Wycena egzotycznego instrumentu pochodnego stopy procentowej

Transkrypt

1 Wycena egzotycznego instrumentu pochodnego stopy procentowej Trigger Swap Andrzej Konieczek BRE Bank 16 maja 2008

2 Wstęp Trigger Swap charakterystyka instrumentu Model Brace-Gątarek-Musiela Implementacja Kalibracja Wyniki Problemy Potrzebne umiejętności

3 Wstęp Dlaczego wycena instrumentów pochodnych jest trudnym problemem? Nie można precyzyjnie określić prawa, które rządzi rynkiem rynek ulega ciągłej ewolucji Mamy do dyspozycji tylko jedną realizację "doświadczenia" Ceny instrumentów pochodnych zaburzone są premią za ryzyko kredytowe, niepłynność, użyteczność danej transakcji, podaż/popyt Zależność cen instrumentów pochodnych od parametrów nieobserwowalnych i niemożliwych do wyimplikowania z innych instrumentów Rynek jest niezupełny Bazuje na zaawansowanych metodach matematycznych (procesy stochastyczne, równania różniczkowe, metody numeryczne, statystyka) Konieczność doboru metod numerycznych pod kątem efektywnej implementacji

4 Wstęp Wycena za pomocą fundamentów Parametry modelu estymowane na podstawie danych historycznych i prognoz ekonomicznych/statystycznych Możliwość realizacji zysków z niedopasowania cen instrumentów pochodnych i właściwości statystycznych instrumentu podstawowego możliwość arbitrażu statystycznego Wyniki mogą się znacznie różnić w zależności od zakresu dat szeregów czasowych, częstotliwości próbkowania, typu danych (ceny kupna, sprzedaży, zamknięcia), użytego modelu ryzyko arbitrażu natychmiastowego Wycena względna Informacja o dynamice instrumentu podstawowego estymowana jest na podstawie cen innych instrumentów pochodnych Przy odpowiedniej kalibracji zbliżone ceny w różnych modelach Wymagana duża płynność podstawowych instrumentów pochodnych

5 Trigger Swap struktura wypłaty W kolejnych okresach odsetkowych strona A płaci stronie B - do momentu przekroczenia bariery H przez stawkę referencyjną LIBOR 6M odsetki wg stawki referencyjnej LIBOR 6M+1% - po przekroczeniu bariery H = 6% przez stawkę referencyjną odsetki wg stawki stałej 5% W zamian strona B płaci stronie A odsetki wg stawki LIBOR 6M L+1% L+1% L+1% 5% 5% uderzona L L L bariera L L

6 Trigger Swap struktura wypłaty W kolejnych okresach odsetkowych strona A płaci stronie B - do momentu przekroczenia bariery H przez stawkę referencyjną LIBOR 6M odsetki wg stawki referencyjnej LIBOR 6M+1% - po przekroczeniu bariery H = 6% przez stawkę referencyjną odsetki wg stawki stałej 5% W zamian strona B płaci stronie A odsetki wg stawki LIBOR 6M 5% 1% 1% 1% uderzona bariera L 5% L

7 Trigger Swap własności Wypłata w znacznym stopniu zależy od prawdopodobieństwa uderzenia w barierę korelacji pomiędzy stopą forward LIBOR i stopą forward IRS instrument wrażliwy na korelację stóp forward LIBOR model wielofaktorowy Monte Carlo Opcja barierowa, nieciągła wypłata problemy numeryczne przy liczeniu wrażliwości

8 Model Brace-Gątarek-Musiela Struktura czasowa 0 = T 0 < T 1 < < T N+1, T i+1 T i = δ L n (t) = 1 ( ) B(t,Tn ) δ B(t,T n+1 ) 1 gdzie dl n (t) L n (t) = n i=η(t) ρ in (t) σ n (t) σ i (t) δl i (t) dt + σ n (t) dwt n 1 + δl i (t) η(t) : T η(t) 1 t < T η(t) (SDE) Numeraire (spot LIBOR measure) d < W i,w j > t = ρ ij (t) dt η(t) 1 B(t) = B(t,η(t)) i=0 (1 + δl i (T i ))

9 Implementacja Funkcja chwilowej zmienności (przedziałami stała) { ki σ σ i (t) = i η(t)+1 t T i i = 1,...,N 0 t > T i Funkcja chwilowej korelacji ρ ij (t) = ρ β ij = e β T i T j i,j = 1,...,N, β > 0

10 Implementacja Dyskretyzacja równania (SDE) schemat Eulera 0 = t 0 < < t K, {T 0,...,T N+1 } {t 0,...,t K } Ŷ n (t) = ln(ˆl n (t)) Ŷ n (0) = ln(ˆl n (0)), ˆL n (0) = 1 ( ) B(0,Tn ) δ B(0,T n+1 ) 1 ( Ŷ n (t k+1 ) = Ŷ n (t k )+ ˆµ n (t k ) 1 ) 2 σ n 2 (t k ) (t k+1 t k )+σ n (t k ) t k+1 t k AZ k ˆµ n (t) = n i=η(t) ρ in (t) σ n (t) σ i (t) δ ˆL i (t) 1 + δ ˆL i (t) A : AA T = [ρ β ij ] Z k = [Z 1 k,...,z N k ]T, Z i k N(0,1), i.i.d.

11 Wycena [ ] N+1 X Tk PV t = B(t)E k=1 B(T k ) F t ) k 1 X Tk = (a k L k 1 (T k 1 ) + b k δ 1 {Li (T i )<H} i=0 Dla m = 1,...,M symulujemy trajektorie zgodnie z przyjętą dyskretyzacją indeks (m) oznacza m-tą realizację procesu (ˆL 1 (t),..., ˆL N (t)) ˆL (m) 0 (T 0 ) ˆL (m) 1 (T 0 )... ˆL (m) N (T 0) ˆL (m) 1 (T 1 )... ˆL (m) N (T 1).... ˆL (m) N (T N) ˆ PV 0 = ˆB(0) 1 M M m=1 N+1 k=1 ˆX (m) T k ˆB (m) (T k )

12 Kalibracja Założenia kalibracji Instrumenty do kalibracji powinny odzwierciedlać jak najlepiej ryzyko instrumentu wycenianego Ceny instrumentów wybranych do kalibracji powinny być bliskie cenom otrzymywanym w modelu Dynamika instrumentów podstawowych w modelu (w naszym przypadku stóp forward LIBOR) ma zachować sens ekonomiczny i statystyczny struktura terminowa zmienności i korelacji ma być zbliżona do statystycznej jednorodność w czasie (przyszła zmienność i korelacje prognozowane przez model mają być zbliżone do dzisiejszych) Stabilność, ciągłość małe zmiany parametrów wejściowych do kalibracji powinny implikować małe zmiany parametrów modelu

13 Kalibracja Cap seria następujących po sobie capletów Caplet opcja waniliowa na stopę procentową Wypłata z capleta : (L n (T n ) K) + δ w chwili T n+1 [ ] B(0) c n (K,T n,s n,k n ) = E B(T n+1 ) (L n(t n ) K) + δ F 0 = δb(0,t n+1 ) [L n (t)n(d 1 ) KN(d 2 )] 1 v Tn = T n d 1,2 = ln(l n(0)/k) ± 1 2 v2 T n T n v Tn Tn Tn n 1 σn 2 1 (t)dt = k n 0 T n σ n i 2 (T i+1 T i ) i=0 s n = ( σ 1,..., σ n )

14 Kalibracja Niech v mkt T i będą zmiennościami capletów (zmienności implikowane, forward-forward volatility) o cenie wykonania K i i czasie trwania T i dla i = 1,..., N, do których będziemy kalibrować model. Etap I Zakładamy k i = 1, i = 1,...,N s N = arg min N σ 1,..., σ N i=1 w 2 ( i vti ( σ 1,..., σ i ) v mkt ) 2 T i s N = ( σ 1,..., σ N) i 1 1 v Ti ( σ 1,..., σ i ) = T i σ i l 2 (T l+1 T l ) l=0 w i wagi dobierane w zależności od wymagań co do kalibracji (w i = vega minimalizacja odległości średniokwadratowej cen capletów)

15 Kalibracja Etap II Ten etap możemy pominąć jeżeli chcemy uzyskać model jednorodny w czasie. Dobieramy współczynniki k i tak, aby dokładnie dopasować ceny (zmienności implikowane) capletów k i = v mkt T i v Ti ( σ 1,..., σ N )

16 Kalibracja Etap III Estymacja parametru β dla macierzy korelacji może przebiegać na jeden z dwóch sposobów w zależności od danych wejściowych a) Wejściowa macierz korelacji [ρ input ij ] jest macierzą korelacji chwilowych (otrzymaną np. z estymacji z szeregu historycznego stóp forward LIBOR) β = argmin β N i,j=1 ( β ρ ij ) 2 ρinput ij

17 Kalibracja b) Wejściowa macierz korelacji [ρ input ij ] jest macierzą korelacji terminowych ρ input ij = E [( L i ( T) E[L i ( T)] )( L j ( T) E[L j ( T) )] E [ L i ( T) E[L i ( T)] ] 2 E [ L j ( T) E[L j ( T)] ] 2 T = min{t i,t j }

18 Kalibracja exp ρ β ij exp β = argmin β { exp T N i,j=1 ( β ρ ij ) 2 ρinput ij } 0 ρ ij(t)σ i (t)σ j (t)dt 1 { T 0 σ 2 i (t)dt } 1 { exp η( T) 1 { } η( T) 1 k=0 σ i k 2 (T k+1 T k ) exp { T 0 σ 2 j (t)dt } 1 } k=0 ρ β ij σ i k σ j k (T k+1 T k ) 1 1 exp = { η( T) 1 k=0 σ 2 j k (T k+1 T k ) } 1

19 Wyniki Błąd obliczeń statystyczny skończona próbka rzędu 1 M ( ) możemy oszacować s.e. = 1 1 M M 1 M i=1 (Y(i) Ȳ) 2 metody redukcji wariancji niedoskonałość generatora liczb pseudolosowych dyskretyzacja procesu skończony krok dyskretyzacji trudny do oszacowania ekstrapolacja błąd zaokrągleń numerycznych trudny do kontrolowania

20 Hedging w modelu (in-model) parametr hedgowany jest jednym z parametrów stochastycznych modelu (np. stopy forward LIBOR) poza modelem (out-of-model) parametr hedgowany jest jednym z ustalonych parametrów wejściowych do modelu (np. zmienność, korelacja) Wrażliwości i = PV(L i(0)) L i (0) ˆ PV 0 (L i (0) + ε) ˆ PV 0 (L i (0) ε) 2ε

21 Problemy Rozkład lognormalny Problem wielowymiarowy (macierz korelacji niepełnego rzędu, problem źle uwarunkowany) Duża złożoność obliczeniowa Niestabilność kalibracji Niedopasowanie modelu Nadparametryzacja modelu Błąd MC Interpolacja DF Ryzyko operacyjne

22 Potrzebne umiejętności Teoretyczne Zrozumienie podstaw teoretycznych matematyki finansowej Umiejętność wyprowadzania formuł, aproksymacji Metody numeryczne Ekonomiczne Zrozumienie zasad działania rynku Zrozumienie własności wycenianego instrumentu Zrozumienie własności używanych modeli Informatyczne/Techniczne Języki programowania (C++ najpopularniejszy) Techniki programowania (wzorce, struktury danych) Znajomość software u/hardware u (Excel, bazy danych, architektura komputera)

23 A. Brace, D. Gątarek, M. Musiela, The Market Model of Interest Rate Dynamics. Mathematical Finance Vol. 7, No , 1997 D. Brigo, F. Mercurio, Interest Rates Models Theory and Practice. Springer, 2001 P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer, 2004 P. E. Kloeden, E. Platen, Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, 1992 M. Musiela, M. Rutkowski, Continuous-Time Term Structure Models: Forward Measure Approach. Finance and Stochastics, 4, 1997