Okre lanie priorytetów zmiennych pewnych funkcji decyzyjnych

Transkrypt

1 Okrelanie priorytetów zmiennych pewnych funkci decyzynych J. WINIEWSKA Instytut Systemów Informatycznych Wydzia ybernetyki WAT ul. S. Kaliskiego, Warszawa W pracy opisane s dwie metody wyznaczania priorytetów zmiennych pewnych funkci logicznych (takich, w których zapisie nie wystpue negaca). Pierwsza metoda opiera si na wykorzystaniu miary Hamminga w procesie okrelania priorytetów zmiennych,. Ze wzgldu na konieczno generowania i przegldania tablicy prawdy dla badane funkci, zoono czasowa te metody est rzdu wykadniczego. Druga proponowana metoda polega na analizowaniu zapisu funkci w postaci minimalne formuy sumacyne. Dae ona wyniki mnie precyzyne ni pierwsza wspomniana metoda, ale nie wymaga podania tablicy prawdy dla danego zadania, dziki czemu est zazwycza mnie zoona czasowo od metody uywace miary Hamminga. Sowa kluczowe: priorytet zmienne, funkca decyzyna, odlego Hamminga 1. harakterystyka rozwaanych funkci decyzynych Podane w tym referacie metody okrelania priorytetów zmiennych nie mog by z powodzeniem stosowane dla dowolnych funkci decyzynych. Metody te zostay opracowane z myl o pewnych funkcach logicznych. Definica 1: Funkc logiczn nazywamy dowolne odwzorowanie postaci: f : X Y (1) gdzie, przy B = {0;1}, X est podzbiorem B n B n za Y est podzbiorem B m. B B... B () Zaoenie 1: W pracy rozwaana est funkca decyzyna f(x), która ma posta funkci logiczne n zmiennych, przy czym w zapisie f(x) nie wystpue negaca.. Okrelanie priorytetów zmiennych decyzynych za pomoc miary Hammiga Spostrzeenie 1: Jeeli mona zauway co namnie edn wasno zmiennych x i (dla i 1, n ) funkci decyzyne f(x), to zmienne x i mona podzieli na grupy wedug wartoci przymowane przez obserwowan wasno. o te same wartoci badane wasnoci, w aspekcie tee cechy, przymuemy za równowane. Posiadac tabel prawdy dla danego zadania mona sprawdzi aka est relaca midzy wartociami przymowanymi przez zmienne x i a wartoci funkci f(x). Niech miar pozwalac ustali warto takie relaci bdzie odlego Hamminga. Definica : Odlego Hamminga est to miara odmiennoci dwóch cigów o takie same dugoci. Wyraa ona liczb miesc (pozyci), na których analizowane cigi posiada nie równe sobie elementy. Oznaczenie 1: Za pomoc H(x i ) bdziemy okrela warto mówic o odlegoci Hamminga midzy cigiem reprezentucym wartoci przymowane przez zmienn x i a cigiem wartoci funkci f(x). Zgodnie ze spostrzeeniem 1, dwie zmienne te same funkci decyzyne f(x), np. x i i x, dla których zachodzi: H(x i ) = H(x ); traktuemy ako równowane. Przykad 1: Niech dana bdzie nastpuca funkca decyzyna: x x x x x x x x (3) 1 tabela prawdy dla te funkci ma posta:

2 J. Winiewska, Okrelanie priorytetów zmiennych pewnych funkci decyzynych x 1 x x 3 x 4 x 5 f(x) Wartoci odlegoci Hamminga midzy cigiem przyporzdkowanym konkretne zmienne x i a cigiem reprezentucym f(x), s nastpuce: H(x 1 ) = 7, H(x ) = 11, H(x 3 ) = 13, H(x 4 ) = 13, H(x 5 ) = 15. Spostrzeenie : Ze wzgldu na róne wartoci odlegoci Hamminga midzy cigami reprezentucymi zmienne x i a cigiem f(x) mona przypuszcza, e wartoci przymowane przez zmienne x i w rónym stopniu przekada si na warto badane funkci decyzyne f(x). Definica 3: Istotnoci, bd priorytetem, zmienne x i nazywamy zdolno rzutowania wartoci przymowanych przez t zmienn na warto funkci decyzyne f(x). Definica 4: Klas c(x i ) zmienne x i nazywamy niepusty zbiór zmiennych funkci f(x), zawieracy zmienn x i i ewentualnie inne zmienne o takie same istotnoci (priorytecie) ak x i. Jak wynika z definici 4 n-elementowy zbiór Z x = {x 1,x,,x n } zmiennych analizowane funkci decyzyne mona podzieli na podzbiory, za pomoc moliwe do zdefiniowania relaci równowanoci, zawierace zmienne nalece do te same klasy c(x i ). Tene podzia P mona przedstawi nastpuco: P k, r 1; m kr,,..., 1 Z, x k przy r m, gdzie 1, m oraz m n Z x (4) znaduce si w pewne klasie c(x i ) ma tak sam istotno. W zwizku z tym niech klasa równie posiada swo istotno dziedziczon po zmiennych nalecych do nie. Istotno klasy c(x i ), a take priorytet zmiennych do nie nalecych, wyraona est wskanikiem w(c(x i )) wyznaczanym przy pomocy procedury 1. Procedura 1: Wykorzystuc spostrzeenie 1. mona poda nastpucy algorytm wyznaczania klas c(x i ) zmiennych funkci decyzyne f(x): 1) Na podstawie tabeli prawdy dla kade zmienne x i obliczy warto H(x i ). ) Pogrupowa zmienne o takie same wartoci H(x i ) zmienne te utworz klasy. 3) Posortowa klasy (czyli zbiory zawierace zmienne) rosnco wedug wartoci H(x i ). 4) Posortowanym klasom przypisywa warto wskanika w(c(x i )) rozpoczynac od wartoci 1 poprzez kolene liczby cakowite dodatnie. Przykad : Wyznaczmy klasy zmiennych uywac algorytmu opisanego w procedurze 1, dla zadania rozpocztego w przykadzie 1. Ad. 1) Wartoci H(x i ) zostay u obliczone: H(x 1 ) = 7, H(x ) = 11, H(x 3 ) = 13, H(x 4 ) = 13, H(x 5 ) = 15. Ad. ) Utworzenie zbiorów klas: 1 = {x 1 }, = {x }, 3 = {x 3, x 4 }, 4 = {x 5 }. Ad. 3) Posortowanie zbiorów klas (w tym zadaniu s u posortowane): 1. 1 = {x 1 } dla H(x 1 ) = 7. = {x } dla H(x ) = = {x 3, x 4 } dla H(x 3 ) = H(x 4 ) = = {x 5 } dla H(x 5 ) = 15. Ad. 4) Przypisanie klasom wartoci wskanika w(c(x i )): w(c(x 1 )) = 1 dla zbioru 1, w(c(x )) = dla zbioru, w(c(x 3, x 4 )) = 3 dla zbioru 3, w(c(x 5 )) = 4 dla zbioru 4. W ten sposób zmienne funkci f(x) zostay przydzielone do czterech klas, gdzie nawyszy priorytet (nabardzie intensywny wpyw na 6

3 podemowan decyz) ma zmienne z klasy pierwsze (przy w(c(x 1 )) = 1), a namnieszy z klasy czwarte (przy w(c(x 5 )) = 4). 3. Metoda okrelania przyblionych klas istotnoci zmiennych Metoda wyznaczania klas zmiennych za pomoc odlegoci Hamminga est metod skuteczn, cho zoon obliczeniowo: trzeba wygenerowa tablic prawdy, która posiada n wierszy (gdzie n to liczba zmiennych decyzynych) oraz (n + 1) kolumn, a nastpnie obliczy warto miary Hamminga dla n par cigów o dugoci n. W zwizku z tym metoda ta ma zoono rzdu wykadniczego. Mona zaproponowa inn metod klasyfikaci zmiennych mnie dokadn, lecz duo szybsz (obliczeniowo zazwycza mnie zoon, poniewa nie ma w nie koniecznoci generowania ani przegldania tabeli prawdy, a edynie analizue si zapis funkci decyzyne f(x) w postaci minimalne formuy sumacyne). Badac funkc logiczn f(x) mona zauway pewne cechy e zmiennych. W przypadku zmiennych x i funkci decyzyne f(x) zgodne z zaoeniem 1 mona wyróni ich dwie wasnoci: stopie zalenoci oraz powtarzalno zmienne. Definica 5: Stopie zalenoci zmienne to warto bdca namniesz liczb innych zmiennych wystpucych w ednym iloczynie wraz z badan zmienn, w zapisie funkci f(x). Definica 6: Powtarzalno zmienne to liczba iloczynów, w których w funkci f(x) wystpue badana zmienna. Ze wzgldu na róne stopnie zalenoci oraz rón powtarzalno zmiennych te same funkci mona przypuszcza, e wartoci przymowane przez zmienne x i w rónym stopniu rzutu na warto badane funkci decyzyne f(x). Definica 7: Przyblion klas pc(x i ) zmienne x i nazywamy niepusty zbiór zmiennych funkci f(x), zawieracy zmienn x i i ewentualnie inne zmienne, które s równowane z x i ze wzgldu na tak sam powtarzalno oraz równy stopie zalenoci. Spostrzeenie 3: Jeeli dana est funkca decyzyna f(x), zgodna z zaoeniem 1, to mona dla zmiennych te funkci wyznaczy przyblione klasy pc(x i ) grupuc zmienne wzgldem stopnia ich zalenoci, a nastpnie, wewntrz kade takie grupy, wprowadzac co namnie edn klas pc(x i ) kieruc si kryterium powtarzalnoci zmiennych. Wane est eby zachowa koleno opisan w spostrzeeniu 3: napierw zmienne s grupowane wedug stopnia zalenoci, a dopiero potem wedug kryterium ich powtarzalnoci. Jest to istotne poniewa kryterium zalenoci est silniesze od powtarzalnoci (uzasadnienie 1). Uzasadnienie 1: W zapisie sumacynym rozwaane funkci decyzyne f(x) zmienne x i oraz warto funkci przymu edynie wartoci {0,1}. Silnieszy wpyw stopnia zalenoci zmienne na warto funkci mona pokaza na przykadzie: niech dana bdzie logiczna funkca decyzyna f(x), gdzie x = (x 1, x,, x n ), x i {0,1} i n, o postaci: x1 x x3 x x4 x x5... x x n (5) gdzie zmienna x 1 wystpue tylko eden raz, ale est niezalena (e stopie zalenoci wynosi zero); zmienna x wystpue (n ) razy przy n, wic liczba e powtórze równie dy do nieskoczonoci, ale zawsze est zalena od inne zmienne x (gdzie = 3, 4,, n). Zmienna x 1 ma silnieszy wpyw na warto funkci f(x) ni zmienna x poniewa przycie przez zmienn x 1 wartoci 1 gwarantue, e f(x) = 1 zupenie niezalenie od wartoci zmiennych x, x 3,, x n (w przypadku gdy x 1 = 0 warto f(x) bdzie równie zalena od pozostaych zmiennych). Natomiast przycie wartoci 0 lub 1 przez zmienn x nie est w stanie zagwarantowa (niezalenie od wartoci pozostaych zmiennych), e f(x) bdzie miaa tak sam warto ak x. Istotno przyblione klasy pc(x i ), a take priorytet zmiennych do nie nalecych, wyraona est przyblionym wskanikiem pw(pc(x i )) wyznaczanym przy pomocy procedury. Procedura : Wykorzystuc spostrzeenie 3. mona poda nastpucy algorytm wyznaczania przyblionych klas zmiennych pc(x i ) funkci decyzyne f(x): 1) x i naley pogrupowa wzgldem stopnia ich zalenoci grupa zmiennych nabardzie niezalenych otrzymue numer 1, a pozostae grupy (w kolenoci zawierania zmiennych o coraz to wyszym stopniu zalenoci) s ponumerowane za pomoc kolenych liczb cakowitych dodatnich (rozpoczynac od liczby ). ) W kade grupie, zgodnie z kolenoci numeraci grup z poprzedniego punktu, wyznaczane s przyblione klasy pc istotnoci zmiennych x i : eeli grupa zawiera tylko edn zmienn, to zmienna ta 63

4 J. Winiewska, Okrelanie priorytetów zmiennych pewnych funkci decyzynych tworzy osobn przyblion klas; eeli grupa zawiera wice ni edn zmienn, to przyblione klasy s wyodrbniane na podstawie kryterium powtarzalnoci zmienne. W obrbie edne grupy zmienne s dzielone na przyblione klasy wedug takie same powtarzalnoci koleno powstawania przyblionych klas na tym poziomie est taka, e napierw wyodrbniane s klasy skadace si ze zmiennych o wiksze powtarzalnoci. Koleno powstacym klasom przyblionym przypisywana est warto wskanika pw(pc(x i )) rozpoczynac od wartoci 1 poprzez kolene liczby cakowite dodatnie. Przykad 3: Oszacumy przyblione klasy zmiennych dla funkci (3) analizowane w poprzednich przykadach. Ad. 1) Grupy zalenoci zmiennych badane funkci przedstawia si nastpuco: Numer grupy Stopie zalenoci zmienne wchodzce w skad grupy 1 0 x 1 1 x, x 3, x 4 3 x 5 W pierwsze i trzecie grupie znadue si tylko po edne zmienne, wic utworz one osobne przyblione klasy zmiennych. W drugie grupie znadu si trzy zmienne, wic naley sprawdzi aka est ich powtarzalno. Ad. ) Okrelenie powtarzalnoci zmiennych wewntrz grup zalenoci: Wskanik pw istotnoci przyblione klasy Powtarzalno zmienne * wchodzce w skad przyblione klasy pc 1 - x 1 x, x 3, x x 5 * Jeeli zmienna wystpowaa sama w grupie zalenoci, to liczba e powtórze w sumie iloczynów funkci f(x) nie est istotna w wyznaczaniu klas istotnoci zmiennych. Porównuc