Metodologia klasyczna
|
|
- Ryszard Kubicki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metodologia klasyczna Podział na zmienne z egzo i endogeniczne jest z góry znany Forma funkcyjna modelu jest z góry znana Zmienne w modelu sa stacjonarne Forma modelu wynika z wiedzy a priori (np. ekonomicznej) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1
2 Krytyka Lukasa metodologi klasycznej Model ekonometryczny opisuje zachowanie racjonalnych podmiotów W modelu ekonometrycznym zachowania te uzależnione sa zachowania zmiennych egzogenicznych od Jeśli zmieni się proces generujacy zmienne ogzogeniczne to racjonalny podmiot weźmie to pod uwagę i zmieni swoje zachowania W rezultacie parametry modelu opisujace zachowanie podmiotu ulegna zmianie Najbardziej interesujacy przypadek: zmiana polityki rzadu Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 2
3 Krytyka Simsa metodologii klasycznej Prognozy z dużych modeli wielorównaniowych nie sa lepsze od prognoz z ARIMA Wysokie R 2 i istotne t uzyskiwane dzięki nieustrukturyzowanemu przekopywaniu danych: obciażenie Lavella przypadkowe zmienne w modelu Krytyka Simsa Teoria ekonomii skupia się na warunkach, które spełnia stan równowagi W modelach dynamicznych ograniczenia identyfikujace parametry sa więc arbitralne Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 3
4 Wszystko zależy od wszystkiego - podział na zmienne endo i egzogeniczne często arbitralny Propozycja Simsa Analizujmy własności dynamiczne modelu a nie jego strukturę Szczególnie zwracajmy uwagę na reakcję modelu na szoki (interwencje rzadu, nieprzewidywane zdarzenia) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 4
5 Model V AR forma strukturalna Forma strukturalna bez ograniczeń Ax t = B 1 x t B k x t k +ΨD t +u t gdzie: u t N (0, Σ) x t jest wektorem losowym p 1 D t jest wektorem nielosowym o wymiarach m 1 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 5
6 Σ jest macierza symetryczna p p W takiej formie modelu V AR możliwy jest zarówno równoczesny jak i opóźniony zwiazek między zmiennymi. Zmiennymi objaśniajacymi sa opóźnione zmienne endogeniczne - pełnia one w tym modelu rolę zmiennych egzogenicznych (z góry określonych) D t zawiera elementy deterministyczne takie jak stała, trend, zmienne zero jedynkowe zwiazane ze zmianami sezonowymi. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 6
7 Forma zredukowana (standardowa) Mnożac formę strukturalna lewostronnie przez A 1 : x t = A 1 B 1 x t A 1 B k x t k +A 1 ΨD t +A 1 + ɛ t zmieniajac oznaczenia x t = Π 1 x t Π k x t k + ΦD t + ε t, ε t NID (0, Ω) gdzie Π i = A 1 B i, Φ= A 1 Ψ, ɛ t = A 1 u t, Ω = A 1 ΣA 1 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 7
8 W przypadku modelu V AR w postaci zredukowanej wartość zmiennej zależnej zależy wyłacznie od wartości opożnionych tej zmiennej oraz wartości opóźnionych innych zmiennych wyjaśnianych przez model. Parametry modelu V AR w postaci standardowej (zredukowanej) nie maja interpretacji strukturalnej. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 8
9 Estymacja modelu V AR Zazwyczaj estymuje sie jedynie formę zredukowana Może zostać oszacowany M N K zastosowanym do poszczególnych równań jeśli w modelu nie występuje autokorelacja Jeśli autokorelacja występuje, to pojawi się problem równoczesności i estymatory MNK nie będa zgodne Występowanie autokorelacji można przetestować za pomoca wielowymiarowej wersji testu Breuscha-Godfreya W modelu powinniśmy mieć ilość opóźnień wystarczajac a do wyeliminowania autokorelacji Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 9
10 Problem: jak dobrać wielkość ilości opóźnień k Zastosować metodę od ogólnego do szczegółowego 1. Zaczać od największej sensownej ilości opóżnień równej s 2. Testować kolejno modele z s 1, s 2,..., s r opóźnień aż hipoteza łaczna o nieistotności r opóźnień zostanie odrzucona 3. Przyjmujać, że w modelu jest s r opóźnień. Zastosować jakieś kryterium informacyjne: Akaike ) AIC = 2n 1 l ( θ + n 1 K ln n Bayesowskie ) BIC = 2n 1 l ( θ + 2n 1 K ) gdzie K ilość parametrów szacowanych w modelu, a l ( θ wiarygodności w punkcie maksimum funkcja Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 10
11 Przyjmujemy taka ilość opóźnień, która minimalizuje kryterium informacyjne. Pokazano, że AIC nie jest zgodne, ilość opoźnień może być za duża nawet dla n Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 11
12 Przykład Prosty model V AR dla Polski: pkb, spożycie ogółem, akumulacja i udział salda handlu zagranicznego w pkb Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] saldo_pkb saldo_pkb L L pkb L L spoz_o L L akumul L L _cons pkb saldo_pkb Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 12
13 L L pkb L L spoz_o L L akumul L L _cons spoz_o saldo_pkb L L pkb L L spoz_o L L Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 13
14 akumul L L _cons akumul saldo_pkb L L pkb L L spoz_o L L akumul L L _cons Badanie autokorelacji (wszystkie równania) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 14
15 H0: no autocorrelation at lag order j j chi2 df p Badanie autokorelacji - pojedyncze równania Equation: saldo_pkb Lag chi2 df Prob > chi Equation: All Lag chi2 df Prob > chi Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 15
16 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 16
17 Badanie przyczynowości w sensie Grangera Granger causality Wald tests Equation Excluded chi2 df Prob > chi saldo_pkb pkb saldo_pkb spoz_o saldo_pkb akumul saldo_pkb ALL pkb saldo_pkb pkb spoz_o pkb akumul pkb ALL spoz_o saldo_pkb spoz_o pkb spoz_o akumul spoz_o ALL akumul saldo_pkb akumul pkb Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 17
18 akumul spoz_o akumul ALL Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 18
19 Operator opóźnień Operator opóźnien L definiujemy x t 1 = Lx t Ponieważ więc L 1 będzie równy LLx t = Lx t 1 = x t 2 = L 2 x t, L s x t = x t s L 1 x t 1 = x t Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 19
20 Zauważmy, że [ 1 + al + (al) (al) n] (1 al) = 1 (al) n+1 co oznacza, że 1 + al + (al) (al) n = (1 al) 1 [ 1 (al) n+1] Suma nieskończona ciagu ma postać (al) i = (1 al) 1 lim (1 (al) n+1) n i=0 Jeśli plim (al) n+1 x t = plim a n+1 x t n 1 = 0 n n Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 20
21 co będzie spełnione, jeśli E (x ) <, Var (x ) < i a < 1 (1 al) 1 x t = (al) i x t = i=1 a i x t i i=1 i (1 al) 1 = (al) i i=1 Wniosek: 1 al można odwrócić pod warunkiem, że a < 1 i x t ma skończona wartość oczekiwana i wariancję. Dotyczy to także przypadku, kiedy a jest liczba zespolona - w tym przypadku a oznacza moduł liczby zespolonej. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 21
22 Wielomiany operatora opóźnień Wielomian operatora opoźnień A (L) = 1 a 1 L a 2 L 2... a s L s Wielomian A (x) = 1 a 1 x a 2 x 2... a s x s ma s pierwiastków µ i = λ 1 i i można go zapisać A (x) = (1 λ 1 x)... (1 λ s x) a więc A (L) = (1 λ 1 L)... (1 λ s L) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 22
23 Z poprzednich rozważań wnioskujemy, że 1 λ i L jest odwracalne jeśli λ i < 1. Wynika z tego, że A (L) jest odwracalne jeśli λ i < 1 (lub µ i > 1) dla i = 1,..., s A (L) jest więc odwracalne jeśli wszytkie pierwiastki leża poza kołem jednostkowym Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 23
24 Odwrotność wielomianu operatora opóżnień można zapisać jako A (L) 1 = (1 λ 1 L) 1... (1 λ s L) 1 [ ] [ ] = (λ 1 L) i... (λ s L) i i=1 = ψ 0 + ψ 1 L + ψ 2 L = ψ i L i i=0 gdzie ψ 0, ψ 1, ψ 2,... sa pewnymi parametrami. i=1 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 24
25 Operator różnicowania Definicja więc 1 L. x t = x t x t 1 = (1 L) x t Różnicownie p-krotne oznaczamy jako p = (1 L) p Na przykład 2 x t = (1 L) 2 x t = ( 1 2L + L 2) x t = x t 2x t 1 + x t 2 = x t x t 1 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 25
26 Różnice sezonowe s = 1 L s Dla danych kwartalnych 4 x t = x t x t 4 różnica między kwartałem t i tym samym kwartałem sprzed roku. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 26
27 Funkcje reakcji - warunki stabilności V AR Funkcje reakcji przedstawiaja reakcje zmiennych zależnych w modelu V AR na szoki losowe. Aby było możliwe zbadanie reakcji x t na szoki (ε t ) musi być możliwe przedstawienie x t jedynie w kategoriach szoków W standardowym procesie V AR, x t zależy zarówno od ε t jak i od x t 1, x t 2,... x t = Π 1 x t Π k x t k + (ΦD t +ε t ) równoważnie X t = AX t 1 + E t, Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 27
28 gdzie X t = x t x t 1. x t k+1, A = Π 1 Π 2 Π k I p p I p p 0, E t = ΦD t +ε t 0. 0 Macierz A nazywana jest companion matrix. Proces V AR można też zapisać jako A (L) X t = E t gdzie A (L) = I AL Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 28
29 Podobnie jak dla procesów skalarnych A (L) 1 = X t = (AL) i i=0 A i E t i i=0 Macierz J = [I, 0,..., 0] a x t = J X t a E t = J (ΦD t +ε t ), Ponieważ J J = I więc x t = J X t = gdzie Ψ i = J A i J J A i J (ΦD t i +ε t i ) = i=0 Ψ i (ΦD t i +ε t i ), i=0 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 29
30 Macierz kwadratowa A można zdekomponować tak, że A =P ΛQ, Λ jest macierza diagonalna złożona z wartości własnych a P Q = I Widać, że lim i Ψ i = J P Λ i QJ = 0 jeśli spełniony jest warunek odwracalnośc A (L): wszystkie wartości własne macierzy A leża wewnatrz koła jednostkowego Inny zapis A (L) x t = ε t gdzie A (L) = I A 1 L... A k L k Warunek odwracalności A (L) (równoważny warunkowi odwracalności A (L)) pierwiastki wielomianu A (µ) = 0 leża wewnatrz koła jednostkowego Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 30
31 Jeśli A (L) odwracalne, to szok (wpływ ε t ) wygasa wraz z upływem czasu Dla procesów dla których A (L) nie jest odwacalne, wpływ szoków nie zmniejsza się wraz z upływem czasu. Z tego powodu warunek odwracalności A (L) jest zarazem warunkiem stabilności procesu V AR. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 31
32 Przykład Model dla Polski kontynuacja: badanie stabilności (z modelu usunięto nieistotne współczynniki) Eigenvalue stability condition Eigenvalue Modulus e e All the eigenvalues lie inside the unit circle VAR satisfies stability condition Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 32
33 Równowaga długookresowa Zastanówmy czemu równa będzie wartość oczekiwana stacjonarnego procesu V AR ( ) E (x t ) = E Ψ i L i (ΦD t i +ε t i ) i=0 = Ψ i ΦD t i = i=0 J A i J (ΦD t i ) i=0 Jeśli jedynym elementem deterministycznym jest stała, to ΦD t i = µ E (x t ) = Ψ i µ = i=0 J A i Jµ = J (I A) 1 Jµ i=0 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 33
34 Rozwiazanie długookresowe interpretujemy jako poziom równowagi, wokół którego model oscyluje na skutek zaburzeń losowych. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 34
35 Funkcje reakcji (szoki jednostkowe) Mierza rozłożona w czasie reakcje x t na jednostkowa zmianę elementu zaburzenia losowego u t Model V AR można zapisać jako x t Π 1 x t 1 Π k x t k = ε t + ΦD t, Wiemy, że x t = Ψ i L i (ɛ t + ΦD t ) i=0 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 35
36 Wpływ na l-ty element x t jednostkowego zaburzenia w k-tym elemencie ε t i, które nastapiło w okresie t i będzie dane przez {Ψ i } k,l. Krytyka: jaki sens ma analiza jednostkowych szoków skoro szoki sa skorelowane (Ω niediagonalne)? jeśli szoki sa skorelowane może oznaczać to, że część szoku natychmiast rozchodzi się po systemie gospodarczym - rozpatrywnie szoku jednostkowego nie ma więc sensu - wpływajac na jedna zmienna wpływam od razu też na pozostałe Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 36
37 Funkcje reakcji: szoki jednostkowe Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 37
38 4 varirf, akumul, akumul varirf, akumul, pkb varirf, akumul, saldo_pkb varirf, akumul, spoz_o varirf, pkb, akumul varirf, pkb, pkb varirf, pkb, saldo_pkb varirf, pkb, spoz_o varirf, saldo_pkb, akumul varirf, saldo_pkb, pkb varirf, saldo_pkb, saldo_pkb varirf, saldo_pkb, spoz_o varirf, spoz_o, akumul varirf, spoz_o, pkb varirf, spoz_o, saldo_pkb varirf, spoz_o, spoz_o step 95% CI impulse response function (irf) Graphs by irfname, impulse variable, and response variable Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 38
39 Funkcje reakcji (szoki ortogonalne) Analizujmy taka formę V AR, w której szoki sa ortogonalne Mnożymy zredukowany V AR przez macierz P I,uzyskujemy taka, że P ΩP = P x t = P Π 1 x t P Π k x t k + P ΦD t + ɛ t Forma ta jest rodzajem formy strukturalnej Ax t = B 1 x t B k x t k +ΨD t +u t gdzie A = P, B i = P Π i, Ψ = P Φ, u t = P ɛ t a Var (u t ) = P ΩP = Σ D i Σ D diagonalna Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 39
40 Szoki sa nieskorelowane, nie ma problemu sygnalizowanego przy analizie poprzedniego modelu. Formę strukturalnej możemy wyestymować tylko wtedy, ograniczenia identyfikujace poszczególne równania! gdy mamy Krytyka: Czy możliwe jest znalezienie takich ograniczeń, które miałyby interpretację ekonomiczna? Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 40
41 Identyfikacja Simsa Za macierz P przyjmujemy C będac a macierza Choleskiego dla macierzy Ω: macierz C dolnotrójkatna z jedynkami na przekatnej CΩC = Σ D macierz Σ D jest diagonalna Ilość ograniczeń implikowana przez narzucenie wymogu, dolnotrójkatna wystarcza do zidentyfikowania modelu! że C jest Mnożac lewostronnie formę zredukowana modelu V AR przez C otrzymujemy: Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 41
42 Cx t = CΠ 1 x t CΠ k x t k +CΦD t +Cɛ t = Γ 1 x t Γ k x t k +ΥD t +η t η t = Cε t N (0, Σ D ) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 42
43 Model ten można rozpisać x 1t = k γ 1i x t i + τ i D t + η 1t i=1 x 2t = c 21 x 1t +... x Gt = G 1 i=1 k γ 2i x t i + τ i D t + η 2t i=1 c Gi x it + k γ Gi x t i + τ i D t + η Gt i=1 Szoki strukturalne: dotycza poszczególnych zmiennych Cechy tak zidentyfikowanej struktury (zależności równoczesne) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 43
44 szoki x 1t zależy od szoku η 1t x 2t zależy od szoków η 1t, η 2t. x Gt zależy od szoków η 1t,..., η Gt x it x 1t nie zależy równoczesnych x it x 2t zależy od x 1t x 3t zależy od x 1t, x 2t. x Gt zależy od szoków x 1t,..., x G 1t Specyficzna struktura przyczynowa - czy można ja wywnioskować z teorii ekonomii? Proponowane rozwiazanie: równań. badanie wrażliwości na zmianę kolejności Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 44
45 Krytyka: arbitralna identyfikacja równań zastapiona równie arbitralna identyfikacja szoków. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 45
46 Funkcje reakcji: szoki ortogonalne Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 46
47 varirf, akumul, akumul varirf, akumul, pkb varirf, akumul, saldo_pkb varirf, akumul, spoz_o varirf, pkb, akumul varirf, pkb, pkb varirf, pkb, saldo_pkb varirf, pkb, spoz_o varirf, saldo_pkb, akumul varirf, saldo_pkb, pkb varirf, saldo_pkb, saldo_pkb varirf, saldo_pkb, spoz_o varirf, spoz_o, akumul varirf, spoz_o, pkb varirf, spoz_o, saldo_pkb varirf, spoz_o, spoz_o step 95% CI orthogonalized irf Graphs by irfname, impulse variable, and response variable Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 47
48 Prognozowanie za pomoca V AR Prognozowanie za pomoca V AR 1 okres do przodu 2 okresy do przodu x T +1 = Π 1 x T Π k x T k+1. s okresów do przodu (s > k + 1) x T +2 = Π 1 x T Π k x T k+2 x T +s = Π 1 x T +s Π k x T k+s Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 48
49 Ponieważ E ( x T +1 x T +1 ) = 0, E ( x T +2 x T +2 ) = 0,... więc prognozy takie sa nieobciażone jeśli Π i sa znane Zapis prognoz przy pomocy companion matrix X T +s = A X T +s 1 Wariancja prognoz przy znanych Π i 1 okres do przodu 2 okresy X T +1 = AX T X T +1 = AX T + E T ) Var ( XT +1 X T +1 = Var (E t ) X T +2 = A X T +1 = A 2 X T Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 49
50 X T +2 = AX T +1 + E T +2 = A 2 X T + AE T +1 + E ) T +2 Var ( XT +2 X T +2 = Var (AE T +1 + E T +2 ) = Var (E) + A Var (E) A. s okresów do przodu ) Var ( XT +s X T +s = s 1 i=0 A i Var (E t ) (A ) i Ponieważ x t = J X t więc wariancję prognozy dla x t można policzyć jako Var ( x T +s x T +s ) = s 1 i=0 J A i JΩJ ( A i) s 1 J = i=0 Ψ i ΩΨ i Bład prognozy jest suma błędu wynikajacego z błędu estymacji i błędu wynikajacego z błędu losowego Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 50
