Fakulta biomedic ınsk eho inˇzen yrstv ı Teoretick a elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhl ıˇr, CSc. L eto 2017

Transkrypt

1 Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2017

2 4. Výpočty v časové oblasti 1

3 Laplaceova transformace aplikace v analýze elektrických obvodů Obvodové rovnice s integrálním nebo diferenciálním popisem vztahů mezi obvodovými veličinami Přechodné děje napětí (proud) v obvodu se skokem budicí veličiny 2

4 Laplaceova transformace ve výpočtech elektrických obvodů Definice Laplaceova obrazu pro časovou funkci f(t) F (p) = + 0 f(t)e pt dt, s = σ + jω Definice zpětné Laplaceovy transformace pro obraz F (s) f(t) = 1 2πj σ+ σ F (p)ept ds Praktické použití Laplaceovy transformace je založeno na slovnících, ve kterých jsou k dispozici užitečné dvojice předmět obraz Pro přímou a inverzní Laplaceovu transformaci je možno používat také matematický software 3

5 Vlastnosti Laplaceovy transformace operace Linearita n k=1 a k f k (t) n k=1 a k F k (p) Posunutí v čase f(t t 0 ) F (p)e pt 0 Obraz derivace df(t) dt pf (p) f(0 + ) Obraz integrálu t 0 f(τ)dτ 1 p F (p) 4

6 Vlastnosti Laplaceovy transformace signály Jednotkový impuls δ(t) 1 Jednotkový skok 1(t) 1 p Sinusový signál, kosinusový signál (viz derivace) 1(t) sin(ωt) ω p 2 + ω 2 1(t) cos(ωt) p p 2 + ω 2 Exponenciální impuls 1(t)e at 1 p + a 5

7 Pro analýzu v časové oblasti nejčastěji použijeme impulsové signály. Nejjednodušší z nich se nazývá napět ový (proudový) skok. u(t) U 0 u(t) = t { 0, t < 0 U, t 0 ȯ Laplaceův obraz U(p) = U p 6

8 Další signál pro analýzu v časové oblasti označujeme jako osamělý impuls. u(t) U 0 t i u(t) = t 0, t < 0 U, t 0 0, t t i.. Laplaceův obraz U(p) = U p (1 e pt i) 7

9 Periodický impulsní průběh u(t) U 0 t i T T + t i 2T t u(t) = { 0, kt + ti < t < (k + 1)T U, kt t kt + t i. u(t) = { 0, kt + ti < t < (k + 1)T U, kt t kt + t i k =...., 2, 1, 0, 1, 2,... střída (duty cycle) d = t i T t i Laplaceův obraz U(p) = U p (1 e pt i) (1 e pt ) 8

10 Reálný impulsní signál t r t f u vrchol impulsu (u i ) 90%u i 50%u i t d t i u i 10%u i t pata čelo týl 9

11 t r je doba trvání čela (náběhu) impulsu (rise time) a měří se jako čas, který impulsní napětí potřebuje k přechodu mezi 10%u i a 90%u i. t f je doba trvání týlu (poklesu) impulsu (fall time) a měří se jako čas, který impulsní napětí potřebuje k přechodu mezi 90%u i a 10%u i. t d je doba zpoždění čela impulsu (delay time) a může být vztažena k jakémukoli časovému okamžiku, obvykle před příchodem čela. Obecně může být vztažena i k okamžiku pozdějšímu, pak má záporné znaménko. Pokud se vztahuje k jinému impulsu, bývá měřena rovněž vůči okamžiku, kdy tento impuls prochází úrovní 50%u i. t i doba trvání impulsu 10

12 u periodicky se opakujících impulsů se uvádí kmitočet nebo perioda opakování impulsu střída (duty cycle), tj., poměr doby trvání impulsu k době trvání paty, opět měřeno v úrovni 50%u i

13 Obvod RC buzený skokem napětí integrační obvod R C u 1 (t) u C (t). 11

14 V RC obvodu se bude kapacitor přes rezistor nabíjet. Počáteční napětí na kapacitoru v čase t = 0 necht je u C (0). V čase t půjde u C (t) U. Nabíjecí proud klesne k nule tehdy, kdy se napětí na zdroji vyrovná s napětím na nabitém kapacitoru. Pro proud v obvodu lze napsat rovnici ( 1 t ) Ri(t) = U u C (t) = U C i(t)dt + u C(0) 0 K jejímu řešení použijeme Laplaceovy transformace. Známe obraz skoku ( 1 p ), obraz počáteční podmínky pro funkci (f(t) 1 p f(0)) a obraz integrálu funkce ( t 0 f(t)dt 1 p F (p)). 12

15 Pro Laplaceův obraz proudu I(s) pak lze napsat RI(p) = U ( 1 p pc I(p) + u ) C(0) p a po úpravě I(p) = U u C(0) R 1 (p + 1 kde τ = RC τ ), Ve slovníku Laplaceových obrazů nalezneme 1 p+a e at Řešení tedy popisuje časový průběh proudu pro t 0 i(t) = U u C(0) R e t τ τ = RC je časová konstanta a má rozměr v sekundách. 13

16 Pro obvod lze nakreslit jeho operátorový model a rovnici zapsat přímo z něj R R i(t) U.1(t) C I(p) U/p 1/pC u C I(p) = U u C (0) p R + 1 pc = U u C(0) R 1 p + 1 RC F (p) = 1 (p + a) f(t) = e at i(t) = U u C(0) R e t τ, kde a = 1/τ τ = RC. 14

17 Normalizovaný časový průběh proudu 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 i/i0 0,3 0,2 0,1 0 i 0 = U u C(0) R 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 čas t/τ 15

18 Pro napětí u C (t) dostaneme u C (t) = U (U u C (0)) e τ t = U(1 e τ t ) + u C (0)e τ t a pro u C (0) = 0 u C (t) = U(1 e τ t ) nebo Laplaceovou transformací U C (p) = U p. 1 pc R+ 1 pc = U τ. 1 p (p+ 1 τ ) Slovník: F (p) = 1 p (p+a) f(t) = 1 ( a 1 e at ) ( a = 1 τ, u C(t) = U 1 e τ t ) 16

19 Graficky průběh nabíjení ukazuje obrázek, a to pro případ, že u C (0) = 0, U = 1 V, RC = τ = 1 s, např. R = 100 kω a C = 10 µf. 1 τ 0,9 0,8 u b 0,7 0,6 0,5 t ab u a u C (t) [V] 0,4 0,3 0,2 0, ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 čas t [s] 17

20 Z obrázku lze vyčíst některé vlastnosti napětí na kapacitoru: směrnice tečny exponenciály na počátku přechodného děje je rovna časové konstantě τ, po uplynutí doby t = τ dosáhne exponenciála přibližně 63% z ustálené hodnoty, po uplynutí času odpovídajícího třem časovým konstantám je napětí na kapacitoru větší než 95% ustálené hodnoty, po uplynutí času odpovídajícího pěti časovým konstantám je napětí na kapacitoru větší než 99% ustálené hodnoty, zvolíme-li na exponenciálním průběhu dvě libovolné úrovně napětí u a a u b, můžeme při známé velikosti ustálené hodnoty U vypočítat dobu t ab, po kterou exponenciála bude probíhat mezi napětími u a a u b t ab = τ ln ( U ua U u b ). 18

21 Nad výrazy pro napětí na kapacitoru a proud obvodem lze uvést následující praktické úvahy: přechodný děj lze urychlit jenom zmenšením časové konstanty τ = R.C, zmenšení časové konstanty lze docílit zmenšením kapacity C, což v praxi nemusí být vždycky možné, zmenšení časové konstanty lze docílit zmenšením odporu R; to ale vede k většímu proudu i(0) = U/R, což nemusí snášet zdroj impulsního napětí. Zkracování přechodných dějů v elektronických obvodech je vždy bojem s přírodou. 19

22 Necht napětí u 1 (t) = U skokem přejde v čase t i z hodnoty U na hodnotu u 1 (t i ) = 0. Jedná se o buzení impulsem: u [V] u [V] u [V] 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 t [µs] 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 t [µs] 0,0 1,0 2,0 3,0 t [µs] 20

23 Pokud bylo u C (0) = 0, vytvoří se v čase t i počáteční podmínka pro následující přechodný děj u C (t i ) = U(1 e t i τ ) Pak z výrazu pro přechodný děj s počáteční podmínkou u C (t i ) a nulovým budicím napětím dostaneme u C (t) = 0 [0 u C (t i )] e t t i τ u C (t) = u C (t i )e t t i τ 21

24 Buzení periodickými impulsy u [V] u [V] u [V] 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs] 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs] 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs 22

25 Na prvém grafu výstupního signálu je časový průběh na výstupu z obvodu s časovou konstantou τ = 50 ns (tedy 5 % z periody impulsního průběhu), na druhém grafu je časová konstanta obvodu nastavena na 5 µs (tedy pětinásobek periody). V tomto druhém případě se chování obvodu dá interpretovat jako integrace. Povšimněme si, že výstupní napětí obvodu na konci přechodného děje osciluje kolem hodnoty 7 V. To je hodnota integrálu z periody vstupního průběhu (10 V a 70 % periody). Napětí se vlní, ale pokud bychom časovou konstantu zvětšili, zvlnění by se zmenšilo, avšak ustálení na hodnotě integrálu by trvalo déle. 23

26 Obvod RC buzený skokem napětí derivační obvod C R u 1 (t) u R (t) 24

27 Pokud u C (0) = 0 je napětí na výstupu derivačního obvodu pro t < 0 rovno u R (0 ) = 0. Pro t 0 platí u R (t) = Ue t τ Normalizovaný průběh u R /U 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 τ 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 čas t/τ 25

28 Při buzení osamělým impulsem skočí vstupní impuls z hodnoty napětí u 1 (t) = U v čase t i zpět na nulovou hodnotu. Pak bude u R (t) = (0 + u C (t i )) e t t i τ = (u R (t i ) U) e t t i τ pro t t i Pokud bylo před příchodem impulsu v čase t = 0 výstupní napětí nulové, bude u R (t i ) = Ue t i τ u R (t) = U (e t i τ 1) e t t i τ pro t t i A pokud by přechodný děj v průběhu času t i τ skončil, tedy u R (t i ) 0, pak u R (t) = U e t t i τ pro t t i 26

29 12,0 8,0 u [V] u [V] u [V] 4,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0 t [µs] t [µs] 0,0 1,0 2,0 3,0-12,0 0,0 1,0 2,0 3,0 t [µs] 27

30 u [V] u [V] u [V] 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs 28

31 Na obrázku je naznačena situace analogická k příkladu buzení integračního obvodu periodickými impulsy. Nejprve je uveden příklad buzení obvodu impulsy s periodou 1 µs a střídou 0,7 (impuls):0,3 (mezera) s tím, že časová konstanta obvodu je 0,1 µs. V druhém případě je časová konstanta obvodu 5 µs. V prvém případě lze přiznat obvodu roli obvodu derivačního, protože generuje jednotlivé impulsy, které svou polaritou a krátkostí trvání připomínají derivaci skoků (derivace ideálního skoku je nekonečně krátký impuls). 29

32 Články RL L R R L u 1 (t) u 2 (t) u 1 (t) u 2 (t) integrační obvod derivační obvod Pro integrační i derivační článek složený z induktoru a rezistoru platí, při buzení skokem napětí nebo impulsy, identické vztahy jako pro články RC. Časová konstanta je τ = L R. 30

33 Obvod LR se spínačem V obvodu s induktorem můžeme vytvořit situaci, kdy se na svorkách některých součástek může objevit napětí vyšší, než má kterýkoli zdroj napětí. To využíváme v tzv. spínaných zdrojích a regulátorech napájecích napětí. Princip takových obvodů je založen na skutečnosti, že induktor hromadí energii v magnetickém poli, které je vytvořeno procházejícím proudem. Proto má procházející proud setrvačné chování. Pokud spínač skokem změní odpor v obvodu, přechodný děj bude vycházet z počáteční podmínky, dané proudem před přepnutím. Platí tedy, je-li proud před sepnutím určen menším odporem než je odpor připojený po přepnutí, vznikne na svorkách připojeného rezistoru skok napětí s větším napětím, než má zdroj, který do induktoru proud zavedl. 31

34 Spínání induktivní zátěže sepnuto vypnuto 2 0 ms 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms 50 ms 150 ma 10V 1k 0,5H 100 ma 50 ma 0 ma proud induktoru 0 ms 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms 50 ms 150V 75V 0-75V -150V napìtí na induktoru -225V 0 ms 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms 50 ms 32

35 Obrazy vztahů mezi obvodovými veličinami na svorkách elementárních dvojpólů u R (t) = Ri R (t) U R (p) = RI R (p) i R (t) = Gu R (t) I R (p) = GU R (p) u L (t) = L di L(t) dt i L (t) = 1 L t 0 U L (p) = pli L (p) Li L (0 + ) u L (τ)dτ + i L (0 + ) I L (p) = 1 pl U L(p) + i L(0 + ) p u C (t) = 1 C t 0 i C (t) = C du C(t) dt i C (τ)dτ + u C (0 + ) U C (p) = 1 pc I C(p) + u C(0 + ) p I C (p) = pcu C (p) Cu C (0 + ). 33

36 Operátorové modely kapacitoru pro obvodové rovnice I C (p) I C (p) = pcu C (p) Cu C (0 + ) u C (0 + ) p Cu C (0 + ) U C (p) U C (p) pc 1 pc U C (p) = pc 1 I C(p) + u C(0 + ) p 34

37 Operátorové modely induktoru pro obvodové rovnice I L (p) I L (p) = 1 pl U L(p) + i L(0 + ) p U L (p) = = pli L (p) Li L (0 + ) pl Li L (0 + ) U L (p) i L (0 + ) p 1 pl 35