Alfred N. Whitehead

Transkrypt

1 Plan wykładu Automatyczne dowodzenie twierdzeń Dowodzenie twierdzeń matematycznych Dedukcja Logic Theorist Means-endsends Analysis Rezolucja Programowanie w logice PROLOG Logic Theorist Automatyczne dowodzenie twierdzeń Allen Newell Herbert Simon Alfred N. Whitehead Bernard Russel Podstawowe pojęcia Teoria Zbiór formuł T nazywamy teorią wtw, gdy jest on zamknięty ze względu na konsekwencje logiczne. Zbiór formuł T jest zamknięty ze względu ę na konsekwencje logiczne wtw, gdy dla wszystkich formuł A zachodzi zależność: jeżeli A jest konsekwencją logiczną T,, to A T. Reguły dowodowe Reguły generowania twierdzeń ze zbioru aksjomatów - reguły wnioskowania (np. reguła odrywania). Własności teorii Teoria jest niesprzeczna - to znaczy żadne zdanie i jego negacja nie mogą być jednocześnie twierdzeniami tej teorii. Zdanie teorii nazywamy rozstrzygalnym, jeżeli ono samo, albo jego negacja, jest twierdzeniem teorii. Teoria jest zupełna, jeżeli wszystkie zdania są w niej rozstrzygalne. Teoria jest rozstrzygalna, jeżeli istnieje algorytm, który dla każdego jej zdania pozwala stwierdzić, czy jest ono twierdzeniem tej teorii. Większość teorii matematycznych, to teorie nierozstrzygalne (np. teoria liczb naturalnych). 1

2 twierdzenie o niezupełności Kurt Gödel Niech NT będzie zbiorem aksjomatów teorii liczb naturalnych. Jeśli teoria T(NT) jest niesprzeczna, to nie jest zupełna *). *) Dowód można znaleźć w: [1] Smullyan R., What is the name of this book? The riddle of Draculla and other logical puzzles. Prentice-Hall, [2] Mendelson E., Introduction to mathematical logic, Wyd. 4, Chapman and Hall, Formuły rachunku predykatów P = {p, q, r} symbole predykatywne A = {a, b, c} stałe V = {x, y, z} zmienne Za pomocą zastępującej gramatyki definiuje się formuły atomowe oraz formuły rachunku predykatów: argument ::= x dla dowolnego x V argument ::= a dla dowolnego a A argumenty ::= argument argumenty ::= argument,argumentyargumenty atom ::= p p(argumenty) dla dowolnego p P form ::= atom form ::= form form ::= form form podobnie dla,... form ::= x form dla dowolnego x V form ::= x form dla dowolnego x V Predykat Funktor Term Atom Formuła złożona Słowniczek symbol (nazwa) relacji symbol (nazwa) funkcji zmienna logiczna lub funktor z listą argumentów symbol relacji z argumentami będącymi termami ciąg formuł atomowych połączonych spójnikami Literał dodatni formuła atomowa Literał ujemny negacja formuły atomowej Klauzula Horna dysjunkcja literałów, najwyżej jeden literał dodatni Dedukcja Dedukcja jest metodą wnioskowania, w której podstawową regułą dowodową jest reguła odrywania: α, α β β Teoria przemijania (A1) man() die() (A2) man(sokrat Tw. o Sokratesie: Dowód: die(sokrat 1. na podstawie reguły podstawiania postawiamy /sokrates w A1 (A1 ) man(sokrat die(sokrat 2. na podstawie reguły odrywania: man(sokrat, man(sokrat die(sokrat die(sokrat Operacje w programie Logic Theorist Podstawienie zmiennych:: w każdym twierdzeniu, o którym wiemy, że jest prawdziwe można podstawić za zmienną dowolne wyrażenie w każdym wystąpieniu tej zmiennej. np. w wyrażeniu ( A B) (A B) podstawiamy A za B ( A A) (A A) (*) Zastąpienie:: operator działania można zastąpić wyrażeniem równoważnym lub jego definicją. np. w wyrażeniu ( A A) A zastępujemy operator jego definicją (*) (A A) A Modus ponens (reguła odrywania): [(A B) A] B 2

3 Algorytm: 1. Wykonanie wszystkich możliwych podstawień do bieżącego celu. 2. Zastosowanie wszystkich możliwych zastąpień i oderwań do bieżącego celu i sprawdzenie wyników za pomocą podstawień; jeżeli nie doprowadzi to do dowodu, dopisanie wyników do listy podcelów. 3. Zastosowanie reguły łańcucha a b, b c a c 4. Jeżeli żadne z powyższych działań nie doprowadziło do dowodu, to jako bieżący cel przyjmij kolejny nie rozważany dotąd element z listy podcelów. 5. Zakończ jeżeli: znaleziono dowód lub lista podcelów jest pusta lub czas i pamięć zostały wyczerpane. Zastąpienie: (q p) ( q p) Podstawienie: q za q LT PRZYKŁAD 1 Cel: p (q p) Podcel: p ( q p) Podcel: p (q p) Aksjomat: p (q p) LT PRZYKŁAD 2 Logic Theorist - podsumowanie Zastąpienie: (p p) ( p p) Podstawienie: p za p Cel: (p p) p Podcel: ( p p) p Podcel: (p p) p Aksjomat: (p p) p Program napisany przez Newella, Simona i Shawa w roku 1956, który dowodził podstawowe twierdzenia pierwszego rozdziału Principia Mathematica Reprezentacja wiedzy: rachunek predykatów Wnioskowanie: dedukcja Procedura pomocnicza: unifikacja wyrażeń Problemy: złożoność, sterowanie wnioskowaniem General Problem Solver Autorzy: Newell, Simon Dowodzenie twierdzeń, rozwiązywanie problemów geometrycznych, językowych, gier (szachy) Newell, A.; Shaw, J.C.; Simon, H.A. (1959). Report on a general problem-solving program. Proceedings of the International Conference on Information Processing. pp Newell, A. (1963). A guide to the general problem-solver program GPS-2-2. RAND Corporation, Santa Monica, California. Technical Report No. RM-3337-PR. Ernst, G.W. and Newell, A. (1969). GPS: a case study in generality and problem solving. Academic Press. (revised version of Ernst's 1966 dissertation, Carnegie Institute of Technology.) General Problem Solver wykorzystuje metodę means-ends, która powstała na podstawie obserwacji sposobu rozwiązywania problemów przez człowieka (psychologia) podstawowe pojęcia: różnice i operatory operator jest opisany przez: warunki początkowe, funkcję transformacji i redukowane różnice na każdym etapie rozwiązywania problemu formułuje się różnicę między stanem bieżącym a celem następnie poszukuje się operatora, który można zastosować do zredukowania zaobserwowanej różnicy jeżeli warunki początkowe operatora nie są spełnione, to zapisuje się je na listę podcelów i przechodzi się do następnego z listy podcelów 3

4 Problem dzbanków Means-endsends x - ilość wody w dużym dzbanku, x {0, 1, 2, 3, 4} y - ilość wody w małym dzbanku y {0, 1, 2, 3} stan zadania: (x, y) stan początkowy: (4, 3) 4 l 3 l? cel: (2, y) 2 l 20 2,0-2,0 20-2, ,0 03 0,3 20 2,0 20 2,0-2,0 20-2, ,0 03 0,3 20 2,0 2,0-2,0-2,2 0,0 0,3 2,0 2,0-2,0-2,2 0,0 0,3 2,0 4

5 2,0-2,0-2,2 0,0 0,3 2,0 20 2,0-2,0 20-2, ,0 03 0,3 20 2,0 20 2,0-2,0 20-2, ,0 03 0,3 20 2,0 Stan początkowy (4,3) (0,3) (3,0) (3,3) (4,2) (0,2) Rozwiązanie Operator (-4,0) (3,-3) (0,3) (1,-1) (-4,0) (2,-2) Stan końcowy (0,3) (3,0) (3,3) (4,2) (0,2) (2,0) General problem solver - podsumowanie GPS został zaprezentowany w roku 1959 Zastosowana metoda wnioskowania (means-ends ends analysis) była wzorowana na sposobie rozwiązywania problemów przez człowieka Metoda ta znajduje zastosowanie w robotyce i planowaniu działań (STRIPS 1971) Zasada rezolucji (Alan Robinson 1965) α β, α γ β γ 5

6 Dowód metodą nie wprost Założenie o niesprzeczności teorii Zatem dodanie zdania, które nie jest prawdziwe powoduje powstanie sprzeczności w rozważanym zbiorze zdań Szukamy tej sprzeczności Co będzie jeżeli nie ma sprzeczności? Dowód metodą rezolucji 1. Przekształć przesłanki lub aksjomaty w formę klauzul. 2. Dodaj do zbioru aksjomatów zaprzeczenie twierdzenia, które ma być udowodnione. 3. Wygeneruj nowe klauzule wynikające z tego zbioru. 4. Znajdź sprzeczność generując pustą klauzulę. 5. Warunki użyte do wygenerowania pustej klauzuli są tymi, w których zaprzeczenie celu jest prawdziwe. Teoria przemijania A1. die() man() A2. man(sokrat Tw. o Sokratesie: die(sokrat Dowód: 1. zaprzeczenie tezy: Z1. die(sokrat 2. na podstawie reguły podstawiania: (/sokrat A1. die(sokrat man(sokrat 3. rezolucja Z1 oraz A1 Z2. man(sokrat 4. rezolucja A2 i Z2 powoduje wygenerowanie klauzuli pustej, co kończy dowód. Strategie upraszczające rezolucję Przeszukiwanie wszerz Strategia zbioru podpierającego Strategia preferencji jednostkowej Strategia liniowego wejścia Przykład człowiek() umrzeć() człowiek() umrzeć() filozof(y) człowiek(y) filozof(y) ( ) człowiek(y) m Przeszukiwanie wszerz człowiek() umrzeć() filozof() o o ( ) umrzeć() człowiek(sokrat c o e a człowiek(sokrat umrzeć(sokrat umrzeć(sokrat 6

7 Przeszukiwanie wszerz człowiek() umrzeć() filozof() o o ( ) umrzeć() człowiek(sokrat c o e a człowiek(sokrat umrzeć(sokrat Strategia zbioru podpierającego Dla zbioru klauzul wejściowych S określa się podzbiór T S zwany zbiorem podpierającym. Strategia wymaga, aby w każdej rezolucji co najmniej jedna rezolwenta e miała a poprzednika w zbiorze podpierającym T. Jeżeli S jest sprzeczny i S\T nie jest sprzeczny, to strategia ta jest zupełna. Np. jeżeli T zawiera zaprzeczenie celu. Strategia zbioru podpierającego człowiek() umrzeć() zbiór podpierający Strategia zbioru podpierającego człowiek() umrzeć() filozof() o o ( ) umrzeć() człowiek(sokrat c o e a człowiek(sokrat filozof() o o ( ) umrzeć() człowiek(sokrat c o e a człowiek(sokrat Strategia zbioru podpierającego człowiek() umrzeć() Strategia zbioru podpierającego człowiek() umrzeć() filozof() o o ( ) umrzeć() człowiek(sokrat c o e a człowiek(sokrat filozof() o o ( ) umrzeć() człowiek(sokrat c o e a człowiek(sokrat umrzeć(sokrat 7

8 Strategia preferencji jednostkowej Rezolucja, w której jedna rezolwenta jest literałem prowadzi do skrócenia drugiej rezolwenty. Zatem preferuje się rezolucje z pojedynczymi literałami. Jeżeli nie dopuścimy innych rezolucji, jak tylko z pojedynczymi literałami, to strategia nie jest zupełna. Strategia preferencji jednostkowej człowiek() umrzeć() filozof() o o ( ) umrzeć() człowiek(sokrat c o e a człowiek(sokrat Strategia preferencji jednostkowej człowiek() umrzeć() Strategia preferencji jednostkowej człowiek() umrzeć() filozof() o o ( ) umrzeć() człowiek(sokrat c o e a człowiek(sokrat człowiek(sokrat c o e a człowiek(sokrat umrzeć(sokrat Strategia liniowego wejścia W pierwszej rezolucji rezolwentami są aksjomat i zanegowany cel. W kolejnych krokach jedną z rezolwent jest ostatnio otrzymana klauzula, a drugą aksjomat. Strategia nie jest zupełna. Strategia liniowego wejścia człowiek() umrzeć() filozof() o o ( ) umrzeć() człowiek(sokrat c o e a człowiek(sokrat 8

9 Strategia liniowego wejścia człowiek() umrzeć() Strategia liniowego wejścia człowiek() umrzeć() filozof() o o ( ) umrzeć() człowiek(sokrat c o e a człowiek(sokrat człowiek(sokrat ( ) Strategia liniowego wejścia człowiek() umrzeć() Strategia liniowego wejścia człowiek() umrzeć() człowiek(sokrat c o e a człowiek(sokrat c o e a Inne pożyteczne zasady Uporządkowanie literałów w klauzulach. Związanie zmiennej może być korzystne na początku przeszukiwania, ale nie jest to regułą. Klauzule oczywiste należy eliminować ze zbioru. Klauzule mniej ogólne należy eliminować ze zbioru. PROLOG Programowanie w logice 9

10 PROLOG PROLOG jest językiem programowania w logice. Program w PROLOGu składa się z listy stwierdzeń logicznych w postaci klauzul Horna. Wnioskowanie: -w tył -w głąb z nawrotami PROLOG a logika W logice zmienne są kwantyfikowane jawnie, w PROLOGU nazwy zmiennych zaczynają się od dużej litery, a stałych od małej litery. W PROLOGU nie występuje znak dysjunkcji, j dysjunkcję reprezentuje się w postaci listy alternatywnych stwierdzeń. W PROLOGU implikację zapisuje się od końca : p q zapisuje się q :- p. Reprezentacja deklaratywna Artificial Mathematician (ok. 1976) man() die() die() :- man() Autor: Douglas Lenat Język: LISP Reprezentacja wiedzy: ramy man(sokrat man(sokrat? die(sokrat (ur. 1950) The President and CEO of CYCORP Lenat, D. and Brown, J. (1984). Why AM and EURISKO appear to work. Artificial Intelligence, 23, No. 3 (pp ). 10