Fakulta biomedic ınsk eho inˇzen yrstv ı Teoretick a elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhl ıˇr, CSc. L eto 2017
|
|
- Małgorzata Woźniak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2017
2 4. Výpočty v časové oblasti 1
3 Laplaceova transformace aplikace v analýze elektrických obvodů Obvodové rovnice s integrálním nebo diferenciálním popisem vztahů mezi obvodovými veličinami Přechodné děje napětí (proud) v obvodu se skokem budicí veličiny 2
4 Laplaceova transformace ve výpočtech elektrických obvodů Definice Laplaceova obrazu pro časovou funkci f(t) F (p) = + 0 f(t)e pt dt, s = σ + jω Definice zpětné Laplaceovy transformace pro obraz F (s) f(t) = 1 2πj σ+ σ F (p)ept ds Praktické použití Laplaceovy transformace je založeno na slovnících, ve kterých jsou k dispozici užitečné dvojice předmět obraz Pro přímou a inverzní Laplaceovu transformaci je možno používat také matematický software 3
5 Vlastnosti Laplaceovy transformace operace Linearita n k=1 a k f k (t) n k=1 a k F k (p) Posunutí v čase f(t t 0 ) F (p)e pt 0 Obraz derivace df(t) dt pf (p) f(0 + ) Obraz integrálu t 0 f(τ)dτ 1 p F (p) 4
6 Vlastnosti Laplaceovy transformace signály Jednotkový impuls δ(t) 1 Jednotkový skok 1(t) 1 p Sinusový signál, kosinusový signál (viz derivace) 1(t) sin(ωt) ω p 2 + ω 2 1(t) cos(ωt) p p 2 + ω 2 Exponenciální impuls 1(t)e at 1 p + a 5
7 Pro analýzu v časové oblasti nejčastěji použijeme impulsové signály. Nejjednodušší z nich se nazývá napět ový (proudový) skok. u(t) U 0 u(t) = t { 0, t < 0 U, t 0 ȯ Laplaceův obraz U(p) = U p 6
8 Další signál pro analýzu v časové oblasti označujeme jako osamělý impuls. u(t) U 0 t i u(t) = t 0, t < 0 U, t 0 0, t t i.. Laplaceův obraz U(p) = U p (1 e pt i) 7
9 Periodický impulsní průběh u(t) U 0 t i T T + t i 2T t u(t) = { 0, kt + ti < t < (k + 1)T U, kt t kt + t i. u(t) = { 0, kt + ti < t < (k + 1)T U, kt t kt + t i k =...., 2, 1, 0, 1, 2,... střída (duty cycle) d = t i T t i Laplaceův obraz U(p) = U p (1 e pt i) (1 e pt ) 8
10 Reálný impulsní signál t r t f u vrchol impulsu (u i ) 90%u i 50%u i t d t i u i 10%u i t pata čelo týl 9
11 t r je doba trvání čela (náběhu) impulsu (rise time) a měří se jako čas, který impulsní napětí potřebuje k přechodu mezi 10%u i a 90%u i. t f je doba trvání týlu (poklesu) impulsu (fall time) a měří se jako čas, který impulsní napětí potřebuje k přechodu mezi 90%u i a 10%u i. t d je doba zpoždění čela impulsu (delay time) a může být vztažena k jakémukoli časovému okamžiku, obvykle před příchodem čela. Obecně může být vztažena i k okamžiku pozdějšímu, pak má záporné znaménko. Pokud se vztahuje k jinému impulsu, bývá měřena rovněž vůči okamžiku, kdy tento impuls prochází úrovní 50%u i. t i doba trvání impulsu 10
12 u periodicky se opakujících impulsů se uvádí kmitočet nebo perioda opakování impulsu střída (duty cycle), tj., poměr doby trvání impulsu k době trvání paty, opět měřeno v úrovni 50%u i
13 Obvod RC buzený skokem napětí integrační obvod R C u 1 (t) u C (t). 11
14 V RC obvodu se bude kapacitor přes rezistor nabíjet. Počáteční napětí na kapacitoru v čase t = 0 necht je u C (0). V čase t půjde u C (t) U. Nabíjecí proud klesne k nule tehdy, kdy se napětí na zdroji vyrovná s napětím na nabitém kapacitoru. Pro proud v obvodu lze napsat rovnici ( 1 t ) Ri(t) = U u C (t) = U C i(t)dt + u C(0) 0 K jejímu řešení použijeme Laplaceovy transformace. Známe obraz skoku ( 1 p ), obraz počáteční podmínky pro funkci (f(t) 1 p f(0)) a obraz integrálu funkce ( t 0 f(t)dt 1 p F (p)). 12
15 Pro Laplaceův obraz proudu I(s) pak lze napsat RI(p) = U ( 1 p pc I(p) + u ) C(0) p a po úpravě I(p) = U u C(0) R 1 (p + 1 kde τ = RC τ ), Ve slovníku Laplaceových obrazů nalezneme 1 p+a e at Řešení tedy popisuje časový průběh proudu pro t 0 i(t) = U u C(0) R e t τ τ = RC je časová konstanta a má rozměr v sekundách. 13
16 Pro obvod lze nakreslit jeho operátorový model a rovnici zapsat přímo z něj R R i(t) U.1(t) C I(p) U/p 1/pC u C I(p) = U u C (0) p R + 1 pc = U u C(0) R 1 p + 1 RC F (p) = 1 (p + a) f(t) = e at i(t) = U u C(0) R e t τ, kde a = 1/τ τ = RC. 14
17 Normalizovaný časový průběh proudu 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 i/i0 0,3 0,2 0,1 0 i 0 = U u C(0) R 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 čas t/τ 15
18 Pro napětí u C (t) dostaneme u C (t) = U (U u C (0)) e τ t = U(1 e τ t ) + u C (0)e τ t a pro u C (0) = 0 u C (t) = U(1 e τ t ) nebo Laplaceovou transformací U C (p) = U p. 1 pc R+ 1 pc = U τ. 1 p (p+ 1 τ ) Slovník: F (p) = 1 p (p+a) f(t) = 1 ( a 1 e at ) ( a = 1 τ, u C(t) = U 1 e τ t ) 16
19 Graficky průběh nabíjení ukazuje obrázek, a to pro případ, že u C (0) = 0, U = 1 V, RC = τ = 1 s, např. R = 100 kω a C = 10 µf. 1 τ 0,9 0,8 u b 0,7 0,6 0,5 t ab u a u C (t) [V] 0,4 0,3 0,2 0, ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 čas t [s] 17
20 Z obrázku lze vyčíst některé vlastnosti napětí na kapacitoru: směrnice tečny exponenciály na počátku přechodného děje je rovna časové konstantě τ, po uplynutí doby t = τ dosáhne exponenciála přibližně 63% z ustálené hodnoty, po uplynutí času odpovídajícího třem časovým konstantám je napětí na kapacitoru větší než 95% ustálené hodnoty, po uplynutí času odpovídajícího pěti časovým konstantám je napětí na kapacitoru větší než 99% ustálené hodnoty, zvolíme-li na exponenciálním průběhu dvě libovolné úrovně napětí u a a u b, můžeme při známé velikosti ustálené hodnoty U vypočítat dobu t ab, po kterou exponenciála bude probíhat mezi napětími u a a u b t ab = τ ln ( U ua U u b ). 18
21 Nad výrazy pro napětí na kapacitoru a proud obvodem lze uvést následující praktické úvahy: přechodný děj lze urychlit jenom zmenšením časové konstanty τ = R.C, zmenšení časové konstanty lze docílit zmenšením kapacity C, což v praxi nemusí být vždycky možné, zmenšení časové konstanty lze docílit zmenšením odporu R; to ale vede k většímu proudu i(0) = U/R, což nemusí snášet zdroj impulsního napětí. Zkracování přechodných dějů v elektronických obvodech je vždy bojem s přírodou. 19
22 Necht napětí u 1 (t) = U skokem přejde v čase t i z hodnoty U na hodnotu u 1 (t i ) = 0. Jedná se o buzení impulsem: u [V] u [V] u [V] 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 t [µs] 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 t [µs] 0,0 1,0 2,0 3,0 t [µs] 20
23 Pokud bylo u C (0) = 0, vytvoří se v čase t i počáteční podmínka pro následující přechodný děj u C (t i ) = U(1 e t i τ ) Pak z výrazu pro přechodný děj s počáteční podmínkou u C (t i ) a nulovým budicím napětím dostaneme u C (t) = 0 [0 u C (t i )] e t t i τ u C (t) = u C (t i )e t t i τ 21
24 Buzení periodickými impulsy u [V] u [V] u [V] 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs] 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs] 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs 22
25 Na prvém grafu výstupního signálu je časový průběh na výstupu z obvodu s časovou konstantou τ = 50 ns (tedy 5 % z periody impulsního průběhu), na druhém grafu je časová konstanta obvodu nastavena na 5 µs (tedy pětinásobek periody). V tomto druhém případě se chování obvodu dá interpretovat jako integrace. Povšimněme si, že výstupní napětí obvodu na konci přechodného děje osciluje kolem hodnoty 7 V. To je hodnota integrálu z periody vstupního průběhu (10 V a 70 % periody). Napětí se vlní, ale pokud bychom časovou konstantu zvětšili, zvlnění by se zmenšilo, avšak ustálení na hodnotě integrálu by trvalo déle. 23
26 Obvod RC buzený skokem napětí derivační obvod C R u 1 (t) u R (t) 24
27 Pokud u C (0) = 0 je napětí na výstupu derivačního obvodu pro t < 0 rovno u R (0 ) = 0. Pro t 0 platí u R (t) = Ue t τ Normalizovaný průběh u R /U 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 τ 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 čas t/τ 25
28 Při buzení osamělým impulsem skočí vstupní impuls z hodnoty napětí u 1 (t) = U v čase t i zpět na nulovou hodnotu. Pak bude u R (t) = (0 + u C (t i )) e t t i τ = (u R (t i ) U) e t t i τ pro t t i Pokud bylo před příchodem impulsu v čase t = 0 výstupní napětí nulové, bude u R (t i ) = Ue t i τ u R (t) = U (e t i τ 1) e t t i τ pro t t i A pokud by přechodný děj v průběhu času t i τ skončil, tedy u R (t i ) 0, pak u R (t) = U e t t i τ pro t t i 26
29 12,0 8,0 u [V] u [V] u [V] 4,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0 t [µs] t [µs] 0,0 1,0 2,0 3,0-12,0 0,0 1,0 2,0 3,0 t [µs] 27
30 u [V] u [V] u [V] 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs 28
31 Na obrázku je naznačena situace analogická k příkladu buzení integračního obvodu periodickými impulsy. Nejprve je uveden příklad buzení obvodu impulsy s periodou 1 µs a střídou 0,7 (impuls):0,3 (mezera) s tím, že časová konstanta obvodu je 0,1 µs. V druhém případě je časová konstanta obvodu 5 µs. V prvém případě lze přiznat obvodu roli obvodu derivačního, protože generuje jednotlivé impulsy, které svou polaritou a krátkostí trvání připomínají derivaci skoků (derivace ideálního skoku je nekonečně krátký impuls). 29
32 Články RL L R R L u 1 (t) u 2 (t) u 1 (t) u 2 (t) integrační obvod derivační obvod Pro integrační i derivační článek složený z induktoru a rezistoru platí, při buzení skokem napětí nebo impulsy, identické vztahy jako pro články RC. Časová konstanta je τ = L R. 30
33 Obvod LR se spínačem V obvodu s induktorem můžeme vytvořit situaci, kdy se na svorkách některých součástek může objevit napětí vyšší, než má kterýkoli zdroj napětí. To využíváme v tzv. spínaných zdrojích a regulátorech napájecích napětí. Princip takových obvodů je založen na skutečnosti, že induktor hromadí energii v magnetickém poli, které je vytvořeno procházejícím proudem. Proto má procházející proud setrvačné chování. Pokud spínač skokem změní odpor v obvodu, přechodný děj bude vycházet z počáteční podmínky, dané proudem před přepnutím. Platí tedy, je-li proud před sepnutím určen menším odporem než je odpor připojený po přepnutí, vznikne na svorkách připojeného rezistoru skok napětí s větším napětím, než má zdroj, který do induktoru proud zavedl. 31
34 Spínání induktivní zátěže sepnuto vypnuto 2 0 ms 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms 50 ms 150 ma 10V 1k 0,5H 100 ma 50 ma 0 ma proud induktoru 0 ms 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms 50 ms 150V 75V 0-75V -150V napìtí na induktoru -225V 0 ms 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms 50 ms 32
35 Obrazy vztahů mezi obvodovými veličinami na svorkách elementárních dvojpólů u R (t) = Ri R (t) U R (p) = RI R (p) i R (t) = Gu R (t) I R (p) = GU R (p) u L (t) = L di L(t) dt i L (t) = 1 L t 0 U L (p) = pli L (p) Li L (0 + ) u L (τ)dτ + i L (0 + ) I L (p) = 1 pl U L(p) + i L(0 + ) p u C (t) = 1 C t 0 i C (t) = C du C(t) dt i C (τ)dτ + u C (0 + ) U C (p) = 1 pc I C(p) + u C(0 + ) p I C (p) = pcu C (p) Cu C (0 + ). 33
36 Operátorové modely kapacitoru pro obvodové rovnice I C (p) I C (p) = pcu C (p) Cu C (0 + ) u C (0 + ) p Cu C (0 + ) U C (p) U C (p) pc 1 pc U C (p) = pc 1 I C(p) + u C(0 + ) p 34
37 Operátorové modely induktoru pro obvodové rovnice I L (p) I L (p) = 1 pl U L(p) + i L(0 + ) p U L (p) = = pli L (p) Li L (0 + ) pl Li L (0 + ) U L (p) i L (0 + ) p 1 pl 35
Fakulta biomedic ınsk eho inˇzen yrstv ı Teoretick a elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhl ıˇr, CSc. L eto 2019
Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2019 6. Vedení obvod s nesoustředěnými parametry 1 Obecný impulsní signál základní parametry t r t f u vrchol
Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Inverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Fakulta biomedic ınsk eho inˇzen yrstv ı Teoretick a elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhl ıˇr, CSc. L eto 2017
Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2017 5 1. Obvody druhého řádu frekvenční a časová analýza Širokopásmový obvod Rezonanční obvod 1 RC obvod
Laplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Funkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Matematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
DFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Základní elektrotechnická terminologie,
Přednáška č. 1: Základní elektrotechnická terminologie, veličiny a zákony Obsah 1 Terminologie 2 2 Veličiny 6 3 Kirchhoffovy zákony 11 4 Literatura 14 OBSAH Strana 1 / 14 1 TERMINOLOGIE Strana 2 / 14 1
1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Fakulta biomedic ınsk eho inˇzen yrstv ı Teoretick a elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhl ıˇr, CSc. L eto 2017
Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2017 3. Výpočty ve frekvenční oblasti 1 Pro analýzu ve frekvenční oblasti předpokládáme zdroje se sinusovými
kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Fakulta biomedic ınsk eho inˇzen yrstv ı Teoretick a elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhl ıˇr, CSc. L eto 2019
Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2019 8. Nelineární obvody nesetrvačné dvojpóly 1 Obvodové veličiny nelineárního dvojpólu 3. 0 i 1 i 1 1.5
Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Matematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Úvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Fakulta biomedic ınsk eho inˇzen yrstv ı Teoretick a elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhl ıˇr, CSc. L eto 2019
Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2019 2. Základní výpočty 1 Orientace obvodových veličin Napětí i proud musíme identifikovat nejen hodnotami
MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Edita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Geometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Numerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
TGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Co je to algoritmus? Porovnávání algoritmů Porovnávání algoritmů Co je to algoritmus? Který algoritmus je lepší? Záleží
Obsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn
Obsah 1 2 3 Použití Zobrazení rozsáhlého území, ale hodnoty zkreslení nesmí přesáhnout určitou hodnotu Rozdělením území na menší části a ty pak zobrazíme zvlášť Nevýhodou jsou však samostatné souřadnicové
Teorie plasticity. Varianty teorie plasticity. Pružnoplastická matice tuhosti materiálu
Teorie plasticity Varianty teorie plasticity Teorie plastického tečení Přehled základních vztahů Pružnoplastická matice tuhosti materiálu 1 Pružnoplastické chování materiálu (1) Pracovní diagram pro případ
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
1 Předmluva Značení... 3
Sbírka příkladů k předmětu Lineární systémy Jan Krejčí, korektura Martin Goubej 07 Obsah Předmluva. Značení..................................... 3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice s konstantními
Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Statistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!
Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Kapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Obsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Obecná orientace (obvykle. Makroskopická anizotropie ( velmi mnoho kluzných rovin )
Fyzikální zdůvodnění plasticity (1) Změny v krystalické mřížce Schmidtův zákon : τ τ τ max (1) Dosažení napětí τ max vede ke změnám v krystalické mřížce Deformace krystalické mřížky pružná deformace Změny
Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Matematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Fyzika laserů. Kvantová teorie laseru. 22. dubna Katedra fyzikální elektroniky.
Fyzika laserů Kvantová teorie laseru Kvazidistribuční funkce. Zobecněné uspořádání. Fokkerova-Planckova rovnice. Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz
7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
TGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms) SPOX: tgh.spox.spoj.pl
Register and win! www.kaercher.com
Register and win! www.kaercher.com A B A, B A B 2 6 A régi készülékek értékes újrahasznosítható anyagokat tartalmaznak, amelyeket tanácsos újra felhasználni. Szárazelemek, olaj és hasonló anyagok ne kerüljenek
Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace
1 Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace Při studiu mnoha přírodních jevů se setkáváme s veličinami, které jsou všude nulové s výjimkou malého časového intervalu I, ale jejich celková
NÁVOD K POUŽITÍ KEZELÉSI KÉZIKÖNYV INSTRUKCJA OBSŁUGI NÁVOD NA POUŽÍVANIE. Česky. Magyar. Polski. Slovensky
CANON INC. 30-2 Shimomaruko 3-chome, Ohta-ku, Tokyo 146-8501, Japan Europe, Africa & Middle East CANON EUROPA N.V. PO Box 2262, 1180 EG Amstelveen, The Netherlands For your local Canon office, please refer
Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Petr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Rovnice proudění Slapový model
do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,
Linea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Teorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA AKUTA STAVEBNÍ Stavební statika Pohyblivé zatížení Jiří Brožovský Kancelář: P H 406/3 Telefon: 597 32 32 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast0.vsb.cz/brozovsky
Návod k použití BUBNOVÁ SUŠIČKA
Návod k použití BUBNOVÁ SUŠIČKA CZ Česky, 1 SK Slovenčina, 52 TCD 83B HU Magyar, 18 TR Türkçe, 69 PL Polski, 35 Při prvním zapnutí sušičky musíte zvolit preferovaný jazyk, viz str. 6 Obsah Důležité informace,
Biosignál II. Lékařská fakulta Masarykovy univerzity Brno
Biofyzikální ústav Lékařská fakulta Masarykovy univerzity Brno 2010 Fourierova analýza periodická funkce a posloupnost periodická funkce: f (t) = f (t + nt ), n N periodická posloupnost: a(i) = a(i + it
Anna Kratochvílová Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu / 17
Parciální diferenciální rovnice ve zpracování obrazu Anna Kratochvílová FJFI ČVUT 10. 6. 2009 Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu 10. 6. 2009 1 / 17 Obsah 1 Motivace 2 Vyšetření pomocí
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná
L 75270 FL L 75470 FL CS PRAČKA NÁVOD K POUŽITÍ 2 PL PRALKA INSTRUKCJA OBSŁUGI 34
L 75270 FL L 75470 FL CS PRAČKA NÁVOD K POUŽITÍ 2 PL PRALKA INSTRUKCJA OBSŁUGI 34 2 OBSAH 4 BEZPEČNOSTNÍ INFORMACE 6 POZNÁMKY K OCHRANĚ ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ 6 TECHNICKÉ INFORMACE 7 POPIS SPOTŘEBIČE 8 OVLÁDACÍ
Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.
Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010
Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných
Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T
Fakulta biomedic ınsk eho inˇzen yrstv ı Teoretick a elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhl ıˇr, CSc. L eto 2019
Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2019 7 Elektromagnetické vlny 1 Dlouhé půlvlné vedení v harmonickém ustáleném stavu se sinusovým buzením a
Paradoxy geometrické pravděpodobnosti
Katedra aplikované matematiky 1. června 2009 Úvod Cíle práce : Analýza Bertrandova paradoxu. Tvorba simulačního softwaru. Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 V rovině je zadán kruh
FAVORIT 45002. Instrukcja obsługi
FAVORIT 45002 Návod k použití Instrukcja obsługi Návod na používanie Myčka nádobí Zmywarka Umývačka riadu 2 Obsah Děkujeme, že jste si vybrali jeden z našich vysoce kvalitních výrobků. Přečtěte si prosím
Internetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem:
Internetová matematická olympiáda 8. ročník, 24. 11. 2015 1. Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Kamarád: Co jsi tak veselý? Něco slavíš? Student FSI: Já přímo ne,
Martin Pergel. 26. února Martin Pergel
26. února 2017 Užitečné informace Navážeme na Programování I, změníme jazyk na C#, podrobnosti o C# budou v navazujícím kurzu, soustředíme se na totéž, co v zimě, tedy: technické programování, návrh a
Ústav anorganické technologie: Aplikovaná reakční kinetika - cvičení 6. Tok E do. + tupním proudem N N. i=1
6 Bilance energie Bilanci energie (E) je možno formulovat následovně Množství Rychlost Tok E do akumulace = systému z vyko- nané práce E v systému okolí systémem Množství dodané E vs- Množství + tupním
Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
FAVORIT 60660. naczyń
FAVORIT 60660 Návod k použití Instrukcja obsługi Návod na používanie Myčka nádobí Zmywarka do naczyń Umývačka riadu 2 Obsah Děkujeme, že jste si vybrali jeden z našich vysoce kvalitních výrobků. Přečtěte
Fakulta elektrotechnická
České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická DIPLOMOVÁ PRÁCE Ladění regulátorů v pokročilých strategiích řízení Praha, 21 Autor: Bc. Petr Procházka Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou
Návod k obsluze 2 Ďäçăßĺň ńţóçň 10 Instrukcja obsugi 18 Kullanma Kýlavuzu 26
Návod k obsluze 2 Ďäçăßĺň ńţóçň 10 Instrukcja obsugi 18 Kullanma Kýlavuzu 26 9241 ESKY Dkujeme Vám, že jste se rozhodli pro tento výrobek firmy SOEHNLE PROFESSIONAL. Tento výrobek je vybaven všemi znaky
Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
POLIURETANOWE SPRĘŻYNY NACISKOWE. POLYURETHANOVÉ TLAČNÉ PRUŽINY
POLIURETAOWE SPRĘŻYY ACISKOWE. POLYURETHAOVÉ TLAČÉ PRUŽIY Oferowane są wymiary wyrobów o różnych twardościach. Konstrukcja tych sprężyn umożliwia zastąpienie sprężyn tradycyjnych tam, gdzie korozja, wibracje,
ULS4805FE. Návod k použití Návod na použitie Instrukcja obsługi Instruction Manual Használatı utasítás. Licensed by Hyundai Corporation, Korea
ULS4805FE Návod k použití Návod na použitie Instrukcja obsługi Instruction Manual Használatı utasítás Licensed by Hyundai Corporation, Korea Obsah Bezpečnostní informace...2 Označení na produktu...2 Informace
Kvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difuze
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Diplomová práce Kvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difuze Plzeň, 2018 Bc. Martin Kaisler cistylist listzadani1
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA
Z n a k s p r a w y GC S D Z P I 2 7 1 0 1 42 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e p r a c p i e l g n a c y j n o r e n o w a c y j n
FAVORIT 78400 I CS MYČKA NÁDOBÍ NÁVOD K POUŽITÍ 2 PL ZMYWARKA INSTRUKCJA OBSŁUGI 23 SK UMÝVAČKA NÁVOD NA POUŽÍVANIE 46
FAVORIT 78400 I CS MYČKA NÁDOBÍ NÁVOD K POUŽITÍ 2 PL ZMYWARKA INSTRUKCJA OBSŁUGI 23 SK UMÝVAČKA NÁVOD NA POUŽÍVANIE 46 2 PRO DOKONALÉ VÝSLEDKY Děkujeme vám, že jste si zvolili výrobek značky AEG. Aby vám
Lineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 28 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad 25 bodů Nechť {x n } je posloupnost, f : R R
Skraplacze wyparne. Odpaøovací kondenzátory D 127/3-5 PL/CZ
Skraplacze wyparne (70 do 80 kw) Odpaøovací kondenzátory (70 do 80 kw) INSTRUKCJA DOBORU I DANE TECHNICZNE VÝBÌR A TECHNICKÁ DATA D 7/-5 PL/CZ VCL DANE I PROCEDURA DOBORU VCL DATA PRO VÝBÌR A POSTUP PØI