) )RPXá\ x 1 (P(x 1, x 2,..., x n )) x 1 (P(x 1, x 2,..., x n PLPR ]ZL]DQLD NZDQW\ILNDWRHP QLH VWDM VL ]GDQLDPL OHF] R]RVWDM IXQNFMDPL zdniowymi. 3]\NáDG x (x > y) x ((x > y) (x 1 < z)) // funkcj zdniow zmiennej y // funkcj zdniow zmiennych y, z =DNHV G]LDáDQLD NZDQW\ILNDWRD PXVL E\ü FLOH RNHORQ\ 3]\NáDG X = N ( ( 3) 2 1) ( ( 3 2) 1)

8 3RZLHP\ *H IXQNFMD ]GDQLRZD P(x 1,..., x n ) jest (zwsze) prwdziw ( = P(x 1,..., x n )) wtedy i tylko wtedy gdy: = x 1 ( x 2 (... x n (P(x 1,..., x n ))...)) 3]\NáDG Funkcj zdniow (zmiennej b) ( < b) jest (zwsze) prwdziw w uniwesum X = Z, le nie jest (zwsze) prwdziw w uniwersum X = N. P(x 1,..., x n ) Q(y 1,..., y k ) wtwg = P(x 1,..., x n ) Q(y 1,..., y k ) P(x 1,..., x n ) Q(y 1,..., y k ) wtwg = P(x 1,..., x n ) Q(y 1,..., y k ) 3]\NáDG Przyjmijmy X = N x > 3 x > 2 x < 0 y < 0 Wybrne prw rchunku predyktów 3]\MPXMHP\ *H X. 3]\MPXMHP\ *H P, Q V HZQ\PL IXQNFMDPL ]GDQLRZ\PL IRPXáD mi). 3]\MPXMHP\ *H x, y V ]PLHQQ\PL 3]\MPXMHP\ *H ZQ QLH Z\VWXMH ]PLHQQD ZROQD x. (1) = x (P(x)) P(x) (2) = P(x) x (P(x)) Prw De Morgn (3) = ~ x (P(x)) x (~P(x)) (4) = ~ x (P(x)) x (~P(x)) 3DZD ZáF]DQLD L Z\áF]DQLD NZDQW\ILNDWRyZ (5) = x (P(x) Q) ( x (P(x)) Q) (6) = x (P(x) Q) ( x (P(x)) Q) (7) = x (P(x) Q) ( x (P(x)) Q) (8) = x (P(x) Q) ( x (P(x)) Q) (9) = x (P(x) Q) ( x (P(x)) Q) (10) = x (P(x) Q) ( x (P(x)) Q) (11) = x (Q P(x)) (Q x (P(x))) (12) = x (Q P(x)) (Q x (P(x)))