51 Obliczyliśmy jedynie wariancję prognoz wynikajac a z błędów losowych Aby policzyć bład estymacji należałoby policzyć wariancję funkcji gdzie θ = ) x T +s = g ( θ X ( Π1,..., Π k, µ), co wobec nieliniowości g () jest trudne. Można można ta wariancję policzyć za pomoca bootstrapu. Zauważmy, że prognoza daży dla s do równowagi długookresowej. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 51
52 Prognozy z modelu VAR i rzeczywiste realizacje 0 Forecast for saldo_pkb 10 Forecast for pkb q1 2002q3 2003q1 2003q3 2004q1 data q1 2002q3 2003q1 2003q3 2004q1 data 95% CI forecast 95% CI forecast observed observed 10 Forecast for spoz_o 20 Forecast for akumul q1 2002q3 2003q1 2003q3 2004q1 data q1 2002q3 2003q1 2003q3 2004q1 data 95% CI forecast observed 95% CI forecast observed Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 52
53 Stacjonarność, integracja i kointegracja Definicja O x t mówimy, że jest (słabo, kowariacyjnie) stacjonarny jeśli Var (x t ) = Σ X < Cov (x t1, x t2 ) = Cov (x t1 +h, x t2 +h) dla dowolnych t 1, t 2 i h. Definicja x t nazywamy procesem I (0), jeśli x t E (x t ) = C (L) ɛ t i C (1) a ɛ i jest ciagiem niezależnych i o identycznych rozkładach zmiennych losowych, dla których E (ɛ t ) = 0 i Var (ɛ t ) = Ω. Lemat Proces liniowy I (0) jest słabo stacjonarny Definicja Proces stochastyczny x t uważamy za zintegrowany rzędu d, co oznaczamy jako x t I (d), d = 0, 1, 2,... jeśli d x t jest I (0). Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 53
54 Definicja x t nazywamy procesem skointegrowanym z wektorem kointegrujacym β jeśli x t jest I (1) a β x t jest I (0). Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 54
55 Skointegrowane procesy VAR Rozważmy prosty model V AR x t = Π 1 x t 1 + Π 2 x t 2 + ε t Jeśli od obu stron odejmiemy x t 1, to uzyskamy x t = (Π 1 I) x t 1 + Π 2 x t 2 + ε t = (Π 1 I) x t 1 + Π 2 x t 1 Π 2 x t 1 + Π 2 x t 2 + ε t = (Π 1 + Π 2 I) x t 1 Π 2 x t 1 + ε t = Πx t 1 + Γ 1 x t 1 + ε t gdzie Π = Π 1 + Π 2 I a Γ 1 = Π 2 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 55
56 Postępujac w podobny sposób proces V AR można przekształcić do postaci: x t = Πx t 1 + k 1 i=1 Γ i x t i + ΦD t + ɛ t, t = 1... T gdzie Π = k i=1 Π i I i Γ i = k j=i+1 Π j. Jeśli zmienna x t I (1) a zmienna y t I (0), to x t + y t I (1) Załóżmy, że x t I (1) i przeanalizujmy rzędy integracji elementów wyprowadzonego wzoru dla x t : x t }{{} I(0) = Πx t 1 }{{} I(1) + k 1 i=1 Γ i x t i }{{} I(0) + ΦD t + ɛ t }{{} I(0) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 56
57 Zauważmy, że rzędy integracji dla prawej i lewej strony równania moga się zgadzać wtedy i tylko wtedy, gdy Πx t 1 I (0). Rzad macierzy Π będzie determinował ilość wektorów kointegrujacych. Wnioski te formułuje twierdzenie Grangera (w wersji uproszczonej): Twierdzenie Jeśli x t I (1), to istnieja α i β o wymiarach p r i p r oraz rzędzie r, takie że Π = αβ to x t i β x t sa I(0) Kolumny macierzy β sa wektorami kointegrujacymi. Jeśli ilość wektorów kointegrujacych r = p, macierz β jest nieosobliwa i x t I (0) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 57
58 V AR można teraz zapisać jako x t = αβ x t 1 + k 1 i=1 Γ i x t i + ΦD t + ɛ t, t = 1... T Wyrażenie β x t interpretujemy jako mechanizm korekty błędu (Error Correction Mechanism ECM) Macierz α nazywamy macierza współczynników korygujacych. Macierze Γ i sa macierzami zwiazanymi z dynamika krótkookresowa Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 58
59 Identyfikacja w skointegrowanych modelach V AR W mechanizmie korekty błędów sposób generowania obserwacji nie zostanie zmieniony, jeśli macierze α i β zastapimy macierzami α = αa 1 i β = βa gdzie A jest dowolna nieosobliwa macierza r r. Wynika to z tego, że Π = αβ = α β Do identyfikacji parametrów długookresowych zawartych w macierzy β konieczne jest więc nałożenie na nia r 2 ograniczeń. Na wydrukach z komputera wielkość β uzyskiwana jest przy założeniu technicznej identyfikacji: β S 11 β = I Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 59
60 gdzie S 11 jest macierza momentów empirycznych reszt z regresji X t 1 na trendach deterministycznych Identyfikacja ta nie ma żadnej interpretacji teoretycznej. W konsekwencji nieinterpretowalne sa także elementy wektora β. Ograniczenia oparte na teorii przyjmuja zazwyczaj postać układów równań dla kolejnych wektorów kointegrujacych R iβ i = 0 Budujemy macierz ortogonalna do wektora R i 0).β i spełnijaca równa H i (R ih i = β i = H i ϕ i spełnia też poprzedni układ równań dla każdego ϕ i. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 60
61 W rezultacie wektor kointegrujacy ma postać β = (H 1 ϕ 1,..., H r ϕ r ) Wektor kointegrujace sa zidentyfikowane z dokładnościa do skali jeśli dla dowolnego β i ϕ 1,..., ϕ r (poza wyjatkowymi przypadkami) układ równań βa = (H 1 ϕ 1,..., H r ϕ r ) jest spełniony tylko dla diagonalnego A Ograniczenia zwiazane z normalizacja. Przyjmuje się, że każdy wektor kointegrujacy jest znormalizowany do jednej ze zmiennych. β ii = 1 Jeśli dołożymy te dodatkowe ograniczenia do ograniczeń teoretycznych identyfikujacych z dokładnościa do skali, to wektory kointegrujace stana się jednoznacznie zidentyfikowane Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 61
62 Jeśli macierz β jest jednoznacznie zidentyfikowana, to możliwe jest policzenie tej macierzy na podstawie policzonej macierzy β zidentyfikowanej w dowolny inny sposób (np. za pomoca technicznej identyfikacji), na podstawie układu równań βa = β Przykład (bardzo częsty) jeden wektor kointegrujacy: β = ( β 1, β 2,..., β p ) W tym przypadku do identyfikacji wystarczy jedynie ograniczenie zwiazane z normalizacja β 1 = 1, ponieważ dla jedynie dla A = 1. (βa) = A ( β 1,..., β p ) = ( 1, ϕ2,..., ϕ p ) Przykład Dwa wektory kointegrujace: powiedzmy, że chcemy przebadać zależność między inflacja i, stopa procentowa r i bezrobociem u. Powiedzmy, Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 62
63 że wiemy z teorii, że na nominalna stopę procentowa wpływa jedynie inflacja a na bezrobocie jedynie realna stopa procentowa r i. Wektor x t = (i, r, u) R 1 = (0, 0, 1), R 1β 1 = β 31 = 0 R 2 = (1, 1, 0), R 2β 2 = β 12 + β 22 = 0 Macierze H 1 i H 2 maja postać H 1 = , H 2 = Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 63
64 Macierz β ma postać: β = (H 1 ϕ 1, H 2 ϕ 2 ) = = ϕ 11 ϕ 21 ϕ 12 ϕ 21 0 ϕ 22 [ ϕ11 ϕ 12 ], ϕ 21 ϕ 21 Spróbujmy teraz udowodnić, że jedynymi wektorami β, które spełniaja ograniczenia teoretyczne sa wektory β = βa gdzie A jest pewna macierza Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 64
65 diagonalna. ϕ 11 ϕ 21 [ ] ϕ 12 ϕ 21 a11 a 12 a 0 ϕ 21 a }{{ 22 }{{ 22 }} A β = ϕ 11 ϕ 21 ϕ 12 ϕ 21 0 ϕ 22 }{{} β Spróbujmy rozwiazać uzyskany układ równań dla a 21 i a 22. β 31 = ϕ 22 a 21 = 0 i dla ϕ 22 0 mamy a 21 = 0. Możemy też zauważyć: β 12 = ϕ 11 a 12 + ϕ 21 a 22 = ϕ 21 β 22 = ϕ 12 a 12 ϕ 21 a 22 = ϕ 21 (ϕ 11 + ϕ 12 ) a 12 = 0 + Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 65
66 i dla ϕ 11 + ϕ 12 0 mamy wniosek, że a 12 = 0. Tym samym macierz jest diagonalna i wektory kointegrujace sa zidentyfikowane z dokładnościa do skali. Znormalizujmy teraz β 1 do stopy procentowej a β 2 do inflacji: β = ϕ 11 ϕ 21 1 ϕ Mamy teraz układ równań: ϕ 11 ϕ 21 [ ] 1 ϕ 21 a11 a 12 a a }{{ 22 }}{{} A β = ϕ 11 ϕ 21 1 ϕ }{{} β Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 66
67 Istnieja w nim dwa dodatkowe ograniczenia: β 21 = a 11 ϕ 21 a 21 = a 11 = 1 β 32 = a 22 = 1 Uwględnijac poprzednie ograniczenia mamy a 11 = a 22 = 1, a 12 = a 21 = 0 i rzeczywiście A = I. Wniosek: ograniczenia teoretyczne i normalizujace identyfikuja wektory kointegrujace. jednoznacznie Zastanówmy się teraz jak policzyć macierz β majac obliczone oszacowanie macierzy β zidentyfikowanej technicznie. Wiemy, że musi być Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 67
68 spełnione, że βa = β. Daje to następujacy układ równań: ϕ 11 ϕ 21 [ ] 1 ϕ 21 a11 a 12 a a }{{ 22 }}{{} A β = β 11 β 12 β 21 β 22 β 31 β 32 }{{} β Elementy β sa znane. Mamy układ 6 równań z 6 niewiadomymi. Rozwiazanie dla ϕ 11 i ϕ 21 da nam szukany wektor β. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 68
69 Test Johansena Wartość funkcji wiarygodności w punkcie maksimum dla skointegrowanego modelu V AR można zapisać jako L 2/T max = S 00 p (1 λ i ) i=1 gdzie pierwiastki charakterystyczne pochodza z problemu λs 11 S 10 (S 00 ) 1 S 01 = 0 a S 00, S 11, S 10 sa macierzami momentów empirycznych reszt z regresji X t, X t 1 na trendach deterministycznych. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 69
70 Ilość pierwiasków charakterystycznych λ i 1 odpowiada rzędowi macierzy β Testujemy za pomoca statystyki LR Porzadkujemy λ i tak, że 1 > λ 1 > λ 2 >... > λ p > 0 Testowanie sekwencyjne (statystyka trace): [ ] Lmax (H (p)) LR T (H 0 ) = 2 ln L max (H (r)) [ p ( = T ln 1 λ ) ] i i=r+1 1. Zaczynamy od H 0 : r = 0 i H 1 : r > 0 Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 70
71 2. jeśli odrzucona to testujemy H 0 : r = 1 i H 1 : r > kończymy dla H 0 : r = s i H 1 : r > s, dla której hipoteza zerowa nie została odrzucona UWAGA: Test Jahansena ma różne rozkłady w zależności od postaci Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 71
72 trendów deterministycznych Poziomy x t stała ograniczona stała stała+trend liniowy ograniczony trend liniowy trend liniowy+trend kwadratowy ograniczony Model korekty błędem x t = αβ x t 1 + k 1 Γ i x t i + ɛ t i=1 x t = α ( β x t 1 + µ ) + k 1 Γ i x t i + ɛ t x t = αβ x t 1 + k 1 i=1 i=1 Γ i x t i + µ + ɛ t x t = α ( β x t 1 + ξt ) + k 1 Γ i x t i + µ + ɛ t x t = αβ x t 1 + k 1 i=1 i=1 Γ i x t i + µ + ξt+ɛ t Przed rozpoczęciem testowania należy ustalić rodzaj trendów w modelu. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 72
73 Przykład Testowanie kointegracji między wzrostem realnego pkb, realnym wzrostem spożycia indywidualnego, realnym wzrostem nominalnym m3 i inflacja. Johansen-Juselius cointegration rank test Number of obs = 38 H1: H0: Max-lambda Trace Eigenvalues rank<=(r) statistics statistics (lambda) r (rank<=(r+1)) (rank<=(p=4)) Sample: 1995q1 to 2004q Osterwald-Lenum Critical values (95% interval): Table/Case: 1* (assumption: intercept in CE) Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 73
74 H0: Max-lambda Trace Table/Case: 1 (assumption: intercept in VAR) H0: Max-lambda Trace Normalized Beta pkb spoz_ind m3 inf vec vec vec vec Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 74
75 Normalized Alpha vec1 vec2 vec3 vec4 pkb spoz_ind m inf Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 75
76 Zmienne: inflacja, wzrost realnego pkb, wzrost m3, wzost ralnego spożycia indywidualnego q1 1996q1 1998q1 2000q1 2002q1 2004q1 data M3 PKB Inf Spoz_ind Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 76
77 Wniosek: niezależnie od tego czy stała w relacji koinegrujacej jest ograniczona czy nie znajdujemy dwa wektory kointegrujace. Konwersatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 77
1 Modele ADL - interpretacja współczynników
1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać
Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja
korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli
Modele wielorównaniowe (forma strukturalna)
Modele wielorównaniowe (forma strukturalna) Formę strukturalna modelu o G równaniach AY t = BX t + u t, gdzie Y t = [y 1t,..., y Gt ] X t = [x 1t,..., x Kt ] u t = [u 1t,..., u Gt ] E (u t ) = 0 Var (u
Wprowadzenie Modele o opóźnieniach rozłożonych Modele autoregresyjne o opóźnieniach rozłożonych. Modele dynamiczne.
opisują kształtowanie się zjawiska w czasie opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi zastosowaniami modeli dynamicznych są opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi
Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka
Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka 13 marca 2010 1 1. Kryteria informacyjne 2. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych opóźnieniach (ADL) 3. Analiza
Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13
Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Zajęcia 13 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych
Modele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Uogólniona Metoda Momentów
Uogólniona Metoda Momentów Momenty z próby daż a do momentów teoretycznych (Prawo Wielkich Liczb) plim 1 n y i = E (y) n i=1 Klasyczna Metoda Momentów (M M) polega na szacowaniu momentów teoretycznych
Stanisław Cihcocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cihcocki Natalia Nehrebecka 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji w modelu 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych opóźnieniach
Stacjonarność Integracja. Integracja. Integracja
Biały szum AR(1) Słaba stacjonarność Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym jeżeli: Biały szum AR(1) Słaba stacjonarność Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym jeżeli:
O sezonowości mówimy wtedy, gdy zmienna zmienia się w pewnym cyklu zwykle zwiazanym z cyklem rocznym
Sezonowość O sezonowości mówimy wtedy, gdy zmienna zmienia się w pewnym cyklu zwykle zwiazanym z cyklem rocznym Na przykład zmienne kwartalne charakteryzuja się zwykle sezonowościa kwartalna a zmienne
Dr Łukasz Goczek. Uniwersytet Warszawski
Dr Łukasz Goczek Uniwersytet Warszawski 10000 2000 4000 6000 8000 M3 use C:\Users\as\Desktop\Money.dta, clear format t %tm (oznaczamy tsset t tsline M3 0 1960m1 1970m1 1980m1 1990m1 2000m1 2010m1 t tsline
Metoda Johansena objaśnienia i przykłady
Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian
Ekonometria Ćwiczenia 19/01/05
Oszacowano regresję stopy bezrobocia (unemp) na wzroście realnego PKB (pkb) i stopie inflacji (cpi) oraz na zmiennych zero-jedynkowych związanymi z kwartałami (season). Regresję przeprowadzono na danych
0.1 Modele Dynamiczne
0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od
Problem równoczesności w MNK
Problem równoczesności w MNK O problemie równoczesności mówimy, gdy występuje korelacja między wartościa oczekiwana ε i i równoczesnym x i Model liniowy y = Xβ + ε, E (u) = 0 Powiedzmy, że występuje w
Wprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA
Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią
0.1 Modele Dynamiczne
0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od
Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że E (a n ) < oznaczamy jako a n = o p (1) prawdopodobieństwa szybciej niż n α.
Stopy zbieżności Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że a n oznaczamy jako a n = o p (1 p 0 a Jeśli n p n α 0, to a n = o p (n α i mówimy a n zbiega według prawdopodobieństwa szybciej
Czasowy wymiar danych
Problem autokorelacji Model regresji dla szeregów czasowych Model regresji dla szeregów czasowych y t = X t β + ε t Zasadnicze różnice 1 Budowa prognoz 2 Problem stabilności parametrów 3 Problem autokorelacji
Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 0/0/0. Egzamin trwa 90 minut.. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu. Złamanie
Ekonometria Wykład 6 - Kointegracja, rozkłady opóźnień. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE
Ekonometria Wykład 6 - Kointegracja, rozkłady opóźnień Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Plan wykładu Ekonometria wielu szeregów czasowych i analiza zależności pomiędzy nimi Przykłady ważnych
Autokorelacja i heteroskedastyczność
Autokorelacja i heteroskedastyczność Założenie o braku autokorelacji Cov (ε i, ε j ) = E (ε i ε j ) = 0 dla i j Oczekiwana wielkość elementu losowego nie zależy od wielkości elementu losowego dla innych
Modele wielorownaniowe
Część 1. e e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e makroekonomiczne z reguły składają się z większej
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 12 1 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne 2. Autokorelacja o Testowanie autokorelacji 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 1 1 1. Testy diagnostyczne Testowanie stabilności parametrów modelu: test Chowa. Heteroskedastyczność Konsekwencje Testowanie heteroskedastyczności 1. Testy
Kalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1
Kalibracja Kalibracja - nazwa pochodzi z nauk ścisłych - kalibrowanie instrumentu oznacza wyznaczanie jego skali (np. kalibrowanie termometru polega na wyznaczeniu 0C i 100C tak by oznaczały punkt zamarzania
1. Pokaż, że estymator MNW parametru β ma postać β = nieobciążony. Znajdź estymator parametru σ 2.
Zadanie 1 Niech y t ma rozkład logarytmiczno normalny o funkcji gęstości postaci [ ] 1 f (y t ) = y exp (ln y t β ln x t ) 2 t 2πσ 2 2σ 2 Zakładamy, że x t jest nielosowe a y t są nieskorelowane w czasie.
Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh
Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh Czesto zakłada się, że szeregi czasowe wykazuja autokorelację ae sa homoskedastyczne W rzeczywistości jednak często wariancja zmienia się w czasie Dobrym przykładem
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 15-16
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 15-16 1 1. Sezonowość 2. Zmienne stacjonarne 3. Zmienne zintegrowane 4. Test Dickey-Fullera 5. Rozszerzony test Dickey-Fullera 6. Test KPSS 7. Regresja pozorna
Testowanie hipotez statystycznych
Część 2 Hipoteza złożona Testowanie hipotez łącznych Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Hipoteza łączna H 0 : Rβ = q Hipoteza złożona Testowanie hipotez łącznych Zapis matematyczny Rozkład
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 13 1 1. Autokorelacja Konsekwencje Testowanie autokorelacji 2. Metody radzenia sobie z heteroskedastycznością i autokorelacją Uogólniona Metoda Najmniejszych
Natalia Neherbecka. 11 czerwca 2010
Natalia Neherbecka 11 czerwca 2010 1 1. Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 2. Uogólniona MNK 3. Stosowalna Uogólniona MNK 4. Odporne macierze wariancji i kowariancji b 2 1. Konsekwencje
Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna
Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna 06-02-2019 Regulamin egzaminu 1. Egzamin trwa 90 min. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Ekonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda
Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10
Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów
Ekonometria. Metodologia budowy modelu. Jerzy Mycielski. Luty, 2011 WNE, UW. Jerzy Mycielski (WNE, UW) Ekonometria Luty, / 18
Ekonometria Metodologia budowy modelu Jerzy Mycielski WNE, UW Luty, 2011 Jerzy Mycielski (WNE, UW) Ekonometria Luty, 2011 1 / 18 Sprawy organizacyjne Dyżur: środa godz. 14-15 w sali 302. Strona internetowa
Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT
Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT 04-02-2016 Pytania teoretyczne 1. Za pomocą jakiego testu weryfikowana jest normalność składnika losowego? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada w tym teście? Jakie
Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11
Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników
Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.
Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.
EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE ZADANIE 1 Oszacowano zależność między luką popytowa a stopą inflacji dla gospodarki niemieckiej. Wyniki estymacji są następujące: Estymacja KMNK,
Dr Łukasz Goczek. Uniwersytet Warszawski
Dr Łukasz Goczek Uniwersytet Warszawski Wykłady do końca: Niezależność polityki pieniężnej w długim okresie 2 wykłady Wzrost długookresowy w gospodarce otwartej 2 wykłady Egzamin 12.06.2013, godz. 17 sala
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 14
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 14 1 1.Problemy z danymi Współliniowość 2. Heteroskedastyczność i autokorelacja Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji Metody radzenia sobie z heteroskedastycznością
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej: test RESET Testowanie normalności składników losowych: test Jarque-Berra Testowanie stabilności
Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE
Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Ekonometria szeregów czasowych Procesy stochastyczne Stacjonarność i biały szum Niestacjonarność:
Statystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej
1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między
Budowa modelu i testowanie hipotez
Problemy metodologiczne Gdzie jest problem? Obciążenie Lovella Dysponujemy oszacowaniami parametrów następującego modelu y t = β 0 + β 1 x 1 +... + β k x k + ε t Gdzie jest problem? Obciążenie Lovella
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Egzamin z Ekonometrii
Pytania teoretyczne Egzamin z Ekonometrii 18.06.2015 1. Opisać procedurę od ogólnego do szczegółowego na przykładzie doboru liczby opóźnień w modelu. 2. Na czym polega najważniejsza różnica między testowaniem
K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.
Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.
Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 02/02/2011 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
2.6 Zmienne stacjonarne i niestacjonarne 2.6. ZMIENNE STACJONARNE I NIESTACJONARNE 33. RYSUNEK 2.6: PKB w wyrażeniu realnym
2.6. ZMIENNE STACJONARNE I NIESTACJONARNE 33 tale. Rysunek 2.6 ilustruje sezonowość w logarytmie PKB w wyrażeniu realnym. Realny PKB został uzyskany poprzez zdeflowanie nominalnego PKB przez indeks cen
Modele warunkowej heteroscedastyczności
Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Racjonalne oczekiwania inwestorów P t = E(P t+1 I t ) 1 + R (1) Teoria Przykład - zwroty
Heteroscedastyczność. Zjawisko heteroscedastyczności Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów Stosowalna Metoda Najmniejszych Kwadratów
Formy heteroscedastyczności Własności estymatorów MNK wydatki konsumpcyjne 0 10000 20000 30000 40000 14.4 31786.08 dochód rozporz¹dzalny Zródlo: Obliczenia wlasne, dane BBGD 2004 Formy heteroscedastyczności
Testy własności składnika losowego Testy formy funkcyjnej. Diagnostyka modelu. Część 2. Diagnostyka modelu
Część 2 Test Durbina-Watsona Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε t, ε t 1 ) 0 Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε
Zawansowane modele wyborów dyskretnych
Zawansowane modele wyborów dyskretnych Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Zawansowane modele wyborów dyskretnych grudzien 2013 1 / 16 Model efektów
Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych
Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Rafał Weron rweron@im.pwr.wroc.pl Definicje Mając dany proces {X t } autokowariancję definiujemy jako : γ(t, t ) = cov(x t, X t ) = = E[(X t
1.9 Czasowy wymiar danych
1.9 Czasowy wymiar danych Do tej pory rozpatrywaliśmy jedynie modele tworzone na podstawie danych empirycznych pochodzących z prób przekrojowych. Teraz zajmiemy się zagadnieniem budowy modeli regresji,
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników
Ekonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model
Ćwiczenia IV
Ćwiczenia IV - 17.10.2007 1. Spośród podanych macierzy X wskaż te, których nie można wykorzystać do estymacji MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ε 2. Na podstawie
Analiza Szeregów Czasowych. Egzamin
Analiza Szeregów Czasowych Egzamin 12-06-2018 Zadanie 1: Zadanie 2: Zadanie 3: Zadanie 4: / 12 pkt. / 12 pkt. / 12 pkt. / 14 pkt. Projekt zaliczeniowy: Razem: / 100 pkt. / 50 pkt. Regulamin egzaminu 1.
Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk
Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 1
Ekonometria egzamin 01/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 01/02/2019 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Ekonometria. Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 2 Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego 1 / 28 Agenda 1 Estymator
Analiza szeregów czasowych: 7. Liniowe modele stochastyczne
Analiza szeregów czasowych: 7. Liniowe modele stochastyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Liniowe modele stochastyczne Niech {y n } N n=1 będzie pewnym ciagiem danych
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 13 1 1. Testowanie autokorelacji 2. Heteroskedastyczność i autokorelacja Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 3.Problemy z danymi Zmienne pominięte
Metoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Metodologia budowy modelu
Rozdział 1 Metodologia budowy modelu W tym rozdziale omówimy problem metodologicznie poprawnego testowania hipotez i wyboru prawidłowej liczby zmiennych do modelu. Prawidłowy metodologicznie sposób ma
1 Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) 2 Interpretacja parametrów modelu. 3 Klasyczny Model Regresji Liniowej (KMRL)
1 Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) 1. Co to jest zmienna endogeniczna, a co to zmienne egzogeniczna? 2. Podaj postać macierzy obserwacji dla modelu y t = a + bt + ε t 3. Co to jest wartość dopasowana,
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wektory i wartości własne definicje Niech A C N N. Jeżeli
Ekonometria. Modele wielorównaniowe. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 1 / 35 Outline 1 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych 2 Modele równań
Metoda Monte Carlo. Jerzy Mycielski. grudzien Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien / 10
Metoda Monte Carlo Jerzy Mycielski grudzien 2012 Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien 2012 1 / 10 Przybliżanie całek Powiedzmy, że mamy do policzenia następującą całkę: b f (x) dx = I a Założmy,
Dr Łukasz Goczek. Uniwersytet Warszawski
Dr Łukasz Goczek Uniwersytet Warszawski Wykłady do końca: Niezależność polityki pieniężnej w długim okresie 2 część Wzrost długookresowy w gospodarce otwartej 2 wykłady Egzamin??, godz.?? Obie części 50%/50%.
Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne
Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Dwa rodzaje modelowania 1. Modelowanie z pierwszych zasad. Znamy prawa
Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne
Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Warunki stacjonarności modelu AR(p) y n = β 1 y n 1 + β 2 y n 2 + + β
Testy pierwiastka jednostkowego
2 listopada 2017 Proces generujący ceny Wnioski Słaba efektywność rynkowa i błądzenie przypadkowe Załóżmy, że rynek jest słabo efektywny Logarytmicznej stopy zwrotu ( p t = ln ( Pt P t 1 )) w czasie t
Metoda najmniejszych kwadratów
Własności algebraiczne Model liniowy Zapis modelu zarobki = β 0 + β 1 plec + β 2 wiek + ε Oszacowania wartości współczynników zarobki = b 0 + b 1 plec + b 2 wiek + e Model liniowy Tabela: Oszacowania współczynników
Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1
Ekonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 26/06/08
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 26/06/08 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz
Ekonometria egzamin 07/03/2018
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 07/03/2018 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 14
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 14 1 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne Obserwacje nietypowe i błędne Współliniowość - Mamy 2 modele: y X u 1 1 (1) y X X 1 1 2 2 (2)
Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie
Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza
Ekonometria egzamin 31/01/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 31/01/2018 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Przykład 2. Stopa bezrobocia
Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 8 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów
Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 13
Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Wykład 13 1 1. Zmienne pominięte 2. Zmienne nieistotne 3. Obserwacje nietypowe i błędne 4. Współliniowość 2 1. Zmienne pominięte 2. Zmienne nieistotne 3. Obserwacje
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 11-12
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 11-12 1. Zmienne pominięte 2. Zmienne nieistotne 3. Obserwacje nietypowe i błędne 4. Współliniowość - Mamy 2 modele: y X u 1 1 (1) y X X 1 1 2 2 (2) - Potencjalnie
Testowanie hipotez statystycznych
round Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 13 grudnia 2014 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Zadanie 1 1. Czy wykresy zmiennych sugerują, że zmienne są stacjonarne. Czy występuje sezonowość?
Zadanie 1 1. Czy wykresy zmiennych sugerują, że zmienne są stacjonarne. Czy występuje sezonowość? Wykres stopy bezrobocia rejestrowanego w okresie 01.1998 12.2008, dane Polskie 22 20 18 16 stopa 14 12
1.8 Diagnostyka modelu
1.8 Diagnostyka modelu Dotychczas zajmowaliśmy się własnościami estymatorów przy spełnionych założeniach KMRL. W praktyce nie zawsze spełnione są wszystkie założenia modelu. Jeżeli któreś z nich nie jest
Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej
Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej mgr Anna Sulima Instytut Matematyki UJ 8 maja 2012 mgr Anna Sulima (Instytut Matematyki UJ) Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej 8 maja 2012
Modele Wielorównaniowe
Rozdział 8 Modele Wielorównaniowe Modele wielorównaniowe o równaniach współzależnych (Simultaneus Equations Model) stosuje się do opisu zależności między zmiennymi, które wzajemnie i równocześnie wpływają
1. Stacjonarnośd i niestacjonarnośd szeregów czasowych 2. Test ADF i test KPSS 3. Budowa modeli ARMA dla zmiennych niestacjonarnych 4.
1. Stacjonarnośd i niestacjonarnośd szeregów czasowych 2. Test ADF i test KPSS 3. Budowa modeli ARMA dla zmiennych niestacjonarnych 4. Prognozowanie stóp zwrotu na podstawie modeli ARMA 5. Relacje kointegrujące
3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa