Przetwarzanie równoległe

Transkrypt

1 Przetwarzanie równoległe Kostka równoległe przesyłanie i przetwarzanie Rafał Malinowski, Marek Musielak

2 1. Cel projektu: Celem projektu było stworzenie i przetestowanie oprogramowania działającego na serwerze transputerów Politechniki Poznańskiej. Architektura zbudowana z transputerów, na której działać miało oprogramowani, to kostka, a sposób komunikacji to przetwarzanie i komunikacja jednoczesna (1 przesłanie między sąsiednimi procesorami, przetwarzanie po odbiorze całości danych - dla siebie i dla sąsiadów; jednocześnie wysyłanie danych dla sąsiadów i obliczenia). 2. Architektura: Na serwerze transputerów zbudowano następującą architekturę: Rysunek 2.1 Architektura kostka zbudowana z transputerów Do transputerów przydzielono procesy połączone ze sobą w następujący sposób: Rysunek 2.2 Przydział procesów do transputerów

3 3. Model idealny: a) Wykres Gantt'a: Dla tak przygotowanej architektury stworzono wykres Gantt'a przedstawiający zależności czasowe między komunikacją a obliczeniami. Wykres ten, przy założeniu równych czasów przesyłania danych między transputerami i równych czasów obliczeń na transputerach, wyglada następująco: Wykres 3.1 Wykres Granta dla modelu idealnego. Liczby poprzedzone strzałkami oznaczają numer transputera, do którego przesyłane są dane.

4 b) Wyznaczenie parametrów systemu: W celu wyznaczenia parametrów systemu napisane zostały programy: badający czas przesyłania danych, badający czas obliczania danych. Przy obliczaniu czasu przesyłania danych założono, że każde łącze posiada tzw. startup time, czyli stały czas potrzebny na zainicjowanie łącza. Wyznaczając prędkość łączy przeprowadzono test polegający na przesłaniu przez łącza kolejno 10000, 15000,..., liczb. Wyniki otrzymane w ten sposób prezentuje następujący wykres (fakt, że wykres wygląda jakby znajdowały się na nim wyniki jedynie dwóch serii pomiarów, spowodowany jest faktem, że wszystkie łącza poziome (pionowe), mają jednakową prędkość) : Czas przesyłania liczb przez łącza: poziome i pionowe Czas w jednostkach zegara transputerowego Liczba przesyłanych liczb Czas trwania przesyłania liczb przez łącze poziome Czas trwania przesyłania liczb przez łącze pionowe Wykres 3.2 Czasy przesyłania liczb przez łącza: poziome i pionowe Na podstawie wyników, metodą regresji obliczono sth i stv (startup time dla łącza poziomego i pionowego) oraz dth i dtv (czasy przesłania jednostki danych). Wyniosły one odpowiednio (w jednostkach procesora): sth 23,30, stv 25,47, dth 2,25, dtv 4,40.

5 Przy wyznaczaniu czasu obliczania danych na transputerach posłużono sie programami testującymi, które dla każdego transputera, dla liczby danych od do (z krokiem 5000), trzykrotnie wyznaczyły czas obliczania przez niego takiej liczby danych. Funkcja, jaką zastosowano, to y = x^10. Wyniki te następnie uśredniono i zebrano w tabeli: TR0 TR1 TR3 TR4 TR6 TR7 TR9 TR Tabela 3.1 Średnie czasy obliczania funkcji y = x^10 na transputerach dla danej liczby zmiennych x Na podstawie zgromadzonych wyników, metodą regresji, obliczono dla każdego transputera cti (czasy obliczania funkcji y = x^10 dla jednej liczby). Wynoszą one: TR ct 40,80 40,22 40,70 40,22 40,80 40,22 40,80 40,22

6 c) Model matematyczny: Na podstawie wykresu Grantt'a (Wykres 3.1) oraz wyliczonych parametrów, sporządzono model matematyczny minimalizujący czas wyliczenia wszystkich danych (czyli innaczej mówiąc minimalizujący liczbę danych obliczanych na TR3), o następujących ograniczeniach: d0+d1+d3+d4+d6+d7+d9+d10 = data d10t0t1 + d10t0t9 + d10t4t1 + d10t4t7 + d10t6t7 + d10t6t9 = d10 d1t0 + d1t4 = d1 d7t4 + d7t6 = d7 d9t0 + d9t6 = d9 ct3*d3 >= stv + dtv * (d0 + d1t0 + d9t0 + d10t0t1 + d10t0t9) + ct0*d0 ct3*d3 >= sth + dth * (d4 + d1t4 + d7t4 + d10t4t1 + d10t4t7) + ct4*d4 ct3*d3 >= stv + dtv * (d6 + d7t6 + d9t6 + d10t6t7 + d10t6t9) + ct6*d6 ct0*d0 >= sth + dth * (d1t0 + d10t0t1) + ct1*d1 ct0*d0 >= stv + dtv * (d9t0 + d10t0t9) + ct9*d9 ct4*d4 >= stv + dtv * (d1t4 + d10t4t1) + ct1*d1 ct4*d4 >= stv + dtv * (d7t4 + d10t4t7) + ct7*d7 ct6*d6 >= sth + dth * (d7t6 + d10t6t7) + ct7*d7 ct6*d6 >= stv + dtv * (d9t6 + d10t6t9) + ct9*d9 ct1*d1 >= stv + dtv * (d10t0t1 + d10t4t1) + ct10*d10 ct7*d7 >= stv + dtv * (d10t4t7 + d10t6t7) + ct10*d10 ct9*d9 >= sth + dth * (d10t0t9 + d10t6t9) + ct10*d10 Oznaczenia przyjęte w powyższym modelu: data liczba danych do obliczenia na transputerach, di liczba danych do obliczenia na transputerze TRi, ditj liczba danych dla transputera TRi przesyłana przez transputer TRj, d10titj liczba danych dla transputera TR10 przesyłana najpierw przez transputer TRi, a następnie przez transputer TRj, cti czas obliczenia jednostki danych na transputerze TRi, stv startup time dla łącza pionowego, sth startup time dla łącza poziomego, dtv czas przesłania jednostki danych przez łącze pionowe, dth czas przesłania jednostki danych prze łącze poziome. Jako liczbę danych przyjęto data = Ponadto wprowadzono ograniczenia na całkowitoliczbowość dla wszystkich zmiennych d*. Pierwsze pięć równań modelu jest podziałem całości danych na części, które bedą później przesyłane daną drogą, bądź też liczone na danym transputerze. Kolejnych 12 ograniczeń zapewnia, że żaden z transputerów nie zacznie liczyć zanim nie otrzyma wszystkich niezbędnych danych, oraz że żaden z transputerów nie skończy liczyć później niż TR3.

7 4. Rozwiązanie modelu matematycznego: Powyższy model matematyczny rozwiązano przy użyciu progamu LPSolve IDE v5.5. Uzyskane wyniki prezentuje poniższa tabela: data d d d d d d d d d10t0t1 0 d10t0t d10t4t d10t4t7 0 d10t6t d10t6t9 0 d1t d1t d7t d7t d9t d9t Tabela 4.1 Rozwiązanie modelu matematycznego cd cd cd cd cd cd cd cd t3t0s t3t4s t3t6s t0t1s t0t9s t4t1s t4t7s t6t7s t6t9s t1t10s t7t10s t9t10s 4723,6 Tabela 4.2 Czasy obliczeń (cdi) na transputerach i przesyłania między transputerami obliczone na bazie rozwiązania modelu matematycznego Na bazie powyższych tabel (Tabela 4.1, Tabela 4.2), stworzono wykres Gantt'a: Wykres 4.1 Wykres Gantt'a dla rozwiązania modelu matematycznego. Liczby poprzedzone strzałkami oznaczają numer transputera, do którego przesyłane są dane.

8 5. Rozwiązanie rzeczywiste: a) Opis algorytmu: Program składa się z 27 procesów. Na każdym transputerze znajdują się osobne procesy odpowiedzialne za przesyłanie danych, procesy obliczające wartość funkcji, procesy zbierające informacje o wykonanych akcjach oraz 1 proces przeznaczony tylko i wyłącznie do komunikacji z użytkownikiem, przydzielony do transputera TR3. Początek programu to zebranie przez proces wejscia-wyjścia informacji o gotowości wszystkich procesów. Następnie, zgodnie z założeniami projektu, rozpoczyna się jednoczesne przesyłanie danych i obliczenia. Po skończeniu wykonywania każdej operacji, wiadomość o czasie jej wykonania zostaje przesłana do procesu wejścia-wyjścia. Na koniec działania programu, proces wejścia-wyjścia przekazuje użytkownikowi oprządkowane uprzednio dane. b) Wykres Gannt'a: Na podstawie zebranych danych stworzony został wykres Gannt'a: Wykres 5.1 Wykres Gantt'a dla rozwiązania rzeczywistego. Liczby poprzedzone strzałkami oznaczają numer transputera, do którego przesyłane są dane. Porównując wykres rozwiązania rzeczywistego (Wykres 5.1) z wykresem modelu teoretycznego (Wykres 4.1), dostrzec można, że w przypadku rzeczywistym, czasy zakończenia obliczeń na poszczególnych transputerach są różne. W celu znalezienia różnic wprowadźmy następujące wykresy:

9 Porównanie czasów obliczeń: według modelu matematycznego i rzeczywistego czasu Czas obliczeń [jednostki procesora] model matematyczny czas rzeczywisty 0 TR0 TR1 TR3 TR4 TR6 TR7 TR9 TR10 Transputer Wykres 5.2 Porównanie czasów obliczeń: według modelu matematycznego i rzeczywistego czasu Wykres 5.3 Porównanie czasów obliczeń: według modelu matematycznego i rzeczywistego czasu błąd względny obliczony ze wzoru Błąd względny = rzeczywisty czasobliczeń czas obliczeń według modelu matematycznego czas obliczeń według modelu matematycznego

10 Porównanie czasów przesyłania danych: według modelu matematycznego i rzeczywistego czasu Czas przesyłania danych [jednostki procesora] model matematyczny czas rzeczywisty 0 t3t0s t3t4s t3t6s t0t1s t0t9s t4t1s t4t7s t6t7s t6t9s t1t10s t7t10s t9t10s Kolejne przesyłania danych Wykres 5.4 Porównanie czasów przesyłania danych: według modelu matematycznego i rzeczywistego czasu Wykres 5.5 Porównanie czasów przesyłania danych: według modelu matematycznego i rzeczywistego czasu błąd względny obliczony ze wzoru Błąd względny= rzeczywisty czas przesyłania czas przesyłania według modelumat. czas przesyłania według modelu matematycznego

11 model matematyczny czas rzeczywisty cd cd cd cd cd cd cd cd t3t0s t3t4s t3t6s t0t1s t0t9s t4t1s t4t7s t6t7s t6t9s t1t10s t7t10s t9t10s Tabela 5.1 Porównanie czasów obliczeń (cdi) na transputerach i przesyłania między transputerami, obliczone na bazie rozwiązania modelu matematycznego i rzeczywiste c) Patrząc na powyższe wykresy oraz tabelę (Tabela 5.1) dostrzec możemy, że rzeczywiste czasy przesyłania danych są praktycznie identyczne (poza jednym przypadkiem, gdzie błąd wynosi 1,13%) z czasami wyliczonymi na podstawie modelu matematycznego. Różnice natomiast (i to wyraźne - do 6%), widać między czasami obliczeń. Czas rzeczywisty jest (poza transputerem TR10) zawsze większy od czasu modelowego. Nasuwa się wniosek, że jednoczesne przesyłanie danych i liczenie, zwalnia tę drugą operację (co potwierdzałby przypadek transputera TR10, który już nic nie przesyła, zatem czas obliczeń na nim jest prawie taki sam jak w przypadku modelu matematycznego).