Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski.

Transkrypt

1 Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski

2 Statystyka jest jak kostium bikini: pokazuje wiele, ale nie pokazuje najważniejszego. Aaron Levenstein Jeśli mój sąsiad codziennie bije swoją żonę, ja zaś nie biję jej nigdy, to w świetle statystyki obaj bijemy je co drugi dzień. George Bernard Shaw Śmierć jednostki to tragedia - milion zabitych to tylko statystyka. Józef Stalin 2

3 Na dziś Sprawy bieżące Prowadzący Zasady zaliczenia Konsultacje Inne 3

4 Sprawy ogólne czyli co nas czeka Zaliczenie przedmiotu Część ćwiczeniowa praktyczna Część wykładowa - teoretyczna Obecność na zajęciach Dopuszczalna liczba nieobecność na zajęciach wynosi 20% z całości. Powyżej tej liczby student zostaje skreślony z listy studentów i jest nie klasyfikowany. (8 zjazdów czyli 20% to 1,6 zjazdu, a zatem uznajemy 1 nieobecność na zajęciach jako dopuszczalną)

5 Zasady zaliczenia przedmiotu Każda część przedmiotu (ćwiczenia, wykład) musi zostać zaliczona na minimum 51% Część ćwiczeniowa praktyczna: Dwa sprawdziany (po 20 pkt) w laboratoriach komputerowych. Zaliczenie od 21 pkt (max. 40 pkt). Część wykładowa teoretyczna: Trzy sprawdziany (po 20 pkt) w trakcie semestru na wykładach (test wielokrotnego wyboru lub test uzupełnień). Zaliczenie od 31 pkt (max. 60 pkt). Punkty dodatkowe: Osoby z pierwszej 10 (lista rankingowa) uzyskują dodatkowe punkty wynikające z pozycji na liście i tak: pierwsza osoba z listy 10pkt, druga 9pkt itd.. Lista pierwszej 10 zostaje zamknięta po drugim sprawdzianie na ćwiczeniach. Dodatkowe punkty można wykorzystać w dowolnej części przedmiotu (ćwiczenia lub egzamin).

6 Data Zjazd Ćwiczenia Data Wykład Szereg szczegółowy. Miary położenia i Wstęp. Miary położenia i zmienności. zmienności. Rozkłady normalny Szereg rozdzielczy. Miary położenia i zmienności. Asymetria i kurtoza Wsp. Giniego, asymetria i kurtoza Wsp. Giniego. Indeksy proste SPRAWDZIAN I. Indeksy proste i złożone SPRAWDZIAN PIERWSZY Szeregi czasowe Indeksy agregatowe Korelacja i regresja Szeregi czasowe Korelacja i regresja SPRAWDZIAN II. Statystyka matematyczna. Estymatory. Przedziały ufności. Hipotezy statystyczne SPRAWDZIAN DRUGI Repetytorium. SPRAWDZIAN III Sesja pop POPRAWA ĆWICZEŃ SESJA SESJA POP. Poprawa wykładu

7 Literatura Wasilewska E. (2009): Statystyka opisowa od podstaw, Wydawnictwo SGGW Piłatowska M. (2006): Repetytorium ze statystyki, PWN Aczel A. D. (2006): Statystyka w zarządzaniu, PWN Sobczyk M. (2005): Statystyka, PWN Parlińska M., Parliński J. (2011): Statystyczna analiza danych z Excelem, Wydawnictwo SGGW Kisielińska J., Skórnik-Pokorowska U. (2005): Podstawy statystyki z przykładami w Excelu, Wydawnictwo SGGW materiały wykładowe

8 ZADANIE PROBLEMOWE 1 Dane pochodzą z GUS. Obserwujemy liczbę bezrobotnych mężczyzn i kobiet w okresie od 2005 do 2010 roku. Zadanie 1 to porównanie liczby bezrobotnych ze względu na płeć. Zadanie 2 to określenie dynamiki zmian liczby bezrobotnych w latach. Zbiorowość statystyczna podlegając badaniu to bezrobotni w Polsce. Cechy badane to: liczba bezrobotnych mężczyzn i liczba bezrobotnych kobiet. Obserwowane cechy są ilościowe, skokowe. Narzędzia statystyczne: miary zróżnicowania (odchylenie standardowe), położenia (średnia i mediana), średnia geometryczna.

9 Tabela 1. Porównanie liczby bezrobotnych mężczyzn i kobiet na podstawie wybranych wskaźników w I kwartale roku 2006 Miary Mężczyźni Kobiety średnia 92993, ,4 Me S 36797, ,4 W roku 2006 średnio liczba bezrobotnych mężczyzn była mniejsza niż bezrobotnych kobiet. Typowy obszar zmienności dla mężczyzn wynosił (56 196; ), a dla kobiet (58 484; ).

10 Zmiany liczby bezrobotnych w latach na koniec I kwartału Dla mężczyzn i kobiet obliczono tempo zmian w badanym okresie ( ). Srednia geometryczna dla mężczyzn wyniosła 0,9345, a dla kobiet 0,9172. Oznacza to, że z roku na rok w pierwszym kwartale malała liczba bezrobotnych kobiet i mężczyzn odpowiednio o 8,3% i 6,6% Mężczyźni Kobiety

11 Anex Wzory wykorzystanych miar statystycznych Wykorzystane pozycje literatury (Piłatowska M. (2006): Repetytorium ze statystyki, PWN, str. 12 def. typowy obszar zmienności) (Kobus P. Statystyka opisowa wykład 2. Miary położenia i zmienności, dn , str. 1 wzór średniej)

12 ZADANIE PROBLEMOWE 2 Dane zebrano od studentów WNE z II roku Zarządzania. Obserwujemy wzrost mężczyzn i kobiet z WNE II roku Zarządzania niestacjonarnych. Zadanie to graficzna prezentacja badanego zjawiska. Zbiorowość statystyczna podlegając badaniu to studenci z WNE II roku Zarządzania niestacjonarnego. Cechy badane to: wzrost studentów [w cm]. Obserwowane cecha jest ilościowa, ciągła. Dane zestawiono w szeregu rozdzielczym. Narzędzia statystyczne: histogram, wykres kołowy, graficzna, krzywa częstości, graficzna prezentacja typowego obszaru zmienności.

13 Szereg szczegółowy

14 Szereg rozdzielczy 1% 3%5% 6% 10% 13% 10% 22% 15% 15% Wzrost studenta (przedział) X_d X_g n_i w_i , ,6 3 0,03 154,6-159,2 154,6 159,2 5 0,05 159,2-163,8 159,2 163,8 13 0,13 163,8-168,4 163,8 168,4 22 0,22 168, , , , ,6 15 0,15 177,6-182,2 177,6 182,2 10 0,1 182,2-186,8 182,2 186,8 10 0,1 186,8-191,4 186,8 191,4 6 0,06 191, , ,01 Razem 100 1

15 Rozkład empiryczny badanego zjawiska przedstawiono na histogramie. Najliczniejsza grupa 22 studentów to studenci o wzroście od 163,8 do 168,4. Stanowi to 22% całej badanej zbiorowości. Najmniej liczne grupy studentów to najniżsi studenci (3 osoby ,6cm) i najwyżsi (1 student 191,4 do 196cm). W oparciu o uzyskany wykres można mówić o prawostronnej asymetrii. Wzrost studenta (przedział) X_d X_g n_i w_i , ,6 3 0,03 154,6-159,2 154,6 159,2 5 0,05 159,2-163,8 159,2 163,8 13 0,13 163,8-168,4 163,8 168,4 22 0,22 168, , , , ,6 15 0,15 177,6-182,2 177,6 182,2 10 0,1 182,2-186,8 182,2 186,8 10 0,1 186,8-191,4 186,8 191,4 6 0,06 191, , ,01 Razem 100 1

