Olsztyn, Toruń, Podróże po Imperium Liczb. 12. Wielomiany. Andrzej Nowicki Ostatnia aktualizacja: 31 maja 2013
|
|
- Łucja Wawrzyniak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Olsztyn, Toruń, 2011 Podróże po Imperium Liczb 12. Wielomiany Andrzej Nowicki Ostatnia aktualizacja: 31 maja 2013 Wstęp 1 1 Trójmiany kwadratowe Trójmiany kwadratowe i pierwiastki Złożenia i iteracje trójmianów kwadratowych Równania typu f(x) = g(x) dla trójmianów Trójmiany o współczynnikach całkowitych i zbiór wartości Dodatkowe fakty i zadania o trójmianach kwadratowych Pierwiastki wielomianów Pierwiastki wielomianów trzeciego stopnia Pierwiastki wielomianów czwartego stopnia Pierwiastki wielomianów piątego stopnia Pierwiastki wielomianów szóstego stopnia Współczynniki całkowite i pierwiastki całkowite Współczynniki całkowite i pierwiastki wymierne Wielomiany z wszystkimi pierwiastkami rzeczywistymi Wielomiany bez pierwiastków rzeczywistych Wielomiany z Z[x] mające pierwiastki w każdym Z m Pierwiastki rzeczywiste i przedziały Dodatnie pierwiastki rzeczywiste Pierwiastki i pochodna Pierwiastki zespolone Różne fakty i zadania o pierwiastkach wielomianów Relacja podzielności dla wielomianów jednej zmiennej Reszta z dzielenia wielomianów Rozkładalność nad Z i nad Q Kryterium Eisensteina Wielomiany Eisensteina Inne kryteria nierozkładalności Wielomiany a(x a 1 )(x a 2 ) (x a n ) ± Wielomiany a(x a 1 )(x a 2 ) (x a n ) + k Wielomiany (x a 1 ) 2 (x a 2 ) 2 (x a n ) Wielomiany 1 + a1 1! x1 + a2 2! x2 + + an n! xn Przykłady pewnych wielomianów Podzielność i rozkład na czynniki w R[x] Podzielność i wielomiany nierozkładalne nad Z m Dodatkowe fakty i zadania
2 4 Wielomiany jednej zmiennej z małymi współczynnikami Rozkłady wielomianów zero-jedynkowych Nierozkładalne wielomiany zero-jedynkowe Rozkłady wielomianów o współczynnikach -1, 0, Nierozkładalne wielomiany o współczynnikach -1, 0 i Rozkłady wielomianów o współczynnikach 0, 1, Nierozkładalne wielomiany o współczynnikach 0, 1 i Rozkładalność i co najmniej dwie zmienne Wielomiany nierozkładalne dwóch zmiennych Jednorodne wielomiany zero-jedynkowe w Z[x,y] Wielomiany postaci (x + y) n ± x n ± y n Rozkłady dla trzech zmiennych Wartości, obrazy i przeciwobrazy funkcji wielomianowych Przeciwobrazy względem wielomianów Przeciwobrazy zbioru {±1} Obrazy względem wielomianów Równości typu f(a) = b Wartości wielomianów i cyfry Suma kwadratów współczynników wielomianu Wielomiany o współczynnikach zespolonych Różne fakty i zadania z wielomianami Funkcje wymierne Ułamki właściwe Ułamki proste Twierdzenie Abela Funkcje wymierne i jedna zmienna Funkcje wymierne i co najmniej dwie zmienne Wielkie twierdzenie Fermata dla wielomianów Wielomiany specjalnego typu Wielomiany binomialne Wielomiany nieujemne jednej zmiennej Wielomiany jednej zmiennej o nieujemnych współczynnikach Wielomiany nieujemne dwóch zmiennych Wielomiany nieujemne wielu zmiennych Wielomiany przemienne Wielomiany symetryczne i antysymetryczne Liczby z zerową sumą Wielomiany 1 + x + x x n Wielomiany Czebyszewa Przykłady Własności wielomianów T n Własności wielomianów C n Własności wielomianów U n Wielomiany Czebyszewa i pochodna Różne fakty o wielomianach Czebyszewa Rekurencja f n+2 = xf n+1 - f n
3 10 Wielomianowe ciągi rekurencyjne Wielomiany Fibonacciego Wielomiany Lucasa Uogólnione wielomiany Fibonacciego i Lucasa Wielomiany Hermite a Inne wielomianowe ciągi rekurencyjne Pierwiastki z jedynki i macierze cykliczne Zespolone pierwiastki z jedynki Pierwotne pierwiastki z jedynki Macierze cykliczne Własności macierzy cyklicznych Wyznacznik macierzy cyklicznej Wielomiany cyklotomiczne Definicja i przykłady Początkowe własności wielomianów cyklotomicznych Nierozkładalność wielomianów cyklotomicznych Następne własności wielomianów cyklotomicznych Wielomiany cyklotomiczne i nierówności Wielomiany cyklotomiczne nad ciałami Wielomiany Ψ n (x, y) Wielomiany cyklotomiczne i ich numery Współczynniki wielomianów cyklotomicznych Współczynniki wielomianu Φ pq (x) Współczynniki wielomianów Φ pqr (x) i Φ pqrs (x) Liczby naturalne postaci Φ n (a) Podzielność liczb Φ n (a) przez liczby pierwsze Twierdzenie Hurwitza Twierdzenie Banga o rzędach Liczby pierwsze w postępach arytmetycznych Wielomiany podzielne przez x 2 + x Inne zastosowania wielomianów cyklotomicznych Spis cytowanej literatury 177 Skorowidz nazwisk 184 Skorowidz 187 Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, Toruń Olsztyńska Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania, Olsztyn 3
4 Skorowidz Abel N.H., 89 Abhyankar S.S., 100 Aharonov D., 123, 127 Aitken W., 82 Alexanderson G.L., 100 Amir-Moez A.R., 18 Andreescu T., 177, 182 Apostol T.M., 148, 177 Arnaudiès J.M., 177 Artin E., 105 Aurifeuille, 149 Avital S., 110 Bang A.S., 159, 170, 171, 177 Barbeau E.J., 110, 177 Beardon A., 127 Beardon A.F., 123 Beiter M., 160, 162, 163 Belov A., 178 Berg C., 104 Bergum G.E., Berlow S.L., 177 Bernik V.I., 177 Bertin J., 177 Bertram E.A., 123 Bicknell-Johnson M., 122, 127, 128, 131 Birkhoff G., 177 Block, 120 Bloom D.M., 163, 177 Bobiński Z., 8, 27, 49, 180 Boltianski W.G., 177 Borwein P., 177 Brandt K.A., 18 Brent R.P., Brickman L., 100 Browkin J., 177 Bruggeman T., 23 Bryński M., 178 Brzeziński B., 178 Carlitz L., 151, 161, 162 Carroll P.W., 82 Cassets, 105 Chądzyński J., 178 Chalkley R., 20 Chao H., 40 Chau L.H., 178 Chentzov N.N., 182 Chihara T.S., 123 Choi K-K.S., 177 Choi M.D., 104 Christensen J., 104 Ciesielski K., 178 Cohn A., 42 Cox D.A., 40 Deloup F., 38 Dence J.B., 176 Djukić D., 178 Dorwart H.L., 178 Doward H.L., 71 Dresden G., 148, 178 Dresden G.P., 159 Driver E., 28, 51 Driver K., 123, 127 Efthimiou C., 178 Ehrenfeucht A., 178 Eisenstein F.G.M., 39 Ellison W.J., 105 Erdelyi T., 177 Faddejev D.K., 178 Fedorov R., 178 Feng Z., 177 Filaseta M., 148, 178 Fletcher C.R., 40 Fomin D.V., 178 Gallot Y., 168 Galpierin G.A., 179 Garver R., 18 Gaszkow S., 123 Gauss, 35, 67, 149 Gawrych E., 51 Gelca R., 177 Glaister P., 127 Gleason A.M., 179 Golomb S.W., 179 Greenwood R.E., 179 Griffiths P.A., 91 Grigorjan A.A., 182 Groves J., 23 Guerrier W.J., 153 Guersenzvaig N.H., 48 Gush T., 23 Gutenmacher W.L., 182 Haruki S., 12 Hayes D.R., 38 He M.X., 127, 132 Henderson A., 20 Hermite Ch., 129 Hilbert D., 102, 105 4
5 Wielomiany Skorowidz nazwisk 5 Hobbs A.W., 20 Hoggatt V.E., 122, , 131 Hou Sh-H., 89, 91 Hurwitz A., 169 Isaacs I.M., 151, 179 Iwanow S.W., 177 Jadrenko M.I., 183 Janković V., 178 Jantarov I., 110 Jarek P., 180 Jarski A.S., 92 Jeśmanowicz L., 179 Jegorow A.A., 182 Jensen C., 104 Johnson J.M., 82 Kanel-Belov A.J., 178 Kaniel-Bielow A.J., 179 Kartaszow I.W., 183 Kedlaya K.S., 179 Kelly L.M., 179 Khoi L.H., 178 Khrabrov A.I., 123 Klamkin M., 52 Klosinski L.F., 100 Kołakowska J., 44 Kochas K.P., 177 Kohel D.R., 151 Kollar J., 82 Konjagin S.W., 182 Koshy T., 129 Kostrykin A.I., 179 Kovaldzhi A., 178 Kowaldży A.K., 179 Kramkowska A., 112 Krishnaswami A., 129 Kronecker, 146, 147 Kumor P., 101, 104 Kurlandczyk L., 179 Kurschak J., 179 Kurtz D.C., 26 Kwong C.H.H., 26 Laeng E., 179 Laird P.G., 82 Lam T.Y., 104, Lang S., 179 Larson L.C., 100 Lasseur L., 149 Lee M.A., 51 Lehmer E., 159 Leijenhorst van D.C., 176 Leja F., 179 Leman W.G., 177 Lemmermeyer F., 82 Lenstra H., 161, 162 Leonard P.A., 28, 51 Leung K.H., Lewin M., 124 Li X., 92 Lind, 127 Lioyd D.B., 48 Liu A., 92 Łoś J., 179 Long C.T., 129 Lucas E., 149 MacDougall J., 151, 168 Magidin A., 38 Marshall M., 105, 179 Martynowa B., 179 Mason R.C., 93, 179 Matić I., 178 Matus F., 100, 112 McCann R., 82 McKeon D.G.C., 151 McKinnon D., 38 McLean K.F., 151 McLean K.R., 71 Mead D.G., 112 Melnikow O.W., 177 Michaiłowskij W.I., 183 Migotti A., 159, 162 Mirsky L., 151 Miszyna A.P., 180 Mnich W., 26 Mościcki A., 82 Mohammad Q.G., 32 Mordkowicz A.G., 18 Mostowski A., 180 Motose K., 151, 158, 168, 176, 180 Motzkin T., 102 Nagell T., 145, 147, 181 Nagle T.D., 18 Narkiewicz W., 151, 181 Nathanson M.B., 130, 181 Newton, 25 Nodzyński P., 8, 180 Nogrady H.A., 18 Nonin J.N., 82 Nowicki A., 180, 181 Oleinikov V.A., 38, Ordowski T., 150, 165 Ore O., 71 Parberry E.A., 127
6 6 Wielomiany Skorowidz nazwisk Paszkowski S., 82 Pawłowski H., 181 Perron J., 42 Petrović N., 178 Pfister A., 105 Pisarevsky B., 12 Płoski A., 90, 181 Podkolzin A.S., 182 Polya G., 42, 181 Poonen B., 179 Prasolov V.V., 98, 105, 123, 181 Proskuriakow I.W., 180, 181 Pursell L.E., 82 Rabbot Z.M., 182 Rabinowitz S., 48 Rempała J., 177 Ribenboim P., 66, 151, 181 Ricci P.E., 127, 132 Rice R.E., 12 Robinson R.M., 104, 181 Roma J.C., 18 Rotkiewicz A., 181 Rudin W., 79 Ryżkow L.W., 82 Sabia J., 172 Sadowniczij W.A., 182 Salmassi M., 129 Sankiewicz J., 120, 124 Santos D.A., 182 Sato N., 18 Savchev S., 182 Savio D.Y., 124 Sawczuk M., 151 Schönemann T., 40 Schinzel A., 28, 148, 178 Schmüdgen K., 104 Schur B.S., 42, 43, 45, 46 Schur I., 159 Schweitzer, 72 Schweizer B., 12 Sengerov W., 151 Seres, 45 Shannon A.G., 129 Sherry T.N., 151 Shklarsky D.O., 182 Sierpiński W., 182 Simon D., 127, 132 Singer R., 35, 39 Sklar A., 12 Small Ch., 72 Sominskij I.S., 178 Spira R., 79 Spivak A., 151 Spodzieja S., 78, 132, 181 Stark M., 180 Staszyński S., 82 Straszewicz S., 177, 182 Suryanarayan E.R., 124 Suzuki J., 159 Świątek A., 180 Szabunin M.I., 82 Szapiro G.M., 182 Szczepański J., 178 Szego G., 181 Szneperman L.B., 182 Szoka M., 71 Szymiczek K., 182 Tesauri S., 172 Thangadurai R., 152, 172 Thielman, 120 Tołpygo A.K., 179 Tomalczyk W., 181 Toom A.L., 182 Trigg Ch., 182 Tripathi A., 26 Tuckerman B., 176 Tverberg H., 182 Udrea G., 124 Uscki M., 8, 180 Vakil R., 179 Vandiver H.S., 177 Vasiliev N., 124 Vatwani A., 152, 172 Wahab J.H., 38 Wang X., 29 Ward M., 169 Wasilev J.B., 179 Wasilev N.B., 182 Webb W.A., 127 Wedderburn, 176 Weisner L., 44 Westlund J., 43 Wieczyńska J., 38 Wilenkij I.J., 177 Williams K.S., 28, 51 Wyszenskij W.A., 183 Yaglom I.M., 182 Yashchenko I., 178 Zeitlin D., 161, 163, 183 Zelevinski A., 124 Żuk I.K., 177
7 Skorowidz algebraiczne domknięcie ciała, 93, 94 algorytm, 41 Euklidesa, 114, 151 automorfizm, 45 bezwzględna wartość, 6, 8, 19, 20, 22, 32, 42, 71, 73, 77, 102, 119, 136, 151, 159, 162, 163 całka, 127, 130 charakterystyka ciała, 80, 89, 93, 95, 96 ciąg, 26, 73, 77, 132 arytmetyczny, 4, 17, 32, 48, 69, 70, 76, 91, 172 Fibonacciego, 125 geometryczny, 11, 76 Lucasa, 125 okresowy, 77 rekurencyjny, 109, 111, 124, 125, 130, 150, 165 wielomianów, 109, 111, 117, 120, 125, ciało, 35, 63, 64, 74, 79, 80, 83, 87, 89, 112, 152, 176 Z p, 28, 35, 39, 50, 51, 146, 152 charakterystyki zero, 80, 93, 95, 96 funkcji wymiernych, 83, 91 93, 100, 105 skończone, 152, 153, 176 ułamków, 40, 83 cosinus, 81, , 127, 128, 133, 144, 151 cyfry, 22, 77 część całkowita, 102, 130 część rzeczywista, 133 deg, 3 element pierwszy, 40 formuła Jacobiego, 90 funkcja, 80, 82, 91, 97, 150 ϕ, 2, 4, 143, 147, 149, 152, 153, , 162, 163, 172 bijekcja, 80, 97 ciągła, 27 Möbiusa, 137, 149 nieparzysta, 118, 120, 121 parzysta, 118, 120, 121 rosnąca, 151 wielomianowa, 69, 82, 97 wymierna, 83, 87, 91, 92, 94, 100, 102, 105 granica ciągu, 29, 89 grupa, 133 cykliczna, 176 Galois, 176 homomorfizm pierścieni, 35, 39, 50, 146 iloczyn, 20, 76, 87, 89, 137, 144, 147, 152, 155, 158, 166, 167 macierzy, 138, 139, 141 pierwiastków wielomianu, 38, 46 skalarny, 139 ułamków, 83, 90 wielomianów, 35, 45, 47, 48, 51, 64, 72, 98, 101, 102, 143, 144, 147, 149, 150, 152, 153, 155 iloraz, 92, 130 pierwiastków wielomianu, 37, 46 IMO, 1, 47, 71 Longlist, 11, 23, 44, 75, 98, 107 Shortlist, 101, 111, 132 indukcja matematyczna, 24, 33, 85, 87, 92, 98, 110, 112, 116, 123, 124, 126, 145, 150, 154, 155, 165 izomorfizm pierścieni, 39 koło, 7, 30, 120, 147 krotność pierwiastka, 29, 31, 98, 99, 146 kryterium Eisensteina, 39, 40, 44, 46, 68 lemat Gaussa, 35 liczba π, 119, 121, 127, 128, 133, 141, 144 bezkwadratowa, 51, 80, 149 Fibonacciego, 125, 126 kwadratowa, 11, 72, 75 Lucasa, 125, 126, 128 Mersenne a, 169, 170 nieparzysta, 6, 11, 22, 27, 29, 43, 46, 47, 72, 76, 80, 91, 98, 102, 120, 123, 128, 131, 149, 152, 155, 158, 159, 170 parzysta, 11, 27, 29, 41, 50, 72, 76, 80, 91, 98, 102, 120, 129, 131, 149, 152, 155, 158, 176 pierwsza, 7, 12, 26, 28, 35, 39 41, 44, 46 48, 50, 51, 66, 71, 123, , 144, 146, , , , 176 różnych pierwiastków wielomianu, 93, 94, 96 wymierna, 15, 16, 20, złożona, 50 zespolona, 5, 13, 15, 16, 36 38, 46, 99, 100, 120 liczby względnie pierwsze, 7, 28, 39, 54, 63, 115, 116, , 144, 146, 151, 155, 160, 166, 169 macierz, 121, 126,
8 8 Wielomiany. Skorowidz cykliczna, 137 Maple, 1, 11, 54, 62, 65, 66, 68, 164, 171 max, 33, 69, 83, 93, 94, 96 moduł liczby zespolonej, 31, 79 nice polynomial, 23 nierówność, 8, 12, 14, 17, 18, 24 26, 29, 42, 44, 70, 71, 73, 79, 93, 98, 100, 104, 118, 119, 151, 152, 163, 170 nietrywialne rozwiązanie, 95 nwd, 1, 28, 35, 63, 80, 84 86, 114, 122, 127, 131, 135, 148 nww, 1, 80, 144, 150, 165 obraz, 50, 69, 71, 104 odcinek, 7, 8, 71 okrąg, 18, 120, 151 Olimpiada Matematyczna Australia, 17, 76 Białoruś, 32 Bułgaria, 47 Chiny, 10, 30, 46, 79, 132 Czechy-Słowacja, 9, 22, 93 Grecja, 18 Indie, 7, 12, 21, 23, 31 Iran, 46, 52, 70, 92 Irlandia, 76 Japonia, 47 Kanada, 27, 75 Leningrad, 7, 8, 17, 52 Łotwa, 104 Mołdawia, 10, 23, 74, 81, 132 Moskwa, 5, 6, 8, 11, 73, 101 Polska, 7, 17, 20, 23, 27, 48, 49, 72, 73, 76, 80, 81, 100, Rosja, 8, 9, 12, 19, 20, 22, 32, 81, 92 Rumunia, 30, 47, 79 Słowenia, 11, 17, 70 Singapur, 32 St Petersburg, 7, 8, 11, 12, 16, 27, 30, 71, 76 Szwecja, 12, 21, 92, 100, 124 Ukraina, 7, 32, 49 Unesco Cont. Iasi, 102 USA, 19, 49, 73, 74, 102 W.Brytania, 73, 75 Węgry, 19, 93 Wietnam, 18, 19, 21, 27, 29, 74 ZSRR, 64 otoczka wypukła, 31 parabola, 8, 12 permutacja, 110 pierścień, 69, 80, 145 C[x, y], 31, 78, 79 C[x], 14, 31, 70, 79, 97, 132 C[x 1,..., x n ], 79 Q[x], 30, 32, 35, 36, 39, 42, 46, 48, 72, 76, 115, 153 R[t], 111 R[x, y, z], 104, 111 R[x, y], 78, 79, 81, , 111, 132 R[x], 7, 9, 12, 14, 16 18, 20, 21, 25 27, 29 32, 49, 50, 69 72, 77, 80, 91, 92, 97, 98, , 111, 119, 132 R[x 1,..., x n ], 79, 97, 104, 105 Z[x, y, z], 76 Z[x, y], 65, 66, 129, 153 Z[x], 3, 7, 11, 22 24, 26, 28, 31, 34 36, 40 48, 50 52, 54, 71, 74 77, 109, , 124, 125, 128, 130, 147, 149, 152, 166, 174 Z[x 1,..., x n ], 81 Z m, 28, 51, 138 Z p [x], 28, 35, 39, 50, 51, 146, 152 k[t], 33, 34, 64 k[x, y, z], 68 k[x, y], 63, 64 k[x], 35, 40, 63, 64, 74, 80, 153, 176 k[x 1,..., x n ], 3, 64, 83, 111 bez jedynki, 80, 84 skończony, 51 z jednoznacznością rozkładu, 35, 39, 40 pierwiastek podwójny, 13, 14 pierwiastek wielomianu, 111, 112, 115, 176 całkowity, 7, 9, 10, 17, 18, 20, 22, 23, 28, 32, 41, 50 dodatni, 17, 19, 21, 29 konstruowalny, 18 podwójny, 15, 16 potrójny, 20 rzeczywisty, 5 10, 12 14, 16 21, 25 27, 29 32, 45, 48, 50, 57, 91, 98, 119, 121, 124, wymierny, 18, 24 zespolony, 7, 8, 17, 20, 30, 31, 36, 51, 99, 124, 127, 128, 143, 147 pierwiastek z jedynki, 30, , 143, 144, 146, 147, 152, 158 pierwotny, , 140, , 146, 147, 158, 173, 174 pochodna, 15, 16, 23, 25 27, 30, 31, 41, 81, 89, 90, 92, 100, 122, 126, podzbiór, 80, 92 podzielność, 126, 173, 174 liczb, 22, 24, 28, 63, 122, 134, 136, 147, 149, 155, 169 przez 3, 22, 115, 157, 174 przez 4, 48 przez 5, 23, 47, 115
9 Wielomiany. Skorowidz 9 przez 7, 50 przez p, 35, 39 41, 50, 51, 146, 150, 152, 155, 158, przez potęgę liczby pierwszej, 11, 39, 41, 168, 170, 171 wielomianów, 48 50, 66, 68, 110, 116, 123, 128, 144, 147, 153, 157, 166, 175 potęga dwójki, 9 11, 28, 41, 45, 47, 73 75, 91, 105, 116, , 123, , 154, 156, 159, 167, liczby pierwszej, 39 41, 51, 153, 154, 158, 159, 164, , 170, 171 piątki, 23 siódemki, 23 trójki, 16, 25, 75, 172 przeciwobraz, 69 przedziały, 6, 29, 119, 120, 132, 151 pytanie, 9, 10, 19, 31, 37, 43, 48, 71 73, 92, 176 reszta z dzielenia wielomianów, 7, 33, 50, 115 równanie, 8 10, 17, 18, 20, 28 30, 32, 91, 129 rozkład kanoniczny, 87, 88 różnica, 69, 70, 80 pierwiastków wielomianu, 36, 46 symetryczna, 80 rozszerzenie ciał, 79, 146 Galois, 176 rugownik, 41 siedemnasty problem Hilberta, 105 silnia, 23, 41, 46, 73, 92, 97 sinus, 81, 120, 121, 133, 141, 144 składowa jednorodna, 63, 79 splot funkcji, 149 srednia arytmetyczna, 103 geometryczna, 103 stopień wielomianu, 3, 33, 34 suma cyfr, 77 kwadratów, 77, 79, , pierwiastków wielomianu, 37, 46, 137 ułamków, 83, 85, 87, 88, 90 wielomianów, 8, 12, 63, 80, 111 współczynników, 20, 102, 158 zerowa, 112 symbol Legendre a, 51 symbol Newtona, 41, 75, 97, 100, 101, 115, 120, 121, 124, 127, 130 system numeracji, 33 szereg, 97, 127, 128 tożsamość Eulera, 103 trójkąt, 7 trójmian kwadratowy, 3, 5 12, 25, 27, 35, 41, 42, 47, 50, 57, 61, 77, 92, 98, 101, 174 twierdzenie Abela, 89, 90 Banga, 169, 171, 172 chińskie o resztach, 28, 136 Dirichleta, 4, 172 Eulera, 90 Hilberta, 102 Hurwitza, 169 małe Fermata, 167, 169, 172 Masona, 93, 96 o średnich, 103 Wedderburna, 152 wielkie Fermata, 93 układ równań, 7, 23, 45, 82, 93 ułamek, prosty, 87, 88 właściwy, 83 86, 88, 89 wartość własna macierzy, 142 wartość wielomianu, 69 warunki równoważne, 7, 8, 14, 28, 30, 41, 42, 48, 50, 63, 64, 66, 72, 80, 91, 92, 98, 115, 123, , 134, 153, 159, 160, 168, 169, 171, wielokąt wypukły, 31 wielomian alternujący, 110 antysymetryczny, 110, 111 binomialny, 97, 98 Cauchy ego, 66 cyklotomiczny, 4, 34, 133, , , , 176 Czebyszewa, 3, 110, 117, drugiego rodzaju, 117, 118, pierwszego rodzaju, dobry, 102 dodatni, 101 dopuszczalny, 102 Eisensteina, 40, 41 kanoniczny, 40, 41 Fibonacciego, 123, , 132 Hermite a, 129, 130 Jacobsthala, 130 jednorodny, 31, 63, 65, 76, 78, 82 Laurenta, 77 Lucasa, 127, 128 minimalny, 21, moniczny, 3, 8, 10, 23, 25, 30, 31, 35, 51, 52, 61, 71, 73, 79, 99, , 119, 124, 130, , 173, 174 Motzkina,
10 10 Wielomiany. Skorowidz nierozkładalny, 26, 31, 35, 36, 39 48, 51, 61, 63 65, 68, 80, 87, 115, 123, , 146, 147, 152, 153 pierwotny, 35 podziału koła, 143 subtelny, 23 symetryczny, zredukowany, 107 wielomiany przemienne, 27, , 120 równoważne, 71 względnie pierwsze, 78 80, 92, 132, 147, 152, 157 współczynnik wiodący, 3, 8, 10, 12, 27, 33, 35, 63, 69, 77, 99, 100, 118, 120, 121 wyróżnik wielomianu, 5, 8, 12, 92, 98 wyznacznik, 105, 121, 126, 137, Vandermonde a, 141 wzór Moivre a, 120 Taylora, 33 wzory Viete a, 25 zawartość wielomianu, 35 zbiór, 69, 84, , 144, 158 liczb N 0, 1, 48, 113, 127, 132 całkowitych, 1, 11, 32, 76 naturalnych, 1, 80, 97 pierwszych, 1, 39, 41, 47, 51, 150, 152, 155, 158, 166, 172 rzeczywistych, 1, 13, 69, 70, 82, 83, 87, 91, 104 wymiernych, 1, 70, 72, 80, 83, 92 zespolonych, 1, 13, 68, 78, 80, 83 nieskończony, 7, 20, 28, 32, 36, 70, 92, 172 skończony, 8, 102, 110, 144, 151, 166 wartości, 11 wypukły, 8, 31 zbiory rozłączne, 11, 132, 136, 144
14. Równanie Pella Andrzej Nowicki Ostatnia aktualizacja: 10 kwietnia 2013
Olsztyn, Toruń, 2011 Podróże po Imperium Liczb 14. Równanie Pella Andrzej Nowicki http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Ostatnia aktualizacja: 10 kwietnia 2013 Wstęp 1 1 Równanie x 2 - dy 2 = 1 5 1.1 Informacje
Podróże po Imperium Liczb Część 12 Wielomiany Andrzej Nowicki
Podróże po Imperium Liczb Część 12 Wielomiany Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 WLM - 40(992) - 23.05.2012 Spis treści Wstęp 1 1 Trójmiany kwadratowe 5 1.1
02 Cyfry Liczb Naturalnych
Olsztyn, Toruń. Wydawnictwo OWSIiZ, Wydanie Pierwsze, 2008 Wydanie Drugie, 2012 Podróże po Imperium Liczb 02 Cyfry Liczb Naturalnych Andrzej Nowicki http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Wersja poprawiona
Podróże po Imperium Liczb 01 Liczby Wymierne Andrzej Nowicki Wersja poprawiona i uzupełniona 7 grudnia 2011
Olsztyn, Toruń. Wydawnictwo OWSIiZ, Wydanie Pierwsze, 2008 Wydanie Drugie, 2012 Podróże po Imperium Liczb 01 Liczby Wymierne Andrzej Nowicki http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Wersja poprawiona i uzupełniona
Równania wielomianowe
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki
i=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Podróże po Imperium Liczb 06 Podzielność w Zbiorze Liczb Całkowitych Andrzej Nowicki
Olsztyn, Toruń. Wydawnictwo OWSIiZ, 2009 Podróże po Imperium Liczb 06 Podzielność w Zbiorze Liczb Całkowitych Andrzej Nowicki http://www.mat.uni.torun.pl/~anow wersja poprawiona i uzupełniona 10 maja 2012
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 12. Wielomiany Rozdział 12 12. Wielomiany cyklotomiczne Andrzej Nowicki 31 maja 2013, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 12 Wielomiany cyklotomiczne 143 12.1
Kierunek i poziom studiów: Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-M01N-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): -
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-M01N-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): - 1. Informacje ogólne koordynator
Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
07 Ciągi Rekurencyjne
Olsztyn, Toruń. Wydawnictwo OWSIiZ, 2010 Podróże po Imperium Liczb 07 Ciągi Rekurencyjne Andrzej Nowicki http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Wersja poprawiona i uzupełniona 17 maja 2012 Wstęp 1 1 Liczby
1. Informacje ogólne. 2. Opis zajęć dydaktycznych i pracy studenta. wykład
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-MO1S-12-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie):
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
O geometrii semialgebraicznej
Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Pierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO
2016-09-01 MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO SZKOŁY BENEDYKTA Ramowy rozkład materiału Klasa II I. Trójmian kwadratowy II. Wielomiany III. Funkcja wymierna IV. Funkcje dowolnego argumentu V.
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 09. Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi Rozdział. Sześciany Andrzej Nowicki 24 kwietnia 202, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści Sześciany 5. Cyfry sześcianów..................................
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
Zadania z arytmetyki i teorii liczb Andrzej Nowicki 1. Znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się 2010. 2. Z cyfr 1, 2,..., 9 utworzono trzy trzycyfrowe liczby o największym
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Skończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki
Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki UMK, Toruń 2012 1. Wykazać, że liczba 2222 5555 + 5555 2222 jest podzielna przez 7. 2. Wykazać, że liczba 222222 555555 + 555555 222222 jest podzielna
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
MATeMAtyka zakres rozszerzony
MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 07 Ciągi rekurencyjne Rozdział 12 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych Andrzej Nowicki 17 maja 2012, http://wwwmatunitorunpl/~anow Spis treści 12 Całkowitość
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i
Wielomiany i rozszerzenia ciał
Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = 111 godz.)
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = godz.) Ramowy rozkład materiału I. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie, cz. 2...
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
09 Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi
Olsztyn, Toruń. Wydawnictwo OWSIiZ, 2010 Podróże po Imperium Liczb 09 Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi Andrzej Nowicki http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Aktualizacja: 24 kwietnia 2012 Wstęp 1 1 Sześciany
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki
Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach
PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ
OOZYCJA LANU WYNIKOWEGOEALIZACJI OGAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DUGIEJ KLASIE SZKOŁY ONADGIMNAZJALNEJ ZAKES OZSZEZONY DZIAŁ I: CIĄGI Tematyka jednostki lekcyjnej lub Liczba oziomy
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16
Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności
Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Sumy kolejnych bikwadratów
Sumy kolejnych bikwadratów Znane są następujące dwie równości Andrzej Nowicki 18 maja 2015, wersja bi-12 3 2 + 4 2 = 5 2 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3. Czy istnieją podobnego typu równości dla czwartych potęg?
10 Liczby i Funkcje Rzeczywiste
Olsztyn, Toruń. Wydawnictwo OWSIiZ, 2010 Podróże po Imperium Liczb 10 Liczby i Funkcje Rzeczywiste Andrzej Nowicki http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Ostatnia aktualizacja: 11 grudnia 2012 Wstęp 1 1 Liczby
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Pojęcia wstępne. Piotr P. Karwasz. Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Uniwersytet Gdański
Piotr P. Karwasz Uniwersytet Gdański Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Redukcja Niech p Z będzie liczbą pierwszą oraz π p kanonicznym homomorfizmem: π p : Z F p. Twierdzenie (wersja dla studentów) Niechaj w(x)
11. Silnie i Symbole Newtona
Olsztyn, Toruń, 2010 Podróże po Imperium Liczb 11. Silnie i Symbole Newtona Andrzej Nowicki http://www.mat.uni.torun.pl/~anow 21 maja 2012 Wstęp 1 1 Silnie 5 1.1 Informacje o cyfrach.....................................
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Dział Rozdział Liczba h
MATEMATYKA ZR Ramowy rozkład materiału w kolejnych tomach podręczników 1. Działania na liczbach Tom I część 1 1.1. Ćwiczenia w działaniach na ułamkach 1.. Obliczenia procentowe 1.3. Potęga o wykładniku
04 Liczby Pierwsze Andrzej Nowicki Wersja poprawiona i uzupełniona 19 marca 2012
Olsztyn, Toruń. Wydawnictwo OWSIiZ, 2009 Podróże po Imperium Liczb 04 Liczby Pierwsze Andrzej Nowicki http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Wersja poprawiona i uzupełniona 19 marca 2012 Wstęp 1 1 Cyfry liczb
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Wielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej.
Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych
08 Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby Andrzej Nowicki Aktualizacja: 20 maja 2012
Olsztyn, Toruń. Wydawnictwo OWSIiZ, 2010 Podróże po Imperium Liczb 08 Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby Andrzej Nowicki http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Aktualizacja: 20 maja 2012 Wstęp 1 1 Liczby
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Teoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I
Teoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I Bazyli Klockiewicz 22 czerwca 2014 1 Rugownik pary wielomianów oraz wyróżnik wielomianu. Poniższe stwierdzenia opisują
2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Maciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017
Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 1. Rok szkolny dzieli się na dwa semestry. Każdy semestr kończy się klasyfikacją. 2. Na początku roku szkolnego informuję
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje
Spis treści. Przedmowa... 9
Spis treści Przedmowa... 9 1. Algorytmy podstawowe... 13 1.1. Uwagi wstępne... 13 1.2. Dzielenie liczb całkowitych... 13 1.3. Algorytm Euklidesa... 20 1.4. Najmniejsza wspólna wielokrotność... 23 1.5.
WIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Podróże po Imperium Liczb Część 3 Liczby kwadratowe Andrzej Nowicki
Podróże po Imperium Liczb Część 3 Liczby kwadratowe Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 KWA - 40(1195) - 19.03.2012 Spis treści Wstęp 1 1 Cyfry liczb kwadratowych
Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych
ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy
Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019
Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019 Zadanie z wykładu i ćwiczeń Dany jest ciąg rekurencyjny: x 1 = 1, x n+1 = x n 2 + 1 x n dla n 1. Ograniczoność.
GAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Pytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość: