Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji"

Transkrypt

1 Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2. Symbole stałych, które zaczynają się od małej litery. 3. Symbole zmiennych, które zaczynają się od duŝej litery. 4. Symbole funkcji, które rozpoczynają się od małej litery, i które charakteryzują się określona liczbą argumentów. 5. Symbole predykatów, które zaczynają się od małej litery i mają określoną liczbę argumentów (arność predykatu). Do termów rachunku predykatów zaliczamy: stałe, zmienne i wyraŝenia funkcyjne. WyraŜenie funkcyjne składa się z symbolu n-argumentowej funkcji (symbolu funkcji o arności n) i termów t 1, t 2,..., t n zapisanych w nawiasach oraz oddzielonych przecinkami. 1

2 Rachunek predykatów syntaktyka Predykaty charakteryzują się dodatnią liczbą argumentów, przy czym dwa predykaty o tej samej nazwie lecz innej arności są traktowane jako róŝne. Formuła atomowa składa się z symbolu n-argumentowego predykatu (symbolu predykatu o arności n) i termów t1, t2,..., tn zapisanych w nawiasach oraz oddzielonych przecinkami. Formuła atomowa określana jest równieŝ terminami: wyraŝenie atomowe, atom. Wystąpienie zmiennej nazywamy związanym wtw, gdy znajduje się w zakresie działania kwantyfikatora. W przeciwnym przypadku wystąpienie zmiennej nazywamy wolnym. Literałem nazywamy atom lub jego negację. Klauzula to alternatywa literałów. Klauzula Horna to klauzula zawierająca co najwyŝej jeden atom w postaci prostej (nie zanegowanej). Rachunek predykatów syntaktyka Definicja formuły (wyraŝenia) rachunku predykatów: 1. KaŜdy atom jest formułą. 2. Jeśli s jest formułą, to jego negacja s równieŝ jest formułą. 3. Jeśli s 1 i s 2 są formułami, to ich koniunkcja s 1 s 2 równieŝ jest formułą. 4. Jeśli s 1 i s 2 są formułami, to ich dysjunkcja s 1 s 2 równieŝ jest formułą. 5. Jeśli s 1 i s 2 są formułami, to ich implikacja s 1 s 2 równieŝ jest formułą. 6. Jeśli s 1 i s 2 są formułami, to ich równowaŝność s 1 s 2 równieŝ jest formułą. 7. Jeśli X jest zmienną a s jest formułą, to X s jest formułą. 8. Jeśli X jest zmienną a s jest formułą, to X s jest formułą. 2

3 Rachunek predykatów semantyka Niech dany będzie zbiór formuł spełniający warunek: zbiór {p 1,...,p m } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych występujących w tych formułach, {a 1,...,a k } zaś zbiorem wszystkich stałych. Interpretacją I formuły nazywamy trójkę (D,{R 1,...,R m },{d 1,...,d k }), gdzie D jest niepustym zbiorem (dziedziną), R i jest n i -argumentową relacją określoną na D, przyporządkowaną symbolowi predykatywnem p i, zaś d i D są elementami dziedziny, przyporządkowanymi stałym a i. Przykład Dla formuły: X p(a,x) moŝliwe są przykładowe liczbowe interpretacje: I 1 =(N, { }, {0}), gdzie N - to zbiór liczb naturalnych I 2 =(N, { }, {1}), gdzie N - to zbiór liczb naturalnych I 3 =(Z, { }, {0}), gdzie Z - to zbiór liczb całkowitych Rachunek predykatów semantyka Niech I oznacza interpretację. Wartościowaniemω I : V D nazywamy funkcję przyporządkowującą kaŝdej zmiennej ze zbioru V element z dziedziny interpretacji D. Przez ω I [X d] będziemy oznaczać wartościowanie otrzymane z ω I przez przyporządkowanie zmiennej X V wartości d D. Wartość formuły atomowej dla ustalonej interpretacji I oraz wartościowania ω I oznaczaną jako ν ωi określamy następująco: Niech A=p k (c 1,...,c n ) będzie formułą atomową, gdzie kaŝde c i jest zmienną X i lub stałą a i. Wartość ν ωi (A)=1 wtw, gdy (d 1,...,d n ) R k, gdzie R k jest relacją przyporządkowaną p k w interpretacji I, zaś d i są elementami dziedziny przyporządkowanymi c i albo przez interpretację (gdy c i jest stałą), albo przez wartościowanie ω I (gdy c i jest zmienną). 3

4 Rachunek predykatów semantyka Wartość formuły złoŝonej A dla ustalonej interpretacji I oraz wartościowania ω I określamy następująco: ν ωi ( A)=1 wtw, gdy ν ωi (A)=0 ν ωi (A 1 A 2 )=1 wtw, gdy ν ωi (A 1 )=1 i ν ωi (A 2 )=1 ν ωi (A 1 A 2 )=1 wtw, gdy ν ωi (A 1 )=1 lub ν ωi (A 2 )=1 analogicznie dla innych operatorów ν ωi ( X A)=1 wtw, gdy ν ωi [X d](a)=1 dla pewnego d D ν ωi ( X A)=1 wtw, gdy ν ωi [X d](a)=1 dla kaŝdego d D Rachunek predykatów semantyka Formuła A jest spełniona w interpretacji I oraz wartościowaniu zmiennych ω I wtw, gdy ν ωi (A)=1. Formuła A jest prawdziwa przy interpretacji I wtw, gdy ν ωi (A)=1 dla dowolnego wartościowania zmiennych ω I. Mówimy wówczas, Ŝe interpretacja I jest modelem A, co oznaczamy I A. Formuła A jest spełnialna wtw, gdy istnieje taka interpretacja I oraz wartościowanie zmiennych ω I, Ŝeν ωi (A)=1. Formuła A jest prawdziwa (inaczej: jest tautologią) wtw, gdy kaŝda interpretacja I jest modelem formuły A, co oznaczamy A. Formuła A jest niespełnialna wtw, gdy nie jest spełnialna. Formuła A jest nieprawdziwa wtw, gdy nie jest prawdziwa. 4

5 Rachunek predykatów semantyka Formuła A jest konsekwencją logiczną zbioru formuł U, co zapisujemy U A, jeŝeli kaŝda interpretacja i wartościowanie zmiennych, które spełnia U spełnia takŝe A. Zbiór formuł U rachunku predykatów jest spełnialny, gdy istnieje interpretacja I oraz wartościowanie zmiennych, które spełnia kaŝdą formułę w U. W przypadku przeciwnym U jest niespełnialny. JeŜeli zbiór formuł nie jest spełnialny, to jest sprzeczny. Rachunek predykatów wnioskowanie Wnioskowaniem ze zbioru formuł U (przesłanek) formuły A (wniosku) nazywamy skończony ciąg formuł W=W 1,...,W n, taki, Ŝe W n =A oraz kaŝda z formuł W i (1 i n) jest elementem zbioru U (aksjomatem) bądź wnioskiem wyprowadzonym za pomocą pewnej reguły wnioskowania z wcześniejszych przesłanek W j. JeŜeli dla danej formuły A oraz zbioru U istnieje wnioskowanie, to piszemy U A. Twierdzenie o dedukcji. JeŜeli U jest zbiorem formuł, zaś A i B są formułami, to: U {A} B wtw, gdy U (A B). 5

6 Rachunek predykatów wnioskowanie Twierdzenie o poprawności. Niech U będzie zbiorem formuł, zaś A dowolną formułą, wtedy: jeŝeli U A, to U A. Twierdzenie o pełności. Niech U będzie zbiorem formuł, zaś A dowolną formułą, wtedy: jeŝeli U A, to U A. Dzięki twierdzeniu o pełności problem stwierdzenia, czy formuła A jest logiczną konsekwencją zbioru formuł U moŝna sprowadzić do zagadnienia poszukiwania wnioskowania formuły A ze zbioru U, co jest o tyle istotne, Ŝe konstrukcja wnioskowania ma charakter wyłącznie syntaktyczny i poddaje się automatyzacji. Rachunek predykatów wnioskowanie Twierdzenie Church a. Logika pierwszego rzędu nie jest rozstrzygalna, ale jest częściowo rozstrzygalna, tzn. nie istnieje algorytm, który dla dowolnej formuły rozstrzyga czy jest ona tautologią, czy nie; istnieje jednak algorytm, który dla dowolnej formuły, która jest tautologią pozwala to stwierdzić. Wniosek: maksimum tego, czego moŝna oczekiwać od systemów automatycznego dowodzenia twierdzeń, jest konstrukcja dowodu dla formuły będącej twierdzeniem rozwaŝanej teorii. 6

7 Rachunek predykatów wnioskowanie Procedura wnioskowania (procedura dowodowa) jest niesprzeczna (poprawna), jeŝeli kaŝda formuła produkowana przez tą procedurę ze zbioru wyraŝeń U jest równieŝ logiczną konsekwencją zbioru U. Procedura wnioskowania jest zupełna (pełna), jeŝeli moŝe wygenerować kaŝdą (dowolną) formułę będącą logiczną konsekwencją zbioru wyraŝeń U. Zalety: Cechy słabych metod wnioskowania uniwersalność - zdolność manipulowania wiedzą niezaleŝnie od jej znaczenia niesprzeczne i najczęściej zupełne reguły wnioskowania Wady: niska sprawność wnioskowania trudne w praktyce do spełnienia ograniczenia niesprzeczności i zupełności analiza wyłącznie syntaktycznej strony opisu 7

8 Logic Theorist (LT) Reprezentacja wiedzy: rachunek zdań i predykatów Mechanizmy wnioskowania: podstawienie zastąpienie reguła odrywania reguła łańcucha Sterowanie wnioskowaniem: przeszukiwanie począwszy od celu we wszystkich moŝliwych kierunkach Logic Theorist (LT): wnioskowanie Podstawienie W kaŝdym twierdzeniu, o którym wiemy, Ŝe jest prawdziwe moŝna podstawić za zmienną dowolne wyraŝenie (w kaŝdym wystąpieniu tej zmiennej). Przykład (B B) B... aksjomat A za B... podstawienie ( A A) A... wynik 8

9 Logic Theorist (LT): wnioskowanie Zastąpienie Operator wyraŝenia moŝna zastąpić wyraŝeniem logicznie równowaŝnym lub jego definicją. Przykład ( A B) (A B)... definicja A za B... podstawienie ( A A) (A A)... wynik podstawienia (A A) A... Zastąpienie (do wyniku z poprzedniego przykładu: ( A A) A ) Logic Theorist (LT): wnioskowanie Reguła odrywania (modus ponens) Z prawdziwości implikacji i jej przesłanek moŝemy wnioskować o prawdziwości jej konkluzji: [(A B) A ] B albo: A B, A B Reguła łańcucha JeŜeli A C jest problemem i dowiedziono, Ŝe B C, to mamy nowy problem (podproblem): A B 9

10 Logic Theorist (LT): sterowanie Funkcjonowanie systemu LT opiera się na następujących typach działań: Po pierwsze, staramy się dopasować bieŝący cel do wszystkich znanych aksjomatów i twierdzeń, wykorzystując regułę podstawienia, Po drugie, jeŝeli to nie prowadzi do dowodu, stosujemy wszystkie moŝliwe oderwania i zastąpienia do naszego celu, a wyniki tych operacji sprawdzane są za pomocą podstawienia; jeŝeli podstawienie nie dopasuje Ŝadnego z wyraŝeń do aksjomatu, to jest ono dodawane do listy podcelów, Po trzecie, stosujemy regułę łańcucha, Po czwarte, jeŝeli Ŝadne z trzech powyŝszych działań nie doprowadziło do dowodu, przechodzimy do listy podcelów i wybieramy kolejny nie rozwaŝany dotąd podcel Logic Theorist (LT): sterowanie Warunki stopu systemu LT: znaleziono dowód lista podcelów jest pusta (tzn. nie moŝna wywieść z posiadanych przesłanek) dostępny czas i/lub pamięć zostały wyczerpane 10

11 Logic Theorist (LT): przykłady cel p (q p) nie jest aksjomatem zastąpienie (q p) ( q p) wynik: p ( q p) podcel p ( q p) podstawienie q za q p (q p) to aksjomat c.b.d.u. cel (p p) p nie jest aksjomatem zastąpienie (p p) ( p p) wynik: ( p p) p podcel ( p p) p podstawienie p za p (p p) p to aksjomat c.b.d.u. Means Ends Analysis: system GPS Architektura systemu GPS (General Problem Solver) Lista operatorów Mechanizm porównywania opisów stanów i wykrywania róŝnic Tablica połączeń (tablica operator-róŝnica) Sterowanie: algorytm Means Ends Analysis (MEA) Budowa operatora: warunki początkowe (stosowalności) funkcja transformacji, czyli realizowana funkcja, opisana przez rezultaty zastosowania operatora redukowane róŝnice (z tablicy połączeń) 11

12 Means Ends Analysis: algorytm procedure MEA(s bieŝący, s cel ) Porównaj s bieŝący i s cel ; jeśli nie ma róŝnic, to koniec(sukces) w przeciwnym przypadku: a. Wybierz najbardziej istotną róŝnicę b. Wybierz nie analizowany dotąd operator Op, który ma zastosowanie do wykrytej róŝnicy; jeŝeli brak takich operatorów, to koniec(poraŝka) c. Zastosuj operator Op do stanu s bieŝący : wygeneruj opisy dwóch stanów: Start(Op) - stan, w którym spełnione są warunki początkowe Op, Rezultat(Op) - stan, będący rezultatem zastosowania Op d. JeŜeli Część1 MEA(s bieŝący, Start(Op)) Część2 MEA(Rezultat(Op), s cel ) zakończą się sukcesem, to koniec(sukces); zwróć wynik w postaci konkatenacji: Część1, Op, Część2 w przeciwnym przypadku koniec(poraŝka) end Means Ends Analysis: algorytm (uwagi) Uwagi do algorytmu: Mechanizm wyboru (kolejność) róŝnic duŝy wpływ na efektywność Mechanizm wyboru operatora usunięcie jednej róŝnicy moŝe wygenerować więcej innych (nowych!) róŝnic 12

13 Means Ends Analysis: przykład Tablica operatorów: OPERATOR Warunek Rezultat PUSH (obiekt, miejsce) at(robot, obiekt) large(obiekt) at(obiekt, miejsce) at(robot, miejsce) clear(obiekt) armempty CARRY (obiekt, miejsce) at(robot, obiekt) small(obiekt)) at(obiekt, miejsce) at(robot, miejsce) armempty GO at(robot, miejsce) (miejsce) ---- PICKUP at(robot, obiekt) holding(obiekt) (obiekt) armempty PUTDOWN (obiekt) holding(obiekt) armempty STACK at(robot, obiekt2) on(obiekt1, obiekt2) (obiekt1, obiekt2) holding(obiekt1) armempty Means Ends Analysis: przykład Tablica operator-róŝnica: PUSH CARRY GO PICKUP PUTDOWN STACK Przemieść obiekt Przemieść robota Oczyść obiekt PołóŜ obiekt na obiekt OpróŜnij ramię Trzymaj obiekt 13

14 Means Ends Analysis: przykład Start on(ksiąŝka, biurko) on(wazon, biurko) at(biurko, pokój1) Cel on(ksiąŝka, biurko) on(wazon, biurko) at(biurko, pokój2) A B C D Start PUSH Cel A B C D Start GO PUSH Cel A B C D Start GO PICKUP PUSH Cel... Means Ends Analysis: przykład... A B C D Start GO PICKUP PUTDOWN PUSH Cel A B C D... Start GO PICKUP PUTDOWN PICKUP PUTDOWN PUSH Cel A B C D... Start GO PICKUP PUTDOWN PICKUP PUTDOWN PUSH STACK Cel... 14

15 Means Ends Analysis: podsumowanie Słabości MEA: trudna do zdefiniowania w niektórych dziedzinach tablica operator-róŝnica duŝy rozmiar tablicy operator-róŝnica dla realnych problemów trudno z rozwiązań opartych na częściowych sukcesach wnioskować o globalnej strategii rozwiązywania problemu (niejawne konflikty między operatorami) Pełność procedury dowodowej - dlaczego? Istnienie pełnej procedury dowodowej: zredukowałoby proces dowodzenia jedynie do mechanicznych manipulacji składnią formuł logicznych oznaczałoby, iŝ wszystkie wnioski i twierdzenia logiki są zawsze i jedynie pochodną przyjętego zbioru aksjomatów i umoŝliwiłoby tym samym automatyzację procesu rozwiązywania kaŝdego problemu sformułowanego w języku logiki (pomijając samą złoŝoność obliczeniową (!) takiego procesu) 15

16 Reguła modus ponens: niepełność Przykładowy zbiór aksjomatów X p(x) q(x) X p(x) r(x) X q(x) s(x) X r(x) s(x) Dowód nieformalny dla s(a): s(a) jest prawdziwe, gdy q(a) lub r(a) jest prawdziwe; q(a) lub r(a) musi być prawdziwe, bo p(x) lub p(x) jest prawdziwe (zawsze!). Zatem s(a) z pewnością jest prawdziwe! Modus Ponens: X p(x) r(x) nie moŝna przekształcić do postaci Horna (byłoby wtedy p(x) r(x)) i tym samym nie moŝna skorzystać z reguły odrywania by dowieść prawdziwości s(a). Wniosek: Istnieją twierdzenia (konsekwencje logiczne) prawdziwe w logice predykatów, których nie moŝna dowieść za pomocą modus ponens. Zasada rezolucji Rezolucja: zasada rezolucji A B, B C albo A B, B C A C A C Interpretacja (dysjunkcji): Jeśli B jest fałszywe, to w pierwszej dysjunkcji A musi być prawdziwe (skoro cała alternatywa jest prawdziwa); ale jeśli B jest prawdziwe, to wtedy w drugiej dysjunkcji C musi być prawdziwe (skoro ta alternatywa teŝ jest prawdziwa); zatem, A lub C są prawdziwe. Interpretacja (implikacji): poprawność zasady rezolucji wynika z przechodniości implikacji 16

17 Rezolucja: pojęcia podstawowe literały komplementarne przesłanka przesłanka A B, B C A C rezolwenta Rezolucja: zasada rezolucji a modus ponens A, A B True A, A B B True B True A, A B False A, A B True B False B Zasada rezolucji jest uogólnieniem reguły odrywania. Modus ponens nie daje moŝliwości generowania dysjunkcji (implikacji) - moŝliwe jest jedynie wywodzenie formuł atomowych. 17

18 Rezolucja: przypadki wnioskowania (rachunek zadań) Przesłanki Rezolwenty Uwagi P P Q (P Q) P Q P Q P Q P Q P P P Q Q R (P Q) (Q R) Q Q Q Q P P P R (P R) modus ponens Q Qdaje Q rezolwenta sklejana dwie rezolwenty (obie tautologie) klauzula pusta (oznaka sprzeczności) wnioskowanie łańcuchowe (ang. chaining) Rezolucja: wywód rezolucyjny oraz dowód Wywodem rezolucyjnym klauzuli C ze zbioru klauzul U nazywamy ciąg klauzul W=W 1,...,W n, którego elementami są wyłącznie elementy zbioru U oraz rezolwenty klauzul występujących wcześniej w tym ciągu, zaś W n =C. Wywód rezolucyjny klauzuli pustej ze zbioru U nazywamy dowodem niespełnialności (sprzeczności) dla U. 18

19 Zasada rezolucji: pełność czy niepełność? Zasada rezolucji nie jest pełna, gdyŝ nie jest moŝliwe dowiedzenie prawdziwości formuły P P(będącego tautologią) dla pustego zbioru klauzul początkowych (aksjomatów). Zasada rezolucji jest jednak pełna w sensie refutacji tzn. zawsze umoŝliwia wyprowadzenie klauzuli pustej (fałszywej w kaŝdej interpretacji), jeśli dany zbiór klauzul jest niespełnialny. Refutacja (reductio ad absurdum) - dowód nie wprost Aby dowieść, Ŝe klauzula P jest logiczną konsekwencją zbioru klauzul S wystarczy wykazać, Ŝe zbiór {S P} jest sprzeczny. Rezolucja: graf wywodu (przykład) p p q p r r p 19

20 Rezolucja: drzewo wywodu (przykład) p p q p r r q r p Unifikacja: definicja Unifikacja jest procesem doprowadzania dwóch wyraŝeń do tej samej postaci (uzgadniania) przez zastosowanie odpowiednich podstawień do wstępujących w tych wyraŝeniach zmiennych. Skończony zbiór podstawień zmiennych powinien spełniać warunki: wszystkie zmienne są pod kwantyfikatorem uogólnionym za zmienną moŝna podstawić dowolny term (stałą, zmienną, funkcję) przy następujących ograniczeniach: raz związana zmienna nie moŝe być wiązana ponownie (nie jest dopuszczalne podstawianie wielu termów za jedną zmienną) zmienna nie moŝe być unifikowana z termem, który zawiera tą zmienną np.: {p(x)/x}, bo p(p(p(p(...x)...) wszystkie wystąpienia zmiennej muszą otrzymać wartość wynikającą z uzgodnienia nie wolno podstawiać zmiennej za stałą - zawsze unifikujemy odwrotnie 20

21 Unifikacja: jaki unifikator? Unifikator to zbiór podstawień zmiennych - rezultat procesu unifikacji. Proces unifikacji powinien być jak najbardziej ogólny, tzn. powinien zwracać najogólniejszy unifikator. Przykład p(x) i p(y) {fred/x, fred/y}... jeden z unifikatorów p(x) i p(y) {Z/X, Z/Y}... inny (ogólniejszy) unifikator, ale czy najogólniejszy? Unifikacja: złoŝenie unifikacji Niech s i s' będą dwoma zbiorami podstawień (unifikatorami). ZłoŜenie unifikatorów s i s' (zapisywane jako ss ) jest otrzymywane przez zastosowanie podstawień s' do s i dodanie do s tych podstawień z s', które nie dotyczą zmiennych posiadających podstawienia w s. Przykład 1 s 1 ={X/Y, W/Z} s 2 ={V/X} s 3 ={a/v, f(b)/w} s 1 s 2 ={V/Y, W/Z, V/X} s 1 s 2 s 3 ={a/y, f(b)/z, a/x, a/v, f(b)/w} 21

22 Przykład 2 Unifikacja: złoŝenie unifikacji s 1 = {g(x,y)/z} s 2 = {a/x, b/y, c/w} s 1 s 2 = {g(a,b)/z, a/x, b/y, c/w} Przykład 3 s 1 = {g(x,y)/z} s 2 = {a/x, b/y, c/w, d/z} s 1 s 2 = {g(a,b)/z, a/x, b/y, c/w} ZłoŜenie unifikatorów jest operacją łączną lecz nieprzemienną: (s''s')s = s''(s's) s's ss' Unifikacja: najogólniejszy unifikator Zbiór wyraŝeń {A 1, A 2,..., A n } jest unifikowalny, jeśli istnieje taki zbiór podstawień σ, Ŝe wyraŝenia A 1 σ, A 2 σ,..., A n σ są identyczne, czyli A 1 σ =A 2 σ =...=A n σ. Zbiór podstawień σ nazywamy wtedy unifikatorem tego zbioru. Unifikator g jest najogólniejszym unifikatorem (MGU) zbioru wyraŝeń E, jeŝeli dla kaŝdego innego unifikatora s tego zbioru istnieje unifikator s', taki, Ŝe Es = Egs' (gdzie gs' oznacza złoŝenie unifikatorów g i s'). Dla danego zbioru wyraŝeń istnieje dokładnie jeden najogólniejszy unifikator z dokładnością do nazw zmiennych. 22

23 Unifikacja: najogólniejszy unifikator Przykład Zbiór wyraŝeń E: p(x) oraz p(y) s = {fred/x, fred/y} g = {Z/X, Z/Y} s' =??? niech s' = {fred/z} gs' = {Z/X, Z/Y}{fred/Z} = {fred/x, fred/y, fred/z} i rzeczywiście p(x){fred/x, fred/y}=p(y) {fred/x, fred/y, fred/z} prowadzi do p(fred)=p(fred), czyli zachodzi Es = Egs'. Weźmy teraz: s = {Z/X, Z/Y} g = {X/Y} s' =??? niech s' = {Z/X}, wtedy gs' = {X/Y}{Z/X} = {Z/Y, Z/X}, więc znowu mamy Es = Egs' zatem to {X/Y} jest najogólniejszym unifikatorem (MGU) Unifikacja: algorytm function UNIFY(List_1, List_2) begin case both List_1 and List_2 are atoms: if List_1 = List_2 then return {} % recursion stops else return FAIL; List_1 is a variable: if List_1 occurs in List_2 then return FAIL else return {List_2/List_1}; List_2 is a variable: if List_2 occurs in List_1 then return FAIL else return {List_1/List_2}; otherwise: % both List_1 and List_2 are lists begin HE1 := head of List_1; RE1 := rest of List_1; HE2 := head of List_2; RE2 := rest of List_2; SUBS1 := UNIFY(HE1, HE2); if SUBS1 = FAIL then return FAIL; TE1 := apply(subs1, RE1); TE2 := apply(subs1, RE2); SUBS2 := UNIFY(TE1, TE2); if SUBS2 = FAIL then return FAIL else returncomposition of SUBS1 and SUBS2; end end % end case end. 23

24 Unifikacja: algorytm (przykład) UNIFY((parents X (father X)(mother bill)), (parents bill (father bill) Y)) return{ } return{(mother bill)/y, bill/x} UNIFY(parents, parents) UNIFY((X (father X)(mother bill)), (bill (father bill) Y)) return{bill/x} return{(mother bill)/y} UNIFY(X, bill) return{ } UNIFY(((father bill)(mother bill)), ((father bill) Y)) return{(mother bill)/y} UNIFY((father bill), (father bill)) UNIFY(((mother bill)), (Y)) return{ } return{ } return{(mother bill)/y} return{ } UNIFY(father, father) UNIFY((bill), (bill)) UNIFY((mother bill), Y) UNIFY((), ()) return{ } return{ } UNIFY(bill, bill) UNIFY((), ()) Rezolucja: procedura dowodowa Przekształć przesłanki lub aksjomaty w formę klauzul Dodaj do zbioru aksjomatów zaprzeczenie twierdzenia, które ma być udowodnione (w formie klauzuli) Generuj nowe klauzule (rezolwenty), wynikające z tego zbioru (zgodnie z zasadą rezolucji) i powiększaj o nie zbiór Szukaj sprzeczności, podąŝając ku klauzuli pustej Warunki uŝyte do wygenerowania pustej klauzuli są tymi, w których twierdzenie (zaprzeczone) jest prawdziwe Faktoryzacja - w rachunku predykatów - usuwanie z klauzul literałów powtarzających się 24

25 Faktoryzacja: znaczenie dla pełności rezolucji Przykładowy zbiór klauzul (niespełnialny) p(u) p(v) p(x) p(y) Dowód rezolucyjny: KaŜda rezolwenta tego zbioru klauzul składa się z dwóch literałów, więc nie moŝe być pusta! Dowiedzenie sprzeczności za pomocą rezolucji nie jest moŝliwe. Rozwiązanie: Usunięcie wszystkich powtarzających się w klauzulach literałów: Klauzula p(u) p(v) z podstawieniem {U/V} będzie równa p(u). Klauzula p(x) p(y) z podstawieniem {X/Y} będzie równa p(x). Postacie normalne - przypomnienie Literałem nazywamy atom lub jego negację. Klauzula to alternatywa literałów. Klauzulę, która nie zawiera Ŝadnego literału nazywamy klauzulą pustą i oznaczamy. Klauzula Horna to klauzula zawierająca co najwyŝej jeden atom w postaci prostej (nie zanegowanej). Formuła jest w koniunkcyjnej postaci normalnej wtw, gdy jest ona postaci α =α 1 α 2... α n (dla n 1), gdzie α 1,α 2,...,α n są klauzulami. Formuła jest w dysjunkcyjnej postaci normalnej wtw, gdy jest ona postaci α =α 1 α 2... α n (dla n 1), gdzie α 1,α 2,...,α n są koniunkcjami literałów. Twierdzenie. Dla dowolnej formuły α istnieją formuły jest równowaŝne w koniunkcyjnej i dysjunkcyjnej postaci normalnej. 25

26 Preneksowa postać normalna i standardowa postać Skolema Formuła α jest w preneksowej postaci normalnej wtw, gdy jest ona postaci QX 1... QX n µ, gdzie QX k (dla 1 k n) to albo X k, albo X k, zaś formuła µ jest bez kwantyfikatorów. QX 1... QX n nazywamy przedrostkiem, a µ matrycą - formuły α. Formuła α jest w standardowej postaci Skolema wtw, gdy jest w preneksowej postaci normalnej, w jej przedrostku nie ma kwantyfikatorów szczegółowych ( ), zaś jej matryca jest w koniunkcyjnej postaci normalnej. Twierdzenie. Niech S będzie zbiorem klauzul reprezentujących formułę α w postaci standardowej Skolema. Wówczas formuła α jest sprzeczna wtw, gdy zbiór S jest sprzeczny. Przekształcanie do standardowej postaci Skolema ( X){[a(X) b(x)] [c(x,m) ( Y) ( Z)[c(Y,Z)] d(x,y) ]} ( X)(e(X)) 1. Eliminacja implikacji z wykorzystaniem definicji (a b a b): ( X){ [a(x) b(x)] [c(x,m) ( Y) ( Z)[c(Y,Z)] d(x,y) ]} ( X)(e(X)) 2. Ograniczenie zasięgu negacji: ( X){[ a(x) b(x)] [c(x,m) ( Y) ( Z)[ c(y,z)] d(x,y) ]} ( X)(e(X)) 3. Standaryzacja wszystkich zmiennych poprzez związanie kaŝdego kwantyfikatora z unikalną zmienną: ( X){[ a(x) b(x)] [c(x,m) ( Y) ( Z)[ c(y,z)] d(x,y) ]} ( W)(e(W)) 4. Przemieszczenie wszystkich kwantyfikatorów na lewą stronę z zachowaniem porządku: ( X)( Y)( Z)( W){[ a(x) b(x)] [c(x,m) c(y,z) d(x,y) ]} e(w) 26

27 Przekształcanie do standardowej postaci Skolema 5. Eliminacja kwantyfikatorów szczegółowych za pomocą skolemizacji: ( X)( Z)( W){[ a(x) b(x)] [c(x,m) c(f(x),z) d(x,f(x)) ]} e(w) 6. Opuszczenie wszystkich kwantyfikatorów uogólnionych: [ a(x) b(x)] [c(x,m) c(f(x),z) d(x,f(x)) ] e(w) 7. Przekształcenie wyraŝenia do postaci koniunkcji dysjunkcji z wykorzystaniem własności łączności i rozłączności: [ a(x) b(x) e(w) c(x,m)] [ a(x) b(x) e(w) c(f(x),z) d(x,f(x))] 8. Zastąpienie koniunkcji zbiorem klauzul (kaŝda dysjunkcja zostaje oddzielną klauzulą): a(x) b(x) e(w) c(x,m) a(x) b(x) e(w) c(f(x),z) d(x,f(x)) 9. Standaryzacja zmiennych w poszczególnych klauzulach: a(x) b(x) e(w) c(x,m) a(u) b(u) e(v) c(f(u),z) d(u,f(u)) Rezolucja: przykład Wszystkie psy są zwierzętami. X ( dog(x) animal(x) ) ❶ Fido jest psem. dog(fido) ❷ Wszystkie zwierzęta umrą. Y ( animal(y) die(y) ) ❸ Fido umrze? die(fido) ❹ Modus Ponens Podstawienie {fido/x} w ❶ i reguła odrywania: animal(fido) Podstawienie {fido/y} w ❸ i reguła odrywania: die(fido) Forma predykatu Forma klauzuli X ( dog(x) animal(x) ) dog(x) animal(x) dog(fido) dog(fido) Y ( animal(y) die(y) ) animal(y) die(y) dowieść: die(fido) zanegowane twierdzenie: die(fido) 27

28 Rezolucja: przykład c.d. die(fido) dog(fido) dog(x) animal(x) animal(y) die(y) {Y/X} {fido/y} dog(y) die(y) die(fido) pusta klauzula Rezolucja: strategie dowodzenia Strategie wyboru Strategia liniowa (ang. linear resolution) Strategia źródłowa (ang. input resolution) Strategia preferencji jednostkowej (ang. unit preference resolution) Strategia zbioru podpierającego/zbioru uzasadnień (ang. set of support resolution) Przeszukiwanie wszerz (saturacja) Strategie eliminacji usuwanie klauzul zawierających czyste literały (brak drugiej klauzuli zawierającej literał komplementarny) usuwanie tautologii (klauzul zawierających literały komplementarne) usuwanie klauzul pochłoniętych (np. p qpochłania p q r) 28