9 (13) = x (P(x) R(x)) ( x (P(x)) x (R(x))) (14) = ( x (P(x)) x (R(x))) x (P(x) R(x)) (14) = x (P(x) R(x)) ( x (P(x)) x (R(x))) (15) = x (P(x) R(x)) ( x (P(x)) x (R(x))) (16) = x (P(x) R(x)) ( x (P(x)) x (R(x))) (17) = x (P(x) R(x)) ( x (P(x)) x (R(x))) =DPLDQD QD]Z\ ]PLHQQHM ]DNáDGDP\ *H y QLH Z\VWXMH Z P(x) jko ]PLHQQD ZROQD RD] *H P(y) powstje z P(x ]H] ]DVWLHQLH ZV]\VWNLFK Z\VWLH ]PLHQQHM ZROQHM x ]PLHQQ y) (18) = x (P(x)) y (P(y)) (19) = x (P(x)) y (P(y)) Prw przestwini kwntyfiktorów (20) = x ( y (P(x,y)) y ( x (P(x,y)) (21) = x ( y (P(x,y)) y ( x (P(x,y)) (22) = x ( y (P(x,y)) y ( x (P(x,y)) Aksjomty: jcie ksjomtyczne rchunku predyktów PDWHLDá QLHRERZL]NRZ\ (A1).D*GD WDXWRORJLD DFKXQNX ]GD Z NWyHM ]PLHQQH ]GDQLRZH ]DVWLRQR RDZQLH ]EXGRZDQ\PL IRPXáDPL (A2).D*GH RGVWDZLHQLH GR VFKHPDWX x (P Q(x)) (P x (Q(x))), gdzie P, Q V ]DVWRZDQH GRZROQ\PL IRPXáDPL ]\ F]\P x nie MHVW ]PLHQQ ZROQ Z P..D*GH RGVWDZLHQLH GR VFKHPDWX x (P(x)) P(y), gdzie P jest GRZROQ IRPXá D y ]PLHQQ OXE VWDá LQG\ZLGXRZ 5HJXá\ ZQLRVNRZDQLD (R1) [ 3[ 3[ =DXZD*P\ *H P(x) x (P(x)) : Np. X = N, P(x) x > 2 x > 2 x (x! QLH MHVW IXQNFM ]GDQLRZ ]DZV]H DZG]LZ (R2) Definicj: x (P(x)) = ~ x (~P(x))

10 0yZLP\ *H formuá jest twierdzeniem rchunku predyktów, co zpisujemy - MH*HOL LVWQLHMH FLJ IRPXá A 1,..., A n WDNL *H (1) A n = 'OD ND*GHJR i {1,..., n` IRPXáD A i MHVW DNVMRPDWHP OXE RZVWDáD Z Z\QLNX ]DVWRVRZDQLD MHGQHM ] ]\MW\FK HJXá ZQLRVNRZDQLD GR IRPXá Z\VWXMF\FK ]HG A i RVLDGDMF\FK LQGHNV PQLHMV]\ QL* i). &LJ A 1,..., A n VHáQLDMF\ WH ZDXQNL QD]\ZDP\ dowodem twierdzeni. 0R*HP\ MX* ]EXGRZDü GRZyG (1) - x (Q(x)) Q(x) // podstwienie do A3 (2) - [ x (Q(x)) Q(x)] [(P x (Q)) (P Q(x))] //A1 (3) - (P x (Q)) (P Q(x)) // R2, (1), (2) (4) - x [(P x (Q)) (P Q(x))] // R1, (3) (5) - x [(P x (Q)) (P Q(x))] [(P x (Q)) x (P Q(x))] // A2 (6) - (P x (Q)) x (P Q(x)) // R2, (4), (5) 3]\NODG 8GRZRGQLMP\ *H (P x (Q)) x (P Q(x)), gdzie P nie zwier zmiennej wolnej x jest twierdzeniem rch. pred. *G\E\P\ PLHOL P x (Q)) (P Q(x WR Z\VWDF]\ ]DVWRVRZDü R1, odpowiednie podstwienie do A2 i R2 Mmy z A3 x (Q(x)) Q(x). -DN ] WHJR X]\VNDü P x (Q)) (P Q(x))? utologi: co mmy 7 FR FKFHP\ PLHü (p q) ((r p) (r q)) ? 0 1?

11 -HV]F]H MHGHQ ]\NáDG dowodnijmy - x ( y (P(x,y))) y ( x (P(x,y))) =JRGQLH ] GHILQLFM NZDQW\ILNDWRD V]F]HJyáRZHJR PDP\ XGRZRGQLü - ~ x ~( y (P(x,y))) y (~ x ~(P(x,y))).ZDQW\ILNDWR RJyOQ\ PR*HP\ GRáF]\ü Z QDVWQLNX ER y nie jest ]PLHQQ ZROQ Z R]HGQLNX ZLF Z\VWDF]\ XGRZRGQLü - ~ x ~( y (P(x,y))) ~ x ~(P(x,y)) = DZD NRQDR]\FML Z\VWDF]\ RND]Dü - x ~(P(x,y)) x ~( y (P(x,y))) *G\E\P\ XGRZRGQLOL x (A(x) B(x)) ( x (A(x)) B(x)), WR Z\VWDF]\áRE\ XGRZRGQLü P(x,y) ~ y (P(x,y ]DVWRVRZDü 5 L ]DVWRVRZDü RZ\*V] LPOLNDFM D QDVWQLH GRLVDü NZDQW\ILNDWR RJyOQ\ Z QDVWQLNX )HE\ XGRZRGQLü P(x,y) ~ y (P(x,y)), wystrczy z prw NRQDR]\FML XGRZRGQLü y (P(x,y)) P(x,y FR MHVW ]HFLH* ksjomtem A3. 3R]RVWDMH ]DWHP XGRZRGQLü x (P(x) Q(x)) ( x (P(x)) Q(x)) Z ksjomtu A2 x (P(x) Q(x)) (P(x) Q(x ZLF Z\VWDF]\ RND]Dü P(x) Q(x)) ( x (P(x)) Q(x)) :LHP\ *H x (P(x)) P(x) 6yEXMP\ ]QDOH(ü RGRZLHGQL WDXWRORJL p = x (P(x)) q = P(x) r = Q(x) &]\ ]HF]\ZLFLH p q) ((q r) (p r MHVW WDXWRORJL" 7DN ZLF PDP\ MX* GRZyG R]RVWDMH JR ]EXGRZDü 8PyZP\ VL *H A(x) ozncz npis ~P(x, y), B(x) ozncz npis ~ y (P(x,y)) (1) - [ x (A(x)) A(x)] [(A(x) B(x)) ( x (A(x)) B(x))] //A1 (2) - [ x (A(x)) A(x)] // A3 (3) - (A(x) B(x)) ( x (A(x)) B(x)) // R2, (1), (2) (4) - y (P(x,y)) P(x,y) // A3 (5) - [ y (P(x,y)) P(x,y)] [~P(x,y) ~ y (P(x,y))] // A1 (6) - ~P(x,y) ~ y (P(x,y)) // R2, (4), (5) (7) - x (~P(x,y)) ~ y (P(x,y)) // R2, (6), (3) (8) - x [ x (~P(x,y)) ~ y (P(x,y))] // R1, (7) (9) - [ x [ x (~P(x,y)) ~ y (P(x,y))]] [ x (~P(x,y)) x [~ y (P(x,y))]] // A2 (10) - x (~P(x,y)) x [~ y (P(x,y))] // R2, (8), (9) (11) - [ x (~P(x,y)) x [~ y (P(x,y))]] [~ x [~ y (P(x,y))] ~ x (~P(x,y))] // A1 (12) - ~ x [~ y (P(x,y))] ~ x (~P(x,y)) // R2, (10), (11) (13) - y [~ x [~ y (P(x,y))] ~ x (~P(x,y))] // R1, (12) (14) - y [~ x [~ y (P(x,y))] ~ x (~P(x,y))] [~ x [~ y (P(x,y))] y [~ x (~P(x,y))]] // A2 (15) - ~ x [~ y (P(x,y))] y [~ x (~P(x,y))] // R2, (13), (14) &R ] GHILQLFML NZDQW\ILNDWRD V]F]HJyáRZHJR MHVW QDV]\P ]GDQLHP x [ y (P(x,y))] y [ x (P(x,y))]

12 eori mtemtyczn powstje przez dodnie zbioru (dodtkowych DNVMRPDWyZ WHRLL GR DNVMRPDWyZ DFKXQNX HG\NDWyZ.D*GH zdnie P, dl którego istnieje dowód przy tkim zbiorze ksjomtów nzywmy twierdzeniem teorii, co zpisujemy - P. 3]\NáDG = { x (P(x) C(x)), P(125) } wierdzenie - C(125) Dowód: - x (P(x) C(x)) (P(125) C(125)) - x (P(x) C(x)) - P(125) C(125) - P(125) - C(125)