Michał Startek BIOFIZMAT, 12.XII.2014
|
|
- Wojciech Stefański
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ewolucja ewolucji, czyli matematyczne modelowanie zmian mutowalności w warunkach stresu środowiskowego BIOFIZMAT, 12.XII.2014
2 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Model geometryczny Fisher a (R.A. Fisher, 1930) to matematyczny model opisujący adaptatyną ewolucję, pozwalający na modelowanie stresu środowiskowego. Podstawą modelu jest fenotyp przypisany każdemu organizmowi - wektor z R n. Ponadto istnieje jeden fenotyp optymalny do którego fenotypy organizmów są porównywane. Funkcja przystosowania organizmu jest zależna od odległości fenotypu organizmu od fenotypu optymalnego. Naturalna selekcja preferuje organizmy o wysokiej funkcji przystosowania.
3 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Model geometryczny Fisher a (R.A. Fisher, 1930) to matematyczny model opisujący adaptatyną ewolucję, pozwalający na modelowanie stresu środowiskowego. Podstawą modelu jest fenotyp przypisany każdemu organizmowi - wektor z R n. Ponadto istnieje jeden fenotyp optymalny do którego fenotypy organizmów są porównywane. Funkcja przystosowania organizmu jest zależna od odległości fenotypu organizmu od fenotypu optymalnego. Naturalna selekcja preferuje organizmy o wysokiej funkcji przystosowania.
4 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Model geometryczny Fisher a (R.A. Fisher, 1930) to matematyczny model opisujący adaptatyną ewolucję, pozwalający na modelowanie stresu środowiskowego. Podstawą modelu jest fenotyp przypisany każdemu organizmowi - wektor z R n. Ponadto istnieje jeden fenotyp optymalny do którego fenotypy organizmów są porównywane. Funkcja przystosowania organizmu jest zależna od odległości fenotypu organizmu od fenotypu optymalnego. Naturalna selekcja preferuje organizmy o wysokiej funkcji przystosowania.
5 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Model geometryczny Fisher a (R.A. Fisher, 1930) to matematyczny model opisujący adaptatyną ewolucję, pozwalający na modelowanie stresu środowiskowego. Podstawą modelu jest fenotyp przypisany każdemu organizmowi - wektor z R n. Ponadto istnieje jeden fenotyp optymalny do którego fenotypy organizmów są porównywane. Funkcja przystosowania organizmu jest zależna od odległości fenotypu organizmu od fenotypu optymalnego. Naturalna selekcja preferuje organizmy o wysokiej funkcji przystosowania.
6 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Nasza wersja modelu: Zakładamy że przestrzeń fenotypowa jest jednowymiarowa (uogólnienie na R n prawdopodobnie proste) Mutacje pochodzą z rozkładu Gaussa, o średniej 0 (co nie oznacza że mutacje pozytywne i negatywne są równie prawdopodobne!) Funkcja fitness to funkcja Gaussa, o średniej w fenotypie optymalnym. Stres środowiskowy bierze się z przesuwania fenotypu optymalnego, w każdym pokoleniu w jedną stronę, kierunek nie ma znaczenia (Matuszewski et al. 2014) Rozmnażanie bezpłciowe (organizmy klonalne).
7 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Nasza wersja modelu: Zakładamy że przestrzeń fenotypowa jest jednowymiarowa (uogólnienie na R n prawdopodobnie proste) Mutacje pochodzą z rozkładu Gaussa, o średniej 0 (co nie oznacza że mutacje pozytywne i negatywne są równie prawdopodobne!) Funkcja fitness to funkcja Gaussa, o średniej w fenotypie optymalnym. Stres środowiskowy bierze się z przesuwania fenotypu optymalnego, w każdym pokoleniu w jedną stronę, kierunek nie ma znaczenia (Matuszewski et al. 2014) Rozmnażanie bezpłciowe (organizmy klonalne).
8 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Nasza wersja modelu: Zakładamy że przestrzeń fenotypowa jest jednowymiarowa (uogólnienie na R n prawdopodobnie proste) Mutacje pochodzą z rozkładu Gaussa, o średniej 0 (co nie oznacza że mutacje pozytywne i negatywne są równie prawdopodobne!) Funkcja fitness to funkcja Gaussa, o średniej w fenotypie optymalnym. Stres środowiskowy bierze się z przesuwania fenotypu optymalnego, w każdym pokoleniu w jedną stronę, kierunek nie ma znaczenia (Matuszewski et al. 2014) Rozmnażanie bezpłciowe (organizmy klonalne).
9 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Nasza wersja modelu: Zakładamy że przestrzeń fenotypowa jest jednowymiarowa (uogólnienie na R n prawdopodobnie proste) Mutacje pochodzą z rozkładu Gaussa, o średniej 0 (co nie oznacza że mutacje pozytywne i negatywne są równie prawdopodobne!) Funkcja fitness to funkcja Gaussa, o średniej w fenotypie optymalnym. Stres środowiskowy bierze się z przesuwania fenotypu optymalnego, w każdym pokoleniu w jedną stronę, kierunek nie ma znaczenia (Matuszewski et al. 2014) Rozmnażanie bezpłciowe (organizmy klonalne).
10 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Nasza wersja modelu: Zakładamy że przestrzeń fenotypowa jest jednowymiarowa (uogólnienie na R n prawdopodobnie proste) Mutacje pochodzą z rozkładu Gaussa, o średniej 0 (co nie oznacza że mutacje pozytywne i negatywne są równie prawdopodobne!) Funkcja fitness to funkcja Gaussa, o średniej w fenotypie optymalnym. Stres środowiskowy bierze się z przesuwania fenotypu optymalnego, w każdym pokoleniu w jedną stronę, kierunek nie ma znaczenia (Matuszewski et al. 2014) Rozmnażanie bezpłciowe (organizmy klonalne).
11 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Populacja jest modelowana przy pomocy rozkładu prawdopodobieństwa o gęstości p : R R. Ewolucja następuje w dyskretnych pokoleniach, i rozkład populacji w pokoleniu n + 1 zależy jedynie od rozkładu w pokoleniu n (war. Markova). Można zdefiniować operator ewolucji Φ : (R R) (R R) który przekształca zadaną populację w populację po upływie jednego pokolenia: Φ(p)(x) = R (p ν(0, ρ)) (x η) ν(0, σ)(x) (p ν(0, ρ)) (t η) ν(0, σ)(t) dt Notacja ν(α, β) - funkcja gęstości rozkładu Gaussa o średniej α i odchyleniu standardowym β. ρ - prędkość mutacji. η - stres środowiskowy (prędkość ruchu optimum fenotypowego). σ - promień selekcji.
12 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Można łątwo sprawdzić że operator Φ ma dokładnie jeden punkt stały w klasie rozkładów Gaussa: p = ν η 4 σ 2 + ρ 2 η ρ 2ρ( 4σ 2 + ρ 2 ρ), 2 ρ 2 Notacja ν(α, β) - funkcja gęstości rozkładu Gaussa o średniej α i odchyleniu standardowym β. ρ - prędkość mutacji. η - stres środowiskowy (prędkość ruchu optimum fenotypowego). σ - promień selekcji.
13 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Jednakże: Prawdziwe populacje nie muszą mieć rozkładu Gaussa...ani nawet rozkładu który ma funkcję gęstości Nie wiemy nic o stabilności tej równowagi
14 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Jednakże: Prawdziwe populacje nie muszą mieć rozkładu Gaussa...ani nawet rozkładu który ma funkcję gęstości Nie wiemy nic o stabilności tej równowagi
15 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Jednakże: Prawdziwe populacje nie muszą mieć rozkładu Gaussa...ani nawet rozkładu który ma funkcję gęstości Nie wiemy nic o stabilności tej równowagi
16 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Jednakże: Prawdziwe populacje nie muszą mieć rozkładu Gaussa...ani nawet rozkładu który ma funkcję gęstości Nie wiemy nic o stabilności tej równowagi
17 Model geometryczny Fisher a Model nieskończony ze stresem Rozwiązanie w klasie rozkładów Gaussa Model w terminach miar probablistycznych Należy wyrazić ˆΦ(p)(x) = (p ν(0, ρ)) (x η) ν(0, σ)(x) w teminach miar probablistycznych. ˆΦ(P)(A) = ν(0, σ)(y + z) 1 A+η (y + z) dn (0, ρ)(y)dp(z) R R Notacja ν(α, β) - funkcja gęstości rozkładu Gaussa o średniej α i odchyleniu standardowym β. N (α, β) - miara probablistyczna Gaussa o średniej α i odchyleniu standardowym β. ρ - prędkość mutacji. η - stres środowiskowy (prędkość ruchu optimum fenotypowego). σ - promień selekcji. λ(x) - miara Lebesgue a.
18 Strategia dowodu Twierdzenie 1: Φ(Leb(R) R) CN Twierdzenie 2: Φ(CN ) (CND) Twierdzenie 3: wzór na działanie Φ na populacji z CN D Twierdzenie 4: Zbieżność odchylenia standardowego Twierdzenie 5: zbieżność średniej Twierdzenie 6: silna zbieżność miary Φ n (P). Twierdzenie 1: Φ(Leb(R) R) CN Twierdzenie 2: Φ(CN ) CN D Twierdzenie 3: Wzór na działanie Φ na populacjach z CN D Twierdzenie 4: Zbieżność odchylenia standardowego Twierdzenie 5: Zbieżność średniej Twierdzenie 6: Silna zbieżność miary dla Φ n (P).
19 Klasa CN Twierdzenie 1: Φ(Leb(R) R) CN Twierdzenie 2: Φ(CN ) (CND) Twierdzenie 3: wzór na działanie Φ na populacji z CN D Twierdzenie 4: Zbieżność odchylenia standardowego Twierdzenie 5: zbieżność średniej Twierdzenie 6: silna zbieżność miary Φ n (P). Let CN = {P : Leb(R) [0, 1] σ R S : Leb(R) [0, 1] pdf P (x) = R ν(y, σ)(x)ds(y)} Twierdzenie 1. Φ(Leb(R) R) CN
20 Szkic dowodu. Twierdzenie 1: Φ(Leb(R) R) CN Twierdzenie 2: Φ(CN ) (CND) Twierdzenie 3: wzór na działanie Φ na populacji z CN D Twierdzenie 4: Zbieżność odchylenia standardowego Twierdzenie 5: zbieżność średniej Twierdzenie 6: silna zbieżność miary Φ n (P). Niech P : Leb(R) [0, 1]. Dla każdego A Leb(R) mamy: ( ) σρ Φ(P)(A) =... = ν z, (y η) dp(z)dλ(y) σ 2 + ρ 2 A R - co oznacza że Φ ma funkcję gęstości: ( ) σρ pdf Φ(P) (x) = ν z, (x η) dp(z) = σ2 + ρ 2 R R ( ) σρ = ν z + η, (x) dp(z) = σ2 + ρ 2 ( ) σρ = ν z, (x) dp(z η) σ2 + ρ 2 R która jest odpowiedniej postaci aby Φ(P) należało do CN.
21 Twierdzenie 1: Φ(Leb(R) R) CN Twierdzenie 2: Φ(CN ) (CND) Twierdzenie 3: wzór na działanie Φ na populacji z CN D Twierdzenie 4: Zbieżność odchylenia standardowego Twierdzenie 5: zbieżność średniej Twierdzenie 6: silna zbieżność miary Φ n (P). Niech CN D = {P : Leb(R) [0, 1] σ R S : Leb(R) [0, 1] pdf P (x) = R ν(y, σ)(x)ds(y) oraz S posiada funkcje gestosci} - to jest, podzbiór CN dla którego dystrybucja posiada funkcję gęstości. Alternatywnie: CN D = {P : Leb(R) [0, 1] σ R s : R R +,0 pdf P (x) = ν(y, σ)(x) s(y) dλ(y)} R
22 Twierdzenie 1: Φ(Leb(R) R) CN Twierdzenie 2: Φ(CN ) (CND) Twierdzenie 3: wzór na działanie Φ na populacji z CN D Twierdzenie 4: Zbieżność odchylenia standardowego Twierdzenie 5: zbieżność średniej Twierdzenie 6: silna zbieżność miary Φ n (P). Twierdzenie 2. Φ(CN ) CN D Dowód. Niech P CN. Powtarzamy kroki dowodu twierdzenia 1 dla P, uzyskując: ( ) σρ pdf Φ(P) (x) = ν z, (x) dp(z η) σ 2 + ρ 2 R Z definicji CN, P posiada funkcję gęstości, a zatem P(z η) też, a więc, Φ(P) CN D.
23 Twierdzenie 1: Φ(Leb(R) R) CN Twierdzenie 2: Φ(CN ) (CND) Twierdzenie 3: wzór na działanie Φ na populacji z CN D Twierdzenie 4: Zbieżność odchylenia standardowego Twierdzenie 5: zbieżność średniej Twierdzenie 6: silna zbieżność miary Φ n (P). Niech p będzie funkcją geśtości miary prawdopodobieństwa z CN D. Wtedy p(x) = R ν(y, ς)(x) s(y) dy dla pewnego s i ς. Znajdźmy Φ(p). ( ) (y + η)σ 2 Φ(p)(x) =... = c ν R ς 2 + σ 2 + ρ 2, σ ς 2 + ρ 2 (x) s(y) dy ς 2 + ρ 2 + σ 2
24 Szkic dowodu. Twierdzenie 1: Φ(Leb(R) R) CN Twierdzenie 2: Φ(CN ) (CND) Twierdzenie 3: wzór na działanie Φ na populacji z CN D Twierdzenie 4: Zbieżność odchylenia standardowego Twierdzenie 5: zbieżność średniej Twierdzenie 6: silna zbieżność miary Φ n (P). Twierdzenie 4. Niech: y n+1 = σ y 2 n + ρ 2 y 2 n + ρ 2 + σ 2 Wtedy, y 0 R lim n y n = 2ρ( 4σ 2 + ρ 2 ρ) 2 Rozważmy f (y) = σ y 2 +ρ 2. Można dowieść że jest ona y 2 +ρ 2 +σ2 lipschitzowska ze stałą < 1, a zatem jest odwzorowaniem zwężającym. Następnie używamy twierdzenia Banacha o odwzorowaniu zwężającym.
25 Twierdzenie 1: Φ(Leb(R) R) CN Twierdzenie 2: Φ(CN ) (CND) Twierdzenie 3: wzór na działanie Φ na populacji z CN D Twierdzenie 4: Zbieżność odchylenia standardowego Twierdzenie 5: zbieżność średniej Twierdzenie 6: silna zbieżność miary Φ n (P). Twierdzenie 5. Niech Wtedy, Dowód. Łatwy. x n = (x + η)σ2 y 2 + σ 2 + ρ 2 x 0 R lim x n = η 4 σ 2 + ρ 2 η ρ n 2 ρ
26 Twierdzenie 1: Φ(Leb(R) R) CN Twierdzenie 2: Φ(CN ) (CND) Twierdzenie 3: wzór na działanie Φ na populacji z CN D Twierdzenie 4: Zbieżność odchylenia standardowego Twierdzenie 5: zbieżność średniej Twierdzenie 6: silna zbieżność miary Φ n (P). Twierdzenie 6. Dla każdego P : Leb(R) [0, 1] i dla każdego A Leb(R) mamy: lim n Φn (P)(A) = N η 4 σ 2 + ρ 2 η ρ 2ρ( 4σ 2 + ρ 2 ρ), (A) 2 ρ 2 to znaczy, iterowanie Φ na dowolnej mierze probablistycznej daje ciąg silnie zbieżny do rozkładu Gaussa z powyższymi parametrami.
27 Dowód Twierdzenie 1: Φ(Leb(R) R) CN Twierdzenie 2: Φ(CN ) (CND) Twierdzenie 3: wzór na działanie Φ na populacji z CN D Twierdzenie 4: Zbieżność odchylenia standardowego Twierdzenie 5: zbieżność średniej Twierdzenie 6: silna zbieżność miary Φ n (P). Przykładając Φ dwa razy trafiamy do klasy CN D (z tw. 1 i 2). Zatem, wystarczy dowieść twierdzenia dla P następującej postaci: P(A) = ν (F n (x, y)) (z) s(x) dλ(x)dλ(z) Zacznijmy: lim n Φn (P)(A) = lim n A R A R ν (F n (x, y)) (z) s(x) dλ(x)dλ(z) = = ν η 4 σ 2 + ρ 2 η ρ 2ρ( 4σ 2 + ρ 2 ρ), (z) dλ(z) ds(x) = R A 2 ρ 2
28 Twierdzenie 1: Φ(Leb(R) R) CN Twierdzenie 2: Φ(CN ) (CND) Twierdzenie 3: wzór na działanie Φ na populacji z CN D Twierdzenie 4: Zbieżność odchylenia standardowego Twierdzenie 5: zbieżność średniej Twierdzenie 6: silna zbieżność miary Φ n (P). = ν η 4 σ 2 + ρ 2 η ρ 2ρ( 4σ 2 + ρ 2 ρ), (z) dλ(z) ds(x) = R A 2 ρ 2 = ν η 4 σ 2 + ρ 2 η ρ 2ρ( 4σ 2 + ρ 2 ρ), (z) dλ(z) ds(x) = A 2 ρ 2 R = ν η 4 σ 2 + ρ 2 η ρ 2ρ( 4σ 2 + ρ 2 ρ), (z) dλ(z) = A 2 ρ 2 = N η 4 σ 2 + ρ 2 η ρ 2ρ( 4σ 2 + ρ 2 ρ), (A) 2 ρ 2
29 Wszystkie populacje dążą w wyniku ewolucji do jednej populacji równowagowej Populacja równowagowa jest stabilna...i ma rozkład Gaussa Wariancja genetyczna populacji równowagowej nie jest zależna od stresu środowiskowego (!) Można wyliczyć zamknięte formuły na średnie przystosowanie, straty w wyniku selekcji, lag fenotypowy......ale dla biologów dowody nie są żadnym dowodem
30 Wszystkie populacje dążą w wyniku ewolucji do jednej populacji równowagowej Populacja równowagowa jest stabilna...i ma rozkład Gaussa Wariancja genetyczna populacji równowagowej nie jest zależna od stresu środowiskowego (!) Można wyliczyć zamknięte formuły na średnie przystosowanie, straty w wyniku selekcji, lag fenotypowy......ale dla biologów dowody nie są żadnym dowodem
31 Przeżywalność
32 Przeżywalność
33 Przeżywalność
34 Przeżywalność
35 Przeżywalność
36 Przeżywalność
37 Przeżywalność Funkcja przeżywalności wygląda nastepująco: ˆΦ (ν (µ, σ )) (x)dλ(x) = = R R (ν (µ, σ ) ν(0, ρ)) (x η) ν(0, σ)(x)dλ(x) = e η 2 2ρ 2 2 π = σ ρ (ρ + ) ρ 2 + 4σ 2 ρ+ ρ 2 +4σ 2 ρσ 2
38 Przeżywalność (A) (B) (C) η = 1 σ = 1 ρ variable η = 1 σ = 5 ρ variable η = 5 σ = 1 ρ variable (D) (E) (F) η = 5 σ = 5 ρ variable σ = 1 ρ = 1 η variable η = 1 ρ = 1 σ variable Figure : wykresy funkcji przeżywalności z ustalonymi kolejnymi parametrami.
39 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Można wyliczyć wartość tempa mutacji która maksymalizuje funkcję przeżywalności (pierwiastek pochodnej). Pochodna wyraża się wzorem: e η 2 2ρ 2 2 π ( ρ 3 + η 2 ) ρ 2 + 4σ 2 ρ 3 σ ρ 2 + 4σ ρ (ρ 2 + ) ρ 2 + 4σ 2 ρ+ ρ 2 +4σ 2 ρσ 2 Aby znaleźć pierwiastki wystarczy obliczyć: ρ 3 + η 2 ρ 2 + 4σ 2 = 0 Jedynym pierwiastkiem w R + jest: ( 18η 4 σ ) 1/3 η 8 (η 4 108σ 4 ) + η 4 3 1/3 ( ) 1/3 6η 4 σ 2 + η η8 σ 4
40 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Można wyliczyć wartość tempa mutacji która maksymalizuje funkcję przeżywalności (pierwiastek pochodnej). Pochodna wyraża się wzorem: e η 2 2ρ 2 2 π ( ρ 3 + η 2 ) ρ 2 + 4σ 2 ρ 3 σ ρ 2 + 4σ ρ (ρ 2 + ) ρ 2 + 4σ 2 ρ+ ρ 2 +4σ 2 ρσ 2 Aby znaleźć pierwiastki wystarczy obliczyć: ρ 3 + η 2 ρ 2 + 4σ 2 = 0 Jedynym pierwiastkiem w R + jest: ( 18η 4 σ ) 1/3 η 8 (η 4 108σ 4 ) + η 4 3 1/3 ( ) 1/3 6η 4 σ 2 + η η8 σ 4
41 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Można wyliczyć wartość tempa mutacji która maksymalizuje funkcję przeżywalności (pierwiastek pochodnej). Pochodna wyraża się wzorem: e η 2 2ρ 2 2 π ( ρ 3 + η 2 ) ρ 2 + 4σ 2 ρ 3 σ ρ 2 + 4σ ρ (ρ 2 + ) ρ 2 + 4σ 2 ρ+ ρ 2 +4σ 2 ρσ 2 Aby znaleźć pierwiastki wystarczy obliczyć: ρ 3 + η 2 ρ 2 + 4σ 2 = 0 Jedynym pierwiastkiem w R + jest: ( 18η 4 σ ) 1/3 η 8 (η 4 108σ 4 ) + η 4 3 1/3 ( ) 1/3 6η 4 σ 2 + η η8 σ 4
42 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Weźmy rozszerzony model: Każdy organizm wzbogacamy o jego własne tempo mutacji (czyli przestrzeń organizmów to przestrzeń fenotypowa razy przestrzeń prędkości mutacji, czyli R R +. Można o tym myśleć że nasz nowy model składa się w warstw - każda warstwa osobno zachowuje się jak warstwa w starym modelu. Chwilowo organizmy nie mogą zmieniać swojego tempa mutacji - tempo mutacji podlega jedynie presji selektywnej, zaś nie mutacyjnej.
43 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Weźmy rozszerzony model: Każdy organizm wzbogacamy o jego własne tempo mutacji (czyli przestrzeń organizmów to przestrzeń fenotypowa razy przestrzeń prędkości mutacji, czyli R R +. Można o tym myśleć że nasz nowy model składa się w warstw - każda warstwa osobno zachowuje się jak warstwa w starym modelu. Chwilowo organizmy nie mogą zmieniać swojego tempa mutacji - tempo mutacji podlega jedynie presji selektywnej, zaś nie mutacyjnej.
44 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Weźmy rozszerzony model: Każdy organizm wzbogacamy o jego własne tempo mutacji (czyli przestrzeń organizmów to przestrzeń fenotypowa razy przestrzeń prędkości mutacji, czyli R R +. Można o tym myśleć że nasz nowy model składa się w warstw - każda warstwa osobno zachowuje się jak warstwa w starym modelu. Chwilowo organizmy nie mogą zmieniać swojego tempa mutacji - tempo mutacji podlega jedynie presji selektywnej, zaś nie mutacyjnej.
45 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Można udowodnić że każda początkowa populacja której rozkład prędkości mutacji ma nieujemną funkcję gęstości zbiega (zbieżność słaba-*) do delty Diraca scentrowanej na optymalnej prędkości mutacji.
46 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Model, tak jak jest przedstawiony ma pewne wady: Jest mało przekonujący dla biologów (nawet teoretyków). Model nieskończony nie może uwzględniać dryfu genetycznego. Nie ma możliwości wprowadzenia mutowalności prędkości mutacji Rozwiązaniem jest (znów) zapisać model obliczeniowy i przeprowadzić symulacje na skończonej populacji.
47 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Model, tak jak jest przedstawiony ma pewne wady: Jest mało przekonujący dla biologów (nawet teoretyków). Model nieskończony nie może uwzględniać dryfu genetycznego. Nie ma możliwości wprowadzenia mutowalności prędkości mutacji Rozwiązaniem jest (znów) zapisać model obliczeniowy i przeprowadzić symulacje na skończonej populacji.
48 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Model, tak jak jest przedstawiony ma pewne wady: Jest mało przekonujący dla biologów (nawet teoretyków). Model nieskończony nie może uwzględniać dryfu genetycznego. Nie ma możliwości wprowadzenia mutowalności prędkości mutacji Rozwiązaniem jest (znów) zapisać model obliczeniowy i przeprowadzić symulacje na skończonej populacji.
49 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Model, tak jak jest przedstawiony ma pewne wady: Jest mało przekonujący dla biologów (nawet teoretyków). Model nieskończony nie może uwzględniać dryfu genetycznego. Nie ma możliwości wprowadzenia mutowalności prędkości mutacji Rozwiązaniem jest (znów) zapisać model obliczeniowy i przeprowadzić symulacje na skończonej populacji.
50 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Model, tak jak jest przedstawiony ma pewne wady: Jest mało przekonujący dla biologów (nawet teoretyków). Model nieskończony nie może uwzględniać dryfu genetycznego. Nie ma możliwości wprowadzenia mutowalności prędkości mutacji Rozwiązaniem jest (znów) zapisać model obliczeniowy i przeprowadzić symulacje na skończonej populacji.
51 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna Populacja rozmiaru pokoleń Zaczynamy od rozkładu jednostajnego tempa mutacji U[0, 4ρ ] Populacja początkowa jest idealnie przystosowana do środowiska
52 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna eta: 1 sigma: 1 Density Mutation stdev
53 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna eta: 1 sigma: 0.1 Density Mutation stdev
54 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna eta: sigma: 1 Density Mutation stdev
55 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna A co się stanie jeżeli tempo mutacji też będzie mutować? Model przestaje się nadawać do analitycznej analizy Być może istnieje jakaś uproszczona wersja Pozostaje model obliczeniowy Wzór na optymalną prędkość mutacji powinien dalej obowiązywać (prawie)
56 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna A co się stanie jeżeli tempo mutacji też będzie mutować? Model przestaje się nadawać do analitycznej analizy Być może istnieje jakaś uproszczona wersja Pozostaje model obliczeniowy Wzór na optymalną prędkość mutacji powinien dalej obowiązywać (prawie)
57 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna A co się stanie jeżeli tempo mutacji też będzie mutować? Model przestaje się nadawać do analitycznej analizy Być może istnieje jakaś uproszczona wersja Pozostaje model obliczeniowy Wzór na optymalną prędkość mutacji powinien dalej obowiązywać (prawie)
58 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna A co się stanie jeżeli tempo mutacji też będzie mutować? Model przestaje się nadawać do analitycznej analizy Być może istnieje jakaś uproszczona wersja Pozostaje model obliczeniowy Wzór na optymalną prędkość mutacji powinien dalej obowiązywać (prawie)
59 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna eta: 1 sigma: 1 Density Mutation stdev
60 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna eta: 1 sigma: 1 Density Mutation stdev
61 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna eta: 1 sigma: 1 Density Mutation stdev
62 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna eta: 1 sigma: 1 Density Mutation stdev
63 Podpopulacje ze zróżnicowanym tempem mutacji Analiza bioinformatyczna eta: 1 sigma: 1 Density Mutation stdev
64 Wstęp Wyniki Transpozony są to krótkie, mobilne sekwencje w genomie Posiadają zdolność do namnazania się w genomie Posiadają zdolność mutagenną (wstawienia w gen, przenoszenie sekwencji promotorowych transkrypcji i misregulacja genów) Uważane za junk DNA lub pasożytnicze DNA
65 Wstęp Wyniki Transpozony są to krótkie, mobilne sekwencje w genomie Posiadają zdolność do namnazania się w genomie Posiadają zdolność mutagenną (wstawienia w gen, przenoszenie sekwencji promotorowych transkrypcji i misregulacja genów) Uważane za junk DNA lub pasożytnicze DNA
66 Wstęp Wyniki Transpozony są to krótkie, mobilne sekwencje w genomie Posiadają zdolność do namnazania się w genomie Posiadają zdolność mutagenną (wstawienia w gen, przenoszenie sekwencji promotorowych transkrypcji i misregulacja genów) Uważane za junk DNA lub pasożytnicze DNA
67 Wstęp Wyniki Transpozony są to krótkie, mobilne sekwencje w genomie Posiadają zdolność do namnazania się w genomie Posiadają zdolność mutagenną (wstawienia w gen, przenoszenie sekwencji promotorowych transkrypcji i misregulacja genów) Uważane za junk DNA lub pasożytnicze DNA
68 Wstęp Wyniki Transpozony są to krótkie, mobilne sekwencje w genomie Posiadają zdolność do namnazania się w genomie Posiadają zdolność mutagenną (wstawienia w gen, przenoszenie sekwencji promotorowych transkrypcji i misregulacja genów) Uważane za junk DNA lub pasożytnicze DNA
69 Wstęp Wyniki Wiadomo że czynniki epigenetyczne biorą udział w regulacji transpozonów...ale czy jest możliwe aby kontrolować namnażanie transpozonów w organizmach nawet przy braku czynników epigenetycznych? Transpozony są przecież czynnikiem powodującym mutacje... Model analityczny jest oczywiście poza zasięgiem, ale...
70 Wstęp Wyniki Wiadomo że czynniki epigenetyczne biorą udział w regulacji transpozonów...ale czy jest możliwe aby kontrolować namnażanie transpozonów w organizmach nawet przy braku czynników epigenetycznych? Transpozony są przecież czynnikiem powodującym mutacje... Model analityczny jest oczywiście poza zasięgiem, ale...
71 Wstęp Wyniki Wiadomo że czynniki epigenetyczne biorą udział w regulacji transpozonów...ale czy jest możliwe aby kontrolować namnażanie transpozonów w organizmach nawet przy braku czynników epigenetycznych? Transpozony są przecież czynnikiem powodującym mutacje... Model analityczny jest oczywiście poza zasięgiem, ale...
72 Wstęp Wyniki
73 Tempo mutacji jest istotnym czynnikiem wpływającym na mechanizm ewolucji, jednakże samo też podlega mechanizmom ewolucji W przypadku zmiennego środowiska istnieje optymalne tempo mutacji, w kierunku którego organizmy ewoluują (a niekoniecznie regulują je czynnikami epigenetycznymi) Można udowodnić występowanie takiego zjawiska Tranzpozony, jak i inne czynniki zmieniające tempo mutacji gospodarza podlegają prawom ewolucji (i mamy modele które pozwalają badać JAK) W szczególności, transpozony w pewnych warunkach mogą być symbiontem dla gospodarza (pomagają przystosować się do nowego środowiska)
74 Tempo mutacji jest istotnym czynnikiem wpływającym na mechanizm ewolucji, jednakże samo też podlega mechanizmom ewolucji W przypadku zmiennego środowiska istnieje optymalne tempo mutacji, w kierunku którego organizmy ewoluują (a niekoniecznie regulują je czynnikami epigenetycznymi) Można udowodnić występowanie takiego zjawiska Tranzpozony, jak i inne czynniki zmieniające tempo mutacji gospodarza podlegają prawom ewolucji (i mamy modele które pozwalają badać JAK) W szczególności, transpozony w pewnych warunkach mogą być symbiontem dla gospodarza (pomagają przystosować się do nowego środowiska)
75 Tempo mutacji jest istotnym czynnikiem wpływającym na mechanizm ewolucji, jednakże samo też podlega mechanizmom ewolucji W przypadku zmiennego środowiska istnieje optymalne tempo mutacji, w kierunku którego organizmy ewoluują (a niekoniecznie regulują je czynnikami epigenetycznymi) Można udowodnić występowanie takiego zjawiska Tranzpozony, jak i inne czynniki zmieniające tempo mutacji gospodarza podlegają prawom ewolucji (i mamy modele które pozwalają badać JAK) W szczególności, transpozony w pewnych warunkach mogą być symbiontem dla gospodarza (pomagają przystosować się do nowego środowiska)
76 Tempo mutacji jest istotnym czynnikiem wpływającym na mechanizm ewolucji, jednakże samo też podlega mechanizmom ewolucji W przypadku zmiennego środowiska istnieje optymalne tempo mutacji, w kierunku którego organizmy ewoluują (a niekoniecznie regulują je czynnikami epigenetycznymi) Można udowodnić występowanie takiego zjawiska Tranzpozony, jak i inne czynniki zmieniające tempo mutacji gospodarza podlegają prawom ewolucji (i mamy modele które pozwalają badać JAK) W szczególności, transpozony w pewnych warunkach mogą być symbiontem dla gospodarza (pomagają przystosować się do nowego środowiska)
77 Tempo mutacji jest istotnym czynnikiem wpływającym na mechanizm ewolucji, jednakże samo też podlega mechanizmom ewolucji W przypadku zmiennego środowiska istnieje optymalne tempo mutacji, w kierunku którego organizmy ewoluują (a niekoniecznie regulują je czynnikami epigenetycznymi) Można udowodnić występowanie takiego zjawiska Tranzpozony, jak i inne czynniki zmieniające tempo mutacji gospodarza podlegają prawom ewolucji (i mamy modele które pozwalają badać JAK) W szczególności, transpozony w pewnych warunkach mogą być symbiontem dla gospodarza (pomagają przystosować się do nowego środowiska)
78 A co dalej? Co z organizmami płciowymi? Wstępne wyniki mówią że to samo, pod warunkiem że nie pozwalamy na dziedziczenie transpozonu osobno od jego efektu fenotyowego Model przestrzenny, umożliwiający studoiwanie zjawisk takich jak migracja lub kolonizacja nowego obszaru Kontynuacja walki o wyniki analityczne
79 A co dalej? Co z organizmami płciowymi? Wstępne wyniki mówią że to samo, pod warunkiem że nie pozwalamy na dziedziczenie transpozonu osobno od jego efektu fenotyowego Model przestrzenny, umożliwiający studoiwanie zjawisk takich jak migracja lub kolonizacja nowego obszaru Kontynuacja walki o wyniki analityczne
80 A co dalej? Co z organizmami płciowymi? Wstępne wyniki mówią że to samo, pod warunkiem że nie pozwalamy na dziedziczenie transpozonu osobno od jego efektu fenotyowego Model przestrzenny, umożliwiający studoiwanie zjawisk takich jak migracja lub kolonizacja nowego obszaru Kontynuacja walki o wyniki analityczne
81 A co dalej? Co z organizmami płciowymi? Wstępne wyniki mówią że to samo, pod warunkiem że nie pozwalamy na dziedziczenie transpozonu osobno od jego efektu fenotyowego Model przestrzenny, umożliwiający studoiwanie zjawisk takich jak migracja lub kolonizacja nowego obszaru Kontynuacja walki o wyniki analityczne
82 Dziękuję za uwagę!
Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoGeometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa
Geometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa Iwona Żerda Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Jagielloński 6 grudnia 2013 6 grudnia 2013 1 / 19 Plan prezentacji 1 Algorytm Gibbsa 2 Tempo zbieżności
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoStochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów
Stochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa 14
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoAutomatyczny dobór parametrów algorytmu genetycznego
Automatyczny dobór parametrów algorytmu genetycznego Remigiusz Modrzejewski 22 grudnia 2008 Plan prezentacji Wstęp Atrakcyjność Pułapki Klasyfikacja Wstęp Atrakcyjność Pułapki Klasyfikacja Konstrukcja
Bardziej szczegółowoWAE Jarosław Arabas Adaptacja i samoczynna adaptacja parametrów AE Algorytm CMA-ES
WAE Jarosław Arabas Adaptacja i samoczynna adaptacja parametrów AE Algorytm CMA-ES Dynamika mutacyjnego AE Mutacja gaussowska σ=0.1 Wszystkie wygenerowane punkty Wartość średnia jakości punktów populacji
Bardziej szczegółowoGRA Przykład. 1) Zbiór graczy. 2) Zbiór strategii. 3) Wypłaty. n = 2 myśliwych. I= {1,,n} S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 10 utils
GRA Przykład 1) Zbiór graczy n = 2 myśliwych I= {1,,n} 2) Zbiór strategii S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 3) Wypłaty jeleń - zając - 10 utils 3 utils U i : S n R i=1,,n J Z J Z J 5 0
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoZadanie 5 - Algorytmy genetyczne (optymalizacja)
Zadanie 5 - Algorytmy genetyczne (optymalizacja) Marcin Pietrzykowski mpietrzykowski@wi.zut.edu.pl wersja 1.0 1 Cel Celem zadania jest zapoznanie się z Algorytmami Genetycznymi w celu rozwiązywanie zadania
Bardziej szczegółowo1 Gaussowskie zmienne losowe
Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 13.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Dariusz Wrzosek 16 stycznia 2019 Matematyka dla biologów Zajęcia 13. 16 stycznia 2019 1 / 34 Plan: 1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ciagłym
Bardziej szczegółowo2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7
Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoMetody Statystyczne. Metody Statystyczne.
gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.
Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na
Bardziej szczegółowoSeria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoEkologia molekularna. wykład 6
Ekologia molekularna wykład 6 Tempo mutacji Tempo błędu polimerazy: 10-4 pomyłka polimerazy 10-8 po naprawie błędów Faktyczne tempo mutacji: 10-9/zasadę/pokolenie W genomie człowieka jest 3 x 109 zasad
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
Biomatematyka 91...... Zadanie 1. (8 punktów) Liczebność pewnej populacji jest opisana równaniem różniczkowym: dn = r N(α N)(N β), (1) dt w którym, N(t) oznacza liczebność populacji w chwili t, a r > 0
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoStrategie ewolucyjne (ang. evolu4on strategies)
Strategie ewolucyjne (ang. evolu4on strategies) Strategia ewolucyjna (1+1) W Strategii Ewolucyjnej(1 + 1), populacja złożona z jednego osobnika generuje jednego potomka. Kolejne (jednoelementowe) populacje
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne. Łukasz Przybyłek Studenckie Koło Naukowe BRAINS
Algorytmy ewolucyjne Łukasz Przybyłek Studenckie Koło Naukowe BRAINS 1 Wprowadzenie Algorytmy ewolucyjne ogólne algorytmy optymalizacji operujące na populacji rozwiązań, inspirowane biologicznymi zjawiskami,
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański
INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański Katedra Chemii Fizycznej i Fizykochemii Polimerów WPROWADZENIE DO STATYSTYCZNEJ OCENY WYNIKÓW DOŚWIADCZEŃ 1. BŁĄD I STATYSTYKA błąd systematyczny, błąd przypadkowy,
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoAKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowo1 Ciągłe operatory liniowe
1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych
Publiczna obrona rozprawy doktorskiej Twierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych Piotr Miłoś Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk 23.10.2008 Warszawa Plan 1 Układy
Bardziej szczegółowoTransformaty. Kodowanie transformujace
Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne
9 listopada 2010 y ewolucyjne - zbiór metod optymalizacji inspirowanych analogiami biologicznymi (ewolucja naturalna). Pojęcia odwzorowujące naturalne zjawiska: Osobnik Populacja Genotyp Fenotyp Gen Chromosom
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoAlgorytm genetyczny (genetic algorithm)-
Optymalizacja W praktyce inżynierskiej często zachodzi potrzeba znalezienia parametrów, dla których system/urządzenie będzie działać w sposób optymalny. Klasyczne podejście do optymalizacji: sformułowanie
Bardziej szczegółowoQuantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński
czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne - algorytmy genetyczne. I. Karcz-Dulęba
Algorytmy ewolucyjne - algorytmy genetyczne I. Karcz-Dulęba Algorytmy klasyczne a algorytmy ewolucyjne Przeszukiwanie przestrzeni przez jeden punkt bazowy Przeszukiwanie przestrzeni przez zbiór punktów
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka
Biomatematyka Niech X n oznacza proporcję pozycji w nici DNA, które po n replikacjach są obsadzone takimi samymi nukleotydami, jak w chwili początkowej, tak więc X 0 = 1. Zakładamy, że w każdej replikacji
Bardziej szczegółowoWykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu
Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe pojęcia z zakresu genetyki. 2 Podstawowy model dziedziczenia
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Projekt - zastosowania rachunku prawdopodobieństwa w genetyce Opracowanie: Antonina Urbaniak Podstawowe pojęcia z zakresu genetyki
Bardziej szczegółowoWykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoPorównanie modeli statystycznych. Monika Wawrzyniak Katarzyna Kociałkowska
Porównanie modeli statystycznych Monika Wawrzyniak Katarzyna Kociałkowska Jaka jest miara podobieństwa? Aby porównywać rozkłady prawdopodobieństwa dwóch modeli statystycznych możemy użyć: metryki dywergencji
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowo4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że
4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe
Bardziej szczegółowoAlgorytmy estymacji stanu (filtry)
Algorytmy estymacji stanu (filtry) Na podstawie: AIMA ch15, Udacity (S. Thrun) Wojciech Jaśkowski Instytut Informatyki, Politechnika Poznańska 21 kwietnia 2014 Problem lokalizacji Obserwowalność? Determinizm?
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe
Wprowadzenie do teorii ekonometrii Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Zajęcia Wykład Laboratorium komputerowe 2 Zaliczenie EGZAMIN (50%) Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
9 października 2008 ...czyli definicje na rozgrzewkę n-elementowa próba losowa - wektor n zmiennych losowych (X 1,..., X n ); intuicyjnie: wynik n eksperymentów realizacja próby (X 1,..., X n ) w ω Ω :
Bardziej szczegółowoTeoria ewolucji. Podstawowe pojęcia. Wspólne pochodzenie.
Teoria ewolucji Podstawowe pojęcia. Wspólne pochodzenie. Informacje Kontakt: Paweł Golik Instytut Genetyki i Biotechnologii, Pawińskiego 5A pgolik@igib.uw.edu.pl Informacje, materiały: http://www.igib.uw.edu.pl/
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoXVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne
XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne Zadanie. 4 Rozwiąż równanie 07 sin( ). Wiadomo, że: wyrażenie 4 przyjmuje wartości nieujemne dla każdego
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowo