Wykład 6 Teoria eksperymentu

Transkrypt

1 Wykład 6 Teoria eksperymentu Wrocław, r

2 Kwadrat łaciński Uszeregowanie N = p 2 elementów, które podlegają klasyfikacji podwójnej ze względu na p - bloków I rodzaju (wierszy) i p bloków II rodzaju (kolumn). Każdy z p obiektów eksperymentalnych występuje dokładnie p razy. Przykłady kwadratów łacińskich 3x3 4x4 6x6 CAB ABCD ADCEBF BCA BCAD BAECFD ABC CDBA CEDFAB DACB DCFBEA FBADCE EFBADC

3 Kwadrat łaciński Standardowy kwadrat łaciński Liczba wszystkich możliwych to p!(p 1)! ilość standardowych standardowe wszystkie 3x x x x x

4 Model matematyczny y ijk = µ + α i + τ j + β k + ɛ ijk α i - efekt i-tego wiersza, i = 1,..., p τ j - efekt j-tego obiektu, j = 1,..., p β k - efekt k-tej kolumny, k = 1,..., p Założenia: ɛ ijk N(0, σ 2 ) i α i = j τ j = k β k = 0 H 0 : µ 1.. = µ 2.. = = µ p.. H 1 : µ s.. µ t.. dla przynajmniej jednej pary s, t

5 Przebieg analizy źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F obiekty A = p y 2.j. y... 2 p 1 j=1 p N A p 1 MS A MS E wiersze kolumny R = p y 2 i.. y... 2 p 1 i=1 p N C = p y 2..k y... 2 p 1 k=1 p N R p 1 C p 1 błąd E = T A R C (p 2)(p 1) całkowita T = i j k y ijk 2 y.. 2 p 2 1 N F 0 = MS A MS E F (p 1, (p 2)(p 1)) E (p 2)(p 1)

6 Estymacja brakującej danej: x = ŷ ijk = p(y i.. + y.j. + y..k ) 2y... (p 2)(p 1) W analizie wariancji liczbę stopn swobody dla całości i dla błędu zmniejsza się o 1. Przy analizie wartość T wyliczoną bazując na oszacowanej wartosci y ijk zmniejsza się o: H = [ ] 2 y... y i.. y..k (p 1)y.j. (p 1) 2 (p 2) 2

7 Cechy charakterystyczne kwadratu łacińskiego 1 Możliwość porównywania obiektów eksperymentalnych przez eliminację zmienności wierszowej i kolumnowej 2 Mała ilość jednostek eksperymentalnych przy jednoczesnym badaniu zróżnicowania między efektami trzech klasyfikacji 3 Prosta analiza statystyczna oparta na analizie wariancji 4 W przypadku niektórych wyników nie ma zbyt wiele trudności Wady: 1 Musi zachodzić: ilość obiektów = ilość kolumn = ilość wierszy (nie używa się kwadratów większych niż 12x12 2 Wymaganie braku interakcji 3 Przy braku efektu wierszy i kolumn metoda mniej skuteczna niż metoda losowych bloków

8 Przykład 6.1 Eksperymentator jest zainteresowany zbadaniem wpływu pięciu różnych preparatów, wchodzących w skład mieszanki wybuchowej stosowanej do produkcji dynamitu, na siłę eksplozji. Każdy preparat miesza się z odpowiednią partią surowca (która starcza tylko na 5 preparatów do badań). Ponadto preparaty wytwarzane sa prze 5 różnych chemików różniących się umiejętnościami i doświadczeniem. Tak więc mamy dwie niedogodności takie jak partia surowca i chemicy. Badanie polega na testowaniu dokładnie raz każdego preparatu w reakcji z każdą z partii surowca i dokładnie raz przez każdego z chemików. Zakładamy ortogonalności partii i chemików do preparatów.

9 Przykład c.d. partia chemik surowca A = 24 B = 20 C = 19 D = 24 E = 24 2 B = 17 C = 24 D = 30 E = 27 A = 36 3 C = 18 D = 38 E = 26 A = 27 B = 21 4 D = 26 E = 31 A = 26 B = 23 C = 22 5 E = 22 A = 30 B = 20 C = 29 D = 31

10 Przykład c.d. Zmieniamy poprzez odjęcie y i.. 1 A = 1 B = 5 C = 6 D = 1 E = B = 8 C = 1 D = 5 E = 2 A = C = 7 D = 13 E = 1 A = 2 B = D = 1 E = 6 A = 1 B = 2 C = E = 3 A = 5 B = 5 C = 4 D = 6 7 y..k y... = 10 litera łacińska suma A y.1. = 18 B y.2. = 24 C y.3. = 13 D y.4. = 24 E y.5. = 5

11 Przykład c.d. T = p R = p i=1 C = p A = p j=1 E = 128 p p i j k y ijk N = 676 yi.. 2 p y... 2 N = 68 y..k 2 k=1 p y... 2 N = 150 y 2.j. p y 2... N = 330

12 Przykład c.d. źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F preparat A = partia surowca R = chemik C = błąd E = całkowita T = F 0.95(4, 12) = 5.91 < 7.73 = F 0 Zatem jest znacząca różnica w średniej sile wybuchu wywołanej różnymi składnikami dynamitu

13 Przykład 6.2 Estymacja brakującej obserwacji: Załóżmy, że brakuje y 314 y y y i.. = 3 y... = 8.j. = 16..k = 3 x = 5 ( ) = = 7.83

14 Replikacje kwadratu łacińskiego Wada kwadratu łacińskiego - względnie mała liczba stopni swobody dla błędu. (dla 3x3 ν E = 2, dla 4x4 ν E = 6 Używając małych kwadratów łacińskich często stosuje się replikacje w celu podniesienia liczby stopni swobody dla błędu. Dla przykładu z preparatami, partiami surowca i chemikami można replikować doświadczenia następująco: 1 Użyć tych samych partii surowca i chemików 2 Użyć tych samych partii surowca i różnych chemików przy każdej replikacji (lub różnych partii surowca i tych samych chemików) 3 Użyć różnych partii surowca i różnych chemików Analiza wariancji zależy od metody replikacji.

15 Replikacje kwadratu łacińskiego 1. Te same poziomy dla wierszy i kolumn. y ijk, i - wiersze, j - obiekty, k -kolumny, l - replikacje; N = p 2 n źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F p y 2.j.. obiekty A = y2... p 1 A MS A j=1 np N p 1 MS E p y 2 wiersze R = i... y2... p 1 R i=1 np N p 1 p y 2 kolumny C =..k. y2... p 1 C k=1 np N p 1 n y 2 replikacje rep =...l l=1 p 2 y2... rep n 1 N n 1 błąd dopełnienie (p 1)[n(p + 1) 3] E (p 1)[n(p+1) 3] całkowita T = i j k l y 2 y2.. np 2 1 ijkl N

16 Replikacje kwadratu łacińskiego 2.Różne wiersze te same kolumny źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F p y 2.j.. obiekty A = y2... p 1 A MS A j=1 np N p 1 MS E p y 2 wiersze R = i..l y2... i=1 p p 2 n(p 1) R n(p 1) p y 2 kolumny C =..k. y2... p 1 C k=1 np N p 1 n y 2 replikacje rep =...l l=1 p 2 y2... rep n 1 N n 1 błąd dopełnienie (p 1)(np 1) E (p 1)(np 1) całkowita T = i j k l y 2 y2.. np 2 1 ijkl N

17 Replikacje kwadratu łacińskiego 3. Nowe wiersze i nowe kolumny źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F p y 2.j.. obiekty A = y2... p 1 A MS A j=1 np N p 1 MS E p y 2 wiersze R = i..l y2... i=1 p p 2 n(p 1) R n(p 1) p y 2 kolumny C =..kl y2... k=1 p p 2 n(p 1) C n(p 1) n y 2 replikacje rep =...l l=1 p 2 y2... rep n 1 N n 1 błąd dopełnienie (p 1)[n(p 1) 1] E (p 1)[n(p 1) 1] całkowita T = i j k l y 2 y2.. np 2 1 ijkl N

18 Kwadrat grecko - łaciński Rozważamy dwa kwadraty łacińskie pxp (w jednym obiekty oznaczamy literami łacińskimi w drugim geckimi). Każda litera grecka i łacińska mogą wystąpić dokładnie raz w każdym wierszu i każdej kolumnie. Jeżeli po nałożeniu dwóch kwadratów (greckiego i łacińskiego) na siebie każda litera łacińska występuje raz i tylko raz z każdą literą grecką, to kwadraty są wzajemnie ortogonalne.

19 Kwadrat grecko - łaciński Model matematyczny y ijkl = µ + α i + τ j + ω k + ψ l + ɛ ijkl α i - efekt i-tego wiersza, i = 1,..., p τ j - efekt j-tej litery łacińskiej, j = 1,..., p ω k - efekt k-tej litery greckiej, k = 1,..., p ψ l - efekt l-tej kolumny, l = 1,..., p ɛ ijkl N(0, σ 2 )

20 Przebieg analizy - kwadrat grecko łaciński źródło suma stopnie zmienności kwadratów swobody litera łacińska L = p y 2.j.. y... 2 j=1 p N p 1 litera grecka wiersze kolumny G = p y 2..k. y... 2 p 1 k=1 p N R = p y 2 i... y... 2 p 1 i=1 p N C = p y 2...l y... 2 p 1 k=1 p N błąd E = T L G R C (p 3)(p 1) całkowita T = i j k l y ijkl 2 y... 2 p 2 1 N

21 Przykład c.d. W przykładzie z dynamitem dokładamy jeszcze jeden czynnik, który może być istotny, zestaw badawczy. Doświadczenie wykonujemy wg. układu y i... 1 Aα = 1 Bγ = 5 Cɛ = 6 Dβ = 1 Eδ = Bβ = 8 Cδ = 1 Dα = 5 Eγ = 2 Aɛ = Cγ = 7 Dɛ = 13 Eβ = 1 Aδ = 2 Bα = Dδ = 1 Eα = 6 Aγ = 1 Bɛ = 2 Cβ = Eɛ = 3 Aβ = 5 Bδ = 5 Cα = 4 Dγ = 6 7 y...l y... = 10

22 Przykład c.d. źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F preparat L = partia surowca R = chemik C = zestaw badawczy G = błąd E = całkowita T = F 0.95(4, 8) = 6.04 < 10 = F 0 Zatem jest znacząca różnica w średniej sile wybuchu wywołanej różnymi składnikami dynamitu

23 Polecane literatura: S. Czaja, T. Poskrobko et.al Wyzwania współczesnej ekonomii, 2012, Warszawa D.C. Montgomery Design and Analysis of Experiments, 1991 P.I. Good, Resampling Methods. A Practical Guide to Data Analysis, 2005 E.L. Lehmann,Teoria estymacji punktowej, PWN Warszawa 1991