otrzymane w powyszym przykadzie wyniki z wynikami z przykadu, gdzie klasy byy wyznaczane za pomoc odlegoci Hamminga, wida, e przybliona klasa o priorytecie (tam gdzie wp(pc(x,x 3,x 4 )) = ) powinna by podzielona na dwie osobne klasy c(x i ). Niemnie ednak prawd est, e zmienne z te przyblione klasy ma mnieszy wpyw na warto funkci decyzyne ni zmienne z przyblione klasy o priorytecie 1, ale ednoczenie mocnie rzutu na warto funkci decyzyne ni zmienne z przyblione klasy o priorytecie równym 3. Istnie take funkce decyzyne f(x), zgodne z zaoeniem 1, takie, e wyznaczanie priorytetów zmiennych za pomoc procedury 1 i procedury dae identyczne wyniki, co pokazue przykad 4. Przykad 4: Niech dana bdzie funkca decyzyna czterech zmiennych: x1x4 x x3 (6) Proc. 1: Ad. 1) Wartoci H(x i ) s nastpuce: H(x 1 ) = 7, H(x ) = 5, H(x 3 ) = 5, H(x 4 ) = 7. Ad. ) Utworzenie zbiorów klas: 1 = {x 1, x 4 }, = {x, x 3 }. Ad. 3) Sortowanie zbiorów klas: 1. = {x, x 3 } dla H(x ) = H(x 3 ) = 5. 1 = {x 1, x 4 } dla H(x 1 ) = H(x 4 ) = 7. Ad. 4) Przypisanie klasom wartoci wskanika w(c(x i )): w(c(x, x 3 )) = 1 dla zbioru, w(c(x 1, x 4 )) = dla zbioru 1. Proc. : Ad. 1) Grupy zalenoci zmiennych badane funkci to: Numer grupy Stopie zalenoci zmienne wchodzce w skad grupy 1 0 x, x 3 1 x 1, x 4 Ad. ) Okrelenie powtarzalnoci zmiennych wewntrz grup zalenoci: Wskanik pw istotnoci przyblione klasy Powtarzalno zmienne wchodzce w skad przyblione klasy pc 1 1 x, x 3 1 x 1, x 4 Przyblione klasy pokrywa si w tym przykadzie z grupami zalenoci, poniewa kada zmienna w zapisie funkci (6) wystpue tak sam liczb razy. Jak obrazue przykad 4., nie zawsze uycie metody mnie zoone obliczeniowo dae mnie precyzyny wynik oblicze. 64

5 4. Podsumowanie W artykule zostay przedstawione dwie metody okrelania priorytetów zmiennych pewnych funkci logicznych. W ramach podsumowania spróbumy odpowiedzie na pytanie: dlaczego metoda opisana procedur 1. est bardzie dokadna ni metoda opisana procedur.? W procedurze 1. wyznaczanie priorytetów zmiennych opiera si na obliczaniu odlegoci Hamminga midzy cigami reprezentucymi wartoci przymowane przez kad zmienn badane funkci a cigiem wartoci tee funkci. Zatem w kadym poedynczym kroku badania odmiennoci konkretnego cigu x i i cigu f(x), bieca warto zmienne decyzyne konfrontowana est z edn wartoci funkci, na któr to warto ma wpyw równie wartoci pozostaych zmiennych badane funkci. Oznacza to, e wyznaczanie wartoci H(x i ) dla konkretne zmienne x i nie odbywa si w izolaci od wpywu innych zmiennych. Przeciwna sytuaca ma miesce w przypadku metody opisane procedur. tam okrelamy priorytet kade zmienne na podstawie liczby iloczynów, w których w zapisie funkci si ona poawia, oraz namniesze liczby innych zmiennych wystpucych wraz z ni w ednym iloczynie. Analizuemy wic tylko liczno innych zmiennych, bdcych w relaci z badan zmienn, pomiac informace dotyczce ich cech wasnych (takich ak stopie zalenoci czy powtarzalno), czyli wpywu tyche zmiennych na warto funkci decyzyne. 5. Bibliografia [1] A.V. Aho, J.D. Ullman, Wykady z informatyki z przykadami w zyku, Helion, Gliwice, 003. [] G. Birkhoff, S. Mac Lane, Przegld algebry wspóczesne, PWN, Warszawa, [3] M. hudy, Elementy teoretycznych podstaw informatyki, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, 006. [4] T.uba, B. Zbierzchowski, Ukady logiczne, Wydawnictwo WIT, Warszawa, 00. [5] A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wysze, PWN, Warszawa, [6] R. Neapolitan, K. Naimipour, Podstawy algorytmów z przykadami w ++, Helion, Gliwice, 004. [7] Praca zbiorowa, Encyklopedia Universalis. wiat nauki wspóczesne. Tom 1, PWN, Warszawa,