29 Rezolucja: przeszukiwanie wszerz (saturacja) dog(fido) dog(x) animal(x) animal(y) die(y) die(fido) {fido/x} {fido/x} {fido/x} {fido/y} {X/Y} animal(fido) dog(x) die(x) animal(fido) {fido/y} {fido/x} die(fido) die(fido) dog(fido) dog(fido) Rezolucja: strategia zbioru podpierającego Zbiór uzasadnień T - dowolny niepusty podzbiór zbioru klauzul S (skończonego i niepustego) W kaŝdym kroku przynajmniej jedna z przesłanek jest klauzulą ze zbioru T bądź klauzulą wyprowadzoną we wcześniejszej fazie wywodu (inaczej: zbiór T jest po wykonaniu kaŝdego kroku dowodu wzbogacany o wyprowadzony wniosek) Strategia zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór S jest sprzeczny, zaś S\T jest spełnialny Istnieją róŝne metody wyboru zbioru T (najczęściej zbiór ten zawiera negację dowodzonego twierdzenia) 29

30 Rezolucja: strategie zbioru podpierającego (przykład) Sprzeczny zbiór S: Zbiór S\T: p q p r q r r :zbiór T p q q p Rezolucja: strategia liniowa W kaŝdym kroku jedna z przesłanek jest ostatnio wygenerowaną rezolwentą, a druga jednym z wcześniejszych wniosków (rezolwent) lub klauzulą początkową Dowód rozpoczyna się od dowolnie wybranej klauzuli początkowej (choć najlepiej aby było to twierdzenie do udowodnienia) Dowód ma charakter przejrzysty i ciągły - ostatni wniosek jest przesłanką w kolejnym kroku Strategia zupełna MoŜna łączyć ze strategią zbioru uzasadnień 30

31 Rezolucja: strategia liniowa dog(fido) dog(x) animal(x) animal(y) die(y) die(fido) {fido/x} {fido/y} animal(fido) {fido/y} {fido/x} animal(fido) die(fido) dog(fido) Rezolucja: strategia liniowa (przykład) p q p r q r r p q q p r r 31

32 Rezolucja: strategia źródłowa W kaŝdym kroku przynajmniej jedna przesłanka jest klauzulą początkową (a nie rezolwentą) Odmiana strategii liniowej (bardziej rygorystyczna!) Strategia niezupełna Strategia zupełna w klasie klauzul Horna Rezolucja: strategia źródłowa (niezupełność) Zbiór sprzeczny: p q p q p q p q q p q p q gdy liniowa! p p q q itd. 32

33 Rezolucja: strategia źródłowa (przykład) dog(fido) dog(x) animal(x) animal(y) die(y) die(fido) {fido/x} {fido/y} animal(fido) {fido/y} {fido/x} animal(fido) die(fido) dog(fido) Rezolucja: strategia preferencji jednostkowej W kaŝdym kroku przynajmniej jedna przesłanka powinna być klauzulą pojedynczą (pojedynczy literał) Strategia zupełna Strategia niezupełna, gdy przynajmniej jedna przesłanka zawsze musi być klauzulą pojedynczą wtedy jest to tzw. strategia jednostkowa (zupełna w klasie klauzul Horna!) 33

34 Rezolucja: strategia preferencji jednostkowej dog(fido) dog(x) animal(x) animal(y) die(y) die(fido) {fido/x} {fido/y} animal(fido) {fido/y} {fido/x} animal(fido) die(fido) dog(fido) Rezolucja: strategie eliminacji Usuwanie klauzul zawierających czyste literały (brak drugiej klauzuli zawierającej literał komplementarny) p l q l p q r p q r l l q r?? r 34

35 Rezolucja: strategie eliminacji Usuwanie tautologii (klauzul zawierających parę literałów komplementarnych) Niespełnialny zbiór klauzul pozostaje niespełnialny nawet, jeśli usuniemy z niego wszystkie tautologie Literały tautologii muszą być ściśle komplementarne: p(a) p(x) nie jest tautologią p(a) p(a) jest tautologią KaŜda nowa rezolwenta na dowolnym etapie procesu rezolucji moŝe być tautologią Rezolucja: strategie eliminacji Usuwanie klauzul pochłoniętych Pochłanianie: klauzula C pochłania klauzulę D wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podstawienie s takie, Ŝe zbiór literałów klauzuli Cs jest podzbiorem zbioru literałów D Przykład Klauzule: Zbiory literałów: C = p(x) q(y) C = { p(x), q(y) } D = p(a) q(v) r(w) D = { p(a), q(v), r(w) } Podstawienie: Wynik podstawienia: s = {a/x, V/Y} C s = {p(a), q(v)} PoniewaŜ C s D, to C pochłania D. 35

36 Rezolucja: strategie eliminacji Usuwanie klauzul pochłoniętych c.d. Niespełnialny zbiór klauzul pozostaje niespełnialny nawet, jeśli usuniemy z niego klauzulę pochłonięta przez inną klauzulę KaŜda nowa rezolwenta na dowolnym etapie procesu rezolucji moŝe być pochłonięta przez inną klauzulę Pełność strategii eliminacji tautologii i klauzul pochłoniętych zaleŝy od sposobu usuwania klauzul (np. połączenie z saturacją gwarantuje pełność) 36

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej

Wprowadzenie do Sztucznej Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Konsekwencje logiczne Formuła A jest konsekwencją logiczną zbioru formuł U, co zapisujemy U A, jeŝeli kaŝda interpretacja,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist

Bardziej szczegółowo

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania

Bardziej szczegółowo

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty

Bardziej szczegółowo

Metoda Tablic Semantycznych

Metoda Tablic Semantycznych Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,

Bardziej szczegółowo

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów

Semantyka rachunku predykatów Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa. Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna

Bardziej szczegółowo

Alfred N. Whitehead

Alfred N. Whitehead Plan wykładu Automatyczne dowodzenie twierdzeń Dowodzenie twierdzeń matematycznych Dedukcja Logic Theorist Means-endsends Analysis Rezolucja Programowanie w logice PROLOG Logic Theorist - 1956 Automatyczne

Bardziej szczegółowo

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria

1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner STUCZNA INTELIGENCJA

Adam Meissner STUCZNA INTELIGENCJA Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis STUCZNA INTELIGENCJA Elementy programowania w logice Literatura

Bardziej szczegółowo

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (10)

Logika Matematyczna (10) Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Elementy wnioskowania automatycznego

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS

Bardziej szczegółowo

Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda

Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek predykatów

Klasyczny rachunek predykatów Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu

Bardziej szczegółowo

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z... Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie formuł rachunku predykatów

Uzgadnianie formuł rachunku predykatów Składanie podstawień Plan wykładu Uzgadnianie Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Składanie podstawień 1 Składanie podstawień Podstawienie Motywacja Złożenie podstawień 2 Uzgadnianie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...

Bardziej szczegółowo

Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji

Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji 16 kwietnia 2010 Rezolucja zdaniowa Formuły rachunku zdań: zbudowane ze zmiennych zdaniowych za pomocą spójników logicznych,,,, i nawiasów Wartości logiczne:

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

1.2.3 Funkcjonalna pełność

1.2.3 Funkcjonalna pełność 1.2.3 Funkcjonalna pełność Przedstawione przykłady sprawdzania tautologiczności formuł zamknietych metodą niewprost dobrze ilustrują, Ŝe załoŝenie niewrost o przypisaniu formule wartości fałszu, a następnie

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

Konsekwencja logiczna

Konsekwencja logiczna Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI

PODSTAWY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Katedra Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka PODSTAWY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Laboratorium PROGRAMOWANIE SYSTEMÓW EKSPERTOWYCH Opracowanie: Dr hab. inŝ. Jacek Kucharski Dr inŝ. Piotr Urbanek Cel ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

Logika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk.

Logika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów maj 2010 Logika predykatów pierwszego rzędu Plan wykładu Logika predykatów pierwszego rzędu Porównanie z rachunkiem zdań Rachunek zdań ograniczona ekspresja

Bardziej szczegółowo

Problem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska

Problem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska Problem Instytut Informatyki jedzenie(x 1 ) lubi(adam, x 1 ) jedzenie(jabłko) jedzenie(kurczak) je(x 1, x 2 ) żyje(x 1 ) jedzenie(x 2 ) je(bogdan, orzeszki) żyje(bogdan) je(bogdan, x 2 ) je(zuzia, x 2

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Programowanie logiczne a negacja

Programowanie logiczne a negacja Programowanie logiczne a negacja Adrian Woźniak 12 stycznia 2006r. SPIS TREŚCI Programowanie logiczne a negacja Spis treści 1 Wstęp 2 2 Wnioskowanie negatywnych informacji 2 2.1 Reguła CWA (Closed World

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz

Bardziej szczegółowo

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem: DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a

Rachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a tak jest alboŝe tak a tak nie jest. Wartość logiczna zdania jest czymś obiektywnym, to

Bardziej szczegółowo

Drzewa Semantyczne w KRZ

Drzewa Semantyczne w KRZ Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00

Bardziej szczegółowo

II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka

II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 8. Arytmetyka Jak dobrze wiadomo, jednym z kluczowych praw zachodzących w dziedzinie liczb naturalnych jest Zasada Indukcji.

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1 Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Gramatyki atrybutywne

Gramatyki atrybutywne Gramatyki atrybutywne, część 1 (gramatyki S-atrybutywne Teoria kompilacji Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyki atrybutywne Do przeprowadzenia poprawnego tłumaczenia, oprócz informacji

Bardziej szczegółowo

Programowanie w logice

Programowanie w logice Programowanie w logice PROLOG cz.1 PROLOG język wysokiego poziomu Powstał w 1972 na Uniwersytecie w Marsylii (Francja) w zespole A.Colmerauer a i F.Roussel a PROgrammation en LOGique, PROgramming in LOGic,

Bardziej szczegółowo

Logiczne podstawy informatyki 1. Wojciech Buszkowski. Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM

Logiczne podstawy informatyki 1. Wojciech Buszkowski. Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM Logiczne podstawy informatyki 1 LOGICZNE PODSTAWY INFORMATYKI Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM Logiczne podstawy informatyki 2 1. Rezolucja zdaniowa Formuły

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów 1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

Zasady krytycznego myślenia (1)

Zasady krytycznego myślenia (1) Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011

Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.

Bardziej szczegółowo

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (2,3)

Logika Matematyczna (2,3) Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Dedukcja Naturalna

LOGIKA Dedukcja Naturalna LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami

Bardziej szczegółowo

Rekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:

Rekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n

Bardziej szczegółowo

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ.

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ. Gramatyki grafowe Def. Nieskierowany NL-graf (etykietowane wierzchołki) jest czwórką g = (V, E, Σ, ϕ), gdzie: V niepusty zbiór wierzchołków, E V V zbiór krawędzi, Σ - skończony, niepusty alfabet etykiet

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo