DWUKIERUNKOWA HEURYSTYKA BALANSOWANIA LINII MONTAŻOWEJ

Transkrypt

1 DWUKIERUNKOWA HEURYSTYKA BALANSOWANIA LINII MONTAŻOWEJ Waldemar GRZECHCA Streszczene: Problem balansowana ln montażowej należy do problemów o złożonośc oblczenowej klasy NP trudne. Dlatego też od klkudzesęcu lat wykorzystuje sę w znalezenu rozwązana metody dokładne metody heurystyczne. Mmo, że te ostane dają jedyne rozwązane dopuszczalne, są one jedynym, które pozwalają na uzyskane jakegokolwek końcowego uszeregowana zadań na stacjach montażowych ln produkcyjnej. Znane z lteratury wskaźnk jakośc (efektywność ln, czas ln, współczynnk gładkośc) pozwalają na ocenę akceptację otrzymanego rozwązana. W artykule rozważono dwukerunkową heurystykę podając kolejne krok postępowana porównując rezultaty końcowe z wynkam uzyskwanym znanym do tej pory heurystykam. Słowa kluczowe: problem balansowana ln montażowej, metody heurystyczne, współczynnk jakośc. 1. Wprowadzene Problem BLM (balansowana ln montażowej) był powszechne studowany od czasu ponerskch prac Brytona w roku 1954 [1], Salvesona w roku 1955 [2] oraz Jacksona w roku 1956 [3]. Potwerdzono użyteczność welu podejść opracowanych do rozwązywana problemu BLM w nezlczonych gałęzach przemysłu montażowego, takch jak: przemysł samochodowy, wytwórstwo, RTV, AGD td. W tradycyjnym probleme BLM zbór operacj jest dany razem z czasam wykonywana oraz ogranczenam kolejnoścowym defnującym dozwolone uszeregowane operacj. Celem rozwązywana problemu BLM jest przydzelene zboru operacj do kolejnych stacj roboczych w tak sposób, aby zmnmalzować lość potrzebnych stacj oraz spełnć wymagana produkcyjne (np. pożądaną przepustowość ln). W cągu ostatnch dekad badacze opracowal wele metod do poszukwana rozwązana optymalnego, takch jak: model programowana całkowtolczbowego 0-1 [4], metoda podzału oszacowań oraz model programowana dynamcznego [5-9]. Jednakże wszystke podejśca poszukwana rozwązana optymalnego są oblczenowo neefektywne przy rozwązywanu problemów BLM z dużą lczbą operacj. Jest to spowodowane tym, że problemy BLM są problemam NP-trudnym. Stąd też ważne jest stworzene efektywnych podejść heurystycznych do poszukwana jak najlepszych przyblżonych rozwązań problemu BLM. Wśród wszystkch podejść heurystycznych operacje są przydzelane w kerunku od perwszej do ostatnej stacj (tj. jednokerunkowo). Jednak Scholl Voß [10] oraz Scholl Klen [11], zaproponowal dwukerunkowe podejśce, w którym operacje mogły być zarówno przydzelane od perwszej do ostatnej stacj jak od ostatnej do perwszej, czyl rozpoczynając od perwszej stacj ostatnej równocześne. W podejścu dwukerunkowym metoda podzału oszacowań była wykorzystywana do znajdywana rozwązań optymalnych. Jednakże z powodu zawłośc oblczenowej algorytmu podzału oszacowań w problemach z dużą 557

2 lczbą operacj jedyne rozwązana przyblżone były znajdywane. Późnej Kao Yeh [12], stworzyl nowe efektywne podejśce, w którym zastosowal szeroko znaną metodę śceżk krytycznej (CPM), do rozwązywana problemu przyporządkowana operacj dla problemu BLM. Wykazal on, że podejśce oparte na metodze śceżk krytycznej zabrało jedyne 0(mn 2 ) czasu oblczenowego, do uzyskana rozwązana problemu BLM. W heurystyce omawanej w nnejszym artykule, a zaproponowanej przez Kao Yeha w 2009 roku [13], połączone są dwa podejśca: dwukerunkowe zaproponowane przez Scholla Klena w 1997 roku [11], oraz podejśce oparte na metodze śceżk krytycznej zaproponowane przez Kao Yeha w 2006 roku [12]. Połączene to mało na celu stworzene efektywnej wydajnej heurystyk do rozwązywana problemu BLM. 2. Matematyczny ops problemu BLM Klasyczny problem balansowana ln montażowej sformułowano w następującej postac: Dany jest zbór operacj montażowych: x, S 1,2,..., n (1) gdze x jest - tą operacją, natomast n jest lczbą operacj. Ważne jest także, aby żadna operacja ne należała do dwóch różnych podzborów, gdyż ne można wykonywać tej samej operacj na dwóch stanowskach tzn.: S Sm, m (2) Operacje te mogą być wykonywane przez monterów lub roboty przemysłowe. Istotą tego problemu jest mnmalzacja lczby stanowsk na ln montażowej, przy czym zagwarantować należy także kompletność wykonywana montażu. Ponższa zależność ukazuje warunek kompletnośc montażu: m M Sm m1 S, m = 1,2,..,M (3) W tym celu wszystke operacje należy pogrupować w take M podzborów, aby tworzyły one stanowska pracy na ln montażowej. Problem BLM uwzględnać pownen ogranczena kolejnoścowe pozycyjne. Wszystke operacje na ln montażowej wykonywane są według kolejnośc opartej o macerz relacj kolejnośc wykonywana operacj : =[γ v,], v, = 1,2,...,n (4) gdze v, są elementam tej macerzy, które należą do zboru lczb bnarnych: 1 operacja xv jest bezposrednm poprzednkem operacj x v, (5) 0 w przecwnym przypadku 558

3 Ogranczene kolejnoścowe opsane jest w następujący sposób: v m 1 x S ] x S [. (6) v, v Ważną daną wejścową modelu balansowana ln montażowej, wynkającą z technolog montażu, są czasy wykonywana operacj. Każda operacja jest przez ne charakteryzowana, a podane są one za pomocą wektora: t, gdze t jest czasem wykonywana operacj x. Dany jest także cykl ln montażowej, który spełna warunek: oraz ogranczene czasowe m T 1,2,..., n (7) max t C t, (8) 1n 1 m M x Sm n 1 t C (9) W przypadkach tych można określć najkrótszy najdłuższy czas pomędzy rozpoczęcem pewnej operacj, a zakończenem nnej. Problem BLM w takm modelu polega na wyznaczenu stacj dla wykonywana danego podzboru operacj, tak aby optymalny balans ln montażowej spełnał kryterum mnmalzacj ne wykorzystanego czasu pracy: Q lub C m M m1 Q MC t mn, S m t S m m 1,2,...,M (10) mn, (11) gdze M - zbór stanowsk pracy, S m - podzbór operacj tworzących stanowska pracy [14]. 3. Mary jakośc otrzymywanych rozwązań Balansowane ln montażowej jest najlepsze, gdy dla każdej stacj roboczej suma czasów operacj elementarnych jest równa czasow cyklu. Nestety ne zawsze jest to możlwe. Stworzone zostały zatem mary, które pozwalają na porównywane metod używanych do rozwązywana tego typu zadań [15, 16]. Stosowane mary to: efektywność ln Lne Effcency (LE), współczynnk gładkośc Smoothness Index (SI), czas ln - Tme (T). Efektywność ln (LE) jest to stosunek całkowtego czasu cyklu mnożony przez numer stacj. Pokazuje procentowo wykorzystane ln. Można to wyrazć następującym wzorem: 559

4 M ST 1 LE 100% (12) C M gdze: M lczba stacj roboczych, C czas cyklu, ST czas wykorzystana stacj Współczynnk gładkośc (SI) jest to wskaźnk pokazujący względną gładkość danej zbalansowanej ln montażowej. Współczynnk gładkośc równy zero wskazuje na najlepej zbalansowaną lnę. Im wartość SI jest mnejsza tym bardzej lna jest zbalansowana. M SI ( ST ST (13) max ) gdze: ST max maksymalny czas stacj roboczej, ST czas stacj. Czas ln (T) jest współczynnkem zależnym od lośc stacj. Im ten czas będze mnejszy, tym lepsze zbalansowane ln. T ( M 1) C ST K (14) gdze: M lość stacj roboczych, C czas cyklu, ST K czas ostatnej stacj. Omawając przedstawone mary należy zwrócć uwagę na ogromną ch przydatność w ocene rozwązań dopuszczalnych dla problemu balansowana ln montażowej. Czas ln wprost nformuje nas o opuszczenu przez produkt fnalny ln fabrycznej. Oczywste jest, ż rozwązane o mnejszym czase ln jest rozwązanem lepszym. Dla potrzeb omawanego problemu utworzono wskaźnk gładkośc, który nformuje nas o stnenu czasu przestoju na ln. Wartość wększa od zera oznacza powstane takego czasu. Ze względu na uzależnene tego wskaźnka od czasów wykonana operacj możemy tym wskaźnkem porównywać rozwązana dotyczącego tego samego zadana dla różnych metod wartośc cyklu. Efektywność ln ma sens dla rozwązań o różnej lczbe stanowsk montażowych poneważ lcznk wzoru (12) dla rozważanego przykładu ma zawsze ta samą wartość. 4. Ops wykorzystywanych heurystyk metod 4.1 Heurystyka dwukerunkowa Omawana w pracy heurystyka łączy dwa podejśca, dwukerunkowe oraz metodę śceżk krytycznej (CPM). W omawanej heurystyce użyto następujących oznaczeń: C dany czas cyklu numer stacj forward j numer stacj backward S zbór operacj montażowych do przydzelena do stacj roboczych S a zbór operacj przydzelonych do stacj roboczych S u zbór operacj neprzydzelonych S cp zbór operacj należących do śceżk krytycznej zbór operacj nenależących do śceżk krytycznej T(FS ) sumaryczny czas operacj przydzelonych do -tej stacj forward T(BS j) sumaryczny czas operacj przydzelonych do j-tej stacj backward

5 W f czas bezczynnośc -tej stacj forward, W f = C T(FS ) W b czas bezczynnośc -tej stacj backward, Wb = C T(BS ) Przydzelane operacj do stacj roboczych w omawanej heurystyce można podzelć na dwa krok. W perwszym kroku tworzone są nowe stacje robocze. W podejścu dwukerunkowym, operacje mogą być przydzelone do stacj roboczych rozpoczynając zarówno od perwszej stacj jak od ostatnej. Stąd, za każdym razem, kedy operacje mają być przydzelone do stacj roboczych, tworzy sę dwe tymczasowe stacje jednocześne: jedną stację forward (FS) oraz jedną stację backward (BS). Neprzydzelone, spełnające odpowedne warunk operacje są przydzelane do stacj roboczych FS oraz BS równocześne. Przez spełnene odpowednch warunków rozume sę: dla stacj forward : wszystke operacje poprzedzające daną operację zostały przydzelone do stacj roboczych, przydzelene danej operacj do stacj ne powoduje przekroczena czasu cyklu, dla stacj backward : wszystke operacje następujące po danej operacj zostały przydzelone do stacj roboczych, przydzelene danej operacj do stacj ne powoduje przekroczena czasu cyklu. Identyczne w drugm kroku przydzela sę spełnające odpowedne warunk operacje do stacj roboczych. Najperw za pomocą metody śceżk krytycznej określa sę zbór operacj śceżk krytycznej S cp, które w proponowanej heurystyce mają wększy prorytet przy przydzelanu do stacj roboczych. W tym kroku określa sę równeż zbór operacj ne należących do śceżk krytycznej. Dla stacj roboczej FS najperw przydzela sę operacje z S cp ne posadające operacj poprzedzających, a operacje z przydzela sę tylko wtedy, jeżel przydzelene operacj z S cp narusza relację kolejnoścową. Podobne dla stacj BS najperw przydzela sę operacje z S cp ne posadające operacj następujących, a operacje z przydzela sę tylko wtedy, jeżel przydzelene operacj z S cp narusza relację kolejnoścową. W raze wystąpena konflktów, stosuje sę jakąkolwek sensowną regułę prorytetową (RPW, WET, Numeracja operacj). Przydzelane operacj do stacj roboczych kontynuuje sę tak długo, aż ne da sę przydzelć węcej operacj spełnających odpowedne warunk. Po przydzelenu operacj do tymczasowych stacj roboczych FS BS, wybera sę jedną z nch, by ją utrwalć. By zdecydować, którą utrwalć, oblcza sę: W f = C T(FS ) oraz Wb = C T(BS ), tj. czasy bezczynnośc odpowedno stacj forward backward. Czas bezczynnośc jest odchylenem czasu pracy stacj od czasu cyklu, stąd ntucyjne można powedzeć, że mnejsze odchylene wpływa na zmnejszene lczby potrzebnych stacj. Stąd, stacja robocza posadająca mnejszy czas bezczynnośc (stacja robocza z mn(w f,w b)) jest utrwalana wraz z przydzelonym do nej operacjam; operacje przydzelone do stacj posadającej wększy czas bezczynnośc są zwalnane jako neprzydzelone. Nowe stacje robocze tymczasowe są tworzone cała procedura jest powtarzana dla pozostałych neprzydzelonych operacj. Algorytm kończy sę, kedy wszystke operacje zostaną przydzelone do utrwalonych stacj roboczych. 4.2 Metoda śceżk krytycznej Rozważony zostane zbór śceżek pełnych, tj. prowadzących od wydarzena początkowego do wydarzena końcowego. Zbór ten jest nepusty skończony. W sec 561

6 czynnośc każdej śceżce pełnej przyporządkowany jest jednoznaczne czas wykonana śceżk (suma czasów wszystkch operacj należących do tej śceżk). Ten umożlwa zdefnowane czasu realzacj projektu oraz śceżk krytycznej. Śceżka krytyczna jest śceżką pełną, dla której czas trwana jest najdłuższy. Możlwe najkrótszy termn realzacj przedsęwzęca określony jest przez czas śceżk krytycznej. Oznacza to, że ne można zrealzować przedsęwzęca, zanm ne wykona sę najdłuższego w sense czasu cągu następujących po sobe czynnośc. Tak węc czas wykonana wszystkch czynnośc należących do śceżk krytycznej określa możlwy najkrótszy termn zakończena przedsęwzęca [17] Procedura przejśca do przodu Procedura przejśca do przodu prowadz do określena najwcześnejszych chwl czasowych, w których można rozpocząć EST(Earlest Start Tme) zakończyć EFT (Earlest Fnsh Tme) realzację poszczególnych operacj. EST oznacza najwcześnejszy możlwy moment czasu, w którym operacja może nastąpć. Dla operacj rozpoczynających seć operacj przyjmujemy EST równe 0. Dla każdej kolejnej operacj najwcześnejszy termn rozpoczęca określa sę następująco: j EST max EST t I( j ) gdze :,j - kolejne operacje, I(j) zbór zdarzeń bezpośredno poprzedzających zdarzene. Aby wyznaczyć EST dla operacj j należy dla wszystkch bezpośrednch poprzednków operacj j - I(j) wyznaczyć sumy ch EST z ch czasem wykonana wybrać najwększą z tych sum. Najwcześnejszą chwlę zakończena operacj (EFT) oblcza sę jako sumę najwcześnejszego momentu rozpoczęca operacj (EST) oraz czasu realzacj tej operacj (t): Procedura cofana (15) EFT EST t (16) Procedura cofana prowadz do określena najpóźnejszych chwl czasowych, w których należy rozpocząć LST(Latest Start Tme) zakończyć LFT (Latest Fnsh Tme) realzację poszczególnych operacj. LFT oznacza najpóźnejszy możlwy moment czasu, w którym operacja może sę zakończyć. Dla operacj kończących seć czynnośc przyjmujemy LFT równe czasow trwana projektu, który wynos T jest równy najwększemu EFT wylczonemu w procedurze przejśca do przodu. Dla każdej poprzedzającej operacj najpóźnejszy termn zakończena określa sę następująco: LFT mn LFT t jj( ) gdze:,j kolejne operacje, J() zbór zdarzeń bezpośredno następujących po zdarzenu j. Czyl aby wyznaczyć EFT dla operacj należy dla wszystkch bezpośrednch następnków operacj - J() wyznaczyć różnce ch EFT z czasem ch wykonana wybrać najmnejszą z tych różnc. Najpóźnejsza chwla rozpoczęca operacj (LST) oblczana jest jako różnca j j (17) 562

7 najpóźnejszej chwl zakończena operacj (LFT) czasu realzacj tej operacj (t) Wyznaczene śceżk krytycznej LST LFT t (18) Rezerwa czasu jest maksymalnym możlwym opóźnenem operacj, które ne powoduje wydłużena czasu projektu. Rezerwę czasową operacj określa sę następująco: lub 563 t LST EST (19) t LFT EFT (20) Rezerwa czasowa dla każdej czynnośc jest różncą pomędzy najpóźnejszym dopuszczalnym a najwcześnejszym możlwym termnem jej wystąpena. Operacje z zerowym rezerwam czasowym należą do śceżek krytycznych sec jakekolwek opóźnene w ch pojawenu sę lub realzacj prowadz do opóźnena momentu zakończena całego projektu. Czynnośc należące do śceżek krytycznych nazywa sę krytycznym [18]. 4.3 Heurystyka jednokerunkowa Przydzelane operacj do stacj roboczych w heurystyce jednokerunkowej można opsać następująco: Tworzona jest nowa stacja robocza. Neprzydzelone, spełnające odpowedne warunk operacje są przydzelane do stacj roboczej. Przez spełnene odpowednch warunków rozume sę: wszystke operacje poprzedzające daną operację zostały przydzelone do stacj roboczych, przydzelene danej operacj do stacj ne powoduje przekroczena czasu cyklu. W raze wystąpena konflktów, stosuje sę regułę prorytetową (RPW, WET, Numeracja operacj). Przydzelane operacj do stacj roboczej kontynuuje sę tak długo, aż ne da sę przydzelć do nej węcej operacj spełnających odpowedne warunk. Jeżel stneją jeszcze jakeś neprzydzelone operacje następuje przejśce do początku algorytmu, jeżel takowych ne ma algorytm kończy oblczena [19]. W heurystyce wykorzystano znane z lteratury procedury kolejnoścowe [9]: WET (Workng Element Tme), RPW (Rankng Postonal Weght), Numeracja operacj. Musmy meć śwadomość ż to tylko wybrane reguły prorytetowe, w lteraturze można ch znaleźć znaczne węcej a ch wybór należy do przeprowadzających badana. 4.4 Algorytm poprawy uszeregowana Jeżel przy przydzelanu operacj do tymczasowej stacj roboczej (FS lub BS): sumaryczny czas operacj przydzelonych do stacj roboczej jest mnejszy od czasu cyklu,

8 ne ma operacj, która mogłyby być przydzelona do stacj roboczej bez przekroczena czasu cyklu naruszena relacj kolejnoścowej, stneje operacja x ne naruszająca reguły relacj kolejnoścowej, lecz jej przydzelene do stacj roboczej spowodowałoby przekroczene czasu cyklu, wtedy aktywowany jest algorytm poprawy uszeregowana. Dzałane algorytmu: 1. =1; 2. Tymczasowo usuwa sę z tymczasowej stacj roboczej ostatno przydzelonych operacj. 3. Jeżel którakolwek z tymczasowo usunętych operacj jest poprzednkem operacj x, algorytm jest przerywany. 4. Jeżel dodane operacje x do stacj roboczej powoduje przekroczena czasu cyklu, =+1; powrót do punktu Jeżel dodane operacj do stacj roboczej ne powoduje przekroczena czasu cyklu poprzez podmanę ostatnch operacj na operację x, otrzymujemy lepsze wypełnene czasu stacj roboczej, to kończymy algorytm podmenając operacje. 5. Przykład numeryczny W celu zobrazowana dzałana omówonych heurystyk przeanalzowano przykład numeryczny o 21 zadanach, którego relacje kolejnoścowe przedstawa graf z Rys. 1. Czasy operacj podano obok węzłów grafów a groty strzałek wskazują na kerunek wykonywana operacj. Do uzyskana końcowego balansu założono 3 wartośc cyklu C: 35, 21 oraz 14 jednostek czasowych. W Tab. 1 oraz Tab. 2 podano wartośc współczynnków jakośc dla różnych wartośc cyklu różnych wykorzystanych heurystyk. Analzując wynk w tabel można zauważyć powtarzalność wynków dla tego samego cyklu dla różnych metod heurystycznych wykorzystywanych w badanach Rys. 1 Graf relacj kolejnoścowej dla przykładu numerycznego Na Rys. 2 3 przedstawono najlepsze rozwązana dla różnych heurystyk oraz cykl produkcyjnych. 564

9 Tab. 1. Mary jakoścowe balansu dla cyklu C: 35 oraz 21 CYKL = 35 CYKL = 21 Reguła Mary HD+ HD- HJ HD+ HD- HJ RPW M T SI , ,05 LE 100% 100% 75% 100% 100% 83,33% Numeracja operacj M T SI , ,93 LE 100% 100% 75% 100% 100% 83,33% WET M T SI 31,16 31,16 33,03 20,02 20,02 19,10 LE 75% 75% 75% 83,33% 83,33% 83,33% gdze: HD+ heurystyka dwukerunkowa z włączonym algorytmem poprawy, HD- heurystyka dwukerunkowa z wyłączonym algorytmem poprawy, HJ heurystyka jednokerunkowa. Tab. 2. Mary jakoścowe balansu dla cyklu C: 14 Reguła Mara HD+ HD- HJ RPW M T SI 11,70 10,44 3 LE 83,33% 83,33% 93,75% Numeracja operacj M T SI 3 11,79 10,05 LE 93,75% 83,33% 83,33% WET M T SI ,25 LE 93,75% 93,75% 83,33% gdze: HD+ heurystyka dwukerunkowa z włączonym algorytmem poprawy, HD- heurystyka dwukerunkowa z wyłączonym algorytmem poprawy, HJ heurystyka jednokerunkowa. 6. Podsumowane W artykule omówono problem heurystyk w zagadnenu balansowana ln montażowej. Szczególne zwrócono uwagę, że znane do tej pory podejśce heurystyk jednokerunkowej może być uzupełnone o dwukerunkowe algorytmy szeregowana zadań na stacjach roboczych ln produkcyjnej. Podejśce to jest powszechne w lnach typu U, kedy to za względu na uzyskwane balansu ln berzemy jednocześne pod uwagę zarówno zadana z początku grafu relacj kolejnoścowej jak z jego częśc końcowej. Przeprowadzone badana zgodne z oczekwanam dały rozwązana dopuszczalne ale równeż w nektórych przypadkach wręcz rozwązana optymalne. Mmo, że jest to zupełny przypadek, jak sę 565

10 Rys. 2 Balans ln dla cyklu C=14 oraz heurystyk jednokerunkowej Rys. 3 Balans ln dla cyklu C=21 oraz heurystyk dwukerunkowej z włączonym algorytmem poprawy regułą RPW okazuje możlwy do osągnęca. Badana są jedyne potwerdzenem, że heurystyk mogą dać różne rozwązana końcowe a mary jakośc pozwalają na oceny otrzymanych wynków. Stosowane różnych heurystyk potwerdza tezę, że z wększej lczby różnych wynków zawsze można wybrać to rozwązane, które pod względem wcześnej ustalonych kryterów (czas ln, brak długch przestojów, efektywnośc ln czy lczby stacj, zadanej welkośc produkcj) jest dla nas najlepsze. Prace zrealzowane przy wsparcu środków BK265/Rau1/2014. Lteratura 1. Bryton, B. Balancng of contnuous producton lne. M.S. Thess. NorthwesternUnversty, Evanston, IL,

11 2. Salveson, M. E. The assembly lne balancng problem. The Journal of Industral Engneerng, 6, 1955, Jackson, J. R. A computng procedure for a lne balancng problem. Management Scence, 2, 1956, Graves, S. C., Lamar, B. W. An nteger programmng procedure for assembly system desgn problems. Operatons Research, 41, 1983, Carraway, R. L. A dynamc programmng approach to stochastc assembly lne balancng. Management Scence, 35, 1989, Becker, C., & Scholl, A. A survey on problems and methods n generalzed assembly lne balancng. European Journal of Operatonal Research, 168, 2006, Boysen, N., Fledner, M., & Scholl, A. A classfcaton of assembly lne balancng problems. European Journal of Operatonal Research, 183(2), 2007, Ghosh, S., Gagnon, R. J. A comprehensve lterature revew and analyss of the desgn, balancng and schedulng of assembly systems. Internatonal Journal of Producton Research, 27, 1989, Scholl, A. Balancng and sequencng of assembly lnes. Physca- Verlag Hedelberg, Scholl, A., Voß, S. Smple assembly lne balancng heurstc approaches. Journal of Heurstcs, 2, 1996, Scholl, A., Klen, R. SALOME: A bdrectonal branch and bound procedure for assembly lne balancng. INFORMS Journal on Computng, 9, 1997, Kao, H. H., Yeh, D. H. A new approach for assembly lne balancng problems. The 36th nternatonal conference on computers and ndustral engneerng, Tape, Tawan 2006, Kao H. H. Yeh D. H. A new bdrectonal heurstc for the assembly lne balancng problem., Computers & Industral Engneerng 57, 2009, Grzechca W. Analza teorogrowego algorytmu balansowana ln montażowej. Instytut Automatyk Poltechnk Śląskej, Glwce (praca doktorska nepublkowana). 15. Mareck F. Modele matematyczne algorytmy alokacj operacj zasobów na ln montażowej. ZN. Pol. Śl. Sera Automatyka 82, Glwce Erel E., Sarn S. A. Survey of the Assembly Lne Balancng Procedures. Producton Plannng and Control Vol.9 No.5, 1998, Praca zborowa pod redakcją E. Ignasaka, Badana operacyjne. Polske Wydawnctwo Ekonomczne, Warszawa Sysło M. M., Deo N., Kowalk J.S. Algorytmy optymalzacj dyskretnej. Wydawnctwo Naukowe PWN, Warszawa Ponnambalam S. G., Aravndan P., Mogleeswar G., Nadu A Comparatve Evaluaton of Assembly Lne Balancng Heurstcs.. The Internatonal Journal of Advanced Manufacturng Technology, 1999, Dr nż. Waldemar GRZECHCA Zakład Inżyner Systemów Instytut Automatyk Poltechnka Śląska Glwce, ul Akademcka 16 tel emal: waldemar.grzechca@polsl.pl 567