MOC OBIEKTÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH

Transkrypt

1 Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów Pomarów Elektrycznych Nr 64 Poltechnk Wrocławskej Nr 64 Studa Materały Nr 3 1 Józef NOWAK*, Grzegorz KOSOBUDZKI* moc chwlowa, moc czynna, moc berna, obekt elektroenergetyczny MOC OBIEKÓW ELEKROENERGEYCZNYCH W tym artykule zagadnene mocy obektów elektroenergetycznych przedyskutowano od podstaw. Obekt elektroenergetyczny potraktowano ogólne jako przestrzeń ogranczoną zamknętą powerzchną, którą przebjają przewody wodące prąd. Pokazano, że znane równane określające moc chwlową otrzymuje sę z równana mocy pola elektromagnetycznego przy jednym tylko założenu, że energa elektryczna jest przekazywana mędzy obektem a resztą systemu elektroenergetycznego tylko za pomocą przewodów. Pokazano równeż, że powerzchne pętl utworzone przez charakterystyk obektów w odpowednch układach współrzędnych określają moc czynną moc berną w sposób jednoznaczny. 1. WPROWADZENIE Moc obwodu prądu stałego jest określona przez równane P = U I, (1) które wynka wprost z podstawowych defncj napęca, prądu mocy. Prąd stały w neogranczonym czase jest jednak przebegem szczególnym, teoretycznym. Ogólne znaczene ma moc chwlowa p = u. () Ne jest natomast jednoznaczne wadome, czy równane () może być stosowane do dowolnych przebegów napęca prądu. W równanach defnujących pracę moc czynną 1 W = u dt, P = udt (3) * Poltechnka Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów Pomarów Elektrycznych, ul. Smoluchowskego 19, 5-37 Wrocław, e-mal: grzegorz.kosobudzk@pwr.wroc.pl

2 48 przyjmuje sę bowem, że przebeg napęca prądu są cągłe okresowe o okrese. W szczególnym przypadku, gdy przebeg napęca prądu jest snusodalny moc czynna jest równa ( ω ϕ) u = U snω t, = I sn t, (4) UI P = snωt sn( ωt ϕ) dt = UI cosϕ. (5) Energ pola elektromagnetycznego ne można przetworzyć na pracę całkowce, gdyż w procese przetwarzana koneczna jest obecność pola elektrycznego magnetycznego. W elektrotechnce pojawło sę zatem, nestosowane wcześnej, pojęce pracy bernej mocy bernej. Ogólne, pracę berną można rozumeć jako dzałane ne prowadzące bezpośredno do celu, czyl dzałane ortogonalne do efektu. Według takego ogólnego pojęca pracy bernej została przypadkowo poprawne zdefnowana moc berna dla przebegów snusodalnych. Przebeg prądu w równanu (5), określającym moc czynną, został zamenony na przebeg ortogonalny. Dla przebegów snusodalnych tę operację potraktowano jednak jako obrócene wektora prądu o kąt prosty UI Q = snωt cos( ωt ϕ) dt = UI snϕ. (6) Z równań (5) (6) wynka formalna zależność P + Q = S, (7) gdze S = UI (8) moc pozorna. Na podstawe równana (7) w elektrotechnce utrwalło sę przekonane, że moce: czynna berna są wzajemne prostopadłe równeż dla przebegów nesnusodalnych oraz, że procesy energetyczne przebegają tak, aby zachowana była moc pozorna (8), którą traktuje sę jako podstawową welkość elektroenergetyczną. e błędne twerdzena spowodowały, że dla przebegów nesnusodalnych ne ma an jednoznacznej nterpretacj, an jednoznacznej defncj mocy bernej [1]. Znana dotąd stosowana jest defncja C.I. Budeanu [] podana w roku 197. Poneważ dla przebegów nesnusodalnych moc czynną można przedstawć w postac szeregu

3 481 P = U I = węc przez analogę do (6) Budeanu zdefnował moc berną cosϕ, (9) Q B = U =1 I snϕ. (1) Moc Q B jest addytywna prostopadła do mocy czynnej. Ne spełna jednak równana (7) trójkąta mocy. Z nerównośc Cauchy ego wynka bowem, że P B + Q S. (11) Aby spełnć warunek zachowana mocy pozornej Budeanu wprowadzł dodatkowy składnk prostopadły do mocy czynnej P mocy bernej Q B zwany mocą deformacj (symbol D). W ten sposób powstał prostopadłoścan mocy, w którym S = P + QB + D. (1) Moc deformacj ne jest nestety addytywna, jest węc tylko formalną, a ne rzeczywstą marą zjawsk energetycznych. Stwerdzono, że moc deformacj ne ma zwązku z odkształcenem prądu względem napęca, a moc berna Q B ne jest przydatna do poprawy współczynnka mocy [1]. Wynka stąd, że mocy bernej dla przebegów nesnusodalnych ne da sę otrzymać podobne jak dla przebegów snusodalnych, przez obrót wypadkowego wektora prądu o kąt prosty. Jeśl wartośc: rezystancj R, ndukcyjnośc L pojemnośc C obwodu elektrycznego (rys. 1) są stałe, to prąd r płynący przez elementy reaktancyjne L C jest ortogonalny do prądu a płynącego przez rezystancję R. ę właścwość wykorzystał S. Fryze [3] (rok 1931) do zdefnowana mocy bernej prądów odkształconych. Poneważ = a + r, (13) a prądy a r są ortogonalne, węc ch wartośc skuteczne spełnają równane I = I a + I r. (14) Mnożąc to równane przez kwadrat wartośc skutecznej przyłożonego do obwodu napęca otrzymuje sę Q F S = P +. (15)

4 48 Warunek trójkąta mocy dla obwodu (rys. 1) dowolnego przebegu napęca zaslającego jest węc spełnony. Ale zdefnowana na podstawe równana (15) moc berna Q F ne jest addytywna. Ne jest węc mocą berną dowolnych obektów, a tylko obwodu (rys. 1). W ogólnym przypadku, obektu elektroenergetycznego ne da sę bowem zastąpć prostym lnowym obwodem elektrycznym. a r u R L C Rys. 1. Przykładowy obwód elektryczny Fg. 1. he example of electrc al crcut Poszukwana rozkładów prądu na składowe ortogonalne są jednak kontynuowane są uznawane za prawdłowy kerunek rozwoju teor mocy mmo stwerdzena, że nektóre składnk mocy, zdefnowane na podstawe znalezonych rozkładów, są błędne [1]. Praktycznym osągnęcem około osemdzesęcoletnch poszukwań jest znalezene optymalnej wartość pojemnośc, która dołączona do obwodu powoduje mnmalzację wartośc skutecznej prądu [4,5]. Moc berna ma opsywać podstawowe zjawska w procese przemany energ elektrycznej na pracę cepło wynkające z obecnośc pola elektrycznego magnetycznego. Mus węc być jednoznaczna addytywna podobne jak moc czynna. Mus być zawsze równa zeru, gdy energa elektryczna jest w obekce całkowce rozpraszana. Pownna być zdefnowana w dzedzne czasu, a ne za pomocą przyblżonych szeregów (postulat Fryzego [3]). Brak dotychczas jednoznacznej defncj nterpretacj mocy bernej wskazuje, że właścwośc procesów energetycznych trzeba przeanalzować od podstaw. Z przedstawonej w nnejszym artykule dyskusj wynka, że dla przebegów napęca prądu występujących w warunkach rzeczywstych można otrzymać defncję mocy bernej na podstawe ogólnych pojęć elektrodynamk, ale defncja ta ne ma właścwośc formalnych charakteryzujących defncję dla przebegów snusodalnych.. MOC POLA ELEKROMAGNEYCZNEGO Moc chwlowa pola elektromagnetycznego w objętośc V ogranczonej zamknętą powerzchną S jest równa strumenow wektora Poyntnga

5 483 Π = E H, (16) który przenka przez tę powerzchnę p = S D B Π ds = E j dv + E + H dv. (17) t t V Równane (17) otrzymuje sę bezpośredno z podstawowych równań elektrodynamk przez tożsamoścowe przekształcena. Wynka z nego, że w przestrzen o objętośc V zachodz przemana energ elektrycznej na pracę cepło, która może odbywać sę równeż przy prądze stałym oraz dynamczna wymana energ pola elektrycznego magnetycznego. Procesy te ne są nezależne. Przemana energ pola elektromagnetycznego na pracę może bowem zachodzć tylko w obecnośc pola elektrycznego magnetycznego a wymane energ pola elektrycznego magnetycznego towarzyszy zwykle jej rozpraszane. W stałym polu elektrycznym magnetycznym równane (17) redukuje sę do postac (1). Z równana (17) wynka ponadto, że nformacja o procesach energetycznych zachodzących w przestrzen o objętośc V jest dostępna tylko na powerzchn ogranczającej tę przestrzeń. V 3. MOC CHWILOWA OGIEKU ELEKROENERGEYCZNEGO W systemach elektroenergetycznych energa elektryczna jest przenoszona mędzy obektem a resztą systemu praktyczne tylko przez prąd w przewodach. Ogólne, obekt elektroenergetyczny można węc traktować jako przestrzeń ogranczoną zamknętą powerzchną, którą przebjają przewody wodące prąd (rys. ). 1 OBIEK u 1 u k u k u n n Rys.. Obekt elektroenergetyczny Fg.. he electrcal object

6 484 Prawe cała powerzchna zamknęta ogranczająca obekt jest ekwpotencjalna; jest to zwykle powerzchna metalowej osłony obektu o zerowym potencjale. Gradenty potencjału występują tylko w poblżu przewodów. Na rysunku 3 jest przedstawony przykładowy rozkład natężena pola elektrycznego magnetycznego wokół jednego z przewodów (k-tego). P k Fragment powerzchn ekwpotencjalnej ds k H lk E rk Π nk Q k uk k Rys. 3. Rozkład natężena pola elektrycznego magnetycznego wokół k-tego przewodu przechodzącego przez powerzchnę ekwpotencjalną otaczającą obekt Fg. 3. Decomposton of the electrc and magnetc feld strength around k-th wre whch pass through the equpotental surface enclosed object Moc pola elektromagnetycznego w przestrzen ogranczonej zamknętą powerzchną można określć za pomocą składowej stycznej E r natężena pola elektrycznego składowej H l natężena pola magnetycznego równeż stycznej do powerzchn prostopadłej do E r. Składowa normalna wektora Poyntnga jest wtedy równa a strumeń wektora Poyntnga Π = E H, (18) n r l Π ds = p. (19) n Składowa normalna wektora Poyntnga na powerzchn ekwpotencjalnej jest równa zeru, gdyż na tej powerzchn jest równa zeru składowa styczna natężena pola

7 485 elektrycznego. Zatem strumeń wektora Poyntnga przenkający przez zamknętą powerzchnę otaczającą obekt jest równy n n Pk n ds = Erk Hlk dsk = Erk k= 1 k= 1 Q k ( Hlk dlk ) drk Π, () gdze P k punkty leżące na powerzchn ekwpotencjalnej, Q k punkty, w których poszczególne przewody przebjają zamknętą powerzchnę (rys. ). Poneważ równane Hlk dlk = k (1) zachodz na każdej drodze zamknętej obejmującej poszczególne przewody jest nezależne od współrzędnych r k, a całk Pk Erk drk = uk () Q k określają napęca poszczególnych przewodów względem potencjału powerzchn ekwpotencjalnej, węc moc chwlowa obektu jest równa p = n k= 1 u k k, (3) Znane równane (3) określające chwlową moc elektryczną otrzymuje sę węc z równana chwlowej mocy pola elektromagnetycznego (17) przy jednym tylko założenu, że energa elektryczna jest przenoszona mędzy obektem resztą systemu elektroenergetycznego tylko za pomocą prądu w przewodach. Znak mnus w równanach (17) (3) ma znaczene formalne zależy od tego, czy do przestrzen ogranczonej zamknętą powerzchną (obektu) energa elektryczna jest dostarczana, czy jest z obektu odberana. Znak plus jest stosowany, gdy energa elektryczna jest dostarczana. Z podstawowej właścwośc prądu cągłośc wynka, że suma prądów we wszystkch przewodach przechodzących przez powerzchnę otaczającą obekt jest w każdej chwl równa zeru. n k k = 1 =. (4)

8 486 Jeśl z równana (4) wyznaczy sę na przykład prąd n podstaw do równana (3), to otrzyma sę równane n = 1 k= 1 ( u u ) p, (5) k które pokazuje, że napęca u k w równanu (3) ne są jednoznaczne; mogą być różncą potencjałów poszczególnych przewodów potencjału n-tego lub każdego nnego przewodu. Do n przewodów można także dodać jeszcze jeden przewód, w którym prąd jest zawsze równy zeru od tego przewodu merzyć wszystke napęca u k. Odnesenem może być węc każdy wspólny punkt o dowolnym potencjale. W zależnośc od potencjału przyjętego punktu wspólnego, obekt można podzelć w różny sposób na częśc zwązane z poszczególnym przewodam, a moc całkowta będze sumą mocy wszystkch częśc. Welkość o takej właścwośc jest addytywna, czyl na przykład dla dowolnych dwu częśc obektu (A B) zachodz równość ( A B) = p( A) p( B) n k p + +. (6) Addytywność jest podstawową cechą welkośc opsujących rzeczywste właścwośc energetyczne obektów. Jeśl są stosowane welkośc addytywne, to równana wystarczy odnosć tylko do jednego przewodu (obwodu). 4. PRACA I MOC CZYNNA Praca moc czynna (3) są określone przez loczyn skalarny dwóch funkcj: napęca u(t) prądu (t). Funkcje te ne muszą być okresowe. Ogólne, jest czasem cyklu przemany energ, po którym napęce prąd wracają do stanu początkowego. Pracę prądu można zapsać także w postac W u dq = A u, q = (7) lub w postac W = d =, (8) ψ A, ψ gdze: q = dt ładunek elektryczny, ψ = udt zastępczy strumeń magnetyczny.

9 487 Welkośc A u, q A, ψ oznaczają powerzchne pętl, jake tworzą charakterystyk obektu we współrzędnych u,q we współrzędnych, ψ. Czas jest teraz jednoznaczne określony: jest to czas pełnego obegu pętl. Na rysunku 4 jest przedstawona przykładowa pętla utworzona przez charakterystykę obektu zaslanego napęcem stałym. Proces przemany energ rozpoczął sę w chwl włączena napęca ujemnego. Po osągnęcu przez prąd stanu ustalonego zmenono begunowość napęca. Przy dodatnm napęcu obekt pracował przez dłuższy czas aż do wyłączena napęca. Wyłączene napęca nekoneczne mus spowodować, że obekt wróc do stanu początkowego. Pętla sę ne domkne, jeśl na przykład w obekce zostane zamrożony strumeń magnetyczny. Potrzebne jest wtedy wymuszone domknęce pętl. Pozostającą w obekce energę traktuje sę bowem jako straconą. Powerzchna pętl (rys. 4) ne jest dokładne równa loczynow napęca, prądu czasu trwana procesu. Jest mnejsza z powodu wystąpena procesów relaksacyjnych. A, ψ U I. (9) Rys. 4. Przykładowa charakterystyka obektu zaslanego prądem stałym Fg. 4. he example of the dc current load characterstc Praca moc czynna są welkoścam addytywnym, gdyż są lnowym przekształcenam welkośc addytywnej mocy chwlowej. Relacja P U I (3) wynka ne tylko z przebegu pętl we współrzędnych, ψ ; ale jest dowedzona formalne (nerówność Schwarza). Równość zachodz tylko wtedy, gdy wartośc chwlo-

10 488 we prądu są proporcjonalne do odpowednch wartośc chwlowych napęca. Iloczyn wartośc skutecznych napęca prądu defnuje moc pozorną (8). Moc pozorna jest najwększą wartoścą mocy czynnej, która może wystąpć przy danej wartośc skutecznej napęca prądu. Jest węc szczególną wartoścą, a ne welkoścą oczywśce ne jest welkoścą addytywną. 5. MOC BIERNA Uogólnoną defncję mocy bernej otrzymuje sę na podstawe ogólnej defncj pracy (3), ale ne przez obrót wypadkowego wektora prądu o kąt prosty, lecz przez zamanę jednej z dwu funkcj u(t) lub (t) (tworzących loczyn skalarny) na odpowedną funkcję ortogonalną. Poneważ praca moc czynna są jednoznaczne określone dopero wtedy, gdy zamkne sę pętla we współrzędnych q,u lub,ψ węc funkcje u(t) oraz (t) muszą spełnać warunk: u() = u(), () = (). Funkcjam ortogonalnym do takch funkcj są na przykład ch pochodne du d u =, =, (31) dt dt ale ne tylko. Pochodna prądu ma jednak szczególną właścwość: jest zawsze funkcją ogranczoną, gdyż podstawową właścwoścą prądu jest jego cągłość. Iloczyn skalarny napęca pochodnej prądu u dt = A, = u d (3) u jest równy powerzchn pętl, jaką tworzy charakterystyka obektu we współrzędnych, u. Jeśl powerzchna A,u jest marą mocy bernej, to dla obektu całkowce rozpraszającego energę elektryczną powerzchna ta pownna być równa zeru. Obektem całkowce rozpraszającym energę elektryczną jest dealny rezystor, czyl obekt, którego pojemność ndukcyjność są zerowe. Idealny rezystor ne mus być lnowy. Jego charakterystyka prądowo napęcowa mus być jednak jednoznaczna, czyl ne może tworzyć pętl. Powerzchna A,u takego obektu jest węc tożsamoścowo równa zeru. Obekty, których charakterystyk prądowo napęcowe tworzą pętlę są generatoram parametrycznym, ne rozpraszają węc całkowce energ elektrycznej. Dla snusodalnych przebegów napęca prądu (4) pole powerzchn pętl (3) (elpsy) wynos

11 489 A u, = π U I snϕ ; (33) ne jest węc równe, ale proporcjonalne do znanej defncj mocy bernej. Aby zachować zgodność z powszechne przyjętym równanem defnującym moc berną dla przebegów snusodalnych (6), należy wprowadzć czynnk normujący. Uogólnona na przebeg nesnusodalne moc berna ma węc postać równana 1 u 1 Q dt A, u π = π = (34) jest welkoścą addytywną, podobne jak moc chwlowa moc czynna. Rozpraszane energ elektrycznej oraz gromadzene energ elektrycznej w postac pola elektrycznego magnetycznego można w przyblżenu modelować za pomocą obwodu elektrycznego (rys. 1). Prąd poberany przez ten obwód zależy od przyłożonego napęca według równana u du = + 1 ψ + C, (35) R L dt które jest lnowe równeż wtedy, gdy parametry R, L C ne są stałe. W praktyce, parametry obwodu zastępczego są jednak traktowane jako stałe uśrednone. Uogólnona moc berna obwodu zastępczego (rys. 1) jest określona przez równane 1 Q = πr 1 πl C π uu dt + u dt + uu dt, (36) które otrzymuje sę, gdy w równanu (34) uwzględn sę pochodną prądu oblczoną z równana (35). Perwsza całka po prawej strone równana (36) jest równa zeru, gdyż funkcja u (t) jest ortogonalna do funkcj u(t). Całka druga jest proporcjonalna do wartośc skutecznej napęca 1 Q = u dt = U πl πl Całka trzeca, po przekształcenu jest równa C C Q = uu dt = π π ( u ) dt = ( U ). (37) C π, (38) gdze U wartość skuteczna pochodnej napęca. Wynk całkowana dowodzą, że uogólnona moc berna zależy tylko od parametrów reaktancyjnych obwodu parametrów przyłożonego do obwodu napęca, czyl tak, jak być pownno.

12 49 1 Q = Q + Q = U π L C U ( ). (39) Z równana (39) wynka, że moc berną obektu można skompensować do zera stosując kondensator o odpowedno dobranej pojemnośc. Optymalną pojemność otrzymuje sę z warunku zerowana sę mocy bernej Q Q = π. (4) C k (opt.) ( U ) Występująca w równanu (4) uogólnona moc berna Q jest merzona przed dołączenem do obektu kondensatora o pojemność C k(opt.) lub przed zmaną wartośc tej pojemnośc. Wynk (4) jest dokładne równoważny pojemnośc optymalnej otrzymanej przez Shepherda Zakkhanego [4] na podstawe rozkładu napęca prądu na składowe harmonczne oraz przez Kustersa Moore a [5] na podstawe rozkładu prądu na składowe ortogonalne. Dołączene do obektu optymalnej pojemnośc lub osągnęce zerowej wartośc uogólnonej mocy bernej powoduje mnmalzacje wartośc skutecznej prądu nezależne od rezystancj w obwodze zastępczym. a) b) 1. u[v] Ψ [Vs] [A] q[mc] -4-4 Rys. 5. Charakterystyk we współrzędnych prąd, napęce a) we współrzędnych ładunek elektryczny, zastępczy strumeń magnetyczny b) obektu nelnowego całkowce rozpraszającej energę elektryczną, otrzymano na podstawe równań (4) (43) dla: I 1 = 1 A, I 3 = 1/3 A, a = 1 Ω, a = 1 Ω/A Fg. 5. he characterstcs of the nonlnear object k-th part completely dsspatng electrc energy, n current-voltage coordnates a) and n electrc charge-equvalent magnetc flux coordnates b). he characterstcs were obtaned from equatons (4) and (43) for: I 1 = 1 A, I 3 = 1/3 A, a = 1 Ω, a = 1 Ω/A Funkcją ortogonalną do prądu jest ne tylko jego perwsza pochodna, ale każda pochodna rzędu neparzystego oraz każda welokrotna całka o neparzystej welokrotnośc. Na przykład całka pojedyncza prądu tworzy z napęcem u loczyn skalarny

13 491 uqdt = qdψ = A, q = ψ dq, (41) ψ którego obrazem geometrycznym jest powerzchna pętl we współrzędnych q,ψ. Powerzchna pętl (41) ne może być jednak podstawą defncj mocy bernej, gdyż ne zawsze jest równa zeru, gdy energa elektryczna jest w obekce całkowce rozpraszana. Dla prądu zawerającego perwszą trzecą harmonczną = I1 snω t + I3 cos3ωt, (4) gdy współczynnk proporcjonalnośc napęca prądu zależy od prądu jednoznaczne według równana a R = a +, (43) otrzymuje sę charakterystyk we współrzędnych, u oraz we współrzędnych q, ψ o przebegach przedstawonych na rysunku 5. Charakterystyka we współrzędnych, u jest odcnkem ln wskazuje prawdłowo brak mocy bernej, natomast charakterystyka we współrzędnych q, ψ tworzy pętlę o powerzchn nerównej zeru. Powerzchna pętl we współrzędnych,u określa uogólnoną moc berną jednoznaczne; jest zawsze równa zeru, gdy energa elektryczna jest w obekce całkowce rozpraszana. Pętle we wszystkch nnych współrzędnych ne mają tej właścwośc. Równeż moc berna zdefnowana na przykład według koncepcj Budeanu ne zawsze jest równa zeru, gdy energa elektryczna jest w obekce całkowce rozpraszana. 6. PODSUMOWANIE Obekt elektroenergetyczny można ogólne traktować jako przestrzeń ogranczoną zamknętą powerzchną, którą przebjają przewody wodące prąd elektryczny. Znana zależność określająca moc chwlową obektu elektroenergetycznego wynka z mocy pola elektromagnetycznego przy jednym tylko założenu, że energa elektryczna jest przekazywana mędzy obektem a resztą systemu elektroenergetycznego za pomocą prądu w przewodach. Energ pola elektromagnetycznego ne można przekształcć na pracę całkowce. Przekształcene może bowem wystąpć tylko w obecnośc pola elektrycznego magnetycznego. Przyjęto węc, że pole elektromagnetyczne wykonuje pracę czynna pracę berną. Praca czynna jest jednoznaczne określona dopero wtedy, gdy zamkne sę pętla jaką charakterystyka obektu tworzy we współrzędnych napęce, ładunek elektryczny (u,q) lub we współrzędnych prąd, zastępczy strumeń magnetyczny (,ψ ). Moc czynna jest równa pracy czynnej podzelonej przez czas pełnego obegu pętl.

14 49 Moc berna jednoznaczne jest zdefnowana tylko dla snusodalnych przebegów napęca prądu. Równane określające moc berną otrzymano na podstawe równana mocy czynnej przez obrót wektora prądu o kąt prosty. Dla przebegów nesnusodalnych defncje mocy bernej oparte na koncepcj obrotu harmoncznych prądu o kąt prosty oraz na koncepcj rozkładu prądu na składowe ortogonalne są błędne. Ogólne, praca berna jest wykonywana wtedy, gdy dzałane jest ortogonalne do efektu. Aby węc otrzymać pracę berną należy jedną z funkcj w loczyne skalarnym defnującym pracę czynna zamenć na odpowedną funkcję ortogonalną. Pracę prądu określa loczyn skalarny napęca prądu jako funkcj czasu. Funkcje te na krańcach przedzału muszą przyjmować te same wartośc, gdyż pętle we współrzędnych (u, q) (,ψ ) muszą sę zamknąć. Funkcją ortogonalną do takej funkcj prądu jest pochodna prądu. Iloczyn skalarny napęca pochodnej prądu jest równy powerzchn pętl we współrzędnych, u. Powerzchna pętl we współrzędnych, u jest jednoznaczną marą mocy bernej uogólnonej na wszystke przebeg napęca prądu występujące w rzeczywstośc. Jest zawsze równa zeru, gdy energa elektryczna w obekce jest całkowce rozpraszana. Jeśl uogólnona moc berna obwodu jest równa zeru, to wartość skuteczna prądy w tym obwodze osąga mnmum. Uogólnona moc berna jest addytywna podobne jak moc czynna moc chwlowa. Jest jednak nezależna od mocy czynnej, ne spełna warunku trójkąta mocy, ne jest prostopadła do mocy czynnej a jej wartośc mogą być wększe od mocy pozornej. LIERAURA [1] CZARNECKI L.S., Moce w obwodach elektrycznych z nesnusodalnym przebegam prądów napęć, Ofcyna Wydawncza Poltechnk Warszawskej, Warszawa 5. [] BUDEANU C.I., Puccences reactves et fctves, Insttut Roman de L Energa, Bucharest 197. [3] FRYZE S., Moc rzeczywsta, urojona pozorna w obwodach elektrycznych o przebegach odkształconych prądu napęca, Przegląd Elektrotechnczny, 1931, nr 7, s [4] SHEPHER W., ZAKIKHANI P., Suggestet defnton of reactve power for nonsnusodal systems, Proc. IEE, 197, Vol. 119, No. 9, s [5] KUSERS N., L., MOORE W.J.M., On the defnton of rectwe power under nonsnusodal condtons, IEEE rans. Pow. Appl. Syst., 198, Vol. PAS-99, s A POWER OF ELECRICAL OBJEC he problem of defnton electrcal power of systems objects was presented and dscussed. he electrcal systems object s consder as the space enclosed by surface. he energy s delvered to object by wres passes through the surface. he surface loops drawn by characterstcs n adequate coordnate determne actve and reactve power. Some propertes of reactve power defned n ths way are presented.