Adam Meissner STUCZNA INTELIGENCJA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Adam Meissner STUCZNA INTELIGENCJA"

Transkrypt

1 Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl STUCZNA INTELIGENCJA Elementy programowania w logice Literatura [1] Clocksin W.F, Mellish C.S., Prolog. Programo- -wanie, Wyd. Helion, Gliwice, [2] Bartoszek J., Cybulka J., Programowanie deklaratywne, Wydawnictwo PP, [3] Brzykcy G., Meissner A., Programowanie w Prologu i programowanie funkcyjne, Wyd. PP, [4] Nilsson U., Małuszyński J., Logic, Programming and Prolog (2ed), John Wiley & Sons Ltd, [5] Sterling L., Shapiro E., The Art of Prolog, The MIT Press, [6] Wójcik M.: Zasada rezolucji; teoria, praktyka, kierunki rozwoju; raport IPI PAN 662, czerwiec

2 Wprowadzenie programowanie w logice stanowi szczególny przypadek programowania deklaratywnego program jest opisem rozpatrywanego problemu, a nie opisem jego rozwiązania program ma postać skończonego zbioru klauzul, będących odpowiednimi formułami logiki pierwszego rzędu najpopularniejszym językiem programowania w logice jest Prolog przykładowe obszary zastosowań progr. w logice dedukcyjne bazy danych, systemy eksperckie transformowanie programów analiza języka naturalnego zalety programowania w logice stosunkowa łatwość weryfikowania intuicyjnej i formalnej poprawności programu zwolnienie (częściowe) programisty z obowiązku znalezienia rozwiązania problemu możliwość programowania na wysokim poziomie ogólności zwięzłość programu i krótki czas implementowania wady programowania w logice dość mała efektywność wykonywania programu pewna niekonwencjonalność stylu programowania. 2

3 Reguła rezolucji Def. (literał, literał pozytywny, literał negatywny) Literałem nazywa się formułę atomową lub formułę atomową z negacją. Formuła atomowa jest literałem pozytywnym, a formuła atomowa z negacją jest literałem negatywnym. Dowolne literały postaci A oraz stanowią parę literałów komplementarnych. Def. (klauzula) Klauzulą nazywa się dowolną formułę, przyjmującą jedną z wymienionych postaci: 1. ( x 1 )... ( x m ) L 1 L n dla n > 1, 2. ( x 1 )... ( x m ) L 1 3. Formuła pusta (tzw. klauzula pusta, oznaczana symbolem ) przy założeniu, że L 1,, L n dla n > 1 są dowolnymi literałami, nie zawierającymi żadnych zmiennych oprócz x 1,, x m dla m 1. Przyjmuje się, że kwantyfikatory w zapisie klauzuli mogą być pominięte. Def. (reguła rezolucji, rezolwenta, literał aktywny) Niech A B 1 B m oraz A C 1 C n będą dowolnymi klauzulami, gdzie A jest formułą atomową a B 1,, B m i C 1,, C n to dowolne literały. Regułę wnioskowania postaci A B 1 B m, A C 1 C n B 1 B m C 1 C n nazywa się regułą rezolucji. Formuła B 1 B m C 1 C n nosi nazwę rezolwenty a literały A oraz A noszą nazwę literałów aktywnych. 3

4 Unifikacja 2017 Adam Meissner Def. (przypisanie) Przypisaniem nazywa się parę x/t, gdzie x jest zmienną, zaś t jest dowolnym termem, który stanowi wartość przypisaną zmiennej x. Def. (podstawienie) Podstawieniem nazywa się skończony zbiór przypisań = {x 1 /t 1,..., x n /t n }, w którym wszystkie zmienne x 1,..., x n są różne i żadna zmienna x i (i = 1,, n) nie występuje w żadnym termie t j (j = 1,, n). W szczególnym przypadku podstawienie może być zbiorem pustym, co oznacza się za pomocą symbolu. Def. (wyrażenie) Wyrażeniem nazywa się formułę lub term. Def. (wynik zastosowania podstawienia) Niech W będzie dowolnym wyrażeniem a podstawieniem postaci = {x 1 /t 1,..., x n /t n }. Wynikiem zastosowania podstawienia do wyrażenia W (ozn. W ) nazywa się wyrażenie W = W powstające przez zastąpienie w wyrażeniu W wszystkich wystąpień każdej zmiennej x i takiej, że x i /t i przez term t i. Def. (złożenie podstawień) Niech = {x 1 /t 1,..., x n /t n } i = {y 1 /s 1,..., y m /s m } będą podstawieniami. Podstawienie nazywane złożeniem podstawień i (ozn. = ), uzyskuje się ze zbioru {x 1 /t 1,..., x n /t n, y 1 /s 1,..., y m /s m } poprzez usunięcie wszystkich przypisań x i /t i, takich że x i t i oraz wszystkich przypisań y j /s j, takich że y j {x 1,..., x n }. 4

5 Def. (ogólność podstawienia) Podstawienie jest tak samo lub bardziej ogólne niż podstawienie, jeżeli istnieje takie podstawienie, że =. Def. (unifikator, najogólniejszy unifikator) Podstawienie nazywa się unifikatorem wyrażeń U i W, jeżeli W = U. Podstawienie nazywa się najogólniejszym unifikatorem wyrażeń U i W, jeżeli dla każdego podstawienia będącego unifikatorem U i W istnieje takie podstawienie, że =. Przykład 1 oznaczenia: p symbol predykatowy; a, b, c stałe; r, v, w, x, y, z zmienne; f, g symbole funkcyjne; W = p(x, x, y, z), = { x/a, y/g(b), z/v }, W = p(a, a, g(b), v), = { x/f(y,v), r/z }, = { x/a, y/b, v/c, w/c, z/r }, = { x/f(b,c), y/b, v/c, w/c, z/r}. Unifikatorami zbioru wyrażeń { p(a, x, y), p(z, b, y) } są np. podstawienia { x/b, y/c, z/a } lub { x/b, y/d, z/a }. Najogólniejszym unifikatorem tego zbioru jest podstawienie {x/b, z/a}. 5

6 Strategie wnioskowania rezolucyjnego Def. (rezolucja liniowa) Rezolucja liniowa jest to strategia wnioskowania za pomocą reguły rezolucji, w której każdą, kolejną parę przesłanek tworzą następujące dwa elementy: (1) w pierwszym kroku - negacja hipotezy, w każdym kolejnym kroku - rezolwenta uzyskana w kroku poprzednim, (2) dowolny aksjomat, negacja hipotezy lub dowolna rezolwenta skonstruowana wcześniej. Przykład 2 (zastosowanie rezolucji liniowej) teoria : {A 1 A 2, A 1 A 2 } hipoteza: A 1 A 1 A 1 A 2 A 2 A 1 A 2 A 1 A 1 Def. (rezolucja źródłowa) Rezolucja źródłowa jest to strategia wnioskowania za pomocą reguły rezolucji, w której każdą, kolejną parę przesłanek tworzą następujące dwa elementy: (1) w pierwszym kroku - negacja hipotezy, w każdym kolejnym kroku - rezolwenta uzyskana w kroku poprzednim, (2) dowolny aksjomat. 6

7 Przykład 3 (niepełność rezolucji źródłowej) teoria : T = {A 1 A 2, A 1 A 2 } hipoteza: A 1 A 1 A 1 A 2 A 1 A 1 A 2 A 2 A 1 A 2 A 2 A 1 A 2 A 1 A 1 Hipotezy A 1, dowodliwej w teorii T, nie można udowodnić za pomocą rezolucji źródłowej (tj. uzyskać klauzuli pustej) bez względu na sposób konstruowania wywodu (czyli kolejność wyboru przesłanek). Rezolucja źródłowa dla klauzul horna Def. (klauzula Horna) Klauzula Horna jest to dowolna klauzula, zawierająca co najwyżej jeden literał pozytywny. Def. (implikacyjna postać klauzuli Horna) Dowolną klauzulę Horna A A 1 A m, gdzie A oraz A 1,, A m są formułami atomowymi, można zapisać w postaci A A 1 A m lub równoważnie ( x 1 )... ( x n ) (A ( y 1 )... ( y p ) A 1 A m ) gdzie x 1,, x n to wszystkie zmienne występujące w formule A a y 1,, y p są wszystkimi zmiennymi, które występują wyłącznie w formule A 1 A m. 7

8 Def. (SLD-rezolucja) Rezolucja źródłowa w zbiorze klauzul Horna z określoną strategią wyboru literału aktywnego nosi nazwę SLD-rezolucji [4] (ang. Linear resolution with Selection function for Definite clauses). Def. (nagłówek klauzuli, ciało klauzuli) Niech A A 1 A m będzie klauzulą Horna w postaci implikacyjnej. Formułę atomową A nazywa się nagłówkiem klauzuli, a koniunkcję atomów A 1 A m określa się mianem ciała klauzuli. Def. (fakt, reguła, klauzula pusta) W szczególnym przypadku ciało klauzuli może być formułą pustą; A klauzule takie nazywa się faktami. Dla rozróżnienia, klauzule o niepustych ciałach określa się mianem reguł. Klauzula o pustym ciele i pustym nagłówku reprezentuje klauzulę pustą, którą oznacza się symbolem. Def. (program w logice) Program w logice jest skończonym zbiorem faktów lub reguł. Def. (definicja predykatu w programie) Definicją predykatu o nazwie r i arności n (co oznacza się jako r/n) w programie P jest zbiór wszystkich klauzul z programu P, których nagłówki zawierają predykat r/n Def. (zapytanie, cel) Celem nazywa się klauzulę o pustym nagłówku A 1 A m Formuła A 1 A m nosi nazwę zapytania, a wchodzące w jej skład literały to podcele. 8

9 Przykład Adam Meissner Poniższy, przykładowy program w logice opisuje relacje rodzinne w pewnym zbiorze osób. ojciec(x, y) rodzic(x, y) mężczyzna(x) męski_potomek(x, y) rodzic(y, x) mężczyzna(x) męski_potomek(x, y) rodzic(y, z) męski_potomek(x, z) rodzic(adam, piotr) rodzic(ewa, piotr) rodzic(anna, wanda) rodzic(jan, wanda) rodzic(piotr, maria) rodzic(piotr, roman) rodzic(wanda, maria) rodzic(wanda, roman) mężczyzna(adam) mężczyzna(piotr) mężczyzna(jan) mężczyzna(roman) Przykłady zapytań do programu: męski_potomek(x, adam) - kto jest męskim potomkiem Adama? rodzic(wanda, x) - czyim rodzicem jest Wanda? Def. (odpowiedź) Niech B będzie dowolnym celem. Odpowiedzią dla zapytania B i programu P nazywa się najogólniejsze podstawienie, takie że P ( )B. 9

10 Def. (reguła SLD-rezolucji) 2017 Adam Meissner Niech A 1... A i... A m będzie dowolnym celem; niech będzie dany program, do którego należą klauzule A A 1... A n oraz A. Ponadto zakłada się, że istnieje podstawienie będące najogólniejszym unifikatorem atomów A i A i. Regułę SLD-rezolucji określa się następująco (w dwóch wariantach) A 1... A i... A m, A A 1... A n (A 1... A i 1 A 1... A n A i A m ) A 1... A i... A m, A (A 1... A i 1 A i A m ) Def. (wywód SLD-rezolucyjny) Niech B i oznacza dowolną koniunkcję literałów pozytywnych, a i niech będzie podstawieniem. Wywodem SLD-rezolucyjnym dla celu G i programu P nazywa się (być może nieskończony) ciąg par: ( B 0, 0 ), ( B 1, 1 ), ( B 2, 2 ),... gdzie B 0 = G, 0 =, zaś w stosunku do każdego elementu ( B i + 1, i + 1 ), gdzie i 0, przyjmuje się założenie, że istnieje klauzula C P i podstawienie takie, że formuła B i + 1 jest wnioskiem uzyskanym poprzez zastosowanie reguły SLD-rezolucji do wybranego aktywnego literału w B i i C przy użyciu najogólniejszego unifikatora, zaś i+ 1 jest złożeniem podstawień i, z którego zostały usunięte wszystkie przypisania zmiennych nie występujących w G. 10

11 Def. (dowód SLD-rezolucyjny) Dowodem SLD-rezolucyjnym dla celu G i programu P nazywa się wywód SLD-rezolucyjny dla G i P, którego ostatnim elementem jest para (, ). Def. (odpowiedź obliczona) Odpowiedzią obliczoną dla zapytania B i programu P, nazywa się podstawienie takie, że istnieje dowód SLD-rezolucyjny dla celu B i programu P, którego ostatnim elementem jest para (, ). Przykład 5 W przykładzie przedstawia się dowód SLD-rezolucyjny dla celu męski_potomek(x,adam) i programu z przykładu 4. ( męski_potomek(x,adam), ), ( rodzic(adam,x) mężczyzna(x), ), ( mężczyzna (piotr), {x/piotr}), (, {x/piotr}) Odpowiedzią na postawione zapytanie jest podstawienie {x/piotr} wchodzące w skład ostatniego elementu dowodu. Def. (drzewo wywodów SLD-rezolucyjnych) Drzewem wywodów SLD-rezolucyjnych dla programu P i celu G nazywa się drzewo, którego wierzchołkami są elementy wywodów dla P i G. Korzeniem drzewa jest para (G, ). Niech V będzie dowolnym wierzchołkiem drzewa, zawierającym rezolwentę z jednym, wybranym literałem aktywnym. Wierzchołek V przylega do wierzchołka V wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wywód dla P i G, w którym V i V występują jako kolejne elementy. 11

12 Przykład 6 Fragment (tj. niektóre gałęzie) drzewa wywodów dla celu męski_potomek(x,adam) i programu z przykładu 4; skróty: p męski_potomek, m mężczyzna, r rodzic, ad adam, ma maria, pi piotr, ro roman. ( p(x,ad), ) ( r(ad,x) m(x), ) ( r(ad,z) p(x,z), ) ( m(pi), {x/pi}) ( p(x,pi), ) (, {x/pi}) ( r(pi,x) m(x), ) sukces ( m(ro), {x/ro}) ( m(ma), {x/ma}) porażka (, {x/ro}) sukces Reprezentacja klauzul w Prologu reguła meski_potomek(x, Y) rodzic(y, X), mezczyzna(x) fakt mezczyzna(adam) cel meski_potomek(x, Y) 12

13 Przykład 7 program stypendysta(x):- student(x), bardzo_dobry(x). bardzo_dobry(x):- srednia(x,s), S >= 4.0. student(adam). student(jan). srednia(jan,4.3). srednia(adam,3.9). cel :- stypendysta(x). drzewo wywodów (:- stypendysta(x)., ) (:- student(x), bardzo_dobry(x)., ) (:- bardzo_dobry(adam)., {X/adam}) (:- bardzo_dobry(jan)., {X/jan}) (:- srednia(adam,s)., S>=4.0., {X/adam}) (:- srednia(jan,s)., S>=4.0., {X/jan}) (:- 3.9 >= 4.0., {X/adam}) (:- 4.3 >= 4.0., {X/jan}) porażka odpowiedź = { X/jan} (, {X/jan}) sukces 13

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Elementy wnioskowania automatycznego

Bardziej szczegółowo

Programowanie logiczne a negacja

Programowanie logiczne a negacja Programowanie logiczne a negacja Adrian Woźniak 12 stycznia 2006r. SPIS TREŚCI Programowanie logiczne a negacja Spis treści 1 Wstęp 2 2 Wnioskowanie negatywnych informacji 2 2.1 Reguła CWA (Closed World

Bardziej szczegółowo

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy uczenia maszynowego Literatura [1] Bolc L., Zaremba

Bardziej szczegółowo

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy uczenia maszynowego Literatura [1] Bolc L., Zaremba

Bardziej szczegółowo

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą

Bardziej szczegółowo

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist

Bardziej szczegółowo

Metoda Tablic Semantycznych

Metoda Tablic Semantycznych Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA Problem spełnialności (SAT)

Adam Meissner   SZTUCZNA INTELIGENCJA Problem spełnialności (SAT) Instytut Automatyki, Robotyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Problem spełnialności

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do

Bardziej szczegółowo

Dedukcyjne bazy danych

Dedukcyjne bazy danych Dedukcyjne bazy danych mgr inż. Olga Siedlecka olga@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Dedukcyjne bazy danych p.1/37 Plan seminarium Wprowadzenie Podstawy matematyczne Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Problematyka sztucznej inteligencji

Bardziej szczegółowo

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (10)

Logika Matematyczna (10) Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan

Bardziej szczegółowo

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania

Bardziej szczegółowo

Programowanie w logice

Programowanie w logice Programowanie w logice PROLOG cz.1 PROLOG język wysokiego poziomu Powstał w 1972 na Uniwersytecie w Marsylii (Francja) w zespole A.Colmerauer a i F.Roussel a PROgrammation en LOGique, PROgramming in LOGic,

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI

PODSTAWY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Katedra Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka PODSTAWY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Laboratorium PROGRAMOWANIE SYSTEMÓW EKSPERTOWYCH Opracowanie: Dr hab. inŝ. Jacek Kucharski Dr inŝ. Piotr Urbanek Cel ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Alfred N. Whitehead

Alfred N. Whitehead Plan wykładu Automatyczne dowodzenie twierdzeń Dowodzenie twierdzeń matematycznych Dedukcja Logic Theorist Means-endsends Analysis Rezolucja Programowanie w logice PROLOG Logic Theorist - 1956 Automatyczne

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej

Wprowadzenie do Sztucznej Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Konsekwencje logiczne Formuła A jest konsekwencją logiczną zbioru formuł U, co zapisujemy U A, jeŝeli kaŝda interpretacja,

Bardziej szczegółowo

Logiczne podstawy informatyki 1. Wojciech Buszkowski. Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM

Logiczne podstawy informatyki 1. Wojciech Buszkowski. Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM Logiczne podstawy informatyki 1 LOGICZNE PODSTAWY INFORMATYKI Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM Logiczne podstawy informatyki 2 1. Rezolucja zdaniowa Formuły

Bardziej szczegółowo

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2.

Bardziej szczegółowo

1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria

1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Rachunki relacji. Rachunki relacji. RRK Relacyjny Rachunek Krotek

Rachunki relacji. Rachunki relacji. RRK Relacyjny Rachunek Krotek Rachunki relacji Rachunki relacji 1. RRK Relacyjny Rachunek Krotek 2. RRD Relacyjny Rachunek Dziedzin 3. Datalog Database Prolog Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski T. Pankowski, Rachunki

Bardziej szczegółowo

Bazy dedukcyjne. 1. Filozofia nowego sposobu projektowania baz danych. 2. Wady klasycznych systemów bazodanowych

Bazy dedukcyjne. 1. Filozofia nowego sposobu projektowania baz danych. 2. Wady klasycznych systemów bazodanowych Bazy dedukcyjne 1. Filozofia nowego sposobu projektowania baz danych Bazy dedukcyjne to nowe podejście do projektowania baz danych, oparte na logice matematycznej. W porównaniu do poprzednich modeli baz

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner. SZTUCZNA INTELIGENCJA Gry dwuosobowe

Adam Meissner. SZTUCZNA INTELIGENCJA Gry dwuosobowe Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Gry dwuosobowe Literatura [1] Sterling

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Bardziej szczegółowo

Programowanie w logice Wykład z baz danych dla

Programowanie w logice Wykład z baz danych dla Programowanie w logice Wykład z baz danych dla studentów matematyki 18 maja 2015 Programowanie w logice Programowanie w logice to podejście do programowania, w którym na program patrzymy nie jak na opis

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Laboratorium lista 0.2 Elementy języka Prolog: reguły i rekurencja. Przemysław Kobylański

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Laboratorium lista 0.2 Elementy języka Prolog: reguły i rekurencja. Przemysław Kobylański Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Laboratorium lista 0.2 Elementy języka Prolog: reguły i rekurencja Przemysław Kobylański Część I Wprowadzenie 1 Reguły Przypomnijmy z poprzedniej listy zadań fakty

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Gramatyki bezkontekstowe I Gramatyką bezkontekstową

Bardziej szczegółowo

Dedukcyjne bazy danych i rekursja

Dedukcyjne bazy danych i rekursja Dedukcyjne bazy danych i rekursja Wykład z baz danych dla studentów matematyki 23 maja 2015 Bazy danych z perspektywy logiki Spojrzenie na bazy danych oczami logika pozwala jednolicie opisać szereg pojęć.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Dedukcyjne bazy danych i rekursja

Dedukcyjne bazy danych i rekursja Dedukcyjne bazy danych i rekursja Wykład z baz danych dla studentów matematyki 27 maja 2017 Bazy danych z perspektywy logiki Spojrzenie na bazy danych oczami logika pozwala jednolicie opisać szereg pojęć.

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Prologa

Wprowadzenie do Prologa Wprowadzenie do Prologa Rozdział 1 Tutorial Introduction Maciej Gapiński Dominika Wałęga Spis treści 1. Podstawowe informacje 2. Obiekty i relacje 3. Reguły 4. Fakty 5. Zapytania 6. Zmienne i stałe Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja wiedzy i wnioskowanie

Reprezentacja wiedzy i wnioskowanie i wnioskowanie Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wiedza AI to nauka o komputerowych modelach wiedzy umożliwiających rozumienie, wnioskowanie i działanie. Inteligentne

Bardziej szczegółowo

1. Klasyczny Rachunek Zdań

1. Klasyczny Rachunek Zdań Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 1 1. Klasyczny Rachunek Zdań Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest prawdziwe lub fałszywe. Prawdę i fałsz nazywamy wartościami logicznymi.

Bardziej szczegółowo

Metody Kompilacji Wykład 3

Metody Kompilacji Wykład 3 Metody Kompilacji Wykład 3 odbywa się poprzez dołączenie zasad(reguł) lub fragmentów kodu do produkcji w gramatyce. Włodzimierz Bielecki WI ZUT 2 Na przykład, dla produkcji expr -> expr 1 + term możemy

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Zasady krytycznego myślenia (1)

Zasady krytycznego myślenia (1) Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte

Bardziej szczegółowo

PROLOG. Prolog. Programowanie, W.F. Clocksin, C.S. Mellish, HELION Prolog, język sztucznej inteligencji, Eugeniusz Gatnar, Katarzyna Stąpor, Wyd.

PROLOG. Prolog. Programowanie, W.F. Clocksin, C.S. Mellish, HELION Prolog, język sztucznej inteligencji, Eugeniusz Gatnar, Katarzyna Stąpor, Wyd. PROLOG 1. Informacje wstępne Podczas zajęć korzystamy z darmowej wersji interpretera Prologu SWI-Prolog dostępnego ze strony: www.swi-prolog.org 2. Literatura i materiały Prolog. Programowanie, W.F. Clocksin,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2.

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie formuł rachunku predykatów

Uzgadnianie formuł rachunku predykatów Składanie podstawień Plan wykładu Uzgadnianie Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Składanie podstawień 1 Składanie podstawień Podstawienie Motywacja Złożenie podstawień 2 Uzgadnianie

Bardziej szczegółowo

Logika stosowana. Ćwiczenia Programowanie w logice i PROLOG. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski

Logika stosowana. Ćwiczenia Programowanie w logice i PROLOG. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski Logika stosowana Ćwiczenia Programowanie w logice i PROLOG Marcin Szczuka Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski Wykład monograficzny w semestrze letnim 2018/2019 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika stosowana

Bardziej szczegółowo

Projekt 4: Programowanie w logice

Projekt 4: Programowanie w logice Języki Programowania Projekt 4: Programowanie w logice Środowisko ECL i PS e W projekcie wykorzystane będzie środowisko ECL i PS e. Dostępne jest ono pod adresem http://eclipseclp.org/. Po zainstalowaniu

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGANCJA

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGANCJA Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGANCJA Podstawy programowania z ograniczeniami

Bardziej szczegółowo

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14 Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa. Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 2/3 Dzisiaj Literały i klauzule w logice predykatów Sprowadzania

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10: METODA REZOLUCJI W KRZ (20XII2007) II. 10. Dowody rezolucyjne w KRZ Przypomnienia i kilka definicji

LOGIKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10: METODA REZOLUCJI W KRZ (20XII2007) II. 10. Dowody rezolucyjne w KRZ Przypomnienia i kilka definicji LOGIKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10: METODA REZOLUCJI W KRZ (20XII2007) II. 10. Dowody rezolucyjne w KRZ Pokażemy teraz działanie pewnej metody dowodowej, mającej istotne zastosowania m.in. w automatycznym dowodzeniu

Bardziej szczegółowo

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1. 3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy

Bardziej szczegółowo

Języki programowania deklaratywnego

Języki programowania deklaratywnego Katedra Inżynierii Wiedzy laborki 14 Języki deklaratywne Główne różnice między paradygmatem deklaratywnym a imperatywnym Omów główne cechy paradygmatu programowania w logice na przykładzie Prologa Główne

Bardziej szczegółowo

Problem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska

Problem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska Problem Instytut Informatyki jedzenie(x 1 ) lubi(adam, x 1 ) jedzenie(jabłko) jedzenie(kurczak) je(x 1, x 2 ) żyje(x 1 ) jedzenie(x 2 ) je(bogdan, orzeszki) żyje(bogdan) je(bogdan, x 2 ) je(zuzia, x 2

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

UNIFIKACJA I REZOLUCJA

UNIFIKACJA I REZOLUCJA KLASYCZNY RACHUNEK LOGICZNY: UNIFIKACJA I REZOLUCJA (LOGIKA MATEMATYCZNA: WYKŁADY 10, 24, 25) 2007 2008 JERZY POGONOWSKI ZAKŁAD LOGIKI STOSOWANEJ UAM http://www.logic.amu.edu.pl LOGIKA MATEMATYCZNA WYKŁAD

Bardziej szczegółowo

a) symbole logiczne (wspólne dla wszystkich języków) zmienne przedmiotowe: x, y, z, stałe logiczne:,,,,,, symbole techniczne: (, )

a) symbole logiczne (wspólne dla wszystkich języków) zmienne przedmiotowe: x, y, z, stałe logiczne:,,,,,, symbole techniczne: (, ) PROGRAMOWANIE W JĘZYU OGII WPROWADZENIE OGIA PIERWSZEGO RZĘDU Symbole języka pierwszego rzędu dzielą się a: a symbole logicze (wspóle dla wszystkich języków zmiee przedmiotowe: x y z stałe logicze: symbole

Bardziej szczegółowo

Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji

Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji 16 kwietnia 2010 Rezolucja zdaniowa Formuły rachunku zdań: zbudowane ze zmiennych zdaniowych za pomocą spójników logicznych,,,, i nawiasów Wartości logiczne:

Bardziej szczegółowo

IW - Kolokwium 1. 8z Cudze chwalicie, swego nie znacie, sami nie wiecie, co posiadacie

IW - Kolokwium 1. 8z Cudze chwalicie, swego nie znacie, sami nie wiecie, co posiadacie IW - Kolokwium 1 8z Cudze chwalicie, swego nie znacie, sami nie wiecie, co posiadacie x Człowiek(x) [ y ~Posiada(x, y) => Chwali(x, y) ] [ z Posiada(x, z) => ~Zna(x, z) ] [ u Posiada(x, u) ~Świadom_posiadania(x,

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi

Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 1 Dowody konstruktywne Dedukcja naturalna

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek predykatów

Klasyczny rachunek predykatów Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.

Bardziej szczegółowo

Laboratorium przedmiotu Paradygmaty Programowania

Laboratorium przedmiotu Paradygmaty Programowania Laboratorium przedmiotu Paradygmaty Programowania Laboratorium 9 Prolog podstawy 1. Podstawy Prologu Programowanie w Prologu polega na deklarowaniu: Faktów dotyczących pewnych obiektów z analizowanego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję

Bardziej szczegółowo

Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda

Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja

Bardziej szczegółowo

Kultura logicznego myślenia

Kultura logicznego myślenia Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu Język

Bardziej szczegółowo

Logika Radosna 5. Jerzy Pogonowski. KRP: tablice analityczne. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Logika Radosna 5. Jerzy Pogonowski. KRP: tablice analityczne. Zakład Logiki Stosowanej UAM Logika Radosna 5 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl KRP: tablice analityczne Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 5 KRP: tablice analityczne 1 / 111 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie wiedzą. Reprezentacja wiedzy: logika predykatów pierwszego rzędu

Zarządzanie wiedzą. Reprezentacja wiedzy: logika predykatów pierwszego rzędu Zarządzanie wiedzą Reprezentacja wiedzy: logika predykatów pierwszego rzędu 1 Plan wykładu Logika predykatów pierwszego rzędu Metoda rezolucji Unifikacja Przejście od logiki predykatów do Prologu PROgramm

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGANCJA

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGANCJA Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGANCJA Podstawy programowania z ograniczeniami

Bardziej szczegółowo

Prolog (Pro-Logic) Programowanie w Logice. Dr inż. Piotr Urbanek

Prolog (Pro-Logic) Programowanie w Logice. Dr inż. Piotr Urbanek Prolog (Pro-Logic) Programowanie w Logice Dr inż. Piotr Urbanek Do czego służy ProLog? Używany w wielu systemach informatycznych związanych z: logiką matematyczną (automatyczne dowodzenie twierdzeń); przetwarzaniem

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja wiedzy: logika predykatów pierwszego rzędu

Reprezentacja wiedzy: logika predykatów pierwszego rzędu Zarządzanie wiedzą Reprezentacja wiedzy: logika predykatów pierwszego rzędu Plan wykładu Logika predykatów pierwszego rzędu Metoda rezolucji Unifikacja Przejście od logiki predykatów do Prologu PROgramming

Bardziej szczegółowo

-termami -wyrażeń pre-termami abstrakcją aplikacją zmiennych wolnych zmienną związaną domknięte

-termami -wyrażeń pre-termami abstrakcją aplikacją zmiennych wolnych zmienną związaną domknięte 8. Wykład 8: Rachunek λ. Wprowadzenie. Rachunek lambda i logika kombinatoryczna powstały w latach trzydziestych dwudziestego wieku. Początkowo miały stanowić alternatywne wobec teorii mnogości podejście

Bardziej szczegółowo

Programowanie w Logice

Programowanie w Logice Programowanie w Logice Działanie Prologu Przemysław Kobylański na podstawie [CM2003] Składnia Programy Prologu składają się z termów. Term to stała, zmienna lub struktura (term złożony). Term zapisuje

Bardziej szczegółowo