16 ,6 154,6-159,2 159,2-163,8 163,8-168,4 168, ,6 177,6-182,2 182,2-186,8 186,8-191,4 191,4-196

17 25 20 Wzrost 68% studentów jest z zakresu od 162,05 do 181,11 cm. Średnia = 171,58 S 2 = 90,88 S = 9, ,58-9,53 = 162,05; 171,58-9,53 = 181,

18

19 STATYSTYKA OPISOWA Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych uzyskanych podczas badania statystycznego. Celem stosowania metod statystyki opisowej jest podsumowanie zbioru danych i wyciągnięcie pewnych podstawowych wniosków i uogólnień na temat zbioru.

20 WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W ZAKRESIE STRUKTURA ZJAWISK MASOWYCH STRUKTURY ZALEŻNOŚCI ZJAWISK MASOWYCH STATYSTYKA ZALEŻNOŚCI DYNAMIKA ZJAWISK MASOWYCH DYNAMIKI OPISOWA MATEMATYCZNA

21 STATYSTYKA ZJAWISK MASOWYCH rachunkiem prawdopodobieństwa 21

22 Jakie ma dochody przeciętny Kowalski? Jak wygląda przeciętny Kowalski? Jak odżywia się przeciętny Kowalski? BADANIE PEŁNE STATYSTYKA OPISOWA POPULACJA PŁEĆ WZROST WAGA LICZBA DZIECI ZAROBKI ODŻYWIANIE KOLOR OCZU ZBIÓR OBIEKTÓW OBJĘTYCH BADANIEM STATYSTYCZNYM Z WYRÓŻNIONĄ CECHĄ WSPÓLNĄ 22

23 JAKI WZROST MA PRZECIĘTNY KOWALSKI? Jaki są zarobki przeciętnego Kowalskiego? POPULACJA BADANIE WYRYWKOWE REPREZENTACYJNE PRÓBA WYBRANA CZĘŚĆ POPULACJI PODLEGAJĄCA BADANIU 23

24 JAKI WZROST MA PRZECIĘTNY KOWALSKI? Jaki są zarobki przeciętnego Kowalskiego? POPULACJA WNIOSKOWANIE STAT. O POPULACJI 166 DOŚWIADCZALNICTWO ANALIZA WYNIKÓW WNIOSKOWANIE STAT. BŁĘDY STATYSTYCZNE PRÓBA STAT. MATEMATYCZNA

25 Etapy badania statystycznego Opis statystyczny Miary średnie Miary zróżnicowania Miary asymetrii Przygotowania Opracowanie Porządkowanie Prezentacja Szeregi Tabele wykresy Etapy badania Obserwacje Materiał pierwotny i wtórny Weryfikacja materiału 1) Cel 2) Jednostka statystyczna 3) Zbiorowość statystyczna (populacja, próba) 4) Cechy statystyczne 5) Metody badania (pełne, częściowe, szacunku)

26 Etapy badania statystycznego Przygotowania 1) Cel 2) Jednostka statystyczna 3) Zbiorowość statystyczna (populacja, próba) 4) Cechy statystyczne 5) Metody badania (pełne, częściowe, szacunku) Opis statystyczny Miary średnie, Miary zróżnicowania, Miary asymetrii Obserwacje Materiał pierwotny i wtórny Weryfikacja materiału Opracowanie Porządkowanie, Prezentacja, Szeregi, Tabele, wykresy

27 Cechy statystyczne STAŁE ZMIENNE Rzeczowe: co? Czasowe: kiedy? Jakościowe Ilościowe Przestrzenne: gdzie?

28 CECHY ZMIENNE LOSOWE ILOŚCIOWE (MIERZALNE) JAKOŚCIOWE (NIEMIERZALNE) KOLOR SMAK RODZAJ DŹWIĘKU CIĄGŁE WZROST WAGA NATĘŻENIE DŹWIĘKU SKOKOWE RZUT KOSTKĄ LICZBA BAKTERII ILOŚĆ PRACOWNIKÓW 28

29 spisy Pełne Rejestracja bieżąca ankietowe Metody badania częściowe monograficzne reprezentacyjne szacunki interpolacyjny ekstrapolacyjny

30 Prezentacja materiału statystycznego wykresy tablice szeregi Szczegółowe (uporzadkowane i nie) rozdzielcze przestrzenne dynamiczne Cechy jakościowe Cechy ilościowe (punktowe i przedziałowe)

31 WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W ZAKRESIE STRUKTURA ZJAWISK MASOWYCH STRUKTURY ZALEŻNOŚCI ZJAWISK MASOWYCH STATYSTYKA ZALEŻNOŚCI DYNAMIKA ZJAWISK MASOWYCH DYNAMIKI OPISOWA MATEMATYCZNA

32 Szereg szczegółowy Szereg rozdzielczy Położenia Zmienności Koncentracji Skupienia Dane statystyczne Miary opisowe Struktura zjawisk masowych

33 Analiza struktury Miary klasyczne Miary pozycyjne Dane statystyczne

34 Analiza struktury DANE STATYSTYCZNE Szereg szczegółowy (próba prosta) szereg rozdzielczy punktowy przedziałowy

35 Analiza struktury kwantyle KWARTYLE (MEDIANA) DECYLE średnie dominanta CENTYLE Miary pozycyjne zróżnicowanie Odchylenie ćwiartkowe Pozycyjny wsp. zmienności asymetria skupienie Pozycyjny współczynnik asymetrii Pozycyjny współczynnik skupienia

36 Analiza struktury średnie Średnia arytmetyczna Miary klasyczne zróżnicowanie asymetria skupienie wariancja współczynnik zmienności współczynnik asymetrii współczynnik skupienia

37 KLASYCZNE miary położenia Średnia arytmetyczna POZYCYJNE miary położenia Dominanta (moda) Kwantyle (kwartyle, decyle, centyle, percentyle)

38 KWANTYL RZĘDU ALPHA

39 KLASYCZNE miary zmienności Wariancja Odchylenie standardowe

40 KLASYCZNE miary zmienności Odchylenie przeciętne Współczynnik zmienności

41 POZYCYJNE miary zmienności Rozstęp Odchylenie kwartylowe Współczynnik zmienności

42 1) Cel 2) Jednostka statystyczna 3) Zbiorowość statystyczna (populacja, próba) 4) Cechy statystyczne 5) Metody badania (pełne, częściowe, szacunku) 1. Zbadanie jak kształtuje się powierzchnia mieszkań w pewnym mieście 2. Mieszkanie 3. Mieszkania 4. Powierzchnia mieszkania [m2] 5. Pełne/Częściowe

43 CECHA BADANA: powierzchnia mieszkania w m

44 CECHA BADANA: powierzchnia mieszkania w m

45 CECHA BADANA: powierzchnia mieszkania w m 2 0, = =10 45

46 Wzrost studenta (przedział) X_d X_g n_i n_(i) zawartość liczb w przedziale n środek w_i w_(i) , , , 2, 3 152,30 0,03 0,03 154,6-159,2 154,6 159, , 5, 6, 7, 8 156,90 0,05 0,08 159,2-163,8 159,2 163, ,8-168,4 163,8 168, , , , , ,6-182,2 177,6 182, ,2-186,8 182,2 186, , 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, ,50 0,13 0,21 166,10 0,22 0,43 44, 45, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 170,70 0,15 0, , 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 175,30 0,15 0, , 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, ,90 0,10 0,83 184,50 0,10 0,93 186,8-191,4 186,8 191, ,95, 96, 97,98, ,10 0,06 0,99 191, , ,75 0,01 1,00 Razem 100 1,00

47 Szereg szczegółowy

48

49 PYTANIA 1. Dane są następujące obserwacje: 1, 2, 3, 4, 5. Oblicz średnią, medianę, dominantę i odchylenie standardowe. 2. Podano dane w postaci szeregu rozdzielczego. Przedziały Liczebności Oblicz: średnią, wariancję i medianę W jakich przypadkach miary obliczane na podstawie szeregów rozdzielczych będą różnić od obliczanych z próby prostej.

50 PYTANIA CD 1. Jakie są własności poszczególnych miar tendencji centralnej? 2. Badano zarobki w dwóch zakładach pracy A i B. Uzyskano następujące wyniki: średnie w zakładzie A = 1800, B =2000 i mediany w zakładzie A = 2000 i B = W którym zakładzie wiekszość pracowników ma lepsze zarobki? 3. Wymienić pozycyjne miary położenia. 4. Wymienić klasyczne miary zmienności. 5. Wymienić pozycyjne miary zmienności. 6. W jakich przypadkach nie należy stosować współczynnika zmienności? 7. W pewnej zbiorowości wyznaczono średnia wartość badanej zmiennej i odchylenie standardowe, uzyskując odpowiednio: 100 i 9. Podaj zakres typowej zmienności. 8. Dla pewnego rocznika studentów średni wynik ze statystyki wynosi 3.57 oraz mediana Czy większość studentów ma ocenę ze statystyki większą od średniej czy nie? Odpowiedz uzasadnić.

51 ciągła jednowymiarowa Skokowa Zmienna losowa wielowymiarowa

52 Momenty zwykłe i centralne kwantyle wariancja dominanta PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ Wartość oczekiwana

53 Zmienna losowa i jej rozkład Rozkłady teoretyczne Normalny Dwumianowy Poissona Funkcje rozkładów Funkcja gęstości dystrybuanta

54 x function(x) dnorm(x) (x)

55

56

57

58 ROZKŁAD NORMALNY 58

59 Histogram of rnorm(1000, EX, DX) Histogram of rnorm(1000, EX, DX) Frequency Frequency rnorm(1000, EX, DX) rnorm(1000, EX, DX) Histogram of rnorm(1000, EX, DX) Histogram of rnorm(1000, EX, DX) Frequency Frequency rnorm(1000, EX, DX) rnorm(1000, EX, DX)

60 Histogram of Zm Zm Histogram of Zm Zm Frequency Frequency Histogram of Zm Zm Histogram of Zm Zm Frequency Frequency

61 Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski

62 2

63 Na dziś Sprawy bieżące Za dwa tygodnie ( ) pierwszy sprawdzian na wykładzie z przerobionego materiału Konsultacje Inne 3

64 Na dziś Powtórzenie z poprzedniego wykładu Wykład 2: rozkłady prawdopodobieństwa rachunek prawdopodobieństwa miary koncentracji miary skośności

65 ciągła jednowymiarowa Skokowa Zmienna losowa wielowymiarowa

66 Zmienna losowa i jej rozkład Rozkłady teoretyczne Normalny Dwumianowy Poissona Funkcje rozkładów Funkcja gęstości dystrybuanta

67 7

68 CECHA X: powierzchnia mieszkania w m 2 8

69 9

70 10

71 11

72 12

73 x function(x) dnorm(x) (x)

74 14

75 15

76

77

78

79

80

81 Histogram of rnorm(1000, EX, DX) Histogram of rnorm(1000, EX, DX) Frequency Frequency rnorm(1000, EX, DX) rnorm(1000, EX, DX) Histogram of rnorm(1000, EX, DX) Histogram of rnorm(1000, EX, DX) Frequency Frequency rnorm(1000, EX, DX) rnorm(1000, EX, DX)

82 Histogram of Zm Zm Histogram of Zm Zm Frequency Frequency Histogram of Zm Zm Histogram of Zm Zm Frequency Frequency

83 ,6 154,6-159,2 159,2-163,8 163,8-168,4 168, ,6 177,6-182,2 182,2-186,8 186,8-191,4 191,4-196

84 25 20 Średnia = 171,58 S 2 = 90,88 S = 9, ,58-9,53 = 162,05; 171,58-9,53 = 181,

85 Wzrost kobiet jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią 166 i wariancją 400. Jaki procent kobiet będzie miał wzrost z przedziału od 146 do 186 centymetrów? Przykład POPULACJA: KOBIETY CECHA X: WZROST JEDNEJ KOBIETY RODZAJ CECHY: CIĄGŁA ROZKŁAD CECHY: NORMALNY FORMALNY ZAPIS PYTANIA: P{X (146; 186)}=? ROZWIĄZANIE: P{X (166-20=146; =186)}=0.68 ODPOWIEDŹ: 68% kobiet będzie miało wzrost od 166 do 186. Do obliczeń wykorzystałem prawo 3 sigm. 25

86 Momenty zwykłe i centralne kwantyle PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ wariancja Wartość oczekiwana dominanta

87 Momenty zwykłe i centralne

88 Momenty centralne Momentem centralnym nazywamy średnią arytmetyczną z odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od średniej arytmetycznej podniesionych do r-tej potęgi. Moment centralny drugiego rzędu nazywamy wariancję Moment centralny trzeciego rzędu nazywamy współczynnik asymetrii obserwacji (współczynnik skośności) Moment centralny czwartego rzędu nazywamy miarę koncentracji obserwacji (współczynnik kurtozy)

89

90 Kurtoza g eksces = g 4-3 Kurtoza informuje właściwie o tym czy dane są bardziej w centralnej części rozkładu, czy w ogonach. Rozkłady prawdopodobieństwa można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady: mezokurtyczne - wartość kurtozy wynosi 3, spłaszczenie rozkładu jest podobne do spłaszczenia rozkładu normalnego (dla którego ekscesu wynosi dokładnie 0) leptokurtyczne - kurtoza jest dodatnia, wartości cechy bardziej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym platokurtyczne - kurtoza jest ujemna, wartości cechy mniej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym

91

92

93 Krzywa koncentracji Lorentza

94 Współczynnik Giniego

95 Przykład Decyle Dochód [%] Dochód skumulow any [%]

96 Decyl e Dochód [%] Dochód skumulo wany [%] Przykład

97 PYTANIA 1. Wymień znane Ci teoretyczne rozkłady prawdopodobieństwa wykorzystywane w statystyce matematycznej. 2. Znając rozkład popytu na pewien towar określ oczekiwany zysk wiedząc, że cena sprzedaży wynosi 10, a koszty stałe Popyt P(popytu) 0,4 0,3 0,2 0,1 3. Jaka jest interpretacja pojecia kurtozy? 4. Wyjaśnij pojęcie asymetria prawostronna. 5. Dwaj niezależni analitycy badali zużycie paliwa w pewnej firmie. Stwierdzili, że badana cecha ma rozkład normalny. W wyniku obliczeń analityk A stwierdził, że zużycie paliwa charakteryzuje się silną prawostronną asymetrią, a analityk B który liczył pozycyjny współczynnik asymetrii stwierdził, że jest tam silna asymetria lewostronna. Który z nich miał rację? Odpowiedź uzasadnij. 6. Badając rozkład dochodów w pewnym powiecie uzyskano następujące udziały w łącznych dochodach dla kolejnych części zbiorowości (równych pod względem liczebności): 5%, 10%, 20%, 65%. Ile wynosi współczynnik Giniego? 7. Wykreśl krzywą Lorenza w oparciu o dane z pytania 6. Jak wyglądałby taki wykres gdyby w całej zbiorowości tylko jedna osoba miała dochody? 8. Co oznacza określenie rozkład leptokurtyczny? 9. W pewnej zbiorowości wyznaczono średnia wartość badanej zmiennej, odchylenie standardowe i dominantę uzyskując odpowiednio: 100, 9 i Oblicz wartość współczynnika asymetrii. 10. Wzrost kobiet jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią 166 i wariancją 400. Jaki procent kobiet będzie miał wzrost z przedziału od 146 do 186 centymetrów?

98 Gini Dochód Decyle Dochód [%] skumulowany X Y 0,33 [%] % 0% % 1% 0, % 4% 0, % 9% 0, % 16% 0, % 25% 0, % 36% 0, % 49% 0, % 64% 0, % 81% 0, % 100% 0,181 RAZEM: 0,67 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0% 20% 40% 60% 80% 100%

99 t t2st2 s r 3 t r 2 3 rt P tr32 s 3 ó s rst s rs3 t t2st2 r3 3 t st r

100 3 r2 st 3 r s3 3 ó 2 = 1 = = 1 t rt2,, = 1 = = = 1 1 = = (1 1) = s = 1 s = + = = (1 1) / / = = (1 1) / /

101 s2 tr 3 r s3 3 ó 2 3 s ó 32 ó s2 tr s, s, ó s 3 s ó 32 ó s r r s2 tr 1 = = r s2 tr 1 < < s2 tr str 1 > > s2 tr r str

102 2 r 3 3 r s3 3 ó 2 s s = s s r 3 s3t t r 2 r 3 3 rt2 3 2 s s r 3 st r 3 2s 2 r 2 r 3 t rt2 3 2 s3 s rt ó r s s r 3 st 2s 2 r 2 r 3 t2 rt2 3 2 s3 s s3 3 r 3

103 3 r2 st 3 r r = = 1 = 1 = t2 r3 α α α = 1α + (α) α α = 1 = = = 1 1 = = ( 1 1) = s = 1 s = + = = ( 1 1) / / = = ( 1 1) / /

104 3 r2 st s ó 32 = (1 1 )(2 + 2 ) =

105 3 r2 st r st = 1 ( + ) = + = ( ) = ( ) ( + ) = 1 r 3 r 2(, 1,, ) P(, ), (, ) r 3 r 2( ; ; ; ) r 3 r 2(, ; ; ; )

106 ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ t t2st2 s rt P tr32 s 3 ó s rst s rs3 t t2st2 r3 3 t st r s str 3 2 rs3 st2 3

107 ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ P2t st t st 2 r 2t P P s ó 32 r P rs r32 rt 3 3 r s r32 rt 3 3 r s ( σ, σ) s 3 3 r32 2 ρ > st r 3

108 ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ P2t st t st 2 r 2t P P r 3 s 3 r st = (1 1) r 3 r t s ó 32 3 r 3ró r t 2 st r

109 ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ P2t st t st 2 r 2t P P r ró 2 rt st2 t r λ r 3

110 ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ P2t st t st 2 r 2t P P s2 3 r2 r 3 r s3 t r 2 rt 2 st r r rt2 r r2t t2 3 t

111 ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ P2t st t st 2 r 2t P P s ó 32 t r r 3 r s3 r32 rt 3 3 r s r tr r32 rt t r tr r32 rt 3 3 r s r tr r32 rt 3 3 r s

112 ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ P2t s3 3 ó r s3 2t P P2t r t t2 s r t 2 t r32s32 3r st r rt r P2t 2 t 3 2 r t 3r t 2 P2t r t2 t P2t 3 r 3 s 2 s s 3 tr s3 P2t s ó 32 3 s r 2 r32 r32 rt

113 ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ 3 ró 3 s P s3 3ór r2 s3 r r t s2 P P = 1. + =

114 ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ Pr st 3 t r r t 3 P 3 r 23 3 r rt 3 2 st r r 3 rt2 2 r 2 ór 2 32s r 3 st 2 s32 2 ó 3 P P = s =

115 ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ Pr st 3 t r r t 3 P 3 rt s r3 2 s ó t ró 2 s ó r s s rt s r3 2 3 r 3 s2 s r t r r t 32s s P P q

116 ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ ❺➅❶ r 3 r 3 t 2 r2s P 23 3 r 3 s32 2 P ❺ P ❺ 1 1 ( )